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1. Problema 1: relación de inclusión
Dadas las siguientes proposiciones, una de ellas es falsa se-
ñálela:
a) Todo número natural es entero
b) Todo racional es entero o todo entero es racional
c) El sistema de los números reales es un conjunto no
vacío dotado de 4 operaciones.
d) 5∈
e) { }0− +
= ∪ ∪  
Problema 2: relación de inclusión
De las siguientes proposiciones, diga Ud. Cuantas son ver-
daderas.
I. Todo número natural es entero
II. Todo racional es entero o todo entero es racional
III. Existe algún elemento tal que ∩Ι ≠ ∅
IV. 5∈
V. − +
= ∪  
01
Números racionales
Problemas resueltos
Ing. Del Carpio
Academia Bryce Aritmética - pre 2do 1
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Experto En Aritmética Ing del Carpio
Sesión
Resolución:
Resolvemos proposición por proposición:
c) Es verdadera ( )v
En el gráfico vemos que todos los naturales son enteros,
es decir todo natural es un número entero.




Ι
a) Es verdadera ( )v
Porque según el grafico anterior, todo número entero es
racional. Ahora como el conectivo es o minúscula, (inclu-
sión) basta que una proposición atómica sea correcta
para que toda la proposición (b) sea correcta.
b) Es falsa ( )F
Porque en los números reales se pueden realizar más de
4 operaciones como por ejemplo (la suma, la resta, la
multiplicación, la división, la radicación, etc.)
R: c
e)d)
c)b)a)
Ι


2. Problema 3: cuantificadores
De las siguientes proposiciones, diga Ud. Cuantas son ver-
daderas.
I. ,a b +
∀ ∈ ,
a
b
∈
II. /a a∃ ∈ ∈Ι
III. /a a∃ ∈ ∈ 
IV.
7
0
es número real
V. La división es cerrada en 
Resolución:
Resolvemos proposición por proposición:
I. Es verdadera ( )v
II. Es verdadera ( )v
III. Es verdadera ( )v
Porque según el grafico del problema 1, son dos conjun-
tos sin intersección, es decir son disyuntos y como tales
su intersección es el conjunto vacío.
IV. Es verdadera ( )v
Porque 5 es un elemento que pertenece al conjunto de
los números enteros.
V. Es falsa ( )F
Porque el cero también es un número entero, y la ecua-
ción indicada solo dice que los números enteros son la
unión de los enteros positivos y negativos, sin incluir el
cero lo cual es falso.
De lo anterior concluimos que son cuatro las proposicio-
nes verdaderas.
R: d
Ing. Del Carpio Aritmética - pre 2do 2
a)b)
c)d)e)
Resolución:
Resolvemos proposición por proposición:
I. Es verdadera ( )v
Porque implica la definición de un número racional, todo
número racional es el cociente de dos números enteros
ya sean positivos o negativos, la única restricción es que
el denominador no puede ser cero.
II. Es falsa ( )F
Porque ningún número puede ser racional e irracional a
la vez, son conjuntos disyuntos.
III. Es verdadera ( )v
De acuerdo al grafico del problema 1, todo número na-
tural es un número real, por lo tanto se deduce que exis-
ten números reales que son números naturales.
IV. Es falsa ( )F
Porque
7
0
, no es un número.
V. Es falsa ( )F
Porque no toda división indicada de dos números enteros
resulta ser un numero entero, sino más bien un numero
racional.
De lo anterior concluimos que son dos las proposiciones
verdaderas.
R: b

3. Problema 4: habilidad aritmética
Si: 2;a = − 3;b = − 16;c = 8d = − y 4e = +
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:
1) ab c d+ +
2) c abcd e− +
3) 2 4
ab cd e c− + −
4) 2 3 5a b c+ −
5) 7 8c e ad+ +
6) 3
3 5 1d a d− + −
7) { }3
2ab cd e d a b+ − + + −
8) 3
( )cde a b c d a b c + + + − − − − 
9) 2 3
( ) ( )ab e d abcd+ + −
10) 2 2 2
b ae cd a b c − − − + + + 
6) 3
3 5 1d a d− + −
33( 8) 5( 2) ( 8) 1 17− − − + − − =−
3
2 1 15= − −
7) { }3
2ab cd e d a b+ − + + −
{ }3( 2)( 3) (16)( 8) 2( 4) ( 8) ( 2) ( 3) 129− − + − − + + − + − − − =−
{ }3
131 2 1− − −=
8) 3
( )cde a b c d a b c + + + − − − − 
3
(16)( 8)( 4)
( 2) ( 3) (16) ( 8) (( 2) ( 3) (16)) 484
− + +
 − + − + − − − − − − − =− 
3
486 2 1− − −=
9) 2 3
( ) ( )ab e d abcd+ + −
2
3
(( 2)( 3) ( 4))
( 8) (( 2)( 3)(16)( 8)) 776
− − + + +
− − − − − =
3
790 2 1+ −=
10) 2 2 2
b ae cd a b c − − − + + + 
2 2 2
( 3) ( 2)( 4) (16)( 8) ( 2) ( 3) (16) 386 − − − − + − − + − + − + =− 
Las respuestas están respaldadas por
Wolfram Mathematica 9.0
Ing. Del Carpio Aritmética - pre 2do 3
Resolución:
1) ab c d+ +
(-2)(-3) 16 (-8) 14+ + =
2) c abcd e− +
16 ( 2)( 3)(16)( 8) ( 4) 776− − − − + + =
3) 2 4
ab cd e c− + −
2 4
( 2)( 3) (16)( 8) ( 4) 16 148− − − − + + − =
4) 2 3 5a b c+ −
2( 2) 3( 3) 5(16) 93− + − − =−
5) 7 8c e ad+ +
7 16 8 ( 4) ( 2)( 4) 60+ + + − + =