1. Rješavanje jednadžbi 1

2. Nakon prošle prezentacije kroz koju smo se upoznali s jednostavnim algebarskim izrazima, u ovoj prezentaciji krećemo na jednažbe. Možete uočiti da se redoslijed gradiva u ovim prezentacijama razlikuje od redoslijeda u većini udžbenika. Naime, u udžbenicima se kreće od jednadžbi tipa a + x = b (npr. 5+x=2 ), najvjerojatnije zbog toga što je zbrajanje osnovna računska operacija. Međutim, ovdje krećemo od jednadžbi oblika a x = b (npr. 5x=2 ). Razlog je taj što se gotovo sve jednadžbe (općenito) svode upravo na takve jednadžbe, pa u tom smislu možemo reći da su jednadžbe a x = b osnovne. Ako njih ne znamo riješiti, nećemo moći riješiti niti veliku većinu ostalih tipova jednadžbi. Dakle, prvo ćemo naučiti rješavati upravo njih, a onda krećemo na ostale tipove jednadžbi koji će se svoditi na ovaj. Iako mnogi postupci na prvi pogled izgledaju lagano, ne shvaćajte ih olako jer nakon prvih jednostavnijih primjera uvijek dolaze složeniji! A ako bilo koji tip jednadžbi ne svladate kako treba, imat ćete poteškoća sa jednadžbama koje slijede.

3. Nekoliko uputa o kretanju kroz prezentaciju: Kroz prezentaciju prolazimo jednostavnim klikanjem mišem, pritiskanjem strelica na tipkovnici ili pritiskanjem razmaknice. Ako se želimo vratiti nekoliko koraka/efekata unazad (da bismo ponovo proučili nešto), trebamo koristiti strelicu prema gore ( ↑ ) ili prema lijevo ( ← ) na tipkovnici. (Probajte odmah!). Za izlazak iz prezentacije u bilo kojem trenutku, stisnite tipku Esc na tipkovnici. Pa krenimooooooooooo................. Nadam se da vam neće biti problem snaći se. Sretno! Ako se za vrijeme izvođenja prezentacije želite vratiti na početak prezentacije, stisnite tipku Home na tipkovnici. Ako želite brzo proći kroz veći dio prezentacije (do određenog mjesta), dobar način je da stisnete razmaknicu na tipkovnici i držite je ... Ako time odete predaleko, vratite se koristeći strelice prema gore ( ↑ ) ili prema lijevo ( ← ) na tipkovnici. (Probajte odmah!).

4. Općenito o jednadžbama

5. Što su jednadžbe? Odgovor pronađimo promatrajući primjere jednadžbi : 3x = 27 5-y = 12 6a-4 = -a+23 2-6 · (-3k+2) = 5-k 0.7 = 2x-5.3 ... Možeš li uočiti što je svim ovim primjerima zajedničko? Svaka jednadžba: - ima slovo (nepoznanicu) - ima znak jednakosti = - i lijevo i desno od znaka jednakosti ima izraz, algebarski ili brojevni .

6. Što su jednadžbe? Odgovor pronađimo promatrajući primjere jednadžbi : 3x = 27 5-y = 12 6a-4 = -a+23 2-6 · (-3k+2) = 5-k 0.7 = 2x-5.3 ... Jesu li ovo jednadžbe: a) 5 + 2 = 7 Ne, jer nema slova (nepoznanice). Ovo je jednakost ! b) 8a + 3 - 7a = Ne, jer nedostaje izraz desno od znaka = . c) x - 2x = -9x - 8 Da. d) 45 : 9 Ne jer nema znaka jednakosti, izraza desno od znaka jednakosti, a niti nepoznanice. e) x + y = 6 - 8x Da, ali ova jednadžba ima dvije nepoznanice. Takve ćemo jednadžbe razmatrati u sedmom razredu!

7. Što su jednadžbe? Odgovor pronađimo promatrajući primjere jednadžbi : 3x = 27 5-y = 12 6a-4 = -a+23 2-6 · (-3k+2) = 5-k 0.7 = 2x-5.3 Lijevu stranu jednadžbe čini sve što se nalazi lijevo od znaka jednako = . Desnu stranu jednadžbe čini sve što se nalazi desno od znaka jednako = . Što u sljedećim jednadžbama čini lijevu, a što desnu stranu: a) 5x = 7x - 4 - 2(-3+x) lijeva strana desna strana b) 4 + x - 3x - 8 = 12 desna strana lijeva strana Naučimo osnovne pojmove vezane uz jednadžbe... Zapamti! Lijeva i desna strana razdvojene su znakom jednakosti = i ne moraju biti jednako duge!

8. Što su jednadžbe? Odgovor pronađimo promatrajući primjere jednadžbi : 3x = 27 5-y = 12 6a-4 = -a+23 2-6 · (-3k+2) = 5-k 0.7 = 2x-5.3 Riješiti jednadžbu znači pronaći broj kojeg možemo staviti (uvrstiti) u jednadžbu umjesto nepoznanice , pa da time lijeva strana zaista postane jednaka desnoj . Kako se broj uvrštava umjesto nepoznanice i kako rješavamo jednadžbe, naučit ćemo kroz sljedeće primjere. Krenimo na rješavanje jednadžbi! Krećemo od najjednostavnijih primjera, od jednadžbi oblika ax=b , npr. 3x=27 , 5x=40 , 10x=3 , -7x=28 , -4x=-30 ...

9. Rješavanje jednadžbi oblika ax = b

10. Primjer 1. : 4 x = 20 Riješiti jednadžbu znači pronaći broj kojeg možemo uvrstiti ("staviti") u jednadžbu umjesto nepoznanice x , pa da nakon toga lijeva strana dobivene jednakosti zaista bude jednaka desnoj. Prije nego što razmislimo koji bi broj ovdje bio rješenje, razjasnimo koja se računska operacija podrazumijeva između 4 i x ! Koju računsku operaciju ovdje podrazumijevamo? Množenje! 4 · x = 20 Dakle, pitamo se: 4 · __ = 20 Koji broj možemo upisati na praznu crtu? Naravno, broj 5! (jer je 4 · 5 = 20) 5 Stoga je broj 5 rješenje naše jednadžbe! To kratko zapisujemo ovako... x = 5 Kad god između broja i slova nema simbola nijedne računske operacije, uvijek se podrazumijeva množenje . Time je ova jednadžba riješena!

11. Primjer 1. : 4 x = 20 x = 5 Primjer 2. : 7 x = 56 x = 8 Pitamo se: 7 · __ = 56 Koji broj možemo upisati na praznu crtu? 8 Kratko pišemo...

12. Primjer 1. : 4 x = 20 x = 5 Primjer 2. : 7 x = 56 x = 8 Primjer 3. : 9 x = 63 x = 7 Možeš li odmah reći rješenje? Ove su jednadžbe bile jednostavne - rješenja smo lako našli napamet! Krenimo sad na složenije...

13. Primjer 4. : 8 x = 7 Pitamo se: 8 · __ = 7 Koji broj možemo upisati na praznu crtu? Naravno, ovdje ne možemo napamet lako naći rješenje jer to rješenje očito nije prirodan broj (bit će razlomak). Stoga naučimo postupak koji će nam pomoći u ovakvim slučajevima... Da bismo riješili jednadžbu, moramo naći koliki je x ! Dakle, cilj nam je na lijevoj strani jednadžbe dobiti sami x (bez onog broja 8 ) . Što moramo napraviti sa 8x da bismo dobili x ? Trebamo podijeliti sa 8 ! A ako lijevu stranu jednadžbe dijelimo sa 8, onda i desnu stranu moramo podijeliti sa 8 (ako želimo da i dalje vrijedi jednakost)! Dakle, obje strane jednadžbe podijelimo sa 8! To zapisujemo pomoću kose crte, ovako...

14. Primjer 4. : 8 x = 7 Kosa crta označava da ono što piše iza nje treba napraviti s obje strane jednadžbe!!! Dakle, obje strane jednadžbe ovdje trebamo podijeliti sa 8. Kad lijevu stranu jednadžbe podijelimo sa 8, računamo 8x:8 , a to je ___ . x x = / :8

15. Primjer 4. : 8 x = 7 Sad desnu stranu jednadžbe podijelimo sa 8. Računamo 7:8 , a to je . x = Time je ova jednadžba riješena! 1 1 = 7 Dobili smo broj sa desne strane jednadžbe! Dakle, naše rješenje zadovoljava zadanu jednadžbu! / :8 7 8 __ 7 8 __ Jedino još trebamo uočiti da se dobiveno rješenje 7 8 __ dalje ne može srediti, tj. ne može se niti skratiti niti pretvoriti u mješoviti broj. (A ako bi se to moglo, onda bismo još i to trebali napraviti.) Provjerimo je li razlomak zaista rješenje! Uvrstimo ga u lijevu stranu jednadžbe umjesto x : 7 8 __ 8 · = 7 8 __ 7 1 __

16. Primjer 4. : 8 x = 7 x = Primjer 5. : 5 x = 17 Ovdje se opet trebamo riješiti broja koji je uz x (na lijevoj strani jednadžbe)! U ovom primjeru to je broj 5 , pa obje strane jednadžbe dijelimo sa 5 . Kad lijevu stranu jednadžbe podijelimo sa 5, računamo 5x:5 , a to je ___ . x x = Dakle, uvijek dijelimo s onim brojem koji je uz x ! / :8 7 8 __ / :5

17. Primjer 4. : 8 x = 7 x = Primjer 5. : 5 x = 17 x = Sad desnu stranu jednadžbe podijelimo sa 5. Računamo 17:5 , a to je . / :8 7 8 __ / :5 17 5 __ 17 5 __

18. Primjer 4. : 8 x = 7 x = Primjer 5. : 5 x = 17 x = Ovdje se rješenje može i srediti! Uočavaš li što možemo učiniti s njim? Možemo ga pretvoriti u mješoviti broj! (jer je brojnik veći od nazivnika) x = / :8 7 8 __ / :5 17 5 __

19. Primjer 4. : 8 x = 7 x = Primjer 5. : 5 x = 17 x = x = Računamo 17:5 ... 2 5 Sad računamo ostatak kod dijeljenja 17:5 . Tj. računamo: 3 · 5 = 15 , od 15 do 17 je... Nazivnik 5 prepišemo... Time je ova jednadžba riješena! / :8 7 8 __ / :5 17 5 __ 3 __

20. Primjer 6. : 35 x = 14 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa 35 ? x = Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa 35 ? Možemo li dobiveno rješenje srediti? Možemo ga skratiti! Sa kojim brojem? Sa 7 ! Dakle, i brojnik i nazivnik podijelimo sa 7, te zapišemo rezultate koje tako dobijemo... 2 5 x = Možemo li novodobiveno rješenje još srediti? Ne možemo! / :35 14 35 __ 2 5 __ Dakle, je rješenje jednadžbe. 2 5 __

21. Primjer 6. : 35 x = 14 x = 2 5 x = Primjer 7. : 8 x = 38 x = x = 6 8 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa 8 ? Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa 8 ? Možemo li dobiveno rješenje srediti? Možemo ga i skratiti i pretvoriti u mješoviti broj! Svejedno je što ćemo od toga prvo napraviti. Krenimo sa pretvaranjem u mješoviti broj... 3 4 x = / :35 14 35 __ 2 5 __ / :8 38 8 __ __ 4 Sad još skratimo ... 6 8 __ __ 3 4 4

22. Primjer 8. : 9 x = 54 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa 9 ? x = Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa 9 ? 6 Ovu smo jednadžbu mogli riješiti i napamet, pitajući se: 9 · __ = 54 Koji broj možemo upisati na praznu crtu? 6 Time je ova jednadžba riješena! Oba postupka vode do istog rješenja! / :9

24. Sad ćemo riješiti još nekoliko primjera u kojima se pojavljuju i negativni brojevi . Postupak rješavanja je potpuno isti kao i dosad, samo treba paziti i na predznake ! (Česta je greška da se na njih zaboravi...)

25. Primjer 9. : -8 x = 40 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! x = Kad lijevu stranu jednadžbe podijelimo sa -8, računamo -8x:(-8) , a to je ___ . x / :(-8)

26. Primjer 9. : -8 x = 40 -5 Time je ova jednadžba riješena! Sad desnu stranu jednadžbe podijelimo sa -8. Računamo 40:(-8) , a to je ___ . -5 x = / :(-8)

27. Primjer 9. : -8 x = 40 -5 x = Primjer 10. : -7 x = -28 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa -7 ? x = Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa -7 ? 4 Time je ova jednadžba riješena! Primjer 11. : -4 x = 27 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa -4 ? x = Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa -4 ? Možemo li dobiveno rješenje srediti? Možemo ga pretvoriti u mješoviti broj! x = 3 4 (Minus se nikada ne piše u nazivniku, već uvijek u brojniku!) / :(-8) / :(-7) / :(-4) -27 4 ___ -6 __

28. Primjer 12. : -x = 3 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! No, ovdje je ispred x samo minus! Što to znači? Koji broj možemo zamisliti da piše ispred x ? Kad god ispred x ne piše nijedan broj, uvijek zamišljamo broj 1 , odnosno u ovom slučaju -1 (jer je ispred x minus )! Zapamtimo: x = 1 x -x = -1 x

29. Primjer 12. : -x = 3 x = Kad lijevu stranu jednadžbe podijelimo sa -1, računamo -x:(-1) , a to je ___ . x Ovdje zapravo računamo: - x : (-1) = = -1 x : (-1) = = x / :(-1)

30. Primjer 12. : -x = 3 x = -3 Sad desnu stranu jednadžbe podijelimo sa -1. Računamo 3:(-1) , a to je ___ . -3 Primjer 13. : -x = -8 Obje strane dijelimo sa brojem koji je uz x ! Što dobijemo kad lijevu stranu podijelimo sa -1 ? x = Što dobijemo kad desnu stranu podijelimo sa -1 ? 8 Time je ova jednadžba riješena! / :(-1) / :(-1)

31. Uočimo razliku u rješavanju sljedeći jednadžbi: 7 x = 21 21 x = 7 U oba slučaja dijelimo sa brojem koji je uz x ! Uoči o kojem se broju radi u kojem slučaju! Pažljivo razmisli što nam nakon tog dijeljenja u prvom slučaju ostaje na lijevoj a što na desnoj strani! x = 3 A u drugom zadatku? x = 1 3 x = Uoči koja je razlika u rješenjima !!! Također pazi da prilikom dijeljenja ne zamijeniš koji se broj sa kojim dijeli (u tome se često griješi)! / :7 / :21 7 21 __ 1 3 __

34. Autorica prezentacije: Antonija Horvatek prosinac 2007.

35. Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima, radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare... Antonija Horvatek [email_address] http://public.carnet.hr /~ahorvate