ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt

Μαυρουδης Μακης
Μαυρουδης ΜακηςPhysicist um 2 gym stavroupolis Thessaloniki
••
ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ - ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ένα σώμα δεμένο σε ελατήριο αν δεν είναι ακίνητο στη θέση ισορροπίας εκτελεί περιοδική κίνηση , παλινδρομικά γύρω από τη θέση ισορροπίας του που λέγεται ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ . Υπάρχουν κι άλλα συστήματα που εκτελούν τέτοια κίνηση , το απλούστερο όμως είναι το σύστημα ελατηρίου (k) – σώματος (m) που λέγεται αρμονικός ταλαντωτής .
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
φ
1. Όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση θα υπάρχει ένα σημείο (σημείο Ο στο σχήμα) γύρω από το οποίο θα παλινδρομεί πάνω σε ένα ευθύγραμμο τμήμα (ΡΡ΄) του οποίου τα άκρα (Ρ και Ρ΄) θα ισαπέχουν από το (Ο) . F ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ α.α.τ.
2. Στο σημείο (Ο) που λέγεται κέντρο ταλάντωσης ή θέση ισορροπίας η συνισταμένη των δυνάμεων , στον άξονα της κίνησης , και η επιτάχυνση του σώματος που λέγονται αντίστοιχα δύναμη επαναφοράς και επιτάχυνση επαναφοράς έχουν μηδενική τιμή ενώ η ταχύτητα του σώματος είναι μέγιστη (ή με θετική φορά ή με αρνητική φορά , ανάλογα με τον τρόπο που διέρχεται το σώμα από το σημείο Ο). F
3. Η απόσταση από το σημείο (Ο) (χ) λέγεται απομάκρυνση της ταλάντωσης και παίρνει ή θετική (ημιάξονας ΟΡ) ή αρνητική τιμή (ημιάξονας ΟΡ΄) . Η μέγιστη τιμή της απομάκρυνσης λέγεται πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης (Α) και από σύμβαση έχει μόνο θετική τιμή (χmax = Α >0 ) όταν το σώμα είναι στις ακραίες θέσεις (Ρ ή Ρ΄) όπου υ=0. F
4. Η επιτάχυνση επαναφοράς και η δύναμη επαναφοράς έχουν πάντα διαφορετικό πρόσημο από την απομάκρυνση και είναι ανάλογες με την απομάκρυνση . Στις ακραίες θέσεις παίρνουν τη μέγιστή τους τιμή . F Λ Κ χ>0 , α<0 F<0
5. Θέσεις που ισαπέχουν από τη θέση ισορροπίας έχουν την ίδια τιμή και ταχύτητας σώματος και επιτάχυνσης και δύναμης επαναφοράς και όσο πιο κοντά στις ακραίες θέσεις βρίσκονται τόσο πιο μικρή είναι η ταχύτητα και πιο μεγάλες η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς ενώ όσο πιο κοντά προς το κέντρο ταλάντωσης βρίσκονται τόσο πιο μεγάλη είναι η ταχύτητα και πιο μικρές η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς . F Λ Κ
6. Οι χρόνοι που αντιστοιχούν σε μεταβάσεις μεταξύ κατάλληλων σημείων της τροχιάς είναι ίσοι . Αν ΟΚ = ΟΛ τότε : ΔtΛΟ= ΔtΟΚ , ΔtΛΟ= ΔtΟΛ , ΔtΚΟ= ΔtΟΚ , ΔtΚΡ΄= ΔtΡΛ κ.λ.π. 7. Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι κίνηση ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ και ισχύουν ΙΔIΑΙΤΕΡΕΣ ΧΡΟΝΟΕΞΙΣΩΣΕΙΣ που θα μελετήσουμε στη συνέχεια ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ . F Λ Κ
8. Σε κάθε θέση (πλην των ακραίων όπου υ = 0) το σώμα περνά με το ίδιο μέτρο ταχύτητας δύο φορές , τη μία κινούμενο με θετική φορά και την άλλη με αρνητική φορά . Αν κινείται προς το κέντρο των ταλαντώσεων η ταχύτητα αυξάνεται (ταχύτητα ομόρροπη με την επιτάχυνση και τη δύναμη επαναφοράς) ενώ αν κινείται προς τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ταχύτητα μειώνεται (ταχύτητα αντίρροπη με την επιτάχυνση και τη δύναμη επαναφοράς) . ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.Α.Τ. ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ . F Λ Κ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ
Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που εξελίσσονται και επαναλαμβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήματα.
ΑΠΛΟ ή ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ
ΑΠΛΟ ή ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
Τέτοια φαινόμενα είναι η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο, η κίνηση του εκκρεμούς, το φως που εκπέμπει το φλας ή ο φάρος (ρυθμικές αναλαμπές) κ.λ.π.
Κάθε περιοδικό φαινόμενο χαρακτηρίζεται από την περίοδο του (Τ), το χρόνο δηλαδή που απαιτείται για να ολοκληρωθεί.
Αν σε χρόνο Δt γίνονται N επαναλήψεις του φαινομένου, η περίοδος ( Τ ) είναι ίση με το πηλίκο : Δt T = N
Το αντίστροφο πηλίκο : του αριθμού των επαναλήψεων (Ν) του φαινομένου προς τον αντίστοιχο χρόνο (Δt) λέγεται συχνότητα του περιοδικού φαινομένου N f = Δt
Η συχνότητα εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων του περιοδικού φαινομένου στη μονάδα του χρόνου .
Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο S.I. είναι το 1s και της συχνότητας το 1s-1 ή κύκλος/s ή 1 Ηz με πολλαπλάσια : 1KHz = 103 Hz , 1MHz = 106Hz και 1GHZ = 109 Hz
Από τον ορισμό τους, τα μεγέθη περίοδος και συχνότητα είναι αντίστροφα, συνδέονται δηλαδή με τη σχέση : 1 T = f
Ένα τρίτο μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα, χωρίς άμεση φυσική σημασία, είναι η γωνιακή συχνότητα ή κυκλική συχνότητα (ω) για την οποία ισχύει : Μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας είναι το 1rad/s. 2π ω = ή ω = 2π f Τ
Η απλούστερη περιοδική κίνηση είναι : Η ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Το υλικό σημείο κινείται σε περιφέρεια κύκλου και σε ίσους χρόνους , όσο μικροί κι αν είναι , διανύει ίσα τόξα της κυκλικής του τροχιάς .
Παρατήρηση : Στην κυκλική κίνηση ορίζεται το διανυσματικό μέγεθος στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα με μέτρο : dφ ω = dt ή για την ομαλή κυκλική κίνηση επειδή είναι σταθερή συμπίπτει με τη μέση τιμή της δηλαδή :
Δφ ω = Δt αν Δt = T , τότε Δφ = 2π άρα : 2 ω = ή ω = 2π f  
Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας που έχει ως κυκλική κίνηση είναι ίσο με τη γωνιακή συχνότητα που έχει ως περιοδική κίνηση.
Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας στην κυκλική κίνηση. ω r dφ , dt m r
Στην κυκλική κίνηση ορίζεται το διανυσματικό μέγεθος γραμμική ταχύτητα με μέτρο : dS υ = dt Εκφράζει το μήκος του τόξου που διανύει το κινητό στη μονάδα του χρόνου .
Το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας στην κυκλική κίνηση. r m υ ds , dt r m ο υ
ο Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας είναι σταθερό (υ = υ ) και συμπίπτει με τη μέση τιμή του : ΔS υ = Δt
αν Δt = T τότε ΔS = 2π R άρα 2π R υ = ή υ = 2πf R Τ ή υ = ω . R
Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας είναι σταθερό αλλά μεταβάλλεται η κατεύθυνσή της . Η ομαλή κυκλική κίνηση είναι , λοιπόν , μεταβαλλόμενη κίνηση και έχει επιτάχυνση . Αυτή ενεργεί κάθετα στη γραμμική ταχύτητα , ακτινικά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και λέγεται κεντρομόλος επιτάχυνση : 2 2 κ κ υ α = ή α = ω R R
ο Στην ομαλή κυκλική κίνηση υπάρχει επιτάχυνση , θα υπαρχει επομένως και δύναμη με την ίδια προς την επιτάχυνση κατεύθυνση , σύμφωνα με το 2 νόμο του Newton . 2 2 κ κ κ κ υ F = m α ή F = m ή F = m ω R R συνισταμένη όλων των δυνάμεων Η δύναμη αυτή , δεν είναι μια νέα δύναμη αλλά αποτελεί τη που ενεργούν στο σώμα όταν κάνει κίνηση λέγετ ομαλή κυκλική κεντρομόλος δύναμ αι η :
Τα διανύσματα της κεντρομόλου επιτάχυνσης και της κεντρομόλου δύναμης στην ομαλή κυκλική κίνηση . Κ α m Κ F m
Συνολικά όλα τα διανυσματικά μεγέθη στην ομαλή κυκλική κίνηση . ω r dφ , dt m υ Κ α Κ F ds , dt r
ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Α. Κινηματική προσέγγιση Μια περιοδική παλινδρομική κίνηση ονομάζεται ταλάντωση. Η ταλάντωση που γίνεται σε ευθεία τροχιά ονομάζεται γραμμική ταλάντωση. Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης αφού είναι εκείνη η γραμμική ταλάντωση όπου η απομάκρυνση είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου .
Απομάκρυνση χ είναι η απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας (κέντρο ταλαντώσεων Ο) Έστω ένα σώμα που κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα γύρω από το σημείο Ο, που είναι το μέσο της τροχιάς του.
Αν η απομάκρυνση χ του σώματος είναι ημιτονοειδής ή συνημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου (αρμονικές συναρτήσεις) η κίνηση του σώματος ονομάζεται απλή αρμονική ταλάντωση. Η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή η μέγιστη απόσταση από το σημείο Ο στην οποία φτάνει το κινητό, και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης (χmax = A)
ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου με σταθερά (k) και σημειακού σώματος μάζας (m) Το απλούστερο σύστημα που εκτελεί απλές αρμονικές ταλαντώσεις μπορεί να ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο Στον οριζόντιο άξονα της κίνησης η συνισταμένη δύναμη που είναι η δύναμη επαναφοράς προκύπτει Μόνο από ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ Η ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΗ ΘΕΣΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ N B ί F  Δl = x Θέση φυσικού μήκους ή θέση ισορροπίας ταλάντωσης
Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου με σταθερά (k) και σημειακού σώματος μάζας (m) Σε κατακόρυφη ταλάντωση Στον κατακόρυφο άξονα της κίνησης η συνισταμένη δύναμη που είναι η δύναμη επαναφοράς προκύπτει από ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Και ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ Η ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ βρίσκεται κάτω από τη ΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΗΚΟΥΣ του ελατηρίου κατά Δl : ελ F Β Δ χ 0 2 1 1 ελ F Β 1 Δ Θέση 0 Θέση φυσικού μήκους ελατηρίου Θέση 1 Θέση ισορροπίας ταλάντωσης επ F ΣF = 0 k = m g . = l m g l k    
Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου με σταθερά (k) και σημειακού σώματος μάζας (m) μπορεί να ταλαντώνεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο φ Στον άξονα της κίνησης η συνισταμένη δύναμη που είναι η δύναμη επαναφοράς προκύπτει από ΤΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΤΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΤΟ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΧ ή WX Και ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ (Fελ) Η ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΣΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ κατά : x ΣF =0 k =mgημφ . . = l m g l k      φ Βχ=mgημφ φ Βψ=mgσυνφ Β Fελ Ν
Π Σ Η προβολή (Π) του σώματος (Σ) , που εκτελεί ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ , στην κατακόρυφη διάμετρο εκτελεί ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Π Σ Η προβολή (Π) του σώματος (Σ) , που εκτελεί ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ , στην οριζόντια διάμετρο εκτελεί ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
Η προβολή (Π) του σώματος (Σ) , που εκτελεί ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ , στην κατακόρυφη διάμετρο εκτελεί ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ . Η ΠΕΡΙΟΔΟΣ της ομαλής κυκλικής κίνησης συμπίπτει με την ΠΕΡΙΟΔΟ της ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ και η ΑΚΤΙΝΑ της ομαλής κυκλικής κίνησης συμπίπτει με το ΠΛΑΤΟΣ της ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
• TALANTVSH KAI KYKLIKH KINHSH.flv
YouTube - Γ_ Λυκείου - Κύκλος αναφοράς _ Απλή Αρμονική Ταλάντωση.flv
Το σώμα (Σ) εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και τη χρονική στιγμή μηδέν βρίσκεται στο δεξιό άκρο της οριζόντιας διαμέτρου , ενώ τη χρονική στιγμή (t) βρίσκεται στη θέση του σχήματος . Η απομάκρυνση (χ) της προβολής από το κέντρο του κύκλου , δηλαδή τη Δφ φ-0 θέση ισορροπίας είναι : χ = Α ημ φ , αλλά ω = = Δt t-0 φ = ω t . Έτσι θα έχουμ χ = Α ημ ( ω ε t )  χ φ Α υο Σ,t Σ , to=0 φ υο Η προβολή του σώματος (Σ) στην κατακόρυφη διάμετρο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και έχει ταχύτητα την κατακόρυφη συνιστώσα της γραμμικής ταχύτητας . ο ο Αν η γραμμική ταχύτητα είναι (υ ) η ακτίνα της τροχιάς (Α) και η γωνιακή ταχύτητα (ω) τότε : υ = ω Α
ο ο Από το ορθογώνιο τρίγωνο των ταχυτήτων έχουμε : υ = υ συν φ με υ = ω Α και φ = ω t Επομένως θα έχουμε : υ = ω Α συν ( ω t ) π ή υ = ω Α ημ ( ω t + ) δηλαδή η φάση τ 2 ης ταχύτητας π προηγείται κατά από τη φάση της απομάκρυνσης 2 2 2 ο ο ο ο υ κεντρομόλος επιτάχυνση α = ή α = ω Α Α Η κατακόρυφη συνιστώσα της είναι η επιτάχυνση της ταλάντωσης : α = - α ημ φ  φ υο υ υ to=0 φ α α αο φ 2 2 ή ή δηλαδή η φάση της επιτάχυνσης προηγείται κατά π π από τη φάση της απομάκρυνσης α = - ω Α ημ ( ω t ) α και κατά 2 από τη = φ ω Α ημ ( άση της ταχ ω t + ύτη π ) τας .
Η απομάκρυνση ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος κάθε στιγμή δίνονται:       max max max max x = A ημ 1 ,υ υ συν και α =-α ημ όπου υ και α    2 ωt ωt 2 ωt 3 ωA ω Α       max max Για χ =0 , υ = υ και α=0 για x=+Α ή x=-Α : υ=0 και α= α Οι σχέσεις 1 , 2 και 3 ισχύουν αν για t=0 , x=0 και το σώμα κινείται κατά τη θετική φ ά ορ  υ = +ω.Α
Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Α Α Χ=+Α Χ=0 , υ = +υο=+ωΑ Χ=-Α to=0 Για to = 0 είναι x=0 και υ = +υο=+ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση φο=0
Εξίσωση απομάκρυνσης στο S.I. μονάδα το 1m Aπομάκρυνση : x = A . ημ(ω.t) φάση φ της ταλάντωσης όταν η αρχική φάση είναι μηδέν . Το γινόμενο (ω.t) αποτελεί τη
t 0 T 0 π 2π ημ φ 0 1 0 -1 0 χ = Α ημφ 0 Α 0 -Α 0 2π φ = . t Τ T 4 T 2 3T 4 π 2 3π 2
max χ = Α
Εξίσωση ταχύτητας στο S.I. μονάδα το 1 2 sec ή υ = ωA . ημ (ω.t + Ταχύτητα : υ = ωA . συν(ω.t) ) m  (υ) (χ) 2 φ Η φά = ση της ταχ φ + 2 ύτητας προηγείται κατά της φάσης της απομάκρυνσης Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της απομάκρυνσης καθυστερούν χρονικά κα   2 τά Δt = 2 Δt = 4         
t 0 T 0 π 2π συν φ 1 0 -1 0 1 υ=υmaxσυνφ υmax 0 -υmax 0 υmax 2π φ = . t Τ T 4 T 2 3T 4 π 2 3π 2
max .    
max υ = ω.Α
Εξίσωση επιτάχυνσης 2 2 2 στο S.I. μονάδα (α) το 1 sec ή Επιτάχυνση : α = - ω A . ημ(ω.t) α = ω A . ημ (ω.t + ) π m (α) (χ) (υ) Η φάση της επιτάχυνσης προηγείται κατά της φάσης της ταχύτητας και κατά 2 π από τη φάση της απομάκρυνσης : φ = φ + π = φ + Αυτό ση ν 2 μαί   ει ότι οι τιμές της επιτάχυνσης προηγούνται χρονικά κατά των τιμών της ταχύτητας και κατά των τιμών Δt = της α 4 Δ πο t = μάκ ς 2 ρυνση  
t 0 T 0 π 2π ημ φ 0 1 0 -1 0 α=-αmax ημφ 0 -αmax 0 +αmax 0 2π φ = . t Τ T 4 T 2 3T 4 π 2 3π 2
2 max α = ω .Α
Αν για t=0 το σώμα βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο και κινείται θετικά ή αρνητικά ή ακόμα αν για t=0 το σώμα βρίσκεται στο Ο και κινείται προς τα αρνητικά τότε φο≠0 t 0  Θ.Ι. Ο t=0 x=0 , υ = -υο=-ωΑ (+) (-) P΄ P t 0  α υ
Για to = 0 είναι x≠0 και υ ≠ +υο ≠ +ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φο ≠ 0 φο Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο υ Χ=+Α Χ=-Α to=0
Για to = 0 είναι x≠0 και υ ≠ +υο ≠ +ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φο ≠ 0 φο Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Α Α Χ=+Α Χ=-Α to=0
Για to = 0 είναι x=0 και υ = -υο=-ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φο=π Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Α Α Χ=+Α Χ=0 , υ = +υο=+ωΑ Χ=-Α to=0
Οι εξισώσεις (1), (2) και (3) γίνονται x = Α ημ(ωt + φο) υ = υmax συν(ωt + φο) ή υ = υmax ημ(ωt + π/2 + φο) α = -αmax ημ(ωt + φο) ή α = αmax ημ(ωt + π + φο) Αν για t = 0 , x = d τότε : d= Α ημ(ω.0+ φο ) δηλαδή ημ φο = d/A
Η γωνία φο ονομάζεται αρχική φάση και 0 ≤ φο < 2π Η γωνία (φ = ωt + φο) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης. ο ο ο Τότε 0 φ < 2π για κάθε d A υπάρχουν δύο τιμές για την αρχική φάση , η μία για υ > 0 και η π Αν d = +A τότε ημφ = 1 και φ = 2 ενώ άλλη για αν d = - υ A < 0 τό .    ο ο 3π τε ημφ = -1 και φ = 2
φ t φ0 0 Δφ κλίση = = σταθερή Δt Η φάση της ταλάντωσης γραφικά 0 0 φ αρχική φάση : 0 φ < 2π   0 φ = φ + ω . t
φ t 0 Η φάση της ταλάντωσης με αρχική φάση μηδέν 0 φ = ω . t αν φ 0 
φ t φ0 0 Δφ κλίση = = σταθερή Δt φ t 0 0 φ 0  0 φ = 0
Για to = 0 είναι x≠0 και υ ≠ +υο ≠ +ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φο ≠ 0 φο Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Χ>0,υ>0 to=0 φ΄ο Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Χ΄>0,υ΄<0 to=0 Παρατηρείστε ότι για t=0 , τα χ , χ΄ έχουν την ίδια θετική τιμή ενώ τα υ , υ΄ έχουν το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη αλγεβρική τιμή . Δείτε ακόμη : ότι φο <π/2 ενώ φ΄ο >π/2 και φ΄ο + φο = π ημφ΄ο = ημ φο γι’ αυτό χ΄= χ = Α ημ φο αλλά συνφ΄ο = -συν φο γι’ αυτό υ΄= - υ <0 αφού υ = υο συν φο > 0 αφού υ΄ = υο συν φ΄ο < 0
o ο ο ταλάντωση με αρχική φάση ( φ ) : 0 < Για t = 0 , x = d > 0 , φ 2 υ > 0   χ Α 0 t T ο x = A ημ (ω t + φ ) - Α d
T υ 0 t - ωΑ o ο ο ταλάντωση με αρχική φάση ( φ ) : 0 Για t = 0 , x > 0 , < φ υ 0 2 >   ο υ = ω A συν (ω t + φ ) ωΑ υ1
T υ 0 t - ωΑ ο o 0 < φ 2 Για t = 0 , x > 0 , υ > 0   max υ = ω A ωΑ υ1
t α T ω2Α -ω2Α 0 o ο ο ταλάντωση με αρχική φάση ( φ ) : 0 Για t = 0 , x > 0 , < φ υ 0 2 >   2 ο α = - ω A ημ (ω t + φ ) α1
Β.Δυναμική προσέγγιση Αν ένα κινητό μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση όπως αναφέραμε, σε μια τυχαία θέση έχει επιτάχυνση α, ανεξάρτητη από τη φορά ταχύτητας. Η συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα και είναι υπεύθυνη για την επιτάχυνσή του είναι :
2 max ο ο 2 ο F=-mα ημ( ωt+φ ) F=-mω Aημ( ωt+φ ) ⇒ F = - m ω x ανεξάρτητη του φ F=mα   Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση σώματος από το μέσο Ο της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν.
Εξίσωση δύναμης αν φο=0 2 2 στο S.I. μονάδα (F) το 1 N ή F = m ω A . ημ (ω.t + π) Δύναμη : F = - m ω A . ημ(ω.t) ( Η δύναμη είναι συμφασική με την επιτάχυνση δηλαδή η φάση της προηγείται κατά της φάσης της ταχύτητας και κατά από τη φάση της απομάκρυνσης : 2 π φ  F) (α) (χ) (υ) = φ = φ + π = φ + 2 
Εξίσωση δύναμης αν φο=0 2 2 στο S.I. μονάδα (F) το 1 N ή F = m ω A . ημ (ω.t + π) Δύναμη : F = - m ω A . ημ(ω.t) Δt = 4 Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της δύναμης προηγούνται χρονικά κατά των Δt = τιμώ 2 ν της ταχύτητας και κατά των τιμών της απομάκρυνσης  
t 0 T 0 π 2π ημ φ 0 1 0 -1 0 F=-Fmax ημφ 0 -Fmax 0 +max 0 2π φ = . t Τ T 4 T 2 3T 4 π 2 3π 2
2 max F = m ω Α max max F = m α max F = D Α
t 0 T F 0 - mω2Α 0 mω2Α 0 T 4 T 2 3T 4 t F mω2Α T 4 T 2 -mω2Α 0 3T 4 T
Εξίσωση δύναμης αν φο≠ 0 2 ο 2 ο Δύναμη : F = - m ω A . ημ(ω.t + φ ) ή F = m ω A . ημ (ω.t +φ + π) (F) (α) (χ) (υ) Η δύναμη είναι συμφασική με την επιτάχυνση δηλαδή η φάση της προηγείται κατά της φάσης της ταχύτητας και κατά από τη φάση της απομάκρυνσης : 2 π φ = φ = φ + π = φ + 2  
Εξίσωση δύναμης αν φο≠ 0 2 ο 2 ο Δύναμη : F = - m ω A . ημ(ω.t + φ ) ή F = m ω A . ημ (ω.t +φ + π) Δt Αυτό = σημαίνει ότι οι τιμές της δύναμης προηγούνται χρονικά κατά των 4 Δt = τιμών της ταχύτητας και κατά των τιμών της απομάκρυνσης 2  
t F T mω2Α 0 o ο ο ταλάντωση με αρχική φάση ( φ ) : 0 Για t = 0 , x > 0 , < φ υ 0 2 >   2 ο F = - m ω A ημ (ω t + φ ) F1 -mω2Α
t F T mω2Α 0 ο o 0 < φ 2 Για t = 0 , x > 0 , υ > 0   F1 -mω2Α
Όταν το σώμα περνά από το σημείο Ο η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. Για το λόγο αυτό, το σημείο Ο ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Αν συμβολίσουμε με D το γινόμενο mω2 τότε: F = - D x
Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συνθήκη για την παραγωγή απλής αρμονικής ταλάντωσης. Η δύναμη F ονομάζεται δύναμη επαναφοράς (γιατί τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας) και η σταθερά αναλογίας D σταθερά επαναφοράς
Γενική σύνοψη - Παρατηρήσεις Σύμφωνα με όλα τα προηγούμενα καταλήγουμε στον παρακάτω πίνακα: Η απομάκρυνση, η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν στη Θέση Ισορροπίας και μέγιστες (κατά απόλυτη τιμή) στις θέσεις πλάτους. Η ταχύτητα είναι μέγιστη (κατά απόλυτη τιμή) στη Θέση Ισορροπίας και μηδέν στις θέσεις πλάτους. Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο. Θ.I.
T m m T 2 D D π 2π     Είδαμε ότι : D = mω2 D 2π D ω m Τ m     Από τη σχέση D = mω2 προκύπτει
1 D f 2π m  Από τη σχέση προκύπτει : 1 f T  1 f m 2π D  και τελικά έχουμε τη σχέση :
Για να αποδείξουμε ότι ένα σώμα κάνει αρμονική ταλάντωση : 1. Βρίσκουμε αρχικά τη θέση ισορροπίας του και από τον πρώτο νόμο του NEWTON γράφουμε τη συνθήκη που προκύπτει από τις δυνάμεις που ασκούνται στον άξονα της ταλάντωσης . 2. Εκτρέπουμε το σώμα μικρή απόσταση x από τη θέση αυτή. Τη φορά της εκτροπής τη θεωρούμε θετική , δηλαδή x > 0 . 3. Βρίσκουμε τη ΣFx βάζοντας πρόσημα στις δυνάμεις σύμφωνα με τη θετική φορά που ορίσαμε για το x. 4. Αποδεικνύουμε ότι η ΣFx είναι της μορφής : ΣFx = - Dx  ΣFx = - σταθερό . x D = σταθερά εξαρτώμενη από την κατασκευή του συστήματος Μπορούμε να βρούμε την περίοδο αφού γνωρίσουμε το D δηλαδή τη «σταθερά της ταλάντωσης» από τον τύπο : ΠΩΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΚΤΕΛΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ m T 2π D 
Συστήματα που εκτελούν α.α.τ. 1. Σώμα σε οριζόντιο ελατήριο Σώμα Σ, μάζας m δένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς (k) το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο σε κατακόρυφο τοίχο . Το σύστημα ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
Να δείξετε ότι αν εκτραπεί το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο εκτελεί α.α.τ. και να βρεθεί η περίοδος . ΛΥΣΗ
Στη θέση ισορροπίας στον οριζόντιο άξονα δεν ασκείται καμιά δύναμη , αφού το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος . Στον κατακόρυφο άξονα η δύναμη του βάρους και η δύναμη στήριξης αναιρούνται . Αν απομακρυνθεί το σώμα κατά (x) από τη θέση ισορροπίας , τότε το (x) είναι και η επιμήκυνση (Δl) του ελατηρίου . Αν x > 0 τότε στον οριζόντιο άξονα στην τυχαία θέση ΣFx = - Fελ , αφού έχει αρνητική φορά η δύναμη του ελατηρίου . Επομένως ΣFx = - k Δl αλλά Δl = x και η σταθερά του ελατηρίου είναι ανεξάρτητη της θέσης του σώματος άρα D = k Έτσι ΣFx = - D . x Επομένως η κίνηση είναι α.α.τ. με D = k Η περίοδος της απλής αρμονικής ταλάντωσης ( α. α. τ. ) είναι : m T 2π D  και θέτοντας D = k προκύπτει : m T 2π k  N B ί F  Δl = x Θέση φυσικού μήκους ή θέση ισορροπίας ταλάντωσης
Συστήματα που εκτελούν α.α.τ. 2. Σώμα σε κατακόρυφο ελατήριο Σώμα Σ, μάζας m δένεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς (k) το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο σε οριζόντια οροφή . Το σύστημα ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση .
Να δείξετε ότι αν εκτραπεί το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο εκτελεί α.α.τ. και να βρεθεί η περίοδος . ΛΥΣΗ
Στη θέση (1) ΣF = 0  -k Δl1+ m g = 0 (1) Αν απομακρυνθεί το σώμα κατά (x) από τη θέση ισορροπίας , τότε : ( Δl = Δl1 + x ) Αν x > 0 τότε στην τυχαία θέση (2) : ΣF = - Fελ +B  ΣF = -kΔl + mg  ΣF = -k(Δl1+x) + mg = -kΔl1-kx + mg και από τη σχέση (1) , προκύπτει : ΣF = -kx και η σταθερά του ελατηρίου είναι ανεξάρτητη της θέσης του σώματος άρα D = k . Έτσι ΣF = - D . x Επομένως η κίνηση είναι α.α.τ. με D = k Η περίοδος της απλής αρμονικής ταλάντωσης ( α. α. τ. ) είναι : m T 2π D  και θέτοντας D = k προκύπτει : m T 2π k  ελ F Β Δ χ 0 2 1 1ελ F Β 1 Δ Θέση 0 Θέση φυσικού μήκους ελατηρίου Θέση 1 Θέση ισορροπίας ταλάντωσης Τυχαία Θέση
Συστήματα που εκτελούν α.α.τ. 3. Σώμα με ελατήριο σε κεκλιμένο Σώμα Σ , μάζας m δένεται στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου που βρίσκεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο. Το ελατήριο έχει σταθερά (k) και το πάνω άκρο του είναι στερεωμένο (l) σε ακλόνητο σημείο . Το σύστημα Ισορροπεί .
Να δείξετε ότι αν εκτραπεί το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο εκτελεί α.α.τ. και να βρεθεί η περίοδος . ΛΥΣΗ θ
Στη θέση (1) ΣFχ = 0  -k Δl1+ m g ημθ = 0 (1) (Φυσικά ΣFy =0) Αν απομακρυνθεί το σώμα κατά (x) από τη θέση ισορροπίας , τότε : ( Δl = Δl1 + x ) Αν x > 0 τότε στην τυχαία θέση : ΣFχ = - Fελ +Bχ  ΣFχ = -kΔl + mgημθ  ΣFχ = -k(Δl1+x) + mg ημθ= -kΔl1-kx + mgημθ και από τη σχέση (1) , προκύπτει : ΣFχ = - k x και η σταθερά του ελατηρίου είναι ανεξάρτητη της θέσης του σώματος άρα D = k Έτσι ΣFχ = - D . x Επομένως η κίνηση είναι α.α.τ. με D = k Η περίοδος της απλής αρμονικής ταλάντωσης ( α. α. τ. ) είναι : m T 2π D  και θέτοντας D = k προκύπτει : m T 2π k  1 Δ 1ελ F 1 Θέση 0 Θέση φυσικού μήκους ελατηρίου 2 Θέση 1 Θέση ισορροπίας ταλάντωσης Θέση 2 Τυχαία Θέση x Β x Β y Β Δ N N θ θ 0 y Β ελ F χ Β
Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα σώμα μικρό (ώστε η άνωση που δέχεται από τον αέρα να είναι ασήμαντη) και σφαιρικό (ώστε η αντίσταση που δέχεται από τον αέρα κατά την κίνησή του να είναι ασήμαντη και ένα αβαρές νήμα σταθερού μήκους (L) Συστήματα που εκτελούν α.α.τ. 4. Απλό ή μαθηματικό εκκρεμές Εξαιτίας της x-συνιστώσας του βάρους, το σώμα εκτελεί ταλάντωση. Αυτή η συνιστώσα παίζει το ρόλο της δύναμης επαναφοράς και είναι της μορφής ΣF=-Dx όπως αποδεικνύεται παρακάτω. Το εκκρεμές λειτουργεί σαν αρμονικός ταλαντωτής μόνο για μικρές γωνίες εκτροπής φ. Κι αυτό γιατί είναι απαραίτητο το x στο σχήμα να είναι σχεδόν ίσο με το μήκος της πραγματικής τροχιάς που θα διαγράψει το σώμα. Έτσι ισχυριζόμαστε ότι το μήκος του τόξου στο σχήμα είναι ίδιο με το x. Το Τ είναι η τάση του σκοινιού και το L το μήκος του. Τ W Β O Α Το απλό εκκρεμές είναι ένα σώμα δεμένο σε ένα αβαρές νήμα που είναι κρεμασμένο κάπου ψηλά. Αν στο σώμα οι μόνες δυνάμεις είναι το βάρος και η δύναμη από το σκοινί, τότε αυτό θα ισορροπεί ώστε να βρίσκεται στη χαμηλότερη θέση (δηλαδή στη θέση με την ελάχιστη δυναμική ενέργεια). Αυτή η θέση αντιστοιχεί σε κατακόρυφο νήμα (ΘΕΣΗ Ο) . Αν απομακρύνουμε το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας του (ΘΕΣΗ Α) τότε εξαιτίας της μιας συνιστώσας του βάρους αυτό θέλει να επιστρέψει στην αρχική του θέση. Φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση έχει ήδη ταχύτητα και έτσι, αντί να σταματήσει, συνεχίζει περνώντας στην άλλη πλευρά (ΘΕΣΗ Β) . Η κίνηση, αν δεν υπάρχουν τριβές, επαναλαμβάνεται συνεχώς. Αυτή η κίνηση είναι η ταλάντωση του εκκρεμούς και μοιάζει πολύ με την κίνηση μιας παιδικής
Από την απόδειξη του τύπου της περιόδου του εκκρεμούς φαίνεται ότι η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης. Δεν εξαρτάται επίσης από τη μάζα του σφαιριδίου . Εξαρτάται μόνο από το μήκος του σκοινιού και από την επιτάχυνση της βαρύτητας στον τόπο που βρίσκεται το εκκρεμές . x x x x x x ΣF = -B ΣF = - m . g . ημ φ m . g ΣF = - m . g m . g ΣF = - D. . ΣF = - όπου . = D x x L x L L     . T = 2π Θέτουμε όπου D = T = 2π και προκύπτει τελικά : . T = 2π m m g D L m m g L L g
Αν στο εκκρεμές ενεργεί κι άλλη δύναμη F προς τα κάτω (όπως στο σχήμα) πρέπει να ξανακάνουμε όλη την απόδειξη της περιόδου από την αρχή. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που το σώμα του εκκρεμούς είναι μεταλλικό και από κάτω υπάρχει μαγνήτης, τότε θα εμφανιστεί ακόμα μια x- συνιστώσα που θα μεγαλώσει τη δύναμη επαναφοράς. Τότε: x x x x x x x ΣF = -(B +F ) ΣF = - (B+F).ημφ m . g + F ΣF = - (m.g+F) ΣF m . g + F ΣF = - D. όπου D = = - . x x L x L L     . T = 2π Θέτουμε όπου D = T = 2π και προκύπτει τελικά : . . T = 2π . m m g F D L m m g F L m L m g F    Εκκρεμές.swf
Γ. Ενεργειακή προσέγγιση Για να εκτελεί ένα σύστημα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει να έχει ενέργεια , διαφορετική θα παραμένει ακίνητο στη θέση ισορροπίας του .
Το σώμα μάζας (m) στην τυχαία θέση θα έχει ταχύτητα (υ) και κατά συνέπεια το σύστημα θα περικλείει κινητική ενέργεια (Κ) : 2 ο 2 2 2 2 η κινητική ενέργεια θα 1 Κ = mυ και αν φ = 0 2 αφού υ = ω.Α συν ωt 1 Κ = m.ω .Α . συν ωt , όμως είνα D = ι : m.ω 2 1. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2 2 1 Κ = D.Α . συν ωt 0 2 που είναι και αυτή περιοδική αλλά όχι αρμονική συνάρτηση ! Τ με περίοδο : Τ΄ = , συχνότητα 2 f΄ = 2 f και κυκλική συχνότητα ω΄= 2 ω 
Αν δεχτούμε ότι στη θέση Ο το σώμα έχει δυναμική ενέργεια μηδέν, σε κάθε άλλη θέση θα έχει δυναμική ενέργεια που υπολογίζεται ως εξής : 2. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ
Εάν το σώμα βρίσκεται στο σημείο Ο και είναι ακίνητο, για να μετακινηθεί στη θέση Δ, που απέχει απόσταση χ από τη θέση ισορροπίας, πρέπει να του ασκηθεί δύναμη F΄ τέτοια ώστε να εξουδετερώνει τη δύναμη επαναφοράς F. Το μέτρο αυτής της δύναμης, σε κάθε θέση, θα είναι ίσο με το μέτρο της δύναμης επαναφοράς : F΄=Dx
Το έργο της F΄ υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση F΄=f(x) και είναι 2 W Ε ΜΒΑΔΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1 1 W = χ.Dχ W = Dχ 2 2  
Το έργο της F΄ αποθηκεύεται υπό μορφή δυναμικής ενέργειας (U) στο σύστημα : 2 1 U = DX 2 2 ο 2 Αν η αρχική φάση φ = 0 τότε χ = Α ημ 1 επομένως U = ω D Α ημ ωt 0 2 t  περιοδική και όχι αρμονική συνάρτηση , συχνότητα f Τ με περίοδο Τ΄= 2 και κυκλική συχνότητα ΄= 2 f ω΄= 2 ω
Ημηχανική ενέργεια του σώματος σε μια τυχαία θέση θα Ε =U +K και για μια τυχαία στιγ είναι μή( : t ) 3. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Ε = DΑ ημ ωt + DΑ συν ωt 2 2 1 1 Ε = DΑ( ημ ωt +συν ωt ) Ε = DΑ .1 2 2   2 1 Επομένως : Ε DΑ σταθερή 2 ανεξάρτητη του χρόνου ( t )  
Κ U E m T 2π D  t U,K,E Παρατηρείστε ότι οι ενέργειες U είναι μη αρμονικές μ Τ ενώ η μηχανική ενέργεια Ε είν ε περί αι Σ οδο ΤΑΘ , K ΕΡΗ 2 Τ Τ΄ 2  0 2 1 D.A 2 2 1 D.A 4 8  4  3 8  5 8  3 4  7 8 
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt
Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των διαγραμμάτων της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας . 2 2 2 2 2 1 Στα σημεία τομής U =Κ ( 1 ) όμως U +K = DΑ , από ( 1 1 1 U = ) 2 1 1 U + U = DΑ 2U = DΑ από ( 1 DΑ Κ = 2 Α ) 4 2 D 4   2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 DΑ ημ ωt = DΑ συν ωt ημ ωt =1-ημ ωt 2ημ ωt =1 2 2 2 2π π 2π π ημωt = ημ t =ημ ( 2 ) ή ημ t =ημ( π + ) ( 3 ) 2 Τ 4 Τ 4 2π π από τη( 2 ) t =2κπ + και για την πρώτη περίοδο κ=0 Τ 4 2π π άρ Αφού α U =Κ t = Τ 4 t         2 2 2π π ή από τη( 2 ) t =2κπ +π - Τ 4 2π 3π και για την πρώτη περίοδο κ=0 άρα t = Τ 4 Τ = 8 3Τ t = 8 
3 3 2π π ημ t =ημ( π + ) ( 3 ) Τ 4 2π π από τη( 3 ) t =2κπ +π + και για την πρώτη περίοδο κ=0 Τ 4 2π 5π 2π π άρα t = ή από τη( 3 ) t =2κπ +π - ( π + ) Τ 4 Τ 4 2π π 2π t =2κπ - και για την πρώτη περίοδο κ=1 άρ 5Τ t = α t Τ 4 Τ 8   4 4 4 π =2π - 4 2π 7π t = 7Τ t = 8 4 Τ  
1. Η δυναμική ενέργεια μπορεί να εκφραστεί και ως προς την απομάκρυνση της ταλάντωσης , ως εξής : 2 2 1 αν χ= Α U= D A ( μέγιστη ) 2 αν 1 U = D χ 0 , Α χ Α χ=0 U = 0 ( ελάχ ) 2 ιστη       
2. Η κινητική ενέργεια ενέργεια μπορεί να εκφραστεί και ως προς την απομάκρυνση της ταλάντωσης , ως εξής : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Κ = m υ Κ = m ω Α συν φ Κ = DΑ( 1 ημ φ) 2 2 2 1 1 1 1 Κ = DΑ DΑ ημ φ Κ = DΑ Dχ 0 2 2 2 2 αφού -Α χ Α Αν χ= Α Κ=0 ( Ελάχιστη ) 1 ενώ αν χ=0 Κ = DΑ ( Μέγιστη ) 2             
Η Μηχανική ενέργεια προκύπτει ως εξής : 2 2 2 2 1 1 1 Ε = U+K E = D χ + D Α D χ 2 2 2 1 E = D ανεξάρτητη της απομ Α άκρυνσης ( χ ) = ΣΤΑΘΕΡΗ 2   
ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 2 ma max x m 2 ax 1 D A 2 1 = = m Ε = Κ = .υ 2 E U Κ U -Α 0 +Α απομάκρυνση (χ) 2 2   2 2  
Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των διαγραμμάτων της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας . 2 2 2 2 2 1 Στα σημεία τομής U =Κ ( 1 ) όμως U +K = DΑ , από ( 1 1 1 U = ) 2 1 1 U + U = DΑ 2U = DΑ από ( 1 DΑ Κ = 2 Α ) 4 2 D 4   2 2 2 2 1 1 1 2 Dx = DΑ x = Α 2 2 2 A 2 x = 2 παρατηρείστε ότι η κινητική ενέργεια γίνεται ίση με τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε δύο συμμετρικέ Αφού U =Κ U = ς θέσε Ε -U 2 ις ως προς τη θέσ Ε η U =       ισορροπίας και αυτό σε κάθε ταλάντωση ( σε κάθε περίοδο ) συμβαίνει τέσσερις φορές ( σε 4 στιγμές ) , γιατί σε κάθε θέση το σώμα περνάει δύο φορές , τη μία κινούμενο προς τα θετικά και την άλλη προς τα αρνητικά.
3 . Πώς εκφράζονται ως προς την απομάκρυνση η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς ; Ποια είναι τα αντίστοιχα διαγράμματα ; 2 2 2 α = -ω Α ημφ α με διαίρεσηκατά μέλη =- ω α = -ω x x x = A ημφ Η επιτάχυνση επαναφοράς είναιανάλογημε την απομάκρυνση καιέχειπάντα διαφορετικό πρόσημο από αυτήν !   ΑΠΑΝΤΗΣΗ: α) Επιτάχυνση - απομάκρυνση
2 α = - ω x - Α x A    x ( m) Α  2 ω Α  2 m α sec       Α  2 ω Α  0
3 . Πώς εκφράζονται ως προς την απομάκρυνση η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς ; Ποια είναι τα αντίστοιχα διαγράμματα ; 2 2 F = -mω Α ημφ F με διαίρεσηκατά μέλη =- mω F = -D x x x = A ημφ Η δύναμη επαναφοράς είναιανάλογημε την απομάκρυνση καιέχειπάντα διαφορετικό πρόσημο από αυτήν !   ΑΠΑΝΤΗΣΗ : β) Δύναμη - απομάκρυνση
F =-D x - Α x A    x ( m) Α  DA    F N Α  DΑ  0
4 . Πώς εκφράζεται ως προς την απομάκρυνση η ταχύτητα της α.α.τ. ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 υ υ = ω Α συν φ συν φ = ω Α x = A ημφ ημφ = Α ω Α Α ω Α ( 1) x ( 2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ημ φ+συν φ=1 από τη ( 2 ) και την ( 1 ) x υ προκύπτει : 1 και πολλαπλασιάζοντας επί κάνουμε απαλοιφή παρονομ     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ω Α ω ω Α ω ω Α Α ω αστών και προκύπτει : x + υ υ - x υ ( - x ) υ - x         ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
Η σχέση ταχύτητας και απομάκρυνσης προκύπτει και με την αρχή διατήρησης της ενέργειας στην α.α.τ. ως εξής : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Κ +U =E m υ + Dχ = DΑ 2 2 2 1 1 1 m υ m ω x m ω Α 2 2 2 υ ω x ω Α υ = ω υ = ω ( A - ω A - x ) υ= ω A - x x             
5 . Πώς εκφράζεται ως προς την ταχύτητα η απομάκρυνση της α.α.τ. ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 υ υ = ω Α συν φ συν φ = ω Α x = A ημφ ημφ = Α ω Α Α ω Α ( 1) x ( 2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ημ φ+συν φ=1 από τη ( 2 ) και την ( 1 ) x υ προκύπτει : 1 και πολλαπλασιάζοντας επί κάνουμε απαλοιφή παρονομ     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ω Α ω Α Α ω ω ω ω Α αστών και προκύπτει : x + υ - υ - υ υ x x ή x - ω         ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
6 . Πώς εκφράζεται ως προς την ταχύτητα η επιτάχυνση της α.α.τ. ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2; 2 2 υ υ = ω Α συν φ συν φ = ω Α α = -ω A ημφ ημφ = - ω Α ω Α ω Α ω Α ω Α ( 1) α ( 2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ημ φ+συν φ=1 από τη ( 2 ) και την ( 1 ) α υ α υ προκύπτει : ( - ) 1 1 και πολλαπλασιάζοντας επί        4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 max ω Α ω ω Α ω Α ω ω Α ω ω κάνουμεαπαλοιφή παρονομαστών και προκύπτει : α + α ( υ ) α υ υ α υ υ             ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
7 . Πώς εκφράζεται ως προς την ταχύτητα η δύναμη της α.α.τ. ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2; 2 2 υ υ = ω Α συν φ συν φ = ω Α F = -mω A ημφ ημφ = - mω Α mω Α ω Α m ω Α ω Α ( 1) F ( 2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ημ φ+συν φ=1 από τη ( 2 ) και την ( 1 ) F υ F υ προκύπτει : ( - ) 1 1 και πολλαπλασιάζοντας        2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m 2 2 ax m ω Α m ω m ω Α m ω m ω m ω ω Α Α ω επί κάνουμεαπαλοιφή παρονομαστών και προκύπτει : F + F ( υ ) F m υ υ υ F υ             ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
1 von 137

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt

••
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Bildung

Φυσική Γ' Λυκείου

Μαυρουδης Μακης
Μαυρουδης ΜακηςPhysicist um 2 gym stavroupolis Thessaloniki

Recomendados

Κυκλική Κίνηση. Θεωρία & Παραδείγματα. von
Κυκλική Κίνηση. Θεωρία & Παραδείγματα.Κυκλική Κίνηση. Θεωρία & Παραδείγματα.
Κυκλική Κίνηση. Θεωρία & Παραδείγματα.HOME
59.8K views•24 Folien
Προαπαιτούμενες γνώσεις για τη Φυσική της Γ΄Λυκείου von
Προαπαιτούμενες γνώσεις για τη Φυσική της Γ΄ΛυκείουΠροαπαιτούμενες γνώσεις για τη Φυσική της Γ΄Λυκείου
Προαπαιτούμενες γνώσεις για τη Φυσική της Γ΄Λυκείουfotisalexoglou
3.7K views•18 Folien
Μηχανική Στερεού Σώματος von
Μηχανική Στερεού ΣώματοςΜηχανική Στερεού Σώματος
Μηχανική Στερεού ΣώματοςGiannis Stathis
9.2K views•56 Folien
φυσικη γ κατSxoliko biblio von
φυσικη γ κατSxoliko biblioφυσικη γ κατSxoliko biblio
φυσικη γ κατSxoliko biblioΓΙΑΝΝΗΣ ΜΠΑΡΜΠΑΣ
637 views•265 Folien
Ταλαντώσεις von
ΤαλαντώσειςΤαλαντώσεις
ΤαλαντώσειςVasileios Garganourakis
3.9K views•13 Folien
ομαλή κυκλική κίνηση von
ομαλή κυκλική κίνησηομαλή κυκλική κίνηση
ομαλή κυκλική κίνησηΓιάννης Παπαδάκης
1.2K views•12 Folien

Más contenido relacionado

Similar a ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt

ΘΕΩΡΙΑ-Μηχανική-Στερεού-Σώματος.pdf von
ΘΕΩΡΙΑ-Μηχανική-Στερεού-Σώματος.pdfΘΕΩΡΙΑ-Μηχανική-Στερεού-Σώματος.pdf
ΘΕΩΡΙΑ-Μηχανική-Στερεού-Σώματος.pdfΜαυρουδης Μακης
112 views•59 Folien
Taladosis ekfe ppt von
Taladosis ekfe pptTaladosis ekfe ppt
Taladosis ekfe pptMelina Iordanidou
479 views•12 Folien
ταλαντωσεισ von
ταλαντωσεισταλαντωσεισ
ταλαντωσεισtvagelis96
15K views•23 Folien
Physics von
PhysicsPhysics
PhysicsPanos Apostolopoulos
1.9K views•9 Folien
Επανάληψη στην ΑΑΤ SOS.pdf von
Επανάληψη στην ΑΑΤ SOS.pdfΕπανάληψη στην ΑΑΤ SOS.pdf
Επανάληψη στην ΑΑΤ SOS.pdfΜαυρουδης Μακης
34 views•13 Folien
101_200_-νεο-απαντήσεις_σωστού-λάθους.pdf von
101_200_-νεο-απαντήσεις_σωστού-λάθους.pdf101_200_-νεο-απαντήσεις_σωστού-λάθους.pdf
101_200_-νεο-απαντήσεις_σωστού-λάθους.pdfΜαυρουδης Μακης
2 views•7 Folien

Similar a ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt(20)

ΘΕΩΡΙΑ-Μηχανική-Στερεού-Σώματος.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΘΕΩΡΙΑ-Μηχανική-Στερεού-Σώματος.pdfΘΕΩΡΙΑ-Μηχανική-Στερεού-Σώματος.pdf
ΘΕΩΡΙΑ-Μηχανική-Στερεού-Σώματος.pdf
Μαυρουδης Μακης•112 views
Taladosis ekfe ppt von Melina Iordanidou
Taladosis ekfe pptTaladosis ekfe ppt
Taladosis ekfe ppt
Melina Iordanidou•479 views
ταλαντωσεισ von tvagelis96
ταλαντωσεισταλαντωσεισ
ταλαντωσεισ
tvagelis96•15K views
Physics von Panos Apostolopoulos
PhysicsPhysics
Physics
Panos Apostolopoulos•1.9K views
Επανάληψη στην ΑΑΤ SOS.pdf von Μαυρουδης Μακης
Επανάληψη στην ΑΑΤ SOS.pdfΕπανάληψη στην ΑΑΤ SOS.pdf
Επανάληψη στην ΑΑΤ SOS.pdf
Μαυρουδης Μακης•34 views
101_200_-νεο-απαντήσεις_σωστού-λάθους.pdf von Μαυρουδης Μακης
101_200_-νεο-απαντήσεις_σωστού-λάθους.pdf101_200_-νεο-απαντήσεις_σωστού-λάθους.pdf
101_200_-νεο-απαντήσεις_σωστού-λάθους.pdf
Μαυρουδης Μακης•2 views
Α Λυκείου: Θέση - Χρόνος von Giorgos Katsaros
Α Λυκείου: Θέση - ΧρόνοςΑ Λυκείου: Θέση - Χρόνος
Α Λυκείου: Θέση - Χρόνος
Giorgos Katsaros•326 views
ap_deiktes_eparkeias_epitychias_fysiki_c_lyk_kat.pdf von XristosPapastylianou
ap_deiktes_eparkeias_epitychias_fysiki_c_lyk_kat.pdfap_deiktes_eparkeias_epitychias_fysiki_c_lyk_kat.pdf
ap_deiktes_eparkeias_epitychias_fysiki_c_lyk_kat.pdf
XristosPapastylianou•10 views
Τυπολόγιο-Ορμής-Κρούσης.pdf von Μαυρουδης Μακης
Τυπολόγιο-Ορμής-Κρούσης.pdfΤυπολόγιο-Ορμής-Κρούσης.pdf
Τυπολόγιο-Ορμής-Κρούσης.pdf
Μαυρουδης Μακης•15 views
01α_Γ' Λυκ Φυσ Προσ_Κενά Μηχανική von Dimitris Kontoudakis
01α_Γ' Λυκ Φυσ Προσ_Κενά Μηχανική01α_Γ' Λυκ Φυσ Προσ_Κενά Μηχανική
01α_Γ' Λυκ Φυσ Προσ_Κενά Μηχανική
Dimitris Kontoudakis•1.2K views
Ενότητα 1.pdf von George Chalatzoglidis
Ενότητα 1.pdfΕνότητα 1.pdf
Ενότητα 1.pdf
George Chalatzoglidis•182 views
η φυσικη τάξη των πραγμάτων( ενοψει εξετασεων ) von Μαυρουδης Μακης
η φυσικη τάξη των πραγμάτων( ενοψει εξετασεων )η φυσικη τάξη των πραγμάτων( ενοψει εξετασεων )
η φυσικη τάξη των πραγμάτων( ενοψει εξετασεων )
Μαυρουδης Μακης•769 views
Kampylogrammes kiniseis von Μακης Αθανασοπουλος
Kampylogrammes kiniseisKampylogrammes kiniseis
Kampylogrammes kiniseis
Μακης Αθανασοπουλος•163 views
Ηλεκτρομαγνητισμός von Eyurt
ΗλεκτρομαγνητισμόςΗλεκτρομαγνητισμός
Ηλεκτρομαγνητισμός
Eyurt•996 views
Γ' Γυμνασίου Ταλαντώσεις von HIOTELIS IOANNIS
Γ' Γυμνασίου ΤαλαντώσειςΓ' Γυμνασίου Ταλαντώσεις
Γ' Γυμνασίου Ταλαντώσεις
HIOTELIS IOANNIS•404 views
Φυσική Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι τον θνσκ von Billonious
Φυσική Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι τον θνσκΦυσική Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι τον θνσκ
Φυσική Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι τον θνσκ
Billonious•70 views
Γιατί μαθαίνουμε φυσική von ΦΩΤΕΙΝΗ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ
Γιατί μαθαίνουμε φυσικήΓιατί μαθαίνουμε φυσική
Γιατί μαθαίνουμε φυσική
ΦΩΤΕΙΝΗ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ•1.6K views
12 Λυμένες Ασκήσεις στην Ορμή και τις Κρούσεις από το Διονύση Μάργαρη von HOME
12 Λυμένες Ασκήσεις στην Ορμή και τις Κρούσεις από το Διονύση Μάργαρη12 Λυμένες Ασκήσεις στην Ορμή και τις Κρούσεις από το Διονύση Μάργαρη
12 Λυμένες Ασκήσεις στην Ορμή και τις Κρούσεις από το Διονύση Μάργαρη
HOME•55.4K views
101_200_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf von Μαυρουδης Μακης
101_200_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf101_200_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf
101_200_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf
Μαυρουδης Μακης•3 views
κυκλικη κινηση-θεωρια von Vasilis Zarifis
κυκλικη κινηση-θεωριακυκλικη κινηση-θεωρια
κυκλικη κινηση-θεωρια
Vasilis Zarifis•547 views

Más de Μαυρουδης Μακης

ΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (1).pptx von
ΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (1).pptxΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (1).pptx
ΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (1).pptxΜαυρουδης Μακης
14 views•10 Folien
ΒΙΒΛΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdf von
ΒΙΒΛΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdfΒΙΒΛΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdf
ΒΙΒΛΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdfΜαυρουδης Μακης
59 views•76 Folien
Α-Γυμνασίου-Φυσική-Φύλλο-Εργασίας-3.pdf von
Α-Γυμνασίου-Φυσική-Φύλλο-Εργασίας-3.pdfΑ-Γυμνασίου-Φυσική-Φύλλο-Εργασίας-3.pdf
Α-Γυμνασίου-Φυσική-Φύλλο-Εργασίας-3.pdfΜαυρουδης Μακης
15 views•11 Folien
TheoryA.pdf von
TheoryA.pdfTheoryA.pdf
TheoryA.pdfΜαυρουδης Μακης
7 views•12 Folien
1ο Φύλλο Αξιολόγησης. Φασουλόπουλος.pdf von
1ο Φύλλο Αξιολόγησης. Φασουλόπουλος.pdf1ο Φύλλο Αξιολόγησης. Φασουλόπουλος.pdf
1ο Φύλλο Αξιολόγησης. Φασουλόπουλος.pdfΜαυρουδης Μακης
19 views•3 Folien
Ασκήσεις μέτρησης μήκους - χρόνου.docx von
Ασκήσεις μέτρησης μήκους - χρόνου.docxΑσκήσεις μέτρησης μήκους - χρόνου.docx
Ασκήσεις μέτρησης μήκους - χρόνου.docxΜαυρουδης Μακης
16 views•3 Folien

Más de Μαυρουδης Μακης(20)

ΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (1).pptx von Μαυρουδης Μακης
ΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (1).pptxΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (1).pptx
ΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (1).pptx
Μαυρουδης Μακης•14 views
ΒΙΒΛΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΒΙΒΛΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdfΒΙΒΛΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdf
ΒΙΒΛΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.pdf
Μαυρουδης Μακης•59 views
Α-Γυμνασίου-Φυσική-Φύλλο-Εργασίας-3.pdf von Μαυρουδης Μακης
Α-Γυμνασίου-Φυσική-Φύλλο-Εργασίας-3.pdfΑ-Γυμνασίου-Φυσική-Φύλλο-Εργασίας-3.pdf
Α-Γυμνασίου-Φυσική-Φύλλο-Εργασίας-3.pdf
Μαυρουδης Μακης•15 views
TheoryA.pdf von Μαυρουδης Μακης
TheoryA.pdfTheoryA.pdf
TheoryA.pdf
Μαυρουδης Μακης•7 views
1ο Φύλλο Αξιολόγησης. Φασουλόπουλος.pdf von Μαυρουδης Μακης
1ο Φύλλο Αξιολόγησης. Φασουλόπουλος.pdf1ο Φύλλο Αξιολόγησης. Φασουλόπουλος.pdf
1ο Φύλλο Αξιολόγησης. Φασουλόπουλος.pdf
Μαυρουδης Μακης•19 views
Ασκήσεις μέτρησης μήκους - χρόνου.docx von Μαυρουδης Μακης
Ασκήσεις μέτρησης μήκους - χρόνου.docxΑσκήσεις μέτρησης μήκους - χρόνου.docx
Ασκήσεις μέτρησης μήκους - χρόνου.docx
Μαυρουδης Μακης•16 views
γ1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ.pdf von Μαυρουδης Μακης
γ1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ.pdfγ1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ.pdf
γ1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ.pdf
Μαυρουδης Μακης•16 views
ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2023-2024.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2023-2024.pdfΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2023-2024.pdf
ΦΥΣΙΚΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2023-2024.pdf
Μαυρουδης Μακης•9 views
ΦΩΣ ΚΑΙ ΟΡΑΣΗ.pptx von Μαυρουδης Μακης
ΦΩΣ ΚΑΙ ΟΡΑΣΗ.pptxΦΩΣ ΚΑΙ ΟΡΑΣΗ.pptx
ΦΩΣ ΚΑΙ ΟΡΑΣΗ.pptx
Μαυρουδης Μακης•3 views
ΦΑΙΝOΜΕΝΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕ ΥΛΗ UPDATED.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΦΑΙΝOΜΕΝΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕ ΥΛΗ UPDATED.pdfΦΑΙΝOΜΕΝΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕ ΥΛΗ UPDATED.pdf
ΦΑΙΝOΜΕΝΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕ ΥΛΗ UPDATED.pdf
Μαυρουδης Μακης•4 views
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 9654-10108.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 9654-10108.pdfΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 9654-10108.pdf
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 9654-10108.pdf
Μαυρουδης Μακης•44 views
ΦΥΣΙΚΗ+ΜΑΥΡΑΚΗΣ+-+ΜΑΥΡΟΥΔΗΣ+ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΦΥΣΙΚΗ+ΜΑΥΡΑΚΗΣ+-+ΜΑΥΡΟΥΔΗΣ+ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ.pdfΦΥΣΙΚΗ+ΜΑΥΡΑΚΗΣ+-+ΜΑΥΡΟΥΔΗΣ+ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ.pdf
ΦΥΣΙΚΗ+ΜΑΥΡΑΚΗΣ+-+ΜΑΥΡΟΥΔΗΣ+ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ.pdf
Μαυρουδης Μακης•8 views
ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.pdfΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.pdf
ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.pdf
Μαυρουδης Μακης•5 views
ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ.pdfΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ.pdf
ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ.pdf
Μαυρουδης Μακης•7 views
ΦΥΛΛΟ+ΕΡΓΑΣΙΑΣ+ΘΕΣΗ+ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ+ΑΠΟΣΤΑΣΗ+ΜΕΣΗ+ΤΑΧΥΤΗΤΑ.pdf von Μαυρουδης Μακης
ΦΥΛΛΟ+ΕΡΓΑΣΙΑΣ+ΘΕΣΗ+ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ+ΑΠΟΣΤΑΣΗ+ΜΕΣΗ+ΤΑΧΥΤΗΤΑ.pdfΦΥΛΛΟ+ΕΡΓΑΣΙΑΣ+ΘΕΣΗ+ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ+ΑΠΟΣΤΑΣΗ+ΜΕΣΗ+ΤΑΧΥΤΗΤΑ.pdf
ΦΥΛΛΟ+ΕΡΓΑΣΙΑΣ+ΘΕΣΗ+ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ+ΑΠΟΣΤΑΣΗ+ΜΕΣΗ+ΤΑΧΥΤΗΤΑ.pdf
Μαυρουδης Μακης•48 views
401_500_-νεο-ερωτησεις_σωστου-λάθους.pdf von Μαυρουδης Μακης
401_500_-νεο-ερωτησεις_σωστου-λάθους.pdf401_500_-νεο-ερωτησεις_σωστου-λάθους.pdf
401_500_-νεο-ερωτησεις_σωστου-λάθους.pdf
Μαυρουδης Μακης•5 views
601_700_-νεο-απαντήσεις-_σωστού-λάθους.pdf von Μαυρουδης Μακης
601_700_-νεο-απαντήσεις-_σωστού-λάθους.pdf601_700_-νεο-απαντήσεις-_σωστού-λάθους.pdf
601_700_-νεο-απαντήσεις-_σωστού-λάθους.pdf
Μαυρουδης Μακης•3 views
301_400_-νεο-απαντήσεις_ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf von Μαυρουδης Μακης
301_400_-νεο-απαντήσεις_ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf301_400_-νεο-απαντήσεις_ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf
301_400_-νεο-απαντήσεις_ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf
Μαυρουδης Μακης•2 views
501_600_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf von Μαυρουδης Μακης
501_600_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf501_600_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf
501_600_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf
Μαυρουδης Μακης•3 views
601_700_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf von Μαυρουδης Μακης
601_700_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf601_700_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf
601_700_-νεο-ερωτησεις_σωστού-λάθους.pdf
Μαυρουδης Μακης•3 views

Último

ΕΞΕ - 136798 - 2023 - Αίτηση Δήλωση ΓΕΛ 2024 - Έκδοση 1.pdf von
ΕΞΕ - 136798 - 2023 - Αίτηση Δήλωση ΓΕΛ 2024 - Έκδοση 1.pdfΕΞΕ - 136798 - 2023 - Αίτηση Δήλωση ΓΕΛ 2024 - Έκδοση 1.pdf
ΕΞΕ - 136798 - 2023 - Αίτηση Δήλωση ΓΕΛ 2024 - Έκδοση 1.pdf2lykkomo
389 views•15 Folien
Veroia in Autumn.pdf von
Veroia in Autumn.pdfVeroia in Autumn.pdf
Veroia in Autumn.pdfdpavlidou
9 views•35 Folien
Επιχειρηματολογία von
ΕπιχειρηματολογίαΕπιχειρηματολογία
ΕπιχειρηματολογίαDimitra Mylonaki
37 views•26 Folien
Σημειώσεις 4.1.1 και 4.1.2.docx von
Σημειώσεις 4.1.1 και 4.1.2.docxΣημειώσεις 4.1.1 και 4.1.2.docx
Σημειώσεις 4.1.1 και 4.1.2.docxRoula Michalopoulou
12 views•3 Folien
Έγκυρη ενημέρωση von
Έγκυρη ενημέρωσηΈγκυρη ενημέρωση
Έγκυρη ενημέρωσηssuser43d27b
18 views•10 Folien
ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΡΙΣΕΩΝ-ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣ von
ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΡΙΣΕΩΝ-ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΡΙΣΕΩΝ-ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣ
ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΡΙΣΕΩΝ-ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣssuser43d27b
32 views•22 Folien

Último(20)

ΕΞΕ - 136798 - 2023 - Αίτηση Δήλωση ΓΕΛ 2024 - Έκδοση 1.pdf von 2lykkomo
ΕΞΕ - 136798 - 2023 - Αίτηση Δήλωση ΓΕΛ 2024 - Έκδοση 1.pdfΕΞΕ - 136798 - 2023 - Αίτηση Δήλωση ΓΕΛ 2024 - Έκδοση 1.pdf
ΕΞΕ - 136798 - 2023 - Αίτηση Δήλωση ΓΕΛ 2024 - Έκδοση 1.pdf
2lykkomo•389 views
Veroia in Autumn.pdf von dpavlidou
Veroia in Autumn.pdfVeroia in Autumn.pdf
Veroia in Autumn.pdf
dpavlidou•9 views
Επιχειρηματολογία von Dimitra Mylonaki
ΕπιχειρηματολογίαΕπιχειρηματολογία
Επιχειρηματολογία
Dimitra Mylonaki•37 views
Σημειώσεις 4.1.1 και 4.1.2.docx von Roula Michalopoulou
Σημειώσεις 4.1.1 και 4.1.2.docxΣημειώσεις 4.1.1 και 4.1.2.docx
Σημειώσεις 4.1.1 και 4.1.2.docx
Roula Michalopoulou•12 views
Έγκυρη ενημέρωση von ssuser43d27b
Έγκυρη ενημέρωσηΈγκυρη ενημέρωση
Έγκυρη ενημέρωση
ssuser43d27b•18 views
ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΡΙΣΕΩΝ-ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣ von ssuser43d27b
ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΡΙΣΕΩΝ-ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΡΙΣΕΩΝ-ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣ
ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΡΙΣΕΩΝ-ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΖΩΗΣ
ssuser43d27b•32 views
Ο ΑΪ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΧΩΡΕΣ.pptx von ssuser86b52c
Ο ΑΪ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΧΩΡΕΣ.pptxΟ ΑΪ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΧΩΡΕΣ.pptx
Ο ΑΪ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΧΩΡΕΣ.pptx
ssuser86b52c•5 views
Από τον ηλεκτρισμό στον μαγνητισμό von Dimitra Mylonaki
Από τον ηλεκτρισμό στον μαγνητισμόΑπό τον ηλεκτρισμό στον μαγνητισμό
Από τον ηλεκτρισμό στον μαγνητισμό
Dimitra Mylonaki•13 views
ζωα υπο εξαφάνιση.pptx von Stella Mpezantakou
ζωα υπο εξαφάνιση.pptxζωα υπο εξαφάνιση.pptx
ζωα υπο εξαφάνιση.pptx
Stella Mpezantakou•65 views
ΠΡΩΤΕΣ ΒΟΗΘΕΙΕΣ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ.pdf von Theresa Giakoumatou
ΠΡΩΤΕΣ ΒΟΗΘΕΙΕΣ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ.pdfΠΡΩΤΕΣ ΒΟΗΘΕΙΕΣ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ.pdf
ΠΡΩΤΕΣ ΒΟΗΘΕΙΕΣ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ.pdf
Theresa Giakoumatou•25 views
Η δική μου Παναγιά von hrisgiou
Η δική μου ΠαναγιάΗ δική μου Παναγιά
Η δική μου Παναγιά
hrisgiou •31 views
17 Νοέμβρη 2023 von Λυκειο Κολυμβαρίου
17 Νοέμβρη 202317 Νοέμβρη 2023
17 Νοέμβρη 2023
Λυκειο Κολυμβαρίου•8 views
Τριάντα εννιά καφενεία και ένα κουρείο von Dimitra Mylonaki
Τριάντα εννιά καφενεία και ένα κουρείοΤριάντα εννιά καφενεία και ένα κουρείο
Τριάντα εννιά καφενεία και ένα κουρείο
Dimitra Mylonaki•11 views
Η σύνθεση Χριστιανισμού και Ελληνισμού αποτυπώνεται στην τέχνη.pptx von Δήμητρα Τζίνου
Η σύνθεση Χριστιανισμού και Ελληνισμού αποτυπώνεται στην τέχνη.pptxΗ σύνθεση Χριστιανισμού και Ελληνισμού αποτυπώνεται στην τέχνη.pptx
Η σύνθεση Χριστιανισμού και Ελληνισμού αποτυπώνεται στην τέχνη.pptx
Δήμητρα Τζίνου•57 views
tmimata2711112.pdf von ckyriakou
tmimata2711112.pdftmimata2711112.pdf
tmimata2711112.pdf
ckyriakou•10 views
Politexneio_2023.pptx von 36dimperist
Politexneio_2023.pptxPolitexneio_2023.pptx
Politexneio_2023.pptx
36dimperist•12 views
ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2 (1).pptx von ssuser86b52c
ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2 (1).pptxΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2 (1).pptx
ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2 (1).pptx
ssuser86b52c•5 views
τεχ22 23.pptx von Ilias Pappas
τεχ22 23.pptxτεχ22 23.pptx
τεχ22 23.pptx
Ilias Pappas•16 views
Γ.2.1.pptx von sidiropo
Γ.2.1.pptxΓ.2.1.pptx
Γ.2.1.pptx
sidiropo•5 views
ΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΑ 4Η (1) (2).pdf von Chrisa Kokorikou
ΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΑ 4Η (1) (2).pdfΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΑ 4Η (1) (2).pdf
ΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΑ 4Η (1) (2).pdf
Chrisa Kokorikou•25 views

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΠΛΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ppt.ppt

  • 1. ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ - ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ένα σώμα δεμένο σε ελατήριο αν δεν είναι ακίνητο στη θέση ισορροπίας εκτελεί περιοδική κίνηση , παλινδρομικά γύρω από τη θέση ισορροπίας του που λέγεται ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ . Υπάρχουν κι άλλα συστήματα που εκτελούν τέτοια κίνηση , το απλούστερο όμως είναι το σύστημα ελατηρίου (k) – σώματος (m) που λέγεται αρμονικός ταλαντωτής .
  • 4. φ
  • 5. 1. Όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση θα υπάρχει ένα σημείο (σημείο Ο στο σχήμα) γύρω από το οποίο θα παλινδρομεί πάνω σε ένα ευθύγραμμο τμήμα (ΡΡ΄) του οποίου τα άκρα (Ρ και Ρ΄) θα ισαπέχουν από το (Ο) . F ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ α.α.τ.
  • 6. 2. Στο σημείο (Ο) που λέγεται κέντρο ταλάντωσης ή θέση ισορροπίας η συνισταμένη των δυνάμεων , στον άξονα της κίνησης , και η επιτάχυνση του σώματος που λέγονται αντίστοιχα δύναμη επαναφοράς και επιτάχυνση επαναφοράς έχουν μηδενική τιμή ενώ η ταχύτητα του σώματος είναι μέγιστη (ή με θετική φορά ή με αρνητική φορά , ανάλογα με τον τρόπο που διέρχεται το σώμα από το σημείο Ο). F
  • 7. 3. Η απόσταση από το σημείο (Ο) (χ) λέγεται απομάκρυνση της ταλάντωσης και παίρνει ή θετική (ημιάξονας ΟΡ) ή αρνητική τιμή (ημιάξονας ΟΡ΄) . Η μέγιστη τιμή της απομάκρυνσης λέγεται πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης (Α) και από σύμβαση έχει μόνο θετική τιμή (χmax = Α >0 ) όταν το σώμα είναι στις ακραίες θέσεις (Ρ ή Ρ΄) όπου υ=0. F
  • 8. 4. Η επιτάχυνση επαναφοράς και η δύναμη επαναφοράς έχουν πάντα διαφορετικό πρόσημο από την απομάκρυνση και είναι ανάλογες με την απομάκρυνση . Στις ακραίες θέσεις παίρνουν τη μέγιστή τους τιμή . F Λ Κ χ>0 , α<0 F<0
  • 9. 5. Θέσεις που ισαπέχουν από τη θέση ισορροπίας έχουν την ίδια τιμή και ταχύτητας σώματος και επιτάχυνσης και δύναμης επαναφοράς και όσο πιο κοντά στις ακραίες θέσεις βρίσκονται τόσο πιο μικρή είναι η ταχύτητα και πιο μεγάλες η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς ενώ όσο πιο κοντά προς το κέντρο ταλάντωσης βρίσκονται τόσο πιο μεγάλη είναι η ταχύτητα και πιο μικρές η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς . F Λ Κ
  • 10. 6. Οι χρόνοι που αντιστοιχούν σε μεταβάσεις μεταξύ κατάλληλων σημείων της τροχιάς είναι ίσοι . Αν ΟΚ = ΟΛ τότε : ΔtΛΟ= ΔtΟΚ , ΔtΛΟ= ΔtΟΛ , ΔtΚΟ= ΔtΟΚ , ΔtΚΡ΄= ΔtΡΛ κ.λ.π. 7. Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι κίνηση ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ και ισχύουν ΙΔIΑΙΤΕΡΕΣ ΧΡΟΝΟΕΞΙΣΩΣΕΙΣ που θα μελετήσουμε στη συνέχεια ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ . F Λ Κ
  • 11. 8. Σε κάθε θέση (πλην των ακραίων όπου υ = 0) το σώμα περνά με το ίδιο μέτρο ταχύτητας δύο φορές , τη μία κινούμενο με θετική φορά και την άλλη με αρνητική φορά . Αν κινείται προς το κέντρο των ταλαντώσεων η ταχύτητα αυξάνεται (ταχύτητα ομόρροπη με την επιτάχυνση και τη δύναμη επαναφοράς) ενώ αν κινείται προς τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης η ταχύτητα μειώνεται (ταχύτητα αντίρροπη με την επιτάχυνση και τη δύναμη επαναφοράς) . ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.Α.Τ. ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ . F Λ Κ
  • 13. Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που εξελίσσονται και επαναλαμβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήματα.
  • 22. Τέτοια φαινόμενα είναι η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο, η κίνηση του εκκρεμούς, το φως που εκπέμπει το φλας ή ο φάρος (ρυθμικές αναλαμπές) κ.λ.π.
  • 23. Κάθε περιοδικό φαινόμενο χαρακτηρίζεται από την περίοδο του (Τ), το χρόνο δηλαδή που απαιτείται για να ολοκληρωθεί.
  • 24. Αν σε χρόνο Δt γίνονται N επαναλήψεις του φαινομένου, η περίοδος ( Τ ) είναι ίση με το πηλίκο : Δt T = N
  • 25. Το αντίστροφο πηλίκο : του αριθμού των επαναλήψεων (Ν) του φαινομένου προς τον αντίστοιχο χρόνο (Δt) λέγεται συχνότητα του περιοδικού φαινομένου N f = Δt
  • 26. Η συχνότητα εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων του περιοδικού φαινομένου στη μονάδα του χρόνου .
  • 27. Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο S.I. είναι το 1s και της συχνότητας το 1s-1 ή κύκλος/s ή 1 Ηz με πολλαπλάσια : 1KHz = 103 Hz , 1MHz = 106Hz και 1GHZ = 109 Hz
  • 28. Από τον ορισμό τους, τα μεγέθη περίοδος και συχνότητα είναι αντίστροφα, συνδέονται δηλαδή με τη σχέση : 1 T = f
  • 29. Ένα τρίτο μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα, χωρίς άμεση φυσική σημασία, είναι η γωνιακή συχνότητα ή κυκλική συχνότητα (ω) για την οποία ισχύει : Μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας είναι το 1rad/s. 2π ω = ή ω = 2π f Τ
  • 30. Η απλούστερη περιοδική κίνηση είναι : Η ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Το υλικό σημείο κινείται σε περιφέρεια κύκλου και σε ίσους χρόνους , όσο μικροί κι αν είναι , διανύει ίσα τόξα της κυκλικής του τροχιάς .
  • 31. Παρατήρηση : Στην κυκλική κίνηση ορίζεται το διανυσματικό μέγεθος στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα με μέτρο : dφ ω = dt ή για την ομαλή κυκλική κίνηση επειδή είναι σταθερή συμπίπτει με τη μέση τιμή της δηλαδή :
  • 32. Δφ ω = Δt αν Δt = T , τότε Δφ = 2π άρα : 2 ω = ή ω = 2π f  
  • 33. Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας που έχει ως κυκλική κίνηση είναι ίσο με τη γωνιακή συχνότητα που έχει ως περιοδική κίνηση.
  • 34. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας στην κυκλική κίνηση. ω r dφ , dt m r
  • 35. Στην κυκλική κίνηση ορίζεται το διανυσματικό μέγεθος γραμμική ταχύτητα με μέτρο : dS υ = dt Εκφράζει το μήκος του τόξου που διανύει το κινητό στη μονάδα του χρόνου .
  • 36. Το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας στην κυκλική κίνηση. r m υ ds , dt r m ο υ
  • 37. ο Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας είναι σταθερό (υ = υ ) και συμπίπτει με τη μέση τιμή του : ΔS υ = Δt
  • 38. αν Δt = T τότε ΔS = 2π R άρα 2π R υ = ή υ = 2πf R Τ ή υ = ω . R
  • 39. Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας είναι σταθερό αλλά μεταβάλλεται η κατεύθυνσή της . Η ομαλή κυκλική κίνηση είναι , λοιπόν , μεταβαλλόμενη κίνηση και έχει επιτάχυνση . Αυτή ενεργεί κάθετα στη γραμμική ταχύτητα , ακτινικά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και λέγεται κεντρομόλος επιτάχυνση : 2 2 κ κ υ α = ή α = ω R R
  • 40. ο Στην ομαλή κυκλική κίνηση υπάρχει επιτάχυνση , θα υπαρχει επομένως και δύναμη με την ίδια προς την επιτάχυνση κατεύθυνση , σύμφωνα με το 2 νόμο του Newton . 2 2 κ κ κ κ υ F = m α ή F = m ή F = m ω R R συνισταμένη όλων των δυνάμεων Η δύναμη αυτή , δεν είναι μια νέα δύναμη αλλά αποτελεί τη που ενεργούν στο σώμα όταν κάνει κίνηση λέγετ ομαλή κυκλική κεντρομόλος δύναμ αι η :
  • 41. Τα διανύσματα της κεντρομόλου επιτάχυνσης και της κεντρομόλου δύναμης στην ομαλή κυκλική κίνηση . Κ α m Κ F m
  • 42. Συνολικά όλα τα διανυσματικά μεγέθη στην ομαλή κυκλική κίνηση . ω r dφ , dt m υ Κ α Κ F ds , dt r
  • 44. Α. Κινηματική προσέγγιση Μια περιοδική παλινδρομική κίνηση ονομάζεται ταλάντωση. Η ταλάντωση που γίνεται σε ευθεία τροχιά ονομάζεται γραμμική ταλάντωση. Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης αφού είναι εκείνη η γραμμική ταλάντωση όπου η απομάκρυνση είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου .
  • 45. Απομάκρυνση χ είναι η απόσταση του σώματος από τη θέση ισορροπίας (κέντρο ταλαντώσεων Ο) Έστω ένα σώμα που κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα γύρω από το σημείο Ο, που είναι το μέσο της τροχιάς του.
  • 46. Αν η απομάκρυνση χ του σώματος είναι ημιτονοειδής ή συνημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου (αρμονικές συναρτήσεις) η κίνηση του σώματος ονομάζεται απλή αρμονική ταλάντωση. Η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή η μέγιστη απόσταση από το σημείο Ο στην οποία φτάνει το κινητό, και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης (χmax = A)
  • 47. ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου με σταθερά (k) και σημειακού σώματος μάζας (m) Το απλούστερο σύστημα που εκτελεί απλές αρμονικές ταλαντώσεις μπορεί να ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο Στον οριζόντιο άξονα της κίνησης η συνισταμένη δύναμη που είναι η δύναμη επαναφοράς προκύπτει Μόνο από ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ Η ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΗ ΘΕΣΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ N B ί F  Δl = x Θέση φυσικού μήκους ή θέση ισορροπίας ταλάντωσης
  • 48. Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου με σταθερά (k) και σημειακού σώματος μάζας (m) Σε κατακόρυφη ταλάντωση Στον κατακόρυφο άξονα της κίνησης η συνισταμένη δύναμη που είναι η δύναμη επαναφοράς προκύπτει από ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Και ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ Η ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ βρίσκεται κάτω από τη ΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΗΚΟΥΣ του ελατηρίου κατά Δl : ελ F Β Δ χ 0 2 1 1 ελ F Β 1 Δ Θέση 0 Θέση φυσικού μήκους ελατηρίου Θέση 1 Θέση ισορροπίας ταλάντωσης επ F ΣF = 0 k = m g . = l m g l k    
  • 49. Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου με σταθερά (k) και σημειακού σώματος μάζας (m) μπορεί να ταλαντώνεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο φ Στον άξονα της κίνησης η συνισταμένη δύναμη που είναι η δύναμη επαναφοράς προκύπτει από ΤΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΤΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΣΤΟ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΧ ή WX Και ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ (Fελ) Η ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΣΗ ΤΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ κατά : x ΣF =0 k =mgημφ . . = l m g l k      φ Βχ=mgημφ φ Βψ=mgσυνφ Β Fελ Ν
  • 50. Π Σ Η προβολή (Π) του σώματος (Σ) , που εκτελεί ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ , στην κατακόρυφη διάμετρο εκτελεί ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
  • 51. Π Σ Η προβολή (Π) του σώματος (Σ) , που εκτελεί ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ , στην οριζόντια διάμετρο εκτελεί ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
  • 52. Η προβολή (Π) του σώματος (Σ) , που εκτελεί ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ , στην κατακόρυφη διάμετρο εκτελεί ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ . Η ΠΕΡΙΟΔΟΣ της ομαλής κυκλικής κίνησης συμπίπτει με την ΠΕΡΙΟΔΟ της ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ και η ΑΚΤΙΝΑ της ομαλής κυκλικής κίνησης συμπίπτει με το ΠΛΑΤΟΣ της ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
  • 53. • TALANTVSH KAI KYKLIKH KINHSH.flv
  • 54. YouTube - Γ_ Λυκείου - Κύκλος αναφοράς _ Απλή Αρμονική Ταλάντωση.flv
  • 55. Το σώμα (Σ) εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και τη χρονική στιγμή μηδέν βρίσκεται στο δεξιό άκρο της οριζόντιας διαμέτρου , ενώ τη χρονική στιγμή (t) βρίσκεται στη θέση του σχήματος . Η απομάκρυνση (χ) της προβολής από το κέντρο του κύκλου , δηλαδή τη Δφ φ-0 θέση ισορροπίας είναι : χ = Α ημ φ , αλλά ω = = Δt t-0 φ = ω t . Έτσι θα έχουμ χ = Α ημ ( ω ε t )  χ φ Α υο Σ,t Σ , to=0 φ υο Η προβολή του σώματος (Σ) στην κατακόρυφη διάμετρο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και έχει ταχύτητα την κατακόρυφη συνιστώσα της γραμμικής ταχύτητας . ο ο Αν η γραμμική ταχύτητα είναι (υ ) η ακτίνα της τροχιάς (Α) και η γωνιακή ταχύτητα (ω) τότε : υ = ω Α
  • 56. ο ο Από το ορθογώνιο τρίγωνο των ταχυτήτων έχουμε : υ = υ συν φ με υ = ω Α και φ = ω t Επομένως θα έχουμε : υ = ω Α συν ( ω t ) π ή υ = ω Α ημ ( ω t + ) δηλαδή η φάση τ 2 ης ταχύτητας π προηγείται κατά από τη φάση της απομάκρυνσης 2 2 2 ο ο ο ο υ κεντρομόλος επιτάχυνση α = ή α = ω Α Α Η κατακόρυφη συνιστώσα της είναι η επιτάχυνση της ταλάντωσης : α = - α ημ φ  φ υο υ υ to=0 φ α α αο φ 2 2 ή ή δηλαδή η φάση της επιτάχυνσης προηγείται κατά π π από τη φάση της απομάκρυνσης α = - ω Α ημ ( ω t ) α και κατά 2 από τη = φ ω Α ημ ( άση της ταχ ω t + ύτη π ) τας .
  • 57. Η απομάκρυνση ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος κάθε στιγμή δίνονται:       max max max max x = A ημ 1 ,υ υ συν και α =-α ημ όπου υ και α    2 ωt ωt 2 ωt 3 ωA ω Α       max max Για χ =0 , υ = υ και α=0 για x=+Α ή x=-Α : υ=0 και α= α Οι σχέσεις 1 , 2 και 3 ισχύουν αν για t=0 , x=0 και το σώμα κινείται κατά τη θετική φ ά ορ  υ = +ω.Α
  • 58. Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Α Α Χ=+Α Χ=0 , υ = +υο=+ωΑ Χ=-Α to=0 Για to = 0 είναι x=0 και υ = +υο=+ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση φο=0
  • 59. Εξίσωση απομάκρυνσης στο S.I. μονάδα το 1m Aπομάκρυνση : x = A . ημ(ω.t) φάση φ της ταλάντωσης όταν η αρχική φάση είναι μηδέν . Το γινόμενο (ω.t) αποτελεί τη
  • 60. t 0 T 0 π 2π ημ φ 0 1 0 -1 0 χ = Α ημφ 0 Α 0 -Α 0 2π φ = . t Τ T 4 T 2 3T 4 π 2 3π 2
  • 62. Εξίσωση ταχύτητας στο S.I. μονάδα το 1 2 sec ή υ = ωA . ημ (ω.t + Ταχύτητα : υ = ωA . συν(ω.t) ) m  (υ) (χ) 2 φ Η φά = ση της ταχ φ + 2 ύτητας προηγείται κατά της φάσης της απομάκρυνσης Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της απομάκρυνσης καθυστερούν χρονικά κα   2 τά Δt = 2 Δt = 4         
  • 63. t 0 T 0 π 2π συν φ 1 0 -1 0 1 υ=υmaxσυνφ υmax 0 -υmax 0 υmax 2π φ = . t Τ T 4 T 2 3T 4 π 2 3π 2
  • 66. Εξίσωση επιτάχυνσης 2 2 2 στο S.I. μονάδα (α) το 1 sec ή Επιτάχυνση : α = - ω A . ημ(ω.t) α = ω A . ημ (ω.t + ) π m (α) (χ) (υ) Η φάση της επιτάχυνσης προηγείται κατά της φάσης της ταχύτητας και κατά 2 π από τη φάση της απομάκρυνσης : φ = φ + π = φ + Αυτό ση ν 2 μαί   ει ότι οι τιμές της επιτάχυνσης προηγούνται χρονικά κατά των τιμών της ταχύτητας και κατά των τιμών Δt = της α 4 Δ πο t = μάκ ς 2 ρυνση  
  • 67. t 0 T 0 π 2π ημ φ 0 1 0 -1 0 α=-αmax ημφ 0 -αmax 0 +αmax 0 2π φ = . t Τ T 4 T 2 3T 4 π 2 3π 2
  • 69. Αν για t=0 το σώμα βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο και κινείται θετικά ή αρνητικά ή ακόμα αν για t=0 το σώμα βρίσκεται στο Ο και κινείται προς τα αρνητικά τότε φο≠0 t 0  Θ.Ι. Ο t=0 x=0 , υ = -υο=-ωΑ (+) (-) P΄ P t 0  α υ
  • 70. Για to = 0 είναι x≠0 και υ ≠ +υο ≠ +ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φο ≠ 0 φο Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο υ Χ=+Α Χ=-Α to=0
  • 71. Για to = 0 είναι x≠0 και υ ≠ +υο ≠ +ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φο ≠ 0 φο Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Α Α Χ=+Α Χ=-Α to=0
  • 72. Για to = 0 είναι x=0 και υ = -υο=-ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φο=π Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Α Α Χ=+Α Χ=0 , υ = +υο=+ωΑ Χ=-Α to=0
  • 73. Οι εξισώσεις (1), (2) και (3) γίνονται x = Α ημ(ωt + φο) υ = υmax συν(ωt + φο) ή υ = υmax ημ(ωt + π/2 + φο) α = -αmax ημ(ωt + φο) ή α = αmax ημ(ωt + π + φο) Αν για t = 0 , x = d τότε : d= Α ημ(ω.0+ φο ) δηλαδή ημ φο = d/A
  • 74. Η γωνία φο ονομάζεται αρχική φάση και 0 ≤ φο < 2π Η γωνία (φ = ωt + φο) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης. ο ο ο Τότε 0 φ < 2π για κάθε d A υπάρχουν δύο τιμές για την αρχική φάση , η μία για υ > 0 και η π Αν d = +A τότε ημφ = 1 και φ = 2 ενώ άλλη για αν d = - υ A < 0 τό .    ο ο 3π τε ημφ = -1 και φ = 2
  • 75. φ t φ0 0 Δφ κλίση = = σταθερή Δt Η φάση της ταλάντωσης γραφικά 0 0 φ αρχική φάση : 0 φ < 2π   0 φ = φ + ω . t
  • 76. φ t 0 Η φάση της ταλάντωσης με αρχική φάση μηδέν 0 φ = ω . t αν φ 0 
  • 77. φ t φ0 0 Δφ κλίση = = σταθερή Δt φ t 0 0 φ 0  0 φ = 0
  • 78. Για to = 0 είναι x≠0 και υ ≠ +υο ≠ +ωΑ Τότε η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φο ≠ 0 φο Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Χ>0,υ>0 to=0 φ΄ο Α υο Σ , to=0 + - Θ.Ι. Ο Χ΄>0,υ΄<0 to=0 Παρατηρείστε ότι για t=0 , τα χ , χ΄ έχουν την ίδια θετική τιμή ενώ τα υ , υ΄ έχουν το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη αλγεβρική τιμή . Δείτε ακόμη : ότι φο <π/2 ενώ φ΄ο >π/2 και φ΄ο + φο = π ημφ΄ο = ημ φο γι’ αυτό χ΄= χ = Α ημ φο αλλά συνφ΄ο = -συν φο γι’ αυτό υ΄= - υ <0 αφού υ = υο συν φο > 0 αφού υ΄ = υο συν φ΄ο < 0
  • 79. o ο ο ταλάντωση με αρχική φάση ( φ ) : 0 < Για t = 0 , x = d > 0 , φ 2 υ > 0   χ Α 0 t T ο x = A ημ (ω t + φ ) - Α d
  • 80. T υ 0 t - ωΑ o ο ο ταλάντωση με αρχική φάση ( φ ) : 0 Για t = 0 , x > 0 , < φ υ 0 2 >   ο υ = ω A συν (ω t + φ ) ωΑ υ1
  • 81. T υ 0 t - ωΑ ο o 0 < φ 2 Για t = 0 , x > 0 , υ > 0   max υ = ω A ωΑ υ1
  • 82. t α T ω2Α -ω2Α 0 o ο ο ταλάντωση με αρχική φάση ( φ ) : 0 Για t = 0 , x > 0 , < φ υ 0 2 >   2 ο α = - ω A ημ (ω t + φ ) α1
  • 83. Β.Δυναμική προσέγγιση Αν ένα κινητό μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση όπως αναφέραμε, σε μια τυχαία θέση έχει επιτάχυνση α, ανεξάρτητη από τη φορά ταχύτητας. Η συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα και είναι υπεύθυνη για την επιτάχυνσή του είναι :
  • 84. 2 max ο ο 2 ο F=-mα ημ( ωt+φ ) F=-mω Aημ( ωt+φ ) ⇒ F = - m ω x ανεξάρτητη του φ F=mα   Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνολική δύναμη που δέχεται είναι ανάλογη με την απομάκρυνση σώματος από το μέσο Ο της τροχιάς του και έχει αντίθετη φορά από αυτήν.
  • 85. Εξίσωση δύναμης αν φο=0 2 2 στο S.I. μονάδα (F) το 1 N ή F = m ω A . ημ (ω.t + π) Δύναμη : F = - m ω A . ημ(ω.t) ( Η δύναμη είναι συμφασική με την επιτάχυνση δηλαδή η φάση της προηγείται κατά της φάσης της ταχύτητας και κατά από τη φάση της απομάκρυνσης : 2 π φ  F) (α) (χ) (υ) = φ = φ + π = φ + 2 
  • 86. Εξίσωση δύναμης αν φο=0 2 2 στο S.I. μονάδα (F) το 1 N ή F = m ω A . ημ (ω.t + π) Δύναμη : F = - m ω A . ημ(ω.t) Δt = 4 Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της δύναμης προηγούνται χρονικά κατά των Δt = τιμώ 2 ν της ταχύτητας και κατά των τιμών της απομάκρυνσης  
  • 87. t 0 T 0 π 2π ημ φ 0 1 0 -1 0 F=-Fmax ημφ 0 -Fmax 0 +max 0 2π φ = . t Τ T 4 T 2 3T 4 π 2 3π 2
  • 88. 2 max F = m ω Α max max F = m α max F = D Α
  • 89. t 0 T F 0 - mω2Α 0 mω2Α 0 T 4 T 2 3T 4 t F mω2Α T 4 T 2 -mω2Α 0 3T 4 T
  • 90. Εξίσωση δύναμης αν φο≠ 0 2 ο 2 ο Δύναμη : F = - m ω A . ημ(ω.t + φ ) ή F = m ω A . ημ (ω.t +φ + π) (F) (α) (χ) (υ) Η δύναμη είναι συμφασική με την επιτάχυνση δηλαδή η φάση της προηγείται κατά της φάσης της ταχύτητας και κατά από τη φάση της απομάκρυνσης : 2 π φ = φ = φ + π = φ + 2  
  • 91. Εξίσωση δύναμης αν φο≠ 0 2 ο 2 ο Δύναμη : F = - m ω A . ημ(ω.t + φ ) ή F = m ω A . ημ (ω.t +φ + π) Δt Αυτό = σημαίνει ότι οι τιμές της δύναμης προηγούνται χρονικά κατά των 4 Δt = τιμών της ταχύτητας και κατά των τιμών της απομάκρυνσης 2  
  • 92. t F T mω2Α 0 o ο ο ταλάντωση με αρχική φάση ( φ ) : 0 Για t = 0 , x > 0 , < φ υ 0 2 >   2 ο F = - m ω A ημ (ω t + φ ) F1 -mω2Α
  • 93. t F T mω2Α 0 ο o 0 < φ 2 Για t = 0 , x > 0 , υ > 0   F1 -mω2Α
  • 94. Όταν το σώμα περνά από το σημείο Ο η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν. Για το λόγο αυτό, το σημείο Ο ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Αν συμβολίσουμε με D το γινόμενο mω2 τότε: F = - D x
  • 95. Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή και σαν συνθήκη για την παραγωγή απλής αρμονικής ταλάντωσης. Η δύναμη F ονομάζεται δύναμη επαναφοράς (γιατί τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας) και η σταθερά αναλογίας D σταθερά επαναφοράς
  • 96. Γενική σύνοψη - Παρατηρήσεις Σύμφωνα με όλα τα προηγούμενα καταλήγουμε στον παρακάτω πίνακα: Η απομάκρυνση, η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν στη Θέση Ισορροπίας και μέγιστες (κατά απόλυτη τιμή) στις θέσεις πλάτους. Η ταχύτητα είναι μέγιστη (κατά απόλυτη τιμή) στη Θέση Ισορροπίας και μηδέν στις θέσεις πλάτους. Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο. Θ.I.
  • 97. T m m T 2 D D π 2π     Είδαμε ότι : D = mω2 D 2π D ω m Τ m     Από τη σχέση D = mω2 προκύπτει
  • 98. 1 D f 2π m  Από τη σχέση προκύπτει : 1 f T  1 f m 2π D  και τελικά έχουμε τη σχέση :
  • 99. Για να αποδείξουμε ότι ένα σώμα κάνει αρμονική ταλάντωση : 1. Βρίσκουμε αρχικά τη θέση ισορροπίας του και από τον πρώτο νόμο του NEWTON γράφουμε τη συνθήκη που προκύπτει από τις δυνάμεις που ασκούνται στον άξονα της ταλάντωσης . 2. Εκτρέπουμε το σώμα μικρή απόσταση x από τη θέση αυτή. Τη φορά της εκτροπής τη θεωρούμε θετική , δηλαδή x > 0 . 3. Βρίσκουμε τη ΣFx βάζοντας πρόσημα στις δυνάμεις σύμφωνα με τη θετική φορά που ορίσαμε για το x. 4. Αποδεικνύουμε ότι η ΣFx είναι της μορφής : ΣFx = - Dx  ΣFx = - σταθερό . x D = σταθερά εξαρτώμενη από την κατασκευή του συστήματος Μπορούμε να βρούμε την περίοδο αφού γνωρίσουμε το D δηλαδή τη «σταθερά της ταλάντωσης» από τον τύπο : ΠΩΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΚΤΕΛΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ m T 2π D 
  • 100. Συστήματα που εκτελούν α.α.τ. 1. Σώμα σε οριζόντιο ελατήριο Σώμα Σ, μάζας m δένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς (k) το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο σε κατακόρυφο τοίχο . Το σύστημα ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
  • 101. Να δείξετε ότι αν εκτραπεί το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο εκτελεί α.α.τ. και να βρεθεί η περίοδος . ΛΥΣΗ
  • 102. Στη θέση ισορροπίας στον οριζόντιο άξονα δεν ασκείται καμιά δύναμη , αφού το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος . Στον κατακόρυφο άξονα η δύναμη του βάρους και η δύναμη στήριξης αναιρούνται . Αν απομακρυνθεί το σώμα κατά (x) από τη θέση ισορροπίας , τότε το (x) είναι και η επιμήκυνση (Δl) του ελατηρίου . Αν x > 0 τότε στον οριζόντιο άξονα στην τυχαία θέση ΣFx = - Fελ , αφού έχει αρνητική φορά η δύναμη του ελατηρίου . Επομένως ΣFx = - k Δl αλλά Δl = x και η σταθερά του ελατηρίου είναι ανεξάρτητη της θέσης του σώματος άρα D = k Έτσι ΣFx = - D . x Επομένως η κίνηση είναι α.α.τ. με D = k Η περίοδος της απλής αρμονικής ταλάντωσης ( α. α. τ. ) είναι : m T 2π D  και θέτοντας D = k προκύπτει : m T 2π k  N B ί F  Δl = x Θέση φυσικού μήκους ή θέση ισορροπίας ταλάντωσης
  • 103. Συστήματα που εκτελούν α.α.τ. 2. Σώμα σε κατακόρυφο ελατήριο Σώμα Σ, μάζας m δένεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς (k) το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο σε οριζόντια οροφή . Το σύστημα ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση .
  • 104. Να δείξετε ότι αν εκτραπεί το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο εκτελεί α.α.τ. και να βρεθεί η περίοδος . ΛΥΣΗ
  • 105. Στη θέση (1) ΣF = 0  -k Δl1+ m g = 0 (1) Αν απομακρυνθεί το σώμα κατά (x) από τη θέση ισορροπίας , τότε : ( Δl = Δl1 + x ) Αν x > 0 τότε στην τυχαία θέση (2) : ΣF = - Fελ +B  ΣF = -kΔl + mg  ΣF = -k(Δl1+x) + mg = -kΔl1-kx + mg και από τη σχέση (1) , προκύπτει : ΣF = -kx και η σταθερά του ελατηρίου είναι ανεξάρτητη της θέσης του σώματος άρα D = k . Έτσι ΣF = - D . x Επομένως η κίνηση είναι α.α.τ. με D = k Η περίοδος της απλής αρμονικής ταλάντωσης ( α. α. τ. ) είναι : m T 2π D  και θέτοντας D = k προκύπτει : m T 2π k  ελ F Β Δ χ 0 2 1 1ελ F Β 1 Δ Θέση 0 Θέση φυσικού μήκους ελατηρίου Θέση 1 Θέση ισορροπίας ταλάντωσης Τυχαία Θέση
  • 106. Συστήματα που εκτελούν α.α.τ. 3. Σώμα με ελατήριο σε κεκλιμένο Σώμα Σ , μάζας m δένεται στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου που βρίσκεται σε λείο κεκλιμένο επίπεδο. Το ελατήριο έχει σταθερά (k) και το πάνω άκρο του είναι στερεωμένο (l) σε ακλόνητο σημείο . Το σύστημα Ισορροπεί .
  • 107. Να δείξετε ότι αν εκτραπεί το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο εκτελεί α.α.τ. και να βρεθεί η περίοδος . ΛΥΣΗ θ
  • 108. Στη θέση (1) ΣFχ = 0  -k Δl1+ m g ημθ = 0 (1) (Φυσικά ΣFy =0) Αν απομακρυνθεί το σώμα κατά (x) από τη θέση ισορροπίας , τότε : ( Δl = Δl1 + x ) Αν x > 0 τότε στην τυχαία θέση : ΣFχ = - Fελ +Bχ  ΣFχ = -kΔl + mgημθ  ΣFχ = -k(Δl1+x) + mg ημθ= -kΔl1-kx + mgημθ και από τη σχέση (1) , προκύπτει : ΣFχ = - k x και η σταθερά του ελατηρίου είναι ανεξάρτητη της θέσης του σώματος άρα D = k Έτσι ΣFχ = - D . x Επομένως η κίνηση είναι α.α.τ. με D = k Η περίοδος της απλής αρμονικής ταλάντωσης ( α. α. τ. ) είναι : m T 2π D  και θέτοντας D = k προκύπτει : m T 2π k  1 Δ 1ελ F 1 Θέση 0 Θέση φυσικού μήκους ελατηρίου 2 Θέση 1 Θέση ισορροπίας ταλάντωσης Θέση 2 Τυχαία Θέση x Β x Β y Β Δ N N θ θ 0 y Β ελ F χ Β
  • 109. Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα σώμα μικρό (ώστε η άνωση που δέχεται από τον αέρα να είναι ασήμαντη) και σφαιρικό (ώστε η αντίσταση που δέχεται από τον αέρα κατά την κίνησή του να είναι ασήμαντη και ένα αβαρές νήμα σταθερού μήκους (L) Συστήματα που εκτελούν α.α.τ. 4. Απλό ή μαθηματικό εκκρεμές Εξαιτίας της x-συνιστώσας του βάρους, το σώμα εκτελεί ταλάντωση. Αυτή η συνιστώσα παίζει το ρόλο της δύναμης επαναφοράς και είναι της μορφής ΣF=-Dx όπως αποδεικνύεται παρακάτω. Το εκκρεμές λειτουργεί σαν αρμονικός ταλαντωτής μόνο για μικρές γωνίες εκτροπής φ. Κι αυτό γιατί είναι απαραίτητο το x στο σχήμα να είναι σχεδόν ίσο με το μήκος της πραγματικής τροχιάς που θα διαγράψει το σώμα. Έτσι ισχυριζόμαστε ότι το μήκος του τόξου στο σχήμα είναι ίδιο με το x. Το Τ είναι η τάση του σκοινιού και το L το μήκος του. Τ W Β O Α Το απλό εκκρεμές είναι ένα σώμα δεμένο σε ένα αβαρές νήμα που είναι κρεμασμένο κάπου ψηλά. Αν στο σώμα οι μόνες δυνάμεις είναι το βάρος και η δύναμη από το σκοινί, τότε αυτό θα ισορροπεί ώστε να βρίσκεται στη χαμηλότερη θέση (δηλαδή στη θέση με την ελάχιστη δυναμική ενέργεια). Αυτή η θέση αντιστοιχεί σε κατακόρυφο νήμα (ΘΕΣΗ Ο) . Αν απομακρύνουμε το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας του (ΘΕΣΗ Α) τότε εξαιτίας της μιας συνιστώσας του βάρους αυτό θέλει να επιστρέψει στην αρχική του θέση. Φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση έχει ήδη ταχύτητα και έτσι, αντί να σταματήσει, συνεχίζει περνώντας στην άλλη πλευρά (ΘΕΣΗ Β) . Η κίνηση, αν δεν υπάρχουν τριβές, επαναλαμβάνεται συνεχώς. Αυτή η κίνηση είναι η ταλάντωση του εκκρεμούς και μοιάζει πολύ με την κίνηση μιας παιδικής
  • 110. Από την απόδειξη του τύπου της περιόδου του εκκρεμούς φαίνεται ότι η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης. Δεν εξαρτάται επίσης από τη μάζα του σφαιριδίου . Εξαρτάται μόνο από το μήκος του σκοινιού και από την επιτάχυνση της βαρύτητας στον τόπο που βρίσκεται το εκκρεμές . x x x x x x ΣF = -B ΣF = - m . g . ημ φ m . g ΣF = - m . g m . g ΣF = - D. . ΣF = - όπου . = D x x L x L L     . T = 2π Θέτουμε όπου D = T = 2π και προκύπτει τελικά : . T = 2π m m g D L m m g L L g
  • 111. Αν στο εκκρεμές ενεργεί κι άλλη δύναμη F προς τα κάτω (όπως στο σχήμα) πρέπει να ξανακάνουμε όλη την απόδειξη της περιόδου από την αρχή. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που το σώμα του εκκρεμούς είναι μεταλλικό και από κάτω υπάρχει μαγνήτης, τότε θα εμφανιστεί ακόμα μια x- συνιστώσα που θα μεγαλώσει τη δύναμη επαναφοράς. Τότε: x x x x x x x ΣF = -(B +F ) ΣF = - (B+F).ημφ m . g + F ΣF = - (m.g+F) ΣF m . g + F ΣF = - D. όπου D = = - . x x L x L L     . T = 2π Θέτουμε όπου D = T = 2π και προκύπτει τελικά : . . T = 2π . m m g F D L m m g F L m L m g F    Εκκρεμές.swf
  • 112. Γ. Ενεργειακή προσέγγιση Για να εκτελεί ένα σύστημα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει να έχει ενέργεια , διαφορετική θα παραμένει ακίνητο στη θέση ισορροπίας του .
  • 113. Το σώμα μάζας (m) στην τυχαία θέση θα έχει ταχύτητα (υ) και κατά συνέπεια το σύστημα θα περικλείει κινητική ενέργεια (Κ) : 2 ο 2 2 2 2 η κινητική ενέργεια θα 1 Κ = mυ και αν φ = 0 2 αφού υ = ω.Α συν ωt 1 Κ = m.ω .Α . συν ωt , όμως είνα D = ι : m.ω 2 1. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2 2 1 Κ = D.Α . συν ωt 0 2 που είναι και αυτή περιοδική αλλά όχι αρμονική συνάρτηση ! Τ με περίοδο : Τ΄ = , συχνότητα 2 f΄ = 2 f και κυκλική συχνότητα ω΄= 2 ω 
  • 114. Αν δεχτούμε ότι στη θέση Ο το σώμα έχει δυναμική ενέργεια μηδέν, σε κάθε άλλη θέση θα έχει δυναμική ενέργεια που υπολογίζεται ως εξής : 2. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ
  • 115. Εάν το σώμα βρίσκεται στο σημείο Ο και είναι ακίνητο, για να μετακινηθεί στη θέση Δ, που απέχει απόσταση χ από τη θέση ισορροπίας, πρέπει να του ασκηθεί δύναμη F΄ τέτοια ώστε να εξουδετερώνει τη δύναμη επαναφοράς F. Το μέτρο αυτής της δύναμης, σε κάθε θέση, θα είναι ίσο με το μέτρο της δύναμης επαναφοράς : F΄=Dx
  • 116. Το έργο της F΄ υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση F΄=f(x) και είναι 2 W Ε ΜΒΑΔΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1 1 W = χ.Dχ W = Dχ 2 2  
  • 117. Το έργο της F΄ αποθηκεύεται υπό μορφή δυναμικής ενέργειας (U) στο σύστημα : 2 1 U = DX 2 2 ο 2 Αν η αρχική φάση φ = 0 τότε χ = Α ημ 1 επομένως U = ω D Α ημ ωt 0 2 t  περιοδική και όχι αρμονική συνάρτηση , συχνότητα f Τ με περίοδο Τ΄= 2 και κυκλική συχνότητα ΄= 2 f ω΄= 2 ω
  • 118. Ημηχανική ενέργεια του σώματος σε μια τυχαία θέση θα Ε =U +K και για μια τυχαία στιγ είναι μή( : t ) 3. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Ε = DΑ ημ ωt + DΑ συν ωt 2 2 1 1 Ε = DΑ( ημ ωt +συν ωt ) Ε = DΑ .1 2 2   2 1 Επομένως : Ε DΑ σταθερή 2 ανεξάρτητη του χρόνου ( t )  
  • 119. Κ U E m T 2π D  t U,K,E Παρατηρείστε ότι οι ενέργειες U είναι μη αρμονικές μ Τ ενώ η μηχανική ενέργεια Ε είν ε περί αι Σ οδο ΤΑΘ , K ΕΡΗ 2 Τ Τ΄ 2  0 2 1 D.A 2 2 1 D.A 4 8  4  3 8  5 8  3 4  7 8 
  • 122. Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των διαγραμμάτων της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας . 2 2 2 2 2 1 Στα σημεία τομής U =Κ ( 1 ) όμως U +K = DΑ , από ( 1 1 1 U = ) 2 1 1 U + U = DΑ 2U = DΑ από ( 1 DΑ Κ = 2 Α ) 4 2 D 4   2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 DΑ ημ ωt = DΑ συν ωt ημ ωt =1-ημ ωt 2ημ ωt =1 2 2 2 2π π 2π π ημωt = ημ t =ημ ( 2 ) ή ημ t =ημ( π + ) ( 3 ) 2 Τ 4 Τ 4 2π π από τη( 2 ) t =2κπ + και για την πρώτη περίοδο κ=0 Τ 4 2π π άρ Αφού α U =Κ t = Τ 4 t         2 2 2π π ή από τη( 2 ) t =2κπ +π - Τ 4 2π 3π και για την πρώτη περίοδο κ=0 άρα t = Τ 4 Τ = 8 3Τ t = 8 
  • 123. 3 3 2π π ημ t =ημ( π + ) ( 3 ) Τ 4 2π π από τη( 3 ) t =2κπ +π + και για την πρώτη περίοδο κ=0 Τ 4 2π 5π 2π π άρα t = ή από τη( 3 ) t =2κπ +π - ( π + ) Τ 4 Τ 4 2π π 2π t =2κπ - και για την πρώτη περίοδο κ=1 άρ 5Τ t = α t Τ 4 Τ 8   4 4 4 π =2π - 4 2π 7π t = 7Τ t = 8 4 Τ  
  • 124. 1. Η δυναμική ενέργεια μπορεί να εκφραστεί και ως προς την απομάκρυνση της ταλάντωσης , ως εξής : 2 2 1 αν χ= Α U= D A ( μέγιστη ) 2 αν 1 U = D χ 0 , Α χ Α χ=0 U = 0 ( ελάχ ) 2 ιστη       
  • 125. 2. Η κινητική ενέργεια ενέργεια μπορεί να εκφραστεί και ως προς την απομάκρυνση της ταλάντωσης , ως εξής : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Κ = m υ Κ = m ω Α συν φ Κ = DΑ( 1 ημ φ) 2 2 2 1 1 1 1 Κ = DΑ DΑ ημ φ Κ = DΑ Dχ 0 2 2 2 2 αφού -Α χ Α Αν χ= Α Κ=0 ( Ελάχιστη ) 1 ενώ αν χ=0 Κ = DΑ ( Μέγιστη ) 2             
  • 126. Η Μηχανική ενέργεια προκύπτει ως εξής : 2 2 2 2 1 1 1 Ε = U+K E = D χ + D Α D χ 2 2 2 1 E = D ανεξάρτητη της απομ Α άκρυνσης ( χ ) = ΣΤΑΘΕΡΗ 2   
  • 127. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 2 ma max x m 2 ax 1 D A 2 1 = = m Ε = Κ = .υ 2 E U Κ U -Α 0 +Α απομάκρυνση (χ) 2 2   2 2  
  • 128. Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των διαγραμμάτων της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας . 2 2 2 2 2 1 Στα σημεία τομής U =Κ ( 1 ) όμως U +K = DΑ , από ( 1 1 1 U = ) 2 1 1 U + U = DΑ 2U = DΑ από ( 1 DΑ Κ = 2 Α ) 4 2 D 4   2 2 2 2 1 1 1 2 Dx = DΑ x = Α 2 2 2 A 2 x = 2 παρατηρείστε ότι η κινητική ενέργεια γίνεται ίση με τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε δύο συμμετρικέ Αφού U =Κ U = ς θέσε Ε -U 2 ις ως προς τη θέσ Ε η U =       ισορροπίας και αυτό σε κάθε ταλάντωση ( σε κάθε περίοδο ) συμβαίνει τέσσερις φορές ( σε 4 στιγμές ) , γιατί σε κάθε θέση το σώμα περνάει δύο φορές , τη μία κινούμενο προς τα θετικά και την άλλη προς τα αρνητικά.
  • 129. 3 . Πώς εκφράζονται ως προς την απομάκρυνση η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς ; Ποια είναι τα αντίστοιχα διαγράμματα ; 2 2 2 α = -ω Α ημφ α με διαίρεσηκατά μέλη =- ω α = -ω x x x = A ημφ Η επιτάχυνση επαναφοράς είναιανάλογημε την απομάκρυνση καιέχειπάντα διαφορετικό πρόσημο από αυτήν !   ΑΠΑΝΤΗΣΗ: α) Επιτάχυνση - απομάκρυνση
  • 130. 2 α = - ω x - Α x A    x ( m) Α  2 ω Α  2 m α sec       Α  2 ω Α  0
  • 131. 3 . Πώς εκφράζονται ως προς την απομάκρυνση η επιτάχυνση και η δύναμη επαναφοράς ; Ποια είναι τα αντίστοιχα διαγράμματα ; 2 2 F = -mω Α ημφ F με διαίρεσηκατά μέλη =- mω F = -D x x x = A ημφ Η δύναμη επαναφοράς είναιανάλογημε την απομάκρυνση καιέχειπάντα διαφορετικό πρόσημο από αυτήν !   ΑΠΑΝΤΗΣΗ : β) Δύναμη - απομάκρυνση
  • 132. F =-D x - Α x A    x ( m) Α  DA    F N Α  DΑ  0
  • 133. 4 . Πώς εκφράζεται ως προς την απομάκρυνση η ταχύτητα της α.α.τ. ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 υ υ = ω Α συν φ συν φ = ω Α x = A ημφ ημφ = Α ω Α Α ω Α ( 1) x ( 2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ημ φ+συν φ=1 από τη ( 2 ) και την ( 1 ) x υ προκύπτει : 1 και πολλαπλασιάζοντας επί κάνουμε απαλοιφή παρονομ     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ω Α ω ω Α ω ω Α Α ω αστών και προκύπτει : x + υ υ - x υ ( - x ) υ - x         ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
  • 134. Η σχέση ταχύτητας και απομάκρυνσης προκύπτει και με την αρχή διατήρησης της ενέργειας στην α.α.τ. ως εξής : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Κ +U =E m υ + Dχ = DΑ 2 2 2 1 1 1 m υ m ω x m ω Α 2 2 2 υ ω x ω Α υ = ω υ = ω ( A - ω A - x ) υ= ω A - x x             
  • 135. 5 . Πώς εκφράζεται ως προς την ταχύτητα η απομάκρυνση της α.α.τ. ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 υ υ = ω Α συν φ συν φ = ω Α x = A ημφ ημφ = Α ω Α Α ω Α ( 1) x ( 2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ημ φ+συν φ=1 από τη ( 2 ) και την ( 1 ) x υ προκύπτει : 1 και πολλαπλασιάζοντας επί κάνουμε απαλοιφή παρονομ     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ω Α ω Α Α ω ω ω ω Α αστών και προκύπτει : x + υ - υ - υ υ x x ή x - ω         ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
  • 136. 6 . Πώς εκφράζεται ως προς την ταχύτητα η επιτάχυνση της α.α.τ. ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2; 2 2 υ υ = ω Α συν φ συν φ = ω Α α = -ω A ημφ ημφ = - ω Α ω Α ω Α ω Α ω Α ( 1) α ( 2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ημ φ+συν φ=1 από τη ( 2 ) και την ( 1 ) α υ α υ προκύπτει : ( - ) 1 1 και πολλαπλασιάζοντας επί        4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 max ω Α ω ω Α ω Α ω ω Α ω ω κάνουμεαπαλοιφή παρονομαστών και προκύπτει : α + α ( υ ) α υ υ α υ υ             ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
  • 137. 7 . Πώς εκφράζεται ως προς την ταχύτητα η δύναμη της α.α.τ. ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2; 2 2 υ υ = ω Α συν φ συν φ = ω Α F = -mω A ημφ ημφ = - mω Α mω Α ω Α m ω Α ω Α ( 1) F ( 2) Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ημ φ+συν φ=1 από τη ( 2 ) και την ( 1 ) F υ F υ προκύπτει : ( - ) 1 1 και πολλαπλασιάζοντας        2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m 2 2 ax m ω Α m ω m ω Α m ω m ω m ω ω Α Α ω επί κάνουμεαπαλοιφή παρονομαστών και προκύπτει : F + F ( υ ) F m υ υ υ F υ             ΑΠΑΝΤΗΣΗ: