3. Trang 3
MC LC
……
I. PHNG TRÌNH LNG GIÁC C BN...........................................3
II. MOT SÔ DNG
PHNG TRÌNH LNG GIÁC DN GIN.......................................10
III.PHNG PHÁP GII CÁC
PHNG TRÌNH LNG GIÁC TONG QUÁT ...................................29
IV.PHNG TRÌNH LNG GIÁC CÓ CH)A THAM SÔ......................35
V. PHNG PHÁP LNG GIÁC
GII PHNG TRÌNH DI SÔ..............................................................42
VI.TRAC NGHIEM.........................................................................................4
4. PHÂN I PH NG TRÌNH L+NG GIÁC C B
N
= +
= − +
x k
x
k
m
=
= ± +
=
= +
=
x k
m
= +
=
x k
m
Trang 4
……
I.PH NG PHÁP GI
I
C/ s1 c3a ph6/ng pháp là biên doi s/ câp các ph6/ng trình l6Bng giác c3a
dê ra vê mot trong bôn dJng chuan sau và d6Bc chia thành 2 loJi:
1.Phng trình lng giác c bn:
Có bôn dng: sin x = m,cos x = m, tan x = m,cot x = m
Công thc nghiem; kZ
Phưng trình Diêu kien có nghiem
Dng 1 Dng 2
Sinx = m
−1 m 1 x = (−1)k arcsinm + k
2
2
( sin )
Cosx = m −1 m 1 x = ±arc cosm + k2
x k
2
( m
cos )
m x + k x = arctanm + k
Tanx = m ;
2
( tan )
Cotx = m
m; x k x = arccotm + k
( cot )
Chú ý: sin 1 2 ;cos 1 2
x = x = + k x = x = k
2
= = = = +
x x k x x k
sin 0 ;cos 0
2
sin 1 2 ;cos 1 2
2
= − = − + = − = − +
x x k x x k
2.Phng trình lng giác thuoc dng c bn:
Có mot trong các dng sau:
Sin[f(x)] = m; cos[f(x)] =m; tan[f(x)] = m; cot[f(x)] = m vWi f(x) là bieu thYc chYa
biên x
Hoac là : sin[f(x)] = sin[g(x)]; cos[f(x)] = cos[g(x)]
Tan[f(x)] = tan[g(x)]; cot[f(x)] = cot[g(x)]
Ta s[ dng các công thYc nghiem nh6 trên
5. Trang 5
II.VÍ D0: Gi`i ph6/ng trình:
Ví d 1
tan tan
x
= x
2
x
= +
= +
= − ( )
x k
x k
k k
2
x 2 2
x 2
Vay ph6/ng trình có 1 he nghiem x = −k2 (kZ)
.
Ví d 2
sin = 2 sin 5 +
cos
x x x
2 sin 5 x = sin x −
cos
x
= 2 sin 5 x 2 sin
x
−
4
x x
sin 5 sin
4
x x k
5 2
4
5
4
2
x x
x k
16
5
24 3
x k
= −
= − +
= − −
= − +
= +
(k Z
)
(k Z
)
Vay ph6/ng trình có 2 he nghiem
2
= +
2
5
24 3
(k
) = +
Z
x k
x k
6. Trang 6
Ví d 3
2 1
sin 2 sin
2
x x
1 cos 2 1
sin 2
2 2 2
sin 2 cos 2 0
sin 2 1
cos 2 2
1
tan 2
2
1
2 arctan
2
1 1
x arctan
2 2
x
x
x x
x
x
x
x k
k
+ =
+ − =
2 − =
=
=
= +
(k )
= +
Z
(k Z
)
Vay ph6/ng trình có 1 he nghiem
1 1
arctan
2 2
x = + k (kZ)
Ví d 4
3 sin x − cos x + 2sin 3 x
=
0
3 1
sin cos sin 3 0
2 2
sin .sin cos cos sin 3 0
x − x + x
=
x − x + x
=
3 3
cos sin 3 0
− x +
+ x
= 3
+ =
cos sin 3
x x
3
cos x + = cos − 3
x
3 2
+ = − +
x x k
3 2
3 2
x x k
3 2
3 2
k
24 2
5
12
x
x k
+ = − +
= +
= −
(k Z)
7. Trang 7
Vay ph6/ng trình có 2 he nghiem 24 2
5
12
(k Z)
= +
= −
k
x
x k
Ví d 5
1+ tan x = 2 2 sin x (1)
Diêu kien : cosx 0
x + k
2
VWi diêu kien trên (1)
sin
+ =
1 2 2 sin
cos
x
x
x
+ =
+ =
cos x sin 2 2 sin .cos
2 sin 2 sin 2
x x x
x x x
4
= + +
2 2
4
2 2
4
2
4 (k )
2
4 3
(loaïi)
= − + +
= +
= +
Z
x x k
x x k
x k
k
x
k 2
x
= + (kZ)
4 3
Vay ph6/ng trình có mot he nghiem
2
= + k
x
4 3
(kZ)
8. Trang 8
Ví d 6
+ =
3 3 3
sin .cos3 cos .sin 3 sin 4
x x x x x
3 3 − + 3 − 3 =
3
− + − =
− =
=
=
sin (4cos 3cos ) cos (3sin 4sin ) sin 4
4sin .cos 3sin .cos 3sin .cos 4sin .cos sin 4
3sin .cos (cos sin ) sin 4
3
sin 2 .cos 2 4sin 4
2
3sin 4 4sin
x x x x x x x
3 x 3 x 3 x x x 3 x 3 x 3 x 3
x
x x 2 x 2 x 3
x
x x 3
x
x
3
− 3
=
=
= (kZ)
4
3sin 4 4sin 4 0
sin12 0
x
12
x
x x
x
k
Vay ph6/ng trình có mot he nghiem x
k
12
(k )
= Z
Ví d 7
sin cot 5
1
x x
cos9
x
= (1)
Diêu kien :
5
+ +
sin 5 0 5 (k )
cos9 0 9
2
18 9
Z
k
x k x
x
x x k k
x
cos5
=
(1) sin . cos9
sin 5
=
− = −
=
sin .cos5 cos9 .sin 5
sin 6 sin 4 sin14 sin 4
sin14 sin 6
14 = 6 +
2
14 6 2
8 2
20 2
= − +
=
= +
4 ( )
20 10
=
= +
x
x x
x
x x x x
x x x x
x x
x x k
x x k
x k
x k
k
x
k Z
k
x
9. Trang 9
Vay ph6/ng trình có 2 he nghiem 4 ( )
20 10
=
= +
Z
k
x
k
k
x
III.BÀI TAP DÊ NGH5
Gi`i các ph6/ng trình sau:
− =
x
1) 2 tan 3 3 0
− =
x x
− 2
=
− = −
+ =
x x
x
x
x
+ = +
+
4 4
= +
− =
+ =
2
2
2)sin cos 2
3
3)cos 2 sin 0
4)2sin 2cos x 1 3
sin 2
5) 2cos 0
1 sin
2
+
6)2 tan cot x 3
sin 2
sin cos 1
7) (tan cot x)
sin 2 2
8)cos sin 2 cos3
1 1 1
9)
sin 2 cos 2 sin 4
10)cos10 + 2cos 4 +
6c
x
x
x
x x
x
x
x x x
x x x
x x 3
2 2
os3 .cos x cos 8cos .cos 3
11) tan cot x 2(sin 2 cos 2 )
cot tan
12) 16(1 cos 4 )
cos 2
= +
+ = +
−
= +
x x x x
x x x
x x
x
x
10. cos ) 0
4 4 2 2
+ + Höôùng daãn : Tìm ÑK, phöông trình = 2(sin2x + cos2x)
k k
+ Höôùng daãn : Vieát veá traùi döôùi daïng veá phaûi döôùi daïng 32
Trang 10
IV.H6NG DAN VÀ DÁP SÔ
k
+ − + = −
± + − 2
=
+
1) .
9 3
7 2 7
2) ; 2 . cos 2 sin 2
18 3 6 2
1 1 cos 2
3) arccos . sin
3 2
2 3 1
4) 2 ; 2 . sin
6 3 2 2 12
2
5) .
6 3
Höôùng daãn :
Höôùng daãn :
Höôùng daãn :
Höôùng d
−
+ − + =
− +
k
k x x
x
k x
k k
k ( )
2
( 4 4 2 2 )
6) .
3 sin 2
7) sin 2 0,sin cos 1 2sin .cos
8) ; .
8 16 2
aãn : ÑK 1+ sinx 0 , ñöa pt ve àdaïng 2(sin2x +
Höôùng daãn : tanx + cotx =
Vo ânghieäm . Höôùng daãn : ÑK
Höôùng daãn :
=
+
+ = −
+ − +
x
k
x
x x x x x
k
k
( )
Vo ânghieäm. Höôùng daãn : ÑK sin2x 0,
( 3
)
cos sin. 2
4
9) sin cos 1 2sin cos
10) 2 . cos3 4cos 3cos
11)
Höôùng daãn : chuyeän veá ñaët nhaân töû chung,aùp duïng coâng thöùc
− = +
+ = −
= −
x x x
x x x x
k x x x
2
2
2
; .
8 2 4 2 sin 2
4cos 2
12) . , cos 2
16 8 sin 2 .cos 2
x
k x
x
x x
11. Trang 11
……
I. PH NG PHÁP GI
I
Dng 1. Dng bình phng c;a các phng trình lng giác c bn
DJng chuan Công thYc
nghiem;
k Z
a sin2 f (x) ] = sin2 g(x) ]
1
b cos2 f (x) ] = cos2 g(x) ]
f ( x ) = ± g ( x )
+ k
f ( x ), g ( x
)
2
tan2 f (x) ] = tan2 g(x) ] ( ) ( )
= ± +
f x g x k
f ( x )
k
2
f ( x ), g ( x
)
+
3
cot2 f (x) ] = cot2 g(x) ] ( ) ( )
= ± + +
f x g x k
f ( x )
k
f ( x ), g ( x
)
Dng 2. Phng trình bac hai da vê mot hàm lng giác
Ph6/ng trình bac hai dôi vWi hàm sô l6Bng giác:
DJng Diêu kien(a,b,c R;a 0 ) Cách gi`i
1
2
a x b x c
a f x b f x c
sin sin 0
sin 2
[ ( ) sin[ ( )] 0
+ + =
+ + =
Dat
sin
sin ( )
=
=
x t
f x t
2
2
a x b x c
a f x b f x c
cos cos 0
cos 2
[ ( ) cos[ ( )] 0
+ + =
+ + =
Dat
cos
cos ( )
=
=
x t
f x t
3
2
a x b x c
a f x b f x c
tan tan 0
tan 2
[ ( ) sin[ ( )] 0
+ + =
+ + =
Dat
tan
tan ( )
=
=
x t
f x
4
2
a x b x c
a f x b f x c
cot cot 0
cot 2
[ ( ) cot[ ( )] 0
+ + =
+ + =
Dat
cot
cot ( )
=
=
x t
f x t
PHÂN II
MOT SÔ DENG
PH NG TRÌNH L+NG GIÁC D N GI
N
12. Trang 12
Chú ý :
1.Nêu dat t = sinx, t = cosx thì ph`i có dk t 1
2.Sinx =
= +
arcsin 2
= − +
(k )
x k
x k
( arcsin ) 2
Z
Cosx = x = ± arccos + k2
Tanx = x = arctan + k
Cotx = x = arccot + k
Dng 3. Di sô hóa phng trình lng giác
C/ s1 c3a ph6/ng pháp cân thcl hien ba b6Wc:
• B1 nhan dJng R(x) = R(sin x;cos x) và dat :
(DK: x (2k +1) ; k Z)
• B2: s[ dng các biên doi
x
De d6a R(x) = R(sin x;cos x) vê ph6/ng trình bac hai:
f (t) = at 2 +!t + = 0
Hay ph6/ng trình bac cao g(t) = 0 ph`i có cách gi`i dac biet.
• B3: kiem tra hien t6Bng mât nghiem c3a ph6/ng trình: a sin x + bsin x = c
x = (2k +1) ; k Z khi a + b + c = 0
tan
2
t =
2
2
sin
1
t
x
t
=
+
1
1
1
cos
1
t
x
t
−
=
+
2
2
tan
1
t
x
t
=
−
13. C/ s1 c3a ph6/ng pháp là s[ dng các tìm nghiem nguyên c3a ph6/ng trình
phi tuyên dac biet:
Trang 13
Dng 4. SM dNng hng tM không âm
=
A f x 1 + A f x 2
+ %%%%%%%%%+ A f x = f x
= A B
%%%%%%%%%% f x
f x
=
=
f x
f x
= %%%%%%%%%% f x
=
Dng 5. Các phng trình lng giác có phng pháp gii tong quát
1.asinx + bcosx = c
Ta có: a.sinx + bcosx = c
a b c
sin x + cos
x =
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b a b a b
(1)
Vì
2 2
a + b
= 2 + 2 2 + 2
1
a b a b
Nên #$ sao cho :
a
2 2
2 2
sin
a b
b
cos
a b
$ =
+
$ =
+
1
2 2 2
1 1 2 2 2
( ) 0
[ ( )] [ ( )] [ ( )] 0 ( ) 0
, 0
( ) 0
m m mn
n n
n
Qua ba b6Wc:
B1: biên doi s/ câp d6a ph6/ng trình 1 gi` thiêt vê dJng 1.(d/n gi`n)hay
tong quát (dJng hai).
B2: gi`i các ph6/ng trình t6/ng d6/ng mà de các ph6/ng trình trogn he có
cách gi`i d/n gi`n dã dec:
1
2
( ) 0
( ) 0
( ) 0 n
cho dJng tong quát
B3:thông th6ong ph`i tìm nghiem chung cho he dã biêt de kêt luan nghiem
tong quát
14. + , chia 2 vê c3a pt cho cos2x vWi l6u ý 2
Trang 14
Do dó : (1)
c
2 2
sinx.sin cosx.cos
a b
$ + $ =
+
c
2 2
cos(x )
a b
− $ =
+
(2)
Vì vay
• Nêu
c
2 2
1
a b
+
hay c2 a2 + b2
Thì (2)
c c
− $ = ± = $ ± + +
x arccos x arccos
2 2 2 2
a b a b
• Nêu
c
2 2
1
a b
+
hay 2 2 2 c a + b thì pt vô nghiem
a) Pt a.sinx + bcosx = c có ngiem khi và chp khi a 2 + b 2 0
b) Ph6/ng pháp gi`i th6ong dùng :Chia 2 vê cho a2 + b2 tr dó d6a vê pt dJng
c/ b`n
2. a.sin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0
_ Kiem tra vWi x =
+ xem có là nhiem c3a pt hay không
2
k
_Chia 2 vê c3a pt cho cos2x (x
+ ), ta d6Bc pt :
2
k
a.tan2x + b.tanx + c = 0
Chú ý:
1. Gap pt không thuân nhât : a.sin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d (d 0)
Ta có the chen 1 trong 2 cách trình bày sau:
a) Viêt d = d(sin2x + cos2x) sau dó d6a vê pt thuân nhât
b) _Tr6Wc hêt kiem tra vWi x =
+
2
k
_VWi x
2
k
1
2
1 tan
cos
x
x
= +
2.Ngoài cách gi`i trên vWi pt thuân nhât hoac không thuân nhât dôi vWi sinx và
cosx ta có the s[ dng cách gi`i sau : Dùng công thYc d6a pt vê dJng Asin2x +
Bcos2x = C
• sin2x =
− x
1 cos2
2
• cos2x =
+ x
1 cos2
2
15. Trang 15
• sinx.cosx =
sin2
2
x
Tuy nhiên cách gi`i này chp nên s[ dng dôi vWi nhwng pt có chYa tham sô
3. a(sinx + cosx) + bsinx.cosx = c ()
Dat t = sinx + cosx ( t 2 )
Ta có : sinx.cosx =
−
t2 1
2
Thay vào (*) ta d6Bc pt bac 2 theo t, tìm t tr dó tìm x bang cách thay t vào (*)
Chú ý:
_VWi dJng a(sinx − cosx) + bsinx.cox = c
Dat t = sinx − cosx ( t 2 )
_VWi dJng a sinx + cosx + bsinx.cosx = c
Dat t = sinx + cosx ( 0 t 2)
_vWi dJng a sinx − cosx + bsinx.cosx = c
Dat t = sinx − cosx ( 0 t 2)
II. VÍ D0
16. Trang 16
Ví d 1 :Gi`i pt :
2
tan x ( 3 1)tanx 3 0 (pt baäc hai theo tan)
Ñaët t = tanx ta ñöôïc pt
t 2
( 3 1)t 3 0
t 1
t 2
_ Vôùi t =1: tanx =1 x = k (k )
4
_Vôùi t = 3 : tanx = 2 x k (k )
3
Vaäy pt co ù2 hoï nghieäm x =
4
− + + =
− + + =
=
=
+
= +
+
Z
Z
+ Z
k ; x = k (k )
3
Ví d 2 : Gi`i pt :
3 2
cos x 3cos x + 2 = 0 (pt baäc 3 ñoái vôùi cosx)
Ñaët t = cosx ( t 1)
Ta co ùpt : t 3 3t 2
+ 2 = 0
2
(t 1)(t 2t 2) = 0
t 1
t 1 3
t 1 3 (loaïi)
_Vôùi t =1 : cosx =1 x = k2
_Vôùi t = 1 3 :
−
−
− − −
=
= −
= +
−
= − +
x arccos(1 3) k2
−
cosx =1 3 (k )
= − − +
x arccos(1 3) k2
Z
Ví d 3. Gi(i phưng trình:
sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (1)
Dat u = sinx – cosx = 2 sin
x
−
4
vWi − 2 u 2 (2)
Khi dó: u2 = 1 – sin2x (sin2x = 1 – u2
Ph6/ng trình (1) vWi an u có dJng:
1 (1 − u 2
) = 6( u −
1)
2
u2 + 12u -13 = 0
17. Trang 17
th|a mãn (2)
u
=
Tr1 vê tìm x, gi`i:
1
(loJi)
− = − =
2 sin 1 sin
x x
4 4 2
x k
x l
x = + k
= +
Ví d 4. Gi(i phưng trình:
Sinx + cosx +sinxcosx = 1 (1)
= + = +
Dat s inx cos 2 sin
4
u x x
vWi − 2 u 2 (2)
Khi dó u2 = 1 +2sinxcosx
2 1
sin x cos
2
u
x
−
( =
Ph6/ng trình (1) vWi an u có dJng:
Th|a mãn (2)
loJi
Tr1 vê tìm x, gi`i:
1
+ = + =
2 sin 1 sin
x x
4 4 2
(k, l Z)
1
13 2
u
= − −
2
4 4
3 2
4 4
− = +
− = +
2
2 ( , )
2
k l Z
x l
2
2
1
1
2
2 3 0
1
3 2
u
u
u u
u
u
−
+ =
+ − =
=
= − −
2
+ = +
x k
4 4
3
4 4
2
2
2
x
x k
x l
+ =
=
= +
18. Trang 18
Ví d 5. Gi(i phưng trình:
6
+ + =
4sin 3cos 6
+ +
4sin 3cos 1
x x
x x
(1)
Diêu kien: 4sinx+3cosx+1 0
Dat u = 4sinx + 3cosx = 5sin(x+$ )
Trong dó $ 3
là góc mà
tan
4
$ =
Diêu kien
−
−
5 5
1
u
u
(2)
Ph6/ng trình (1) vWi an u có dJng:
6
6
+ =
1
u
u
+
=
2 0
− 5 = 0
= 5
u
u u
u
th|a mãn (2)
Tr1 vê tìm x, gi`i
a) 5sin(x +$ ) = 0
b) 5sin(x +$ ) = 5
(k, l Z)
+ $
=
+ =
= − +
$
+ =
+ = +
$
= − +
$
Ví d 6. Gi(i phưng trình
2(1- sinx – cosx) + tanx + cotx = 0 (1)
Diêu kien:
s inx 0
x k
cos x
0 2
k Z
Biên doi ph6/ng trình (1) vê dJng:
1
− + + =
2[1 (s inx cos )] 0
s inx.cos
x
x
= + = +
Dat s inx cos 2 sin
4
u x x
2 2 1
( u = + x ( x x = u
−
− (
±
1 2sin x cos sin cos ( 1)
2
2 2
(2)
1
u
u
sin(x ) 0
x $ k
x $ k
sin( ) 1
2
2
2
2
x
x l
x l
19. Trang 19
Ph6/ng trình (1) vWi an u có dJng:
2
− + =
2(1 ) 0
2
1
u
u
−
( 2 1) 0
u u − u
− =
u
= 0
1 5
2
± u
=
Chp có u=0 và
1 5
2
u
−
= (th|a mãn diêu kien(2))
Tr1 vê tìm x, gi`i:
a) 2 sin 0
x
+ =
4
b)
+ =
= − +
− + =
x k
x k
1 5
2 sin
4 2
x
− x
+ = =
+ = +
x l
x n
x l
(k, l, m Z)
4
4
Ví d 7. Gi(i phưng trình
tan4 x + cot4 x = 8(t anx + c otx)2 − 9 (1)
Diêu kien
s inx 0
sin 2 x 0
x k
cos x
0 2
Biên doi (1) vê dJng
(1) tan4 x + cot4 x = 8(tan2 x + cot2 x) + 7
Dat u = tan2x + cot2x
(u 2 (2)
(u2 = tan4 x + cot2 x + 2
Ph6/ng trình (1) vWi an u có dJng
1 5
sin sin
4 2 2
2
4
2
4
2
4
3 2
4
x n
+ = − +
= − +
= − +
20. Trang 20
u2 -8u – 9 = 0
loJi
th|a mãn (2)
= −
1
9
u
u
=
Tr1 vê tìm x, gi`i: tan2x + cot2x = 9
(kZ)
2 2
sin os
x c x
+ =
2 2
+ =
− =
9
c os x sin
x
sin os 9sin os
4 4 2 2
x c x xc x
1 9
2 2
1 sin 2 sin 2
x x
2 4
11
sin 2 1
4
2
x
=
3
os4
=
11
3
c x
= ± +
4 ar cos 2
x k
11
3
ar cos 1 11
±
= +
x k
4 2
Ví d 8. Gi(i phưng trình
1 (s inx + 1 1 1
cos x
) + 1 + t anx + cotx + +
= 0
2 2 s inx cos
x
Diêu kien
s inx 0
sin 2 x 0
x k
cos x
0 2
Biên doi ph6/ng trình vê dJng:
+
1 s inx cos
+ + + + =
s inx cos 2 0
sin x cos sin x cos
x
x
x x
= + = +
Dat s inx cos 2 sin
4
u x x
Ta d6Bc
2
2 1
1 2sin x cos 1 sin x cos
2
u
u x x
−
= + ( =
−
±
Và diêu kien c3a u: 2 2
1
u
u
(2)
Ph6/ng trình dôi vWi u có dJng
21. Trang 21
2( u
1)
2 0
2
1
2
( 2) 0
1
( 1) 0
0
u
u
u
u
u u
u
+
+ + =
−
+ + =
−
+ =
=
(do u+1 0, th|a mãn diêu kien (2))
Tr1 vê tìm x, ta gi`i:
2 sin 0
x
+
= 4
x = − +
k
4
(kZ)
Ví d 9: Tìm giá tr~ lWn nhât, nh| nhât c3a hàm sô
+
−
sinx 2cosx
y =
sinx cosx+2
− +
Vì sinx −cosx +2 = 2sin x 2 0 x
4
R
Nên 0 y là 1 giá tr~ c3a hàm sô
+
sinx 2cosx
=
y co ùnghieäm x
−
0 0
sinx cosx+2
R
− − + = −
(y 1)sinx (y 2)cosx 2y co ùnghieäm x
0 0 0
(y 1) (y 2) 2y ) co ùnghieäm x
2y 2y 5 0
1 11 1 11
− 2 − + 2 (− 2
− −
0 0 0
2
0 0
− +
0
y
2 2
+
1 11
Vaäy gia ùtrò lôùn nhaát cuûa y laø
2
1 1
gia ùtrò nhoû nhaát cuûa y laø
−
R
R
1
2
22. Trang 22
Ví d 10 : Tìm k de giá tr~ c3a hàm sô
k +
sinx 1
y =
cosx+2
nh| h/n 1
Vì cox + 2 0 x neân y laøgia ùtrò cuûa haøm soá
0
k
R
y co ùnghieäm x
0
sinx 1
cox + 2
y cox 2y k
sinx 1 co ùnghieäm x
0 0
y cox k
sinx 1 2y co ùnghieäm x
y 1 2y )
0 0
2 k
2 2
0 0
+
=
+ = +
− = −
+ ( −
R
R
R
2 2
0 0
2
k
k
2
2
k
2 2
0
co ùnghieäm x
3y y 1 0 co ùnghieäm x
13
12
13
2 2
13
2 2
1 12 13 12 13
y
6 6
k
k
k
k k
− − +
* =1+12 −12 0
12 −13 0
−
− − 1+ −
(
R
R
2
2
2
1 12 13
Max y = ,theo ñe àMax y 1 1 12 13 6
6
12 13 5
k
k
k
+ −
+ −
−
2 19
6
19
6
19
6
k
k
k
−
23. Trang 23
Ví d 11 : Gi`i pt
2sin2x + 3sinx.cosx + cos2x = 0 (1)
_Ta thây x =
+ không là nghiem c3a (1)
2
k
_VWi x
+ , chia 2 vê c3a pt cho cos2x ,ta d6Bc
2
k
2tan2x + 3tanx + 1 = 0
tan 1
x x k
4
1 ( k
) tan x
1 2 x arctan k
2
= −
= − +
= −
= − +
Z
Ví d 12: VWi m nào pt sau có nghiem
sin2x + msinx.cosx + 3cos2x = 3 (1)
Ta có (1)
− +
1 cos2 sin2 1 cos2
x x x
+ + =
1 cos2 sin2 3 3cos2 6
. 3. 3
m
2 2 2
− x + m x + + x
=
m sin2 x + 2cos2 x
=
2
Pt này có nghiem m2 + 22 22 , diêu này dúng
m
Vay
m pt dã cho luôn có nghiem
Ví d 13: Gi`i pt
(1+ 2) (sinx + cosx) − sin2x −1− 2 = 0
Dat t = sinx + cosx ( t 2 )
Ta có : sin2x = t2 −1 nên pt dã cho tr1 thành
+ − 2
− − − =
− + =
(1 2)t (t 1) 1 2 0
2
t (1 2)t + 2 0
t =1
t = 2
_VWi t = 1 ta có sinx + cosx = 1
24. Trang 24
+ =
2sin x 1
4
1
sin x
4 2
x 2
4 4 ( )
3
x 2
4 4
x = 2
( )
x = 2
2
k
k
k
k
k
k
+ =
+ = +
+ = +
+
Z
Z
_VWi t = 2 ta có sinx + cosx = 2
2sin x 2
4
sin x 1
4
x 2 )
4 2
x = 2 )
4
k k
k k
+
+ =
+ = + (
+ (
Z
Z
Vay pt dã cho có 2 he nghiem
25. Trang 25
III.BÀI TAP DÊ NGH5
Gi(i các phưng trình sau
1. 3 7 + t anx + 3 2 − t anx = 3
2. 81sin2 x +81cos2x = 30
3. 3 sin2 x + 3 cos2x = 3 4
4. s inx + 2 − sin2 x + s inx 2 − sin2 x = 3
1 1
5. 4 − c os2 x + 4
+ c os2 x =
1
2 2
6. 4 10 +8sin2 x − 4 8cos2x −1 =1
7. s inx + s inx + sin2 x + cos x =1
8. 4 3 4 2 sin2 2 os( ) 13 4 os2 ( )
+ − x y
+ + .
= + + 0
/ x x c x y c x y
2
9. 2 2 17
x − x = + x
sin 2 cos 8 sin( 10 )
2
10. 3sin 3x − 3 cos9x = 4sin3 3x
11.
+ − −
cos (2sin 3 2) 2cos2 1
1
x x x
1 sin 2
x
=
+
12.
+
3(cos 2 cot 2 )
2sin 2 2
x x
cot 2 cos 2
− =
−
x
x x
13. cos3x + 2 − cos2 3x = 2(1+ sin2 2x)
14. 1+ sin x + 1− sin x = 2cos x
26. Trang 26
IV. H6NG DAN VÀ DÁP SÔ
3
1. Dat
3
7 t anx
2 t anx
u
v
= +
= −
Ta thu d6Bc he:
+ = 3 + 3
=
Kêt qu`
:
3
9
u v
u v
x k
4
x arctan( 6)
k
k Z
( )
= +
= − +
2. Dat
= +
(
= −
u x
v
u = 2
u
( v = v
81 1 81
81 2
1 81
sin
os
x
c x
Ta thu d6Bc he:
+ =
=
Kêt qu`:
30
81
u v
uv
x k
3
x k
6
k Z
( )
= ± +
= ± +
3. Dat
u = 3 2
x u
( v = c x u
sin 0 1
os 0 1
3 2
Ta thu d6Bc he:
+ = 3
3 + 3
=
Kêt qu`
:
4
1
u v
u v
= +
x k
k Z
4 2
( )
4. Dat
u = − u
(
= −
s inx 1 1
2 sin 2
1 2
v x v
Ta thu d6Bc he:
+ + = 2 + 2
=
Kêt qu` :
3
2
u v uv
u v
3
3
7 tan
2 t anx
27. Trang 27
x = + k
2
2
( k
Z
)
5. DK:
1 1
− c os2
x
2 2
Dat
= 1
u 4
− c os2
x
( = + 4
2 0 1
1 0 1
os2
2
u
v
v c x
Ta d6Bc he:
u + v = u + v = u + v
=
u + v = u + v − uv − u v = uv uv
− =
Kêt qu`:
1 1 1
1 [( ) 2 ] 2 1 ( 2) 0
4 4 2 2 2 2
x = ± + k
6
x = ± + k
3
( k
Z
)
1
6. DK:
2 os 1
8
c x
Dat
= + (
= −
4 2 4 4
u x u
v c x v
10 8sin 10 18
8 os 1 0 7
4 2 4
Ta d6Bc he:
− = 4 + 4
=
Kêt qu`
:
1
17
u v
u v
x = ± + k
(kZ)
3
7. H6Wng dan:
(1)s inx + s inx + cos x + cos2x = 0
Dat u = s inx (0 u 1
Ta d6Bc: u2 + u + cos x − cos2 = 0
Ph6/ng trình an u, gi`i u theo cosx
Kêt qu`:
=
−
= − +
2
5 1
x k
arcsin 2
2
x k
( k Z
)
28. 8. (1) 4cos2 (x + y) − 2[4 − 3 4x − x2 ]cos(x + y) −[6 4x − x2 −13] = 0 (2)
Dat u=cos(x+y)
(2)(1) 4u2 − 2[4 −3 4x − x2 ]u −[6 4x − x2 −13] = 0
Xét *' , ta d6Bc he:
Trang 28
2
=
2
4 3 4
os( )
4
x
x x
c x y
− −
+ =
Kêt qu`:
x
1
y k
1
2
2
2 2
3
=
= − +
hoac
x
2
y k
1
2
2
2 2
3
=
= − − +
(k Z)
9.
− −
1 cos 4 1 cos6 17 17
− = +
2cos10x + cos 4x + cos16x = 0
2cos10x + 2cos10x cos 6x = 0
cos10x(1+ cos6x) = 0
sin cos10 cos sin10
x x
x x
2 2 2 2
Kêt qu`:
= +
=
20 10
6
k
x
k
x
10. sin 9x = 3 cos9x
Kêt qu`:
k
27 9
x
= + (k Z )
11. sin 2x + 3 2 cos x − 2cos2 x −1=1+ sin 2x
2cos2 x −3 2 cos x −12 = 0
= + (k Z )
Kêt qu`: x k
2
4
12.
(k Z)
29. Trang 29
cos 2
+ +
3(cos 2 cot 2 ) 3(cos 2 ) sin 2
cot 2 cos 2 cos 2 cos 2
sin 2
1
3cos 2 (1 )
sin 2
1
cot 2 ( 1 )
sin 2
3(sin 2 1)
(1 sin 2 )
3(sin 2 1)
2(sin 2 1)
(1 sin 2 )
x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
− −
+
=
− +
+
=
−
+
( = +
−
Kêt qu`:
= +
x k
4
= − +
x k
12
7
12
)
= +
x k
k Z
( )
13.
+ − 2 2 2 + − 2
4
(cos3 2 cos 3 ) (cos 3 2 cos 3 )2
x x x x
x x
cos3 + 2 − cos 2
3
2
Mà 2(1+ cos2 x) 2
Kêt qu`: vô nghiem
14. Kêt qu`:
x = k
30. PHÂN III PH NG PHÁP GI
I CÁC PH NG TRÌNH
L+NG GIÁC TONG QUÁT
Trang 30
……
I. PH NG PHÁP GI
I
Phng pháp 1: mot sô ph6/ng trình l6Bng giác không 1 dJng chính tac, ta có
the s[ dng các công thYc l6Bng giác thích hBp de biên doi d6a vê dJng ph6/ng
trình tích:
f(x).g(x).h(x) = 0f(x) = 0 2 h(x) = 0
(f(x), g(x), h(x) là các hàm sô l6Bng giác)
Phng pháp 2: khi phép phân tích thành tích không thlc hien d6Bc, ta cô gang
bieu dien tât c` sô hJng bang mot hàm sô l6Bng giác duy nhât, dó là an sô c3a
ph6/ng trình. Có the chen an sô bang quy tac sau:
_Nêu ph6/ng trình không thay doi khi ta thê:
a) x b1i −x, chen an la cosx
b) x b1i − x, chen an là sinx
c) x b1i + x, chen an là tanx
_Nêu c` ba cách dêu thlc hien d6Bc, chen an là cos2x
_Nêu c` ba cách dêu không thlc hien d6Bc, chen an là tan
x
2
31. Trang 31
II. VÍ D0
Ví d 1: Gi`i ph6/ng trình : sinx + sin3x + sin5x = 0
GII
Sinx + sin3x + sin5x = 0 sin3x + 2sin3x . cos2x = 0
1
+
= 2sin 3 cos 2 0
x x
2
=
sin 3 x
0
1
cos 2 0
2
3
3
+ =
=
x
x k
= ± +
x k
Ví d 2: Gi`i ph6/ng trình : tan3x + tan2x − 3tanx = 3
GII
Diêu kien: x
+ k2 , k Z
2
+ − − =
3 2
tan x tan x 3tan x
3 0
2
+ =
( − + =
x x
x x
x
x
tan (tan 1) 0
tan 2
3)(tan 1) 0
tan 3 0
tan 1 0
2
− =
(
x k
3
(
4
nhaän)
nhaän)
+ =
= ± +
= − +
x k
−
+ = 1 sin 2
x
1 tan 2
Ví d 3:Gi`i ph6/ng trình: 2
cos 2
x
x
GII
x + k + k k
Diêu kien 2 x , Z
2 4 2
Ph6/ng trình t6/ng d6/ng:
32. Trang 32
+ + − =
2 2
cos 2 sin 2 .cos 2 sin 2 1 0
x x x x
x 2
x x
sin 2 (cos 2 sin 2 1) 0
sin 2 0 2
sin 2 cos 2 1 2
sin 2
4 2
− + =
x = k
x
=
x − x
=
x
− =
2
4
2
=
= +
= +
x k
x k
x k
(loJi) ( k Z)
2
x = k
Ví d 4 : Gi`i ph6/ng trình: sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x
GII
Nhan xét: Nêu thay x b1i −x , − x hay + x thì ph6/ng trình không doi.Chen an
là cos2x.
Dat t = cos2x, t [ −1,1]
Ph6/ng trình tr1 thành:
3 3 2 2 1 1 1 1
2 2 2 2
− t + − + + t = t + t
1+ 3t 2 = 2(1+ t 2 )
t2 =1
= ±
cos 2 1
( )
2
x
2
k
=
= +
=
Z
x
x k
x k
k
33. Trang 33
+ = x
x
Ví d 5: Gi`i ph6/ng trình: sin tan 2
2
GII
Nhan xét: Nêu thay x b1i −x, − x hay + x thì ph6/ng trình thay doi. Chen an
x
là tan
2
+ + x
Diêu kien: x 2
2 2
k k
Dat t = tan
x
, ph6/ng trình tr1 thành:
2
+
2
− + − =
+ =
3 2
2
2
1
2 3 2 0
t
t
t
t t t
(t −1)(t 2 − t + 2) = 0
t
1
t 2
t
2 0 (Vo â nghieäm)
=
− + =
x
=
tan 1
2
x
= +
k
2 4
x 2
2
Töø t =1
= +
k
34. Trang 34
III. BÀI TAP DÊ NGH5
− + − =
− + =
+ + =
− =
+ + = + +
+ + + =
+ + + +
3 2 2 3
1)sin 7sin .cos 11sin .cos 6cos 0
2)9sin 5sin 2cos 0
3)sin sin cos 0
4)cos3 cos2 sin3
5)sin sin2 sin3 cos cos2 cos3
6)sin sin 2 sin 3 sin 4 2
7)sin6 sin8 sin16 sin18 16si
x x x x x x
3 x x 3
x
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
2 2
2 2 2 2
3 3
2
n3 0
sin cos
8) cos2
2cos sin
9)3(cot cos ) 5(tan sin ) 2
1 cos
10) tan
1 sin
x
x x
x
x x
x x x x
x
x
x
=
+
=
−
− − − =
−
=
−
= +
11) Cho f ( x ) cos2 x .sin4 x cos2
x
a ) Giaûi phöông trình f(x) = 2cos x .(sin x + cos x
) −
1
b ) Chöùng minh: f ( t ) 1,
x
12) Xaùc ñònh tham soá ñe å2 phöông trình sau töông ñöông :
2cos .cos2 =1+ cos2 + cos3 (1)
4cos cos3 cos (4 )(1 cos2 ) (2)
x x x x
x − x = a x + − a + x
2
35. Trang 35
IV.H6NG DAN VÀ DÁP SÔ
1) Chia 2 veá cho cos2
+ +
x = ; x = arctan2 ; x = arctan3
4
2) Chia 2 veá cho sin3x
1
x = arccot2+ ; x = arctan4
2
x
k k
+
k k
2 2
3) x = 2 ; x = arccos 2 (k,l )
2 4 2
4) x = ; x = 2 ; x = 2
4 2
2 5 2
x = arcsin 2 ; x = arcsin 2
4 4 4 4
2
5) x = 2 ; x =
3 2
6) x = ; x =
10 5 2
7) x =
3
8) x =
4
k l
k k k
k k
k k
k k
k
k
−
− + ± +
− + − +
+ + − +
± + +
+ +
− +
Z
1
+ +
; x = ; x = arctan
2 2
9) Bieán ñoåi töông ñöông thaønh
(cosx sinx sinx.cosx).(3cosx 5sinx) = 0
+ − −
−
1 2 3
± + +
x = arccos 2 ; x = arctan (k,l )
4 2 5
10) x = 2 ; x = (k,l Z)
4
11.a
k k
k l
k l
± +
Z
) x = (k Z)
2
3 2
2
2
k
b)Ñaët t = cos x
( 0 t 1)
f(x) trôû thaønh g(t) = t 2t 3t 1
g (t) = 3t 4t 3 0 t
− + −
3 − +
t 0 1
g'(t) t
g(t) 1
−1
37. PHÂN IV PH NG TRÌNH L+NG GIÁC
Trang 37
……
I. VÍ D0
Ví d 1 : D~nh tham sô m de pt sau có nghiem :
sin6 x + cos6 x = msin2x
Lg: Ph6/ng trình dã cho t6/ng d6/ng
+ − + =
6 6 4 2 2 4
(sin x cos x ).(sin x sin x.cos cos x) m sin2
x x x
2 + 2 − 2 2
=
− = + =
− =
+ − =
(sin x cos x) 3sin .cos m sin2x
1 3sin 2 x.cos 2 x m sin2x (Do sin 2 x cos 2
x 1)
2
3
1 sin 2x m sin2x
4
2
3sin 2x 4m sin2x 4 0
Ñaët t = sin2x (0 t 1)
Baøi toaù
x x
= 2
+ − =
(
1 2 1 2
n trôû thaønh ñònh m ñe åpt
f(t) 3t 4mt 4 0 co ùnghieäm thoûa 0 t 1
Ta co ù: a.f (0) 3.( 4) 12 0
= − = −
pt f(t) = 0 luoân co ù2 nghieäm phaân bieät t ,t thoûa t 0 t
Vaäy ñe åpt treân co ùnghieäm thì ñieàu
2
kieän laø :
t 1 a.f(1) 0
1
3(4m − 1) 0 m
4
1
Vaäy m thì pt co ùnghieäm
4
CÓ CHbA THAM SÔ
38. Trang 38
Ví d 2 : D~nh tham sô m de pt sau có nghiem :
cos2x − 2sin2x + m = 0 (1)
Lg: Pt (1) t6/ng d6/ng :
− − +
4 2
cos x 2(1 cos x) m = 0
cos 4 x + 2cos 2
x − 2 +
m = 0
Ñaët t = cos 2
x (0 t 1)
Khi ño ùbaøi toaùn trôû thaønh ñònh m ñe å:
2
t 2t 2 m = 0 co ùnghieäm 0 t 1
m= t 2
2t 2 co ùnghieäm 0 t 1
Xeùt haøm soá :
+ − +
− − +
− − +
f(t) = t2 2t 2
f'(t) = 2t 2
f'(t) = 0 t = 1
( − −
−
t −4 1 0 1 +4
f'(t) + 0 − − −
f(t) 2 −1
De pt có nghiem 0 t 1, diêu kien là −1 m 2
Ví d 3: D~nh m de pt sau có nghiem :
1+ 2cos2x + 1+ 2sin2x = m
Lg : Dat f(x) = 1+ 2cos2x + 1+ 2sin2x
Ta có: f(x) 0
xR
+ + + + +
+ +
2 2 2 2
[f(x)] =1 2cos x 1 2sin x 2 3 sin 2x
[f(x)] = 4 2 3 sin 2
2x
Vaäy [f(x)] min = 4 2 3 sin 2 2x (Do sin 2
2x 0)
2
[f(x)] max = 4 4 = 8 (Do sin x 1)
Do ño ù: f min = 4 2 3
f max =
+ +
+
+
2 2
Vaäy ñe åpt co ùnghieäm ñieàu kieän laø : f min m f max
+
4 2 3 m 2 2
39. Trang 39
Ví d 4: (Ph6/ng trình xác d~nh diêu kien cân và d3)
Tìm a,b,c de pt sau dúng
x
a.cosx + b.cosx + c.cos3x = 0
Lg: Diêu kien cân :Gi` s[ pt dã cho dúng
x , nói riêng
1.Khi x
= ,ta có:
2
+ +
3
a.cos b.cos c.cos = 0
2 2
−b = 0 b = 0
2.Khi x
= , ta có: : a.cos c.cos 0
6
+ =
6 2
a = 0
3.Khi x = 0, ta có: c.cos0 = 0 (c= 0
Vay diêu kien cân là a = b = c = 0
Diêu kien d7: Gi` s[ a = b = c = 0
a.cosx + b .cos2x + c.cos3 = 0
x
Tóm lJi các gi` thiêt cân tìm c3a tham sô a,b,c là a = b = c = 0
Ví d 5 : Cho pt : a.cos2x + sinx = cosx.cotx (* )
Tìm a de pt có dúng 4 nghiem thuoc kho`ng (0;2 )
Lg: Pt (*)
sinx 0
a.cos2x.sinx cos2x = 0
−
sinx 0 (1)
cos2x(a.sinx 1) = 0 (2)
−
Xét 2 tr6ong hBp
• Nêu a = 0 , khi dó (1) (2) cos2x 0 x
k
= = +
4 2
Ta nhan thây trong (0, 2 ) he (1) (2) có dúng 4 nghiem
= = 3 = 5 =
7
x ;x ;x ;x
1 2 3 4
4 4 4 4
• Nêu a 0thì (1) (2)
=
cos2x 0 1
hoaëc sinx =
sinx 0 a
Tr dó suy ra de th|a mãn yêu câu là he 91) (2) có dúng 4 nghiem trên
(0,2 ) ta cân có
• Hoac pt sinx =
1
a
vô nghiem , tYc là
1
a
1 a 1 và a 0
• Hoac pt sinx =
1
a
trên (0,2 ) là có nghiem nh6ng các nghiem c3a nó dêu là 1
trong các nghiem 1 2 3 4 x ,x ,x ,x
40. Trang 40
Diêu dó x`y ra khi
1
a
2
2
= a = 2
Tóm lJi các gi` thiêt cân tìm c3a tham sô a là : a 1, a = 2
Ví d 6 : Gi`i và bien luan m theo pt :
1+ sinx + 1−sinx = mcosx (*)
Lg : Pt (*) t6/ng d6/ng :
= − − =
mcosx 0 mcosx 0 (1)
2+ 2 cosx m 2 cos 2 x m 2 cos 2
x 2 cosx 2 0 (2)
Xét 2 kh` ngang sau :
• Nêu m = 0
(1),(2) cosx = −1(pt vô nghiem
• Nêu m 0
(1),(2) 2
2
mcosx 0
1 1 2m
cosx (4)
m
+ +
=
De (4) có nghiem , ta cân có
2
+ +
1 1 2m
2
1
m
+ + 2
2
+ −
+ − +
−
1 1 2m m
1 2m 2 m 2
1
m 2
1
1 2m 2 m 4 2m 2
1
m 2
1
2 2
(5)
m (m 4) 0
Vay (5) là diêu kien de (4) có nghiem
• Nêu m 2 thì
(3),(4)
2
2
2
2
1 1 2m
cosx
m
1 1 2m
x arccosx k2 (k )
m
+ +
=
+ +
= ± + Z
• Nêu m −2 thì
41. Trang 41
(3),(4)
2
2
2
2
1 1 2m
cosx
m
1 1 2m
x ( arccosx ) k2 (k )
m
+ +
= −
+ +
= ± − + Z
Tóm lJi :
Nêu −2 m 2 : pt dã cho vô nghiem
Nêu m 2: x = + k2 (k Z)
42. Trang 42
II.BÀI TAP DÊ NGH5 :
1.D~nh tham sô m de pt sau có nghiem :
+
6 6
sin x cos x
2 2
mtan2x
cos x sin x
=
−
4 4 2 1
+ − + + =
2.Cho phöông trình : sin x cos x cos2x sin 2x m 0
4
Vôùi gia ùtrò naøo cuûa m thì pt treân co ùnghieäm
3. Ñònh tham soá m ñe åpt sau co ùnghieäm :
cos 2 x + 7sin 2 x + sin 2 x + 7cos 2
x = m
4.Gi`i và bien luan theo a,b pt :
Cosax + cos2bx −cos(a + 2b)x = 1
43. Trang 43
III. H6NG DAN VÀ DÁP SÔ
cos2x 0
+
)
1. ÑK x k2 (k
2 2
cos x sin x 4
Phöông trình (1) töông ñöông
1 3sin 2 x.cos 2
x sin2x
− 2
=
− 2
=
2
+ − =
m
=
cos2x cos2x
3
1 sin 2x msin2x
4
4 3sin 2x 4msin2x
3sin 2x 4msin2x 4 0
−
− 1 (
Ñaët t = sin2x ( 1 t do cos2x
Z
2
) )
0
Khi ño ùbaøi toaùn trôû thaønh :
Ñònh m ñe åpt f(t) = 3t + 4mt − 4 = 0 co ùnghieäm t ( −
1;1)
Ta co ù: 3f(0) = 12 0
−
Vay pt f(t) = 0 luôn luôn có 2 nghiem phân biet 1 2 1 2 t ,t thoûa t 0 t
Bài toán vô nghiem khi 1 2 t −11 t
−
a.f ( 1) 1
a.f(1) 1
3(3 4m 4) 0
3(3 4m 4) 0
1
m
4
1
m
4
1 1
m
4 4
− −
+ −
−
−
Vay pt có nghiem khi
1
m
− hoac
4
1
m
4
2.Nêu b 0thì nghiem c3a (2) là
kx
= Z
x (k )
b
44. Trang 44
Xét
ax
sin 0
2
=
• Nêu a = 0 thì (3) dúng
x
• Nêu a 0 thì nghiem c3a (3) là x =
2m
(m )
a
Z
Xét cos
a
+
b .x = 0 (4)
2
• Nêu
a
b 0 a 2b = 0
2
+ = + thì (4) vô nghiem
• Nêu
a
b 0
2
+ thì nhiem (4) là x =
+
+
(1 2n)
a 2b
Kêt luan :
Nêu ab = 0 thì pt dã cho dúng
x
Nêu ab 0
• a + 2b = 0 : x = k
b
• a + 2b 0 thì nghiem cân tìm là
+
k 2m 2n 1
= = =
x ;x ;x (k,m,n )
+
b a a 2b
Z
+ + +
2 2 2 2
3. Xeùt haøm y = cos x 7sin x sin x cos x
TXÑ : D =
R
Xeùt y 0 ;
x
R
y cos x 7sin x sin x 7cos x
= + + +
2 2 2 2 2
45. PHÂN V PH NG PHÁP L+NG GIÁC
GI
I PH NG TRÌNH DEI SÔ.
)8 .
m
3
Trang 45
=
=
{
= [−
= [0; ]
[
[
……
I. PH NG PHÁP GI
I
Mc dích:nham trc các bieu thYc có trong can bac hai mà không cân luy
thra.
X2+Y2=1 thì dat
sin
cos
x
y
[0;2 ]
X2+Y2 = a2(a 0) thì dat
x = a
sin
y = b
sin
[0;2 ]
5x5 1 thì dat
sin ; ]
2 2
cos
x
x
5x5m thì dat
= [−
= [0; ]
sin ; ]
2 2
cos
x m
x m
5x5 1 hoac bài toán có chYa x2 −1 thì dat x =
1
cos
3
[0; [ ; )
2 2
5x5m hoac bài toán có chYa x2 − m thì dat x =
cos
)8
[0; [ ; )
2 2
Nêu không ràng buoc diêu kien gì cho biên sô và bài toán có chYa bieu thYc
x2 +1 thì dat x= tan , ( ; )
− hoac chYa x2 +92 thì dat
2 2
x = tan , ( ; )
2 2
−
46. Trang 46
−
[ [
+ − +
{ {
−
−
− 0
1 0
1
[ [
II. VÍ D0
Ví d 1.Gi`i ph6/ng trình 1− x2 = 4x3-3x (1)
Diêu kien 1 − x2 0 −1 x 1
Dat x =cos vWi [0; ] khi dó thê vào ch6/ng trình
(1) 1− cos2 = 4cos3 − 3cos
sin = 4cos3 − 3cos
sin = cos3
cos3 =cos
2
3 2
2
3 2
2
k
k
= − +
= − +
8 2
4
k
k
= +
= − +
(kZ)
Do [0; ],k z nên
5 3
; ; }
8 8 4
{
x
3 3
{cos ;cos ;cos }
8 8 4
x
1 2
{ 2 2 ;; 2 2 ; }
2 2
Ví d 2.GI`i ph6/ng trình: 1− cos2 = 2x2 −1+ 2x 1− x2 (1)
Diêu kien
2
x
x
2
1
1
x
x
−1 x 1
Dat x = cos ,(0; ) thay vào ph6/ng trình
(1) 1− cos2 = 2cos2 −1+ 2cos 1− cos2
2sin2
2
=cos 2 + 2cossin
2 sin
2
=cos 2 + 2cossin
2 sin
2
= 2 sin(2 )
4
+
3
2
2 4
5 3
2
2 4
K
K
= − +
= +
4
K
6 3
3 4
10 5
K
= − +
= +
(kZ)
Do (0; ),K Z nên
3
10
= x=
=
3
cos
10
−
10 2 5
4
47. Ví d 3.Gi`i ph6/ng trình 8x(1-2x2)(8x4-8x2+1)=1 (1)
Nêu x 1 hoac x 1 thì (1) 0(vô nghiem.
5x5 thì dat x= cos [0; ] , khi dó (1)
8cos(1− 2cos2 )(8cos4 −8cos2 +1) =1
−8coscos 2cos 4 =1 (2)
Dosin =o không là nghiem c3a ph6/ng trình nên nhân 2 vê c3a (2) vWi
sin 0 thu d6Bc ph6/ng trình −sin8 = sin
Trang 47
[ = − +
[
= + +
{
K
K
8 2
8 2
K
2
9
2
K
7 7
=
= +
Do sin 0 nên (0; ) mà k ( 2 4 2 8 3 5
; ; ; ; ; ; }
9 9 3 9 7 7 7
{
x
2 4 2 8 3 5
cos ;cos ;cos ;cos ;cos ;cos ;cos }
9 9 3 9 7 7 7
{
Ví d 4. Gi`i ph6/ng trình 1+ 1− x2 [ (1− x)3 − (1+ x)3 ] = 2 + (1− x2 (1)
Diêu kien
1 − x 0,1 + x
0
1− 2
0
x
-1 x 1
Dat x= cos t t[0;1] ( 1− sin2 t = sin t khi dó
(1) 1+ sin t[ (1− cos t)3 − (1+ cos t)3] = 2 + sin t
t t t t
+ − = + t
(sin cos )2 [ (2sin2 )3 (2cos2 )3] 2 sin
2 2 2 2
t t t t
+ − = + t
( sin cos )2 2(sin3 cos3 ) 2 sin
2 2 2 2
t t t t t t
+ + + = + t
2(sin2 cos2 )2(sin2 sin cos cos2 ) 2 sin
2 2 2 2 2 2
t t
+ + t = + t
2(sin2 cos2 )(2 2sin ) 2 sin
2 2
− 2 cos t =1
1
cos
2
t = −
1
2
x = −
48. Trang 48
III. BÀI TAP DÊ NGH5
1) x3 + (1− x2 )3 = x 2(1− x2 )
2)
+ =
2
35
1 12
x
x
x
−
3) 64x6 −112x4 + 56x2 − 7 = 2 1− x2
1
4) 4 x 3 − 3 x − =
0
2
49. Trang 49
IV. H6NG DAN VÀ DÁP SÔ
1)Diêu kien −1 x 1
Dat x=sin ; [ ; ]
{
t −
t t
− − 0
− = − −
(1 2)
1 [(1 2) ]
{ {
{
2 2
−
(−x)2 = cos2 =cos
Ph6/ng trình sin3 + cos3 = sin 2 cos
Dat tiêp t=sin + cos[− 2; 2]
2 (
1
sin cos
2
=
Ph6/ng trình
2 2
3 1 1
3 2
2 2
t
− −
− =
(t − 2)(t + 2 −1)(t + 2 +1) = 0
• (t + 2 +1) = 0 ( t = −(1+ 2) ;[− 2; 2] (loJi)
• (t − 2) = 0 ( 2 cos( )
4
t
= − = ( = ( =
2
x
4 2
• (t + 2 −1) = 0 ( x + 1− x2 =1− 2
2
x
x x
−
− − + − =
x
x 2
x
1 2
(1 2) (1 2) 0
1 2
1 2 2 2 1
2
x
x
−
− ± −
=
Dla vào diêu kien( (1 2) 2 2 1
2
x
− − −
=
2)Diêu kien x 1.
Dat
1
cos
x =
(1) (0; )
2
(1) 1 1
+
cos sin cos
cos
=
35
12
1 1
cos sin
+
=
35
12
(2)
Ph6/ng trình (2)bang cách qui dông mau sô và dat
t = sin + cos(1; 2]
Ta có:
t = ( 12
7
5
sin cos
5
=
( 1
cossin
= 25
12
50. Trang 50
[
t t k
[ [
2
k
= +
t t k
k
= +
[ 18 3
[ = +
k
2
= − +
18 3
2
k
= +
18 3
2
k
= − +
18 3
2
k
cos ( )
18 3
x
(
1 + 1 =
35
cos sin
12
1 − 1 =
25
cos sin
12
(
1 =
5
cos
3
1 =
5
cos
4
5
3
5
4
x
x
=
=
3) Biên doi cos 7 = 64cos7 −112cos5 + 56cos3 − 7cos
Dat x = cos t t(0; )
64cos6 t −112cos4 t + 56cos2 t − 7 = 2 1− cos2 t
Nhân hai vê vWi cos t 0
( cos 7t = sin 2t
7 2 2
2
7 2 2
2
= − +
= − +
2
18 9
2
10 5
t
k
t
= − +
(k Z)
t[0; ] nên
5 9 13 17 7 3
{ ; ; ; ; ; ; }
18 18 18 18 18 18 10
t
Vì cos t 0 nên
2
t
hay
9
18
t
5 13 17 3 7
{cos ;cos ;cos ;cos ;cos ;cos }
18 18 18 18 10 10
S
=
4) Dat cos = x ([0; x]) (1)
Ph6/ng trình (1) 4cos3 −3cos =
1
2
cos3 =
1
2
51. Trang 51
PHÂN VI TRAC NGHIEM
……
I. DÊ
1
−
1 cos 4 sin 4
2sin 2 1 cos 4
x =
x
x +
x
A. Vô nghiem.
B. X=( 1)
− k + k .
3
+ k .
C. X= 2
2
+ k (k Z).
D. X= 2
6
2 Cos2x − (2m + 1)cosx + m + 1 = 0.Tìm mei giá tr~ c3a m de ph6/ng trình có
nghiem x thuoc [
3
;
2 2
].
A. −2 m −1
B. −1 m 0
C. 1 m 2
D. m 0
3 Các diêm mà hàm sô y=
−
+
1 sin
1 cos
x
x
không xác d~nh là:
A. x = k2
B. 2
x = k
2
C. x = + k2
D. 2
x = − + k
2
4 Cap hàm sô nào sau dây có cùng tap xác d~nh:
A. y = cos x và y = cot x
B. y = tan x và
+
2 sin
= x
y x
cot
cos
x
C. y = tan x và y = sin x
D. y = tan x và y = cot x
5 Nghiem c3a ph6/ng trình
1
x + = là:
sin(2 )
6 2
52. Trang 52
x = + k (k Z)
A. 2
2
B. x = k ,
x = + k (k )
3
C. x = k (k Z)
D.
x = + k (k ) (k )
3
6 Nghiem c3a ph6/ng trình cosx+sinx = −1 là:
A. x = k2 (k Z)
B. x = k (k Z)
C. x = − + k ( k Z
)
2
x = + k x = − + k k Z
D. 2 , 2 ( )
2
7 Gi`i ph6/ng trình:
+ +
10 10 6 6
sin cos sin cos
x x x x
+
2 2
=
4 4cos sin
x x
x = − m + m
A. ( 1)
6
B.
m
= ( Z)
x m
2
C. x = m
D.
x = + m
4
8 Gi`i ph6/ng trình:cosx + 3 sinx = −1:
A. (2 1)
4
x = k +
B. x = k2
C. (2 1) , 2
x = k + x = − + k (kZ)
3
D.
x = + k
2
9 Gi`i tanx + cotx = −2 :
A.
5
x = + k
2
4
x = + k k Z
B. ( )
4
53. Trang 53
x = + k
C. 2
4
D.
x = − + k
4
10. Các he nghiem c3a ph6/ng trình sin15 x + cos40 x = 1 là:
A.
2
x k
2
'
x k
= +
=
x k
B. 2
'2
x k
= +
=
C. 2
2 '
x
x k
= + (2 +1)
=
D. Kêt qu` khác.
11 Xét ph6/ng trình
cos2
0
2sin 1
=
−
x
x
trên doJn [0;3 ) :
A. Có 4 nghiem
B. Có 2 nghiem
C. Có 6 nghiem
D. Tât c` dêu sai
12 Gi`i 3 5sin 4 cos
− = x x
x x
6sin 2cos
2cos
x
:
A. Vô nghiem.
B. x = k
1
C.
x = + k (k Z
2 )
3
D. x = k2
13 Thu gen
−
−
cos7 cos
sin 7 sin
x x
x x
:
A. − tan4x
B. tan4x
C. tan3x
D. − tan4x
14 Gi`i ph6/ng trình
x − = 5sin 4 x cos
x
x
6sin 2cos3
2cos 2
x
54. Trang 54
A.
x = + k
2
x = + k
B. 2
4
C. x = k2
D. Vô nghiem.
15 Gi`i sin 2(x − ) − sin(3x − ) = sin x :
A. (2 1)
2
x = k +
B.
= − + k
x
6
C. x = k và
x
= + k
2
3 3
D.
x = + 2
4
16 Ph6/ng trình cos 2x + 3cos x + 2 = 0 có nghiem thuoc [0;2 ]là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
17 Trong các ph6/ng trình sau ph6/ng trình nào vô nghiem:
A. tan x + cot x = 0
B. sin x + cos x = 0
C. sin x = cos x
D. tan x = cot x
18 Ph6/ng trình 3sin x − 4cos x = 5m vô nghiem khi:
A. 5m5 1
B. 5m5 1
C. 5m51
D. 5m5 1
19 Mot nghiem c3a ph6/ng trình sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 2 là:
A.
2
B.
3
C.
8
D.
6
55. Trang 55
+ x
20 Sô nghiem c3a ph6/ng trình cos( )
2 4
=0thuoc kho`ng ( ;8 ) là:
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
21 Sô nghiem c3a ph6/gn trình
sin 3
0
x
x
cos 1
=
+
thuoc doJn (2 ;4 ) là:
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
22 Gi`i 4cos x − 2cos 2x − cos 4x = 1
x = + k x = k
A. , 2
2
B.
x = − + k
2
x = − + k
C. 2
2
D. x = k
23 Gi`i cos3 4x = cos3x cos3 x + sin 3xsin3 x
A.
= k
x
4
B.
x = ± + k
4
x = + k
C. 2
2
D.
= k
x
3
24 cos 2x − (2m +1)cos x + m+1 = 0.Tìm giá tr~ m R de ph6/ng trình có
[ ] .
nghiem x 3
;
2 2
A. −1 m 0
B. m 0
C. -2m 2
D. 1m 2
25 D~nh m de ph6/ng trìnhsin x + mcos x =1 vô nghiem:
56. Trang 56
A. 0 m 1
B. m0
C. m 3
D. m=
26 D~nh m de ph6/ng trình sau có nghiem: sin x + cos x = m:
A. − 2 m 2
B. −2 m − 2
C. 2 m 2
D. m=
27 Gi`i 5sin x − 6cos x = 8
A.
x = + k
2
x = ± + k
B. 2
2
C. (2 1)
2
x = k +
D. Vô nghiem.
28 sin x + cos x = 2
A.
x = + k
4
x = + k
B. 2
4
x = − + k
C. 2
4
D. Tât c` dêu sai.
x − x = x :
29 Gi`i 2sin2 3sin 0,0
2
A.
4
x =
B.
2
x =
C. x = 0
D.
6
x =
30 Cho a tho`
1
a − a = .Khi dó sin4 a + cos4 a bang:
sin cos
5
A.
15
5
