2. Cinemática
La Mecánica es la rama de la Física que
estudia el movimiento de los cuerpos, para
ello consideraremos a los cuerpos como
partículas.
Una partícula será todo cuerpo en el que
puedo despreciar sus dimensiones para
describir su movimiento. Esto dependerá del
problema que estemos tratando, así laTierra
la podemos considerar una partícula cuando
describimos su movimiento alrededor del …
3. Cinemática
… Sol, pero no se puede considerar una
partícula cuando estudiamos su movimiento
de rotación sobre su eje, ya que en este
problema si interesan sus dimensiones y la
situación es diferente en el ecuador que en
una latitud, digamos de 42°.
Para describir su movimiento necesitamos
ubicar la partícula en el espacio y esto
depende de nuestro sistema de referencia.
4. Cinemática
Por sistema de referencia consideramos al
conjunto de cuerpos que permanecen en
reposo respecto a nosotros. Para operar con
este concepto introducimos un sistema de
coordenadas (normalmente un sistema
cartesiano, pero dependiendo de la simetría
del problema se toman otros sistemas de
coordenadas como el cilíndrico o el esférico).
Se necesita además un sistema de relojes
para medir el tiempo.
5. Cinemática
El movimiento de una partícula se conoce por
completo si la posición de la partícula en el
espacio se conoce en todo momento. La
posición de una partícula es la ubicación de la
partícula respecto a un punto de referencia
elegido que se considera el origen de un
sistema coordenado. Otra herramienta
indispensable para avanzar en la descripción
del movimiento es su representación con
gráfico de funciones.
6. Cinemática
No basta saber donde está la
partícula, sino además saber
para donde se mueve, noción
que se representa con el
concepto de velocidad.
Las sucesivas posiciones
tomadas por el cuerpo,
determinan una línea que puede
ser curva o recta y a la que
llamamos trayectoria del cuerpo
puntual.
7. Cinemática
En síntesis, el movimiento es relativo porque
“depende” del sistema de referencia elegido y
para poder describirlo correctamente es
conveniente considerar un sistema de referencia
fijo.
Considere un automóvil que se mueve a lo largo
del eje 𝑥. Cuando se comenzó a recopilar datos
de posición, el automóvil está a 30 m a la derecha
de una señal del camino, que usará para
identificar la posición de referencia 𝑥 = 0.
Aplique el modelo de partícula para identificar la
posición del automóvil en diferentes instantes.
8. Cinemática
Las magnitudes físicas pueden ser escalares o
vectores.
Las primeras necesitan únicamente un número
para quedar completamente determinadas, por
ejemplo la temperatura, el tiempo, la masa
Otras neceitan más que un simple número y
para ello hay que determinar su magnitud, su
dirección y sentido, por ejemplo la fuerza, la
velocidad, la cantidad de movimiento
9. Cinemática
Magnitud Vectorial: es aquella que para quedar
completamente definida es necesario dar su
magnitud, dirección y sentido.
La representación gráfica de un vector es dada
por un segmento de recta dirigido.
Figura. Representación gráfica de un vector.
10. Cinemática
La magnitud del vector se relaciona con la
longitud de la flecha. La dirección es dada por el
ángulo con respecto a la horizontal. El sentido se
relaciona con la punta de la flecha.
Suma gráfica
𝐴
𝐵
𝐶 = 𝐴 + 𝐵
14. Cinemática
Propiedades algebraicas
Se denomina vector unitario al que tiene magnitud
uno. Los vectores unitarios más usados son los que
indican la dirección de los ejes cartesianos en el
espacio, y en el plano, se denotan por:
𝑖, para la dirección positiva del eje 𝑥,
𝑗, para la dirección positiva del eje 𝑦,
𝑘, para la dirección positiva del eje 𝑧.
Figura 5.Vectores unitarios en el espacio.
15. Cinemática
Propiedades algebraicas
En el plano cartesiano se tienen solamente el eje
𝑥 y el eje 𝑦.
Figura 6. Vectores unitarios en el plano cartesiano
16. Cinemática
Propiedades algebraicas
En muchos sistemas se tienen varios vectores actuando sobre
él y el resultado de todos los vectores sobre el sistema es
importante, por lo que es necesario sumar todos estos
vectores, y el vector resultante es el que hace el mismo efecto
de todos los vectores juntos. Todos los vectores que actúan
sobre el sistema se denominan componentes del vector
resultante.
Las componentes rectangulares de un vector son aquellas que
están a lo largo de los ejes cartesianos.
17. Cinemática
Propiedades algebraicas
Para un vector 𝑉en el plano, sus componentes
rectangulares vienen dadas por las relaciones:
𝑉𝑥 = 𝑉cos𝜃, 𝑉𝑦 = 𝑉sin𝜃
Siendo 𝑉 la magnitud del vector y θ el ángulo con
respecto al sentido positivo del eje x, estas componentes
también se denominan proyecciones del vector sobre los
ejes cartesianos.
Utilizando sus componentes el vector será dado por la
relación:
𝑉 = 𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗
18. Cinemática
Propiedades algebraicas
Si se tienen las componentes sobre los ejes, 𝑉𝑥, 𝑉𝑦, la
magnitud 𝑉 del vector está dada por:
𝑉 = 𝑉𝑥
2
+ 𝑉𝑦
2
La dirección, el ángulo con respecto al sentido
positivo del eje 𝑥, está dada por:
𝜃 = arctan
𝑉𝑦
𝑉𝑥
Ejemplo: Encontrar las componentes rectangulares
de los siguientes vectores.
a) La magnitud del vector es 25.
20. Cinemática
Propiedades algebraicas
Cuando se tienen diferentes vectores actuando sobre un mismo
sistema, la forma más precisa de encontrar el vector resultante
consiste en descomponer cada vector en sus componentes y
luego sumar, algebraicamente, las componentes en la dirección
𝑥, y las componentes en la dirección 𝑦.
Si se tienen 𝑛 vectores, dados por: 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, … , 𝑉𝑛.
Encontrando sus componentes en la dirección “𝑥” se tienen:
𝑉1𝑥, 𝑉2𝑥, 𝑉3𝑥, … , 𝑉𝑛𝑥
Las componentes en la dirección “𝑦” son dadas por:
𝑉1𝑦, 𝑉2𝑦, 𝑉3𝑦, … , 𝑉𝑛𝑦
Obteniéndose la resultante 𝑉𝑅𝑥 en la dirección “𝑥” por la suma
escalar de las componentes, así:
𝑉𝑅𝑥 = 𝑉1𝑥 + 𝑉2𝑥 + 𝑉3𝑥 + ⋯ + 𝑉𝑛𝑥
21. Cinemática
Propiedades algebraicas
La resultante 𝑉𝑅𝑦, en la dirección “𝑦” se obtiene sumando
escalarmente las componentes en la dirección “y”, así:
𝑉𝑅𝑦 = 𝑉1𝑦 + 𝑉2𝑦 + 𝑉3𝑦 + ⋯ + 𝑉𝑛𝑦
El vector resultante será dado por la relación
𝑉𝑅 = 𝑉𝑅𝑥 𝑖 + 𝑉𝑅𝑦 𝑗
23. Cinemática
Propiedades algebraicas
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵, se escribe como 𝐴 ∙ 𝐵 (Debido al
símbolo punto, con frecuencia al producto escalar se le llama producto
punto.)
El producto escalar de dos vectores cualesquiera 𝐴 y 𝐵 es una cantidad
escalar igual al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno
del ángulo 𝜃 entre ellos:
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵cos𝜃
Como es el caso con cualquier multiplicación, 𝐴 y 𝐵 no necesitan tener las
mismas unidades.
La figura 11 muestra dos vectores 𝐴 y 𝐵 y el ángulo 𝜃 entre ellos, que se
aplica en la definición del producto punto.
24. Cinemática
Propiedades algebraicas
Producto escalar de dos vectores
En la figura 11, 𝐵cos𝜃 es la proyección de 𝐵 sobre 𝐴.
Debido a eso, 𝐴 ∙ 𝐵 es el producto de la magnitud de 𝐴
y la proyección de 𝐵 sobre 𝐴.
Fig. 11. Producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵
25. Cinemática
Propiedades algebraicas
Producto escalar de dos vectores
El producto escalar es conmutativo
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴.
El producto escalar obedece la ley distributiva de la multiplicación,
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶
El producto punto es simple de evaluar cuando 𝐴 es
perpendicular o paralelo a 𝐵. Si 𝐴 es perpendicular a 𝐵 𝜃 =
26. Cinemática
Propiedades algebraicas
Producto escalar de dos vectores
Si el vector 𝐴 es paralelo al vector 𝐵 y los dos apuntan en la misma
dirección (𝜃 = 0), 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵. Si el vector 𝐴 es paralelo al vector 𝐵 pero
los dos apuntan en direcciones opuestas (𝜃 = 180°), 𝐴 ∙ 𝐵 = −𝐴𝐵. El
producto escalar es negativo cuando 90° < 𝜃 ≤ 180°.
Los vectores unitarios 𝑖, 𝑗 y 𝑘, que se encuentran en las direcciones 𝑥, 𝑦 y
𝑧 positivas, respectivamente, de un sistema coordenado de mano
derecha. Por lo tanto, de la definición del producto punto, los productos
escalares de estos vectores unitarios son
𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1.
𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 = 0.
27. Cinemática
Propiedades algebraicas
Producto escalar de dos vectores
Como los vectores 𝐴 y 𝐵 pueden expresarse como
𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘
𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘
el producto escalar de 𝐴 y 𝐵 se reduce a
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧
En el caso especial en el que 𝐴 = 𝐵, se tiene
𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴 𝑥
2
+ 𝐴 𝑦
2
+ 𝐴 𝑧
2
= 𝐴2
28. Cinemática
Propiedades algebraicas
Producto escalar de dos vectores
Ejemplo.
Se tienen los vectores 𝐴 = 2 𝑖 + 3 𝑗 y 𝐵 = − 𝑖 + 2 𝑗.
Determine el producto escalar de estos vectores y
encuentre el ángulo entre ellos.
