El documento presenta cuatro problemas relacionados con circunferencias. El primero pide hallar la gráfica y ecuación de una circunferencia con centro C(3,2) y tangente a la recta y=x+4. El segundo, hallar la gráfica y ecuación de una circunferencia cuyo diámetro une los puntos A(-1,-2) y B(3,4). El tercero, hallar la gráfica y ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos P(3,8), Q(9,6) y R

1. ELABORADO
POR:PASCUALSARDELLA
PROBLEMAS DE
CÓNICA
CIRCUNFERENCIA
INICIAR

2. MENÚ
Hallar la gráfica y la ecuación general de una
circunferencia con centro C (3, 2) y tangente a la
recta y = x + 4.
Hallar la gráfica y la ecuación general de una
circunferencia, cuyo diámetro es el segmento que
une los puntos A (-1, -2) y B (3, 4).
Hallar la gráfica y la ecuación ordinaria o canónica de
la circunferencia que pasa por los puntos P(3,8),
Q(9,6) y R(3,-2).
Hallar la gráfica y la ecuación general de una
circunferencia, que pasa por el vértice y los puntos
extremos del lado recto de la parábola x2-4y=0.
SALIR

3. Hallar la gráfica y la ecuación general de una circunferencia
con centro C (3, 2) y tangente a la recta y = x + 4.
Solución: Tenemos como datos los siguientes: Centro de la circunferencia
C(3,2) y una recta tangente a la circunferencia cuya ecuación es x-y+4=0.
Aplicando la fórmula de distancia de un punto a una recta obtenemos la
radio de la circunferencia, es decir:
𝑑 𝐶, 𝐿 =
𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶
𝐴2+𝐵2
= 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 Donde: 𝑥1, 𝑦1 → 𝐶(3,2)
𝐿: 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 = 0 → 𝐴 = 1; 𝐵 = −1; 𝐶 = −4
𝑑 𝐶, 𝐿 =
𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶
𝐴2+𝐵2
→ 𝑑 𝐶, 𝐿 =
1·3−1·2+4
12+ −1 2
=
5
2
Luego, el radio de la circunferencia es 𝑑 𝐶, 𝐿 = 𝑟 =
5
2
La forma canónica de la circunferencia es:
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
Donde C(h,k) es el centro de la circunferencia y r es el radio.
Sustituyendo los valores obtenidos obtenemos la ecuación de la
circunferencia canónica, es decir:
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
→ 𝑥 − 3 2
+ 𝑦 − 2 2
= (
5
2
)2
𝑥 − 3 2
+ 𝑦 − 2 2
=
25
2
→ 2 𝑥 − 3 2
+ 2 𝑦 − 2 2
= 25
2 𝑥2
− 6𝑥 + 9 + 2 𝑦2
− 4𝑦 + 4 = 25
2𝑥2
− 12𝑥 + 18 + 2𝑦2
− 8𝑦 + 8 − 25 = 0
La solución es la Ecuación General:
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒚 𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏 = 𝟎
Para realizar la gráfica necesitamos 1) puntos de intersección de ambas
gráficas, 2) los cortes con los ejes, es decir:
SIGUIENTEIR A MENÚ

4. 1) Para hallar los puntos de intersección de ambas gráficas
tenemos el sistema siguiente formado por las ecuaciones
dadas:
𝑦 = 𝑥 + 4 (1)
2𝑥2
+ 2𝑦2
− 12𝑥 − 8𝑦 + 1 = 0 (2)
Sustituyendo (1) en (2) obtenemos:
2𝑥2
+ 2𝑦2
− 12𝑥 − 8𝑦 + 1 = 0
2𝑥2
+ 2 𝑥 + 4 2
− 12𝑥 − 8 𝑥 + 4 + 1 = 0
2𝑥2 + 2 𝑥2 + 8𝑥 + 16 − 12𝑥 − 8𝑥 − 32 + 1 = 0
2𝑥2 + 2𝑥2 + 16𝑥 + 32 − 12𝑥 − 8𝑥 − 32 + 1 = 0
4𝑥2
− 4𝑥 + 1 = 0
a = 4; b = -4; c = 1. Aplicando la fórmula:
𝑥1,2 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
→
𝑥1 =
1
2
𝑥2 =
1
2
Sustituyendo en (1) tenemos:
𝑦 = 𝑥 + 4 → 𝑦 =
1
2
+ 4 → 𝑦 =
9
2
.
Luego tenemos el punto de intersección de ambas gráficas,
es decir:
𝑃0
1
2
;
9
2
→ 𝑃0 0,5; 4,5
2) los cortes con los ejes coordenados:
2.1) Con el eje x, hacemos y = 0, De la recta y=x+4, se tiene
el punto 𝑃1(−4,0)
De la ecuación general de la circunferencia, tenemos:
2𝑥2
+ 2(0)2
−12𝑥 − 8(0) + 1 = 0 → 2𝑥2
− 12𝑥 + 1 = 0
Aplicando la fórmula: 𝑥1,2 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
.
Donde a=2;b=-12 y c=1
ANTERIOR SIGUIENTE

5. 𝑥1,2 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥1,2 =
−(−12)± (−12)2−4(2)(1)
2(2)
𝑥1,2 =
12 ± 2 34
4
Obtenemos las ordenadas:
𝑥1 =
6+ 34
2
𝑥2 =
6− 34
2
Luego los puntos de cortes son:
𝑃2(
6+ 34
2
, 0)
𝑃3(
6− 34
2
, 0)
→
𝑃2(5,915; 0)
𝑃3(0,085; 0)
2.2) Con el eje y, hacemos x = 0, De la recta y=x+4, se tiene el
punto 𝑃4(0,4)
De la ecuación general de la circunferencia, tenemos:
2(0)2
+2𝑦2
− 12 0 − 8𝑦 + 1 = 0 → 2𝑦2
− 8𝑦 + 1 = 0
Aplicando la fórmula: 𝑦5,6 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
. Donde a=2;b=-8;c=1
𝑦5,6 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑦5,6 =
−(−8)± (−8)2−4(2)(1)
2(2)
𝑦5,6 =
8 ± 2 14
4
Obtenemos las ordenadas:
𝑦5 =
4+ 14
2
𝑦6 =
4− 14
2
Luego los puntos de cortes son:
𝑃5(0; 3,871)
𝑃6(0; 0,129)
ANTERIOR SIGUIENTE

6. La gráfica que representa el problema es la siguiente:
ANTERIOR IR A MENÚ

7. Hallar la gráfica y la ecuación general de una
circunferencia, cuyo diámetro es el segmento que une los
puntos A (-1, -2) y B (3, 4).
SIGUIENTEIR A MENÚ
Solución: Los datos son los siguientes. Los extremos son: A(-1,-2)
y B(3,4). Tenemos los siguientes puntos:
El punto medio de los extremos es el centro de la circunferencia
La distancia entre los puntos del extremo nos da el diámetro,
por lo que el radio es la mitad del diámetro. [La otra variante es
hallar la distancia del centro de la circunferencia a cualquiera de
los puntos A y B, el cual es el radio]
La ecuación canónica es 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 y al
desarrollarla tenemos la ecuación general de la circunferencia.
Caso (a):
𝐶 ℎ, 𝑘 = 𝑀
𝑥2+𝑥1
2
;
𝑦2+𝑦1
2
→ 𝐶 ℎ, 𝑘 = 𝑀
3+(−1)
2
;
4+(−2)
2
𝐶 ℎ, 𝑘 = 𝐶 1,1 → ℎ = 1 𝑦 𝑘 = 1
Caso (b) Primera parte:
Diametro: D, r: radio, 𝐷 𝐴; 𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2 y 𝑟 =
𝐷
2
𝐷 𝐴; 𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2→ 𝐷 𝐴; 𝐵 =
(3 + 1)2+(4 + 2)2
𝐷 𝐴; 𝐵 = (4)2+(6)2→ 𝐷 𝐴; 𝐵 = 2 13 ∴ 𝐷 = 2 13
Luego el radio es: 𝑟 =
𝐷
2
→ 𝑟 =
2 13
2
→ 𝑟 = 13; 𝑟2
= 13

8. Caso (b) Segunda parte, si se fuera adoptado este camino, como
tenemos el centro de la circunferencia C(1,1) y A(-1,-2) [ó C(1,1)
y B(3,4)]
𝐷 𝐶, 𝐴 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2 ó [𝐷 𝐶, 𝐵 =
(𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2]
𝐷 𝐶, 𝐴 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2
𝐷 𝐶, 𝐴 = (−1 − 1)2+(−2 − 1)2
𝐷 𝐶, 𝐴 = 4 + 9 → 𝐷 𝐶, 𝐴 = 13 𝑟 = 13 ; 𝑟2
= 13
Caso (c): tenemos Centro C(1,1) y r= 13, sustituyendo en la
ecuación canónica tenemos:
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
𝑥 − 1 2
+ 𝑦 − 1 2
= 13
2
𝑥 − 1 2
+ 𝑦 − 1 2
= 13
𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 13 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 2𝑦 + 2 − 13 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0
La ecuación general es: 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0:
ANTERIOR SIGUIENTE

9. La gráfica es la siguiente
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10. Hallar la gráfica y la ecuación ordinaria o canónica de la
circunferencia que pasa por los puntos P(3,8), Q(9,6) y
R(3,-2).
Solución: Como dichos puntos pertenecen a lugar geométrico de
la circunferencia cuya ecuación general es:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (∗)
Para el punto P(3,8) tenemos la ecuación siguiente:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 → 3 2
+ 8 2
+ 3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = 0
9 + 64 + 3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = 0 → 3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = −73
3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = −73 (1)
Para el Punto Q(9,6) tenemos la ecuación siguiente:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 → 9 2
+ 6 2
+ 9𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = 0
9𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = −117 (2)
Para el punto R(3,-2) tenemos la ecuación siguiente:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 → 3 2 + −2 2 + 3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −13 (3)
Se forma el siguiente sistema de ecuaciones, es decir:
M=
3𝐴 + 8𝐵 + 𝐶 = −73 (1)
9𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = −117 (2)
3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −13 (3)
Det D =
3 8 1
9 6 1
3 −2 1
𝐷𝑒𝑡 𝐷 = 18 + 104 − 18 − 78 + 72 − 6
𝐷𝑒𝑡 𝐷 = 104 − 144 → 𝐷𝑒𝑡 𝐷 = −40
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11. ANTERIOR SIGUIENTE
Como 𝐴 =
𝑀 𝐴
𝐷𝑒𝑡 𝐷
→ 𝑥 =
−73 8 1
−117 6 1
−13 −2 1
−40
→ 𝐴 = −6
𝐵 =
𝑀 𝐵
𝐷𝑒𝑡 𝐷
→ 𝑥 =
3 −73 1
9 −117 1
13 −173 1
−40
→ 𝐵 = 4
𝐶 =
𝑀 𝐶
𝐷𝑒𝑡 𝐷
→ 𝑥 =
3 8 −73
9 6 −117
13 −2 −173
−40
→ 𝐶 = −87
Sustituyendo estos valores en (*) tenemos:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 87 = 0
𝑥2
− 6𝑥 + 𝑦2
+ 4𝑦 = 87
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 87 + 9 + 4
𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 2 2 = 100
Donde: Centro C(h,k) es C(3,-2) y Radio es r =10
Solución: 𝑥 − 3 2
+ 𝑦 + 2 2
= 100

12. ANTERIOR IR A MENÚ

13. Hallar la gráfica y la ecuación general de una
circunferencia, que pasa por el vértice y los puntos
extremos del lado recto de la parábola x2-4y=0.
Solución: Parábola: x2-4y=0, Vértice: V(h,k), Lado Recto: L(x1,y1) y
R(x2,y2) son también puntos de la circunferencia. De la parábola
tenemos: 𝑥2
− 4𝑦 = 0 → 𝑥2
= 4𝑦, esta parábola tiene por eje de
simetría el eje y, es decir, que es una parábola vertical y como el
signo del coeficiente de y es positivo, esta abre hacia arriba,
luego la parábola tiene la forma siguiente: 𝑥2 = 4𝑝𝑦
Donde el vértice es V(0,0), 4𝑝 = 4 → 𝑝 = 1, el foco tiene por
coordenadas 𝐹 0, 𝑝 → 𝐹(0,1)
El segmento que corta a la parábola y pasa por el foco se llama
lado recto, luego los puntos extremos del lado recto son L(-x,1) y
R(x,1) F(0,1) y la distancia de el punto L y R es: 𝐿𝑅 = 4𝑝 → 𝐿𝑅 = 4
Hacemos la representación gráfica del problema, es decir, el
dibujo o esquema de la situación del problema:
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14. Se observa que desde el centro de la circunferencia y el vértice
de la parábola se tiene que r = x+1 (1). Del triángulo por la
relación Pitagórica se tiene:
𝑟2
= 𝑥2
+
𝐿𝑅
2
2
(2)
LR es el lado recto y vale 𝐿𝑅 = 4𝑝 → 𝐿𝑅 = 4 1 → 𝐿𝑅 = 4, por
lo tanto el valor de
𝐿𝑅
2
= 2. Sustituyendo este valor en (2) y su
resultado lo sustituimos en (1) tenemos:
𝑟2
= 𝑥2
+
𝐿𝑅
2
2
𝑟2 = 𝑥2 + 22 → 𝑟2 = 𝑥2 + 4 (3)
𝑟 = 𝑥 + 1 → 𝑟2
= 𝑥 + 1 2
, entonces 𝑟 =
5
2
𝑥2 + 4 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 → 𝑥 =
3
2
Luego tenemos C(0,5/2) y r = 5/2
La fórmula de la circunferencia es: 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
Donde h=0, k=r y r=5/2
Entonces se tiene:
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
𝑥 − 0 2
+ 𝑦 −
5
2
2
= (
5
2
)2
𝑥2
+ 𝑦2
− 5𝑦 +
25
4
=
25
4
𝑥2
+ 𝑦2
− 5𝑦 = 0
Solución: 𝑥2 + 𝑦2 − 5𝑦 = 0
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