Kalkulus 1-Mkul

Created By: Ernawati Page 1
BAB I
BILANGAN REAL
A. DEFINISI BILANGAN REAL
Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan
yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau
3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan
bilangan irasional, seperti π dan . Bilangan rasional direpresentasikan
dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki
representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat
direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan
Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret
Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides. Bilangan riil ini
berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah
bilangan imajiner.
Bilangan riil dapat digambarkan sebagai titik-titik pada garis bilangan yang
panjangnya tak hingga
Gambar disamping merupakan simbol yang sering digunakan untuk
bilangan riil, sehingga kita akan lebih mudah untuk mengingatnya.
B. JENIS-JENIS BILANGAN

Berikut ini penjelasan dan Jenis jenis bilangan beserta contohnya:
1. Bilangan kompleks
Penggabungan bilangan rill dan bilangan imajiner atau suatu bilangan yang
memiliki format a + bi, dengan a dan b adalah bilangan real, dan i adalah
bilangan imajiner. Bilangan kompleks biasanya disimbolkan dengan lambang
C. Seperti 4 + 7i, dengan i adalah bilangan imajiner.
Contoh :
2. Bilangan imajiner
3. Bilangan Rill (nyata)
Penggabungan antara Bilangan rasional dan Bilangan Irrasional

4. Bilangan irasional
Bilangan tidak dapat dinyatakan pembagian antara 2 bilangan bulat atau suatu
bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan (pecahan).
5. Bilangan rasional
Bilangan dinyatakan sebagai suatu pembagian 2 bilangan bulat atau suatu
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (perbandingan).
Yaitu dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dan
b tidak sama dengan nol.Bilangan rasional umumnya dinyatakan dalam
simbol Q.
6. Bilangan Pecahan
Bilangan rasional yang tidak bulat.
Contoh: 1/2, 2/5, 2012/2013.
7. Bilangan bulat
Diawali dengan tanda (+), (nol), dan (–)
Contoh : -2,-1,0,1,2
8. Bilangan Negatif
Bilangan real yang nilainya dibawah nol.
Contoh: -1,-2,-3,-5.
9. Bilangan cacah
Diawali dengan angka 0 (nol) sampai tak terhingga.
Contoh : 0,1,2,3…
10. Bilangan Nol adalah 0
11. Bilangan asli
Bilangan yang diawali dengan angka 1 sampai tak terhingga
Contoh : 1,2,3,4,…
12. Bilangan Ganjil
Bilangan yang tidak habis dibagi 2. Bilangan ini memiliki format 2n + 1
untuk n bilangan bulat. Contoh: -5,-3,-1,1,3,5.

13. Bilangan Genap
Bilangan yang habis dibagi 2. Bilangan ini memiliki format 2n untuk
n bilangan bulat.
Contoh: -6,-4,-2,0,2,4,6,8.
14. Bilangan prima
Bilangan yang tepat memiliki 2 faktor yaitu 1 dan B itu sendiri
Contoh : 2,3,5,7,11,13……
15. Bilangan komposit
Bilangan bukan 0, bukan 1 dan bukan prima
Contoh : 4,6,8,9,10,…
Sifat-sifatbilangan real
A. Aksioma medan
Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi
aksioma berikut. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil
R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian.
Maka:
 Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
 Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
 Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
 Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda,
yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x
kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
 Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk
setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat
juga melambangkan y sebagai -x.
 Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk
setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga
xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.
Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan
karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

B. Aksioma urutan
Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai
bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x
dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan
berikut ini:
 Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
 Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -
x anggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus.
 Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.
C. Aksioma kelengkapan
 Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas
memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).
Contoh kasus
a. Operasi Pembagian.
b. Operasi Penjumlahan.
Contoh :
1. 14 + 6 = 20
2. 20 + (-3) = 17
c. Operasi pengurangan.
Contoh :
1. 10 – (-5) = 10 + 5 = 15
2. -16 – 4 = -20
a + b = c a , b dan c bilangan bulat
a – b = c  a + (-b) = c a , b dan c bilangan bulat
a : b = c atau
b
a
= c atau a .
b
1
= c

c. Operasi Perkalian.
Contoh :
1) 4 . 5 = 20
2) 3 . (-6) = -18
Contoh :
1. 2
4
1
8
4
8
 x
2. 20
1
54
5
1
4
 x
2. Operasi hitung pada bilangan pecahan.
a. Operasi Penjumlahan.
Contoh :
1.
8
7
8
2
8
5

2. ...
2
1
3
4
3
15  KPK 4 dan 2 adalah 4
4
1
19
4
5
18
4
2
3
4
3
15 
b. Operasi Pengurangan.
Contoh :
Tentukan hasil pengurangan pecahan berikut ini
1.
8
2
8
35
8
3
8
5



2. ...
3
1
2
1
 KPK dari 2 dan 3 adalah 6
6
1
6
2
6
3
3
1
2
1

a , b bilangan bulat dan b ≠ 0 , c bilangan real
a , b dan c bilangan bulat
a . b = c

c. Operasi Perkalian.
Contoh :
Tentukan hasil perkalian
1.
3
1
6
2
23
12
2
1
3
2

x
x
x
2.
3
2
8
12
104
4
13
3
8
4
1
3
3
2
2  xx
d. Operasi Pembagian.
Contoh :
Tentukan hasil pembagian
1.
4
1
1
4
5
12
15
2
5
6
3
5
2
:
6
3
 x
2.
8
5
18
5
4
9
5
18
:
4
9
5
3
3:
4
1
2  x
3. Konversi Pecahan.
Sebuah bilangan pecahan dapat diubah ke bentuk persen, pecahan desimal
atau sebaliknya.
a. Mengubah pecahan biasa ke bentuk pecahan desimal.
Untuk mengubah pecahan biasa ke bentuk pecahan desimal dapat dilakukan
dengan dua cara yaitu :
1. Mengubah penyebutnya menjadi 10 , 100 , 1000 , ...
Contoh :
Ubahlah ke dalam bentuk desimal.
a. 5,0
10
5
5
5
2
1
2
1
 x
b. 16,0
100
16
4
4
25
4
25
4
 x
2. Dengan pembagian berulang.
Contoh :
Ubahlah
6
2
ke dalam pecahan desimal
6
2
= 0,3333 ... = 0,3

b. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen.
Contoh :
Ubahlah pecahan berikut ke bentuk persen
a.
10
4
b.
8
3
2
Jawab :
a. %40
100
40
10
4

b. %5,237
100
5,237
1000
2375
125
125
8
19
8
3
2  x
Contoh :
Ubahlah ke dalam bentuk pecahan
a. 20 % b. 25 %
Jawab :
a) 20 % =
5
1
100
20

b) 25 % =
4
1
100
25

c. Mengubah persen ke pecahan biasa dan pecahan desimal.
Contoh :
Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal
a. 25 % = 25,0
4
1
100
25

b. 40 % = 40,0
10
4
100
40


BAB II
PERSAMAAN LINEAR
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya
mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal.
Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan
sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.
Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis
merah)
Bentuk umum untuk persamaan linear adalah:
Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b
merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan
xy bukanlah persamaan linear.
A. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang terdiri dari satu
variabel dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.
Contoh:


Kedua kalimat di atas disebut Persamaan.
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan = (sama dengan).

Penyelesaian persamaan linear satu variabel
Contoh:
 Tentukan persamaan dari .
2x - 1 = 5
2x=5+1
2x= 6
x=3
 Tentukan persamaan dari .
2λ + 5 = 5λ - 10
2λ + 5 - 5 = 5λ - 10 - 5
2λ = 5λ - 15
15 = 5λ - 2λ
15 = 3λ
3λ.1/3 = 15.1/3
λ = 5
B. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
a. Pengertian persamaan linear dua variabel
Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua
variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk Umum PLDV : ax + by = c x dan y disebut variable
b. Sistem persamaan linear dua variable
Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua
variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu
penyelesaian.
Bentuk umum SPLDV :
ax + by = c px + qy = r
Ket: x , y disebut variable
a, b, p, q disebut koefisien
c , r disebut konstanta C.

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)
Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :
1. Metode Substitusi
Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain
contoh :
a. Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
jawab :
Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

b. Carilah nilai e dan f dari persamaan tersebut dengan metode substitusi.
1.
2.
Karena persamaan nomor 2 lebih sederhana daripada persamaan nomor 1 maka
persamaan nomor 2 diubah menjadi:
Masukkan persamaan berikut hingga menjadi:
4e + 3(11 - e) = 31
4e + 33 - 3e = 31
e = 31 - 33
e = -2
Sekarang masukkan e= -2 kedalam persamaan
f = 11 – e
f = 11 + 2
f= 13
2. Metode Eliminasi
Dengan cara menghilangkan salaj satu variable x atau y.
contoh:
a. Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:
Jawab:
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6 | x 1 | –> 2x - y = 6 - ………*
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8

x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}
* catatan nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu
variable agar menjadi 0
Contoh (i) yang dieliminasi adalah x :
x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + digunakan tanda -
(ii) yang dieliminasi adalah y :
y dalam persamaan satu +, persamaan dua - atau sebaliknya digunakan tanda +

b. Carilah nilai Δ dan t dari persamaan berikut dengan cara eliminasi.
1.
2.
Untuk mengeliminasi variabel Δ, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1
dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan agar
variabel t hilang.
4Δ + 3t = 34 | X1 → 4Δ + 3t = 34
5Δ + t = 37 | X3 → 15Δ + 3t = 111
______________ -
-11Δ = -77
Δ = 7
Setelah kita mendapatkan nilai Δ yaitu 7, kita akan mencari nilai t.
Untuk mencari nilai t, persamaan nomor 1 dikalikan dengan 5 dan persamaan
nomor 2 dikalikan dengan 4. Kedua persamaan dikurangi agar variabel Δ hilang.
4Δ + 3t = 34 | X5 → 20Δ + 15t = 170
5Δ + t = 37 | X4 → 20Δ + 4t = 148
______________ -
11t = 22
t = 2
Jadi Δ = 7 dan t = 2.
c. Penggunaan sistempersamaan linear dua variable
Contoh:
Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila
membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah
mangga dan 5 buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan
model matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1
dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah
jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-
d. MenyelesaikanSPLDV dengan Metode Grafik
Pada pembahasan ini akan dibahas bagaimana cara menyelesaikan SPLDV
dengan menggunakan metode grafik. Tetapi, sebelum itu kita harus tahu bentuk
grafik dari persamaan linear dua variabel. Bagaimana bentuk grafik dari
persamaan linear dua variabel?

Grafik dari persamaan linear dua variabel berbentuk garis lurus, seperti yang
ditunjukkan oleh gambar berikut:
Lalu bagaimana cara menggunakan grafik persamaan linear untuk menyelesaikan
permasalahan SPLDV? Pada dasarnya, terdapat 4 langkah dalam menyelesaiakan
permasalahan SPLDV dengan menggunakan metode grafik. Keempat langkah
tersebut adalah:
Langkah 1: Memodelkan informasi yang ada di soal.
Langkah 2: Menentukan dua titik yang dilalui grafik persamaan-persamaan
pada SPLDV.
Langkah 3: Menggambar grafik persamaan-persamaan tersebut.
Langkah 4: Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab
pertanyaan pada soal cerita.
Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut.
1. Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 500
lembar. Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan harga karcis
kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp
3.250.000,00, tentukan banyak karcis masing-masing kelas I dan kelas II
yang terjual.
Langkah pertama adalah mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita di atas
menjadi model matematika, sehingga membentuk sistem persamaan linear.
Misalkan banyak karcis I dan II yang terjual secara berturut-turut adalah x dan
y, maka kalimat “Dalam sebuah konser musik, terjual karcis kelas I dan kelas
II sebanyak 500 lembar,” dapat dimodelkan menjadi,

Sedangkan kalimat, “Harga karcis kelas I adalah Rp 8.000,00, sedangkan
harga karcis kelas II adalah Rp 6.000,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis
adalah Rp 3.250.000,00,” dapat dimodelkan menjadi,
Sehingga diperoleh SPLDV sebagai berikut.
Langkah kedua, kita cari koordinat dua titik yang dilewati oleh grafik
masing-masing persamaan tersebut. Biasanya, dua titik yang dipilih tersebut
merupakan titik potong grafik persamaan-persamaan tersebut dengan sumbu-x
dan sumbu-y.
Sehingga grafik persamaan x + y = 500 memotong sumbu-x di (500, 0) dan
memotong sumbu-y di (0, 500).
Sedangkan grafik 8.000x + 6.000y = 3.250.000 memotong sumbu-x di (406
1/4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 541 2/3).

Langkah ketiga, kita gambarkan grafik persamaan-persamaan tersebut pada
koordinat Cartesius. Grafik persamaan-persamaan di atas dapat dilukis dengan
memplot titik-titik yang telah kita cari pada koordinat Cartesius kemudian
hubungkan titik (500, 0) dan (0, 500) untuk mendapatkan grafik x + y = 500,
serta titik (406 1/4, 0) dan (0, 541 2/3) untuk mendapatkan grafik 8.000x +
6.000y = 3.250.000.
Dari grafik di atas diperoleh bahwa titik potong grafik x + y = 500 dan 8.000x
+ 6.000y = 3.250.000 adalah (125, 375). Sehingga selesaian dari SPLDV di
atas adalah x = 125 dan y = 375.
Langkah keempat, kita gunakan selesaian di atas untuk menjawab
pertanyaan pada soal cerita. Karena x dan y secara berturut-turut menyatakan
banyak karcis I dan II yang terjual, maka banyaknya karcis kelas I yang terjual
adalah 125 lembar dan 375 lembar untuk karcil kelas II.

BAB III
NILAI MUTLAK
A. Definisi Nilai Mutlak
Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh karena
pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan
mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak.
Definisi:
Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut
terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya. Ini
berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya
terhadap 0 adalah 5: x = –5 dan x = 5 (perhatikan gambar berikut).
Konsep ini dapat diperluas untuk situasi yang melibatkan bentuk-bentuk aljabar
yang berada di dalam simbol nilai mutlak, seperti yang dijelaskan oleh sifat
berikut:
Jika X merupakan suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka
|X| = k akan mengimplikasikan X = –k atau X = k.
Misal: |5| = 5 , |−5| = −(−5) = 5 , |0| = 0
Atau dengan kata lain bahwa nilai mutlak didefinisikan sebagai
| x | = x, jika x > 0,
= 0, jika x = 0,
= –x, jika x < 0.
Jelas bahwa | x | ≥ 0 untuk sebarang x є R.
Selain itu untuk setiap x, y є R :
• | xy | = | x |.| y |,
• | x/y | = | x |/| y |, dan
• | x + y | ≤ | x | + | y |
• | x |2 = x2 (jadi, | x | = √x2); | x | < a ↔ –a < x < a; dan | x | < | y | ↔ x2 <
y2.

B. Contoh Kasus
Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Contoh 1:
Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.
Pembahasan
Pertama, kita isolasi nilai mutlak, yaitu membuat simbol nilai mutlak berada pada
satu ruas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkan di ruas yang lain.
Sekarang perhatikan bahwa x – 7 merupakan “X” pada sifat persamaan nilai
mutlak, sehingga
Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bahwa himpunan
selesaiannya adalah {4, 10}.
Catatan Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, hati-hati untuk tidak
memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x –
7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua
karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x –
7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua
selesaian.
Persamaan nilai mutlak dapat muncul dari berbagai bentuk. Tetapi dalam
menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak
baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak

Contoh 2:
Tentukan himpunan selesaian dari persamaan: |5 – 2/3 x| – 9 = 8.
Pembahasan:
Dengan mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat
persamaan nilai mutlak, kita mendapatkan
Sehingga, himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah {–18, 33}.
Untuk beberapa persamaan, seringkali kita membutuhkan sifat perkalian
persamaan nilai mutlak untuk menyelesaikannya.
C. Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak
Jika A dan B adalah bentuk-bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.
Perhatikan bahwa jika A = –1 maka menurut sifat tersebut |–B| = |–1||B| = |B|.
Secara umum, sifat tersebut berlaku untuk sembarang konstanta A.

Contoh 3: Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak
Tentukan selesaian dari persamaan: |–2x| + 5 = 13.
Pembahasan
Seperti pada contoh-contoh sebelumnya, kita harus mengisolasi simbol nilai
mutlak baru dapat mengaplikasikan sifat-sifat persamaan nilai mutlak.
Diperoleh selesaian dari persamaan tersebut adalah x = –4 atau x = 4.
Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Contoh 1:
Selesaikan pertaksamaan | 1/x – 3 | > 6.
Jawab: | 1/x – 3 | > 6 ↔ | (1 – 3x)/x | > 6
↔ | 1 – 3x |/| x | > 6
↔ | 1 – 3x | > 6.| x | (x ≠ 0)
↔ (1 – 3x)2 > 36x2
↔ 27x2 + 6x – 1 < 0
↔ (9x – 1)(3x + 1) < 0
↔ -1/3 < x < 9.
Mengingat x ≠ 0, himpunan penyelesaiannya adalah
(-1/3,0) U (0,1/9).

BAB IV
FUNGSI
A. Definisi Fungsi
Pemahaman mengenai suatu fungsi dapat lebih mudah dengan
mengilustrasikannya dalam sebuah tembakan dengan senapan. Ilustrasikan fungsi
sebagai suatu senapan. Fungsi akan mengambil amunisi dari suatu himpunan yang
disebut daerah asal (domain) dan menembakkannya pada suatu himpunan sasaran
yang disebut daerah hasil (range) atau secara singkatnya dapat dikatakan bahwa
A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan).
Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range
(daerah hasil). Setiap peluru mengenai sebuah titik sasaran tunggal, tetapi boleh
jadi beberapa peluru menuju pada titik yang sama.
Penyajian suatu fungsi dapat dilakukan melalui berbagai sajian, diantaranya
melalui pasangan berurutan, diagram venn, maupun dalam grafik kartesius.
Contoh : {(1,1),(2,4),(3,9)} apabila dinyatakan dalam diagram venn dapat
digambarkan dalam Gambar 1 berikut:
Gambar 1. Contoh Penyajian Fungsi dalam Diagram Venn
Dari dua macam sajian fungsi di atas, dapat dilihat bahwa Himpunan A di
relasikan terhadap Himpunan B, dengan daerah asal anggota dari himpunan A,
yaitu {1,2,3}, dan daerah hasil {1,4,9}.

B. Macam-Macam Fungsi
Fungsi-fungsi yang ada, diantaranya disajikan berikut
a. Fungsi Linier
Fungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi
dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai namanya, setiap persamaan linier
apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus.
Bentuk umum persamaan linier adalah :
y = ax + b
Dimana :
y = Variable tidak bebas
x = Variable bebas
a dan b = konstanta.
Ciri-ciri persamaan linear :
1. Apabila a > 0 maka garis akan bergerak dari bawah ke kanan atas.
2. Apabila a < 0 maka garis akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.
3. Apabila a1 ≠ a2 maka garis akan berpotongan.
4. Apabila a1 = a2 maka garis akan sejajar.
5. titik b merupakan perpotongan pada sumbu y.
6. a disebut juga tan α, a juga berarti menunjukan arah.
Contoh soal:
1.
a. Tentukan persamaannya !
b. Gambarkan grafiknya !
Jawab :
y = ax + b 9 = a + b
9 = a + b 11 = 2a + b _
11 = 2a + b -2 = -a
13 = 3a + b a = 2
9 = a + b
9 = 2 + b
x 1 2 3
y 9 11 13

Persamaan Fungsi Linier
Bentuk umum fungsi linier :
ax + by + c = 0 (1)
Curam/gradien (m) :
(2)
Persamaan garis yang melalui dua titik :
dimasukkan ke persamaan 2 :
(3)
Contoh :
1. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan (4,3).
Jawab :

2. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (3,2) dan (5,6).
Jawab :
3. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (-6,3) dan memiliki
gradien 4 !
Jawab :
y - y1 = m(x - x1)
y - 3 = 4(x+6)
y - 3 = 4x + 24
y = 4x + 24 + 3
y = 4x + 27
4. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (12,10) dan
memiliki gradien -3 !
Jawab :
y - y1 = m(x - x1)
y - 10 = -3(x-12)
y - 10 = -3x + 36
y = -3x + 36 + 10
y = -3x + 46

Catatan :
 Konstanta x yang bernilai positif menunjukkan garis bergradien positif atau bila
digambarkan garisnya berbentuk lurus dari kiri bawah ke kanan atas.
 Konstanta x yang bernilai negatif menunjukkan garis bergradien negatif atau bila
digambarkan garisnya berbentuk lurus dari kiri atas ke kanan bawah.
 Konstanta x menunjukkan gradien garis.
Contoh :
y = 4x + 27
gradien garisnya 4.
y = -3x + 46
gradien garisnya -3.
B. Hubungan Antara Dua Garis Lurus
Hubungan Bila
Berimpit
Persamaan yang satu merupakan kelipatan
persamaan yang lain
Sejajar Curam (m) sama
Berpotongan tegak lurus m1 . m2 = -1
Contoh :
1. Tentukan hubungan antara garis 4x-2y-10=0 dengan garis :
a. 8x-4y-36=0
Jawab :
garis 1 :

garis 2 :
Karena m1 = m2 = 2 maka hubungan antara kedua garis adalah
sejajar.
b. 8x-4y-20=0
Jawab :
Karena garis 8x-4y-20=0 merupakan kelipatan dari garis
4x-2y-10=0 maka hubungannya adalah berimpit.
c. 2x+4y-10=0
Jawab :
garis 2 :
garis 1 :
y = 2x - 5
maka, m1=2 dan m2=-0,5
m1 . m2 = -1
2 . (-0,5) = -1
Jadi hubungan antara dua garisnya adalah berpotongan tegak lurus.

C. Perpotongan
Titik perpotongan antara dua garis adalah suatu titik di mana persamaan garis pertama sama
dengan persamaan garis kedua.
Contoh :
1. Garis y=2x-5 berpotongan dengan garis y=3x+10 pada titik?
Jawab :
y1 = y2
2x - 5 = 3x + 10
2x - 3x = 10 + 5
-x = 15
x = -15
Jika x = 15
maka : y = 2x - 5
= 2 (-15) - 5
= -35
Jadi garis y = 2x - 5 dan y = 3x + 10 saling berpotongan
pada titik (-15,-35)
Titik perpotongan antara dua garis juga dapat dicari dengan metode eliminasi.
Contoh :
2. Carilah titik perpotongan antara garis 2x-4y+5=0 dan 4x-6y-2=0 !
Jawab :

y = 6
2x - 4(6) + 5 = 0
2x - 24 + 5 = 0
2x = 24 - 5
2x = 19
x = 9,5
Jadi garis 2x-4y+5=0 berpotongan dengan garis 4x-6y-2=0
pada titik (9,5 , 6).
Titik perpotongan juga bisa dicari dengan metode substitusi.
Contoh :
3. Carilah titik potong antara garis 6x - 2y - 4 =0 dengan
garis 4x - y + 5 = 0 !
Jawab :
6x - 2y - 4 = 0
2y = 6x - 4
y = (6x - 4)/2
y = 3x - 2 ............... (a)
Persamaan a kita masukkan ke persamaan kedua :
4x - y +5 = 0
4x - (3x - 2) + 5 = 0
4x - 3x + 2 + 5 = 0
x + 7 = 0
x = -7
Maka,
6x - 2y - 4 = 0
6(-7) - 2y - 4 = 0
-42 - 2y - 4 = 0
2y = -46
y = -23
Jadi garis 6x-2y-4=0 dengan garis 4x-y+5=0 berpotongan
pada titik (-7,-23).

b. Fungsi Kuadrat
Bentuk persamaannya:
y = ax2 + bx + c
Dimana :
y = variable tidak tetap
x = variable tetap
a, b, c = konstanta
Ciri-ciri persamaan kuadrat
1. Jika a positif maka gambar membuka ke atas.
2. Jika a negatif maka gambar membuka ke bawah.
3. Semakin besar a, maka gambar semakin sempit.
4. Semakin kecil a maka gambar semakin lebar
5. Titik puncak membelah gambar sama besar
6. Titik a merupakan titik potong fungsi dengan sumbu y dimana x = 0
7. Titik b dan c merupakan titik potong fungsi dengan sumbu x dimana y = 0
8. Titik p disebut titik puncak
9. Jika x = 0 maka c merupakan titik potong dengan sumbu y
Contoh soal:
1.
Tentukan persamaan!
Jawab :
y = ax2 + bx + c 5 = 3a + b x 1
8 = a + b + c 12 = 8a + 2b x 2
13 = 4a + 2b + c 10 = 6a + 2b
20 = 9a + 3b + c 12 = 8a + 2b _
-2 = -2 a
a = 1
13 = 4a + 2b + c
8 = a + b + c _
5 = 3a + b (1)
x 1 2 3 4
y 8 13 20 29

5 = 3a + b
5 = 3 + b
b = 2
20 = 9a + 3b + c
8 = a + b + c _
12 = 8a + 2b + c (2) 8 = a + b + c
8 = 1 + 2 + c
c = 8 – 3
c = 5
Jadi persamaannya adalah y = x2 + 2 x + 5
c. Perpotongan Garis ( Titik Keseimbangan )
Fungsi kebalikan
Rumus umum : x = ay2 + by + c
Contoh soal :
Carilah titik keseimbangan antara persamaan y = -2x + 50 dengan persamaan y
= -x +7 ! Gambarkan !
Jawab :
y = -2x + 50
2x = -y + 50
x = -½y + 25 ( D ) x = - ½ y + 25
y = -x + 70
x = -y + 70 ( S )
x = -y + 70
x -2 -1 0 1 2
y 5 4 5 8 13
x 0 25
y 50 0

D = S
½ y + 25 = -y + 70
½ y = 45
y = 90
x = -y + 70
x = -90 + 70
x = -20
titik potong ( -20, 90 )
d. Fungsi Permintaan dan pernawaran
Fungsi Permintaan ( D )
Fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang diminta konsumen
pada periode tertentu dan dipengaruhi oleh :
1. Harga produk itu sendiri
2. Pendapatan konsumen
3. Harga produk yang diharapkan pada periode mendatang
4. Harga produk lain yang saling berhubungan
5. Selera konsumen
Fungsi Penawaran ( S )
Fungsi yang menunjukan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan pada
periode tertentu dandipengaruhi oleh :
1. Harga produk tersebut
2. Tingkat teknologi yang tersedia
3. Harga dari faktor produksi (input) yang digunakan
4. Harga produk lain yang berhubungan dalam produksi
5. Harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang
Keseimbangan Pasar ( E )
1. Keseimbangan pasar satu macam produk
Syarat untuk mencapai ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen
harus sama dengan jumlah prosuk yang ditawarkan oleh produsen ( Qd = Qs )
atau harga produk yang diminta sama dengan produk yang ditawarkan ( Pd = Ps )
x 0 70
y 70 0

Contoh soal :
Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5p dan fungsi
penawarannya adalah Qs = 7 – 2p
a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar ?
Jawab :
a.) Qd = Qs
10 – 5 p = 7 – 2p
3p = 3
P = 1
Q = 10 – 5p
Q = 5
Harga danjumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )
2. Keseimbangan pasar dua macam produk
Fungsi permintaan dan penawaran dapat perluas menjadi fungsi yang memiliki
dua variable bebas yaitu harga produk itu sendiri dan harga produk lain yang
saling behubungan. Misalnya ada dua produk x dan y yang saling behubungan
dimana;
Qdx = Jumlah yang diminta untuk produk x
Qdy = Jumlah yang diminta untuk produk y
Px = Harga barang x
Py = Harga barang y
Contoh soal :
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dua macam produk yang memiliki
hubungan subsitusi :
Qdx = 4 – 2Px + Py
Qdy = -4 + Px + 5Py
Qsx = -8 + 3Px – 5Py
Qsy = 5 – Px – Py
Carilah keseimbangan pasarnya
Q 0 10
P 2 0

Jawab :
Qdx = Qsx
4 – 2Px + Py = -8 + 3Px – 5Py
12 = 5Px – 6Py ( 1 )
Qdy = Qsy
-4 + Px + Py = 5 – Px – Py
9 = 2Px + 6Py ( 2 )
12 = 5Px – 6Py
9 = 2Px + 6Py +
21 = 7Px
Px = 3
9 = 2Px + 6Py
9 = 2 (3) + 6 Py
9 = 6 + 6 Py
6Py = 3
Py = ½
Qdy = -4 + Px + 5Py
= 4 – 6 + ½
= -1 ½
e. Pengaruh Pajak ( t ) Pada Keseimbangan Pasar
Jika sesuatu produk dikenakan pajak oleh pemerintah, maka akan terjadi
perubahan keseimbangan atas produk tersebut. Pada produk tertentu akan
menyebabkan harga produk tersebut naik karena produsen membebankan
sebagian pajak pada konsumen, sehingga jumlah produk yang diminta pun
berkurang.
TG = Pajak total oleh pemerintah = d, b, Et, Pt
TK = Pajak yang ditanggung oleh konsumen = Pt, Po, C, Et
TP = Pajak yang ditanggung oleh produsen = Po, C, B, d

Maka : TK = ( Pt – Po ) Qt
TG = t.Qt
TP = TG – TK
Qt = Jumlah kseimbangan setelah kena pajak
Contoh soal :
Diketahui suatu produk ditunjukan fungsi permintaan P = 8 + Q dan fungsi
penawaran P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit
a. berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?
b. berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?
c. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?
Jawab ;
a. Pd = Ps
7 + Q = 16 – 2Q P = 7 + Q
3Q = 9 P = 7 + 3
Q = 3 P = 10
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )
Pt = 16 – 2Q + t
= 16 – 2Q + 3
= 19 – 2Q Pt = Pd
19 – 2Q = 7 + Q
3Q = 12
Q = 4
Pt = 19 – 2Q
= 19 – 8
= 11
Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E ( 4,11 )
b. TG = t.Qt
= 3 . 4
= 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )

c. TK = ( Pt – Po ) Qt
= ( 11 – 10 ) 4
= 4 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 4,- )
Tp = TG – TK
= 12 – 4
= 8 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 8,- )
f. Pengaruh Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar
Subsidi ( s ) adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen terhadap
produk yang dihasilkan atau dipasarkan, sehingga harga yang berlaku dipasar
lebih rendah sesuai dengan keinginan pemerintah dan daya beli masyarakat
meningkat. Fungsi penawaran setelah subsidi adalah F ( Q ) = P + S atau P = F
( Q ) – S
Contoh Soal ;
Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Q = 12 – 2P sedangkan
penawarannya Q = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,-
setiap unit barang.
a. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?
b. berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?
c. berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?
d. berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?
Jawab ;
a.) Qd = Qs Q = 12 – 2P
12 – 2P = -4 + 2P = 12 – 8
4P = 16 = 4
P = 4 ( Keseimbangan pasar sebelum subsidi So ( 4, 4 )
b.) Qd = 12 – 2P => P = ½ Qd + 6 Pd = Pss
Qs = -4 + 2P => P = ½ Qs + 2 - ½ Q + 6 = ½ Q
Pss = ½ Q + 2 – 2 Q = 6
Pss = ½ Q P = ½ Q
P = 3
( Keseimbangan pasar setelah subsidi Ss ( 6, 3 )

c.) SK = ( Po – Ps ) Qs SP = S – (( Po – Ps ) Qs)
= ( 4 – 3 ) 6 = 12 – (( 4 – 3 ) 6 )
SK = 6 = 12 - 6
SG = Qs . s = 6
= 6 . 2 = 12
( Besar subsidi untuk produsen Rp. 6,- )
( Besar subsidi untuk konsumen = Rp. 12,- )
d.) Subsidi yang diberikan pemerintah
SG = s . Qs
= 2 . 6
= 12

BAB V
LIMIT
A. Limit Fungsi
Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat
dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama
terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5
bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.
Jika dirata-rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29 /5 =
5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali
kamu temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas, dan
sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian limit. Limit
merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada
kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamu akan mempelajari konsep
limit fungsi dalam pemecahan masalah.
B. Rumus Limit Fungsi
Rumus Limit

Limit ln log dan bilangan e
Limit trigonometri sederhana, sin x dan tan x saja yang bisa dipakai
Cara menyelesaikan limit yang sederhana dengan menghilangkan faktor (x-a),
dalil L’Hopital, dan mengalikan akar sekawan

Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.
Contoh: Perhatikan fungsi
untuk nilai x yang mendekati 1
x 0 0,9 0,95 0,98 … 1,0001 1,0005 1,05 1,1
f(x) 1 1,9 1,95 1,98 … 2,0001 2,0005 2,05 2,1
Gambar grafiknya:
Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2
→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2
Teorema:
Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada
Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

C. Sifat-Sifat Limit
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:
1. Substitusi langsung
Contoh:
2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:
Ingat:
(a2 – b2) = (a – b)(a + b)
(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:

4. Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:
Contoh:
Cara cepat dalam mengerjakan limit!
→ Untuk bentuk pecahan:
 Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
 Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
 Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien
pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Contoh 1:
Contoh 2:
Contoh 3:
→ Untuk bentuk
Contoh:
5. Limit trigonometri:
Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin2 ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos2ax = sin2ax (dari sin2x + cos2x = 1)

Bilangan e
Bilangan e didapat dari:
e = 2,718281828…
Rumus-rumus pengembangannya:
Kontinuitas
Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2.
3.
Ilustrasi:

BAB VI
TURUNAN
Differensial/Turunan adalah suatu pendekatan untuk menghitung suatu (jarak atau
panjang dari suatu lintasan yang gak beraturan atau tidak diketahui.
A. Menghitung Turunan yang Mengarah ke Konsep Limit Fungsi
Limit dapat digunakan untuk menentukan gradien dari suatu kurva. Selain itu,
limit juga digunakan untuk mendefinisikan salah satu operasi yang fundamental
pada kalkulus, yaitu turunan.
Definisi Turunan Suatu Fungsi Turunan fungsi f pada x didefinisikan sebagai:
apabila limitnya ada. Untuk setiap x sedemikian sehingga limitnya ada, f ’ adalah
fungsi terhadap x.
Yang patut dicatat adalah turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi
terhadap x. Fungsi “baru” ini memberikan gradien dari garis singgung terhadap
grafik f di titik (c, f(c)), asalkan grafik fungsi tersebut memiliki garis singgung di
titik (c, f(c)).
Proses untuk menentukan turunan dari suatu fungsi disebut penurunan. Suatu
fungsi terturunkan di x jika turunannya ada di x, dan terturunkan di selang buka
(a, b) jika fungsi tersebut terturunkan di setiap titik dalam selang.
Sebagai tambahan, selain f ’(x), notasi lain juga dapat digunakan untuk
menyatakan turunan dari y = f(x). Notasi yang sering digunakan adalah:

Notasi dy/dx dibaca “turunan y terhadap x” atau “dy, dx”. Dengan menggunakan
notasi limit, kita dapat menuliskan
Contoh 1: Menemukan Turunan dengan Proses Limit
Tentukan turunan dari f(x) = 2x3 – 3x.
Pembahasan:
Ingat bahwa turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi, yang dapat
digunakan untuk menentukan gradien garis singgung grafik f di titik (c, f(c)).
Tips: Ketika menggunakan definisi untuk menurunkan fungsi, kuncinya adalah
memanipulasi persamaan sebelah kanan sehingga penyebutnya tidak memiliki
faktor Δx.

Contoh 2: Menggunakan Turunan untuk Menentukan Gradien di Suatu Titik
Tentukan f ’(x) untuk f(x) = √x. Kemudian tentukan gradien grafik pada titik (1, 1)
dan (4, 2). Jelaskan perilaku f di titik (0, 0).
Pembahasan:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah merasionalkan pembilang.
Pada titik (1, 1), gradiennya adalah f ’(1) = 1/2. Pada titik (4, 2), gradiennya
adalah f ’(4) = 1/4. Perhatikan gambar di bawah ini. Pada titik (0, 0), gradiennya
tidak terdefinisi. Akan tetapi, grafik f memiliki garis singgung berupa garis
vertikal pada titik (0, 0)

Di beberapa kasus, penggunaan variabel x bisa digantikan oleh variabel lainnya.
Hal ini seperti yang ditunjukkan oleh contoh 3 berikut.
Contoh 3: Menentukan Turunan dari Suatu Fungsi
Tentukan turunan terhadap t dari fungsi y = 7/t.
Pembahasan:
Misalkan y = f(t), kita mendapatkan
B. Menghitung Turunan Fungsi yang Sederhana dengan Menggunakan
Definisi Turunan
1. Turunan fungsi yang berbentuk y = u ± v
Misalnya anda menemukan contoh soal seperti berikut ini. Carilah f ′(x) jika f(x) =
3x3 + 7x2. Contoh soal tersebut merupakan salah satu contoh turunan fungsi yang
berbentuk y = u + v. Bagaimana cara mencari turunan pertama dari soal tersebut
tanpa menggunkan konsep fungsi limit?
Bila y = f(x) = u(x) + v(x) di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari
v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x) + v'(x). Begitu juga
bila f(x) = u(x) – v(x), maka f ′(x) = u'(x) + v'(x). Jadi, jika y = u ±v, maka y' = u'
± v'. Oleh karena itu, dengan menggunakan konsep turunan, maka
f(x) = 3x3 + 7x2
f′(x) = 9x2 + 14x

Nah itu teorinya, agar lebih jelasnya, coba anda pelajarilah beberapa contoh soal
berikut ini:
Contoh Soal 1
Carilah f ′(x) jika f(x) = 3x2 + 7x
Penyelesaian:
f(x) = 3x2 + 7x
Misal:
u = 3x2 → u' = 3⋅2⋅x2 – 1 = 6x1 = 6x
v = 7x → v' = 7⋅1⋅x1 – 1 = 7x0 = 7⋅1 = 7
Jadi jika f(x) = u + v, maka f ′(x) = u' + v' = 6x + 7
Contoh Soal 2
Carilah f ′(x) jika f(x) = –x3 – 8x2
Penyelesaian:
f(x) = –x3 – 8x2
Misal:
u = –x3 → u' = –3x3 – 1 = –3x2
v = 8x2 → v' = 8 ⋅ 2⋅ x2 – 1 = 16 x1 = 16x
Jadi jika f(x) = u – v, maka f ′(x) = u' – v' = –3x2 – 16x
2. Turunan fungsi yang berbentuk y = u⋅ v
Pembahasan di atas sudah dijelaskan penjumlahan atau pengurangan dari turunan
fungsi, maka sekarang kita lanjut dengan turunan fungsi dalam bentuk perkalian
atau perkalian turunan fungsi. Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)(5x + 3).
Apakah caranya sama seperti penjumlahan atau pengurangan turunan fungsi?
Jika y = f(x) = u(x) ⋅ v(x), di mana turunan dari u(x) adalah u'(x) dan turunan dari
v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x) = u'(x)⋅ v(x) + u(x) ⋅ v'(x).
Jadi jika y = u⋅ v, maka y' = u' v + u v'.

Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh soal 1
Carilah y′ jika y = x(5x + 3)
Penyelesaian:
Cara 1:
y = x (5x + 3)
y = 5x2 + 3x
y' = 5 ⋅ 2x2 – 1 + 3 ⋅1 x1 – 1
y' = 10x1 + 3 ⋅ x0
y' = 10x + 3 ⋅ 1
y' = 10x + 3
Cara 2:
y = x(5x + 3)
misal:
u = x → u' = 1
v = 5x + 3 → v' = 5 + 0 = 5
Jadi jika y = u⋅ v, maka
y' = u' v + u v'
y' = 1 (5x + 3) + x (5)
y' = 5x + 3 + 5x
y' = 10x + 3
Contoh soal 2
Carilah y ′ jika y = 3(2x + 1) x2
Penyelesaian:
Cara 1:
y = 3(2x + 1) x2
y = 6x3 + 3x2
y' = 6 ⋅ 3x3 – 1 + 3 ⋅2 x2 – 1
y' = 18x2 + 6x

Cara 2:
y = 3(2x + 1) x2
y = (2x + 1) 3x2
misal:
u = 2x + 1 → u' = 2
v = 3x2 → v' = 6x
Jadi jika y = u⋅ v, maka
y' = u' v + u v'
y' = 2 ⋅ 3x2 + (2x + 1) 6x
y' = 6x2 + 12x2 + 6x
y' = 18x2 + 6x
3. Turunan fungsi yang berbentuk y = u/v
Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)/(5x + 3). Apakah caranya sama seperti
perkalian turunan fungsi? Jika y = f(x) = u(x)/v(x), di mana turunan dari u(x)
adalah u'(x) dan turunan dari v(x) adalah v'(x), maka turunan dari f(x) adalah f ′(x)
= (u'(x)⋅ v(x) - u(x) ⋅ v'(x))/ v(x)2. Jadi jika y = u/v, maka y' = (u'v + uv')/v2.
Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi
Carilah turunan pertama dari y = (3x+1)/(4x-3)
Penyelesaian:
y = (3x+1)/(4x-3)
misal:
u = 3x – 2 → u' = 3
v = 5x + 6 → v' = 5
Jika y = uv, maka
y' = (u′ v - uv′)/v2
y' = (3(5x+ 6) - (3x - 2)5)/(5x+6)2
y' = ((15x+ 18) - (15x - 10))/(5x+6)2
y' = 28/(5x+6)2

4. Turunan fungsi yang berbentuk y = un
Misalnya: Carilah y ′ jika y = (x2+3x)12. Bagaiman cara mencari turunan fungsi
seperti soal tersebut? Jika y = f(x) = u(x)n, di mana turunan dari u(x) adalah u'(x),
maka turunan pertama dari f(x) adalah f ′(x) = n.u′(x).u(x)n-1⋅ Jadi jika y = un, maka
y' = n.u'.un-1
Agar lebih jelas silahkan anda pelajarilah beberapa contoh soal berikut ini:
Contoh Soal Pembagian Turunan Fungsi Pangkat
Carilah turunan pertama dari y = (2 + 5x2)5
Penyelesaian:
y = (2 + 5x2)5
misal :
u = 2 + 5x2 → u' = 10x
Jika y = un, maka
y' = n. u'.un – 1
= 5. 10x (2 + 5x2)5 – 1 ⋅
= 50x(2 + 5x2)4
Jadi, Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u' turunan dari u dan v' turunan dari
v dan k bilangan konstan, berdasarkan pembahasan tersebut dapat disimpulkan
beberapa rumus untuk turunan fungsi sebagai berikut:
C. Rumus Turunan
Rumus-rumus di dalam kotak tersebut dapat dibuktikan dengan menggunkan
konsep limit fungsi.

Kalkulus 1-Mkul

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Kalkulus 1-Mkul

Similar to Kalkulus 1-Mkul (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Kalkulus 1-Mkul