Este documento describe el prisma combinatorio y su relación con los coeficientes trinomiales. Explica que el prisma combinatorio representa las permutaciones con repetición para avanzar en tres dimensiones (X+, Y+, Z+), y que la capa triangular Δ0 corresponde al triángulo de Pascal. También muestra que los coeficientes del desarrollo del trinomio (x1 + x2 + x3)m corresponden a los valores combinatorios espaciales en el prisma, relacionando así el prisma con los coeficientes trinomiales.

1. PRISMA COMBINATORIO Y SU
RELACION CON LOS COEFICIENTES
TRINOMIALES
Distribución espacial de números combinatorios y su relación con los
coeficientes trinomiales
Enrique R. Acosta R.
1997 REVISADO 2019

2. PRISMA COMBINATORIO
Definamos las permutaciones con repetición Pᵣ,(i+j+k),i,j,k ,como el número de caminos posibles y diferentes,
que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse
siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto
considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o
camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección
Z⁺.
En estas permutaciones con repetición, dos caminos o grupos posibles, se consideran distintos, si se diferencian
al menos en dos de sus trazos o recorridos de avance unitarios. Lo que si se repite en cada caso, es el Nº de
veces que se recorren en cada grupo o camino, los trazos en cada dirección de avance, es decir: el Nº de trazos
unitarios recorridos en dirección X⁺, el Nº de trazos unitarios recorridos en dirección Y⁺ y, el Nº de trazos
unitarios recorridos en dirección Z⁺, es el mismo para cada uno de los caminos posibles y diferentes, siempre
cada camino constituido por i+j+k=m trazos unitarios.
El resultado de esta distribución de permutaciones con repetición, asociada a la distribución de puntos de
coordenadas enteras y positivas en el espacio 3D, se puede considerar como “encerrada” en un espacio
prismático de bordes limitados por los semiplanos coordenados positivos y por planos transversales,
perpendiculares al plano OX⁺Y⁺, cuyas intersecciones con dicho plano o con cualquier otro paralelo a este,
trazado a la altura k sobre el eje Z⁺, corresponden a líneas, donde i+j=n, es constante, denominadas
usualmente “filas”. La distribución de estos valores así considerada, quedará contenida en capas triangulares
(∆ 𝒌), determinadas por las trazas de estos planos paralelos por k ,con los semiplanos coordenados y por la fila
n considerada.
La distribución asociada al caso k=0,(∆ 𝟎), se corresponderá con la distribución de números combinatorios o
combinaciones simples(
𝒏
𝒊
), conocida como “triángulo de Pascal”. Dichas combinaciones simples ,se podrán
definir ahora en términos de permutaciones con repetición ,Pᵣ,(i+j),i,j, correspondientes al caso k=0 del “Prisma
Combinatorio”, como aquellas que conforman el Nº de caminos posibles y diferentes, que se pueden recorrer
con i+j=n elementos o trazos unitarios, tomados n a n , para desplazarse siempre en sentido de avance (+),
desde el origen de coordenadas elegido, hasta el punto considerado (i,j), de coordenadas enteras y positivas,
situado en el plano OX⁺Y⁺, donde el total (n) de los trazos unitarios en cada camino, siempre se construye al
recorrer i trazos unitarios en dirección X⁺ y, j trazos unitarios en dirección Y⁺. Haciendo las mismas
consideraciones que para el caso espacial, pero con k=0. En este caso, las permutaciones con repetición
dispuestas en las distintas filas de ∆ 𝟎, contituyen los valores combinatorios o coeficientes (
𝑛
𝑖
) del” Binomio de
Newton”, para las diferentes potencias enteras de n.
El valor numérico de las Permutaciones con repetición, asociadas a un punto de coordenadas positivas y enteras
(i, j, k), situado en el plano ∆ 𝒌, del “Prisma combinatorio”, vendrá dado por:
Pᵣ,(i+j+k),i,j,k =(
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
)=
(𝒊+𝒋+𝒌)!
𝒊!𝒋!𝒌!

3. La relación entre la distribución triangular de permutaciones con repetición en ∆ 𝑘 y en ∆0, vendrá dada por:
Pᵣ,(i+j+k),i,j,k= (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
)Pᵣ,(i+j),i,j
Relaciones de proximidad: Se puede obtener el valor de estas permutaciones con repetición correspondientes
al punto de coordenadas enteras y positivas (i, j, k), a partir de los 3 valores inmediatamente precedentes en el
prisma combinatorio, mediante la expresión simbólica:
Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j-1,k) + Pᵣ(i-1,j,k) + Pᵣ(i,j,k-1)*o, en términos combinatorios:
(
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
)= (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋 − 𝟏
𝒊
) + (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋 − 𝟏
𝒊 − 𝟏
) + (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌 − 𝟏
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
)*
*El último término en estas expresiones no procede para k=0
Asimismo, se puede obtener este valor a partir de los valores post y precedentes desde el nivel considerado (K),
hasta el nivel k=0, tomando siempre en cuenta, la permanencia de sus ubicaciones relativas en las filas
correspondientes de cada nivel. Simbólicamente:
Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j,0) + ∑ [𝑷ᵣ(𝒊, 𝒋 − 𝟏, ∝) + 𝑷ᵣ(𝒊 − 𝟏, 𝒋, ∝)]𝒌
∝=𝟏
Diagrama de distribución de Permutaciones con repetición en el “Prisma Combinatorio”-Relación entre ∆ 𝒌 y ∆ 𝟎
Nota: Aquí i, j, y k, solo representan las coordenadas del punto sobre los ejes 𝑋+
, 𝑌+
, y 𝑍+
, respectivamente, y
no vectores unitarios sobre dichos ejes.
∆ 𝑘
∆0

4. Ejemplo:
Sea el punto del prisma combinatorio de coordenadas (2, 3,3), situado en ∆3, entonces, el N° de Permutaciones
con repetición o caminos posibles y diferentes para avanzar desde el origen de coordenadas hasta dicho punto,
vendrá dado por:
Pᵣ,8,2,3,3=(
8
3
) (
5
2
) =
8!
2!3!3!
= 56.10 = 560, es decir existen 560 caminos posibles y diferentes, cada uno
conformado por 8 trazos unitarios, 2 en dirección X⁺,3 en dirección Y⁺, y 3 en dirección Z⁺.
Para el punto (2, 3,0), correspondiente en ∆0, el N° de permutaciones con repetición o de caminos posibles y
diferentes para avanzar desde el origen hasta dicho punto, vendrá dado por:
Pᵣ,5,2,3,0 = (
5
0
) (
5
2
) =
5!
2!3!0!
= 1.10 = 10, es decir que existen 10 caminos posibles y diferentes, cada uno
conformado por 5 trazos unitarios ,2 en dirección X⁺ y, 3 en dirección Y⁺, valor que coincide con el valor del
combinatorio simple (
5
2
) = 10.
Cálculo de Pᵣ(2,3,3) , en función de valores previos
1) En base a las permutaciones correspondientes a los puntos inmediatamente precedentes:
Simbólicamente :Pᵣ(2,3,3) = Pᵣ(2,2,3) + Pᵣ(1,3,3) + Pᵣ(2,3,2) , operacionalmente:
(
8
3
) (
5
2
) = (
7
3
) (
4
2
) + (
7
3
) (
4
1
) + (
7
2
) (
5
2
)
560 = 35 . 6 + 35 . 4 + 21 . 10 = 210 + 140 + 210 √
2) En base a las permutaciones post y precedentes, correspondientes en los niveles 0,1,2 y 3 :
Pᵣ(2,3,3) = Pᵣ(2,3,0) + ∑ [𝑃ᵣ(2,2, ∝) + 𝑃ᵣ(1,3, ∝)]3
∝=1
(
8
3
) (
5
2
) = (
5
0
) (
5
2
) + (
5
1
) (
4
2
) + (
5
1
) (
4
1
) + (
6
2
) (
4
2
) + (
6
2
) (
4
1
) + (
7
3
) (
4
2
) + (
7
3
) (
4
1
)
56 . 10 = 1 . 10 + 5 . 6 + 5 . 4 + 15 . 6 + 15 . 4 + 35 . 6 + 35 . 4
560 = 10 + 30 + 20 + 90 + 60 + 210 + 140 √

5. Ejemplo de aplicación : Consideremos la malla reticular 3D de la figura, de elemento generador unitario ,
correspondiente a un cubo 5x5x5
Se pide: Hallar el número de caminos posibles y diferentes que van desde el vértice A (Considerado como origen
de coordenadas), hasta el vértice B ,situado en el extremo opuesto, únicamente con desplazamientos de avance
según las direcciones y sentidos indicados en la figura, en el vértice A
Solución: Este problema, cumple con las condiciones para aplicar la distribución de permutaciones con
repetición correspondientes al prisma combinatorio. Entonces el número de caminos posibles y diferentes para
avanzar de A hasta B , dependerá sólo de las coordenadas del vértice B .Para este caso:
I = j = k = 5, y por ende: 𝑷
𝒓,(𝒊+𝒋+𝒌),𝒊,𝒋,𝒌=(
𝒊+𝒋+𝒌
𝒌
) (
𝒊+𝒋
𝒊
)=(
𝟏𝟓
𝟓
)(
𝟏𝟎
𝟓
)=(𝟑𝟎𝟎𝟑)(𝟐𝟓𝟐)=𝟕𝟓𝟔𝟕𝟓𝟔
Caminos, será la solución buscada.

6. Desarrollo general del Trinomio( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
El triángulo de Pascal, se corresponde con los coeficientes del desarrollo del Binomio ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
,o números
combinatorios “planos” (k=0), del Binomio de Newton, en donde n=i+j, indica la potencia a considerar para el
binomio, así como, la fila a considerar para el triángulo, en cada caso. Dicho binomio se desarrolla mediante la
conocida expresión: ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
=∑ (
𝑛
𝑖
) 𝑥1
𝑖𝑛
𝑖=0 𝑥2
𝑛−𝑖
, donde el coeficiente (
𝑛
𝑖
), dará lugar a los distintos
valores combinatorios ubicados en la fila n de dicho triángulo (𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛).
En el caso del Prisma combinatorio (k≥0, y m=i+j+k), la correspondencia existente, se establece entre los
coeficientes del desarrollo del trinomio ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
y los valores combinatorios “espaciales”, ubicados
en las capas contiguas, desde el nivel k=0, hasta el nivel k= m, considerando consecutivamente, los valores
ubicados en la fila m en el nivel k=0, hasta los valores ubicados en la fila 0, en el nivel k=m.
El desarrollo de este trinomio, se puede obtener mediante la expresión en sumas parciales siguiente:
( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
= ∑ (
𝑚
0
) (
𝑚
𝑖
) 𝑥1
𝑖
𝑥2
𝑚−𝑖
𝑚
𝑖=0
+ ∑ (
𝑚
1
) (
𝑚 − 1
𝑖
) 𝑥1
𝑖
𝑚−1
𝑖=0
𝑥2
𝑚−1−𝑖
𝑥3 + ⋯
+ ∑ (
𝑚
𝑚 − 1
) (
1
𝑖
) 𝑥1
𝑖
𝑥2
1−𝑖
𝑥3
𝑚−1
+ 𝑥3
𝑚
1
𝑖=0
Dicha expresión puede representarse de manera más simple como:
( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
= ∑ (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
) 𝒙 𝟏
𝒊
𝒊+𝒋+𝒌=𝒎 x2
j
x3
k
,(Obviando el ordenamiento explícito
contenido en los arreglos de la expresión anterior). Que es evidentemente un caso particular de la expresión
general para un polinomio (multinómio) elevado a la potencia m **.
(𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑟) 𝑚
= ∑ (
𝑚!
𝑛1 ! 𝑛2 !… 𝑛 𝑟 !
)
𝑛1+𝑛2+⋯+𝑛 𝑟 =𝑚
𝑥1
𝑛1 𝑥2
𝑛2 … . 𝑥 𝑟
𝑛 𝑟
**Recuérdese que (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
) =
(𝒊+𝒋+𝒌)!
𝒊!𝒋!𝒌!
Así como el caso plano (k=0) conduce al desarrollo del Binomio, el caso espacial (k≥0), conduce al desarrollo del
trinomio.

7. Ejemplo: Hallar el desarrollo de ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝟓
1 °) Construyamos los triángulos de valores combinatorios (
𝑖 + 𝑗 + 𝑘
𝑘
) (
𝑖 + 𝑗
𝑖
)correspondientes a las
sucesivas capas o niveles del prisma combinatorio desde k=0, hasta k=5 y, consideremos en cada caso las 6
primeras filas. Resultarán: *
Nivel k=0 Fila
1 0
1 1 1
1 2 1 2
1 3 3 1 3
1 4 6 4 1 4
1 5 10 10 5 1 5
(Corresponde al triángulo de Pascal)
Nivel k=1 Fila
1 0
2 2 1
3 6 3 2
4 12 12 4 3
5 20 30 20 5 4
6 30 60 60 30 6 5
Nivel k=2 Fila
1 0
3 3 1
6 12 6 2
10 30 30 10 3
15 60 90 60 15 4
21 105 210 210 105 21 5
Fila
0
1
2
3
4
5
Nivel k=3
1
4 4
10 20 10
20 60 60 20
35 140 210 140 35
56 280 560 560 280 56

8. Fila
0
1
2
3
4
5
Fila
0
1
2
3
4
5
Los coeficientes combinatorios, involucrados en cada uno de los casos del desarrollo del
trinomio( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
, para m=1, 2, 3,4 ,5. Serán:
m ∑
1 1 1 1 3=3
2 1 2 1 2 2 1 9=32
3 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 27=33
4 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1 81=34
5 1 5 10 10 5 1 5 20 30 20 5 10 30 30 10 10 20 10 5 5 1 243=35
Nivel k=4
1
5 5
15 30 15
35 105 105 35
70 280 420 280 70
126 630 1260 1260 630 126
280 56 56
Nivel k=5
1
6 6
21 42 21
56 168 168 56
126 504 756 504 126
252 1260 2520 2520 1260 252

9. 2 °) Entonces, el desarrollo de ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝟓
, vendrá dado por la suma delos términos siguientes:
N (0 ); F ( 5 ) N ( 1 ); F (4 ) N (2 ); F ( 3 ) N (3 ); F ( 2 ) N (4 ); F ( 1 ) N ( 5 ); F ( 0 )
𝑥1
5
5𝑥1
4
𝑥3 10𝑥1
3
𝑥3
2
10𝑥1
2
𝑥3
3
5𝑥1 𝑥3
4
𝑥3
5
5𝑥1
4
𝑥2 20𝑥1
3
𝑥2 𝑥3 30𝑥1
2
𝑥2 𝑥3
2
20𝑥1 𝑥2 𝑥3
3
5𝑥2 𝑥3
4
10𝑥1
3
𝑥2
2 30𝑥1
2
𝑥2
2
𝑥3 30𝑥1 𝑥2
2
𝑥3
2
10𝑥2
2
𝑥3
3
10𝑥1
2
𝑥2
3 20𝑥1 𝑥2
3
𝑥3 10𝑥2
3
𝑥3
2
5𝑥1 𝑥2
4
5𝑥2
4
𝑥3
𝑥2
5
N: indica nivel F: indica fila
*Los valores involucrados en el caso m=5, se han resaltado en amarillo en los triángulos obtenidos
anteriormente, y, cada grupo de ellos según el correspondiente valor de m, están contenidos a su vez en
triángulos equiláteros paralelos dentro del prisma combinatorio, sesgados cada uno un ángulo de 54,74° con
respecto a ∆0, correspondiente a ( arctg√2) y, definidos por la fila m en ∆ 𝑜, por la fila 0 en ∆ 𝑘=𝑚 , y, por sus
trazas sobre los semiplanos coordenados positivos. En la figura a continuación se representa dicho triángulo,
para el caso m=5.Puede notarse que los valores combinatorios se distribuyen formando un patrón regular
simétrico de anillos concéntricos, propiedad útil para su determinación de manera más inmediata, como
veremos más adelante.
Adicionalmente, podemos observar que por analogía con el caso del Binomio, donde ∑ (
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=0 = 2 𝑛
, para
los coeficientes del Trinomio se cumple:∑ (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
) = 𝟑 𝒎
𝒊+𝒋+𝒌=𝒎 .Como se refleja en la
última columna de la primera de las tablas anteriores. Pero mientras que en el caso del Binomio, el resultado
2 𝑛
, se obtiene sumando los coeficientes combinatorios de la fila n en ∆ 𝟎, para el caso del trinomio, debemos
sumar todos los coeficientes combinatorios contenidos en el l triángulo equilátero correspondiente a la potencia
m. Y si asignamos alternativamente los signos + y -, a los valores ubicados en las filas de dicho triángulo,
comenzando con +1 en un vértice, la suma total de los coeficientes siempre será igual a la unidad para cualquier
valor de m, ya que cada línea suma cero, al igual que sucede para las líneas o filas de ∆0
Fila Nivel
1 0 5
5 5 1 4
10 20 10 2 3
10 30 30 10 3 2
5 20 30 20 5 4 1
1 5 10 10 5 1 5 0

10. Determinación geométrica directa de los coeficientes combinatorios del trinomio( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
.
Como hemos señalado en una nota anterior, el conjunto de coeficientes combinatorios del trinomio
( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
, para cada valor de m, se ubican en triángulos equiláteros paralelos entre sí, al interior
del prisma combinatorio, inclinados c/u un ángulo (arc.tg√2), con respecto al plano horizontal (∆0) y, definidos
por las líneas correspondientes a la fila (m) en ∆0, por el punto correspondiente a la fila(0), en ∆ 𝑘=𝑚 y, por sus
trazas sobre los semiplanos coordenados positivos.
Ya hemos obtenido en el apartado anterior, estos valores en forma indirecta, al desarrollar los coeficientes
correspondientes a las filas involucradas en cada ∆ 𝑘, desde k=m, hasta k=0, para cada valor de m y, agruparlas
convenientemente
El conjunto de estos planos triangulares paralelos equidistantes entre sí, pueden considerarse como las distintas
secciones o niveles de base de una pirámide regular o tetraedro * cuyas tres caras son los triángulos
isósceles-rectángulos con un vértice común en el origen, determinados por la intersección de dichos planos
triangulares equiláteros sobre los ejes coordenados.
La distribución de números combinatorios en las caras de esta pirámide es la misma para c/u, y se corresponde
con la distribución del triángulo de Pascal para n=m, para cada valor de m, mientras que la distribución en la
base corresponde a la distribución de coeficientes trinomiales para ese mismo valor de m.
Para su determinación directa, como se evidencia en las figuras a), b), c) y, d), parecería imprescindible la
representación gráfica espacial y, la aplicación iterativa de la relación de proximidad dada por Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j-
1,k) + Pᵣ(i-1,j,k) + Pᵣ(i,j,k-1).
*La denominada Pirámide o tetraedro de Pascal, según revisión bibliográfica posterior.

11. Ptos. oscuros: valores del caso considerado
Ptos. claros: valores de proximidad
Por otra parte, si consideramos las relaciones de paralelismo, de simetría y, de distribución concéntrica, que se
conservan proyectivamente, podemos aplicar la relación de proximidad directamente a cada distribución
triangular de coeficientes trinomiales, ya conocida para un determinado valor de m, para obtener así
gráficamente en el plano , de manera expedita y sencilla, la distribución correspondiente al valor m+1.En los
gráficos a continuación se representa la manera de operar, que a los fines de la obtención de los coeficientes,
puede hacerse también, a mano alzada y sin escala.

12. DIAGRAMAS DE COLMENA
Como consecuencia de las propiedades simétricas de esta distribución, en cada uno de los casos, los
coeficientes trinomiales resultantes para un determinado valor de m, se pueden obtener ordenadamente, a
partir de cualquier base del triángulo equilátero correspondiente, continuando en las líneas equidistantes y
paralelas a dicha base hasta el vértice opuesto, o viceversa, leyéndolos en cualquier sentido sobre dichas líneas.
CASO DE PARTIDA OPERACIONES (+) → ○← CASO DE LLEGADA

13. Determinación analítica de los coeficientes del Trinomio, en función de su interrelación con los valores
combinatorios del triángulo de Pascal.
1). Por la relación entre la distribución triangular de permutaciones con repetición en ∆ 𝑘 𝑦 𝑒𝑛 ∆0 , cualquier
término contenido en ∆ 𝑘 , puede ser obtenido a partir del correspondiente en ∆0, situado en igual posición y fila,
mediante la expresión :Pᵣ,(i+j+k),i,j,k= (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
)Pᵣ,(i+j),i,j, que evidentemente podemos reescribir como:
𝑷 𝒓,𝒎,𝒊,𝒋,𝒌= (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑷 𝒓,𝒏,𝒊,𝒋.Si para resaltar esta correspondencia biunívoca entre elementos, filas y posición
relativa, denominamos a 𝑷 𝒓,𝒎,𝒊,𝒋,𝒌 como𝒇𝒊,𝒏
𝒌
y, a 𝑷 𝒓,𝒏,𝒊,𝒋 como 𝒇𝒊,𝒏
𝟎
, podremos escribir:
𝒇𝒊,𝒏
𝒌
=(
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝒇𝒊,𝒏
𝟎
con iє{𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏 − 𝟏, 𝒏}
Donde i, indica la posición del elemento en la fila n (tanto en ∆ 𝒌 como en ∆ 𝟎 )
n=i+j , indica el N° dela fila, a partir del vértice del triángulo o fila cero
k, indica el nivel de la capa triangular del prisma ( k≥0 )
0, indica el nivel correspondiente a ∆ 𝟎
Así por ejemplo: El tercer valor combinatorio de la fila 5 en ∆4, puede obtenerse a partir del tercer
valor combinatorio de la fila 5 en ∆0 , mediante:
𝑓2,5
4
= (
9
4
) 𝑓2,5
0
= (
9
4
) (
5
2
) = 126 ∗ 10 = 1260
Nótese que i=2 corresponde al tercer elemento de la fila, en este caso de la fila 5 en ambos planos
2). Si denominamos por 𝑭 𝒏
𝟎
, al conjunto de los elementos de la fila n, en ∆ 𝟎, es decir:
𝑭 𝒏
𝟎
= {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒏
𝟎
) , (
𝒏
𝟏
) , (
𝒏
𝟐
) , … , (
𝒏
𝒏 − 𝟏
) , (
𝒏
𝒏
)}
Y por 𝑭 𝒏
𝒌
, el conjunto de los elementos de la fila n en ∆ 𝒌 , (k≥0), se cumple:
𝑭 𝒏
𝒌
= (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑭 𝒏
𝟎
,
Relación entre las filas de ∆ 𝟎, y de ∆ 𝒌
3). Estos resultados pueden aplicarse a la obtención de la distribución triangular ∆ 𝑻, de coeficientes
trinomiales , correspondientes a ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
, los cuales a su vez, constituyen la base
triangular sesgada del tetraedro que corresponde a la distribución de coeficientes tetranomiales de
( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟒) 𝒎
. Ver bibliografía.

14. Así, por ejemplo si queremos obtener los coeficientes trinomiales (∆ 𝑻) correspondientes a un trinomio elevado a
la quinta potencia (m=5), bastará partir del triángulo de Pascal, correspondiente a las primeras seis filas.
𝐹0
5
= (
5
5
) 𝐹0
0
=1.{1} ={1}
𝐹1
4
= (
5
4
) 𝐹1
0
=5.{1,1} = {5,5}
𝐹2
3
= (
5
3
) 𝐹2
0
= 10. {1,2,1}={10,20,10}
𝐹3
2
= (
5
2
) 𝐹3
0
= 10. {1,3,3,1} = {10,30,30,10}
𝐹4
1
= (
5
1
) 𝐹4
0
= 5. {1,4,6,4,1} = {5,20,30,20,5}
𝐹5
0
= (
5
0
) 𝐹5
0
= 1. {1,5,10,10,5,1}={1,5,10,10,5,1}
Como podemos observar, la operación se reduce a multiplicar cada una de las filas del triángulo de Pascal, por
el factor correspondiente ubicado en la última fila del propio triángulo (señalado en amarillo en este ejemplo).
Podemos graficarlo de manera más simple, para el caso que nos ocupa (m=5), de la siguiente manera:
Extensión a la determinación de los coeficientes trinomiales de un ∆ 𝒌, hasta la fila n, a partir de
los coeficientes binomiales de un ∆ 𝟎, de igual número de filas:
Estas propiedades, se pueden extender a la determinación de los coeficientes trinomiales de un ∆ 𝒌 de un P.C.,
a partir de los valores combinatorios simples, contenidos en el triángulo de Pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Triángulo de Pascal(∆ 𝟎) Factores
1 1
1 1 5
1 2 1 10
1 3 3 1 10
1 4 6 4 1 5
1 5 10 10 5 1 1
Triángulo de Coeficientes
trinomiales (∆ 𝑻)
1
5 5
10 20 10
10 30 30 10
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1

15. Para ello, podemos establecer, a través de una nomenclatura similar, una expresión matemática sencilla que nos
permita obtener los valores combinatorios para un determinado ∆ 𝒌, a partir de los valores primarios
correspondientes, contenidos en ∆ 𝟎, siempre limitando ambos planos combinatorios por filas de un mismo
orden n .Resultaría :
∆ 𝟎
𝒏
. 𝑺 𝒎
𝒏+𝟏
=∆ 𝒌
𝒏
Donde∆ 𝒌
𝒏
, indica que el triángulo de valores combinatorios en ∆ 𝑘, que se obtiene, se desarrolla hasta la fila n
como fila límite.
∆ 𝟎
𝒏
, indica que el triángulo de valores combinatorios primarios en ∆ 𝟎, de partida, se desarrolla hasta la fila n
como fila límite.
y, 𝑺 𝒎
𝒏+𝟏
, se corresponde con los primeros n+1 términos de la sucesión combinatoria paralela específica 𝑆 𝑚,
donde 𝒎 = 𝒌 + 𝟏
Siendo: 𝑺 𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)}, con i=m-1, m, m+1,…,(m+n-2)
Es decir: 𝑺 𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} = {(
𝒎 − 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎 + 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , … , (
𝒎 + 𝒏 − 𝟐
𝒎 − 𝟏
)}
Haciendo hincapié en que el producto se efectúa ,afectando todos los términos de cada fila de ∆ 𝟎
𝒏
, por el factor
correspondiente (en la misma posición relativa) de la sucesión 𝑺 𝒎
𝒏+𝟏
Así por ejemplo, para obtener ∆ 𝟑
𝟒
, será:∆ 𝟎
𝟒
. 𝑺 𝟒
𝟓
=∆ 𝟑
𝟒
∆ 𝟎
𝟒
𝑺 𝟒
𝟓
∆ 𝟑
𝟒
Y, Para obtener ∆6
4
, será: ∆ 𝟎
𝟒
. 𝑺 𝟕
𝟓
=∆ 𝟔
𝟒
1 1 1
1 1 4 4 4
1 2 1 10 10 20 10
1 3 3 1 20 20 60 60 20
1 4 6 4 1 35 35 140 210 140 35

16. ∆ 𝟎
𝟒
𝑺 𝟕
𝟓
∆ 𝟔
𝟒
1 1 1
1 1 7 7 7
1 2 1 28 28 56 28
1 3 3 1 84 84 252 252 84
1 4 6 4 1 210 210 840 1260 840 210
Con este sencillo y práctico procedimiento es posible obtener de manera inmediata y directa,
cualquiera distribución de valores combinatorios en ∆ 𝒌 , a partir de la correspondiente en ∆ 𝟎.
n 𝑆1
4
0 𝑆2
4
1
1 𝑆3
4
1 1
2 𝑆4
4
1 2 1
3 𝑆5
4
1 3 3 1
4 𝑆6
4
1 4 6 4 1
5 𝑆7
4
. 1 5 10 10 5 1
6 . 1 6 15 20 15 6 1
7 . 1 7 21 35 35 21 7 1
8 . 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Gráfico de ∆ 𝟎, desde la fila n=0, hasta la fila n=10, indicando los primeros 4 elementos de las
siguientes sucesiones diagonales paralelas constitutivas del mismo: 𝑺 𝟏
𝟒
, 𝑺 𝟐
𝟒
, … , 𝑺 𝟕
𝟒
Los elementos de una fila genérica n de ∆ 𝟎, están dados por la siguiente expresión:
𝑭 𝒏
𝟎
= {(
𝒏
𝒊
)} = {(
𝒏
𝟎
) , (
𝒏
𝟏
) , (
𝒏
𝟐
) , … , (
𝒏
𝒏 − 𝟏
) , (
𝒏
𝒏
)}

17. Mientras que los elementos de la fila n correspondiente, pero en el triángulo de coeficientes
trinomiales (∆ 𝑻),estarán dados por: 𝑭 𝒏
𝒌
= (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑭 𝒏
𝟎
Así para el caso m=n=5, tendremos:
𝐹0
5
= (
5
5
) 𝐹0
0
=1.{1} ={1}
𝐹1
4
= (
5
4
) 𝐹1
0
=5.{1,1} = {5,5}
𝐹2
3
= (
5
3
) 𝐹2
0
= 10. {1,2,1}={10,20,10}
𝐹3
2
= (
5
2
) 𝐹3
0
= 10. {1,3,3,1} = {10,30,30,10}
𝐹4
1
= (
5
1
) 𝐹4
0
= 5. {1,4,6,4,1} = {5,20,30,20,5}
𝐹5
0
= (
5
0
) 𝐹5
0
= 1. {1,5,10,10,5,1}={1,5,10,10,5,1}
En ∆ 𝟎, cada valor de n como número de fila, coincide con el valor de la potencia a la que se eleva el
binomio (𝑥1 + 𝑥2).Así mismo, los elementos de la fila n se corresponden con los coeficientes
combinatorios del desarrollo de dicho binomio elevado a la potencia n
En ∆ 𝑇, el valor de n de la última fila del ∆ 𝟎, específico y asociado, coincidirá con el valor de m
(m=n)*, de la potencia a considerar para el desarrollo del trinomio (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
, donde todos
los elementos de las filas (de cero a n) del triángulo, situados en los distintos niveles de k (de n a
cero), constituyen los coeficientes de su desarrollo.
*Este valor de m, igual al máximo valor de n en el ∆ 𝟎 considerado, es también el valor máximo de k
involucrado en las deducciones.
Si utilizamos la siguiente nomenclatura para identificar a los elementos de una fila n en ∆ 𝟎:
𝑭 𝒏
𝟎
= {𝑭𝒊𝒏
𝟎
} = {𝑭 𝟎𝒏
𝟎
, 𝑭 𝟏𝒏
𝟎
, … , 𝑭 𝒏𝒏
𝟎
} Con i=0,1,2,…,n y 𝑭𝒊𝒏
𝟎
= (
𝒏
𝒊
)
Donde el supra índice, nos indica que k=0 es constante (todos los elementos están en el nivel base del
Prisma Combinatorio)
El subíndice compuesto in, nos indica que i varía de cero a n, según la posición del elemento dentro de
la fila considerada, dada esta, a su vez, por el valor de n. (n=0,1,2,…,n)
Cada fila constará de n+1 términos.
Podremos utilizar una nomenclatura análoga para designar a los elementos de una fila n de ∆ 𝑇
𝑭 𝒏
𝒌
= {𝑭𝒊𝒏
𝒌
} = {𝑭 𝟎𝒏
𝒌
, 𝑭 𝟏𝒏
𝒌
, 𝑭 𝟐𝒏
𝒌
, … , 𝑭 𝒏𝒏
𝒌
}
En este caso, n hace referencia a la fila como orden de menor a mayor, según su posición a partir del
vértice superior del triángulo (fila cero), y sólo el valor máximo de n (última fila considerada), hace

18. referencia simultánea al orden (posición de la fila) y a la potencia del trinomio (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
,
con m=máximo valor de n. Dicho valor de n=m, coincide con el máximo valor de k involucrado.
Hemos observado las siguientes relaciones entre los elementos de dos filas consecutivas de ∆ 𝑻, caso
(𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝟓
, evidentemente extensible a todo n entero positivo
𝐹0
5
= {1}
𝐹1
4
= {5,5}. Obtención de 𝑭 𝟏
𝟒
, a partir de 𝑭 𝟎
𝟓
:
5= 1 x 5/1
5=5
𝐹2
3
= {10,20,10} . Obtención de 𝑭 𝟐
𝟑
, a partir de 𝑭 𝟏
𝟒
:
10=5 x 4/2
20=5 x 4/1
10=10
𝐹3
2
= {10,30,30,10} . Obtención de 𝑭 𝟑
𝟐
, a partir de 𝑭 𝟐
𝟑
:
10=10 x 3/3
30=20 x 3/2
30=10 x 3/1
10=10
𝐹4
1
= {5,20,30,20,5} . Obtención de 𝑭 𝟒
𝟏
, a partir de 𝑭 𝟑
𝟐
:
Triángulo de Coeficientes Fila Nivel
1 0 5
5 5 1 4
10 20 10 2 3
10 30 30 10 3 2
5 20 30 20 5 4 1
1 5 10 10 5 1 5 0

19. 5=10 x 2/4
20=30 x 2/3
30=30 x 2/2
20=10 x 2/1
5=5
𝐹5
0
= {1,5,10,10,5,1} . Obtención de 𝑭 𝟓
𝟎
, a partir de 𝑭 𝟒
𝟏
:
1=5 x 1/5
5=20 x 1/4
10=30 x 1/3
10=20 x 1/2
5=5 x 1/1
1=1
Utilizando la nomenclatura acordada, podemos generalizar estas relaciones, mediante las siguientes
dos expresiones:
𝑭𝒊𝒏
𝒌
= 𝑭𝒊,𝒏−𝟏
𝒌+𝟏
∗
(𝒌+𝟏)
(𝒏−𝒊)
, con i = 0,1,2,…,n ,y : 𝑭 𝒏𝒏
𝒌
= 𝑭 𝟎𝒏
𝒌
En base a las relaciones encontradas, resumidas en estas expresiones, podemos entonces CONSTRUIR
CUALQUIER TRIÁNGULO DE COEFICIENTES TRINOMIALES, prescindiendo de su generación
a partir del triángulo de Pascal correspondiente.
Para cualquier caso, siempre partiremos de la unidad como único valor o elemento de la fila cero.
La fila 1 siempre contendrá solo dos elementos cuyo valor común es m.
Así mismo, el último elemento de una fila cualquiera siempre será igual al primer elemento de esa
misma fila. Ello se deduce de las propiedades de simetría en la distribución de valores que existe en el
triángulo de coeficientes, para cualquier valor de m.
Por otra parte, podríamos obtener una expresión secuencial, que nos de 𝐹𝑖𝑛
𝑘
, en función de cualquier
otro coeficiente que ocupe el mismo lugar relativo en una fila anterior. En último caso quedaría en
función de: 𝐹𝑖,𝑛=𝑖
𝑘=𝑛−𝑖
Así por ejemplo: 𝐹1,5
0
= 𝐹1,1
4
∗
1
4
∗
2
3
∗
3
2
∗
4
1
o, 𝐹1,5
0
= 𝐹1,1
4
= 5

20. A continuación, presentamos un 2⁰ método alternativo para obtener los elementos del triángulo
de coeficientes trinomiales (∆ 𝑻) del desarrollo de (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑) 𝒎
Para la obtención de la fórmula correspondiente a una fila genérica n, utilizaremos los mismos
procedimientos del método anterior, pero expresando cada uno de los términos en función de m y n.
Para nuestros fines, nos limitaremos al mismo caso de ejemplo, con (m=5), evidentemente extensible
a cualquier otro valor entero positivo de m.
Fila (n) Nivel (m-n) “Matriz”de los denominadores y su expresión
factorial
Fila 0,Nivel m
1 [1] → 0! 0!
Fila 1, Nivel m-1
m
m
[
1
1
]
→
→
1! 0!
0! 1!
Fila 2,Nivel m-2
m (m-1)/2
m (m-1)/1
m (m-1)/2
[
1 2
1 1
1 2
]
→
→
→
2! 0!
1! 1!
0! 2!
Fila 3,Nivel m-3
m (m-1)/2 (m-2)/3
m (m-1)/1 (m-2)/2
m (m-1)/2 (m-2)/1
m (m-1)/2 (m-2)/3
[
1 2 3
1 1 2
1 2 1
1 2 3
]
→
→
→
→
3! 0!
2! 1!
1! 2!
0! 3!
Fila 4, Nivel m-4
m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4
m (m-1)/1 (m-2)/2 (m-3)/3
m (m-1)/2 (m-2)/1 (m-3)/2
m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/1
m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4
[
1 2
1 1
3 4
2 3
1 2
1 2
1 2
1 2
3 1
3 4 ]
→
→
→
→
→
4! 0!
3! 1!
2! 2!
1! 3!
0! 4!
Fila 5, Nivel m-5
m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/5
m (m-1)/1 (m-2)/2 (m-3)/3 (m-4)/4
m (m-1)/2 (m-2)/1 (m-3)/2 (m-4)/3
m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/1 (m-4)/2
m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/1
m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/5
[
1 2 3 4 5
1 1 2 3 4
1 2 1 2 3
1 2 3 1 2
1 2 3 4 1
1 2 3 4 5]
→
→
→
→
→
→
5! 0!
4! 1!
3! 2!
2! 3!
1! 4!
0! 5!

21. El producto de los numeradores, A=m (m-1)(m-2)…[m-(n-1)], puede expresarse como : A=(
𝑚
𝑛
) ∗ 𝑛!
Entonces, la expresión general para la fila n, (n = 0,1,2,…,m ) ,vendrá dada por:
𝑭 𝒏
𝒎−𝒏
= (
𝒎
𝒏
) 𝒏! {𝟏/(𝒏 − 𝒊)! 𝒊!} ,Con i=(0,1,2,…,n). Expresión que puede simplificarse a :
𝑭 𝒏
𝒎−𝒏
= (
𝒎
𝒏
) {(
𝒏
𝒊
)}, Con i=(0,1,2,…,n), que para 𝒏 = 𝒎, nos da los valores binomiales
Regresando a nuestro ejemplo característico (m=5), y aplicando este resultado, tendremos:
𝐹0
5
= (
5
0
) 0! {
1
0! 0!
} = 1
𝐹1
4
= (
5
1
) 1! {
1
1!0!
,
1
0!1!
} =5*1 {1,1} = 5,5
𝐹2
3
= (
5
2
) 2! {
1
2!0!
,
1
1!1!
,
1
0!2!
}=10*2 {
1
2
,
1
1
,
1
2
}=10,20,10
𝐹3
2
= (
5
3
) 3! {
1
3!0!
,
1
2!1!
,
1
1!2!
,
1
0!3!
} = 10 ∗ 6 {
1
6
,
1
2
,
1
2
,
1
6
} = 10,30,30,10
𝐹4
1
= (
5
4
) 4! {
1
4!0!
,
1
3!1!
,
1
2!2!
,
1
1!3!
,
1
0!4!
} =5*24 {
1
24
,
1
6
,
1
4
,
1
6
,
1
24
} = 5,20,30,20,5
𝐹5
0
= (
5
5
) 5! {
1
5!0!
,
1
4!1!
,
1
3!2!
,
1
2!3!
,
1
1!4!
,
1
0!5!
} = 1*120 {
1
120
,
1
24
,
1
12
,
1
12
,
1
24
,
1
120
} = 1,5,10,10,5,1
Método para la obtención de los coeficientes trinomiales, a partir de su ubicación en el “Prisma
Combinatorio”
Como hemos establecido en el estudio sobre el “Prisma combinatorio”, cada una de las permutaciones
con repetición allí definidas, o “combinatorio espaciales” ubicadas en él, tiene una correspondencia
biunívoca con su posición dentro del prisma, expresada en términos de coordenadas enteras y
positivas, recorridas desde un origen que coincide siempre con el único elemento de la fila cero de un
triángulo de Pascal ∆0
𝑛
, de n+1 filas paralelas, situado en el plano O𝑋+
𝑌+
, del nivel k=0. Así para el
punto de coordenadas (i, j, k), del prisma combinatorio, le corresponderá el combinatorio dado
por: (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) (
𝒏
𝒊
) =
(𝒊+𝒋+𝒌)!
𝒊!𝒋!𝒌!
Al conjunto de n+1 filas de permutaciones con repetición de dicho prisma, situadas en un plano
paralelo trazado por k≥0, lo hemos denominado ∆ 𝑘
𝑛
. El conjunto de coeficientes contenidos en el
prisma combinatorio, que corresponden al desarrollo del trinomio (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) 𝑚
, para m ≤ n, se
ubican en triángulos equiláteros, paralelos y equidistantes entre sí ( ∆ 𝑇), trazados por cada valor de
k ( de 0 a n ), inclinados un ángulo (arctg √2 ), con respecto a c/u de los tres planos coordenados del
primer cuadrante, y constituyen las distintas secciones o niveles base de una pirámide o tetraedro
regular, cuyas tres caras sobre dichos planos coordenados, son triángulos isósceles-rectángulos
,idénticas todas a ∆0
𝑛
, con un vértice común en el origen, caras que quedan determinadas por la

22. intersección o trazas de estos planos triangulares-equiláteros ∆ 𝑇 con los semiejes coordenados
positivos.
Siendo entonces todos y c/u de los coeficientes trinomiales de las n+1 filas de ∆ 𝑇, elementos de los
distintos ∆ 𝑘
𝑛
correspondientes a cada nivel involucrado (k=0,1,…,n) ,tendrán también su expresión
numérica, en función de su ubicación dentro del prisma combinatorio.
Si como hemos acordado previamente, denominamos a la fila genérica n de ∆ 𝑇, como 𝑭 𝒏
𝒌
= {𝑭𝒊,𝒏
𝒌
}
(i=0,1…,n , como contador y no como coordenada x ).La expresión para un elemento 𝐹𝑖,𝑛
𝑘
, será :
𝑭𝒊,𝒏
𝒌
= (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) (
𝒏
𝒊
)
Como ejemplo de comprobación hemos colocado el triángulo de coeficientes ∆ 𝑇 correspondiente a
m=5, tanto en términos de coordenadas, como de resultados al aplicar la expresión anterior.
n k Coordenadas en el prisma Coeficientes trinomiales
0 5 (0,0,5) 1
1 4 (1,0,4) (0,1,4) 5 5
2 3 (2,0,3) (1,1,3) (0,2,3) 10 20 10
3 2 (3,0,2) (2,1,2) (1,2,2) (0,3,2) 10 30 30 10
4 1 (4,0,1) (3,1,1) (2,2,1) (1,3,1) (0,4,1) 5 20 30 20 5
5 0 (5,0,0) (4,1,0) (3,2,0) (2,3,0) (1,4,0) (0,5,0) 1 5 10 10 5 1
Enrique R. Acosta R. 2016
Bibliografía de mis trabajos anteriores y posteriores:
Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997-revisado 2016
Prisma Combinatorio y su relación con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado 2016
Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Distribución espacial de coeficientes Pentanomiales 2017
Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y
otros tópicos complementarios 2017
Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes Polinómicos y su cadena de valor 2017

23. Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones Matemáticas 2017
Particiones con repetición. Composición de enteros 2017
Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018
Productos internos y externos del Triángulo de Pascal 2018
Prisma Combinatorio o expansión espacial del Triángulo de Pascal 2018
El Triángulo de Pascal, o Triángulo Aritmético, y sus propiedades o características clásicas
(Actualizando las Fuentes) 2018
El Triángulo de Pascal o Triángulo Aritmético, sus 19 propiedades clásicas y sus análogas en el
Prisma Combinatorio 2018
Fibonacci y el número áureo en el Prisma Combinatorio 2019
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