Proporcionalidade e razão no caderno do aluno de matemática

GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE

Páginas 3 - 5
1.
a) A previsão é consistente, pois pode haver proporcionalidade entre o número de
paredes e o tempo gasto para pintá-las.
b) Apesar de os números do problema apresentarem proporcionalidade, a situação
não permite uma previsão confiável, pois o rendimento de um time não é constante
ao longo de um jogo, existindo uma série de outros fatores que influenciam o número
de gols.
c) A previsão é consistente, pois o tempo de vazão depende do volume de água a
ser escoado. Supõe-se, neste caso, que a velocidade de vazão não varie
significativamente, podendo ser considerada constante.
d) A previsão está errada, pois, mantida a velocidade, o trem deveria percorrer
180 quilômetros. Neste caso, a distância percorrida é diretamente proporcional ao
tempo de viagem.
e) Neste caso, a previsão pode estar correta, pois o valor a ser cobrado pode ser
proporcional ao número de horas que o carro ficará estacionado.

2.
a) Não. De fato, quando a idade de uma pessoa dobra − digamos, passa de 2 a 4
anos −, não é verdade que sua altura também dobra. Se houvesse proporcionalidade
direta, imagine a altura de uma pessoa aos 40 anos.
b) Sim. O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro depende da
quantidade de litros abastecida. Se para abastecer com 10 litros gastam-se R$ 25,00,
o valor para abastecer com o triplo de litros (30 litros) será três vezes maior
(R$ 75,00).
c) Não. A massa de uma pessoa não é diretamente proporcional à sua idade.

1


d) Sim. O perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o seu lado. Se o lado
aumenta, o perímetro aumenta proporcionalmente. O perímetro de um quadrado é
diretamente proporcional ao seu lado, sendo a constante de proporcionalidade igual
a 4.
e) Sim. Um automóvel que desenvolve uma velocidade média de 60 km/h vai
percorrer 60 quilômetros em 1 hora. Se dobrarmos a velocidade, a distância
percorrida dobrará, na mesma proporção.

3.
a) Não. Dificilmente o professor conseguirá manter o mesmo ritmo de trabalho
durante 30 horas.
b) Não. Mesmo para um atleta, seria impossível manter esse ritmo de corrida por
tanto tempo.
c) Não. O fato de ela ter lido três livros na semana anterior não garante que ela vá
manter o mesmo ritmo de leitura ao longo do ano. Isso depende de outras variáveis,
como tamanho do livro, disponibilidade de tempo e dinheiro, disposição, etc.

Página 5
4.
a) O aumento salarial dado não foi proporcional aos salários, pois embora ele tenha
sido o mesmo para os dois funcionários em termos absolutos (R$ 200,00), em termos
relativos eles foram diferentes. Os R$ 200,00 de aumento representam metade do
salário de João, enquanto para Antônio esse acréscimo representa apenas um quinto
de seu salário. A variação para João foi de 600 ÷ 400 = 1,5 (50%), e para Antônio,
1 200 ÷ 1 000 = 1,2 (20%).
b) A redução no preço dos dois produtos foi diretamente proporcional aos preços
originais. A variação no preço do computador foi de 750 ÷ 1 000 = 0,75, e na
impressora, de 300 ÷ 400 = 0,75. Ou seja, ambas foram multiplicadas pelo mesmo
fator.

2


Página 6
5.
a)
• O tempo gasto é inversamente proporcional ao número de pintores.
• O tempo gasto é diretamente proporcional ao número de paredes.
Observação: se o número de pintores dobrar, o tempo gasto para pintar uma parede
será a metade, etc., ou seja, quanto maior o número de pintores, menor será o tempo
gasto para pintar uma parede. O tempo gasto é inversamente proporcional ao número
de pintores. Contudo, se o número de paredes dobrar, também dobrará o tempo
necessário para concluir o serviço. Portanto, o tempo gasto é diretamente
proporcional ao número de paredes.
b)
• A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade.
• O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade.
Observação: dobrando a velocidade, o automóvel percorrerá o dobro da distância no
mesmo tempo. A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade. Por
outro lado, se a velocidade média for a metade, o tempo gasto para percorrer a
mesma distância dobrará. O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade.

Página 7
6. Observação: há outras soluções para os duplex.

TIA POR LISO POETA

TUA PAR PISO PONTA

MAR PESO PONTO

PESA TONTO

TANTO

LUA MAL PENA TANGO
3


Páginas 9 - 10
7.

8.

Resposta: o menor preço pesquisado foi de R$ 1,00, como mostra a tabela.
Observação: neste caso, os alunos deverão perceber que, quanto maior o preço,
menor a quantidade de bolas que se pode comprar com a mesma quantia em dinheiro.
Portanto, a variação entre as grandezas é inversamente proporcional, pois o que se
mantém constante não é a razão, mas o produto entre elas.
6 . 24 = 12 . 12 = 4 . 36 = 2 . 72 = 24 . 6 = 1 . 144 = 72 . 2 = 144.

4


9.
a) Fixando-se o tempo de trabalho, a produção de cabos é diretamente proporcional
ao número de operários.
Fixando-se a quantidade de cabos, o tempo de produção é inversamente proporcional
ao número de operários.
Fixando-se o número de operários, a quantidade de cabos é diretamente proporcional
ao tempo de produção.

b)

Produção de Número de Tempo de produção
cabos (m) operários (dias)
1 000 24 6

2 000 24 12
2 000 48 6

500 12 6

500 24 3

500 6 12

250 3 12

125 3 6

1 250 30 6

1 250 10 18

Resposta: serão necessários 18 dias.
Observação: professor, comente com os alunos que, em cada linha, há uma grandeza
que permanece constante, enquanto as demais variam, de forma direta ou
inversamente proporcional. Na segunda linha, considerando o mesmo número de
operários, para produzir o dobro da metragem de cabos será necessário o dobro do
tempo, uma vez que se tratam de grandezas diretamente proporcionais.

5


Página 11
10.
a) A produção de pias é diretamente proporcional ao número de funcionários.
O tempo de produção é inversamente proporcional ao número de funcionários.
O tempo de produção é diretamente proporcional ao número de pias a ser produzidas.
A produção de pias é diretamente proporcional ao número de horas trabalhadas por
dia.
O número de funcionários é inversamente proporcional ao número de horas
trabalhadas.
O tempo de produção é inversamente proporcional ao número de horas trabalhadas.

b) Um possível caminho é o seguinte:

Produção de Número de Tempo de Número de horas
pias funcionários produção (dias) trabalhadas por dia
180 15 12 10

180 15 60 2

180 15 15 8

180 5 45 8

180 25 9 8
540 25 27 8

Resposta: serão necessários 27 dias de produção.

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RAZÃO E PROPORÇÃO

Páginas 13 - 15
1. Resposta em aberto. Muitas interpretações deverão surgir, uma vez que esse conceito
está extremamente disseminado em nossa língua e assume inúmeros significados, de
acordo com os contextos em que aparece. Neste primeiro momento, pode ser que o
conceito matemático de razão não apareça nas respostas dos alunos.

2. Professor, utilize o dicionário disponível em sua escola.

3. Deve-se enfatizar o fato de que a palavra “razão” adquire um significado específico
no âmbito da Matemática. Ela representa a relação existente entre dois números a e b
a a
é apresentada na forma e b ≠ 0. Assim, se a razão é igual a c, isso significa que
b b
a = b . c. É importante diferenciar o conceito de razão do de fração. A fração é uma
forma de expressar a razão entre dois números inteiros. Assim, toda fração é também
uma razão, mas nem toda razão pode ser expressa como uma fração. É bom lembrar
que os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, e o número ,
que é irracional, representa a razão entre o comprimento da circunferência e seu
diâmetro.

4.
a) A razão 3 : 150 tem como resultado 0,02 (2 centésimos). Em porcentagem, a
razão é 2%.
b) A razão 24 : 40 tem como resultado 0,6 (6 décimos), que equivale a 0,60
(60 centésimos), ou seja, 60%.
c) A razão 4 : 50 tem como resultado 0,08 (8 centésimos), ou seja, 8%.

7


d) A razão 9 : 125 tem como resultado 0,072 (7 centésimos e 2 milésimos), ou seja,
7,2 %.
e) A razão 165 : 300 tem como resultado 0,55 (55 centésimos), ou seja, 55%.

5. Resposta em aberto. De um modo geral, escala é a razão entre a medida de um objeto
representado em um desenho e a medida correspondente ao objeto real. É importante
que se destaque que a escala é um tipo especial de razão matemática. No caso dos
mapas, por exemplo, a escala é a razão entre a medida de uma região representada
em um desenho e a medida correspondente à região real. Geralmente, um mapa traz
essa informação para facilitar a transposição da medida do desenho para a medida do
real. Um mapa construído na escala 1 : 100 000 indica que cada unidade de
comprimento no desenho é, na realidade, cem mil vezes maior.

6.
a) A distância entre Brasília e Rio de Janeiro no mapa é de aproximadamente 4 cm.
Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na
realidade, então 4 cm corresponderão a 120 milhões de centímetros. Convertendo
para quilômetros, obtemos o resultado de 1 200 quilômetros, que é muito próximo ao
valor real (1 148 km).
b) A distância entre Florianópolis e Brasília no mapa é de aproximadamente 5,5
cm. Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na
realidade, então 5,5 cm corresponderão a 165 milhões de centímetros. Convertendo
para quilômetros, obtemos o resultado de 1 650 quilômetros, que é muito próximo ao
valor real (1 673 km).
Observações: professor, você pode discutir com os alunos o fato de que as diferenças
observadas devem-se, provavelmente, a aproximações e erros de medida ou à
imprecisão do desenho. Outro aspecto a ser considerado na leitura de mapas de
regiões da Terra é que eles retratam a transposição de uma superfície esférica para
uma superfície plana. Assim, algum tipo de imprecisão é inerente a qualquer mapa da
superfície terrestre, dependendo do tipo de projeção usada para transpor as
informações da esfera para o plano. Duas são as possibilidades: se quisermos
preservar os ângulos, as distâncias são alteradas; se quisermos preservar as
distâncias, os ângulos é que são alterados.
8


Assim, para os pilotos de aviões e navios, o importante é preservar o ângulo,
perdendo-se a precisão nas medidas de distância. Em alguns tipos de projeção, a
forma é preservada localmente, facilitando a interpretação das distâncias em escala.

Páginas 15 - 16
7.
a) A velocidade média é a razão entre o deslocamento − de 530 km − e o intervalo
de tempo para efetuá-lo, ou seja, 6 horas. Portanto, a velocidade média nesse caso é
de aproximadamente 88 km/h.
b) Se o coração dessa pessoa bate 12 vezes a cada 10 segundos, em 1 segundo ele
baterá 1,2 vez e, em 60 segundos, 72 vezes. Portanto, a pulsação é de 72 batimentos
por minuto.
c) Como 12 megabytes é igual a 12 000 quilobytes, então a velocidade de
transmissão será igual a 12 000 ÷ 30 = 400 kbps, ou seja, 400 quilobytes por
segundo.

Página 16
8. Densidade de um material é a quantidade de massa existente em cada unidade de
seu volume. Ou seja, é a razão entre a massa e o volume de um corpo. A unidade
mais usada para expressar a densidade de um material é o grama por centímetro
cúbico (g/cm3). Por exemplo, a densidade da água é de 1 grama por centímetro
cúbico (g/cm3).
De modo análogo, a densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes
que vivem em uma região e sua área.

9


Páginas 16 - 17
9.
a) A densidade dessa substância é de aproximadamente 0,67 g/cm3.
b) A densidade demográfica do Estado de São Paulo em 2007 era de,
aproximadamente, 164 habitantes por quilômetro quadrado.

10.
a) O PIB per capita brasileiro foi de aproximadamente US$ 5 727,00 por habitante.
b) O PIB per capita indiano em 2006 foi de aproximadamente US$ 785,00 por
habitante.

11. Resposta em aberto. Observação: professor, você poderá orientar um debate sobre a
questão, trazendo algumas informações sobre o significado dessa razão matemática.
Comente que a medida do PIB per capita representa uma média, não retratando de
fato a condição econômica da maioria da população de um país. Certamente não é
real o fato de que cada brasileiro participe da produção nacional anual com o
equivalente a US$ 5 727,00, ou, expresso em reais de 2006, o equivalente a R$
12 490,00. Isso se deve ao fato de que existe uma desigualdade de renda no país,
onde uma minoria da população concentra a maior parte da renda, e essa minoria
responde por uma parcela proporcionalmente bem menor. Existem outros parâmetros
para avaliar a condição socioeconômica de uma população, como o Índice de
Desenvolvimento Humano (IDH), a taxa de analfabetismo, a expectativa de vida, etc.

Páginas 18 - 19
12.
a) O número total de possibilidades no lançamento de um dado é 6. O número de
ocorrências de número par são 3 (2, 4 ou 6). Portanto, a probabilidade de obter um
número par é de 3 em 6, ou 0,5, ou 50%.

10


Já o número de ocorrências de números maiores que 4 são 2 (5 ou 6). Portanto, a
probabilidade desse evento é de 2 em 6, ou 0,333... ou 33,3 %.
b) O espaço amostral do lançamento de duas moedas é: cara-cara; cara-coroa;
coroa-cara; coroa-coroa (4 possibilidades). A probabilidade de obter duas coroas é de
uma em quatro, ou 0,25, ou 25%.
c) A probabilidade de retirar uma bola vermelha é de 3 em 7, ou 0,429, ou 42,9%.
A probabilidade de retirar uma bola preta é de 4 em 7, ou 0,571, ou 57,1%.
d) A probabilidade de retirar uma carta de copas é de 13 em 52, ou 0,25, ou 25%.
Existem 4 valetes no baralho, um de cada naipe. Portanto, a probabilidade de obter
um valete é de 4 em 52, ou 0,077, ou 7,7%.

Páginas 19 - 21
13.
a)

Número de Valor pago em Razão
bolas reais (R$) (preço por bola)
5 100 100 ÷ 5 = 20
7 140 140 ÷ 7 = 20

Resposta: a razão obtida foi de R$ 20,00 por bola. Há proporcionalidade direta,
pois a razão de proporcionalidade permaneceu constante.
b)

Distância percorrida Tempo em Razão
em km horas (velocidade)
120 1,5 120 ÷ 1,5 = 80
160 2 160 ÷ 2 = 80

Resposta: a velocidade média nos dois períodos foi de 80 km/h. Há
proporcionalidade direta, pois a razão de proporcionalidade permaneceu
constante.

11


c)

Valor pago em Razão
Número de rolos
reais (R$) (preço por rolo)
4 3 3 ÷ 4 = 0,75
12 8 8 ÷ 12 = 0,67

Resposta: neste caso, não há proporcionalidade, pois a razão obtida em cada
situação foi diferente: R$ 0,75 por rolo para 4 rolos, e R$ 0,67 por rolo para 12
rolos.
d)

Número de xícaras Razão
Bolas de sorvete
de leite (bolas por xícara)

3 2,5 3 ÷ 2,5 = 1,2

7 4 7 ÷ 4 = 1,75

Resposta: neste item, precisamos fazer a conversão para uma unidade de volume
comum. Como 1 xícara equivale a 250 ml, então:
1 litro = 1 000 ml = 4 . 250 ml = 4 xícaras. Não há proporcionalidade no
aumento da receita, pois a razão aumentou de 1,2 bola por xícara para 1,75
bola por xícara.
e)

Quantidade de Valor em Razão
dólares reais (R$) (reais por dólar)

20 36 36 ÷ 20 = 1,80

50 90 90 ÷ 50 = 1,80

Resposta: sim, há proporcionalidade, pois o preço do dólar foi o mesmo nas duas
situações, ou seja, R$ 1,80 por dólar.

12


Páginas 23 - 24
14. Nesta atividade, o aluno deverá usar a competência leitora para interpretar
corretamente as frases do texto original. Por exemplo, a frase “a maior largura dos
ombros contém em si própria a quarta parte do homem” significa que a razão entre a
1
largura dos ombros e a altura do homem é de 1 para 4, ou seja, = 0,25 = 25%.
4

Razão entre Fração Decimal %
1
Longitude dos braços e altura 1,0 100
1

Altura da cabeça e altura 1
8 0,125 12,5

Largura dos ombros e altura 1
4 0,25 25,0

Distância do cotovelo às axilas e altura 1
8 0,125 12,5

Comprimento da mão e altura 1
10 0,1 10,0

Comprimento do pé e altura 1
7 0,143 14,3

Distância do queixo ao nariz e face 1
3 0,333... 33,3

Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face 1
3 0,333... 33,3

15. Medidas aproximadas:
Altura do homem: 10,3 cm. Longitude dos braços 10,4 cm.
Altura da cabeça: 1,3 cm. Largura dos ombros: 2,7 cm.
Do cotovelo às axilas: 1,3 cm. Comprimento da mão: 1,1 cm.
Comprimento do pé: 1,5 cm. Altura da face (do queixo à raiz dos cabelos): 1,1
cm.
Do queixo ao nariz: 0,3 cm. Da sobrancelha à raiz dos cabelos: 0,3 cm.

13


Observação: as medidas têm valores aproximados.

Razão entre %
Longitude dos braços e altura
100 %
Altura da cabeça e altura
12,6%
Largura dos ombros e altura
26,2%
Distância do cotovelo às axilas e altura
12,6%
Comprimento da mão e altura
10,7%
Comprimento do pé e altura
14,6%
Distância do queixo ao nariz e altura da face
27,3%
Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e altura da face
27,3%

Página 24
16. Se as medidas forem realizadas com precisão, é provável que as razões obtidas
pelos alunos fiquem muito próximas das descritas na atividade 4. Talvez seja
necessário orientar os alunos na identificação de determinadas distâncias entre partes
do corpo, como entre o cotovelo e as axilas. O desenho traz marcas que ajudam a
perceber o início e o fim de cada membro. É importante diferenciar o tamanho da
cabeça do tamanho da face.

14



RAZÕES NA GEOMETRIA

Páginas 26 - 28
1.
a) Por meio da malha quadriculada, pode-se perceber que as dimensões da caravela
original ocupam 6 quadrados horizontais e 6 quadrados verticais.
b) A figura IV é a ampliação proporcional da figura da caravela original.

c) A razão de ampliação da figura original foi de 8 para 6, ou aproximadamente
1,33.

2. Os desenhos obtidos devem ser os seguintes:

15


Lado l d
Quadrado Diagonal d (cm) Razão
( cm ) l
Q1 2 2,8 1,4
Q2 3 4,2 1,4
Q3 6 8,4 1,4

Observação: Os valores da tabela são aproximados.
a) Sim. No quadrado Q3, com medida de lado duplicada em relação ao quadrado
Q2, a medida da diagonal também duplica, passando de 4,2 cm para 8,4 cm.
b) A medida da diagonal também triplica, passando de 2,8 cm para 8,4 cm.
c) Sim, pois em todos os casos a razão entre a diagonal e o lado se aproxima de 1,4.
É possível que alguns alunos obtenham valores um pouco diferentes de 1,4 para as
razões. Deve-se discutir com eles que isso se deve ou às imprecisões do desenho ou
aos erros de medida.
d) Este item pode ser resolvido por meio de estimativas ou por calculadora. O
importante é mostrar aos alunos que essa razão é constante para qualquer quadrado e
que o valor da razão de proporcionalidade obtido (1,4) é, na verdade, uma
aproximação do valor da raiz quadrada de 2  
2  1,414 . Esse resultado será
demonstrado nas séries seguintes, por ocasião do estudo do teorema de Pitágoras e
dos números irracionais.

Página 28
3.

Perímetro
Lado l P A
Quadrado P Área A (cm2) Razão Razão
( cm ) l l
( cm )

Q1 2 8 4 4 2

Q2 3 12 9 4 3

Q3 6 24 36 4 6
Observação: Os valores da tabela são aproximados.

16


a) Sim, pois aumentando o lado, o perímetro aumentará na mesma proporção. A
razão perímetro/lado é constante e igual a 4.
b) Não, pois aumentando o lado, a área não aumentará na mesma proporção. A
razão área/lado não é constante.
c) Quando dobramos o lado do quadrado (de 3 cm para 6 cm, por exemplo), a área
aumenta em quatro vezes (de 9 cm2 para 36 cm2).
d) Quando triplicamos o lado do quadrado (de 2 cm para 6 cm, por exemplo), a
área aumenta nove vezes (de 4 cm2 para 36 cm2).

Página 29
4.
a)

Ângulos Catetos (cm)
15º 1,7
30º 3,8
60º 11,3

Observação: Os valores da tabela são
aproximados.

b) Não, o cateto oposto ao ângulo de 60º é aproximadamente 3 vezes maior que o
cateto oposto ao ângulo de 30º.
c) Para o ângulo de 90º não é possível construir um cateto oposto, pois as retas
seriam paralelas.
d) Não, pela tabela é possível verificar que os ângulos não são diretamente
proporcionais aos catetos opostos.

17


Atividade para investigação!

Páginas 31 - 32
5.
a) Sim. Se os objetos tiverem tamanhos diferentes, as medidas serão diferentes.
b) Não. Os alunos devem notar que, embora haja diferenças, o valor da razão
converge para próximo de 3.
c) A média obtida deve estar próxima de 3,1.
d) O resultado vai depender das medidas realizadas pelos alunos. É natural que haja
imprecisões, principalmente na medida da circunferência dos objetos. A
irregularidade dos objetos escolhidos também pode alterar, para cima ou para baixo,
o resultado das razões obtidas.

Páginas 32 - 33
6.

P1 = 6,3 cm

P2 = 12,6 cm

P3 = 18,9 cm

18


Comprimento C Diâmetro D C
Circunferência Razão
( cm ) ( cm ) D

C1 6,3 2 3,1

C2 12,6 4 3,1

C3 18,9 6 3,1

a) A resposta a esta questão está na tabela anterior.
b) O comprimento também dobra, passando de 6,3 cm para aproximadamente
12,6 cm.
c) O comprimento também triplica, passando de 6,3 cm para aproximadamente
18,9 cm.
d) Sim, pois quando aumentamos o diâmetro o comprimento aumenta na mesma
proporção. Além disso, a razão entre o comprimento e o diâmetro permanece
constante.

Página 34
7.
a) O diâmetro da pista circular mede 2 km. Então, o comprimento da pista é
3,1 . 2 = 6,2 km.
b) Se o diâmetro da circunferência vale 10 cm, o comprimento será igual a
3,1 . 10 = 31 cm.
c) Neste caso, temos o comprimento e precisamos achar o diâmetro. Então, basta
dividirmos o comprimento de 62 cm por 3,1, obtendo 20 cm, que é o diâmetro da lata
cilíndrica.
d) A medida do raio da roda é aproximadamente a medida do aro mais a espessura
do pneu (40 cm + 3 cm = 43 cm). Como o diâmetro é o dobro do raio, então ele vale
86 cm. O comprimento da roda é igual a 3,1 . 86 = 266,6 cm. Como a cada pedalada
a bicicleta percorre a distância equivalente ao comprimento da roda, em 10 pedaladas
a bicicleta percorrerá 10 . 266,6 cm = 2 666 cm ou 26, 6 metros.

19


Páginas 37 - 39
8. (a), (b) e (c).

Retângulo Lado maior (cm) Lado menor (cm) Razão

1º 6,7 4,1 1,63

2º 4,1 2,6 1,57

3º 2,6 1,6 1,62

4º 1,6 1,0 1,60

Média 1,60

d) A média deve se aproximar do valor da razão áurea, podendo ser um pouco
maior ou menor em razão das imprecisões do desenho e das medidas.

9.

20



GRÁFICOS DE SETORES E PROPORCIONALIDADE

Páginas 40 - 43
1.
a)

Ângulo central Medida dos arcos (cm)

30º 2

45º 3

90º 6

150º 10

b) Sim, pois quando duplicamos um ângulo (de 45º para 90º) o arco correspondente
também dobra (de 3 cm para 6 cm). Além disso, a razão ângulo/arco é constante e
igual a 15.
c) Fazendo o cálculo proporcional, obtém-se, aproximadamente, 3,7 cm para a
medida do arco de 55º.
d) O ângulo central correspondente é de 112,5º.

2.
a) Considerando que, em 12 horas, o ponteiro das horas faz um giro completo
1
(360º), em 1 hora ele fará de 360º, ou seja, 30º.
12
b) O ponteiro dos minutos se deslocou 360º, voltando, portanto, ao ponto inicial.

21


c)
I. 12:30 II. 12:10
12 12
11 1 11 1

2 10 2
10

9 3
9 3

8 4
8 4

7 5
7 5 6
6

III. 2:00 IV. 2:30
12 12
11 1 11 1

10 2
10 2

9 3
9 3

8 4
8 4
7 5
6
7 5
6

d)

Ângulo em relação às 12 horas
Tempo
Horário
decorrido Ponteiro das horas Ponteiro dos
minutos
1:00 60 minutos
30º 0o ou 360º
12:30 30 minutos
15º 180º
12:10 10 minutos
5º 60º
2:00 120 minutos
60º 0o ou 720º
2:30 150 minutos
75º 180º ou 900º

Os valores podem ser obtidos por meio de proporcionalidade direta. Enquanto o
ponteiro das horas se desloca 360º a cada 12 horas, o ponteiro dos minutos desloca-
se 360º a cada hora, ou 60 minutos. Em relação ao ponteiro dos minutos, a resposta
pode contemplar a posição estática (apenas o ângulo em relação à origem) ou o
deslocamento, que inclui o número de voltas. Por exemplo, no caso das duas 2 horas,

22


o ponteiro faz um ângulo de 0o com a origem, mas houve um deslocamento de 2
voltas completas, ou seja, 720º.
e) Resposta: 6º e 0,5º. Se em 60 minutos o ponteiro das horas se desloca 30º, então
em 1 minuto ele se deslocará 0,5º. Já o ponteiro dos minutos, em 60 minutos se
desloca 360º, portanto, em 1 minuto ele se deslocará 6º.

Páginas 43 - 44
3.
a) 4:30 b) 3:20
12 12
11 1 11 1

10 2 10 2

9 3 3
9

8 4
8 4

7 5
6 7 5
6

Ponteiro das horas: 135º
Ponteiro das horas: 100º
Ponteiro dos minutos: 180º
Ponteiro dos minutos:120º

c) 1:40 d) 5:15
12 12
11 1 11 1

10 2 10 2

9 3 9 3

8 4 8 4

7 5 7 5
6 6

Ponteiro das horas: 50º Ponteiro das horas: 157,5º

Ponteiro dos minutos: 240º Ponteiro dos minutos: 90º
23


Páginas 44 - 46
4.
a)

Esporte praticado Número de pessoas % em relação ao total
Futebol 210
50
Vôlei 105
25
Basquete 63
15
Corrida 42
10
Total 420 100

b) O Gráfico 3. Pode-se observar na tabela que o futebol responde por 50% da
preferência, o que corresponde a meia circunferência, ou 180º. O vôlei é escolhido
por 25%, ou seja, um quarto da circunferência, ou 90º. O único gráfico que possui
esses dois setores circulares (180º e 90º) é o Gráfico 3.
c) O azul corresponde ao futebol; o violeta, ao vôlei; o creme, ao basquete; e o azul
claro, à corrida.

5. (a), (b) e (c).

Local Ângulo central % Número de pessoas
Praia
144º 40,0 32
Montanha
108º 30,0 24
Cidades históricas
72º 20,0 16
Outros
36º 10,0 8
Total 360º 100,0 80

24


6.
a)

Programa preferido % Ângulo central
Cinema
37,5 135º
Música
25,0 90º
Teatro
16,7 60º
Dança
12,5 45º
Outros
8,3 30º
Total 100,0
360º
Observação: Os valores da tabela estão aproximados.

b) Como cada setor corresponde a 15º, então cinema (135º) ocupará 9 setores;
música (90º) ocupará 6 setores; teatro (60º), 4 setores; dança (45º), 3 setores e outros
(30º), 2 setores.

Cinema

Música

Outros

Dança
Teatro

25


Página 47
7.
a)

Nacionalidade % Ângulo central
Brasileiros 45
162º
Argentinos 25
90º
Chilenos 20
72º
Outros 10
36º
Total 100
360º

b)

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