2. La función continua está muy relacionado con el aspecto gráfico de la función
de cierto punto de la “figura”. Se mostrará de manera provisional e informal, la
siguiente definición de continuidad y discontinuidad.
EJEMPLO DE ALGUNAS FUNCIONES CONTINUAS
Se dice que una función es continua, cuando no existe alguna:
ruptura, hueco, trozo; un indicio que modifique su CONTINUIDAD
en su trazo
3. EJEMPLO DE ALGUNAS FUNCIONES DISCONTINUAS
F(a)
F(a)
a
a
F(a)
a
Se dice que una función es discontinua, cuando existe algún: hueco, trozo,
ruptura; un indicio que modifique su CONTINUIDAD en su trazo
4. Definición: Una función y=f(x) es continua en un punto
x = a (un punto en el eje x), si en ese punto la gráfica de
la función no se rompe
Para que una función sea continua, necesita que
cumpla con tres condiciones:
1.- La función f(a) exista (debe de existir un valor)
2.- El lim f(x) exista (debe de existir un valor)
3.- El lim f(x) = f(a) (el valor del limite sea igual al
valor de la función)
5. Ejemplo:
Verificar si es continua en x = 2
Solución
Se deben de verificar las tres condiciones:
1.- f(x) exista:
2.- lim f(x) exista:
3.- lim f(x) y f(x) sean iguales:
Se cumplen las tres condiciones,
por lo tanto
LA FUNCIÓN ES CONTINUA
EN X = 2 X=2
6. Ejemplo:
Verificar si es continua en
Solución
Se deben de verificar las tres condiciones:
1.- f(x) exista:
Nos da como resultado una
indeterminación, entonces
la 1ª condición no se cumple.
Por lo tanto
LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA
EN
Nota: Dependiendo de la función , se puede quitar la indeterminación; y se le llama discontinuidad removible
7. Ejemplo:
Verificar si es continua en x = 1
Solución
Se deben de verificar las tres condiciones:
1.- f(x) exista:
Las dos subfunciones existen
2.- lim f(x) exista: Para este caso se verifican los límites laterales
Por lo tanto,
el lim f(x) existe
3.- lim f(x) y f(x) sean iguales:
Se cumplen las tres condiciones, por lo tanto
LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN X = 1
8. f(x)=-3x+2
x=1
f(x)=2x-3
En esta gráfica se ve su continuidad en x = 1
para las dos funciones
9. Ejemplo:
Verificar si es continua en x = 1
Solución
Se deben de verificar las tres condiciones:
1.- f(x) exista: Nos da resultados
diferentes
La 1ª condición no se cumple.
Por lo tanto
LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA
EN x = 1
f(x)=x-2
10. DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
Cuando se tiene una función no continua, mediante
simplificación algebraica, la función puede ser continua.
Ejemplo:
Quitar la discontinua de la siguiente función
SOLUCIÓN
Factor izando el numerador y el denominador
Despejando “x” del
denominador
La función es
continua cuando
