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Ejercicios+resueltos+del+algebra+de+baldor

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Baldo r Algebra ejercicios resueltos

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Ejercicios+resueltos+del+algebra+de+baldor

  1. 1. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  2. 2. Ejercicios Resueltos Baldor - Algebra Básica Relación por temas de los ejercicios resueltos de álgebra elemental Ejercicios sobre cantidades positivas y negativas: 1, 2 y 3 Nomenclatura algebraica: 4 Clasificación de las expresiones algebraicas: 5 Clases de polinomios: 6 Reducción de términos semejantes: 7, 8, 9 y 10 Valor numérico: 11, 12 y 13 Ejercicios sobre notación algebraica: 14 Suma de monomios: 15 Suma de polinomios: 16, 17 y 18 Suma de polinomios y valor numérico: 19 Resta de monomios: 20 Resta de polinomios: 21, 22, 23, 24, 25 y 26 Suma y resta combinadas: 27, 28, 29 y 30 Signos de agrupación: 31, 32, 33 y 34 Multiplicación de monomios: 35, 36, 37, 38 Multiplicación de polinomios por monomios: 39 y 40 Multiplicación de polinomios por polinomios: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 y 48 División de monomios: 49, 50 y 51 División de polinomios por monomios: 52 y 53 División de dos polinomios: 54, 55, 56, 57, 58 y 59 Valor numérico de expresiones algebraicas: 60 Miscelánea sobre suma, resta, multiplicación y división: 61 Productos notables: 62, 63, 64, 65, 66 y 67 Miscelánea sobre productos notables: 68 Cocientes notables: 69, 70, 71 y 72 Miscelánea sobre cocientes notables: 73 Teorema del residuo: 74 División sintética: 75 Corolarios del teorema del residuo: 76 y 77 Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita: 78, 79 y 80 Miscelánea sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita: 81 Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita: 82, 83, 84, 85, 86, 87 Miscelánea sobre problemas de ecuaciones enteras de primer grado ...: 88 Descomposición factorial: 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109 y 110 Miscelánea sobre los 10 casos de descomposición en factores: 106 Máximo común divisor de monomios: 111 Máximo común divisor de polinomios: 112, 113 y 114 Mínimo común múltiplo de monomios: 115 Mínimo común múltiplo de monomios y polinomios: 116 Mínimo común múltiplo de polinomios: 117 Simplificación y reducción de fracciones: 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124 y 125 Suma de fracciones: 126 y 127 Resta de fracciones: 128 y 129 Suma y resta combinada de fracciones: 130 y 131 Multiplicación de fracciones: 132 y 133 División de fracciones: 134 y 135 Multiplicación y división combinadas de fracciones: 136 Simplificación de fracciones complejas: 137 y 138 Formas indeterminadas: 139 Miscelánea sobre fracciones: 140 Ecuaciones numéricas fraccionarias de primer grado con una incógnita: 141 y 142 Ecuaciones literales de primer grado con una incógnita: 143 y 144 Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado: 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156 y 157 Miscelánea sobre problemas de ecuaciones de primer grado: 158 Problema de los móviles: 159 Fórmulas: 160, 161, 162 y 163 Desigualdades e inecuaciones: 164 y 165 Funciones: 166 y 167 Representación gráfica de las funciones: 168, 169 y 170 Aplicaciones prácticas de las gráficas: 171 y 172 Ecuaciones indeterminadas: 173 Problemas sobre ecuaciones indeterminadas: 174
  3. 3. Representación gráfica de una ecuación lineal: 175 Sistemas de dos ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas: 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184 y 185 Sistemas de tres ecuaciones simultáneas de primer grado con tres incógnitas: 186, 187, 188 y 191 Coordenadas cartesianas de un punto en el espacio: 189 y 191 Representación gráfica de una ecuación de primer grado con tres variables: 190 Sistemas de cuatro ecuaciones simultáneas - primer grado con cuatro incógnitas 192 Problemas que se resuelven por ecuaciones simultáneas: 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201 y 202 Miscelánea de problemas que se resuelven por ecuaciones simultáneas: 203 Calculo del número de combinaciones de m elementos tomados n a n: 204 Potencia de un monomio: 205 Cuadrado de un binomio: 206 Cubo de un binomio: 207 Cuadrado de un polinomio: 208 Cubo de un polinomio: 209 Binomio de Newton: 210 Triángulo de Pascal: 211 Término general: 212 Raíz de un monomio: 213 Raíz cuadrada de polinomios: 214, 215, 229 y 230 Raíz cúbica de polinomios: 216 y 217 Teoría de los exponentes: 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227 y 228 Simplificación de radicales: 231, 232 y 233 Introducción de cantidades bajo el signo radical: 234 Reducción de radicales al mínimo común índice: 235 y 236 Reducción de radicales semejantes: 237 Suma y resta de radicales: 238 y 239 Multiplicación de radicales: 240, 241 y 242 División de radicales: 243, 244, 245 y 250 Radicación de radicales: 246 Racionalización (expresiones conjugadas): 247, 248 y 249 Resolución de ecuaciones con radicales: 251 y 252 Simplificación de imaginarias puras: 253 Suma y resta de imaginarias puras: 254 Multiplicación de imaginarias puras: 255 División de imaginarias puras: 256 Suma de cantidades complejas: 257 y 258 Diferencia de cantidades complejas: 259 y 260 Productos de cantidades complejas: 261 y 262 División de expresiones complejas: 263 Representación gráfica de las cantidades complejas: 264 Resolución de ecuaciones de segundo grado: 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271 y 272 Ecuaciones con radicales que se reducen a segundo grado: 273 Representación y solución gráfica de ecuaciones de segundo grado: 274 Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado: 275 Carácter de las raíces de la ecuación de segundo grado: 276 y 277 Dadas las raíces de una ecuación de segundo grado, determinar la ecuación: 278 Dada la suma y el producto de dos números, hallar el número: 279 Descomponer un trinomio en factores hallando las raíces: 280 Representación gráfica de las variaciones del trinomio de segundo grado: 281 Resolución de ecuaciones binomias: 282 Resolución de ecuaciones trinomias: 283 y 284 Transformación de radicales dobles: 285 Progresiones aritméticas: 286, 287, 288, 289 y 290 Progresiones geométricas: 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297 y 302 Logaritmos: 298, 299, 300 y 301 Interés compuesto: 303, 304 y 305
  4. 4. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos A continuación se da la lista completa de los Ejercicios del Álgebra de Baldor: EJERCICIO 1 1 C a n t i d a d e s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s 1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico. S o l u c i ó n : Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto. Respuesta: el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares. 2. Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado económico. S o l u c i ó n : Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de mayor valor absoluto. Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres. 3. Tenía $200. Cobre $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo? S o l u c i ó n :
  5. 5. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto. Respuesta: Ud. tiene + $67. 4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si después recibo 2 280. ¿Cuál es mi estado económico? S o l u c i ó n : Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto. Respuesta: su estado económico es de + 437 soles. 5. Tenía $20. Pagué $15 que debía, después cobré $40 y luego hice gastos por $75. ¿Cuánto tengo? S o l u c i ó n : Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto. Respuesta: Ud. tiene - $30. 6. Enrique hace una compra por $67; después recibe $72; luego hace otra compra por $16 y después recibe $2. Expresar su estado económico. S o l u c i ó n :
  6. 6. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto. Respuesta: El estado económico de Enrique es de - $9. 7. Después de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo? S o l u c i ó n : Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo, hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo de la cantidad (de las dos que representan los subtotales) de mayor valor absoluto. Respuesta: Ud. tiene - 70 colones. 8. Pedro tenía tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $ 200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene? S o l u c i ó n : Nota: cuando los subtotales de las cantidades positivas y el de las negativas son iguales, el total es cero. Respuesta: Pedro tiene 0 pesos. EJERCICIO 2 1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m. S o l u c i ó n : Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° : +12 - 15 = - 3.
  7. 7. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°. 2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar la temperatura a las 9 p.m. S o l u c i ó n : De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y - 3 + 8 = +5 De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y + 5 - 6 = -1 Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°. 3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura? S o l u c i ó n : Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |-3 - 15| = |-18| = 18 Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°. 4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura? S o l u c i ó n : Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13 Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°. 5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperatura a las 11 p.m. S o l u c i ó n : De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y - 4 + 7 = +3. De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y +3 + 2 = +5. De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y +5 - 11 = -6. Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°.
  8. 8. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a las 11 a.m. S o l u c i ó n : 7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora} -8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 8 - 6 = 2 y 4 * 2 = 8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas} -8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas} -8 + 20 = 12 Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°. 7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m. S o l u c i ó n : Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1° 10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4 {de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°} -1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6 {de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°} -1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7° 12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3 {de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°} -7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9 {de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°} -7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°. 8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día. S o l u c i ó n : 56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}. Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°.
  9. 9. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este y su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación el día 26. S o l u c i ó n : Longitud: -71° + 5° = -66° Latitud: -15° + (-5°) = -20° Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66° y su latitud de -20°. 10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se ha acercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31. S o l u c i ó n : Longitud: +18° + 3° = +21° Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur} Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°. 11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción. Solución: Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60. Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60. EJERCICIO 3 1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m. S o l u c i ó n : Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° : +12 - 15 = - 3. Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°. 2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar la temperatura a las 9 p.m. S o l u c i ó n : De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y - 3 + 8 = +5 De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y + 5 - 6 = -1 Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°.
  10. 10. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura? S o l u c i ó n : Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |-3 - 15| = |-18| = 18 Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°. 4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura? S o l u c i ó n : Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) : |+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13 Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°. 5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperatura a las 11 p.m. S o l u c i ó n : De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y - 4 + 7 = +3. De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y +3 + 2 = +5. De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y +5 - 11 = -6. Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°. 6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a las 11 a.m. S o l u c i ó n : 7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora} -8 + 4 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 8 - 6 = 2 y 4 * 2 = 8 {de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas} -8 + 8 = 0 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas} -8 + 20 = 12 Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°. 7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a las 12 m. y a las 2 p.m.
  11. 11. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos S o l u c i ó n : Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1° 10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4 {de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°} -1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6 {de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°} -1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7° 12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3 {de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°} -7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} 14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9 {de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°} -7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento} Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°. 8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día. S o l u c i ó n : 56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}. Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°. 9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este y su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su situación el día 26. S o l u c i ó n : Longitud: -71° + 5° = -66° Latitud: -15° + (-5°) = -20° Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66° y su latitud de -20°. 10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se ha acercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31. S o l u c i ó n : Longitud: +18° + 3° = +21° Latitud: +65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur} Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°. 11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción.
  12. 12. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Solución: Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60. Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60. EJERCICIO 4 N o m e n c l a t u r a a l g e b r a i c a Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 13 a 15. 1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: S o l u c i ó n :
  13. 13. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes: S o l u c i ó n : 3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: S o l u c i ó n : 4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre hetereogéneos S o l u c i ó n : 5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
  14. 14. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos S o l u c i ó n : 6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado S o l u c i ó n : 7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b S o l u c i ó n : EJERCICIO 5 Clasificación de las expresiones algebraicas Sugerencia: lea juiciosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 16 y 17
  15. 15. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios: 2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras
  16. 16. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 6 6 Clases de polinomios Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 15, 16, 17 y 18. 1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dígase qué clase son los polinomios siguientes: 2. Escribir unn polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de octavo grado absoluto; de décimo quinto grado absoluto. Definición: "El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado absoluto". 3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de la m. 4. De los siguientes polinomios:
  17. 17. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos escoger dos que sean homogéneos y dos hetereogéneos. S o l u c i ó n : Definición 1: "Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto". Definición 2: "Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado absoluto". Definición 3: "El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales". Los polinomios homogéneos serían: a) y e) {en (a) todos los términos son de tercer grado absoluto, y en (e) todos los términos son de quinto grado absoluto}. Los polinomios heterogéneos serían: c) y d). 5. De los siguientes polinomios: dígase cuáles son completos y respecto de cuáles letras. S o l u c i ó n : El polinomio (a) es completo respecto a la a. El polinomio (c) es completo respecto a la y. El polinomio (e) es completo respecto a la b y a la y. 6. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomios completos. S o l u c i ó n : 7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente:
  18. 18. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos S o l u c i ó n : 8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente: S o l u c i ó n :
  19. 19. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 7 7 Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Sugerencia: lee cuidadosamente, en el Álgebra de Baldor, la página Nro 19. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. P r o c e d i m i e n t o Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los coeficientes de todos los términos y se antepone al coeficiente total el mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal. Reducir: 1. x + 2x. S o l u c i ó n : El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 1 y 2. La parte literal igual en todos los términos es x. Y 1 + 2 = 3; ∴ x + 2x = 3x. 2. 8a + 9a S o l u c i ó n : El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9. La parte literal igual en todos los términos es a. Y 8 + 9 = 17; ∴ 8a + 9a = 17a. 3. 11b + 9b S o l u c i ó n : El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 11 y 9. La parte literal igual en todos los términos es b.
  20. 20. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Y 11 + 9 = 20; ∴ 11b + 9a = 20b. 4. -b - 5b. Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 1 y 5. La parte literal igual en todos los términos es b. Y 1 + 5 = 6; ∴ -b - 5b = -6b. 5. -8m - m Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 8 y 1. La parte literal igual en todos los términos es m. Y 8 + 1 = 9; ∴ -8m - m = -9m. 6. -9m - 7m Solución: El signo común a todos los términos es el -. Los coeficientes de los términos son 9 y 7. La parte literal igual en todos los términos es m. Y 9 + 7 = 16; ∴ -9m - 7m = -16m.
  21. 21. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  22. 22. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  23. 23. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  24. 24. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  25. 25. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  26. 26. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
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  28. 28. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  29. 29. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  30. 30. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  31. 31. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 8 8 Reducción de dos términos semejantes de distinto signo P r o c e d i m i e n t o Para reducir dos términos semejantes de distinto signo, se halla la diferencia entre los coeficientes de los términos, colocando antes de esta diferencia el signo del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuación se escribe la parte literal. Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan. Reducir:
  32. 32. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  33. 33. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
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  36. 36. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  37. 37. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  38. 38. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  39. 39. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  40. 40. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  41. 41. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  42. 42. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 9 9 Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos
  43. 43. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Procedimiento Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos distintos, se procede así: 1) Se reducen a un solo término todos los positivos. 2) Se reducen a un solo término todos los negativos. 3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasos anteriores. 4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2). 5) Por último, se escribe la parte literal. R e d u c i r :
  44. 44. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  45. 45. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  46. 46. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  47. 47. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  48. 48. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 10 10 Reducción de términos semejantes Redución de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases P r o c e d i m i e n t o 1. Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo paréntesis 2. Se reducen los términos semejantes 3. Se da la respuesta, ordenando el polinommio resultante Nota: recordemos que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes Reducir los polinomios siguientes:
  49. 49. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO11 11 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones simples
  50. 50. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
  51. 51. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  52. 52. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  53. 53. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 12 12 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
  54. 54. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  55. 55. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  56. 56. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  57. 57. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
  58. 58. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  59. 59. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  60. 60. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 14 14 Ejercicios sobre notación algebraica
  61. 61. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  62. 62. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  63. 63. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 15 15 S u m a Suma de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos 2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma: a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo común b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del número mayor en valor absoluto c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal Nota: recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes. S u m a r :
  64. 64. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  65. 65. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  66. 66. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 16
  67. 67. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 16 S u m a Suma de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Hallar la suma de:
  68. 68. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  69. 69. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 17 17 S u m a Suma de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Hallar la suma de:
  70. 70. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  71. 71. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 18 18 S u m a Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada uno con su respectivo signo 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo común denominador (m.c.d.) Hallar la suma de:
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  74. 74. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  75. 75. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  76. 76. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 19 19 S u m a Suma de polinomios y valor numérico P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se suman los polinomios 3. En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 4. Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.
  77. 77. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  78. 78. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  79. 79. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 20 20 R e s t a Resta de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes. De:
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  81. 81. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  82. 82. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Restar:
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  85. 85. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 21 21 R e s t a Resta de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. De:
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  87. 87. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  88. 88. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  89. 89. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  90. 90. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 22 22 R e s t a Resta de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Restar:
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  93. 93. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  94. 94. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  95. 95. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 23 23 R e s t a Resta de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. De:
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  97. 97. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  98. 98. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 24 24 R e s t a Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.) De:
  99. 99. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  100. 100. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
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  102. 102. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 25 25 R e s t a Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.) Restar:
  103. 103. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  104. 104. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 26
  105. 105. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 26 R e s t a Resta de polinomios y valor numérico P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante 4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico 5. Se simplifica aritméticamente el resultado Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismos exponente. Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común denominador (m.c.d.) Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5: De:
  106. 106. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  107. 107. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  108. 108. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 27 27 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 5. Se efectúa la suma indicada
  109. 109. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  110. 110. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  111. 111. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
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  116. 116. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  117. 117. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  118. 118. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  119. 119. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  120. 120. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  121. 121. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  122. 122. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  123. 123. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  124. 124. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  125. 125. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  126. 126. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  127. 127. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  128. 128. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  129. 129. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  130. 130. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 28 28 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del sustraendo, según el caso 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y, los términos semejantes compartiendo columna 5. Se efectúa la suma indicada
  131. 131. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  132. 132. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  133. 133. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
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  138. 138. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  139. 139. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 29 29 Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo 3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del sustraendo 4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del minuendo 5. Se efectúa la suma indicada Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos semejantes. Las fracciones las sumamos hallando el m.c.d.
  140. 140. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  141. 141. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
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  143. 143. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  144. 144. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  145. 145. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  146. 146. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  147. 147. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 30 30 Suma y resta combinadas
  148. 148. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  149. 149. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  150. 150. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  151. 151. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 31 31 Signos de agrupación Supresión de signos de agrupación Procedimiento Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que estaban agrupados por él no cambian de signo 2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que estaban agrupados por él cambian de signo 3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los términos semejantes Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
  152. 152. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  153. 153. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  154. 154. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  155. 155. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 32 32 Signos de agrupación Supresión de signos de agrupación P r o c e d i m i e n t o 1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupación más interiores 2. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 3. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian los signos de los términos una vez "destruidos los paréntes" 4. Se reducen los términos semejantes Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
  156. 156. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  157. 157. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  158. 158. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 33 33 Signos de agrupación Introducción de signos de agrupación Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +: Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo -:
  159. 159. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  160. 160. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 34 34 Signos de agrupación Introducción de signos de agrupación Procedimiento Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente manera: 1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original 2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia
  161. 161. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 35 35 Multiplicación Multiplicación de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" M u l t i p l i c a r :
  162. 162. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  163. 163. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 36 36 Multiplicación Multiplicación de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" M u l t i p l i c a r :
  164. 164. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 37
  165. 165. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 37 Multiplicación Multiplicación de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" E f e c t u a r :
  166. 166. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  167. 167. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  168. 168. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 38 38 Multiplicación Multiplicación de monomios Producto continuado de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el número de signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el número de signos menos es par el producto es positivo 2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionarios se efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del producto" 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" M u l t i l p l i c a r :
  169. 169. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  170. 170. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  171. 171. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 39 39 M u l t i p l i c a c i ó n Multiplicación de polinomios por monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante M u l t i l p l i c a r :
  172. 172. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  173. 173. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  174. 174. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 40 40 M u l t i p l i c a c i ó n Multiplicación de polinomios por monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el siguiente orden: a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos" b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los numeradores; denominador, producto de los denominadores c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun y, sumando los exponentes respectivos ... 2. Se ordena el polinomio resultante M u l t i l p l i c a r :
  175. 175. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  176. 176. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 41
  177. 177. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 41 M u l t i p l i c a c i ó n Multiplicación de polinomios por polinonomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. M u l t i l p l i c a r :
  178. 178. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 42 42 M u l t i p l i c a c i ó n
  179. 179. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Multiplicación de polinomios por polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. M u l t i p l i c a r :
  180. 180. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  181. 181. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  182. 182. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  183. 183. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  184. 184. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  185. 185. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  186. 186. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  187. 187. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  188. 188. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 43 43 M u l t i p l i c a c i ó n Multiplicación de polinomios por polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. M u l t i p l i c a r :
  189. 189. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  190. 190. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  191. 191. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  192. 192. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  193. 193. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 44 44 M u l t i p l i c a c i ó n Multiplicación de polinomios con coeficientes separados P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.d.) Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. M u l t i p l i c a r :
  194. 194. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  195. 195. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 45
  196. 196. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 45 M u l t i p l i c a c i ó n Multiplicación por coeficientes separados P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un término 3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de las letras de los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador Multiplicar por coeficientes separados:
  197. 197. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  198. 198. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  199. 199. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 46 46 M u l t i p l i c a c i ó n Producto continuado de polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se multiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningún factor 2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas 3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes) 4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; ... 5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna 6. Se reducen los términos semejantes Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos primeramente dicho monomio por uno de los paréntesis Nota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el monomio por cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en cuenta la "ley de los signos" Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + Propiedad en el producto de potencias Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos. S i m p l i f i c a r :
  200. 200. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  201. 201. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  202. 202. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  203. 203. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 47 47 M u l t i p l i c a c i ó n Multiplicación combinada con suma y resta P r o c e d i m i e n t o 1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término del multiplicador por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos) 2. Se reducen los términos semejantes Nota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio": Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por la diferencia de dos cantidades": Ley de los signos + por + da + + por - da - - por + da - - por - da + S i m p l i f i c a r :
  204. 204. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  205. 205. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 48
  206. 206. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 48 Supresión de signos de agrupación con productos indicados P r o c e d i m i e n t o 1. Se suprimen los signos de agrupación más internos 2. Se reduce 3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, se reduce; y así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación S i m p l i f i c a r :
  207. 207. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  208. 208. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  209. 209. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 49 49 D i v i s i ó n División de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos Dividir:
  210. 210. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  211. 211. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  212. 212. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  213. 213. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 50 50 D i v i s i ó n División de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos D i v i d i r :
  214. 214. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 51 51
  215. 215. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos D i v i s i ó n División de monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica la ley de los signos 2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios": 3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos Dividir:
  216. 216. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  217. 217. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 52
  218. 218. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 52 D i v i s i ó n División de polinomios por monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos D i v i d i r :
  219. 219. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  220. 220. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  221. 221. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 53 53 D i v i s i ó n División de polinomios por monomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo. 2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera: 3. Se aplica la ley de los signos 4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los medios": 5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor" 6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético Ley de los signos D i v i d i r :
  222. 222. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  223. 223. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  224. 224. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 54 54 D i v i s i ó n División de dos polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Dividir:
  225. 225. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  226. 226. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  227. 227. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 55 55 D i v i s i ó n División de dos polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece D i v i d i r :
  228. 228. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  229. 229. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  230. 230. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 56 56 D i v i s i ó n División de dos polinomios P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente 5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta 6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ... 7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece D i v i d i r :
  231. 231. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  232. 232. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 57 57 División de polinomios con coeficientes fraccionarios Dividir:
  233. 233. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  234. 234. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  235. 235. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 58 58 D i v i s i ó n División de polinomios por el método de coeficientes separados P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra 2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0 donde falte algún término 3. Se efectúa la división con los coeficientes 4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente del primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. Los exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el cociente no se escribe el término correspondiente Dividir por coeficientes separados: EJERCICIO 59
  236. 236. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 59 Cociente mixto Hallar el cociente mixto de: EJERCICIO 60 60 Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos Procedimiento 1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico 2. Se efectúan las operciones indicadas 3. Se simplifica Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa
  237. 237. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  238. 238. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 61 61 M i s c e l á n e a Suma, resta, multiplicación y división 1. A las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m. Solución: 5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2° 2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1° -1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°. 2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B. Solución: Tomamos el sentido positivo el hecho de que un punto esté a la derecha de otro punto y como negativo que esté a la izquierda:
  239. 239. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  240. 240. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  241. 241. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 62 62 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables Cuadrado de la suma de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Escribir por simple inspección, el resultado de:
  242. 242. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  243. 243. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  244. 244. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 63 63 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables Cuadrado de la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Escribir por simple inspección, el resultado de:
  245. 245. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  246. 246. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 64 64 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir por simple inspección, el resultado de:
  247. 247. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  248. 248. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  249. 249. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 65 65 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1) 2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir por simple inspección, el resultado de:
  250. 250. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  251. 251. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  252. 252. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 66 66 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables Cubo de un binomio P r o c e d i m i e n t o 1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda" 3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Escribir por simple inspección, el resultado de:
  253. 253. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  254. 254. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  255. 255. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 67 67 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) P r o c e d i m i e n t o 1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes Escribir por simple inspección, el resultado de:
  256. 256. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  257. 257. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  258. 258. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 68 68 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Productos notables M i s c e l á n e a
  259. 259. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 69
  260. 260. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 69 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Cocientes notables Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos. Hallar, por simple inspección, el cociente de:
  261. 261. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  262. 262. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 70
  263. 263. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 70 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades P r o c e d i m i e n t o 1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador 2. Simplificamos. Hallar, por simple inspección, el cociente de:
  264. 264. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  265. 265. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 71 71
  266. 266. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades P r o c e d i m i e n t o Criterios de divisibilidad Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma : B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma : Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero. Hallar, por simple inspección, el cociente de:
  267. 267. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  268. 268. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  269. 269. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 72 72 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Cocientes notables Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor son diferentes de 1) P r o c e d i m i e n t o
  270. 270. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Criterios de divisibilidad Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : Criterio 4 : A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma : B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma : Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero. Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3, 4, 5, etc.; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en el divisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes términos. Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo del criterio de divisibilidad que se aplique) : Nota : El número de términos en el cociente es igual al resultado de dividir m entre n.
  271. 271. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Hallar, por simple inspección, el cociente de:
  272. 272. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 73 73 P r o d u c t o s y c o c i e n t e s n o t a b l e s Cocientes notables M i s c e l á n e a Escribir el cociente sin efectuar la división:
  273. 273. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  274. 274. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  275. 275. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 74 74 Teorema del residuo P r o c e d i m i e n t o 1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b". Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma: Nota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene, simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a. Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:
  276. 276. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  277. 277. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  278. 278. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 75 75 División sintética P r o c e d i m i e n t o Para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma x - a, se procede de la siguiente manera: 1. Se ubican en una misma fila los coeficientes de los términos del dividendo (si el polinomio carece de alguna de las potencias se escribe allí 0) y, separada por una línea vertical, la a. 2. HALLAR EL COCIENTE : Grado del cociente : El cociente será de un grado menor que el dividendo. Coeficiente del primer término: El primer término del cociente tendrá el mismo coeficiente que el primer término del dividendo. Demás coeficientes : Los coeficientes de los otros términos del cociente se obtienen multiplicando el coeficiente del término anterior (previamente hallado) por la a y, seguidamente, sumando este producto con el coeficiente que sigue en el dividendo. 2. OBTENCIÓN DEL RESIDUO : El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente (previamente hallado) por a y, sumando este producto con el término independiente del dividendo. NOTA: Si el binomio (el divisor) es de la forma bx - a, en vez de la a se pone a/b y, consecuentemente, se multiplican los coeficientes por a/b. Además, cada número debe dividirse por b antes de pasar a ser un coeficiente de un término del cociente. Explicación: Para aplicar apropiadamente el método de la división sintética, en los casos en los que el divisor es de la forma bx - a, debemos hacer que el divisor tome la forma x - a; y, para ello hay que dividir al divisor por b, con lo que el dividendo queda multiplicado por b. Para deshacer esta operación es por lo que se divide cada número, que está destinado a convertirse en coeficiente de un término del cociente, por b. Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:
  279. 279. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  280. 280. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  281. 281. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 76 76 Corolario del Teorema del residuo P r o c e d i m i e n t o Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a. Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes:
  282. 282. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Sin efectuar la división, probar que:
  283. 283. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas, y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:
  284. 284. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  285. 285. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 77 77 Teorema del residuo P r o c e d i m i e n t o Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a. Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cuál es el residuo:
  286. 286. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  287. 287. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 78 78 E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita P r o c e d i m i e n t o 1. Se reducen términos semejantes 2. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 3. Se reducen téminos semejantes 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica. Resolver las ecuaciones:
  288. 288. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  289. 289. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  290. 290. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 79 79 E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación P r o c e d i m i e n t o 1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupación, comenzando por los más internos 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen téminos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica. Resolver las siguientes ecuaciones:
  291. 291. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  292. 292. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  293. 293. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 80 80 E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados P r o c e d i m i e n t o 1. Se efectúan los productos indicados 2. Se reducen términos semejantes 3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho 4. Se reducen téminos semejantes 5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita, y se simplifica. Resolver las siguientes ecuaciones:
  294. 294. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  295. 295. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 81
  296. 296. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos 81 E c u a c i o n e s e n t e r a s d e p r i m e r g r a d o M i s c e l á n e a Resolver las siguientes ecuaciones:
  297. 297. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  298. 298. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 82 82 Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
  299. 299. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  300. 300. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  301. 301. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  302. 302. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 83 83 Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
  303. 303. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  304. 304. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  305. 305. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  306. 306. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  307. 307. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 84 84 Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
  308. 308. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  309. 309. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  310. 310. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  311. 311. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 85 85 Problemas sobre ecuaciones enteras
  312. 312. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  313. 313. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  314. 314. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  315. 315. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 86 86 Problemas sobre ecuaciones enteras
  316. 316. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
  317. 317. Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

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