1. El documento presenta ejercicios sobre aplicaciones de la integral, incluyendo el cálculo de áreas, volúmenes, longitud de arco y centros de masa. Se proporcionan más de 10 ejercicios de cada tema con sus respectivas soluciones. 2. También incluye ejercicios sobre integrales impropias, con determinación de convergencia y divergencia, y cálculo de áreas de regiones definidas mediante funciones. 3. Finalmente, solicita al estudiante realizar ejercicios adicionales sobre moment

1. FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS 2
TALLER DE REFUERZO SOBRE LAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL
ÁREAS
1. Encuentre El área de la región limitada arriba por y = e x abajo por y = x y a
3
los lados por x = 0 y x = 1 . Gráfica explicativa. Rta: e −
2
2. Encuentre el área de la región encerrada por las parábolas
y = x 2 y y = 2 x − x 2 .Socializa el ejercicio con tus compañeros. Gráfica
explicativa.
3. Encuentre el área encerrada por la recta y = x − 1 y la parábola y 2 = 2 x + 6
4. Encuentre el área de la región sombreada de la figura dada.
5. Esquematice la región encerrada por las curvas dadas. Decida si integra con
respecto a x o y : Dibuje un rectángulo típico de aproximación y marque su
altura y su ancho. A continuación, halle el área de la región.
a) y = x + 1, y = 9 − x 2 x = −1 x = 2
π
b) y = senx, y = e x x = 0 x =
2
1 1
c) y = , y = 2 , x = 2
x x
d) y = x , y = x
2 2
e) y = x y = x 2 − 2
6. Use el cálculo para hallar el área del triángulo cuyos vértices son
A ( 0,5 ) , B ( 2, −2 ) y C ( 5,1)

2. • Solicite al estudiante que consulte sobre: Si conocemos las coordenadas
de los vértices del triangulo el área se calcula por medio del
x1 y1 1
1
Determinante: A = x2 y2 1
2
x3 y3 1
• Solicite al estudiante que consulte sobre: distancia de un punto a una
recta que para nosotros sería aplicar el concepto sobre el área de un
base.altura
triangulo A = . La base sería la longitud del segmento
2
( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )
2 2
AB = y la altura sería la distancia del punto a la
Ax + By + C
recta así: d = . Este tipo de problema es sumamente
A2 + B 2
importante porque se conjugan varios conceptos matemáticos y
producen en el estudiante motivación.
VOLÚMENES
1. Mediante el método de los cascarones (corteza, envolvente, capas etc.)
Determine el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje y la
región definida por las curvas dadas. Dibuje la región y un cascaron, así como
también el respectivo sólido.
1
a) y = , y = 0 , x = 1, x = 2 Rta. 2π
x
b) y = 4 ( x − 2 ) , y = x 2 − 4 x + 7 Rta: 16π
2
c) y = 3 + 2 x − x 2 , x + y = 3
2. Mediante el método de los cascarones, determine el volumen que se genera al
hacer girar alrededor del eje x la región definida por las curvas dadas. Dibuje la
región y un cascaron como también el respectivo sólido.
π
a) x = 1 + y 2 , x = 0, y = 1, y = 2 Rta 21
2
b) x = y , x = 0, y = 1
π
c) y = x 3 , y = 8, x = 0 Rta: 768
7
3. Utilizar cualquier método para calcular el volumen del sólido limitado por la
región R al girar alrededor del eje especificado. Gráfica de la región y del
sólido de revolución.
π
a) y = 4 x − x 2 , y = 3 alrededor de x = 1 Rta: 8
3

3. π
b) y = x 3 , y = 0, x = 1 alrededor de y = 1 Rta: 5
14
4. Plantee pero no evalúe una integral para calcular el volumen del sólido que se
genera al hacer rotar la región que definen las curvas dadas alrededor del eje
especificado.
a) y = ln x, y = 0, x = 2 alrededor del eje y
b) y = x, y = 4 x − x 2 alrededor de x = 7
c) x − y = 7, x = 4
2 2
alrededor de y = 5
5. Calcule el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región bajo la
curva y = x en el intervalo [0,1] . Realice la gráfica de la región y del sólido
correspondiente.
a) Alrededor del eje x
b) Alrededor del eje y
c) Alrededor del eje x = −2
d) Alrededor del eje y = 4
6. Utilice su imaginación para calcular los siguientes volúmenes de sólidos
conocidos por Uds. desde el Bachillerato. Socialice con sus compañeros el
ejercicio.
• Volumen del cilindro
• Volumen del cono
• Volumen de la esfera
7. Calcular el volumen del sólido cuya región plana es la que se muestra en la
figura.
¿El resultado del cálculo será igual, girando alrededor del eje x y luego girando
alrededor del eje y? Elabore el diagrama del sólido y concluya.
8. Dibujar el sólido cuando la región acotada por las gráficas de
y = x 2 + 1, y = 0 x = 0 , y x = 1 al girar alrededor del eje y. Indique cuál método
es más conveniente desde el punto de vista operativo para calcularlo.
9. En ocasiones las integrales que se utilizan en el cálculo del volumen de un
sólido y dependiendo de la rotación, esta puede ser de cuidado para su
desarrollo.
Veamos el siguiente ejercicio:

4. Calcular el volumen del sólido de revolución cuando la región plana limitada
por la gráfica de la función y = ln x , el eje x desde x = 1 hasta x = 2 al girar
alrededor del eje x. Ver figura
LONGITUD DE ARCO
Ejercicios del texto guía
Página 530
Números: 1 – 2 – 3 – 4 – 6 - 12 – 19 – 22 Además resolver los siguientes:
• Importante y como motivación que el estudiante verifique que la longitud de
una circunferencia de radio r es: L = 2π r (ver figura 1)
• Calcular la longitud del arco en rojo correspondiente a la figura 2
INTEGRALES IMPROPIAS
∞ex π
1. Evaluar ∫−∞ 1 + e 2 x dx Respuesta:
2
1 1 3
2. Evaluar ∫ 3 dx Respuesta:
0
x 2
∞ −x
3. Evaluar ∫ 0
x 2e dx Respuesta: 2
∞ 1 π
4. Evaluar ∫0 e + e−x
x
dx Respuesta:
4
5. Encontrar el área de la región comprendida por y ≤ e − x ; y ≥ 0, x ≥ 0 Ayuda:
trace la grafica de la función y = e − x y forme la integral impropia. Respuesta: 1
∞ 1
6. Determine si la integral ∫ dx es convergente o divergente Rta: divergente
1 x

5. 7. Explique por qué cada una de las siguientes integrales es impropia.
π 2
c) ∫ ln( x − 1) dx
a) ∫ 2
0
sec x dx 1
2 x
b) ∫ 0 x − 5x + 6
2
dx
−y
∞
8. Determine si la integral ∫ 4
e 2
dy es convergente o divergente
∞ x2
9. Determine si la integral ∫ xe − dx es convergente o divergente
−∞
∞ 1
10. Determine si la integral ∫
x x2 − 4
2
dx es convergente o divergente
11. Demostrar que el área de la región R es 2 3 El ejercicio sirve para evaluar la
integral impropia.
MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
Ejercicios del texto guía
Página 548
Números: 21 – 22 - 23 – 24 – 25 – 26 – 29 – 32
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