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TRIÁNGULOS I

                              B
                                           yº                                   C. Según sus lados :

                        c         βº
  Región                                        a                                1. Triángulo Escaleno
 Triangular                                                                                                  B
                                                        zº
           xº           αº                     θº                                              c                     a
                                                                                                                                          a≠b≠c
                A                                       C
                                  b                                                                     b
                                                                                     A                                      C
Notación: Triángulo ABC : ∆ABC.
                                                                                                                                   B
Elementos:                                                                       2. Triángulo Isósceles

     Vértice                              :                A, B, C                                                  L                       L

     Lados                                :                AB , BC , AC
                                                                                                                         αº                  αº
     Ángulos internos                     :                αº, βº, θº
                                                                                                                 A                 Base               C
     Ángulos externos                     :                xº, yº, zº
     Perímetro                            :                2p = a + b + c
                                                                                 3. Triángulo Equilátero
                                                                                                                           B

     CLASIFICACIÓN
                                                                                                                           60º
                                                                                                             L                          L


                                                                                                                 60º                   60º
A. Según sus Ángulos
                                                                                                        A                      L                  C

 1. Triángulo Oblicuángulo                                                                     PROPIEDADES GENERALES


                                                                                1. Suma de Ángulos Internos
           Triángulo Acutángulo                                                                    B

                    B                                                                                                αº + θº + ωº = 180º
                                                                                                   θº
                                          0º < αº, θº, ωº < 90º
                    θº
                                                                                      αº                    ωº
            αº               ωº                                                 A                                      C
      A                                C


           Triángulo Obtusángulo                                               2. Suma de Ángulos Externos
       A

                                                    90º < αº < 180º                       e2
                                                                                                                           e1 + e2 + e3               = 360º


                         α
                    B                           C
                                                                                                                     e3

                                                                                         e1
 2. Triángulo Rectángulo
            B                                                                   3. Calculo de un ángulo externo:
                                               αº + θº = 90º


                                                                                                    yº                                 xº = αº + θº
       α                              θ
       º                                                                                       θº
  A                                   º             C
B.                                                                                                                                     yº = αº + ωº

                                                                                     αº                 ωº             xº
4. Desigualdad Triangular                                       4.       Propiedad de Existencia del triángulo
                                                                                                 → b – c < a < b + c

                   a                     b                           a                 b           → a – c < b < a + c
                                                                                                   → a – b < c < a + b


                              c                                                  c
       Sea: a < b < c                                           5.

                                                                          yº
                                                                                           mº
       1.    b–a<c<b+a
                                                                                                    xº + yº = mº + nº
       2.    c–a<b<c+a
       3.    c–b<a<c+b                                                                       nº
                                                                 xº

             PROPIEDADES ADICIONALES
                                                                6.
1. Propiedad Cuadrilátero Cóncavo.                                               xº
   (La del Boumerang)                                                                             180º + xº = αº + θº



                                                                         αº           θº
                   βº                  x = αº + θº + βº

                                                                         PROBLEMAS DE PRACTICOS
            αº               θº
                  xº
                                                           1.    Calcular “x”.

                                                                 a)       30º
                                                                 b)       40º                               30º
                                                                 c)       50º                                     xº
                                                                 d)       60º                     20º
                                                                 e)       70º
2. Propiedad Mariposa
                                                           2.    Calcular “x”.
    α
                                                                 a)       100º
                                  xº     x + y = αº + θº         b)       80º
                                                                 c)       120º        120º         80º            xº
    θ
                                                                 d)       140º         º            º
                                                                 e)       180º
                                  yº


                                                           3.    Calcular “x”.

3. Propiedad Pescadito                                           a)       50º                       xº
                                                                 b)       100º
                                  x + y = αº + θº
                                                                 c)       180º                                         40º
       xº                                                        d)       90º
                                                                 e)       120º        150º


                                                           4.    Calcular el perímetro del ∆ ABC.
  αº                    θº
                                                                 Si: AB = 2, BC = 1, AC = 1,5
                                                                                                        C
                                                                 a)       2º
    yº                                                           b)       3
c)   4                                                             d)   60º
                                                                                             x + 20º            x + 30º
     d)   3,5                                                           e)   90º
     e)   4,5          A                                        B

5.   Calcular “x”.                                                  12. Hallar el mayor ángulo exterior del ∆ABC
     a) 50º                                        3xº
     b) 40º
                                                                        Si: m   ∡A = m ∡    B = 2m∡ C

     c) 30º
     d) 20º                                                             a) 72º              b) 108º        c) 144º
                                 xº                        2xº
     e) 10º                                                             d) 36º              e) 98º


6.   Calcular “x”.                                                  13. Calcular el menor ángulo agudo del ∆ABC
                                              xº                        rectángulo. Si: m   ∡A = 2m ∡     Bym   ∡ C = 90º
     a)   60º
     b)   135                                                           a) 90º              b) 60º         c) 30º
     c)   45                       xº                                   d) 20º              e) 10º
     d)   30               xº                            xº
     e)   10                                                        14. Determine el semiperímetro del triángulo cuyos
                                                                        lados forman una serie de tres números
                                                                        consecutivos. Si el mayor es 10m.
7.   Calcular “x”, si: α + θ = 60º
                                                                        a) 27               b) 27/2        c) 13
     a)   150º                                                          d) 28               e) 14
     b)   120º                           θ+3α
     c)   100º                                             xº
     d)   20º            θ - α                                      15. Calcular “x”.
     e)   10º
                                                                        a)   10º                           120º
8.   Calcular “x”; si es entero:                                        b)   20º
                                                                        c)   30º
     a)   180º                                                                                 xº                  2xº
                                                                        d)   40º
     b)   94º                           xº                              e)   60º
     c)   86º        136º                               140º
     d)   96º
     e)   84º                                                       16. Calcular “x”.

9.   Hallar “x”.                                                        a)   10º                                  xº
                                                                        b)   15º
     a)   30º                           40º
                                                                        c)   29º
     b)   40º               xº
                                                                        d)   25º              x -10º             40º
     c)   20º                      αº                                   e)   35º
                                                   θº
     d)   15º
                              αº                   θº
     e)   60º


                                                                    17. Calcular “x”.
10. Hallar “x”.
                                                                                                           60º
                                                   80º                  a)   120º
     a)   100º                                                          b)   100º
                                                                                                            xº
     b)   130º                                                          c)   90º                     αº
     c)   120º                                                          d)   75º                                     αº
     d)   180º                                                                                       αº            αº
                                               xº              θº
                                                                        e)   60º
     e)   90º           αº
                         αº                              θº
                                                                    18. Determine “α”; si: los ángulos internos del ∆ABC,
                                                                        forman una progresión aritmética y aumentan de
11. Calcular “x”.                                                       20º en 20º. (Ejm.: αº, αº + 20º, αº + 40º)

     a)   30º                            x + 40º                        a) 40º              b) 60º         c) 80º
     b)   10º                                                           d) 20º              e) 10º
     c)   15º
19. Calcular el mayor ángulo de un triángulo,                              d) 120º
    sabiendo que uno de ellos es 40º y los otros son
                                                                           e) 130º
    iguales.
                                                                     26. Del gráfico: calcule “x”.
    a) 30º              b) 40º                   c) 80º                   a) 10º
    d) 70º              e) 50º                                                                                               x
                                                                           b) 20º

20. Calcular el menor ángulo externo de un triángulo                       c) 30º
                                                                                                 50º                                  30º
    ABC                                                                    d) 40º
    Si: m∡A = 30º y m∡B = 2m∡C = 2αº                                       e) 50º
                                                                                                                             x
                                                                     27. Del gráfico: calcule “x”.
    a) 30º              b) 60º                   c) 40º
    d) 150º             e) 50º
                                                                          a) 10º
                                                                                                                 30º         x
                                                                          b) 20º
                                                                          c) 30º
                                                                                                         70º
21. Calcular “x”.                                                         d) 40º                                                  x
                                         20º                              e) 50º                                         20º
    a)   10º                                                         28. Del gráfico: calcule “x”.
    b)   85º                                                                                                         270º
                                          xº                               a) 10º
    c)   95º                     θ                     α                   b) 20º
    d)   120º                    θ
                                         150º         α                    c) 30º
    e)   130º
                                                                           d) 40º                                                    β
                                                                           e) 50º
                                                                                       120º
22. Calcular “x”.
                                     αº                                                                  60º
    a)   150º            αº                     αº                   29. Del gráfico: calcule “x”.
                                                          xº
    b)   144º
    c)   120º
    d)   108º                    αº                                       a) 50º                            60º
                                                     αº
    e)   100º                                                             b) 60º
                                                                          c) 70º                    120º
                                                                                                           x
23. Calcular “x”; m∡A = m∡B = 70º                                         d) 80º
                                                                          e) 40º                         60º
                                          C                                                                  60º
                                                                     30. Del gráfico: calcule “β + α”.
    a) 110º                                                                a) 200º
                                         βº
    b) 100º                 xº                                             b) 210º
                                                                                                     β                                θ
    c) 40º                                                                 c) 215º
                                                               βº                          θ
    d) 20º                                                                 d) 220º                                               120º

    e) 15º                                                                 e) 230º                                       α
                    A                                                                                                                     θ
                                                           B
                                                                     31. Del gráfico: calcule ∅.
24. Del gráfico: calcule ∅.
                                                                                                                 ∅
                                                                           a) 18º
      a) 10º                                    2                                               ∅                                ∅
      b) 20º                                                               b) 36º
      c) 30º
                                                                           c) 40º
      d) 25º
      e) 35º                                                   ∅           d) 50º                    ∅                       ∅
                                     ∅
                                                100
                                                                           e) 45º
25. Del gráfico: calcule “x + y”.                º
     a) 100º
                                                                                                                                              L
      b) 90º                                                         32. Del gráfico: L1 // L2 calcule la medida de “x”.                          1
                                     y                                                                    α
      c) 110º                                                  60º                                    α
                                                               40º
                        x                                                                                x                   60º

                                                                                                             β                                L
                                                                                                                     β                            2
a) 100º

b) 120º

c) 130º

d) 140º

e) 150º

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Geometria triangulos

  • 1. TRIÁNGULOS I B yº C. Según sus lados : c βº Región a 1. Triángulo Escaleno Triangular B zº xº αº θº c a a≠b≠c A C b b A C Notación: Triángulo ABC : ∆ABC. B Elementos: 2. Triángulo Isósceles  Vértice : A, B, C L L  Lados : AB , BC , AC αº αº  Ángulos internos : αº, βº, θº A Base C  Ángulos externos : xº, yº, zº  Perímetro : 2p = a + b + c 3. Triángulo Equilátero B CLASIFICACIÓN 60º L L 60º 60º A. Según sus Ángulos A L C 1. Triángulo Oblicuángulo PROPIEDADES GENERALES 1. Suma de Ángulos Internos  Triángulo Acutángulo B B αº + θº + ωº = 180º θº 0º < αº, θº, ωº < 90º θº αº ωº αº ωº A C A C  Triángulo Obtusángulo 2. Suma de Ángulos Externos A 90º < αº < 180º e2 e1 + e2 + e3 = 360º α B C e3 e1 2. Triángulo Rectángulo B 3. Calculo de un ángulo externo: αº + θº = 90º yº xº = αº + θº α θ º θº A º C B. yº = αº + ωº αº ωº xº
  • 2. 4. Desigualdad Triangular 4. Propiedad de Existencia del triángulo → b – c < a < b + c a b a b → a – c < b < a + c → a – b < c < a + b c c Sea: a < b < c 5. yº mº 1. b–a<c<b+a xº + yº = mº + nº 2. c–a<b<c+a 3. c–b<a<c+b nº xº PROPIEDADES ADICIONALES 6. 1. Propiedad Cuadrilátero Cóncavo. xº (La del Boumerang) 180º + xº = αº + θº αº θº βº x = αº + θº + βº PROBLEMAS DE PRACTICOS αº θº xº 1. Calcular “x”. a) 30º b) 40º 30º c) 50º xº d) 60º 20º e) 70º 2. Propiedad Mariposa 2. Calcular “x”. α a) 100º xº x + y = αº + θº b) 80º c) 120º 120º 80º xº θ d) 140º º º e) 180º yº 3. Calcular “x”. 3. Propiedad Pescadito a) 50º xº b) 100º x + y = αº + θº c) 180º 40º xº d) 90º e) 120º 150º 4. Calcular el perímetro del ∆ ABC. αº θº Si: AB = 2, BC = 1, AC = 1,5 C a) 2º yº b) 3
  • 3. c) 4 d) 60º x + 20º x + 30º d) 3,5 e) 90º e) 4,5 A B 5. Calcular “x”. 12. Hallar el mayor ángulo exterior del ∆ABC a) 50º 3xº b) 40º Si: m ∡A = m ∡ B = 2m∡ C c) 30º d) 20º a) 72º b) 108º c) 144º xº 2xº e) 10º d) 36º e) 98º 6. Calcular “x”. 13. Calcular el menor ángulo agudo del ∆ABC xº rectángulo. Si: m ∡A = 2m ∡ Bym ∡ C = 90º a) 60º b) 135 a) 90º b) 60º c) 30º c) 45 xº d) 20º e) 10º d) 30 xº xº e) 10 14. Determine el semiperímetro del triángulo cuyos lados forman una serie de tres números consecutivos. Si el mayor es 10m. 7. Calcular “x”, si: α + θ = 60º a) 27 b) 27/2 c) 13 a) 150º d) 28 e) 14 b) 120º θ+3α c) 100º xº d) 20º θ - α 15. Calcular “x”. e) 10º a) 10º 120º 8. Calcular “x”; si es entero: b) 20º c) 30º a) 180º xº 2xº d) 40º b) 94º xº e) 60º c) 86º 136º 140º d) 96º e) 84º 16. Calcular “x”. 9. Hallar “x”. a) 10º xº b) 15º a) 30º 40º c) 29º b) 40º xº d) 25º x -10º 40º c) 20º αº e) 35º θº d) 15º αº θº e) 60º 17. Calcular “x”. 10. Hallar “x”. 60º 80º a) 120º a) 100º b) 100º xº b) 130º c) 90º αº c) 120º d) 75º αº d) 180º αº αº xº θº e) 60º e) 90º αº αº θº 18. Determine “α”; si: los ángulos internos del ∆ABC, forman una progresión aritmética y aumentan de 11. Calcular “x”. 20º en 20º. (Ejm.: αº, αº + 20º, αº + 40º) a) 30º x + 40º a) 40º b) 60º c) 80º b) 10º d) 20º e) 10º c) 15º
  • 4. 19. Calcular el mayor ángulo de un triángulo, d) 120º sabiendo que uno de ellos es 40º y los otros son e) 130º iguales. 26. Del gráfico: calcule “x”. a) 30º b) 40º c) 80º a) 10º d) 70º e) 50º x b) 20º 20. Calcular el menor ángulo externo de un triángulo c) 30º 50º 30º ABC d) 40º Si: m∡A = 30º y m∡B = 2m∡C = 2αº e) 50º x 27. Del gráfico: calcule “x”. a) 30º b) 60º c) 40º d) 150º e) 50º a) 10º 30º x b) 20º c) 30º 70º 21. Calcular “x”. d) 40º x 20º e) 50º 20º a) 10º 28. Del gráfico: calcule “x”. b) 85º 270º xº a) 10º c) 95º θ α b) 20º d) 120º θ 150º α c) 30º e) 130º d) 40º β e) 50º 120º 22. Calcular “x”. αº 60º a) 150º αº αº 29. Del gráfico: calcule “x”. xº b) 144º c) 120º d) 108º αº a) 50º 60º αº e) 100º b) 60º c) 70º 120º x 23. Calcular “x”; m∡A = m∡B = 70º d) 80º e) 40º 60º C 60º 30. Del gráfico: calcule “β + α”. a) 110º a) 200º βº b) 100º xº b) 210º β θ c) 40º c) 215º βº θ d) 20º d) 220º 120º e) 15º e) 230º α A θ B 31. Del gráfico: calcule ∅. 24. Del gráfico: calcule ∅. ∅ a) 18º a) 10º 2 ∅ ∅ b) 20º b) 36º c) 30º c) 40º d) 25º e) 35º ∅ d) 50º ∅ ∅ ∅ 100 e) 45º 25. Del gráfico: calcule “x + y”. º a) 100º L b) 90º 32. Del gráfico: L1 // L2 calcule la medida de “x”. 1 y α c) 110º 60º α 40º x x 60º β L β 2
  • 5. a) 100º b) 120º c) 130º d) 140º e) 150º