Moje notatki do egzaminu z Analizy Matematycznej

1. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
Wstępu do logiki i teorii mnogości
Spis treści
1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań złożonych..........................................2
2. Tautologia i przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń......................................................................................2
3. Reguły dowodzenia. Przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń........................................................................2
4. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady..................................................................................................................3
5. Reguły zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami. Przykłady.................................................................................................3
6. Rozdzielność kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy. Przykłady i kontrprzykłady....................................3
7. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności............................................................................................................4
8. Definicja relacji. Podstawowe pojęcia związane z relacją: dziedzina, przeciwdziedzina, relacja odwrotna, składanie
relacji. Przykłady z różnych dziedzin matematyki..................................................................................................................4
9. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykłady............................................................5
10. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.........................................................................6
11. Własności klas równoważności. Iloraz zbioru przez relację równoważności. Przykłady................................................6
12. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej. Przykłady dowodów indukcyjnych....7
13. Zastosowanie relacji równoważności do konstrukcji liczb całkowitych i wymiernych na bazie liczb naturalnych........7
14. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suriekcje, monotoniczne. Przykłady i
kontrprzykłady.........................................................................................................................................................................8
15. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja odwrotna. Przykłady.........................9
16. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady...................................................................10
17. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych i liniowo uporządkowanych: najmniejsze, największe, minimalne,
maksymalne. Przykłady i związki pomiędzy nimi................................................................................................................10
18. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie są równoliczne......................................11
19. Zbiory przeliczalne. Definicja i podstawowe własności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych...........................11
20. Zbiory mocy continuum. Definicja i przykłady tego typu zbiorów................................................................................11
Strona nr 1

2. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
1. Definicja zdania w sensie logicznym. Spójniki zdaniowe. Wartość logiczna zdań
złożonych.
Zdanie w sensie logicznym – zdanie oznajmujące, któremu w jednoznaczny sposób można przypisać
ocenę prawdy lub fałszu.
Spójniki zdaniowe:
• ¬ p - negacja („nie”),
• p∧q – koniunkcja („i”),
• p∨q – alternatywa („lub”),
• p⇒q - implikacja („Jeżeli … to …”),
• p⇔q - równoważność („… wtedy i tylko wtedy, gdy ...”).
Wartość logiczna zdań złożonych zależy jedynie od podstawowych zdań składowych.
2. Tautologia i przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń.
Tautologia (prawo rachunku zdań) - taki układ zdania złożonego, który jest zawsze prawdziwy, bez
względu na wartość logiczną zdań składowych.
Przykłady:
• ¬¬p⇔ p ,
• ¬ p⇒q⇔ p∧¬q ,
•  p⇒q∧q⇒r⇔ p⇒r .
3. Reguły dowodzenia. Przykłady ich zastosowania w dowodach twierdzeń.
Reguła dowodzenia – elementarne ogniwo rozumowań dedukcyjnych.
Każda reguła dowodzenia jest tautologią.
p1, p2, ... , pn
q
⇔ p1∧ p2∧...∧pn⇒q
Przykłady:
• p , p⇒q
q
,
• p⇒q ,q⇒r
p⇒r
,
• ¬q⇒¬ p
p⇒q
,
• ¬ p⇒q∧¬q
p
.
Strona nr 2

3. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
4. Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe. Przykłady.
Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce na oznaczenie zwrotów „dla każdego”, „istnieje” i im
podobnych.
Funkcja zdaniowa – wyrażenie zawierające zmienne wolne, która w wyniku związania się
z kwantyfikatorami staje się zdaniem.
Przykład:
∀0 ∃N ∀nN∣an−g∣
5. Reguły zaprzeczania zdań z kwantyfikatorami. Przykłady.
¬∀x x⇔∃x ¬x
¬∃x x⇔∀x ¬x
Przykład:
¬∀n∈ℕ1n4⇔∃n∈ℕ1n≤4
6. Rozdzielność kwantyfikatorów względem koniunkcji i alternatywy. Przykłady
i kontrprzykłady.
1. ∀x∈X x∧x⇔∀x ∈X x∧∀x∈ X  x
2. ∀x∈X x ∨∀x ∈X x⇒∀x ∈X  x∨x 
3. ∃x∈X x∧x⇒∃x ∈X x∧∃x∈X x 
4. ∃x∈X x∨x⇔∃x∈ X  x∨∃x∈X x
Przykład:
∀x∈ℤ x0∨∀x ∈ℤ x≤0⇒∀x∈ℤx0∨x≤0
Kontrprzykład:
∀x∈ℤ x0∨x≤0⇒∀x∈ℤ x0∨∀x ∈ℤ x≤0
Strona nr 3

4. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
7. Działania na zbiorach i ich podstawowe własności.
A⊂B⇔∀x x∈ A⇒ x∈B
A=B⇔ A⊂B∧B⊂A
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
 A∩B∩C =A∩B∩C 
A∩B∪C= A∩B∪ A∩C 
Działania uogólnione:
∑i∈I
Ai={x :∃i∈I x ∈Ai } suma uogólniona
∏i∈I
Ai={x :∀i∈I x ∈Ai} iloczyn uogólniony
X ∖∑i∈I
Ai ⇔∏i∈I
X ∖ Ai
X ∖∏i∈I
Ai⇔∑i∈I
X ∖ Ai
8. Definicja relacji. Podstawowe pojęcia związane z relacją: dziedzina, przeciwdziedzina,
relacja odwrotna, składanie relacji. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.
Relacja – zależność pomiędzy dwoma bądź większą ilością elementów
DR={x ∈X :∃y∈Y x , y∈R} Dziedzina relacji
D
−1
R={y∈Y :∃x∈ X x , y∈R} Przeciwdziedzina relacji
R
−1
={ y , x:x , y∈R} Relacja odwrotna
S° R={x , z:∃y∈X x , y∈R∧ y , z∈S} Złożenie relacji
Przykłady:
• xRy⇔ y=2x ,
• ASB⇔ A∩B≠∅
Strona nr 4

5. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
9. Różne rodzaje relacji i ich wykresy na płaszczyźnie. Przykłady i kontrprzykłady.
• R jest zwrotna w X ⇔∀x∈X xRx
• R jest symetryczna w X ⇔∀x , y∈ X xRy⇒ yRx
• R jest przechodnia w X ⇔∀x , y , z∈X xRy∧yRz ⇒xRz
• R jest antysymetryczna w X ⇔∀x , y∈ X  xRy∧yRx⇒ x=y
• R jest spójna w X ⇔∀x , y∈ X xRy∨ yRx
• R jest asymetryczna w X ⇔∀x , y∈ X xRy⇒¬ yRx
• R jest przeciwzwrotna w X ⇔∀x∈X ¬ xRx
Przykładowe wykresy relacji:
R jest relacją:
– równoważnościową, gdy jest zwrotna, symetryczna, przechodnia,
– porządkującą, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia,
– liniowo porządkującą gdy jest relacją porządkującą i jest spójna.
Strona nr 5
Relacja zwrotna Relacja
symetryczna
Relacja
przechodnia
Relacja
Antysymetryczna
Relacja spójna Relacja
asymetryczna
Relacja
przeciwzwrotna

6. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
10. Relacje równoważnościowe. Przykłady z różnych dziedzin matematyki.
R jest relacją równoważnościową, gdy jest zwrotna, symetryczna, przechodnia,
Przykłady:
• xRy⇔∣x∣=∣y∣ ,
• ASB⇔ A=B .
11. Własności klas równoważności. Iloraz zbioru przez relację równoważności. Przykłady.
[ x] - klasa równoważności elementu x względem relacji R
[ x]={y∈ X : xRy} (zbiór wszystkich elementów zbioru X równoważnych z x)
Gdy R jest relacją równoważnościową to:
• ∀x∈X [ x]≠∅ ,
• ∑x∈X
[ x]=X ,
• ∀x , y∈X [ x]∧[ y]≠∅⇔[x ]=[ y]⇔xRy
X /R={[x ]: x∈ X } - iloraz zbioru przez klasę równoważności R (dowolnemu podziałowi zbioru
odpowiada pewna relacja równoważności).
Przykłady:
• Kierunek na płaszczyźnie.
Weźmy lRm⇔l∥m - relacja równoległości prostych na płaszczyźnie.
[l]={p:l∥p} - zbiór prostych równoległych do l (kierunek).
Kierunkiem na płaszczyźnie określamy klasę równoważności tej prostej względem relacji
równoległości.
• Wektor swobodny.
Weźmy AB SCD⇔AB=CD - relacja równości wektorów.
[AB]={CD :AB=CD} - zbiór wektorów równych wektorowi AB
Wektorem swobodnym na płaszczyźnie nazywamy klasę równoważności ustalonego wektora
względem relacji równości wektorów.
Strona nr 6

7. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
12. Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych. Zasada indukcji matematycznej.
Przykłady dowodów indukcyjnych.
Aksjomatyka Peany zbioru liczb naturalnych:
ℕ - zbiór liczb naturalnych.
1. 0 jest liczbą naturalną.
2. ' : ℕℕ ( n'=n1 ).
3. 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
4. ∀n∈ℕ∖{0}∃m∈ℕ m'=n .
5. ∀m ,n∈ℕm'=n' ⇒m=n
6.  A⊂ℕ∧0∈ A∧∀n∈ℕ n∈ A⇒n' ∈ A⇒ A=ℕ
Zasada indukcji matematycznej:
 A⊂ℕ∧k0∈ A∧∀n≥k 0
n∈ A⇒n1∈ A⇒ A=ℕ
Przykłady:
• 12
22
...n2
=
nn12n1
6
,
• 10∣3
4n2
.
13. Zastosowanie relacji równoważności do konstrukcji liczb całkowitych i wymiernych
na bazie liczb naturalnych.
Zbiór liczb całkowitych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej na
zbiorze par liczb naturalnych, zdefiniowanej następująco:
a ,b Rc ,d ⇔ad=bc ,gdzie a ,b ,c ,d∈ℕ
(liczbę całkowitą można skonstruować jako zbiór wszystkich par liczb naturalnych, które dałyby ten sam
wynik przy odejmowaniu).
Przykłady:
Liczbę 2 można skonstruować jako zbiór {2,0,3,1,4,2,}
Liczbę -3 można skonstruować jako zbiór {1,4,2,5 ,3,6 ,}
Zbiór liczb wymiernych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej na
zbiorze par liczb całkowitych, zdefiniowanej następująco:
 p ,r Rq ,s⇔ p⋅s=r⋅q , gdzie p ,q∈ℤ∧r ,s∈ℤ∖{0}
(liczby wymierne można skonstruować jako zbiór wszystkich takich par, gdzie pierwszy element pary jest
liczbą całkowitą, a drugi niezerową liczbą całkowitą).
Przykłady:
Liczbę
1
2
można skonstruować jako zbiór { ,−1,−2,1,2 ,2,4 ,}
Strona nr 7

8. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
14. Pojęcie funkcji jako relacji. Różne rodzaje funkcji: iniekcje, bijekcje, suriekcje,
monotoniczne. Przykłady i kontrprzykłady.
Definicja funkcji:
Relacja f ⊂X ×Y jest funkcją jeżeli:
1. D f =X .
2. D f
−1
⊂Y
3. ∀ x , y1∧x , y2 xfy1∧xfy2⇒ y1= y2
xfy= f x
Funkcja jest iniekcją, gdy ∀x1, x2 ∈X  f x1= f x2⇒x1=x2 .
Przykład: f x=x
Kontrprzykład: f x=∣x∣
Funkcja jest suriekcją, gdy ∀y∈Y ∃x∈ X f x=y .
Przykład: f x=x
2
, gdy f :ℝ [0,∞
Kontrprzykład: f x=x
2
, gdy f :ℝℝ
Funkcja jest bijekcją, gdy jest iniekcją i suriekcją.
Funkcja jest monotoniczna, gdy jest rosnąca lub malejąca.
Strona nr 8

9. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
15. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcję. Składanie funkcji i funkcja
odwrotna. Przykłady.
Obraz zbioru przez funkcję to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja przyjmuje dla
argumentów branych z danego zbioru.
f : X  Y
A⊂X
f  A={ f  x: x ∈A}
f  A∩B⊂ f  A∩ f B
f  A∪B= f  A∪ f B
f  A∖ f B⊂ f  A∖ B
Przeciwobraz zbioru poprzez funkcję to zbiór tych elementów z dziedziny funkcji, które funkcja
przeprowadza na elementy danego zbioru.
f : X  Y
B⊂Y
f −1
B={x∈D f : f x∈B}
f
−1
A∩B= f
−1
 A∩ f
−1
B
f −1
A∪B= f −1
 A∪ f −1
B
f
−1
A∖ B= f
−1
 A∖ f
−1
B
Funkcja odwrotna:
Funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca
odwrotnie do niej. Funkcja jest odwracalna, gdy jest bijekcją (iniekcją i suriekcją).
f
−1
x:Y  X
Złożenie funkcji:
 f : X Y ∧g :Y  Z ⇒ f °g : X  Z
 f °g x= f gx
Przykład:
•
f x=2x1
g x=x
2
 f °g x= f gx= f  x
2
=2x
2
1
g° f  x=g f x=g2x1=2x1
2
=4x
2
4x1
Strona nr 9

10. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
16. Relacje porządkujące i liniowo porządkujące. Przykłady i kontrprzykłady.
Relacja jest porządkująca, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.
Przykład:
• xRy⇔ x≤y ,
• x1, y2S x2, y2⇔[x1≤x2∧ y1≤y2] .
Kontrprzykład:
• xRy⇔ xy ,
• x1, y2S x2, y2⇔[x1x2∧ y1y2] .
Relacja jest liniowo porządkująca, gdy jest relacją porządkująca i jest spójna.
Przykład:
• x1, y2T x2, y2⇔x1x2∨[ x1=x2∧ y1≤ y2] .
Kontrprzykład:
• x1, y2T x2, y2⇔x1x2 .
17. Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych i liniowo uporządkowanych:
najmniejsze, największe, minimalne, maksymalne. Przykłady i związki pomiędzy nimi.
Elementy specjalne w zbiorach uporządkowanych:
R⊂A×A
• x0∈ A jest największy w A ⇔∀x∈A xRx0 ,
• x0∈ A jest najmniejszy w A ⇔∀x∈A x0 Rx ,
• x0∈ A jest elementem maksymalnym w A ⇔∀x∈A x0 Rx⇒ x0=x ,
• x0∈ A jest elementem minimalnym w A ⇔∀x∈A xRx0⇒ x0=x .
Związki pomiędzy elementami specjalnymi:
1. W zbiorze uporządkowanym każdy element największy (najmniejszy) jest elementem
maksymalnym (minimalnym).
2. W zbiorze uporządkowanym może istnieć co najwyżej jeden element największy (najmniejszy).
3. Gdy w zbiorze liniowo uporządkowanym element x0 jest maksymalny (minimalny), to jest
największy (najmniejszy) .
Przykład:
• A={1,2,3 ,...,7}
xRy⇔ x≤y
element największy (i zarazem maksymalny) to x0=7 , bo ∀x∈A x≤7 .
element najmniejszy (i zarazem minimalny) to x0=1 , bo ∀x∈A 1≤x .
Strona nr 10

11. Autor: Piotr Szlagor (piotr.szlagor.net)
18. Równoliczność zbiorów. Definicja i przykłady zbiorów, które się i które nie są
równoliczne.
Zbiory A i B są równoliczne (co zapisujemy jako A~B), jeśli istnieje f : A B bijekcja.
Relacja równoliczności jest jest równoważnościowa.
Przykład zbiorów równolicznych:
A={a1, a2, a3, ...,an}
B={b1, b2, b3, ... ,bn}
Przykład zbiorów nierównolicznych:
A={a1, a2, a3, ...,an}
B={b1, b2, b3, ... ,bm }
dla m≠n
A - moc zbioru A (ilość elementów w zbiorze)
A=B⇔ A~B
A=ℵ0⇔ A~ℕ (Istnieje f :ℕ A )
19. Zbiory przeliczalne. Definicja i podstawowe własności zbiorów przeliczalnych i
nieprzeliczalnych.
Zbiór jest przeliczalny, jeśli jest skończony lub A~ℕ
Zbiór przeliczalny to taki zbiór, którego elementy można ponumerować liczbami naturalnymi. Jeszcze
inaczej: elementy zbioru przeliczalnego można ustawić w ciąg – "wypisać je po kolei".
Własności zbiorów przeliczalnych:
• podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
• suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
• iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Przykłady:
• 2ℕ ,
• ℤ .
20. Zbiory mocy continuum. Definicja i przykłady tego typu zbiorów.
Zbiór X jest mocy continuum, jeśli X jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
A=C ⇔ A~ℝ (Istnieje f :ℝ A )
Przykład:
• −
2,

2  ( f x=arctanx  ).
Strona nr 11