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S EMINARIO DE DES ARROLLO ECONOMICO I

                             Mtro. Celso Garrido
                                   Febrero 2003


          Introducción
     Matemáticas Financieras



                    Ana María Hernández Méndez
                         Alejandro Apolinar Rojas
Introducción

                      FINANZAS


Asignación de recursos                   Tiempo

   Al poner en práctica sus decisiones financieras, las
                 personas se sirven del
                 Sistema Financiero...

   Conjunto de mercados e instituciones mediante las
    cuales se realizan los contratos financieros y el
                 intercambio de activos
Contenido de la sesión
1a sesión
    -Equivalencia financiera
    -Interés simple
             Valor presente simple
             Valor futuro simple
    -Base mixta
    -Cálculo del tiempo
    -Descuento bancario o comercial
    -Diagrama de tiempo valor y de flujo de caja
    -Interés compuesto
    -Diferencia entre interés simple e
    -Tasa de interés nominal, real y efectiva
    -Anualidades
    -Amortización
Equivalencia Financiera



      El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés
      ayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia
       Financiera y esto significa que sumas diferentes
       de dinero en momentos diferentes de tiempo son
                   iguales en valor económico.

   Por ejemplo, si la tasa de interés es de 7% anual, $100 (tiempo presente)
Serían equivalentes a $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un
     individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este
    incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es el mismo valor
                            económico o equivalente.
Interés Simple
   Interés que se carga al final del período y que no gana interés
                en el período o períodos subsiguientes


       El interés simple se calcula utilizando sólo el principal,
   ignorando cualquier interés causado en los períodos de interés
                              anteriores



  Ejemplo: Un capital de 100 pesos al 10% en tres periodos


Tiempo 0                     1                2                3
                                                                           Total
                                                                     en los 3 periodos
                                                                            $30



   $100                     $10               $10            $10
Denominación de Variables

 Nomenclatura Inglesa
I = interés generado ($)
P = es el capital o principal que
    se da o se recibe en préstamo
i = tasa de interés anual (%)
n = número de años o períodos, tiempo
F = monto o valor futuro a fin del período
                                                  Nomenclatura Española
                                             I=interés simple
                                             C=capital o principal
                                             i=tasa (tipo de interés tanto por
                                             ciento)
                                             t=tiempo
                                             M=monto
Los intereses:
                                          I=Pin    (1)

         El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses

                                         F=P+I        (2)

 Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses
                                     generados, esto es:
                                           F=P+(Pin)

                                         F=P+Pin (3)
                                Factorizando la expresión anterior:
                                   F=P(1+in)              (4)

   En estás fórmulas básicas del interés simple (1) y ( 3) se tienen cinco variables que son F, P,
I, i y n de las cuales se puede obtener cualquiera de ellas a partir de las tres restantes, así de
                                   la fórmula de interés simple:
                                               I=Pin
                                               P=I/in
                                              i= I/Pn
                                              n=I/Pn
                           De la fórmula de monto simple se obtiene
                                            F=p(1+in)
                                           P=F/ (1+in)
                                          i=[(F/P)-1]/n
                                          n=[(F/P)-1]/i
Capitalización y Actualización

El planteamiento de los problemas económicos-
financieros se desarrolla en torno a dos conceptos
básicos: capitalización y actualización.

 El concepto de capitalización se refiere al estudio
del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o
en que se convertirán los capitales en fechas
colocados en fechas anteriores.

El concepto de actualización se refiere al estudio
del valor en la fecha actual o presente de capitales
Valor Presente Simple
El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel
capital que, a una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de
          vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida:

                                    I=Pin      (1)

   El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses

                                   F=P+I        (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los
                  intereses generados, esto es: F=P+(Pin)

                                   F=P+Pin (3)
                          Factorizando la expresión anterior:
                             F=P(1+in)              (4)

De la fórmula de monto simple despejamos P para obtener el valor presente simple


              F=P(1+in)                               P= F/ (1+in)
Ejemplo de Valor presente simple

              Un miroempresario desea innovar su equipo
              de trabajo y recurre a una institución
              crediticia, que le cobra el 16% de interés
              simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá
              que pagar $52,600 dentro de 5 meses?


 Tiempo
                 1         2                            5 Meses
          0                        3          4




¿Valor?                                                      $52,600
Valor Presente
DATOS
Tasa de interes                   16 %
Valor futuro                   52600
Tiempo                             5 meses



                                       P=F/(1+ni)

Sustitución                         P= 52600/(1+0.16*5/12)   ¡Esta es la
                                                             cantidad que le
                                                             prestaron!
Valor presente           $ 49,312.50
                         $ 49,312.50
     Tiempo
                     1          2                                     5 Meses
          0                                  3           4




                                                                           $52,600
 $       49,312.50
Valor Futuro Simple
El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha
       futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán
       los capitales en fechas colocados en fechas anteriores.

                               I=Pin     (1)

   El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los
                                 intereses

                              F=P+I        (2)

   Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital
  inicial más los intereses generados, esto es:
                                        F=P+(Pin)

                              F=P+Pin (3)
                    Factorizando la expresión anterior:
                  se obtiene la fórmula de monto simple



             F=P+I = P+Pin=P(1+in)
Ejemplo de Valor futuro simple

   Una institución crediticia otorga un préstamo de
    $ 49 312.50 pesos a una tasa de interés simple de
   16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después
   de 5 meses?



Tiempo
         0    1      2       3          4      5 Meses



$ 49 312.50                                      ¿Valor?
Valor Futuro
DATOS
Tasa de interes                    16 %
Valor presente                 49312.5
Tiempo                               5 meses



                                       F=P(1+ni)

Sustitución                        F= 49312.50*(1+0.16*5/12)

                                                   Monto que pagará
Valor Futuro             $ 52,600.00               dentro de 5 meses


     Tiempo
                     1         2                                 5 Meses
          0                                    3        4




 $       49,312.50
                                                               $ 52, 600
Base Mixta
                       P=capital o suma prestada
                               t=Tiempo
                          I= interés o rédito

Se tiene de acuerdo con las leyes de variación proporcional

                                  I=PnK (1)

  Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente
 de las condiciones contractuales de préstamo. Si las condiciones son del i% anual
(año comercial de 360 días).
                              P= 100 unidades
                      n=360 días ( año comercial )
        I=i unidades( i%=i unidades por cada 100 en 360 días)

Mediante la aplicación de la fórmula 1 se tiene:
                                i= 100(360) k
     se despeja

                                k=i/100(360)
Al reemplazar en la fórmula 1 se tiene:

                                          I= Pin/100(360)

para el año de 365 días, el año real , el mismo desarrollo conduce a:

                                          I=Pin/ 100(365)

y para años bisiestos, el año real es de 366 días.

El interés simple ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 360 días.
El interés simple real o exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de
366 , si se trata de año bisiesto.

Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días ; pero
par la duración de tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que un año), cuentas
los días efectivos calendario.
Ejemplo Base Mixta

¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de
$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de
30 días?


   Tiempo
            0   1     2        3         4        30 días



   $ 12,500


                                              ¿Intereses
                                              + el principal?
Solución

Datos                                     Fórmula
P=      12500
i=      19.75 anual                       I=Pin/360
n=         30 días
I=      ¿?                   la tasa de
                             interés se
                             toma en
                             decimales




Sustitución

I=12500(.1975)(30)/360

                      I=    205.73
Ejemplo Base Mixta

¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de
$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de
30 días?
                                                 Capital o principal
             Intereses

                                  I=$205.73+ P= $12,500
    Tiempo
             0   5      10       15         20         30 días



   $ 12,500
                                                  Este es monto
                                                 total al final del
                                                      periodo
                                                  $12705.73
Ejemplo de Base Mixta


INF. FINANCIERA
SALDO PROMEDIO                 6036.50
DIAS DEL PERIODO                    30
TASA BRUTA          %             2.00
TASA ISR            %             0.40
INTERESES A FAVOR   (+)           8.05
I.S.R. RETENIDO     (-)           2.01




COMPORTAMIENTO DE SU CUENTA
SALDO INICIAL                     6030
DEPOSITOS ABONOS (+)             16.56
RETIROS/CARGOS   (-)              2.01
SALDO FINAL                    6044.55
Ejemplo de Base Mixta

INF. FINANCIERA                                     Depositos y abonos
SALDO PROMEDIO                           6036.50    Intereses del mes anterior= 6.50
DIAS DEL PERIODO                             30     Intereses ganados= 10.06
TASA BRUTA                %                 2.00                Total 16.56
TASA ISR                  %                 0.40
                                                                          I =Pin/360
INTERESES A FAVOR         (+)               8.05    Rendimiento
I.S.R. RETENIDO           (-)               2.01    I=  6036.50*30*0.02/360
                                                    I=   10.06

                                                   ISR
COMPORTAMIENTO DE SU CUENTA                        ISR 6036.50*30*0.004/360
SALDO INICIAL                              6030    ISR= 2.01
DEPOSITOS ABONOS          (+)              16.56
RETIROS/CARGOS            (-)               2.01
SALDO FINAL                              6044.55    Intereses a Favor
                                                    Intereses - ISR
Saldo Promedio                                      I=10.06-2.01
Saldo inicial                6030                   I=     8.05
Intereses anteriores         6.05
                       SP= 6036.1
Descuento Simple

             Descuento bancario o comercial
Se define como el interés simple de una deuda, que se paga por adelantado.
Para el banquero, “descuento” significa “interés simple”, pagado de antemano.
    Los bancos emplean esta clase de descuento porque reporta ventaja.
    Si F es una deuda contraída es decir valor nominal, n es el intervalo de tiempo
              fracción de un año para cubrirla y d, la tasa de interés, el
                                   descuento es:

                                   D=Fnd
   Por lo tanto el valor presente de una deuda es:

                                     P=F-Fnd= F(1-nd)

   se usa el descuento bancario simple para períodos menores a aun año ya que la
   aplicación de la fórmula p=f(1-nd) puede ser ruinosa para el deudor, cuando n es
   suficientemente grande
                                  Donde: Dc= descuento bancario
                                  F=valor nominal del descuento
                                  d=tasa nominal del descuento
                                  n=tiempo
                                  P= valor presente
Ejemplo de descuento comercial

     Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anual
y si el señor Julio López desea descontar el documento el 5 de julio,
los $11 500 (el valor nominal del pagaré) devengaran los siguientes
 intereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta el
                     valor actual del documento.




                          D=Fnd
Solución

                        D=Fnd
donde d es el descuento
                    D= 11500(3/12)(0.20)
                    D=     575

$ 575 son el descuento que se aplica
                                       Entonces el señor López
Valor nominal      11500               recibe $10 925 que es el
                                       valor comercial del
Menos el descuento   575               documento hasta la fecha
                                       que anticipo el pago; el
Valor anticipado   10925               descuento de calculó en
                                       base al valor nominal del
                                       pagaré
Descuento comercial
En el comercio se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna
razón, ejemplo promociones especiales de venta, compra al por mayor, pronto pago, etc.
El descuento como la comisiones se expresan al tanto por ciento y en su valor no
interviene el tiempo. Sea i% el descuento concedido sobre la factura de valor $ S,
entonces se tiene:
                          Descuento => D= Si

                 Descuento en cadena o en serie
Con frecuencia ocurre que dentro de una misma factura se hacen una serie de
descuentos sucesivos independientes entre si.
                                    %
    Valor neto de una factura   Descuento          Valor neto de la factura

            S                       d1               VN1=S(1-i1)
           VN1                      d2               VN2=S(1-i1)(1-i2)
           VN2                      d3               VN3=S(1-i1)(1-i2)(1-i3)
           VN3                      ...              ...
           ...                      dn.              VNn=S(1-i1)(1-i2)...(1-in)
           VNn




D=P(100-d)/100*(100-d ’ /100)*(100-d n /100)
Descuento simple

Si un cliente firma un documento por $ 2500 a
cuatro meses. Un banco otorga un descuento de
8% anual ¿qué cantidad le dará el banco?

   Descuento en cadena o en serie
 Sobre una factura de $50000 se conceden los
 siguientes descuentos:
 a) por compra al por mayor 8%
 b)por promoción especial de ventas 5%
 c) por despacho sin empaques 6%

 Calcular el valor neto a pagar
Solución
               d 0.08                                                         Sust it ución
               n 4 meses         0.33333333
               D ¿?                                                      D= 1000(0.08)(4/ 12)

                                                                         D=     26.6666667


Ejer cicio 2
Dat os                                                                       Fór mula
P                50000                                         D= P[(100-d)/ 100* (100-d''/ 100)* (100-d´ ´ ´ / 100)...]
D                ¿
d´               8%
d´ ´             5%                                                          Sust it ución
d´ ´ ´           6%                                            D= 50000[ (100-8)/ 100* (100-5/ 100)* (100-6/ 100)]
                           NOTA:Como se puede observar                  D=          41078
                             en la sustitución tomamos el
                                porcentaje tal cual sin                                    el valor neto a pagar es
                           convertirlo a decimales, esto se                                $41078
                              hace porque la fórmula lo
                           permite y al restar el porcentaje
                               y luego dividir entre cien
                              automaticamente estamos
                           convirtiendo ese porcentaje en
                           décimales y podemos realizar la
                                      operación.
Diagramas de Tiempo Valor

                 Un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentes
      en sentido positivo (de izquierda a derecha), si se tiene fecha inicial y se cuenta con
un valor futuro, en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene un fecha de vencimiento
                              o final , y un valor antes del vencimiento

 Tiempo        0              1                       3            4
                                        2                                      5


 Valor         P                                                                   F
 presente                                                                       Valor
                                                                                futuro



                             4
   Tiempo 5                                 3          2            1              0


   Valor           P                                                                  F
   presente                                                                        Valor
                                                                                   futuro
Diagrama de Flujo de Caja
             A                                    C
                                      B
+
                    1    2      3           4           6    7
    Tiempo                                       5
             0
-                                                       F
                        D
                                             E
                    A,B y C ingresos (+)
                    D,E y F egresos (-)

      Al colocar en un diagrama de tiempo-valor flechas arriba
                                 para
                 los ingresos y flechas hacia abajo
                           para los egresos
Interés Compuesto
      Los intereses generados en un período devengan un interés generado anteriormente.
       El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y
                    que devenga interés en el período o períodos subsiguientes



Año    Cantidad                 Interés                        Cantidad acumulada
      acumulada                 pagado                          al final del periodo

1            P                     Pi                              P+Pi=P(1+i)
2        P(1+i)                P(1+i)i                   P(1+i) +P(1+i)1i= P(1+i)2
3       P(1+i)2               P(1+i)2i                  P(1+i)2 +P(1+i)2 i=P(1+i)3
.          .                     .                                  .
.          .                     .                                  .
n      P(1+i)n-1             P(1+i)n-1i              P(1+i)n-1 +P(1+i)n-1 i=P(1+i)n
Comparación entre Interés simple e interés compuesto

   La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto
       es mediante la elaboración de gráficas correspondientes a una misma tasa


      Por ejemplo, la tasa del 20% y un capital de $ 1000.
      Los montos son F= 1000(1+n0.20) para interés simple
         y F= 1000(1+0.20) n para el interés compuesto


Función discreta          a= valor futuro de $ 1000 al interés del 20%
                        b= Valor futuro de $1000 al interés compuesto del 20%
función continua          A línea recta F = 100[1+0.20]
                        B función exponencial F= 1000(1.2)n

El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfica
corresponde a la de una futura función exponencial. Por su parte , el monto
               a interés simple crece en progresión aritmética
Comparación entre Interés simple e Interés compuesto

La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto
  es mediante al fórmula elaboración de gráficas correspondientes una misma tasa



                                                                         B
                                                                     b

     2000
                                                        b        a        A
                                                b
                                b                       a
                                                a
     1000                               a
                            a
               0        1           2       3       4        5           años
Como se observa la suma acumulada al final del período n es:

                              F=P(I+i) n
         Esta fórmula relaciona una cantidad (presente con una
                            cantidad futuro (f)

                      De esta fórmula se deduce:

                P= F(1/1+n)n = F(1+n)-n ó bien:

                            P=F/(1+i)n

                  I= (f/P)1/n-1 ó bien         I=   n
                                                        (f/p) - 1

                  n= log F - log P / log (1+i)
Período de Capitalización

    El interés puede ser convertido en capital anual, semestral
       trimestral, y mensual así como diario,dicho período es
 denominado período de capitalización. Al número de veces que
 el interés capitaliza durante un año se le denomina frecuencia
                          de conversión.
Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario que
paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente?

                 Un año = 12 meses/3 meses= 4

         4 es el período de capitalización trimestral
Tasa de Interés Nominal,
           Efectiva (o real) y Equivalente
Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una
tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la
operación, ésta es denominada tasa de interés nominal.

Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral ,
trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganada
es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto
sucede, se puede determinar una tasa efectiva de
interés.

Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de
capitalización serán equivalentes si al cabo de un año
producen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasas
anuales de interés con diferentes períodos de capitalización
es se dice que son equivalentes, si el rendimiento
obtenido por capitalización es igual al final del año.
Partiendo de la fórmula
                  F= P(1+in/n)n

la tasa efectiva es el rendimiento anual “ie”, es
el rendimiento anual que se obtendría al final
del período cuando la tasa nominal “in” se
capitaliza “n” veces. Para una inversión
unitaria anual se tiene lo siguiente:

1(1+1e)=1(1+in/n)n-1 -->i e=(1+i n/n) n-1

despejando in se tiene la tasa nominal por
periodo:    i n =n[(1+i e ) 1/n -1
Cuando la tasa nominal se capitaliza por “m” años , se
obtienen para un año
se despeja:
 (1+in/n)m=[(1+in/n)n]m=

 F=P(+in/n)nm




                 i n =m[(1+i e ) n/m -1
Ejemplo
¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un
depósito bancario de $ 1000.00 pactado al 48% de interés
anual convertible mensualmente?

            F=1000(1+0.04)12
            F=1000(1.601032)
            F=1601.0322


            I=F-P
            I=1601.0322-1000

              i=I/P
              i=601.0322/1000
      i=0.6010
la tasa efectiva de interés ganada es de 60.10%
Usando la formula directamente se tiene:

            i e =(1+i n /n) n - 1

             i e=(1+0.48/12) 12 - 1

              i e=(1.601032)- 1

                  i e=.601032

               i e=60.10%
Ejemplo de tasa nominal

Hallar    la  tasa     nominal   im  capitalizable
mensualmente equivalente a la tasa del 8%
capitalizable  o     convertible  semestralmente.
Sustituyendo en la fórmula:

i n =m[(1+i e ) 1/m -1]
i n =12[(1+0.08/2) 2/12 -1]
i n =12(0.0065)=0.078696

i n =7.869%
Anualidades

  Una anualidad es una serie de pagos periódicos
  a intervalos de tiempo iguales y generalmente del mismo monto
  los conceptos básicos para las anualidades son:
   * La renta
   * La renta anual
   * La plazo de la anualidad
   * El intervalo de pago o período
   * La tasa de una anualidad
                                     Clasificación

                           Ciertas                   Contingentes


 Anualidades a plazo fijo y rentas perpetuas


Por fecha de pago:
anualidades vencidas u ordinarias
anualidades anticipadas
Anualidades diferidas
anualidades perpetuas
Criterio   Tipos de anualidad

a) A) Tiempo      Ciertas
                  Contigentes


B) Intereses      Simples
                  Generales


c) c)Pagos        Vencidas
                  Anticipadas


D) Inicio         Inmediatas
                   diferidas
A)
a) Anualidad cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de
   antemano. Por ejemplo:
   Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha que
   se debe de hacer el primer pago así como la fecha en que
   se realiza el último.

a) Anualidad contigente: tanto la fecha del primer pago como
   la fecha del último pago no se fijan con antelación sino que
   esta sucede por un hecho fortuito, por ejemplo las rentas
   vitalicias que se otorgan cuando fallece el conyuge, por lo
   que no se sabe cuando morirá.

b) B)

c) Cuando el periodo de pago coincide con el de la
   capitalización de los intereses, por ejemplo el pago de una
   renta determinada a una cierta tasa de interés.
•Anualidades generales. En esta el periodo de
pago no coincide con el periodo de capitalización
 C)
 de acuerdo con los pagos
 anualidad vencida: los pagos se realizan al
 periodo de vencimiento
                                        ....
  0        1            2         3

anualidad anticipada: los pagos se realizan antes
de la fecha de vencimiento

                                          ....
  0        1             2           3
D) Anualidad inmediata:

Es el caso más común y la realización de los
cobros o pagos tiene lugar en el periodo
inmediatamente siguiente ala formación del trato

Anualidad diferida:

Se pospone la realización de los cobros o
pagos. Se adquiere hoy un artículo a crédito,
para pagar con abonos mensuales , el primer
pago habrá de hacerse por ejemplo seis meses
después de haber adquirido la mercancía.
Valor Presente de una anualidad




A=P[i/(1+(1+i)-n]

   Despejando


   P=A[1-(1+i) -n /i
AMORTIZACIONES


En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para
denominar un proceso financiero mediante el cual se
 extingue, gradualmente, una deuda por medio de
     pagos periódicos, que pueden ser iguales o
 diferentes.En la amortización de una deuda, cada
 pago o cuota que se entrega sirve para pagar los
      intereses y reducir el importe de la duda.
Recomendaciones para elaborar el laboratorio

1. No es lo mismo tasa de interés que interés o intereses, la primera está expresada
en (%) porcentaje y la segunda en el tipo de moneda que se este manejando (pesos, dólares, etc.)

2. La tasa de interés y el tiempo debe de ir expresado en las mismas unidades, por ejemplo si tenemos
periodos semestrales, la tasa de interés debe estar expresada en una tasa de interés semestral.

3. No confundir periodo de capitalización con el término capitalización, porque el primero es
sólo la frecuencia de conversión y el segundo esta relacionado con el valor futuro.

4. En esta presentación vienen insertadas hojas de cálculo; para que puedan activar la hojas
 sólo den doble click, y se activará, pero esto sólo se puede realizar en Windows 95 , 98,
y Mileniun; en Windows XP no se pueden activar.

5. Consultar la siguiente bibliografía:

-Portus, Lincoyan. Matemáticas Financieras. Mc Graw Hill, México. 1998

-Díaz Mata, Matemáticas Financieras. Tercera edición. Edit Mc Graw Hill.

6. Si tienen alguna otra duda por favor dirigirse con los Asistentes.

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  • 1. S EMINARIO DE DES ARROLLO ECONOMICO I Mtro. Celso Garrido Febrero 2003 Introducción Matemáticas Financieras Ana María Hernández Méndez Alejandro Apolinar Rojas
  • 2. Introducción FINANZAS Asignación de recursos Tiempo Al poner en práctica sus decisiones financieras, las personas se sirven del Sistema Financiero... Conjunto de mercados e instituciones mediante las cuales se realizan los contratos financieros y el intercambio de activos
  • 3. Contenido de la sesión 1a sesión -Equivalencia financiera -Interés simple Valor presente simple Valor futuro simple -Base mixta -Cálculo del tiempo -Descuento bancario o comercial -Diagrama de tiempo valor y de flujo de caja -Interés compuesto -Diferencia entre interés simple e -Tasa de interés nominal, real y efectiva -Anualidades -Amortización
  • 4. Equivalencia Financiera El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia Financiera y esto significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes de tiempo son iguales en valor económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 7% anual, $100 (tiempo presente) Serían equivalentes a $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es el mismo valor económico o equivalente.
  • 5. Interés Simple Interés que se carga al final del período y que no gana interés en el período o períodos subsiguientes El interés simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los períodos de interés anteriores Ejemplo: Un capital de 100 pesos al 10% en tres periodos Tiempo 0 1 2 3 Total en los 3 periodos $30 $100 $10 $10 $10
  • 6. Denominación de Variables Nomenclatura Inglesa I = interés generado ($) P = es el capital o principal que se da o se recibe en préstamo i = tasa de interés anual (%) n = número de años o períodos, tiempo F = monto o valor futuro a fin del período Nomenclatura Española I=interés simple C=capital o principal i=tasa (tipo de interés tanto por ciento) t=tiempo M=monto
  • 7. Los intereses: I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: F=P(1+in) (4) En estás fórmulas básicas del interés simple (1) y ( 3) se tienen cinco variables que son F, P, I, i y n de las cuales se puede obtener cualquiera de ellas a partir de las tres restantes, así de la fórmula de interés simple: I=Pin P=I/in i= I/Pn n=I/Pn De la fórmula de monto simple se obtiene F=p(1+in) P=F/ (1+in) i=[(F/P)-1]/n n=[(F/P)-1]/i
  • 8. Capitalización y Actualización El planteamiento de los problemas económicos- financieros se desarrolla en torno a dos conceptos básicos: capitalización y actualización. El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales
  • 9. Valor Presente Simple El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que, a una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida: I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: F=P(1+in) (4) De la fórmula de monto simple despejamos P para obtener el valor presente simple F=P(1+in) P= F/ (1+in)
  • 10. Ejemplo de Valor presente simple Un miroempresario desea innovar su equipo de trabajo y recurre a una institución crediticia, que le cobra el 16% de interés simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá que pagar $52,600 dentro de 5 meses? Tiempo 1 2 5 Meses 0 3 4 ¿Valor? $52,600
  • 11. Valor Presente DATOS Tasa de interes 16 % Valor futuro 52600 Tiempo 5 meses P=F/(1+ni) Sustitución P= 52600/(1+0.16*5/12) ¡Esta es la cantidad que le prestaron! Valor presente $ 49,312.50 $ 49,312.50 Tiempo 1 2 5 Meses 0 3 4 $52,600 $ 49,312.50
  • 12. Valor Futuro Simple El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. I=Pin (1) El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses F=P+I (2) Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin) F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior: se obtiene la fórmula de monto simple F=P+I = P+Pin=P(1+in)
  • 13. Ejemplo de Valor futuro simple Una institución crediticia otorga un préstamo de $ 49 312.50 pesos a una tasa de interés simple de 16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después de 5 meses? Tiempo 0 1 2 3 4 5 Meses $ 49 312.50 ¿Valor?
  • 14. Valor Futuro DATOS Tasa de interes 16 % Valor presente 49312.5 Tiempo 5 meses F=P(1+ni) Sustitución F= 49312.50*(1+0.16*5/12) Monto que pagará Valor Futuro $ 52,600.00 dentro de 5 meses Tiempo 1 2 5 Meses 0 3 4 $ 49,312.50 $ 52, 600
  • 15. Base Mixta P=capital o suma prestada t=Tiempo I= interés o rédito Se tiene de acuerdo con las leyes de variación proporcional I=PnK (1) Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contractuales de préstamo. Si las condiciones son del i% anual (año comercial de 360 días). P= 100 unidades n=360 días ( año comercial ) I=i unidades( i%=i unidades por cada 100 en 360 días) Mediante la aplicación de la fórmula 1 se tiene: i= 100(360) k se despeja k=i/100(360)
  • 16. Al reemplazar en la fórmula 1 se tiene: I= Pin/100(360) para el año de 365 días, el año real , el mismo desarrollo conduce a: I=Pin/ 100(365) y para años bisiestos, el año real es de 366 días. El interés simple ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 360 días. El interés simple real o exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de 366 , si se trata de año bisiesto. Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días ; pero par la duración de tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que un año), cuentas los días efectivos calendario.
  • 17. Ejemplo Base Mixta ¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de $ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de 30 días? Tiempo 0 1 2 3 4 30 días $ 12,500 ¿Intereses + el principal?
  • 18. Solución Datos Fórmula P= 12500 i= 19.75 anual I=Pin/360 n= 30 días I= ¿? la tasa de interés se toma en decimales Sustitución I=12500(.1975)(30)/360 I= 205.73
  • 19. Ejemplo Base Mixta ¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de $ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de 30 días? Capital o principal Intereses I=$205.73+ P= $12,500 Tiempo 0 5 10 15 20 30 días $ 12,500 Este es monto total al final del periodo $12705.73
  • 20. Ejemplo de Base Mixta INF. FINANCIERA SALDO PROMEDIO 6036.50 DIAS DEL PERIODO 30 TASA BRUTA % 2.00 TASA ISR % 0.40 INTERESES A FAVOR (+) 8.05 I.S.R. RETENIDO (-) 2.01 COMPORTAMIENTO DE SU CUENTA SALDO INICIAL 6030 DEPOSITOS ABONOS (+) 16.56 RETIROS/CARGOS (-) 2.01 SALDO FINAL 6044.55
  • 21. Ejemplo de Base Mixta INF. FINANCIERA Depositos y abonos SALDO PROMEDIO 6036.50 Intereses del mes anterior= 6.50 DIAS DEL PERIODO 30 Intereses ganados= 10.06 TASA BRUTA % 2.00 Total 16.56 TASA ISR % 0.40 I =Pin/360 INTERESES A FAVOR (+) 8.05 Rendimiento I.S.R. RETENIDO (-) 2.01 I= 6036.50*30*0.02/360 I= 10.06 ISR COMPORTAMIENTO DE SU CUENTA ISR 6036.50*30*0.004/360 SALDO INICIAL 6030 ISR= 2.01 DEPOSITOS ABONOS (+) 16.56 RETIROS/CARGOS (-) 2.01 SALDO FINAL 6044.55 Intereses a Favor Intereses - ISR Saldo Promedio I=10.06-2.01 Saldo inicial 6030 I= 8.05 Intereses anteriores 6.05 SP= 6036.1
  • 22. Descuento Simple Descuento bancario o comercial Se define como el interés simple de una deuda, que se paga por adelantado. Para el banquero, “descuento” significa “interés simple”, pagado de antemano. Los bancos emplean esta clase de descuento porque reporta ventaja. Si F es una deuda contraída es decir valor nominal, n es el intervalo de tiempo fracción de un año para cubrirla y d, la tasa de interés, el descuento es: D=Fnd Por lo tanto el valor presente de una deuda es: P=F-Fnd= F(1-nd) se usa el descuento bancario simple para períodos menores a aun año ya que la aplicación de la fórmula p=f(1-nd) puede ser ruinosa para el deudor, cuando n es suficientemente grande Donde: Dc= descuento bancario F=valor nominal del descuento d=tasa nominal del descuento n=tiempo P= valor presente
  • 23. Ejemplo de descuento comercial Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anual y si el señor Julio López desea descontar el documento el 5 de julio, los $11 500 (el valor nominal del pagaré) devengaran los siguientes intereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta el valor actual del documento. D=Fnd
  • 24. Solución D=Fnd donde d es el descuento D= 11500(3/12)(0.20) D= 575 $ 575 son el descuento que se aplica Entonces el señor López Valor nominal 11500 recibe $10 925 que es el valor comercial del Menos el descuento 575 documento hasta la fecha que anticipo el pago; el Valor anticipado 10925 descuento de calculó en base al valor nominal del pagaré
  • 25. Descuento comercial En el comercio se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna razón, ejemplo promociones especiales de venta, compra al por mayor, pronto pago, etc. El descuento como la comisiones se expresan al tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo. Sea i% el descuento concedido sobre la factura de valor $ S, entonces se tiene: Descuento => D= Si Descuento en cadena o en serie Con frecuencia ocurre que dentro de una misma factura se hacen una serie de descuentos sucesivos independientes entre si. % Valor neto de una factura Descuento Valor neto de la factura S d1 VN1=S(1-i1) VN1 d2 VN2=S(1-i1)(1-i2) VN2 d3 VN3=S(1-i1)(1-i2)(1-i3) VN3 ... ... ... dn. VNn=S(1-i1)(1-i2)...(1-in) VNn D=P(100-d)/100*(100-d ’ /100)*(100-d n /100)
  • 26. Descuento simple Si un cliente firma un documento por $ 2500 a cuatro meses. Un banco otorga un descuento de 8% anual ¿qué cantidad le dará el banco? Descuento en cadena o en serie Sobre una factura de $50000 se conceden los siguientes descuentos: a) por compra al por mayor 8% b)por promoción especial de ventas 5% c) por despacho sin empaques 6% Calcular el valor neto a pagar
  • 27. Solución d 0.08 Sust it ución n 4 meses 0.33333333 D ¿? D= 1000(0.08)(4/ 12) D= 26.6666667 Ejer cicio 2 Dat os Fór mula P 50000 D= P[(100-d)/ 100* (100-d''/ 100)* (100-d´ ´ ´ / 100)...] D ¿ d´ 8% d´ ´ 5% Sust it ución d´ ´ ´ 6% D= 50000[ (100-8)/ 100* (100-5/ 100)* (100-6/ 100)] NOTA:Como se puede observar D= 41078 en la sustitución tomamos el porcentaje tal cual sin el valor neto a pagar es convertirlo a decimales, esto se $41078 hace porque la fórmula lo permite y al restar el porcentaje y luego dividir entre cien automaticamente estamos convirtiendo ese porcentaje en décimales y podemos realizar la operación.
  • 28. Diagramas de Tiempo Valor Un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentes en sentido positivo (de izquierda a derecha), si se tiene fecha inicial y se cuenta con un valor futuro, en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene un fecha de vencimiento o final , y un valor antes del vencimiento Tiempo 0 1 3 4 2 5 Valor P F presente Valor futuro 4 Tiempo 5 3 2 1 0 Valor P F presente Valor futuro
  • 29. Diagrama de Flujo de Caja A C B + 1 2 3 4 6 7 Tiempo 5 0 - F D E A,B y C ingresos (+) D,E y F egresos (-) Al colocar en un diagrama de tiempo-valor flechas arriba para los ingresos y flechas hacia abajo para los egresos
  • 30. Interés Compuesto Los intereses generados en un período devengan un interés generado anteriormente. El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y que devenga interés en el período o períodos subsiguientes Año Cantidad Interés Cantidad acumulada acumulada pagado al final del periodo 1 P Pi P+Pi=P(1+i) 2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i) +P(1+i)1i= P(1+i)2 3 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2 +P(1+i)2 i=P(1+i)3 . . . . . . . . n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n-1 +P(1+i)n-1 i=P(1+i)n
  • 31. Comparación entre Interés simple e interés compuesto La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto es mediante la elaboración de gráficas correspondientes a una misma tasa Por ejemplo, la tasa del 20% y un capital de $ 1000. Los montos son F= 1000(1+n0.20) para interés simple y F= 1000(1+0.20) n para el interés compuesto Función discreta a= valor futuro de $ 1000 al interés del 20% b= Valor futuro de $1000 al interés compuesto del 20% función continua A línea recta F = 100[1+0.20] B función exponencial F= 1000(1.2)n El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfica corresponde a la de una futura función exponencial. Por su parte , el monto a interés simple crece en progresión aritmética
  • 32. Comparación entre Interés simple e Interés compuesto La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto es mediante al fórmula elaboración de gráficas correspondientes una misma tasa B b 2000 b a A b b a a 1000 a a 0 1 2 3 4 5 años
  • 33. Como se observa la suma acumulada al final del período n es: F=P(I+i) n Esta fórmula relaciona una cantidad (presente con una cantidad futuro (f) De esta fórmula se deduce: P= F(1/1+n)n = F(1+n)-n ó bien: P=F/(1+i)n I= (f/P)1/n-1 ó bien I= n (f/p) - 1 n= log F - log P / log (1+i)
  • 34. Período de Capitalización El interés puede ser convertido en capital anual, semestral trimestral, y mensual así como diario,dicho período es denominado período de capitalización. Al número de veces que el interés capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión. Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario que paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente? Un año = 12 meses/3 meses= 4 4 es el período de capitalización trimestral
  • 35. Tasa de Interés Nominal, Efectiva (o real) y Equivalente Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación, ésta es denominada tasa de interés nominal. Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral , trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva de interés. Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de capitalización es se dice que son equivalentes, si el rendimiento obtenido por capitalización es igual al final del año.
  • 36. Partiendo de la fórmula F= P(1+in/n)n la tasa efectiva es el rendimiento anual “ie”, es el rendimiento anual que se obtendría al final del período cuando la tasa nominal “in” se capitaliza “n” veces. Para una inversión unitaria anual se tiene lo siguiente: 1(1+1e)=1(1+in/n)n-1 -->i e=(1+i n/n) n-1 despejando in se tiene la tasa nominal por periodo: i n =n[(1+i e ) 1/n -1
  • 37. Cuando la tasa nominal se capitaliza por “m” años , se obtienen para un año se despeja: (1+in/n)m=[(1+in/n)n]m= F=P(+in/n)nm i n =m[(1+i e ) n/m -1
  • 38. Ejemplo ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $ 1000.00 pactado al 48% de interés anual convertible mensualmente? F=1000(1+0.04)12 F=1000(1.601032) F=1601.0322 I=F-P I=1601.0322-1000 i=I/P i=601.0322/1000 i=0.6010 la tasa efectiva de interés ganada es de 60.10%
  • 39. Usando la formula directamente se tiene: i e =(1+i n /n) n - 1 i e=(1+0.48/12) 12 - 1 i e=(1.601032)- 1 i e=.601032 i e=60.10%
  • 40. Ejemplo de tasa nominal Hallar la tasa nominal im capitalizable mensualmente equivalente a la tasa del 8% capitalizable o convertible semestralmente. Sustituyendo en la fórmula: i n =m[(1+i e ) 1/m -1] i n =12[(1+0.08/2) 2/12 -1] i n =12(0.0065)=0.078696 i n =7.869%
  • 41. Anualidades Una anualidad es una serie de pagos periódicos a intervalos de tiempo iguales y generalmente del mismo monto los conceptos básicos para las anualidades son: * La renta * La renta anual * La plazo de la anualidad * El intervalo de pago o período * La tasa de una anualidad Clasificación Ciertas Contingentes Anualidades a plazo fijo y rentas perpetuas Por fecha de pago: anualidades vencidas u ordinarias anualidades anticipadas Anualidades diferidas anualidades perpetuas
  • 42. Criterio Tipos de anualidad a) A) Tiempo Ciertas Contigentes B) Intereses Simples Generales c) c)Pagos Vencidas Anticipadas D) Inicio Inmediatas diferidas
  • 43. A) a) Anualidad cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo: Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha que se debe de hacer el primer pago así como la fecha en que se realiza el último. a) Anualidad contigente: tanto la fecha del primer pago como la fecha del último pago no se fijan con antelación sino que esta sucede por un hecho fortuito, por ejemplo las rentas vitalicias que se otorgan cuando fallece el conyuge, por lo que no se sabe cuando morirá. b) B) c) Cuando el periodo de pago coincide con el de la capitalización de los intereses, por ejemplo el pago de una renta determinada a una cierta tasa de interés.
  • 44. •Anualidades generales. En esta el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización C) de acuerdo con los pagos anualidad vencida: los pagos se realizan al periodo de vencimiento .... 0 1 2 3 anualidad anticipada: los pagos se realizan antes de la fecha de vencimiento .... 0 1 2 3
  • 45. D) Anualidad inmediata: Es el caso más común y la realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente ala formación del trato Anualidad diferida: Se pospone la realización de los cobros o pagos. Se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales , el primer pago habrá de hacerse por ejemplo seis meses después de haber adquirido la mercancía.
  • 46. Valor Presente de una anualidad A=P[i/(1+(1+i)-n] Despejando P=A[1-(1+i) -n /i
  • 47. AMORTIZACIONES En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar un proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.En la amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la duda.
  • 48. Recomendaciones para elaborar el laboratorio 1. No es lo mismo tasa de interés que interés o intereses, la primera está expresada en (%) porcentaje y la segunda en el tipo de moneda que se este manejando (pesos, dólares, etc.) 2. La tasa de interés y el tiempo debe de ir expresado en las mismas unidades, por ejemplo si tenemos periodos semestrales, la tasa de interés debe estar expresada en una tasa de interés semestral. 3. No confundir periodo de capitalización con el término capitalización, porque el primero es sólo la frecuencia de conversión y el segundo esta relacionado con el valor futuro. 4. En esta presentación vienen insertadas hojas de cálculo; para que puedan activar la hojas sólo den doble click, y se activará, pero esto sólo se puede realizar en Windows 95 , 98, y Mileniun; en Windows XP no se pueden activar. 5. Consultar la siguiente bibliografía: -Portus, Lincoyan. Matemáticas Financieras. Mc Graw Hill, México. 1998 -Díaz Mata, Matemáticas Financieras. Tercera edición. Edit Mc Graw Hill. 6. Si tienen alguna otra duda por favor dirigirse con los Asistentes.