1. LUÍS CARLOS MARTINS CARDOSO
O PAPEL DO ESTADO NO CRESCIMENTO
ECONÓMICO ENDÓGENO DE LONGO
PRAZO NUMA ECONOMIA EM AUTARCIA:
VERSÃO SIMPLIFICADA DO MODELO
GERAL COM CAPITAL PÚBLICO
APLICADO NO SECTOR EDUCATIVO
FEVEREIRO/2007

2. 1
ÍNDICE
1. Introdução........................................................................................................................ 2
2. A estrutura do modelo com investimento de capital público apenas no sector
educativo.............................................................................................................................. 3
2.1. A modelização......................................................................................................... 3
2.2. O equilíbrio geral..................................................................................................... 5
2.3. A trajectória de equilíbrio........................................................................................ 7
2.4. A dinâmica local...................................................................................................... 10
3. Conclusão........................................................................................................................ 16
4. A comparação das duas versões do modelo 17
5. Apêndice.......................................................................................................................... 19
6. Bibliografia...................................................................................................................... 21

3. 2
1. Introdução
Esta versão do modelo, corresponde ao caso limite, no qual, o capital público é
investido apenas no sector educativo. A influência do Estado na economia está limitada,
à criação de condições que permitam aumentar o capital humano, que tem um papel
decisivo no sector produtivo. O papel do Estado no sector produtivo, é realizado
indirectamente via capital humano. Os gastos públicos devem ser aplicados no sector
educativo em: despesas com os professores e funcionários auxiliares, escolas,
equipamentos informáticos, livros, formação profissional, centros tecnológicos, etc.
Estamos a admitir, que as despesas com a educação são realizadas, basicamente, pelo
Estado.

4. 3
2. A estrutura do modelo com investimento de capital público apenas
no sector educativo
2.1. A modelização
Por simplificação vamos supor que o capital físico não se deprecia, isto é, k = 0.
Para a situação em que v = 0, o capital público é investido apenas no sector
educativo, não contribuindo directamente para a formação de capital físico.
Nestes pressupostos, formar-se-ão novas funções de produção que assumem a
forma funcional seguinte:
1
uhkAy k
e
22
1
1 ghuAy
hh
O Hamiltoniano corrente do problema das empresas, após o processo de
normalização e modelizado sem tendência de longo prazo será:
hghuApkipiuhkA hhkk f
22
11
11
Aplicando o princípio do máximo de Pontryagin, obtemos as condições de primeira
ordem ou condições necessárias de óptimo do problema:
hhku
p
u
hugA
u
uhkA
1
11
1 211 22
(1)
kik f
.

5. 16
3. Conclusão
Neste artigo, apresentámos uma versão simplificada do modelo geral, aplicando
capital público, exclusivamente no sector educativo. A sua resolução levou-nos a um
sistema de equações canónicas, que permitiu construir um sistema linearizado, a partir
do qual analisámos a taxa de crescimento de longo prazo e caracterizámos o estado de
equilíbrio — tarefa realizada com recurso a uma simulação numérica, atribuindo valores
aos parâmetros exógenos.
A utilização de simulação numérica na resolução do modelo, peca pelo reduzido
grau de generalidade obtido, ao nível da convergência para o estado de equilíbrio. Os
resultados devem ser interpretados apenas para a economia concreta que estivemos a
analisar e por isso deve ter-se algum cuidado na sua extrapolação, para conclusões mais
genéricas. Todavia, o estudo da dinâmica comparativa local, por simulação numérica,
possibilitou uma maior clareza nos resultados obtidos.
Na situação de steady-state, as variáveis do modelo (depois de normalizadas),
revelaram uma taxa de crescimento de longo prazo nula. Após o cálculo do Jacobiano J,
verificou-se que o ponto de equilíbrio de longo prazo desta economia é localmente
estável, é um ponto-sela, para o qual o sistema tende desde que o ponto de partida esteja
sobre o “braço estável”. Neste tipo de modelos de crescimento endógeno (tipo Uzawa-
Lucas), o determinante da matriz é nulo e a dinâmica do sistema é dada pelos valores
próprios da matriz J. Estes apresentaram um valor próprio nulo, um negativo e dois
positivos: resultados que correspondem a uma situação de bifurcação local, com um
braço estável unidimensional e com uma trajectória de equilíbrio formada por uma
recta. O sistema evidenciou um ponto-sela, com a trajectória estável de dimensão
unitária com a forma de uma recta como prova a representação gráfica em apêndice
tal como a generalidade dos modelos de crescimento endógeno definidos na
literatura económica.
Apesar, do capital público aplicado na educação não ser um factor produtivo no
sector produtivo de bens transaccionáveis, cria condições para o aumento do capital
humano — variável fundamental para qualquer sector da actividade económica.

6. 17
4. A comparação das duas versões do modelo
A resolução do modelo, em duas versões alternativas, procurou evidenciar como é
que o investimento de capital público em cada sector de actividade, produtivo ou
educativo, poderia ou não, ter efeito na taxa de crescimento de longo prazo desta
economia fechada. Na resolução das versões modelizadas, estudámos a sua dinâmica
comparativa local, na proximidade do estado estacionário, recorrendo à simulação
numérica. Apesar da perda de algum grau de generalidade, este método permite maior
clareza nos resultados.
Para compararmos as versões do modelo procurámos, durante a simulação
numérica, manter valores semelhantes para os parâmetros. Contudo, houve uma
excepção à regra, no que tocou ao share de capital público aplicado nas funções de
produção. Na primeira versão modelizada em Cardoso (2006-b) aplicámos o share à
função de produção do capital físico; na segunda versão modelizada, e aqui
desenvolvida, aplicámos o share à função de produção do capital humano.
Pela resolução das duas versões observámos, no estudo da dinâmica local, que
ambas apresentavam as características típicas dos modelos de crescimento endógeno —
tipo Uzawa-Lucas. A matriz Jacobiana, apresentava nas duas versões, um determinante
nulo. A dinâmica comparativa local, realizada com recurso aos valores próprios dessa
matriz, facultou quatro valores próprios com os seguintes resultados: um nulo, um
negativo e dois positivos.
Estes resultados vêm confirmar que os modelos têm as características típicas dos de
crescimento endógeno, nos quais existe uma situação de bifurcação local, com o braço
estável, unidimensional, e a que corresponde uma trajectória de equilíbrio com a
configuração de uma recta. Os sistemas definem um equilíbrio ponto-sela3
, com uma
trajectória estável de dimensão unitária.
A nossa modelização de capital público nos dois sectores de actividade apresentou
características similares ao modelo desenvolvido por Glomm e Ravikumar (1997), isto
é, de crescimento endógeno.
3
A interpretação de equilíbrio ponto-sela que seguimos, é a usada por Gomes (1996) e apresentada
em Barro e Sala-i-Martin (1995) no seu apêndice matemático e que dita que o equilíbrio ponto-sela
corresponde a qualquer situação, na qual o sistema não é globalmente estável, com todos os valores
próprios negativos ou globalmente instável com todos os valores próprios positivos.

7. 19
5. Apêndice
Gráfico 1 — Trajectória estável entre as variáveis h e pk
E
II
III
I
h
p
k
p
k
= 3,186
h = 1
Gráfico 2 — Trajectória estável entre as variáveis h e ph
E
II
III
I
h
p
h
p
h
= 2,092
h = 1

8. 21
6. Bibliografia
Azariadis, C. (1994), Intertemporal Macroeconomics, Blackwell, Oxford.
Barro, R. J. e Sala-i-Martin, X. (1995), “Technological Difusion, Convergence and
Growth, Public Finance in Models of Economic Growth”, NBER Working Paper
Series, 5151.
Barro, R. J. e Sala-i-Martin, X. (1995), Economic Growth, McGraw-Hill, New
York.
Cardoso, Luís Carlos (2006), “O Papel do Estado no Crescimento Económico
Endógeno de Longo Prazo numa Economia em Autarcia: Modelo Geral com
Capital Público Aplicado, em Simultâneo, nos Sectores Produtivo e Educativo”,
Documento de Trabalho do Gabinete de Publicações, Departamento de Gestão de
Comércio e Serviços, Escola Superior de Gestão, Instituto Politécnico de Tomar,
Tomar, 30, Junho, 32p.
Cardoso, Luís Carlos (2006), “O Papel do Estado no Crescimento Económico
Endógeno de Longo Prazo numa Economia em Autarcia: Versão Simplificada do
Modelo Geral com Capital Público Aplicado no Sector Produtivo”, Documento de
Trabalho do Gabinete de Publicações, Departamento de Gestão de Comércio e
Serviços, Escola Superior de Gestão, Instituto Politécnico de Tomar, Tomar, 36,
Julho, 21p.
Gandolfo, G. (1997), Economic Dynamics, 3rd
ed, Springer-Verlag, Berlin.
Glomm, G. e Ravikumar, B. (1997), “Productive Government Expenditures and
Long-Run Growth”, Journal of Economic Dynamics and Control”, 21, 183-204.
Gomes, O. (1996), “O Debate Crescimento Neo-Clássico, Crescimento Endógeno
num Modelo de Crescimento Bi-Sectorial”, Dissertação apresentada no Instituto
Superior de Economia e Gestão, Lisboa.