funciones cuadráticas

1. C
FUNCIÓNCUADRÁTICA
LICEO VILLA MACUL ACADEMIA
“Compromiso-Innovación-Excelencia”
3° MEDIO – Matemática Común

2. OBJETIVOS:
• Conocer y aplicar los conceptos
matemáticos asociados al estudio de la
función cuadrática.
• Graficar una función cuadrática,
determinando vértice, eje de simetría y
concavidad.
• Indicar las características gráficas de una
parábola a través del análisis del
discriminante.
• Determinar las intersecciones de la parábola
con los ejes cartesianos.

3. Contenidos
Función cuadrática
3 Intersección con el eje Y
4 Concavidad
5 Eje de simetría y vértice
6 Discriminante
1 Parábola
2 Intersección con el eje X
7 Dominio y Recorrido

4. Función Cuadrática
Es de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
Ejemplos:
y su gráfica es una parábola.
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2
a = 2, b = 3 y c = 1
a = 4, b = -5 y c = -2
con a =0; a,b,c  IR

5. PARÁBOLAS EN LA VIDA
COTIDIANA

7. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y
de una recta fija llamada directriz.
1. Parábola

8. 2. Intersección con eje X
Todos los puntos sobre el eje X son de la forma (x,0);
esto implica que para que se cumpla la condición, la
coordenada “y” debe ser igual a 0. Si la función cuadrática
es y = f(x) = ax2 + bx + c , podemos reemplazar y=0.
Entonces ax2 + bx + c =0 . Es decir, debemos resolver
esta ecuación para encontrar los valores de x.
Tu ya sabes resolver ecuaciones cuadráticas (las raíces o
soluciones x1 y x2 son las intersecciones con el eje x)
x1 x2

9. Ejemplo
Dada la función cuadrática
encontremos la intersección de esta parábola con el
eje x. Resolvemos la ecuación cuadrática haciendo
f(x) = 0
Los puntos de
intersección son
x1 = -2 y X2 = 0
Puntos coordenados
(-2,0) y (0,0)

10. 3. Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el
coeficiente c indica la ordenada del punto donde la
parábola intersecta al eje Y.
x
y
x
y
c
(0,C)

11. 4. Concavidad
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el
coeficiente a indica si la parábola es cóncava
hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0,
es cóncava hacia arriba
Si a < 0,
es cóncava hacia abajo

12. El valor de “b” en la ecuación permite saber el
movimiento horizontal de la parábola y “a” su
concavidad.
Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c
Entonces:
Si a>0 y b<0 la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la derecha.
Si a>0 y b>0 la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la izquierda.
Si a<0 y b>0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la derecha.
Si a<0 y b<0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la izquierda.
La importancia del valor de “a” y de “b”
Ej. f(x)=2x² - 3x +2
Ej. f(x)=x² + 3x - 2
Ej. f(x)=-3x + 4x – 1
Ej. f(x)=-x² - 4x + 1

13. Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4),
es cóncava hacia arriba y está orientada hacia la derecha
respecto al eje Y.
x
y
Ejemplo:
En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a =1 ; b=-3 y c = -4.
(0,-4)

14. 5. Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de
la parábola, y es paralela al eje Y.
x
y Eje de simetría
Vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más
bajo de la curva, según sea su concavidad.

15. Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
b) Su vértice es:
a) Su eje de simetría es:
2a 2a
V =
-b , f -b
4a
-b , 4ac – b2
2a
V =
-b
2a
x =

16. Ejemplo:
2·1
-2
x =
En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y
c = - 8, entonces:
V = ( -1, f(-1) )
a) Su eje de simetría es:
x = -1
b) Su vértice es:
V = ( -1, -9 )
2a
-b
x =
-b , f -b
2a 2a
V =
 



17. f(x)
V = ( -1, -9 )
x = -1
Eje de simetría:
Vértice:

18. i) y =a(x-h)²
Significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h
unidades y abre hacia arriba o hacia abajo.
Ej. 1) y=2(x-3)² (↑→) 2) y=-3(x-4)² (↓→)
Si y=ax² una función cuadrática cualquiera, entonces:
Comportamiento de la función de acuerdo a
“a”, “h” y “k”
x
y
x
y

19. ii) y =a(x+h)²
Significa que la función se movió a la izquierda o
derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo.
Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑←) 2) y=-(x+1)² (↓←)
x
y

20. iii) y=a(x-h)² ± k
significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo.
1) y=5(x-1)² - 4 (↑→↑) 2) y=-3(x-7)² + 6 (↓→↓)

21. iv) y=a(x + h)² ± k
Significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k
unidades hacia arriba o hacia abajo.
1) y=(x+6)² - 5 (↑←↑) 2) y=-5(x+3)² + 3 (↓←↓)
Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola.
x
y

22. Si la parábola es abierta hacia
arriba, el vértice es un mínimo y
si la parábola es abierta hacia
abajo, el vértice es un máximo.

23. Por ejemplo:
¿Cuál es el gráfico de la función:
a) f(x)= (x – 1)2 – 6 b) f(x)= -(x + 1)2 + 2
-1
2
V(-1,2)
-6
1
V(1,-6)

24. El discriminante se define como:
Δ = b2 - 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la
parábola intersecta en dos puntos al eje X.
Δ > 0
6. Discriminante
Propiedad Intelectual Cpech

25. b) Si el discriminante es negativo, entonces la
parábola NO intersecta al eje X.
Δ < 0

26. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces
la parábola intersecta en un solo punto al
eje X, es tangente a él.
Δ = 0

27.  Dominio: El dominio de cualquier función cuadrática
siempre será IR.
Dom f = IR
 Recorrido: Dependerá de la concavidad de la parábola:
 Sí es cóncava hacia arriba, (a>0) es:
ó
 Sí es cóncava hacia abajo, (a<0) es:
ó
7. Dominio y recorrido

28. ACTIVIDADES DE REFUERZO
• Desarrolla las actividades propuestas en las
páginas 128 a 136 de tu texto.
• 142 (actividades de función cuadrática)
v , vi , vii ,
viii (1,2,3,4,8,10,11,16,17,18,20,22,
23,33,34,35,36,37,38,39,40)