Pseudo Random Code Orthogonal coding Hadamard matrix Walsh matrix PN code Spread Spectrum m sequence (maximum length sequence) Direct Sequence Spread spectrum Linear Feedback Shift Registers (LFSR) gold code

1. Pseudo Random Code
Jay Chang
1

2. 2
正交正交正交正交編碼編碼編碼編碼
• Hadamard matrix
• Walsh matrix
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列序列序列序列
• m序列序列序列序列
• 其他其他其他其他偽偽偽偽隨機隨機隨機隨機序列序列序列序列
擴展擴展擴展擴展頻譜頻譜頻譜頻譜通信通信通信通信
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列其他應用序列其他應用序列其他應用序列其他應用

3. 3
正交編碼與偽隨機序列正交編碼與偽隨機序列正交編碼與偽隨機序列正交編碼與偽隨機序列
正交編碼與偽隨機序列在數位通信技術中都是十分重要的.
正交編碼用途:
• 糾錯編碼
• 實現碼分多址通信(CDMA), 目前已經廣泛用於蜂窩網中.
偽隨機序列用途:
• 分離多徑
• 碼誤率測量
• 時延測量
• 噪聲產生器
• 通信加密
• 數據序列加擾(scrambling)解擾

4. 4
正交正交正交正交編碼編碼編碼編碼
• Hadamard matrix
• Walsh matrix
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列序列序列序列
• m序列序列序列序列
• 其他其他其他其他偽偽偽偽隨機隨機隨機隨機序列序列序列序列
擴展擴展擴展擴展頻譜頻譜頻譜頻譜通信通信通信通信
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列其他應用序列其他應用序列其他應用序列其他應用

5. 5
正交編碼的基本正交編碼的基本正交編碼的基本正交編碼的基本概念概念概念概念
信號間的正交性
• 若兩個週期為T的類比信號s1(t)和s2(t)互相正交, 則有:
• 若M個週期為T的類比信號s1(t), s2(t), …, sM(t)構成一個正交信號集合, 則有:
互相關係數(crosscorrelation coefficient)
• 對於二進制數位信號, 用一數位序列表示碼組(這裡我們只討論二進位且碼長相同的編碼).
• 兩個碼組的正交性可用互相關係數來表示.
1 2
0
( ) ( ) 0
T
s t s t dt =∫
0
, , 1( ) ( ) 0, 2, , ,
T
i j i j i js t s t dt M= ≠ = …∫
1 2 3 1 2 3
1
( , , , , ), ( , , , , )
where , ( 1, 1), 1,2,
1 1, :
(crosscorrelation coefficien
...,
1
( , )t) : 1 1
( , ),
n n
i i
n
i i
i
x x x x x y y y y y
x y i n
x
n x y
x y
x y x y
y x y
n
ρ ρ
ρ
=
= =
∈ + − =
= − ≤ ≤
+ −
+∑
設長為 的編碼中碼元只取值 和 以及 和 是其中兩個碼組
則 和 間的互相關係數 定義為
若碼組 和 正交 則必有
⋯ ⋯
0=

6. 6
s1(t)
s2(t)
s3(t)
s4(t)
如圖所示的4個數位信號, 可以看作是如下4個碼組：
• 按照互相關係數定義式計算得知, 這4個碼組中任意兩者之
間的相關係數都為0, 即這4個碼組兩兩正交.
• 我們把這種兩兩正交的編碼稱為正交編碼.
1
2
3
4
( ) :( 1, 1, 1, 1)
( ) :( 1, 1, 1, 1)
( ) :( 1, 1, 1, 1)
( ) :( 1, 1, 1, 1)
s t
s t
s t
s t
+ + + +
 + + − −

+ − − +
 + − + −
1
crosscorrelation coeffici
1
ent : )( ,
n
i i
i
x y x y
n
ρ
=
= ∑

7. 7
自相關係數(autocorrelation coefficient):
• 類似互相關係數的定義, 可以對於一個長為n的碼組x定義自相關係數為:
• 式中, x的下標按模n運算, 即有xn＋k ≡ xk.
1
1
( ) , 0,1,...,( 1),
n
x i i j n k k
i
j x x j n x x
n
ρ + +
=
= = − ≡∑
1 2 3 4
4
2
1
4
1 1 2 2 3 3 4 4 1
1
4
2 1 3 2 4 3 1 4 2
1
4
3 1 4 2 1 3 2 4 3
1
( , , , ) ( 1, 1, 1, 1)
1
(0) 1
4
1 1 1
(1) ( ) ( 1 1 1 1) 0
4 4 4
1 1
(2) ( ) 1
4 4
1 1
(3) ( ) 0
4 4
x i
i
x i i
i
x i i
i
x i i
i
x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
ρ
ρ
ρ
ρ
=
+
=
+
=
+
=
= = + − − +
= =
= = + + + = − + − + =
= = + + + = −
= = + + + =
∑
∑
∑
∑

8. 8
用用用用二進位數字二進位數字二進位數字二進位數字表示互相關係數表示互相關係數表示互相關係數表示互相關係數
在二進位編碼理論中, 常採用二進位數字”0”和”1”表示碼元的可能取值.
若規定用二進位數字”0”代替上述碼組中的”+1”, 用二進位數字字”1”代替”-1”, 則上述互相關係數
定義式將變為: (計算出的互相關係數仍為0)
:
(
:
, )
A
A
x y
D x y
D
x y
A D
ρ
−
=
+
和 中對應碼元相同的個數
和 中對應碼元不同的個數
1 1
2 2
3 3
4 4
( ) :( 1, 1, 1, 1) ( ) :(0,0,0,0)
( ) :( 1, 1, 1, 1) ( ) :(0,0,1,1)
( ) :( 1, 1, 1, 1) ( ) :(0,1,1,0)
( ) :( 1, 1, 1, 1) ( ) :(0,1,0,1)
s t s t
s t s t
s t s t
s t s t
+ + + + 
 + + − − 
⇒ 
+ − − + 
 + − + − 
用用用用二進位數字表示二進位數字表示二進位數字表示二進位數字表示自相關係數自相關係數自相關係數自相關係數
上式中, 若用x的j次循環移位代替y, 就得到x的自相關係數ρx(j).
1 2
1 2 1 2
( , ,..., )
( , ,..., , , ,..., )
( , )
( )
n
j j n j
x
x x x x
y x x x x x x
A D
x y
A
j
D
ρ
ρ
+ +
=
=
−
=
+
代入定義式
得到自相關係數

9. 9
超正交超正交超正交超正交碼碼碼碼(super-orthogonal)和和和和雙正交雙正交雙正交雙正交碼碼碼碼(duo-orthogonal)
超正交碼: 相關係數ρ的取值範圍在±1之間, 即有-1 ≤ ρ ≤ +1.
若兩個碼組間的相關係數ρ < 0, 則稱這兩個碼組互相超正交.
如果一種編碼中任兩碼組間均超正交, 則稱這種編碼為超正交碼.
例如, 在上例中若僅取後3個碼組, 並且刪去其第一位, 構成如下新的編碼:
1
1
2
2
3
3
4
( ) :(0,0,0,0)
( ) :(0,1,1)
( ) :(0,0,1,1)
( ) :(1,1,0)
( ) :(0,1,1,0)
( ) :(1,0,1)
( ) :(0,1,0,1)
s t
s t
s t
s t
s t
s t
s t

′
 
′⇒ 
  ′
這3個碼組所構成的編碼是超正交碼

10. 10
超正交超正交超正交超正交碼碼碼碼(super-orthogonal)和和和和雙正交雙正交雙正交雙正交碼碼碼碼(duo-orthogonal)
雙正交編碼: 由正交編碼和其反碼(inverse code)便可以構成雙正交編碼.
例: 上例中正交碼為 其反碼為
上兩者的總體即構成如下雙正交碼:
(0,0,0,0) (1,1,1,1) (0,0,1,1) (1,1,0,0)
(0,1,1,0) (1,0,0,1) (0,1,0,1) (1,0,1,0)
此碼共有8種碼組, 碼長為4, 任兩碼組間的相關係數ρ為0或-1.
1
2
3
4
( ):(0,0,0,0)
( ):(0,0,1,1)
( ) :(0,1,1,0)
( ):(0,1,0,1)
s t
s t
s t
s t






(1,1,1,1)
(1,1,0,0)
(1,0,0,1)
(1,0,1,0)







11. 11
Hadamard matrix
定義: Hadamard矩陣簡記為H矩陣
它是一種方陣, 僅由元素+1和-1構成, 而且其各行(各列)是互相正交的
最低階的H矩陣是2階, 即
階數為2的冪次方高階H矩陣可以從下列遞推關係得出:
上面給出幾個H矩陣都是對稱矩陣, 而且第一行和第一列的元素全為”+”.
我們把這樣的H矩陣稱為Hadamard矩陣的正規形式, 或稱為正規Hadamard矩陣.
/2 2
/2 2(kronecker product),where 2 ,
N N
m
N
H H H
N H H
⊗
⊗
=
= 直積是指將矩陣 中的每一個元素用矩陣直積 代替
4 4
8 4 2
4 4
H H
H H H
H H
+ + + + + + + + 
 + − + − + − + − 
 + + − − + + − −
 
+ − − + + − − +   = ⊗ = =   − + + + + − − − − 
 
+ − + − − + − + 
 + + − − − − + +
 
+ − − + − + + −  
2 2
4 2 2
2 2
H H
H H H
H H
+ + + + 
 + − + −   = ⊗ = =   − + + − − 
 
+ − − + 

12. 12
Jacques Hadamard (1865-1963) 法國數學家
最有名貢獻: prime number theorem(PNT) 證明
PNT描述質數的大致分布情況, 對正實數x, 定義π(x)為不大於x的質數
個數.
它也給出從整數中抽到質數的機率. 從不大於n的自然數隨機選一個,
它是質數的機率大約是1/ln n.
( )
ln
x
x
x
π ≈

13. 13
Hadamard matrix 性質性質性質性質
在H矩陣中, 交換任意兩行, 或交換任意兩列, 或改變任一行或任一列中每個元素的符號, 都不會
影響矩陣的正交性質. 因此, 正規H矩陣經過上述各種交換或改變後仍為H矩陣, 但不一定是正
規的了.
按照遞推關係式可以構造出所有2k階的H矩陣. 可以證明, 高於2階的H矩陣的階數一定是4的倍
數. 不過, 以4的倍數作為階數是否一定存在H矩陣, 這一問題並未解決.(Hadamard conjecture)
H矩陣是正交方陣. 若把其中每一列看作是一個碼組, 則這些碼組也是互相正交的, 而整個H矩
陣就是一種長為n的正交編碼, 它包含n個碼組.
因為長度為n的編碼共有2n個不同碼組, 現在若只將這H矩陣n個碼組作為准用碼組, 其餘(2n - n)
個為禁用碼組, 則可以將其剩下餘度用來糾錯. 這種編碼在糾錯編碼理論中稱為Reed-Muller碼.
2 2
4 2 2
2 2
H H
H H H
H H
+ + + + 
 + − + −   = ⊗ = =   − + + − − 
 
+ − − + 
4 4
8 4 2
4 4
H H
H H H
H H
+ + + + + + + + 
 + − + − + − + − 
 + + − − + + − −
 
+ − − + + − − +   = ⊗ = =   − + + + + − − − − 
 
+ − + − − + − + 
 + + − − − − + +
 
+ − − + − + + −  
2
3
P.S.
2, 2 4 , 00 01 10 11
3, 2 8 , 000 001 010 100 110 101 011 111
n
n
= =
= =
種碼組
種碼組

14. 14
正交正交正交正交編碼編碼編碼編碼
• Hadamard matrix
• Walsh matrix
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列序列序列序列
• m序列序列序列序列
• 其他其他其他其他偽偽偽偽隨機隨機隨機隨機序列序列序列序列
擴展擴展擴展擴展頻譜頻譜頻譜頻譜通信通信通信通信
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列其他應用序列其他應用序列其他應用序列其他應用

15. 15
Walsh函數和函數和函數和函數和Walsh矩陣矩陣矩陣矩陣
[ ]
{ }/2
wal(2 , ) ( 1) wal[( ,2( 1/ 4)] ( 1) wal[ ,2( 1/ 4)]
1 1/ 2 1/ 2
wal(0, )
0 1/ 2, 1/ 2
[
where 0 or 1, 0,1,2,...
/ 2 / 2 ,] [ ]
j p j p
p j
j j
j p j jθ θ θ
θ
θ
θ θ
+ +
+ ≡ − + + − −
− ≤ <
= 
< − ≥
= =

指數中的 表示取 的整數部分 取整
sin和cos函數可以構成一個完備(complete)正交函數系.
由於正弦和余弦函數具有完備和正交性, 所以由其構成的無窮級數或積分(即Fourier級數和
Fourier積分)可以表示任一波形.
類似地, 由取值”+1”和”-1”構成的Walsh函數也具有完備正交性, 也可以用其表示任一波形.

16. 16
Walsh函數和函數和函數和函數和Walsh矩陣矩陣矩陣矩陣
由於Walsh函數的取值僅為”+1”和”-1”, 所以可以用其離散的抽樣值表示成矩陣形式
例如, 上圖中的8個Walsh函數可以寫成如下Walsh矩陣:
由上圖和矩陣可以看出, Walsh矩陣是按照每一列中”+1”和”-1”的交變次數由少到多排列的.
Walsh函數(矩陣)在數位信號處理(DSP)和編碼理論中有很多應用與前景.
W
+ + + + + + + + 
 + + + + − − − − 
 + + − − − − + +
 
+ + − − + + − − =
 + − − + + − − +
 
+ − − + − + + − 
 + − + − − + − +
 
+ − + − + − + −  

17. 17
正交正交正交正交編碼編碼編碼編碼
• Hadamard matrix
• Walsh matrix
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列序列序列序列→
• m序列序列序列序列
• 其他其他其他其他偽偽偽偽隨機隨機隨機隨機序列序列序列序列
擴展擴展擴展擴展頻譜頻譜頻譜頻譜通信通信通信通信
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列其他應用序列其他應用序列其他應用序列其他應用
• 在數位通信技術中具有十分重要的地位
• 在碼誤率測量、時延測量、擴頻通信、密碼及
分離多徑等方面都有著十分廣泛的應用.

18. 18
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列序列序列序列 = 偽隨機噪聲偽隨機噪聲偽隨機噪聲偽隨機噪聲 = 偽偽偽偽隨機隨機隨機隨機信號信號信號信號 = 偽偽偽偽隨機碼隨機碼隨機碼隨機碼
什麼是偽隨機噪聲？
• 具有類似於隨機噪聲的某些統計特性, 同時又能夠重複產生的波形.
• 它具有隨機噪聲的優點, 又避免了隨機噪聲的缺點, 因此獲得了日益廣泛的實際應用.
如何產生偽隨機噪聲？
• 目前廣泛應用的偽隨機噪聲都是由週期性數字序列經過濾波等處理後得出的.
• 我們將這種週期性數字序列稱為偽隨機序列, 它有時又稱為偽隨機信號和偽隨機碼.

19. 19
m序列序列序列序列 = maximum length sequence (MLS)
1. m序列的序列的序列的序列的產生產生產生產生:
A type of pseudorandom binary sequence.
m序列是最長線性反饋移位寄存器序列(maximal linear feedback shift registers sequence)的簡稱.
它是線性反饋移位寄存器產生的週期最長的一種序列.
初始狀態
輸出
24 – 1 = 15 個
Ex: 圖中示出一個4級線性反饋移位寄存器:
• 設其初始狀態為(a3, a2, a1, a0) = (1, 0, 0, 0), 則在
移位1次時, 由a3和a0模2加產生新的輸入a4 =
1⊕0 = 1, 新的狀態變為(a4, a3, a2, a1) = (1, 1, 0, 0).
• 這樣移位15次後又回到初始狀態(1, 0, 0, 0).
• 若初始狀態為全”0”, 即(0, 0, 0, 0), 則移位後得到
的仍為全”0”狀態.
• 應該避免出現全”0”狀態, 否則移存器的狀態將
不會改變.

20. 20
因為4級移存器共有24 = 16種可能的狀態. 除全”0”
狀態外, 只剩15種狀態可用. 所以, 由任何4級反饋
移存器產生的序列週期最長為(24 – 1) = 15.
我們通常希望能用盡可能少的級數產生盡可能長
的序列.
一般來說, 一個n級線性反饋移存器可能產生最長
週期 = (2n - 1).
我們將這種最長的序列稱為最長線性反饋移存器
序列, 簡稱m序列.
反饋電路要如何連接才能使移存器產生的序列最
長 ? 這就是將要討論的主題.
m序列序列序列序列 = maximum length sequence (MLS)
1. m序列的序列的序列的序列的產生產生產生產生:
A type of pseudorandom binary sequence.
m序列是最長線性反饋移位寄存器序列(maximal linear feedback shift registers sequence)的簡稱.
它是線性反饋移位寄存器產生的週期最長的一種序列.

21. 21
一般的一般的一般的一般的線性反饋移線性反饋移線性反饋移線性反饋移存器存器存器存器原理圖原理圖原理圖原理圖
圖中各級移存器的狀態用ai表示, ai = 0或1, i = 整數.
反饋線的連接狀態用ci表示, ci = 1表示此線接通(參加反饋)；ci = 0表示此線斷開.
反饋線的連接狀態不同, 就可能改變此移存器輸出序列的週期p.
輸出

22. 22
基本基本基本基本關係式關係式關係式關係式: 產生產生產生產生m序列有關的三個序列有關的三個序列有關的三個序列有關的三個方程方程方程方程
(1) 遞推方程(recursive equation)
設一個n級移存器的初始狀態為: a-1 a-2 …a-n, 經過1次移位後, 狀態變為a0 a-1 …a-n+1.
經過n次移位後, 狀態為an-1 an-2 …a0, 下圖所示就是這一狀態.
再移位1次時, 移存器左端新得到的輸入an, 按照圖中線路連接關係, 可以寫為:
因此, 一般說來, 對於任意一個輸入ak, 有 稱為recursive equation.
它給出移位輸入ak與移位前各級狀態的關係. 按照遞推方程計算, 可以用軟體產生m序列, 不必
用硬體電路實現.
1 1 2 2 1 1 0
1
( 2)
n
n n n n n i n i
i
a c a c a c a c a c a− − − −
=
= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ∑ 模⋯
1
n
k i k i
i
a c a −
=
= ∑

23. 23
基本基本基本基本關係式關係式關係式關係式: 產生產生產生產生m序列有關的三個序列有關的三個序列有關的三個序列有關的三個方程方程方程方程
(2) 特徵方程(characteristic equation)
ci的取值決定了移存器的反饋連接和序列的結構, 故ci是一個很重要的參數. 用方程表示:
－特徵方程
式中xi僅指明x次方係數(1或0)代表ci的值, x本身的取值並無實際意義, 也不需要去計算x的值
Ex. 若特徵方程為
則它僅表示x0, x1, x4的係數c0 = c1 = c4 = 1, 其餘的ci為0, 即c2 = c3 = 0. 按照這一特徵方程構成的反
饋移存器就是圖所示的.
2
0 1 2
0
( )
n
n i
n i
i
f x c c x c x c x c x
=
= + + + + = ∑⋯
4
( ) 1f x x x= + +
0 1 2 3 4

24. 24
基本基本基本基本關係式關係式關係式關係式: 產生產生產生產生m序列有關的三個序列有關的三個序列有關的三個序列有關的三個方程方程方程方程
(3) 母函數(generating function)
我們也可以將反饋移存器的輸出序列{ak}用代數方程表示為:
上式稱為母函數.
遞推方程, 特徵方程, 母函數就是我們要建立的3個基本關係式.
下面的幾個定理將給出它們與線性反饋移存器及其產生的序列之間的關係.
2
0 1 2
0
( ) k
k
k
G x a a x a x a x
∞
=
= + + + = ∑⋯
0 1 2 3 4

25. 25
定理定理定理定理: 有關有關有關有關m序列和序列和序列和序列和m序列產生器序列產生器序列產生器序列產生器性質性質性質性質
定理1
( 1) 1
( 1) 1
0 0 1 1 0 1 0
1
( ) ( ) ( )
where (
( )
:
) )
(
(
n n n
k k i i i k i i i i k
k i k i i k i i i i k
k k i i k i k
n
i i
i i
i
f x G x h x
h x f
G x a x c a x x c x a x c x a x a x a x a x
c a
x
x x
p
a
f
∞ ∞ ∞ ∞
− − − − − −
− − − − − −
= = = = = = =
−
−
=
     
= = ⋅ = = + + + +     
    
=
⋅ =

+
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
將遞推方程代入母
為次數低於 次數
函
式
數
的多項
⋯
( )
( )
( 1) 1
( 1) 1
1
( 1) 1
( 1) 1
1 1
( 1) 1
( 1
0
) 1
0 1
) ( )
1 ( ) , ( )
( ) ( ), ( )
, 1,
n
i i
i i
i
n n
i i i i
i i i i
i i
n n
i i i i
i i i i
i i
h
x a x c x G x
c x G x c x a x a x a x
c x G x h x h x c x a x a x
x
a
c
x
− − −
− − −
=
− − − −
− − − −
= =
− − − −
− − − −
= =
+ + + ⋅
 
+ = + ≡+ + 
 
 
⋅ = = + + + 
 
∑
∑ ∑
∑ ∑
將右端用符號 表示 並因 故左式變成
由
⋯
⋯
⋯
( )
1
( 1) 1
( 1) 1
1
1
1
1
, , ...
,
1,
0,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ), (1 )
1
(
n
i i i
i i i
i
i
n
n
f x
h x a a
h x x
n
h x n f x
G x h x
h x c x a x a x a
a
n c
x
a
− − − −
− − − −
=
−
−
− −
−
⋅ =
= + +
= < −
∴ ≤ −
+
=
=
∑
此式可以看出 當電路給定後 僅決定於初始狀態
將特徵方程代入上式 最後得出
若 則 的最高次項為
若 則最高項次數
得知 的最高項次數 而 的最高項次數 因為已規定
再
⋯
( ) (
1, )
.)
n
x
h x f x
= 特徵方程中最高項為
故 的次數必定低於 的次數

26. 26
定理定理定理定理: 有關有關有關有關m序列和序列和序列和序列和m序列產生器序列產生器序列產生器序列產生器性質性質性質性質
定理2
一個n級線性反饋移存器之相繼狀態具有週期性, 週期為p ≤ 2n – 1
pf:
線性反饋移存器的每一狀態完全決定於前一狀態.
因此, 一旦產生一狀態R, 若它與以前的某一狀態Q相同, 則狀態R後之相繼狀態必定和Q之相繼狀
態相同, 這樣就可以具有週期性.
在n級移存器中, 每級只能有兩種狀態: “1”或”0”. 故n級移存器最多僅可能有2n 種不同狀態. 所以,
在連續(2n + 1)個狀態中必有重複. 如上所述, 一旦狀態重複, 就有週期性. 這時週期p ≤ 2n.
若一旦發生全”0”狀態, 則後繼狀態也為全”0”, 這時的週期p = 1. 因此, 在一個週期中不能包括
全”0”狀態. 所以週期p ≤ (2n – 1).

27. 27
定理定理定理定理: 有關有關有關有關m序列和序列和序列和序列和m序列產生器序列產生器序列產生器序列產生器性質性質性質性質
定理3
若序列A = {ak}具有最長週期(p = 2n – 1), 則其特徵多項式f(x)應為既約多項式(不能因式分解的多項
式).
pf:
1 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1
1 2 2 2
(irreducible) .
:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) (
where , 0, , 0,
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
f x f x f x
h x h xh x
f x G x h
n f x
f x n n f x n n
x G x
f x f x f x
n n n
G x
= ⋅
⋅ = = =
>
+
+ =>
令
既約多項式是指不能分解因子 的多項式 若一 次多項式 能分解成兩個不同因子
可以寫成如下部分分式之和
的次數為 的次數
令
為
則
1
2
1 1 2 2 2 1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2
( ) / ( ), ( ) ( ) / ( ), ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 1
( )
,
, .
2
2 1
( )
n
n
G x
f x
h x f x G x h x f x G x G x G x
G x G x
G x G x
G x p
G x
f
p
p
x
G x p p
= =


= +
≤ −
≤ −
∴
上式表明 輸出序列 可以看成是兩個序列 和 之和
是由特徵多項式 產生的輸出序列 是由特徵多項式 產生的輸出序列
的週期為
定理 可知
的週期為
的週期 應是 和 的最小公
[ ] ( ) ( )1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
,
, 2 1
, 2 1
, , 2
[ ]
, 2 1 2 1 2 2 2 1 2 3 2 1
( )
( ) ( ) ( ),
1( )
n n n nn n n
n
n
n
p p
p LCM p p p p
LCM
p
f x f x f x p
f x p
= ≤ ⋅ ≤ − ⋅ − = − − + ≤ − < −
−
<
<
= −
−
倍數
上式表明 一定小於最長可能週期
若 可以分解成兩個相同的因子 即上面的 同樣可以證明
所以 若 能分解因子 必定有

28. 28
定理定理定理定理: 有關有關有關有關m序列和序列和序列和序列和m序列產生器序列產生器序列產生器序列產生器性質性質性質性質
定理4
一個n級移存器的特徵多項式f(x)若為既約的, 則由其產生的序列A = {ak}的週期等於使f(x)能整除的
(xp + 1)中最小正整數p
pf:
( )
2 1 1 2 1
0 1 2 1 0 1 1
0
2 1 1 2 1
0 1 2 1 0 1 1 0 1 1
2
0 1 1
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
,
1 (
k p p p p
k p P
k
p p p p p
p P p
p p p
p
h x
G x a x a a x a x a x a x a x a x
f x
a a x a x a x x a a x a x x a a x a x
x x a
A
a x a
p
x
∞
− + −
− −
=
− − −
− − −
−
= = = + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + + + +
= + + + + + +
∑
若序列 具有週期 則有
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ 1 1
0 1 1
1
0 1 1
1
0 1 1
1
) ( )
1
( ) ( 1)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
1 , , , 1
1 /
,
) ( ),
( ) ,
p
pp
p
p
p
p
p p
p
h x f x f x x
a a x a x
x
h x x
a a x a x
f x
b b x
f x
x f x
f x
b x
p
− −
−
−
−
−
−
 
= + + + 
+ 
⋅ +
= + + +
+ + +
+
+
由定理 可知 的次數比 的低 而且現已假定 為既約的 所以上式表明 必定能被 整除
令其商為
又因為在 為既約的條件下 週期 與初始狀態無關 現在考慮初
⋯
⋯
⋯
( )( )
( ) ( )
( 1) 1
( 1) 1
1
1
0 1 1 2 1
0 1 1
1 1
0 1 1 0 1
1 2 1
1
( )
... 0
( ) 1
( ) 1
( ) 1
( ) ( ) 1
, 1
n
i i i
i i i
i
p
p p p p
pp
p p p
p
n
p
n
h x c x a x a x a x
b b x b xh x
G x x x b
a a a
b x b x
f x f x x
b b x b x x b b
a
b x x
− − − −
− − − −
=
−
− −
−
− −
− −
− − − + −
= + + + =
+ + +
= = = = + + + + + +
+
= + + + + + +
= = = =
+ +
=
∑
始狀態
⋯
⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯

29. 29
( )( )
( ) ( )
1
0 1 1 2 1
0 1 1
1 1
0 1
1
1 0 1 1
1
1 0 1 1
( ) 1
( ) 1
( ) ( ) 1
( ) ( 1
, .
, ,
)
( )
( )
p
p p p p
pp
p p p
p p
p
p
p
b b x b xh x
G x x x b b x b x
f x f x x
b b x b x x b b
A p p
A p
x b x
h x x
a a x a xp
f x
p p
−
− −
−
− −
− −
−
−
+ + +
= = = = + + + + + +
+
= + + + + + + + +
⋅ +
= + + +<
上式表明 序列 以 或 的某個因子為週期
若 以 的某個因子 為週期 則由式
⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋯
1
( ) ( )
( ) ( )
1
1p
p
x
x f x
A f x p
+
∴ +
已經證明 必能被 整除
序列 之週期等於使 能整除的 中最小正整數

30. 30
本原本原本原本原多項式多項式多項式多項式(primitive polynomial)
定義: 若一個n次多項式f(x)滿足下列條件:
• f(x)為既約的
• f(x)可整除(xm + 1), m = 2n – 1
• f(x)除不盡(xq + 1), q < m
則稱f(x)為本原多項式.
由定理4可以簡單寫出一個線性反饋移存器能產生m序列的充要條件為: 反饋移存器的特徵多項
式f(x)為本原多項式.
1
, 1% ( ) 0 in C
( )
m
mx
x f x
f x
+
+ ==整除
4
( ) 1f x x x= + +

31. 31
Ex: 要求要求要求要求用一個用一個用一個用一個4級反饋移存器產生級反饋移存器產生級反饋移存器產生級反饋移存器產生m序列序列序列序列, 試試試試求其特徵求其特徵求其特徵求其特徵多項式多項式多項式多項式
n = 4, 故此移存器產生的m序列的長度為m = 2n – 1 = 15
由於其特徵多項式f(x)應可整除(xm + 1) = (x15 + 1), 或者說f(x)是(x15 + 1)的一個因式, so將(x15 + 1)
因式分解, 從其因式中找f(x):
f(x)不僅應為(x15 + 1)的一個因式, 而且還應該是一個4次本原多項式.
因式分解表明, (x15 + 1)可以分解為5個既約因式, 其中3個是4次多項式.
可以證明, 這3個4次多項式中, 前2個是本原多項式, 第3個不是, 因為:
(x4 + x3 + x2 + x + 1)不僅可整除(x15 + 1), 而且還可以整除(x5 + 1), 故它不是本原
我們找到了兩個4次本原多項式: (x4 + x + 1)和(x4 + x3 + 1), 由其中任何一個都可以產生m序列, 用
作為特徵多項式f(x)構成的4級反饋移存器.
本原多項式表
• 所以只要找到了本原多項式, 我們就能由它構成m序列產生器.
• 但是尋找本原多項式並不是很簡單. 經過前人大量的計算, 已將常用本原多項式列成表備
查在下表中列出了部分已經找到的本原多項式.
( ) ( )( )( )( )( )15 4 4 3 4 3 2 2
1 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x+ = + + + + + + + + + + +
( )( ) ( )4 3 2 5
1 1 1x x x x x x+ + + + + = + 模2加

32. 32
本原多項式表本原多項式表本原多項式表本原多項式表
n
本原多項式
n
本原多項式
代數式 8進制表示法 代數式 8進制表示法
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x2 + x + 1
x3 + x + 1
x4 + x + 1
x5 + x2 + 1
x6 + x + 1
x7 + x3 + 1
x8 + x4 + x3 + x2 + 1
x9 + x4 + 1
x10 + x3 + 1
x11 + x2 + 1
x12 + x6 + x4 + x + 1
x13 + x4 + x3 + x + 1
7
13
23
45
103
211
435
1021
2011
4005
10123
20033
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
x14 + x10 + x6 + x + 1
x15 + x + 1
x16 + x12 + x3 + x + 1
x17 + x3 + 1
x18 + x7 + 1
x19 + x5 + x2 + x + 1
x20 + x3 + 1
x21 + x2 + 1
x22 + x + 1
x23 + x5 + 1
x24 + x7 + x2 + x + 1
x25 + x3 + 1
42103
100003
210013
400011
1000201
2000047
4000011
10000005
20000003
40000041
100000207
200000011

33. 33
部分部分部分部分m序列序列序列序列反反反反饋係數表饋係數表饋係數表饋係數表

34. 34
在製作m序列產生器時, 移存器反饋線(及模2加法電路)的數目直接決定于本原多項式的項數.
為了使m序列產生器的組成盡量簡單, 我們希望使用項數最少的那些本原多項式.
由表可見, 本原多項式最少有3項(這時只需要用一個模2加法器).
對於某些n值, 由於不存在3項的本原多項式, 我們只好選較長的本原多項式.
由於本原多項式的逆多項式也是本原多項式, 例如, (x15 + 1)的因式中的(x4 + x + 1)與(x4 + x3 + 1)
互為逆多項式, 即10011與11001互為逆碼, 所以在表中每一本原多項式可以組成2種m序列產生
器.
4
( ) 1f x x x= + +
0 1 2 3 4
or
4 3 2 1 0

35. 35
有時將本原多項式用8進制數字表示.
我們也將這種表示方法示於此表中. 例如, 對於n = 4表中給出”23”表示:
2 3
0 1 0 0 1 1
c5c4c3 c2c1c0
即c0 = c1 = c4 = 1, c2 = c3 = c5 = 0.
4
( ) 1f x x x= + +
0 1 2 3 4
or
4 3 2 1 0

36. 36
模模模模2加加加加運算運算運算運算

37. 37

38. 38
m序列序列序列序列 = maximum length sequence (MLS)
2. m序列序列序列序列的的的的性質性質性質性質:
(1) 均衡性(balance)
在m序列的一個週期中, “1”和”0”的數目基本相等. 準確地說, “1”的個數比”0”的個數多一個.
pf:
設一個m序列的週期為m = 2n – 1, 則此序列可以表示為
由於此序列中任何相繼的n位都是產生此序列的n級移存器的一個狀態, 而且此移存器共有m個不
同狀態, 所以可以把此移存器的這些相繼狀態清單, 如下表所示.
表中每一列為移存器的一個狀態. m個相繼的狀態構成此m序列的一個週期. 由此表直接看出, 最後
一行的元素按自上而下排列次序就構成上式中的m序列.
其他各行也構成同樣的m序列, 只是初始相位不同.
因為此表中每一元素為一位元2進制數字, 即ai ∈ (0, 1), i = 0, 1,…, (m - 1). 所以表中每一位移存器狀
態可以看成是一個n位2進制數字. 這m個不同狀態對應1至(2n – 1)間的m個不同的2進制數字. 由於1
和m = (2n – 1)都是奇數, 故1至(2n – 1)間這m個整數中奇數比偶數多1個. 在2進制中, 奇數的末位必
為”1”, 偶數的末位必為”0”, 而此末位元數字就是表中最後一行. 故表中最右行的相繼m個二進數字
中”1”比”0”多一個. 由於每行都構成一m序列, 所以m序列中”1”比”0”多一個.
0 1 2 1 1 1 0 1n n n ma a a a a a a a a− + −⋯ ⋯ ⋯
an-1
an
⋅⋅⋅
an+i-1
⋅⋅⋅
an-2
an-1
⋅⋅⋅
an-2
an-1
⋅⋅⋅
an+i-2
⋅⋅⋅
an-3
an-2
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
a2
a3
⋅⋅⋅
ai+2
⋅⋅⋅
a1
a2
⋅⋅⋅
a1
a2
⋅⋅⋅
ai+1
⋅⋅⋅
a0
a1
⋅⋅⋅
a0
a1
⋅⋅⋅
ai
⋅⋅⋅
an-1
a0
⋅⋅⋅
m個相繼的狀態

39. 39
m序列序列序列序列 = maximum length sequence (MLS)
2. m序列序列序列序列的的的的性質性質性質性質:
(2) 遊程分布(run)
在m序列中, 長度為1的游程占游程總數的1/2; 長度為2的游程占游程總數的1/4; 長度為3的游程
占1/8…and 在每一週期中, 游程總數為: 2n – 1 , n為元素個數.
遊程: 我們把一個序列中取值相同的那些連在一起的元素合稱為一個遊程.
遊程長度: 在一個游程中元素的個數稱為遊程長度.
Ex: 在前例中給出的m序列可以重寫如右
在其一個週期(m = 2n – 1列)中, 共有8個游程, 其中長度為4的游程有1個, 即”1 1 1 1”, 長度為3的游程
有1個, 即”0 0 0”, 長度為2的游程有2個, 即”1 1”和”0 0”, 長度為1的游程有4個, 即兩個”1”和兩個”0”.
一般說來, 在m序列中, 長度為1的游程占游程總數的1/2; 長度為2的游程占游程總數的1/4; 長度為3
的游程占1/8…
嚴格講, 長度為k的游程數目占游程總數的2-k, 其中1 ≤ k ≤ (n – 1) n為元素個數. 而且在長度為k的
游程中[其中1 ≤ k ≤ (n – 2)], 連”1”的游程和連”0”的游程各占一半.

40. 40
pf:
在上表中, 每一列有n個元素. 我們考慮恰好含有連續k個”1”的那些列, 它們具有形狀:
左側(k + 2)個元素中兩端為”0”, 中間全為”1”, 這樣就保證恰好含有連續k個”1”
右側的(n – 2 – k)個元素用”×”表示, 它們可以任意取值”0”或”1”, 不受限制.
在上表的一個週期(m = 2n – 1列)中, 符合上式形式的列的數目, 按排列組合可知, 等於2n – 2 – k
由反饋移存器產生m序列的原理可知, 形式如上式的一列中的k個”1”, 必定經過逐次位移最後輸出,
在輸出序列中構成長度為k的一個連”1”游程. 反之, 輸出序列中任何一個長度為k的連”1”游程, 必然
對應上表中這樣的一列.
所以, 在m序列一個週期中長度為k的連”1”游程數目也等於2n – k – 2.
同理, 長度為k的連”0”游程數目也等於2n – k – 2
所以長度為k的游程總數(包括連”1”和連”0”的兩種游程) =
在序列的每一週期中, 長度在1 ≤ k ≤ (n – 2)範圍內的游程所包含的總碼元數 =
上式求和計算中利用了下列算術幾何級數(arithmetic geometric series)公式:
2 2 1
2 2 2n k n k n k− − − − − −
+ =
2
1 2 3 4 1
1
2 1 2 2 2 3 2 ( 2) 2 2 2
n
n k n n n n
k
k n n
−
− − − − −
=
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ = −∑ ⋯
( ) 11
2
0
1 (1 )
( )
1 (1 )
n nn
k
k
a a n r q rq q
a kr q
q q
−−
=
− + −  − + = +
− −
∑

41. 41
因為序列的每一週期中共有(2n – 1)個碼元, 所以除上述碼元外, 尚餘(2n – 1) – (2n – 2n) = (2n – 1)個
碼元.
這些碼元中含有的游程長度, 從上表觀察分析可知, 應該等於n和(n – 1), 即應有長為n的連”1”游程
一個, 長為(n – 1)的連”0”游程一個, 這兩個游程長度之和恰為(2n – 1).
並且由此構成的序列一個週期中, “1”的個數恰好比”0”的個數多一個.
最後, 我們得到在每一週期中, 游程總數為: 2n – 1
計算上式求和時, 利用了下列等比級數公式:
所以, 長度為k的游程占游程總數的比例為:
由於長度為k = (n – 1)的游程只有一個, 它在游程總數2n–1 中占的比例為1/2n–1 = 2-(n–1), 所以上式仍
然成立. 因此, 可將上式改寫為長度為k的游程所占比例 = 2-k, 1≤ k ≤ (n – 1)
2
1 1
1
2 2 2
n
n k n
k
−
− − −
=
+ =∑
( )1
1
1
1
nn
k
k
a q
aq
q
−
=
−
=
−
∑
1
1
2
2 , 1 ( 2)
2
n k
k
n
k n
− −
−
−
= ≤ ≤ −

42. 42
m序列序列序列序列 = maximum length sequence (MLS)
2. m序列序列序列序列的的的的性質性質性質性質:
(3) 移位相加特性
一個m序列Mp經過任意次延遲移位產生的另一個不同序列Mr模2相加, 得到的仍是Mp的某次延
遲移位序列Ms, 即Mp⊕Mr = Ms
現在分析一個m = 7的m序列Mp作為例子.
設Mp的一個週期為1110010. 另一個序列Mr是Mp向右移位一次的結果, 即Mr的一個相應週期為
0111001. 這兩個序列的模2和為1110010 ⊕ 0111001 = 1001011
上式得出的為Ms的一個相應的週期, 它與Mp向右移位5次的結果相同.
下面我們對m序列的這種移位相加特性作一般的證明.
1 1 2 2 1 1 0
1
( 2)
n
n n n n n i n i
i
a c a c a c a c a c a− − − −
=
= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ = ∑ 模⋯
P.S. 遞推方程

43. pf:
設產生序列Mp的n級反饋移存器的初始狀態如下圖所示.
這一初始狀態也就是上表中第一列的a0a1a2…an–1. 由這一初始狀態代入遞推方程式得到移存器下
一個輸入為
若將序列Mp的初始狀態的r次延遲移位作為序列Mr的初始狀態, 則將Mr的初始狀態arar+1ar+2…an+r–1
代入遞推方程式, 得到下一個輸入:
將上兩式相加(模2), 得到
上式右端n個括弧中兩元素模2相加的結果一定是上表中另一列的元素.
這是因為表中的各列包含了除全”0”外的全部n位元二進數字.
設相加結果為
則上式可以改寫為
上式表明(an + an+r)仍為原n級反饋移存器按照另一初始狀態(ai+n–1 ai+n–2 … ai+1 ai)產生的輸入, 這是因
為c1c2 ⋅⋅⋅ cn未改變, 移存器的反饋線接法也未改變.
這個初始狀態比Mp的初始狀態延遲了i位.
故序列Mp和Mr之和是Mp經過延遲i位的移位序列.
43
1 1 2 2 0n n n na c a c a c a− −= + + +⋯
1 1 2 2n r n r n r n ra c a c a c a+ + − + −= + + +⋯
1 1 1 2 2 2 0( ) ( ) ( )n n r n n r n n r n ra a c a a c a a c a a+ − + − − + −+ = + + + + + +⋯
1 2 1i n i n i ia a a a+ − + − +⋯
1 1 2 2n n r i n i n n ia a c a c a c a+ + − + −+ = + + +⋯

44. 44
m序列序列序列序列 = maximum length sequence (MLS)
2. m序列序列序列序列的的的的性質性質性質性質:
(4) 自相關函數(autocorrelation)
現在討論m序列的自相關函數. 由互相關係數定義式得知, m序列的自相關函數可以定義為:
where
A: m序列與其j次移位序列一個週期中對應元素相同的數目,
D: m序列與其j次移位序列一個週期中對應元素不同的數目,
m: m序列的週期.
上式還可以改寫成如下形式
由m序列的延遲相加特性可知, 上式分子中的ai ⊕ ai+j仍為m序列的一個元素.
所以上式分子就等於m序列一個週期中”0”的數目與”1”的數目之差.
由m序列的均衡性可知, m序列一個週期中”0”的數目比”1”的數目少一個. 所以上式分子等於–1.
( )
A D A D
j
A D m
ρ
− −
= =
+
0 1
( )
i i j i i ja a a a
j
m
ρ
+ +
   ⊕ = − ⊕ =   =
的數目 的數目
1, 0
( ) 1
, 1, 2,..., 1
when j
j
when j m
m
ρ
=

= −
= −
1, 0
( ) 1
, 1, 2,..., 1
when j
j
when j m
m
ρ
=

= −
= −

45. 45
1, 0
( ) 1
, 1, 2,..., 1
when j
j
when j m
m
ρ
=

= −
= −
由於m序列有週期性, 故其自相關函數也有週期性, 週期也是m, 即
而且ρ(j)是偶函數, 即有
上面數位序列的自相關函數ρ(j)只定義在離散的點上(j只取整數).
若把m序列當作週期性連續函數求其自相關函數, 則從週期函數的自相關函數的定義:
where T0: s(t)的週期
其自相關函數R(τ)的表示式為:
( ) ( ), , 1,2,...j j km when j km kρ ρ= − ≥ =
( ) ( ),j j jρ ρ= − ∈ℤ
0
0
/2
/2
0
1
( ) ( ) ( )
T
T
R s t s t dt
T
τ τ
−
= +∫
0
0 0
0
1
1 , 0 , 0,1,2,...
( )
1/ ,
Tm
iT iT i
T mR
m others
τ τ
τ
+
− − ≤ − ≤ =
= 
−
ρ(j)只有兩種取值: 1和-1/m, 所以有時也把這類序列稱為
雙值自相關序列.

46. 46
圖中的圓點表示j取整數時的ρ(j)取值, 而折線是R(τ)的連續曲線.
可以看出, 兩者是重合的. 由圖還可以看出, 當週期T0非常長和碼元寬度T0/m極小時, R(τ)近似於
衝激函數δ(t)的形狀.
m序列的自相關函數只有兩種取值: 1和(-1/m). 有時把這類序列稱為雙值自相關序列.

47. 47
m序列序列序列序列 = maximum length sequence (MLS)
2. m序列序列序列序列的的的的性質性質性質性質:
(4) 功率譜密度(PSD)
信號的ACF與PSD構成一對Fourier transform.
對m序列的自相關函數式作Fourier transform, 求出PSD.
按照上式畫出的曲線如下圖. 由此圖可見:
• 在T0 → ∞ 和m/T0 → ∞ 時, Ps(ω)的特性趨於白噪聲的PSD特性.
• 白噪聲的PSD = const.,白噪聲的ACF = δ (τ ).
2
0
2 2
0 0
0
sin( / 2 )1 2 1
( ) ( )
( / 2 )
s
n
n
T mm n
P
m T m T m
ω π
ω δ ω δ ω
ω
∞
=−∞
≠
   +
= − +  
   
∑
2
0
2 2
0 0
0
sin( / 2 )1 2 1
( ) ( )
( / 2 )
s
n
n
T mm n
P
m T m T m
ω π
ω δ ω δ ω
ω
∞
=−∞
≠
   +
= − +  
   
∑

48. 48
m序列序列序列序列 = maximum length sequence (MLS)
2. m序列序列序列序列的的的的性質性質性質性質:
(5) 偽噪聲特性
我們對一高斯分布白噪聲取樣, 若取樣值為正, 則記為”+”; 若取樣值為負, 則記為”–”, 將每次取
樣所得極性排成序列, 例如
這是一個隨機序列, 它具有如下3個基本性質:
• 序列中”+”和”–”的出現機率相等.
• 序列中長度為1的游程約占1/2; 長度為2的游程約占1/4; 長度為3的游程約占1/8; .... 一般說
長度為k的游程約占1/2k.
• 在長度為k的游程中, ”+”游程和”–”游程約各占一半.
由於白噪聲的PSD為常數, PSD的inverse FT, 即ACF, 為一衝激函數δ(τ). 當τ ≠ 0時, δ (τ) = 0. 僅當τ
= 0時, δ(τ)是個面積為1的脈衝.
由於m序列的均衡性, 游程分佈和自相關特性與上述隨機序列的基本性質極相似, 所以通常將
m序列稱為偽噪聲(PN)序列, 或稱為偽隨機序列.
具有或部分具有上述基本性質的PN序列不僅只有m序列一種. m序列只是其中最常見的一種.
PN序列還有其他的不同種類:
• M序列
• 二次剩餘序列(或稱為Legendre序列)
• 霍爾(Hall)序列
• 雙質數序列
+ − + + − − − + − + + − −⋯ ⋯

49. 49
正交正交正交正交編碼編碼編碼編碼
• Hadamard matrix
• Walsh matrix
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列序列序列序列→
• m序列序列序列序列
• 其他其他其他其他偽偽偽偽隨機隨機隨機隨機序列序列序列序列
擴展擴展擴展擴展頻譜頻譜頻譜頻譜通信通信通信通信
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列其他應用序列其他應用序列其他應用序列其他應用
• 在數位通信技術中具有十分重要的地位
• 在碼誤率測量、時延測量、擴頻通信、密碼及
分離多徑等方面都有著十分廣泛的應用.

50. 50
M序列序列序列序列
定義: 由非線性反饋移存器產生的週期最長的序列稱為M序列.
由上節對m序列產生器的分析可知:
• 一個n級m序列產生器只可能有(2n – 1)種不同的狀態. 但是n級移存器最多可有2n種狀態
• 在m序列中不能出現的是全”0”狀態. 在線性反饋條件下, 全”0”狀態出現後, 產生器的狀態
將不會再改變; 但是在非線性反饋條件下, 卻不一定如此.
• 非非非非線性線性線性線性反饋移存器的最長週期可達2n, 我們稱這種週期長達2n的序列為M序列.

51. 51
M序列的產生方法序列的產生方法序列的產生方法序列的產生方法
目前, 如何產生M序列的問題, 尚未從理論上完全解決, 人們只找到很少幾種構造它的方法.
下面僅簡單介紹利用m序列產生器構成M序列產生器的方法.
首先觀察右圖中的例子. 它是一個n = 4級的m序列產生器. 圖中給出了它的15種狀態. 若使它增
加一個”0000”狀態, 就可變成M序列產生器了.
因為移存器中後級狀態必須是由其前級狀態移入而得, 故”0000”狀態必須處於初始狀態”1000”
之前和”0001”狀態之後.
這就是說, 我們需要將其遞推方程修改為非線性方程, 使”0001”狀態代入新的遞推方程後, 產生
狀態”0000”(而不是”1000”), 並且在”0000”狀態代入後產生狀態”1000”(而不是保持”0000”不變).
0 1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
←非線性方程
←非線性方程

52. 1 4
1
4
1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 1 2 3 1 2 3
1
1
:
:
, , :
n
k i k i k k
i
k k k k k k k k k k k k k k k k i k i k k k
i
k i k i k
a c a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a c a a a
n m n m M
a
a c a a
− − −
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −
=
− −
= = ⊕
= ⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ = ⊕
= ⊕
∑
∑
的遞推方程為
的遞推方程應為
對於 級 序列產生器也一樣 為使 級 序列產生器變成 序列產生器 也只
修改前
修改
需使其遞推方程改為
後
14
2 1
1 1 1
nn
k k n i k i k j
i i j
a a c a a
−
− − + − −
= = =
= ⊕∑ ∑ ∏⋯
52
一個 4級M序列產生器如下圖所示:

53. 53
M序列的性質序列的性質序列的性質序列的性質
M序列與m序列類似, 也在一定程度上具有噪聲特性. 它滿足m序列的前兩個性質, 即:
1. 在M序列的一個週期中, 出現”0”與”1”的數目相等. 均衡性(balance)
2. 在n級M序列的一個週期中, 游程共有2n – 1個. 遊程分布(run)
• 其中長度為k的游程占1/2k, 1 ≤ k ≤ n – 2.
• 長為n的游程有兩個, 沒有長為(n – 1)的游程.
• 在同長的游程中, “0”游程和”1”游程各占1/2.
這兩個性質的證明方法與m序列的一樣.
BUT M序列不再具有m序列的移位相加特性及雙值自相關特性.
M序列與m序列相比, 最主要的優點是數量大, 即同樣級數n的移存器能夠產生的平移不等價M
序列總數比m序列的大得多, 且隨n的增大迅速增加.
在下表中給出了級數n與可能產生的兩種序列數目的比較.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m序列數目
1 1 2 2 6 6 18 16 48 60
M序列數目 1 1 2 16 2048 6.71088 1.44115 1.32922 2.26156 1.30935
×107 ×1017 ×1036 ×1074 ×10151
M序列的數量雖然相當大, 但是目前能夠實際產生出來的M序列數目卻還不是很多. 這還有待繼
續研究…

54. 54
二次剩餘二次剩餘二次剩餘二次剩餘序列序列序列序列(平方剩餘數平方剩餘數平方剩餘數平方剩餘數) quadratic residue
定義: 二次剩餘又稱平方剩餘數
• Ex: 32 = 9; 9被7除得到的餘數是2, 即有 32 = 9 ≡ 2 (mod 7)
• 則稱2為模7的平方剩餘數.
一般說來, 如果能找到一個整數x, 使的 x2 ≡ i (mod p) 若此方程成立, 我們就認為這個方程有解.
滿足此方程的i就是模p的二次剩餘; 否則, i就是模p的二次非剩餘.
當規定a0 = -1, 且
where p為奇數, 則稱{ai}為二次剩餘序列, i = 0, 1, 2, ..., 其週期為p.
Ex: 設p = 19(質數), 容易算出
12 ≡ 1 (mod 19) 22 ≡ 4 (mod 19)
32 ≡ 9 (mod 19) 42 ≡ 16 (mod 19)
52 ≡ 6 (mod 19) 62 ≡ 17 (mod 19)
72 ≡ 11 (mod 19) 82 ≡ 7 (mod 19)
92 ≡ 5 (mod 19) 102 ≡ 5 (mod 19)
112 ≡ 7 (mod 19) 122 ≡ 11 (mod 19)
132 ≡ 17 (mod 19) 142 ≡ 6 (mod 19)
152 ≡ 16 (mod 19) 162 ≡ 9 (mod 19)
172 ≡ 4 (mod 19) 182 ≡ 1 (mod 19)
因此, 1、4、5、6、7、9、11、16、17是模19的二次剩餘
而2、3、8、10、12、13、14、15、18是模19的非二次剩餘
1, mod
1, mod
i
i p
a
i p

= 
−
若 是 的二次剩餘
若 是 的非二次剩餘

55. 55
得到週期p = 19的二次剩餘序列為:
– + – – + + + + – + – + – – – – + + –
式中 + ≡ +1; – ≡ –1.
這種序列具有隨機序列基本性質的第1條性質(均衡性), 但一般不具備第2條性質(遊程分布).
當p = 4t – 1時(t = 正整數), 它是雙值自相關序列.
當p = 4t + 1時, 它不是雙值自相關序列.
但是若p很大, 它仍具有近於雙值自相關序列. 一般認為它也屬於偽隨機序列.

56. 56

57. 57
模為模為模為模為奇奇奇奇質質質質數數數數的平方的平方的平方的平方剩餘與剩餘與剩餘與剩餘與平方非剩餘平方非剩餘平方非剩餘平方非剩餘
2
2 2
In number theory Euler's criterion i
mod 2
(mod ), ( , ) 1
(
s a formula for determining whether
an integer is a
'
quadratic residue
- ) ,
modu
,
:
lo a p
Euler s criter
p
x a p a p
x x
ion
≡ =
=
為質數 的 次方程
因為 故上式要麼無解 要麼有兩解
定理
( 1)/2
( 1
( 1)
)/2
rime.
1. :
1 (mod ).
2. :
1 (mod ).
1 (
:
, prime number, mod ).
'
p
p
p
Fermat s little theorem
a p
a p
a p
a p
a pa p
−
−
−
∈ ∈
≡
≡ −
≡ℤ
用來判定給定的整數是否是一個質數的二次剩餘
是模 的平方剩餘充要條件是
是模 的平方非剩餘充
理
要條件是
定

58. 58
雙雙雙雙質質質質數數數數序列序列序列序列
上頁二次剩餘序列的週期p為質數(prime).
在雙質數序列中, 週期p是兩個質數p1和p2的乘積, 而且p2 = p1 + 2, 即有
定義: 雙質數序列{ai}的定義為：
where (i, p) = 1表示i和p互為質數(最大公因數為1)
Ex: 設p1= 3, p2 = 5, p = 3 ⋅ 5 = 15. 這時在一個週期中滿足(i, p) = 1條件的i, 即小於15且與15互質的
正整數有: 1、2、4、7、8、11、13、14. 對於這些i值, 可以計算出:
1 2 1 1( 2)p p p p p= ⋅ = +
1 2
2
, when ( , ) 1
1, when 0 (mod )
1, when other
1,
( 1,2)
1,
i
j
jj
i i
i p
p p
a i p
i
i pi
j
i pp
   
=   
  

= ≡
−


  
= =    − 
若 是模 的二次剩餘
若 是模 的非二次剩餘
1
2
1 4 7 13
: 1
3 3 3 3
2 8 11 14
1
3 3 3 3
1 4 11 14
: 1,
5 5 5 5
2 7 8 13
1,
5 5 5 5
i
p
i
p
         
= = = =         
        
       
= = = = −       
       
         
= = = =         
        
       
= = = = −       
       

59. 59
對這些i值作(i/p1)(i/p2)的運算後, 得出a1 = a2 = a4 = a8 = 1以及a7 = a11 = a13 = a14 = -1.
又因i = 0 ≡ 5 = 10 (mod 5), 故a0 = a5 = a10 = 1.
對於其餘的i, 有a3 = a6 = a9 = a12 = -1.
所以此雙素數序列為：
+ + + – + + – – + – + – – – –
式中 + ≡ +1; – ≡ –1
可以驗證, 雙素數序列也基本滿足隨機序列的基本性質, 所以也屬於PN序列.
1
2
1 4 7 13
: 1
3 3 3 3
2 8 11 14
1
3 3 3 3
1 4 11 14
: 1,
5 5 5 5
2 7 8 13
1,
5 5 5 5
i
p
i
p
         
= = = =         
        
       
= = = = −       
       
         
= = = =         
        
       
= = = = −       
       

60. 60
Gold序列序列序列序列
m序列有理想的自相關, 但Gold互相關比m還要好.
m序列作為CDMA地址碼時,互相關不理想, 系統內部多址干擾
m序列可做為地址碼的數量極少
n = 5,Ci = (45)8 = (100101)2，用特徵多項式可寫成
• n = 5, Ci = (45)8 = (100101)2, 其鏡像抽頭為(101001)2=(51)8, 其結構具有對稱性
• Ci = (67)8 = (110111)2,其鏡像抽頭序列反饋係數為(111011)2 = (73)8
• Ci = (75)8 = (111101)2,其鏡像抽頭序列的反饋係數為(101111)2 = (57)8
• 5級移位暫存器的m定序器共有6種, 亦即能產生6個m序列
如果兩個m序列, 它們的互相關函數滿足下式條件則這兩個m序列可構成優選對
So R. Gold 提出Gold code:由兩個碼長相等、碼時脈速率相同的m序列優選對模2加組成的.
兩個n級LFSR可以產生2n + 1個Gold序列(比m大的多)
3 5
( ) 1f x x x= + +
1
2
2
2
2 1
( )
2 1 4
n
n
n odd
R
n even
τ
+
+

+ ∈
= 
 + ∈ 但不是 的倍數
Linear Feedback Shift Registers (LFSR)
http://www.rgcsystems.com/ppl1_gold.htm
http://www.gaussianwaves.com/2015/06/hardware-implementation-of-gold-codes/

61. 61
P.S. 部分部分部分部分m序列序列序列序列反反反反饋係數表饋係數表饋係數表饋係數表

62. 62
Gold碼三值互相關特性碼三值互相關特性碼三值互相關特性碼三值互相關特性

63. 63
在3G系統中，擴頻碼和地址碼主要可以劃分成如下3類:
1. 用戶地址碼: 用於區分不同的移動用戶
• 目的為了區分.
• 不具擴頻功能.
• 傳輸中用於平衡0和1的數目, so called Scrambling
Code (SC).
• m sequence or gold sequence來實現
2. 信道地址碼: 用於區分每個小區的不同的信道
• 常採用Walsh code擴頻.
• 要有理想的自相關和互相關特性, so called
Channelization Code (CC).
3. 基站地址碼: 用於區分不同的基站
• 目的為了區分.
• 不具擴頻功能.
• 傳輸中用於平衡0和1的數目, so called Scrambling
Code (SC).
• m sequence or gold sequence來實現.
Fig. Verizon
Input
data
Channelization
Code
Scrambling
Code
Chip rate Chip rate

64. 64
3G中的應用
1. cdma2000系統中信道化碼和擾碼
• CC使用變長Walsh碼
• DL: 2階到128階的Walsh碼, 區分同一小區的不同DL信道
• UL: 2階到64階的Walsh碼, 區分同一終端(UE)下的不同UL信道
• SC擾碼採用PN序列
• DL: 使用短PN碼m序列區分不同小區
• UL: 使用長PN碼m序列區分不同UE
2. WCDMA系統中信道化碼和擾碼
• CC為OVSF碼
• DL: 區分同一小區中不同用戶
• UL: 區分同一UE的物理資料信道(DPDCH)和控制信道(DPCCH)
• SC擾碼為Gold碼
• DL: 區分小區
• UL: 區分UE
3. TD-SCDMA系統中信道化碼和擾碼
• CC為OVSF碼
• DL/UL: 採用OVSF碼區分不同的信道
• DL擴頻碼長度只能為1或者16
• UL擴頻碼的長度可為N∈{1, 2, 4, 8, 16}
• SC擾碼為PN碼
• DL: 區分小區
• UL: 區分UE

65. 65
正交正交正交正交編碼編碼編碼編碼
• Hadamard matrix
• Walsh matrix
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列序列序列序列→
• m序列序列序列序列
• 其他其他其他其他偽偽偽偽隨機隨機隨機隨機序列序列序列序列
擴展擴展擴展擴展頻譜頻譜頻譜頻譜通信通信通信通信
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列其他應用序列其他應用序列其他應用序列其他應用
• 在數位通信技術中具有十分重要的地位
• 在碼誤率測量、時延測量、擴頻通信、密碼及
分離多徑等方面都有著十分廣泛的應用.

66. 66
Spread spectrum分類分類分類分類:
1. 直接序列擴譜(DSSS):
• 通常用一段偽隨機序列表示一個信息碼元, 對載波進行調製.
• 偽碼的一個單元稱為一個碼碼碼碼片片片片(chip).
• 由於碼片的速率(chip rate) >> 信息碼元的速率(bit rate), 所以已調信號的頻譜得到擴展.
2. 跳頻擴譜(FHSS):
• 它使發射機的載頻在一個信息碼元的時間內, 按照預定的規律, 離散地快速跳變, 從而達到
擴譜的目的.
• 載頻跳變的規律一般也是由偽碼控制的.
3. 線性調頻(Chirp):
• 載頻在一個信息碼元時間內, 在一個寬的頻段中線性地變化, 從而使信號頻寬得到擴展.
• 由於此線性調頻信號若工作在低頻範圍, 則它聽起來像鳥聲(chirp), 故又稱 Chirp調製.
擴頻通信類型
• DSSS
• FH
• TH
• Chirp
• Combination 1-4
Chirp調製

67. 67
Spread spectrum目的目的目的目的:
1. 提高抗窄帶干擾的能力, 特別是提高抗敵方有意干擾的能力.
• 由於這類干擾的帶寬窄, 所以對於寬頻擴譜信號的影響不大.
2. 防止竊聽.
• 擴譜信號的發射PSD可以很小, 小到低於雜訊的功率譜密度, 將發射信號隱藏在背景雜訊中,
使偵聽者很難發現.
• 由於採用了偽碼, 竊聽者不能方便地聽懂發送的消息.
3. 提高抗多徑傳輸效應的能力.
• 由於擴譜調製採用了擴譜偽碼, 它可以用來分離多徑信號, 所以可提高其抗多徑的能力.
4. 多個用戶可以共用同一頻帶.
• 在同一擴譜頻帶內, 不同用戶採用互相正交的不同擴譜碼, 就可以區分各個使用者的信號,
從而按照碼分多址(CDMA)的原理工作.
5. 提供測距能力.
• 通過測量擴譜信號的自相關特性的峰值出現時刻, 可以從信號傳輸時間的時間延遲(delay)
計算出傳輸距離.

68. 68
直接序列擴直接序列擴直接序列擴直接序列擴譜譜譜譜(DSSS)系統系統系統系統
原理
用一組偽碼代表信息碼元去調製載波.
可採用任一種調製方式但最常用的是2PSK. 這種信號的PSD曲線示於下圖中.
圖中所示主瓣頻寬(零點至零點)是偽碼時脈速率Rc的兩倍. 每個旁瓣的頻寬等於Rc.
Ex: 若所用碼片的速率為5 Mb/s, 則主瓣頻寬將為10 MHz, 每個旁瓣寬為5 MHz.
2
sin x
x
 
 
 
包絡

69. 69
Direct Sequence Spread spectrum (DSSS) block diagram
載波
cos cA tω
2進制信碼
偽碼序列
產生器
已展頻信號
偽碼序列
產生器
LO
混頻
中放
解調 輸出
載波
2進制信碼
已展頻信號
擴頻碼(偽碼)
調製器調製器調製器調製器簡化簡化簡化簡化
• 先將兩路編碼序列(信碼⊕偽碼)模2相加,
然後再去進行反相鍵控.

70. 70
(a)2進制信碼
(b)偽碼序列
(c)發送序列
(d)發送載波相位
(e)混頻用本振相位
(f)中頻相位
(g)解調信號
(h)干擾信號相位
(i) 混頻後干擾信號相位

71. 71
信號和干擾信號在頻域中的變化信號和干擾信號在頻域中的變化信號和干擾信號在頻域中的變化信號和干擾信號在頻域中的變化
(a) 在接收機輸入端 (b) 在接收機中放輸出端
所需信號
干擾信號
熱噪聲電平 熱噪聲電平
干擾電平
De-spread後所需信號
信息帶寬BW

72. 72
擴頻通信類型
• DSSS
• FH
• TH
• Chirp
• Combination 1–4
Spread spectrum block diagram

73. 73
(chip)
1 #chips
or [cps]
sec
c
c
c
T
r
T
=
 
=   
一個碼片 碼寬
碼片速率
Technology cdma2000 WCDMA TD-SCDMA
擴頻帶寬 1.25 MHz 5 MHz 1.28 MHz
碼片速率 1.28 Mcps 3.84 Mcps 1.228 Mcps
Spread spectrum in 3G Mod/Demod
Tx
Rx
Tx
Rx

74. 74
2015/11/09 Google Doodle
Hedy Lamarr 101 歲冥誕
Spread spectrum 創始人創始人創始人創始人: Hedy Lamarr

75. 75
user
data
clock
carrier
phase
mod
PA RFFE
coherent
de-mod
phase
mod
clockLO
IF
filter
de-
mod
output
data
(1) user data m(t)
(2) PN code p(t)
(3) c(t) = m(t) ⊕p(t)
(4) carrier
(5) modulated BPSK s1(t)
(6) s1(t) phase
(7) s2(t) phase 跟著PN走
(8) IF phase
(9) demodulation output
直接序列擴頻(DSSS)
直接用具有高速率的擴
頻碼序列在發端去擴展
信號的頻譜。
接收端， 用相同的擴頻
碼序列進行解擴， 把展
寬的擴頻信號還原成原
始資訊。
通常DSSS, PN碼的速率Rp
遠遠大於信碼速率Rm, 即
Rp>>Rm(也就是PN碼的寬
度Tp遠遠小於信碼的寬
度即Tp<<Tb), 這樣才能展
寬頻譜.
Gp = 10log10 Tb/Tp
通 常 carrier 頻 率 很 高
(GHz), Tc carrier週期很小,
有Tc<<Tp.
Spread spectrum 圖解圖解圖解圖解

76. 76
跳頻(FH, Frequency Hopping)
用擴頻碼序列去進行FSK調製，使載波頻率不斷地跳變， 因此稱為跳頻。
簡單如2FSK， 只有兩個頻率， 分別代表傳號和空號。
而實際跳頻系統則有幾個、 幾十個甚至上千個頻率，由所傳資訊與擴頻碼的組合去進行選
擇控制， 不斷跳變。
Input data
擴頻
碼產
生器
data
mod
頻率
合成
器
RF
mod
RF產
生器
Mixer IF
BPF
data
de-
mod
Output data
擴頻
碼產
生器
頻率
合成
器

77. 77
跳頻歷史 Hedy Lamarr (前幾頁那位正妹的發明 in US patent 2292387)

78. 78

79. 79
跳時(TH，Time Hopping)
是指使發射信號在時間軸上跳變。
我們先把時間軸分成許多時片。 在一幀內哪個時片發射信號由擴頻碼序列去進行控制。
可以把跳時理解為用一定碼序列進行選擇的多時片的時移鍵控(TSK)。
由於採用了窄很多的時片去發送信號， 相對來說，信號的頻譜也就展寬了。
在發端，輸入的資料先存儲起來，由擴頻碼發生器產生的擴頻碼序列去控制通—斷開關，經
二相或四相調製後再經射頻調製後發射。
Input data
儲存器
定時
儲存器
On-off
Switch
On-off
Switch
擴頻
碼產
生器
擴頻
碼產
生器
data
mod
data
de-
mod
Output data
1st frame 2nd frame 3rd frame 4th frame

80. 80
混合方式
FH/DSSS、DSSS/TH、DSSS/FH/TH等等。
DSSS/FH系統，就是一種中心頻率在某一頻帶內跳變的直接序列擴頻系統。
Spread Spectrum在IoT的應用
以 RF 前端架構而言，LoRa、BLE 與 ZigBee 通通採用固定波包調制以及展頻技術
LoRa
信道頻寬：最大 0.5 MHz
調制與展頻：GFSK + CSS (Chirp Spread Spectrum, 雖然 semtech 說 CSS 是戰時的國防技術, 不過 semtech 似乎有再加上自
己的獨門調制技術, 這是有專利保護的!)
BLE
信道頻寬：2 MHz
調制與展頻：GFSK + FHSS (Frequency Hopping Spread Spectrum)
ZigBee
信道頻寬 2 MHz
調制與展頻：OQPSK (half-sine pulse shaping) + DSSS (Direct Sequence Spread Spectrum)

81. 81
正交正交正交正交編碼編碼編碼編碼
• Hadamard matrix
• Walsh matrix
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列序列序列序列→
• m序列序列序列序列
• 其他其他其他其他偽偽偽偽隨機隨機隨機隨機序列序列序列序列
擴展擴展擴展擴展頻譜頻譜頻譜頻譜通信通信通信通信
偽隨機偽隨機偽隨機偽隨機序列其他應用序列其他應用序列其他應用序列其他應用
• 在數位通信技術中具有十分重要的地位
• 在碼誤率測量、時延測量、擴頻通信、密碼及
分離多徑等方面都有著十分廣泛的應用.
• 分離多徑
• 碼誤率測量
• 時延測量
• 噪聲產生器
• 通信加密
• 數據序列加擾(scrambling)解擾

82. 82
偽隨機序列的其他應用偽隨機序列的其他應用偽隨機序列的其他應用偽隨機序列的其他應用
1. 分離分離分離分離多徑多徑多徑多徑技術技術技術技術
目的: 多徑衰落的原因在於每條路徑接收信號的相位不同.
分離多徑技術能夠在接收端將多徑信號的各條路徑分離開, 並分別校正每條路徑接收信號的相
位, 使之按同相相加, 從而克服衰落現象.
原理: 觀察發射的一個數字信號碼元, 設這個碼元是用m序列的一個週期去調製的余弦載波:
Where M(t)為一取值±1的m序列. 假設經過多徑傳輸後, 在接收機中頻部分得到的輸出信號為:
• 其中共有n條路徑的信號.
• 第j條路徑信號的振幅為Aj, 延遲時間為j∆, 載波附加的隨機相位為ϕj, 中頻角頻率為ωi.
• 在此式中, 忽略了各條路徑共同的延遲, 並且認為相鄰路徑的延遲時間差相等, 均等於∆秒.
在設計中我們選用此∆值作為m序列的一個碼元寬度.
• 為了消除各條隨機相位ϕj的影響, 可以採用自適應(adaptive)校相(phase correction)濾波器.
( )cos( )M t tω θ+
( )
1
0
( )cos
n
j i j
j
A M t j t jω ϕ
−
=
 − ∆ − ∆ + ∑

83. 83
自自自自適應適應適應適應(adaptive)校相校相校相校相(phase correction)濾波器濾波器濾波器濾波器
此電路由兩個相乘器和
一個窄帶濾波器組成. 窄帶濾波器
設sj(t)是的第j條射線: 它加於上圖中電路的輸入端.
在第1個相乘器中, sj(t)與LO電壓s(t) = cos(ω0t + ϕ)相乘.
相乘結果通過窄帶濾波器, 後者的中心角頻率為(ωi – ω0), 其通帶極窄, 只能通過(ωi – ω0)分量而
不能通過各邊帶分量.
故濾波輸出g(t)在忽略一常數因子後可以表示為:
在第2個相乘器中, sj(t)與g(t)相乘, 取出乘積中差頻項f(t), 仍忽略常數因子, 可將f(t)表示為:
在上圖中省略了上述分離出差頻項f(t)的帶通濾波器(BPF).
由上式可見, 經過自適應校相濾波器後, 接收信號中的隨機相位可以消除.
上面只分析了一條路徑接收信號的情況, 當多徑信號輸入此濾波器時, 每條路徑信號都同樣受
到相位校正, 故使各路徑信號具有相同的相位.
這時的輸出f(t)變為:
( ) ( )cos ( )j j i js t A M t j t jω ϕ = − ∆ − ∆ + 
( )
1
0
( )cos
n
j i j
j
A M t j t jω ϕ
−
=
 − ∆ − ∆ + ∑
0( ) cos ( )j i i jg t A t j tω ω ω ϕ ϕ = − − ∆ + − 
2
0( ) ( )cos( )jf t A M t j tω ϕ= − ∆ +
BPF
1
2
0
0
( ) ( )cos( )
n
j
j
f t A M t j tω ϕ
−
=
= − ∆ +∑

84. 84
上式中各路徑信號的載波載波載波載波相位相位相位相位得到得到得到得到了校正了校正了校正了校正, 但是包絡M(t – j∆)仍然有差別.
為了校正各路徑包絡的路徑包絡的路徑包絡的路徑包絡的相對相對相對相對時間時間時間時間延遲延遲延遲延遲, 可以採用下圖所示的辦法.
1
2
0
0
( ) ( )cos( )
n
j
j
f t A M t j tω ϕ
−
=
= − ∆ +∑
此圖中AF為自適應校相濾波器, 抽頭延遲線(delay line)的抽頭間隔時間為∆.
設現在共有4條路徑的信號, n = 4, 抽頭延遲線共有3段, 每段延遲時間為∆, 則相加器的輸入信號
包絡為:
中頻信號ωi
m序列產生器
積分
相加器
delay line

85. 85
此圖中AF為自適應校相濾波器, 抽頭延遲線(delay line)的抽頭間隔時間為∆.
設現在共有4條路徑的信號, n = 4, 抽頭延遲線共有3段, 每段延遲時間為∆, 則相加器的輸入信號
包絡為:
• 未經延遲的: A0
2M(t) + A1
2M(t – ∆) + A2
2M(t – 2∆) + A3
2M(t – 3∆)
• 經延遲∆的: A0
2M(t – ∆) + A1
2M(t – 2∆) + A2
2M(t – 3∆) + A3
2M(t – 4∆)
• 經延遲2∆的: A0
2M(t – 2∆) + A1
2M(t – 3∆) + A2
2M(t – 4∆) + A3
2M(t – 5∆)
• 經延遲3∆的: A0
2M(t – 3∆) + A1
2M(t – 4∆) + A2
2M(t – 5∆) + A3
2M(t – 6∆)
1
2
0
0
( ) ( )cos( )
n
j
j
f t A M t j tω ϕ
−
=
= − ∆ +∑

86. 86
相加器輸出信號的載波仍為cos(ω0t + ϕ), 包絡則為上式中各項之和.
若上圖中本地m序列產生器的輸出為M(t - 3∆), 則在相乘器2中與接收的多徑信號相乘並經積分
後, 就能分離出包絡為(A0
2 + A1
2 + A2
2 + A3
2)M(t - 3∆)的分量, 即上式中右上至左下對角線上各項.
或者說, 相當於將4條路徑的信號包絡的相對延遲校正後相加了起來, 而抑止掉了其餘各項.
在數位通信系統中, 為了傳輸不同的符號, 可以採用不同的m序列. 在接收端自然也需要有幾個
相應的m序列分別與之作相關檢測.
1
2
0
0
( ) ( )cos( )
n
j
j
f t A M t j tω ϕ
−
=
= − ∆ +∑

87. 87
2. 碼誤率碼誤率碼誤率碼誤率測量測量測量測量
在實際測量數位通信系統的碼誤率時, 測量結果與信源送出信號的統計特性有關.
通常認為二進位信號中”0”和”1”是以等機率隨機出現的, 所以測量碼誤率時最理想的信源應隨
機序列產生器. 這樣測量的結果, 我們認為是符合實際運用時的情況.
用真正的隨機序列產生器進行測量時, 只適於閉環(closed loop)線路的測試, 如下圖所示:
閉環測試法所用的信道不符合實際情況, 因為實際通信都是單程傳輸信息.
隨機序列
紀錄 比較 接收
發送 正向信道
反向信道
檢測碼誤

88. 88
單程測試法單程測試法單程測試法單程測試法
在測量單程數位通信的碼誤率時, 不能利用隨機序列, 只能用偽隨機序列代替它. 如下圖所示:
由於發送端用的是偽隨機序列, 而且通常是m序列, 接收端可以用同樣的m序列產生器, 由同步
信號控制, 產生出相同的本地序列.
本地序列和接收序列相比較, 就可以檢測誤碼.
ITU建議:
• 用於數據傳輸設備測量誤碼的m序列週期是511, 其特徵多項式建議採用x9 + x5 + 1.
• 用於數字傳輸系統(1544/2048 和 6312/8448 kb/s)測量的m序列週期是215 – 1 = 32767, 其特
徵多項式建議採用x15 + x14 + 1.
偽隨機序列 發送 信道 接收
同步信號
比較 紀錄
偽隨機序列
檢測碼誤

89. 89
3. 時時時時延測量延測量延測量延測量
目的:
• 測量信號傳輸的時間延遲
• 測量信號傳播距離, 即利用無線電信號測距
原理:
• 圖(a): 測量的最大延遲(距離)受脈衝重複頻率限制, 測量的精確度也受脈衝寬度(或上升時
間)及標準延遲線的精確度限制.
• 圖(b): 用m序列代替週期性窄脈衝, 用相關器代替比較器, 可以改善測量延遲的性能. 測量精
確度決定於所用m序列的一個碼片的寬度.
• 好處: m序列代替窄脈衝還可使發送平均功率大大增加, 提高可測量最大距離.
m序列源
移位m序列
脈衝源
延遲線τ
傳輸路徑
比較器
m序列源
移位m序列
傳輸路徑
相關器

90. 90
4. 雜訊雜訊雜訊雜訊產生器產生器產生器產生器
用途: 測量通信系統在不同信噪比條件下的性能.
要求: 能產生帶限高斯白噪聲.
噪聲二極體做成的雜訊產生器, 在測量數字通信系統的性能時不很適用. 因為它在一段觀察時
間內產生的雜訊的統計特性, 不一定和同樣長的另一段觀察時間內的統計特性相同. 測量得到
的碼誤率常常很難重複得到.
m序列的功率譜密度的包絡是(sin x/x)2的.
設m序列的碼元寬度為T1秒, 則大約在0 ~ (1/T1)×45% Hz的頻率範圍內, 可以認為它具有均勻的功
率譜密度.
所以, 可以用m序列的這一部分頻譜作為雜訊產生器的雜訊輸出. 雖然是偽雜訊, 但有可重複性.

91. 91
5. 通信通信通信通信加密加密加密加密
數字通信的優點: 容易作到高度保密性的加密(encryption).
數字信號加密的基本原理:
在保密通信應用中, M序列比m序列優越得多, 因為M的數目比後者m大很多. 數目越多, 為解密
所需要的搜索時間就越長.
Ex: 在n = 10時, m序列只有60個, 而M序列的數目約達1.3 × 10151個. 假定解密者用電腦搜索時,
試探一種M序列平均需要1 ns, 則平均約需(1.3 × 10151)/2(365 × 24 × 60 × 60 × 109) = 2 × 10134年
才能破譯這個密碼 !!
信源 發送 信道 接收 User
偽隨機序列產生器 偽隨機序列產生器

92. 92
6. 數據數據數據數據序列的序列的序列的序列的擾亂擾亂擾亂擾亂(scrambling)與與與與解擾解擾解擾解擾
目的: 使所傳輸的數位信號具有接近隨機的統計特性
加擾技術: 不用增加多餘度而擾亂信號, 改變數位信號統計特性, 使其近似於白噪聲統計特性的
一種技術.
采用加擾技術的通信系統:
數字信號
輸入
加擾器 調製器 信道 解調器 解擾器
輸出
scrambler descrambler

93. 93
自同步加擾器和解擾器的原理自同步加擾器和解擾器的原理自同步加擾器和解擾器的原理自同步加擾器和解擾器的原理
原理方框圖: 在下圖中給出一種由5級移存器組成的自同步加擾器和解擾器.
加擾器: feedback circuit, 解擾器: feedforward circuit
工作原理
• 設加擾器的輸入數字序列為{ak}, 輸出序列為{bk}; 解擾器的輸入序列為{bk}, 輸出序列為{ck}.
• 符號{ak}表示二進位數字字序列a0a1a2 … akak+1 …. 符號{bk}和{ck}均與此相仿.
• 加擾器的輸出為:
• 解擾器的輸出為:
以上兩式表明, 解擾後的序列與加擾前的序列相同.
3 5k k k kb a b b− −= ⊕ ⊕
3 5k k k k kc b b b a− −= ⊕ ⊕ =
加擾器
解擾器
輸入
輸入
輸出
輸出

94. 94
性能:
• 這種解擾器是自同步的, 因為若信道干擾造成錯碼, 它的影響至多持續移存器內的一段時
間(連續5個輸出碼元).
• 如果我們斷開輸入端, 加擾器就變成一個反饋移存器序列產生器, 其輸出為一週期性序列.
• 一般都適當設計反饋抽頭的位置, 使其構成為m序列產生器. 因為它能最有效地將輸入序列
擾亂, 使輸出數字碼元之間相關性最小.
• 加擾器的作用可以看作是使輸出碼元成為輸入序列許多碼元的模2加. 因此可以把它當作
是一種線性序列濾波器; 同理, 解擾器也可看作是一個線性序列濾波器.
• 加擾技術在某種程度上也可以達到通信加密的目的.
3 5k k k kb a b b− −= ⊕ ⊕
3 5k k k k kc b b b a− −= ⊕ ⊕ =

95. 95
Thank you for your attention

96. 96
• Taiwan is a country.
• Taiwan is Taiwan, NOT Chinese Taipei or ROC…
• Taiwan No. 1.
• Thank you.