Trigonometria Aplicada Mecânica

Trigonometria Aplicada à Mecânica
SENAI - Guarulhos 1
Trigonometria
Aplicada à Mecânica

SENAI - Guarulhos2
© SENAI - 2004
Coordenação Adilson Augusto Lázaro
Diagramação Wagner de Campos Sabor
Conteúdo técnico Acervo SENAI – Recursos Didáticos On-line
Revisão José Carlos Valbão
Capa Wagner de Campos Sabor
Escola SENAI “Hermenegildo Campos de Almeida”
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CEP 07114-000
Telefone (11) 6461-3553
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Sumário
Página
5 Introdução
7 Revisão de Geometria
13 Ângulos
17 Polígonos
31 Sistema Sexagesimal
33 Adição de Medidas de Ângulos
39 Subtração de Medidas de Ângulos
51 Relação de Pitágoras
59 Semelhança de Triângulos
69 Relações métricas no triângulo retângulo
79 Círculo trigonométrico
83 Seno, Co-seno e Tangente
117 Lei dos Senos e Lei dos Co-senos
123 Exercícios complementares
133 Alfabeto Grego

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SENAI - Guarulhos 5
Introdução
A palavra trigonometria é de origem grega e tem como significado: medidas relativas
às figuras triangulares. Ela pode ser definida também como o ramo da matemática
que se fundamenta no fato de ser possível resolver numerosos problemas pelo cálculo
dos elementos desconhecidos num triângulo (lado ou ângulo), quando se conhece três
desses elementos. Para a resolução de tais problemas recorre-se principalmente ao
uso das razões trigonométricas.
Todo o programa que será desenvolvido neste curso foi proposto por matemáticos
gregos em um período que data do ano 600 ac. até 100 dc. Isto por si só é um feito
importante que nos mostra a influência dos filósofos gregos no pensamento ocidental.
Para iniciar nosso curso, vamos ter que relembrar alguns conceitos de geometria plana
que são fundamentais para o entendimento de teoremas e aplicação das funções
trigonométricas, como por exemplo, o uso do seno e do co-seno na determinação do
comprimento de um lado ou da medida de um ângulo de um triângulo retângulo.
Aprenderá também como descobrir, através de cálculos, a natureza de triângulos, bem
como aplicar Semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras.
Verá como calcular o comprimento de elementos de um triângulo utilizando fórmulas
das relações métricas num triângulo retângulo e as de um triângulo qualquer.
Conhecerá, finalmente, duas relações para usar num triângulo qualquer: uma chamada
lei dos co-senos e a outra, lei dos senos.

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Revisão de Geometria
Definição de ponto, reta e plano
Agora, estudaremos o que pode acontecer com duas retas situadas em um mesmo
plano. Mas antes disto daremos as definições de ponto, reta e plano.
A primeira pessoa que teve a preocupação de definir esses
elementos geométricos foi um grego chamado Euclides.
Pouco se sabe sobre a vida deste matemático. Sabemos apenas
que ele viveu no séc. III a.C e que foi um dos homens relacionados
ao museu de Alexandria onde ali trabalhou do ano 320 a 260 ac.
Foi ele quem fundou a grande escola de matemática do museu.
A fama de Euclides repousa basicamente nos elementos, síntese sistemática da
geometria grega.
É neste livro, ou melhor nesta coleção de livros, pois a obra é composta de 13 livros,
onde Euclides deu as definições de ponto, reta, plano e analisa a posição relativas de
retas no plano. Vejamos então as definições de Euclides para ponto, reta e plano.
Ponto: é o que não tem partes, ou seja não pode ser separado, portanto não tem
dimensão.
Reta: é o comprimento sem largura, ou seja, é uma linha formada por infinitos pontos
que não possui nem origem nem fim.
Plano: é uma superfície que tem apenas comprimento e largura.
A partir destas definições, Euclides consegue concluir uma série de coisas tais como:
as condições necessárias para que duas retas sejam paralelas. Vejamos a seguir
quais são estas condições:
Euclides

SENAI - Guarulhos8
Posição relativa de retas
Paralelas: sejam as retas r e s contidas no mesmo plano e formando com a
transversal t os ângulos α e β. Diz-se que a reta r é paralela a reta s se e somente se o
ângulo α for igual ao ângulo β. Em notação matemática ( r//s ⇔ α = β )
Concorrentes: duas retas contidas em um mesmo plano são concorrentes quando
possuem somente um ponto em comum.
Perpendiculares: retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes,
elas se cruzam em um único ponto, formando entre elas um ângulo de 90º.
r
s
α
β
.
r
s
P
.
s
r

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Posição relativa de retas e circunferência
A reta pode ocupar três posições em relação a uma circunferência.
Externa: reta externa é aquela que não intercepta a circunferência
Tangente: é a reta que tem apenas um ponto em comum com a circunferência.
Propriedade da reta tangente: ela é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de
tangência.
Secante: é a reta que tem dois pontos em comum com a circunferência.
Definição de circunferência
Circunferência é o conjunto de pontos de um plano eqüidistantes de um ponto do plano
chamado "centro", e essa distância chama-se "raio".
.
r
.
r.
.
r
.
centro
conjunto de pontos de um plano

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Elementos de uma circunferência.
A0 - "raio" é o segmento que une o centro a um ponto qualquer da circunferência.
BC - "corda" é o segmento que une dois pontos de urna circunferência.
DE - "diâmetro" é uma corda que passa pelo centro da circunferência e tem como
valor o dobro do raio.
Congruência de ângulos
Duas retas paralelas não coincidentes formam com uma transversal ângulos alternos e
correspondentes iguais.
OBS.: A palavra congruentes em geometria substitui a palavra iguais, Por isso
costuma-se dizer que dois ângulos são congruentes e não iguais.
opostos pelo vértice: hefgbcda ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ====
correspondentes: aegcdhbf ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ====
alternos internos: edfc ˆˆ,ˆˆ ==
alternos externos: habg ˆˆ,ˆˆ ==
.0
D
C B
E
A
r
s
^b
^a
^d
^c^e
^h
^g
^f

SENAI - Guarulhos 11
Exercício resolvido
1) - Calcule o valor dos ângulos indicados na figura abaixo:
Solução: Da definição de retas paralelas temos que â = 50°, pois como foi dito
anteriormente se r//s, então α=β . Podemos ainda ver pelo desenho acima que se
somarmos o ângulo aˆ com o ângulo bˆ esta soma deve ser igual a 180°, ou seja, bˆ é
suplemento de aˆ , logo bˆ = 180°- 50°= 130°.
0 mesmo acontece quando somamos os ângulos dˆ e cˆ , logo cˆ também pode ser
chamado de suplemento de dˆ e cˆ = 180°- 130°= 50°.
Se verificarmos os valores de aˆ e cˆ , veremos que estes são iguais, isto não é apenas
uma coincidência, isto sempre acontece, pois os ângulos aˆ e cˆ são opostos elo
vértice, e ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais, já o ângulo dˆ é 130°pois é
o oposto pelo vértice a bˆ , ou ainda ele é suplemento de aˆ e de cˆ . Aplicando o mesmo
raciocício podemos calcular os ângulos eˆ , fˆ e gˆ , chegando aos seguintes resultados:
eˆ = 130°, fˆ = 50°, gˆ = 130°
Outro fato importante deve ser observado é que os ângulos aˆ e fˆ são iguais, esta
observação é importante e futuramente ela nos ajudará a resolver inúmeros exercícios.
Existe uma maneira bastante prática que nos permite descobrir quem são os dois
ângulos iguais, no caso de aˆ e fˆ . Para tanto basta que tracemos sobre a figura a
letra Z da palavra "Zorro", veja desenho abaixo. Feito isto, teremos que os ângulos
internos a letra Z serão sempre iguais.
°50
gˆ
cˆ
dˆ
fˆ
eˆ
aˆ
bˆ
fˆ
aˆ

SENAI - Guarulhos12

Ângulos
Ângulos
Podemos definir ângulo como sendo a porção do plano limitado por duas semi-retas de
mesma origem (vértice do ângulo).
Os ângulos recebem nomes especiais conforme a sua abertura: ângulo agudo,
ângulo reto, ângulo obtuso e ângulo raso
Ângulo Agudo
É o ângulo cuja medida é menor que 90º
Ângulo Reto
É o ângulo cuja medida é exatamente 90º
Agudo
.
Reto
. ânguloVértice
r
s

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Ângulo Obtuso
É o ângulo que mede entre 90º e menos de 180º
Ângulo Raso
É o ângulo que tem exatamente 180º
Ângulos Complementares, Suplementares, Replementares
Complementares: dois ângulos são complementares quando a soma deles forma um
ângulo de 90º. Portanto para se calcular o complemento de um ângulo basta subtrair
de 90º o ângulo dado.
.
Obtuso
.
Raso
Complemento de α = ( 90º - α )

Suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma deles forma um
ângulo de 180º. Para se calcular o suplemento de ângulo basta subtrair esse ângulo de
180º.
Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma deles forma um
ângulo de 360º. E para se calcular o replemento de um certo ângulo dado basta
subtrair esse ângulo de 360º.
Suplemento de α = (180º - α)
Replemento de α = (360º - α )
α
Replemento de α

SENAI - Guarulhos16

Polígonos
Polígono
Polígono é o conjunto formado pela linha poligonal fechada e os pontos interiores.
Note que o polígono é uma região do plano e não só a linha poligonal. Mas, para
facilitar, daqui para frente vamos representar o polígono somente com a linha
poligonal. Veja mais alguns polígonos:
Polígonos regulares e irregulares
Polígono regular é aquele que possui todos os lados e ângulos congruentes.
Veja alguns polígonos regulares.
Observação
O sinal / indica mesma medida.
Polígono irregular é aquele que não possui todos os lados ou ângulos congruentes.

SENAI - Guarulhos18
Veja alguns polígonos irregulares.
Observação
Os sinais / e // indicam medidas iguais.
Você já viu, nesta unidade, figuras de polígonos com 3 lados, 4 lados, 5 lados...
Para se formar um polígono, precisa-se ter, no mínimo, 3 segmentos, isto é, o menor
números de lados de um polígono é três.
Alguns polígonos têm nomes especiais conforme o número de seus lados.
Número de
lados
Nome do
polígono
Número de
lados
Nome do
polígono
3 triângulo 9 eneágono
4 quadrilátero 10 decágono
5 pentágono 11 undecágono
6 hexágono 12 dodecágono
7 heptágono 15 pentadecágono
8 octógono 20 icoságono
Polígonos regulares inscrito e circunscrito
Polígono regular inscrito é aquele em que os vértices pertencem à circunferência.

Polígono regular circunscrito é aquele em que os lados tocam num ponto da
circunferência, isto é, os lados são tangentes à circunferência.
Elementos do polígono regular inscrito
• Centro – é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
• Vértice – é o ponto de encontro de dois de seus lados consecutivos.
• Lado – cada um dos segmentos de reta que constituem a linha poligonal.
• Raio – é o segmento de reta que une o centro a um vértice do polígono.
O – centro
A, B, C, D, E, F – vértices
AB , BC , CD , DE ,EF,FA - lados
OA , OB , OC, ... – raios
OA e OB - raios consecutivos
• Apótema – é o segmento de reta que vai do centro do polígono ao ponto médio de
um lado. O apótema é perpendicular a esse lado.
• Diagonal – é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos.
• Ângulo central – é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são
os raios consecutivos
• Ângulo interno – é o ângulo cujos lados contêm dois lados consecutivos de um
polígono.
OM - apótema m ( AM) = m (MB )
AE - diagonal
α - ângulo central (O – vértice; OB e OC - lados)
β - ângulo interno (CD e DE - lados do ângulo - lados
consecutivos do polígono)

SENAI - Guarulhos20
Observações
• O raio do polígono regular é o raio da circunferência circunscrita.
• O apótema do polígono regular é o raio da circunferência inscrita.
• A medida do ângulo central é dada por:
α =
n
360° , onde n = no
de lados do polígono regular
Triângulo
Triângulo é o polígono de 3 lados.
A, B, C→ vértices,
AB , AC , e BC → lados
^
A ,
^
B ,
^
C → ângulos internos.
x, y, z →ângulos externos (cada ângulo externo é o suplementar ao interno adjacente)
Classificação quanto aos ângulos
Se um triângulo possui os três ângulos agudos é chamado triângulo acutângulo.
Os ângulos
^
A ,
^
B e
^
C são menores que 90°.

Se um triângulo possui um ângulo obtuso é chamado triângulo obtusângulo.
O ângulo
^
F é maior que 90°.
Se um triângulo possui um ângulo reto é chamado triângulo retângulo.
O ângulo
^
G é reto, isto é, mede 90°.
Classificação quanto aos lados
Se um triângulo possui a mesma medida nos três lados recebe o nome de triângulo
equilátero.
Os lados AB , BC e AC possuem a mesma medida.
Observação
Os ângulos
^
A ,
^
B e
^
Ctambém possuem a mesma medida, igual a 60°.

SENAI - Guarulhos22
Se um triângulo possui dois lados com a mesma medida recebe o nome de triângulo
isósceles. O outro lado é chamado base.
Observação
Os ângulos
^
F e
^
E são chamados ângulos da base e têm a mesma medida.
Se um triângulo possui medidas diferentes nos três lados recebe o nome de triângulo
escaleno.
Exercício.
1. Classifique as figuras quanto aos lados e ângulos conforme o exemplo:
Exemplo
a)
isósceles acutângulo
b)
c)
d)
e)
O lado GH mede 35mm.
O lado HI mede 30mm.
O lado GI mede 20mm.
Observação
Os ângulos
^
G ,
^
H ,
^
I têm medidas diferentes.
Os lados DE e DF possuem a mesma medida.
O lado EF é a base.

Elementos do triângulo
Altura relativa a um lado é o segmento da perpendicular que vai do vértice oposto até
a reta suporte do lado.
Todo triângulo tem três alturas e o ponto de encontro delas chama-se ortocentro.
Mediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Todo triângulo tem três medianas e o ponto de encontro das mesmas chama-se
baricentro.
Bissetriz de um triângulo é o segmento que divide um ângulo ao meio e vai do vértice
do ângulo ao lado oposto.
Todo triângulo tem três bissetrizes e o ponto de encontro das três chama-se incentro.

SENAI - Guarulhos24
Exercícios
2. Desenhe um triângulo isósceles e retângulo e localize a altura relativa ao seu maior
lado.
3. Desenhe um triângulo equilátero de 2cm de lado e localize uma de suas alturas.
4. Copie o triângulo abaixo e localize o que se pede:
a) a altura relativa ao lado BC
b) a bissetriz relativa ao lado AB
c) a mediana relativa ao lado AC
5. Escreva o nome dos pontos assinalados nas figuras.
P = ? Q = ?

Observações
• Em qualquer triângulo, a medida de um dos lados é sempre menor que a soma
das medidas dos outros dois.
• A soma dos ângulos internos do triângulo é 180°.
• A soma dos ângulos externos do triângulo é 360°.
• Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado.
• Todo triângulo equilátero é também equiângulo (ângulos de mesma medida).
• Os ângulos da base do triângulo isósceles têm a mesma medida.
• No triângulo equilátero, as alturas, medianas e bissetrizes coincidem.
• No triângulo isósceles, a altura, mediana e bissetriz relativas à sua base
coincidem.
• Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas
dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Exercício
6. Calcule os ângulos desconhecidos nos triângulos, conforme o exemplo:
Exemplo
a) 45°
+ 80
125º
180º
- 125
55º
Resposta: ____°
b)

SENAI - Guarulhos26
c)
d)
e)
f)
g)
h)

Quadrilátero
Quadrilátero é o polígono de quatro lados.
AD e BC ; AB e CD são lados opostos;
^
A e
^
C;
^
B e
^
D são ângulos opostos.
^
A +
^
B +
^
C +
^
D = 360°( equivale a 4 ângulos retos )
AC e BD são diagonais
Os quadriláteros podem ser: paralelogramo e trapézio.
Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
AB // CD e BC // AD → lados opostos
^
A e
^
C;
^
B e
^
D → ângulos opostos.
Propriedades do paralelogramo
Em todo paralelogramo:
• os lados opostos têm a mesma medida
• os ângulos opostos têm a mesma medida
• as diagonais interceptam-se mutuamente ao meio
• cada diagonal o divide em 2 triângulos congruentes
• dois ângulos consecutivos são suplementares

SENAI - Guarulhos28
O paralelogramo pode ser:
• retângulo – é o paralelogramo que tem 4 ângulos retos
• losango – é o paralelogramo que tem 4 lados de mesma medida
• quadrado – é o paralelogramo que tem 4 lados e 4 ângulos de mesma medida, ou
é o retângulo de 4 lados de mesma medida.
retângulo losango quadrado
Observações
• As diagonais do retângulo têm a mesma medida.
• As diagonais do losango são perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos
internos.
• As diagonais do quadrado são congruentes, perpendiculares entre si e bissetrizes
dos ângulos internos.
Faça os exercícios no seu caderno.
7. Um dos ângulos de um paralelogramo mede 100°. Quanto medem os outros três?
8. O ângulo agudo de um losango mede 48°. Quanto mede o ângulo obtuso?
9. Calcule x e y nas figuras abaixo.
a)

b)
c)
Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que tem somente dois lados opostos paralelos. Os lados
paralelos são chamados de bases e a distância entre eles, altura.
BC // AD
BC → base menor
AD → base maior
CH → altura
^
A ,
^
B ,
^
C,
^
D → ângulos internos
^
A +
^
B +
^
C +
^
D = 360°
Os trapézios classificam-se em:
• isósceles – os lados não paralelos são congruentes
• escaleno – os lados não paralelos são desiguais
• retângulo – tem dois ângulos retos
escaleno isósceles retângulo

SENAI - Guarulhos30
Propriedades do trapézio
• Dois ângulos consecutivos de um trapézio que não são adjacentes à mesma base
são suplementares.
• No trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são congruentes
(mesma medida).
Exercícios
10. Em um trapézio isósceles, um dos ângulos adjacentes a uma das bases mede 50°.
Calcule a medida dos ângulos adjacentes à outra base (sugestão: desenhe).
11. Calcule x e y nas figuras:
a)
b)
c)

Sistema Sexagesimal
Introdução
Nas operações de mecânica é comum encontrar peças que têm detalhes inclinados
formando ângulos e também é comum acontecer desses ângulos exigirem grande
precisão em sua inclinação.
Para medir esses ângulos, usa-se o sistema sexagesimal. Segundo esse sistema, o
círculo é dividido em 360 partes iguais ou em 360 graus.
Dividindo o ângulo de um grau em 60 ângulos iguais, cada um desses ângulos mede
um minuto.
Suponhamos que o ângulo abaixo meça 1º.

SENAI - Guarulhos32
Vamos dividi-lo em 60 partes iguais.
Supondo que o ângulo de 1º tenha sido dividido em 60 partes, temos:
Cada uma dessas partes em que dividimos o ângulo de 1º eqüivale a 1 minuto.
Minuto é, então, uma unidade de medida de ângulo que eqüivale a
60
1
do grau.
E, se o minuto é
60
1
do grau, 1 grau é igual a 60 minutos.
O minuto é indicado com o símbolo ( ' ).
Assim, 1' lemos 1 minuto
60'. lemos 60 minutos,
30'. lemos 30 minutos.
Dividindo o ângulo de um minuto em 60 ângulos iguais, cada um desses ângulos
mede 1 segundo.
Segundo é uma unidade de medida de ângulo que eqüivale a
60
1
do minuto.
Assim, 1 segundo eqüivale a
60
1
do minuto,
1 minuto eqüivale a 60 segundos.
O segundo é indicado com o símbolo ( " ).
Assim, 1" lemos 1 segundo,
60" lemos 60 segundos.
Resumindo:
O grau é a unidade legal e divide-se em 60 minutos. E, finalmente, cada minuto
corresponde a 60 segundos.
Representações: grau ( º ) - corresponde a
360
1
da circunferência ou 60 minutos;
minuto ( ' ) - corresponde a
60
1
de 1º (um grau) ou 60 segundos;
segundo ( " ) - corresponde a
60
1
do minuto
Exemplo: 54o
31’12” - Lê-se: 54 graus, 31 minutos e 12 segundos.

Adição de medidas de ângulo
Para somar medidas de ângulos, precisamos, antes de tudo, saber montar a conta.
Vamos ver o exemplo 2º1’30” + 3º7’4”.
Colocamos os graus abaixo dos graus, os minutos embaixo dos minutos, os segundos
embaixo dos segundos.
2º 1’ 30”
+ 3º 7’ 4”
Percebeu o alinhamento dos graus, dos minutos e dos segundos?
Monte esta conta:
20º 3’ 17” + 5º 17’ 15”
Pode acontecer que uma das parcelas a serem somadas não contenha as três
unidades.
Neste caso, você deve montar a conta do mesmo jeito, não misturando nunca
unidades diferentes.
Monte esta outra conta:
3º 8’ 51” + 1º 8’ 30” + 4º 17’ 3”

SENAI - Guarulhos34
No exemplo que vem a seguir, uma parcela possui graus e segundos e a outra,
graus e minutos.
Observe: 1º 30” + 19º 8’.
Como é que montamos essa conta ?
Veja:
8'19º
30"1º
+
Veja bem: mesmo que não haja unidade, deve-se deixar o espaço dessa unidade, de
modo a fazer coincidir grau com grau, minuto com minuto, segundo com segundo.
Faça você agora a montagem das seguintes contas:
18º 6’ + 7º 45” 38º 30’ + 13º 25”
E como fazer a adição de medidas de ângulos?
Não há dificuldades.
Somamos as unidades separadamente:
graus com graus,
minutos com minutos,
segundos com segundos.
Assim:
43"
35"40'12º
8"1'º25
+
= =
É claro que fazemos a conta de uma vez só.
Aqui, fizemos em três passos, somente para você entender melhor.
Notou os 8’ da 2ª
parcela debaixo do espaço
reservado aos minutos da 1ª
parcela ?
Da mesma forma, os 30” da 1ª
parcela devem ficar na
direção do espaço dos da 2ª
parcela.
25º 1’ 8”
+ 12º 40’ 35”
37º 41’ 43”
35"12º40'
8"1'25º
+
41' 43"

Faça você sozinho.
a) 34º 7’ + 1º 30’ b) 8º 7’ 28” + 1º 6’ 5”
Vamos continuar. Observe a conta:
12º 9’ 53”
+ 8º33’ 30”
20º42’ 83”
Reparou que o resultado nos segundos é maior que 60?
Se no resultado de uma adição de medidas de ângulos, encontramos 60 segundos ou
mais de 60 segundos, fazemos o que vem a seguir.
1) Transformamos os segundos em minutos:
60
23"
60
"83
− 1’
2) Colocamos o resto da divisão no lugar dos segundos.
Assim:
12º 9’ 53”
+ 8º33’ 30”
20º42’ ”
23”
3) Somamos os minutos encontrados na transformação com os minutos do resultado.
Desta maneira:
12º 9’ 53”
+ 8º33’ 30”
20º42’ ”
+ 1’ 23”
20º 43’ 23”
Então, 12º 9’ 53” + 8º 33’ 30” = 20º 43’ 23”.

SENAI - Guarulhos36
Calcule:
a) 24º 15’ 13” + 4º 10’ 57”
b) 45º 55” + 10º 10” + 30º 8’
Observe esta outra adição:
2º27’50”
+12º57’ 1”
14º84’51”
O que fazemos, se são os minutos que ultrapassam 60?
Se, no resultado de uma adição de medidas de ângulo, encontramos 60 minutos ou
mais de 60 minutos, fazemos o que vem a seguir.
1) Transformamos os minutos em graus:
60
24'
60
'84
−
1º
2) Colocamos o resto da divisão no lugar dos minutos do resultado:
2º 27’ 50”
+ 12º 57’ 1”
14º ’ 51”
24

3) Somamos os graus encontrados com os graus do resultado:
2º 27’50”
+ 12º 57’ 1”
14º ’51”
+ 1º 24’
15º 24’ 51”
Exercícios
1. Faça as adições:
2 Faça uma linha em volta da resposta certa. 3º 7’ + 6º 28’ =
11º 36’ 9º 35’ 12º 35’ 10º 36’
3 Escreva ( C ) se a conta estiver certa e ( E ) se estiver errada.
( ) 2º 45’ 50” + 50º 7’ 2” = 52º 52’ 52”
( ) 45º 12’ 23” + 5º 47’ 24” + 12º 16’ 23” = 63º 16’ 10”
Teremos, então: 2º 27’ 50” + 12º 57’ 1” = 15º 24’ 51”.
b) 8º 12’ 20” + 32º 50’
d) 25º 47’ 23” + 14º 33’ 12” e) 48º 50’ 15” + 45º 49’ 27”
c) 19º 54’ 30” + 35’ 35”
f) 112º 51’ 3” + 55’ 35”
a) 4º 5’ 14” + 1º 55’ + 23º 6”

SENAI - Guarulhos38
Exercícios de aplicação - complemento, suplemento e replemento de ângulos
1. Calcular o complemento dos ângulos abaixo:
a) 55º =
b) 73º =
c) 28º 30'
d) 90º =
e) 32º 28' 13" =
f) 45º 80' 65" =
g) 89º 58' 01 " =
h) 00º 59'59" =
i) 10º 12' 24" =
j) 125º =
k) 89º 59' 60" =
l) 50" =
2. Calcular o suplemento dos ângulos abaixo:
a) 155º =
b) 210º =
c) 180º =
d) 101º =
e) 128º 28' =
f) 132º 12" =
g) 35º 14' 36" =
h) 00º 59' 56" =
i) 189º 58' 23" =
j) 179º 06' 36" =
k) 112º 60' =
l) 0º 0' 1" =
3. Calcular o replemento dos ângulos abaixo:
a) 270º =
b) 360º =
c) 20º =
d) 322º 23' =
e) 358º 30" =
f) 122º 76" =
g) 3600º =
h) 180º 240" =
i) 200º 12' 56" =
j) 25º 6' 43" =
k) 357º 176' 240" =
l) 402º =

Subtração de medidas de
ângulo
observe a conta.
49º 9’ 2” – 17º 5’ 1”
Também para subtrair medidas de ângulos, é preciso que os graus fiquem embaixo dos
graus, os minutos embaixo dos minutos e os segundos embaixo dos segundos.
assim:
1"5'17º
2"9'49º
−
Se faltar alguma unidade na medida, a conta é montada como você aprendeu em
adição: sem misturar unidades diferentes.
Monte a conta.
25º 40’ 30” – 15º 25”

SENAI - Guarulhos40
E como subtrair?
A subtração de medidas de ângulos é feita separadamente:
subtraímos graus dos graus,
minutos dos minutos
e segundos dos segundos.
Assim:
07"
17"
24"
28'35º-
35'º84
Faça as seguintes subtrações:
a) 47º 9’ 5” – 13º 5’ 1” b) 150º 45’ 30” – 50º 25’
Veja esta conta:
26º-
º48
43'
15'
Você deve estar pensando que não é possível subtrair 43’ de 15’.
Quando, numa subtração, não é possível subtrair uma das unidades de medida,
precisamos emprestar um da unidade de medida imediatamente superior, isto é,
emprestar um grau para os minutos ou um minuto para os segundos.
Neste caso, vamos emprestar um grau para os minutos.
Para emprestar um grau para os minutos, fazemos o que vem a seguir.
1) Tiramos 1º
da medida:
43'
15'
26º-
º48
º47
Tirando 1º de 48º, ficamos com 47º.
07"
17"35º-
24"º84
07'
28'
35'
07"07'
17"28'-
24"35'
49º
35º
84º
= =

2) Transformamos esse grau em 60’ (1 x 60’ = 60’)
E somamos aos minutos da medida.
Como temos 15’ na conta, somamos 15’ + 60’, encontramos 75’.
3) Substituímos os minutos da medida pelo resultado encontrado:
47º75’
- º ’
4) Fazemos a subtração usando 47º 75’:
47º75’
º ’
- 26º 43’
Assim, 48º 15’ – 26º 43’ = 21º 32’.
Vamos ver mais um exemplo.
40'44º
30'º145
−
Emprestamos 1º de 145º, porque não podemos tirar 40’ de 30’.
145º - 1º = 144º
Vamos substituir os 145º por esse resultado:
144º
º30’
- 44º 40’
Transformamos 1º em minutos: 1º = 60’.
Somamos 60’ + 30’ = 90’

SENAI - Guarulhos42
Subtraímos os 30’ por esse resultado:
144º90’
º30’
- 44º40’
Subtraímos:
144º 90’
º ’
- 44º 40’
Logo, 145º 30’ – 44º 40’ = 100º 50’.
Agora faça você, seguindo os passos indicados.
50'20º-
15'º75
Não se pode tirar 50’ de 15’.
Então, empresta-se 1º de 75º. Assim, 75º - 1º =
Substitua os 75º por esse resultado.
Transforme em minutos o grau emprestado:
Some esse resultado aos 15’: .
Substitua os 15’ por esse resultado.
Faça a subtração.
Escreva a resposta no traço: .

Exercício
Agora, faça as contas a seguir sozinho.
a) 32º 18’ – 10º 20’
b) 70º 9’ 30” – 38º 15’ 20”
c) 27º 27’ 30” – 18º 30’ 25”
Observe a seguinte conta:
44"15'20º-
25'º44 30"
Não podemos subtrair 44” de 30”.
Precisamos emprestar um minuto para os segundos.
Para emprestar 1 minuto para os segundos, fazemos o que vem a seguir.
1) Tiramos 1’ dos minutos da medida:
24’
44º ’30”
- 20º15’44”
Tirando 1’ de 25’, ficamos com 24’.
2) Transformamos esse minuto em 60” e somamos com os segundos da medida:
1 x 60” = 60”
30” + 60” = 90”

SENAI - Guarulhos44
3) Substituímos os segundos da media pelo resultado encontrado:
24’90”
44º ’ ”
- 20º15’44”
4) Fazemos a subtração:
24’90”
44º ’ ”
- 20º15’44”
24º 9’46”
Faça você sozinho.
90º 30’ 15” – 45º 10’ 30”
Faça a subtração.
180º 50’ 10” – 59º 25’ 40”
Agora, observe esta outra conta:
45"50'39º-
º69 30"45'
Neste caso será preciso emprestar 1 minuto para os segundos e 1 grau para os
minutos.

Vejamos como resolver este exemplo de subtração.
• Tiramos 1’ da unidade minutos:
44’
69º ’30”
- 39º50’45”
Tirando 1’ de 45’ ficamos com 44’.
• Transformamos esse minuto em 60” e somamos com os segundos da medida:
1 x 60” = 60”
30” + 60” = 90”
• Substituímos os segundos da medida pelo resultado encontrado:
44’90”
69º ’ ”
- 39º50’45”
• Fazemos a subtração da unidade segundos:
44’90”
69º ’ ”
- 39º50’45”
45”
• Fazemos o mesmo com os minutos.
Como não podemos subtrair 50’ de 44’, tiramos 1º da unidade grau.
69º - 1º = 68º.
Ficamos com 68º.
• Transformamos esse grau em 60’ e somamos com os minutos da medida:
1 x 60’ = 60’
44’ + 60’ = 104’
• Substituímos os minutos da medida pelo resultado encontrado:
104’
68º ’90”
º ’30”
- 39º 50’45”
45”

SENAI - Guarulhos46
• Fazemos a subtração das unidades minutos e graus:
104’
68º ’90”
º ’ ”
- 39º 50’45”
29º 24’45”
Então, 69º 45’ 30” – 39º 50’ 45” = 29º 54’ 45”
Exercício
Faça as subtrações:
a) 2º 7’ 15” – 1º 9’ 16”
b) 15º 13’ 40” – 5º 20’ 50”
c) 90º 45’ 15” – 22º 50’ 50”
Observe:
30'22º-
º90
Como você subtrai graus e minutos de graus?
Se não há unidade minuto na medida 90º, isto significa que o seu valor é zero.
Não se pode subtrair 30’ de zero minutos.
30'22º
º90 00'
−

Emprestamos, então 1º da unidade graus: 90º - 1º = 89º.
1º corresponde a 60’. Colocamos 60’ no lugar da unidade minutos.
A operação fica assim:
89º60’
º ’
- 22º30’
Subtraímos:
89º60’
º ’
- 22º30’
67º30’
Exercício
Faça as contas abaixo:
a) 180º - 154º 45’
b) 45º - 14º 25’
c) 47º - 17º 5’
Você sabe fazer esta conta?
50"50'22º-
45'º90
Não podemos subtrair 50” de zero segundos logo, emprestamos 1’ da unidade minuto:
1’ = 60” e fazemos a substituição:
44’60’
90º ’00
- 22º50’50”

SENAI - Guarulhos48
Subtraímos os segundos.
44’60’
90º ’00
- 22º50’50”
10
Também não podemos subtrair 50’ de 44’. Emprestamos 1º para os minutos. 1º = 60’
Somamos 60’ aos minutos da medida:
60’ + 44’ = 104’.
Fazemos a subtração:
104’
89º ’ 60”
º ’ 00
- 22º50’ 50”
67º54’ 10”
Exercício
Agora faça sozinho as seguintes contas:
a) 150º 20’ – 50º 20’ 35”
b) 180º 30’ – 41º 4’ 47”
Vejamos mais um caso de subtração de medidas de ângulos.
50"20'79º
º180
−
Não há unidades nos minutos e nos segundos da medida 180º.
O valor dessas unidades é zero.
50"20'79º
º180 00"00'
−

Então, emprestamos 1 unidade dos graus e a transformamos em 60’.
Fica assim:
179º 60’
- º ’00”
79º 20’50”
Da mesma forma, emprestamos 1 unidade dos minutos e a transformamos em 60”:
59’
179º ’60”
º ’ ’
- 79º20’ 50”
Fazemos a subtração:
59’
179º ’60”
º ’ ”
- 79º 20’ 50”
100º 39’ 10”
Exercício
Subtraia:
a) 113º - 90º 44’ 26”
b) 35º - 28º 15' 47"
c) 90º - 1º 12' 33"

SENAI - Guarulhos50

Relação de Pitágoras
No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto ( o maior ) recebe o nome de
hipotenusa, e os outros dois lados chamam-se catetos.
A relação entre a hipotenusa e os catetos no triângulo retângulo é:
o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.
Resumindo:
c Medida da hipotenusa c2
= a2
+ b2
c = ba 22
+
b Medida do cateto menor b2
= c2
- a2
b = a-c 22
a Medida do cateto maior a2
= c2
- b2
a = bc 22
−
Onde:
c2
= 52
= 25
a2
= 42
= 16
b2
= 32
= 9
25 = 16 + 9
C2
= a2
+ b2
.

SENAI - Guarulhos52
Aplicação da relação de Pitágoras
• Nos polígonos
Em cálculos de diagonais e alturas e vice-versa.
• Nas oficinas
Em cálculos de cotas não especificadas no desenho.
• Peças cônicas e manípulos
Em cálculos de medidas para verificação e construção.
Nos encaixes rabo-de-andorinha e porcas.
Exemplo
Calcular a cota D.

1o
passo: encontrar o triângulo e destacá-lo.
2o
passo: aplicar a relação de Pitágoras.
x2
= 182
+ 242
⇒ x = 2418 22
+ ⇒
x = 576324 + ⇒ x = 009 ⇒ x = 30
D = 2x ⇒ D = 60
Aplicação prática de trigonométrica
1) Determinar o tamanho da inclinação do carro porta-ferramenta para tornear o
ângulo da peça seguinte:
x

SENAI - Guarulhos54
Solução:
Monta-se um triângulo com as medidas existentes e determina-se o ângulo de
inclinação.
Temos o triângulo:
Podemos resolver com qualquer das funções que envolvem os dois catetos (tg ou
cotg). No caso, utilizaremos a tangente.
tg α =
centecatetoadja
opostocateto
=
15
5
⇒ tg α = 0,333
E, com esse número, procuramos na tabela de tangentes o ângulo correspondente
(0,333 é a tangente de 18º 26').
A inclinação deve ser 18º 26'
2) Determinar o diâmetro de um eixo para que, em uma de suas extremidades, seja
feito um quadrado de 10mm de lado.

Solução:
No triângulo, temos um lado e queremos determinar a hipotenusa. Precisamos, então,
de uma função que envolva um dos lados do triângulo e a hipotenusa (seno ou co-
seno).
Apliquemos o co-seno:
cos α =
hipotenusa
adjacentecateto
hipotenusa =
αcos
adjacentecateto
cos α (45º) = 0,7071
Hipotenusa =
0,7071
10
= 14,1
do eixo = 14,1

SENAI - Guarulhos56
Exercícios
1) Calcule a distância x.
2) Calcule a cota x.
3) Calcule a cota p.

4) Calcule a cota a.
5) Calcule a distância AC.
6) Determine L.
300
86,6

SENAI - Guarulhos58
7. De um aço redondo de 65mm se deseja fresar um quadrado. Calcule o
comprimento dos lados do quadrado.
8. Deseja-se tornear um cone com uma relação de 1:10. Determinar o diâmetro D.

Semelhança de Triângulos
Observe as figuras a seguir.
Esses conjuntos, apesar de não terem o mesmo tamanho, guardam entre si uma
propriedade, que é ter a mesma forma.

SENAI - Guarulhos60
Figuras que conservam a mesma forma, mas que variam no tamanho são chamadas
de figuras semelhantes.
Estudaremos, em particular, a semelhança de triângulos. Observe agora os triângulos
(construídos com medidas aproximadas):
Os ângulos correspondentes são congruentes:
Aˆ ≅ Mˆ (105º)
Bˆ ≅ Nˆ (46º)
Cˆ ≅ Oˆ (29º)
Observação
Congruente = mesma medida (≅)
Quando os ângulos correspondentes de dois triângulos forem de mesma medida
(congruentes) dizemos que são triângulos semelhantes.
Observação
Os lados opostos aos ângulos congruentes podem ser denominados de lados
correspondentes.

Observe novamente os triângulos e os lados correspondentes.
4 mm e 8 mm são opostos aos ângulos de 105º; logo, são lados correspondentes. Veja
também que: 2 mm e 4mm são opostos aos ângulos de 29º; logo, são lados
correspondentes. 3 mm e 6 mm são opostos aos ângulos de 46º; logo, são lados
correspondentes.
Agora vamos estabelecer as razões entre os lados correspondentes dos triângulos
MN
AB
=
4
2
=
2
1
NO
BC
=
8
4
=
2
1
OM
CA
=
6
3
=
2
1 MN
AB
=
NO
BC
=
OM
CA
= constante
Os lados correspondentes são proporcionais:
Essa constante se chama razão de semelhança.
Assim, podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes se os ângulos
correspondentes forem congruentes e os lados correspondentes forem
proporcionais.
Indicamos a semelhança entre o ABC e o MNO, assim:
ABC ~ MNO
Usamos o sinal ~ para indicar semelhança entre figuras.

SENAI - Guarulhos62
Exercício
1 Copie e responda por escrito o que se pede:
∗ o triângulo foi construído com medidas aproximadas
a) Dado o MNO, quais são os ângulos correspondentes a Mˆ , Nˆ , Oˆ no PQR?
b) Dadas as medidas 11,4mm; 7,5mm; 10,2mm do MNO, quais medidas são
correspondentes no PQR?
c) Qual é a razão
PR
MO
= ?
d) Qual é a razão
PQ
MN
= ?
e) Qual é a razão
QR
NO
= ?
f) Podemos estabelecer a relação
PR
MO
=
PQ
MN
=
QR
NO
= ?
Para descobrirmos se dois triângulos são semelhantes usamos os casos de
semelhança de triângulos, que são:

1o
caso: Ângulo (AA)
Se dois triângulos tiverem dois ângulos congruentes, então esses triângulos serão
semelhantes.
Veja:
2o
caso: Lado – Ângulo – Lado (LAL)
Se dois triângulos tiverem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo
compreendido entre eles respectivamente congruentes, esses triângulos serão
semelhantes.
3o
caso: Lado – Lado – Lado (LLL)
Se dois triângulos tiverem os lados correspondentes proporcionais, esses triângulos
serão semelhantes.

SENAI - Guarulhos64
Observe:
2
4
=
3
6
=
4
8
= 2
Resumindo
Se, em dois triângulos, os ângulos correspondentes são congruentes e as medidas dos
lados correspondentes são proporcionais, eles são semelhantes. Para constatar a
semelhança não há necessidade de verificar os 3 lados e os 3 ângulos. Basta utilizar
um dos 3 casos citados (AA; LAL e LLL).
Usando semelhança de triângulos podemos resolver determinados problemas com o
auxílio da proporção. Veja alguns exemplos:
1o
) Calcule x, sendo ABC ~ DEF.
Sugestão:
1o
passo: Chame o ABC de 1 e o DEF de 2.
20
passo: Identifique os lados e ângulos correspondentes.

3o
passo: Estabeleça a razão entre os lados:
⇒
40
70
=
x
35
=
32
56
ou ⇒
70
40
=
35
x
=
56
32
4o
passo: Escolha uma proporção qualquer que envolva o dado desconhecido (x) e
calcule-o.
Assim:
40
70
=
x
35
70 . x = 40 . 35
70x = 1400
x =
07
0140
/
/
⇒ X = 20
Logo, o valor do x (DE) é 20 ou ainda:
x
35
=
32
56
x . 56 = 35 . 32
x . 56 = 1120
x =
56
1120
⇒ X = 20
Às vezes, os ângulos congruentes não estão localizados e os triângulos não estão
indicados claramente. Veja:
2o
) Calcule a medida da base do triângulo maior:
XY //CB
XY = 30
AX = 15
XC = 25
CB = ?

SENAI - Guarulhos66
Sugestão: Observe que a figura acima pode ser vista assim:
Portanto Xˆ ≅ Cˆ e Yˆ ≅ Bˆ (ângulos agudos de 2 paralelas cortadas por transversal) ou,
separando os triângulos, assim:
Agora procedemos como no 1o
exemplo:
AYX∆
ABC∆
→
15
40
=
30
x
15 . x = 40 . 30
15x = 1200
x =
15
1200
X = 80

Exercício
2 Calcule a cota desconhecida.
Calcule os segmentos desconhecidos dos triângulos semelhantes abaixo:
a)
b)
BE //CD
m( AB ) = 6cm
m( AE ) = 4cm
m( AD) = 10cm
m( AC ) = x
c)
d) CD//BE
m( AC ) = x
m( AD) = 20mm
m( AE ) = 8mm
m( AB ) = 12mm

SENAI - Guarulhos68

Relações Métricas no
Triângulo Retângulo
Observe o triângulo retângulo ABC:
hipotenusa: a
cateto menor: b
cateto maior: c
altura: h
m e n: projeções
m: projeção ortogonal do cateto menor b
n: projeção ortogonal do cateto maior c

SENAI - Guarulhos70
Lembrete:
Desenho técnico – Projeção Ortogonal
Resumindo:
A projeção do cateto AC no plano Θ é o segmento (m) que une as projeções dos
pontos A e C no referido plano.
Observe o triângulo retângulo ABC:
A altura h determina três triângulos:
∆ 1 : HAC
∆ 2 : HBA
∆ 3 : ABC
que são, dois a dois, semelhantes.

Note que foram colocadas medidas nos ângulos para facilitar a verificação do caso AA
de semelhança. Memorize a posição dos ângulos congruentes. Acompanhe a
separação do triângulo acima nos ∆ 1, ∆ 2, ∆ 3 :
1o
caso: ∆ 1 HAC ~ ∆ 3 ABC
ou, colocando-os na mesma posição:
→Razões de semelhança:
1
3
∆
∆
→
b
a
=
m
b
=
h
c
2o
caso: ∆ 3 ABC ~ ∆ 2 HBA

SENAI - Guarulhos72
ou, colocando-os na mesma posição:
2
3
∆
∆
→ c
a
=
h
b
=
n
c
3o
caso: ∆ 1 ACH ~ ∆ 2 ABH
ou colocando-os na mesma posição:
1
2
∆
∆
→ b
c
=
m
h
=
h
n

Resumindo os três casos temos as proporções:
1o
2o
3o
Vamos relacionar algumas já assinaladas acima:
c
a
=
h
b
b
a
=
m
b
c
a
=
n
c
m
h
=
h
n
Aplicando a propriedade das proporções temos:
a . h = b . c ou hip . alt = Cat1 . Cat2
b . b = a . m ou b2
= a . m ou
2
1Cat = hip . proj1
c . c = a . n ou c2
= a . n ou
2
2Cat = hip. . proj2
h . h = m . n ou h2
= m . n ou alt2
= proj1 . proj2
Essas fórmulas são chamadas de relações métricas do triângulo retângulo. Podemos
acrescentar mais duas a elas. Veja:
a = m + n (observe a figura)
a2
= b2
+ c2
→ relação de Pitágoras
Esta última relação é obtida da seguinte forma:
Consideramos as relações: e :
b2
= am
=
22
2
cb
c
+ =
anam
an
+
→ somamos membro a membro
→ colocamos a em evidência no 2o
membro
b
2

SENAI - Guarulhos74
b2
+ c2
= a(m + n) → como m + n = a teremos:
b2
+ c2
= a . a ou
b2
+ c2
= a2
ou ainda
a2
= b2
+ c2
Vamos ver, a seguir, algumas aplicações dessas relações.
a . h = b . c
b2
= a . m
c2
= a . n
h2
= m . n
a = m + n
a2
= b2
+ c2
a → hipotenusa
b → cateto
c → cateto
h → altura
m → projeção de
b
n → projeção de
c
Exemplos:
a) Calcule a altura h.
letras do formulário dados do problema
h = h
m = 3
n = 27
h2
= m . n
h2
= 3 . 27
h2
= 81
h = 81 h = 9

Portanto:
1) Escrevemos os dados utilizando as letras do formulário numa coluna e os
dados do problema em outra.
2) Escolhemos a fórmula.
3) Substituímos pelos valores e efetuamos as operações.
b) Calcule x, y e z.
Dados:
a = 50
b = 30
c = 40
n = x
m = y
h = z
c2
= a . n b2
= a . m a . h = b . c h2
= m . n
402
= 50 . x 302
= 50 . y 50 . z = 30 . 40 z2
= 32 . 18
1600 = 50x 900 = 50y 50 . z = 1200 z2
= 576
x =
05
0160
/
/
y =
05
090
/
/
z =
05
0120
/
/
z = 576
X = 32 Y = 18 Z = 24 Z = 24
Faça o exercício.
5 Escreva os dados e escolha as fórmulas adequadas, calculando o que se pede:
a) Calcule a

SENAI - Guarulhos76
b) Calcule h
c) Calcule b
d) Calcule e e h
e) Calcule x

f) Calcule k, x e y
g) Calcule q, x e y

SENAI - Guarulhos78

Círculo Trigonométrico
Estudos das funções do Círculo Trigonométrico
Vamos tomar como base uma circunferência de raio unitário (R = 1), e sobre o
mesmo tracemos dois eixos perpendiculares entre si, e passando pelo centro.
Desta forma podemos notar, que o circulo ficará dividido em 4 partes iguais, e a
cada parte denominamos de quadrante (pois equivale à quarta parte da
circunferência). No cruzamento dos eixos fica então definida a origem do sistema de
coordenadas.
Vamos orientar o sentido positivo dos eixos, através de uma simbologia (seta)
adotando a seguinte convenção: no eixo horizontal, os pontos que estiverem à direita,
a partir da origem terão sinais positivos (+) e o sentido da seta apontará para a direita e
os que tiverem sentido contrário em relação à origem serão negativos (-). A mesma
analogia será utilizada para o eixo vertical, onde os pontos que estiverem acima da
origem terão sinal positivo e o sentido da seta apontará para cima; os que estiverem
em sentido contrário à origem terão sinal negativo (-).
Ao eixo vertical, daremos o nome de eixo dos senos e o eixo horizontal será o
eixo dos co-senos.
O primeiro quadrante estará contido no plano dos dois semi-eixos com orientação
positiva. A partir daí seguindo-se o sentido anti-horário enumeram-se os demais
quadrantes.
Em seguida, construiremos outros dois eixos paralelos aos eixos anteriores que
passem tangenciando o círculo trigonométrico, sendo que estarão à direita e acima dos
eixos dos senos e dos co-senos respectivamente.
Daremos nomes à estes eixos da seguinte forma:
− eixo das tangentes é o eixo vertical que está paralelo ao eixo dos senos;
− eixo das cotangentes é o eixo horizontal que está paralelo ao eixo dos co-senos.

SENAI - Guarulhos80
A partir daí, tendo o círculo com os eixos devidamente colocados e orientados e
dividido em quadrantes, podemos definir as funções neste círculo trigonométrico.
Com a observação do gráfico, podemos definir sinais das funções em cada
quadrante:
I QUADRANTE
seno (+)
co-seno(+)
tangente (+)
co-tangente( +)
II QUADRANTE
seno (+)
co-seno (-)
tangente (-)
co-tangente (-)
III QUADRANTE
seno (-)
co-seno (-)
tangente (+)
co-tangente (+)
IV QUADRANTE
seno (-)
co-seno (+)
tangente (-)
co-tangente (-)
co-seno αααα
eixo dos
senos
eixo das
tangentes
eixo das
cotangentes
tangente αααα
cotangente αααα
α
-1
-1
1
1 eixo dos
co-senos
senoαααα III
IVIII
90º
0º180º
270º
360º
(-)
(+)
(-)
(-)
(+)
(+)
(+)
(-)

Por meio do círculo trigonométrico podemos definir as funções trigonométricas como:
− seno de αααα é a medida da representação do ponto de intersecção da reta formada
pelo ângulo αααα com o círculo trigonométrico, no eixo dos senos. O valor desta medida
pode variar de -1 até 1, de acordo com o valor do ângulo αααα.
− co-seno de αααα é a medida da representação do ponto de intersecção da reta
formada pelo ângulo αααα com o círculo trigonométrico, no eixo dos co-senos. O valor
desta medida pode variar de -1 até 1, de acordo com o valor do ângulo αααα.
− tangente de αααα é a representação do ponto de intersecção da reta formada pelo
ângulo αααα com o eixo das tangentes. O valor desta medida pode variar de - ∞∞∞∞ até + ∞∞∞∞
(menos infinito até mais infinito), de acordo com o valor do ângulo αααα.
− co-tangente de αααα é a representação do ponto de intersecção da reta formada pelo
ângulo αααα com o eixo das co-tangentes. O valor desta medida pode variar de - ∞∞∞∞ até
+ ∞∞∞∞ (menos infinito até mais infinito), de acordo com o valor do ângulo αααα.

SENAI - Guarulhos82

Seno, Co-seno e Tangente
Os cálculos trigonométricos envolvem medidas de dois lados e um ângulo do triângulo
retângulo.
Os catetos recebem nomes especiais conforme sua posição em relação a um ângulo
agudo considerado. Veja:
Exemplos
Observe as figuras e especifique as medidas assinaladas.
• é o ângulo considerado ( )
• 50 mm é a medida da hipotenusa ( hip.)
• 36mm é a medida do cateto oposto a (c.o.)
a)
* o ângulo e o cateto não são citados

SENAI - Guarulhos84
• o ângulo considerado é
• a medida da hipotenusa (hip.) é 30mm
• a medida do cateto adjacente (c.a.) é 15mm
b)
* não há referência sobre e
• é o ângulo assinalado
• é o cateto oposto ( c.o.) a ele
• é o cateto adjacente ( c.a.) a ele
c)
* a hipotenusa ( ) e o outro ângulo ( ) não são citados
Exercício
1. Observe as figuras e responda:
a)
• Qual é o ângulo considerado?
• Qual é a medida da hipotenusa?
• Qual é o nome do lado que mede 10mm?
• Como se chama o lado do qual não se deu a medida?
b)
Ι ) = 30°
ΙΙ ) = 60°
32,91mm

Seno, co-seno e tangente
Sempre é possível estabelecer razão entre as medidas de dois lados de um triângulo
quando estão na mesma unidade.
Nos triângulos retângulos, a razão entre as medidas de dois de seus lados recebe um
nome especial: razão trigonométrica.
A palavra trigonométrica refere-se a triângulos (trigono) e às suas medidas (métrica).
Podemos calcular a razão entre as medidas dos lados desses triângulos. As razões
entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo (chamadas razões
trigonométricas) recebem nomes especiais.
Vamos verificar o que ocorre nos exemplos dados anteriormente:
a)
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a B (36mm) e a medida da
hipotenusa (50mm) teremos: = 0,72
Esta razão (0,72) recebe o nome de "Seno" (indica-se sen).
Portanto, 0,72 é o seno do ângulo considerado: . Simbolicamente, sen = 0,72.
b)
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto adjacente a Cˆ (15mm) e a medida da

SENAI - Guarulhos86
hipotenusa (50mm) teremos: = 0,3
Esta razão (0,3) recebe o nome de "Co-seno" (indica-se cos).
Portanto, 0,3 é o co-seno do ângulo considerado: . Simbolicamente; cos = 0,3.
c)
Se calcularmos a razão entre a medida do cateto oposto a (42mm) e a medida do
cateto adjacente a (71mm) teremos:
≈ 0,591
Esta razão recebe o nome de "Tangente" (indica-se tg).
Portanto, 0,591 é a tangente do ângulo considerado . Simbolicamente; tg ≈ 0,591.
Resumo
sen
cos
tg =

Exercício
2. Observe a figura e responda as questões.
a) Qual é o ângulo considerado?
b) Quanto mede o cateto oposto a ele?
c) Qual é a medida do cateto adjacente a ele?
d) Quanto mede a hipotenusa?
e) Calcule o valor do seno, co-seno e tangente do ângulo considerado.
Solução:
a) ângulo considerado é___________.
b) cateto oposto a ele mede ___________mm.
c) A medida do cateto adjacente a ele é ___________mm.
d) A hipotenusa mede ___________mm.
e) Seno = _______; co-seno = _________; tangente =___________
Recapitulando o que já vimos:
A razão trigonométrica
recebe o nome de seno do ângulo
ou
seno do ângulo = ou
sen =
.)hip(
.)o.c(

SENAI - Guarulhos88
recebe o nome de co-seno do ângulo
ou
co-seno do ângulo = ou
cos =
.)hip(
.)a.c(
recebe o nome de tangente
ou
tangente do ângulo = ou
tg =
.)a.c(
.)o.c(

Exercícios
3. Dadas as fórmulas (razões)
sen =
.)hip(
.)o.c(
cos =
.)hip(
.)a.c(
tg =
.)a.c(
.)o.c(
e os triângulos abaixo, faça o seguinte:
Ι) Escreva (a.i.) no ângulo indicado, (c.o.) no cateto oposto a ele, (c.a.) no cateto
adjacente e (hip.) na hipotenusa.
ΙΙ) Escolha a fórmula (razão) adequada de acordo com as medidas dadas e calcule a
razão trigonométrica.
a)
Resolução:
Ι) a.i. = _______
c.a. = _______mm
hip. = _______mm
ΙΙ) Como são dados (c.a.) e (hip.), a razão é co-seno.
Logo: cos =
Cos Cˆ = ______

SENAI - Guarulhos90
b)
Resolução:
Ι) a.i. = ________
c.o. = ________cm
c.a. = ________cm
ΙΙ) Como são dados (c.o.) e (c.a.) a razão é tangente.
Logo: tg =
)(
)(
tg =
c)
Resolução:
a.i. = __________
c.o. = __________cm
Ι)
hip.= ___________cm
ΙΙ) Como são dados (c.o.) e (hip.) a razão é seno.
Logo: sen =
)(
)(
sen 48°40’ =

sen 48°40’ = ___________
Observações
• Para calcular a razão aproxima-se até milésimos se a divisão não for exata.
• Se é dado o valor do ângulo considerado, substitui-se este valor na fórmula (ver
exemplo c).
4. Responda às questões propostas.
c) Quanto mede o cateto adjacente a ele?
e) Calcule o seno, o co-seno e a tangente do ângulo considerado.
5. considere o ângulo agudo e responda às mesmas questões em relação a ele.
c) Quanto mede o cateto adjacente a ele?
e) Calcule o seno, o co-seno e a tangente do ângulo considerado.

SENAI - Guarulhos92
6. Indique o ângulo considerado (a.i.), a hipotenusa (hip.), o cateto oposto (c.o.) e o
cateto adjacente (c.a.). Escolha a fórmula adequada e calcule o seno, co-seno ou
tangente.
a)
b)
c)
d)

Tabela das razões trigonométricas
Observe a razão seno para os triângulos abaixo:
No ABC temos sen30° =
20
10
= 0,5
No MNO temos sen30° =
15
5,7
= 0,5
No PQR temos sen30° =
5
5,2
= 0,5
Este valor constante permite o uso de tabelas.
Vamos ver como se utiliza uma tabela trigonométrica.
A consulta a qualquer uma delas é feita da mesma forma, portanto vamos trabalhar
com uma delas, por exemplo a de senos.

SENAI - Guarulhos94
A tabela de senos é formada por colunas e linhas. Assim:
Observe, na sua tabela, as linhas e as colunas:
• A primeira coluna indica a medida do ângulo em graus;
• A primeira linha indica os minutos;
• As outras colunas contêm os valores dos senos.
Notou que todos os senos possuem cinco casas depois da vírgula? Mas, mesmo
tendo encontrado um seno com três casas, você poderá localizá-lo na tabela.
Vamos ver, então, como encontramos na tabela a medida do ângulo que corresponde
ao valor de um seno conhecido. Como encontrar, por exemplo, a medida do ângulo
que tem como seno 0,078? Primeiro, localizamos na tabela o valor do seno,
procurando um número que comece por 0,078:
Note que, apesar de o seno possuir cinco casas na tabela, pudemos localizá-lo,
apenas observando as três primeiras casas do número.

Vamos, agora, encontrar a medida do ângulo. Na direção do seno localizando, na
primeira coluna, está a medida em graus, e, na primeira linha, estão os minutos:
Logo, a medida do ângulo que tem como seno 0,078 é 4°30’.
Não se preocupe com o fato de a tabela possuir tantos números, pois os senos
aparecem em ordem, aumentando sempre da esquerda para a direita:
0,00000 0,00291 0,00582 0,00873 0,01164 0,01454
0,01745 0,02036 0,02327 etc.
Às vezes, o número procurado não se encontra na tabela. Por exemplo: se você
procurar o seno = 0,093 não vai encontrá-lo. Encontrará 0,09585 (maior) e 0,9295
(menor). Neste caso, uma das soluções é utilizar o mais próximo. Veja como:
1º) Complete com zeros o seno procurado deixando-o com 5 casas decimais
(0,093 = 0,09300)
2º) Calcule a diferença entre ele e os dois mais próximos (maior e menor).
3º) Como 0,09295 é o seno mais próximo do seno procurado, a resposta à consulta é:
5°20’.

SENAI - Guarulhos96
TABELA DOS SENOS - 0º - 45º
0 10 20 30 40 50
0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145
1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320
2 0,0349 0,0378 0,0407 0,0436 0,0465 0,0494
3 0,0523 0,0552 0,0581 0,0610 0,0640 0,0669
4 0,0698 0,0727 0,0756 0,0785 0,0814 0,0843
5 0,0872 0,0901 0,0929 0,0958 0,0987 0,1016
6 0,1045 0,1074 0,1103 0,1132 0,1161 0,1190
7 0,1219 0,1248 0,1276 0,1305 0,1334 0,1363
8 0,1392 0,1421 0,1449 0,1478 0,1507 0,1536
9 0,1564 0,1593 0,1622 0,1650 0,1679 0,1708
10 0,1736 0,1765 0,1794 0,1822 0,1851 0,1880
11 0,1908 0,1937 0,1965 0,1994 0,2022 0,2051
12 0,2079 0,2108 0,2136 0,2164 0,2193 0,2221
13 0,2250 0,2278 0,2306 0,2334 0,2363 0,2391
14 0,2419 0,2447 0,2476 0,2504 0,2532 0,2560
15 0,2588 0,2616 0,2644 0,2672 0,2700 0,2728
16 0,2756 0,2784 0,2812 0,2840 0,2868 0,2896
17 0,2924 0,2952 0,2979 0,3007 0,3035 0,3062
18 0,3090 0,3118 0,3145 0,3173 0,3201 0,3228
19 0,3256 0,3283 0,3311 0,3338 0,3365 0,3393
20 0,3420 0,3448 0,3475 0,3502 0,3529 0,3557
21 0,3584 0,3611 0,3638 0,3665 0,3692 0,3719
22 0,3746 0,3773 0,3800 0,3827 0,3854 0,3881
23 0,3907 0,3934 0,3961 0,3987 0,4014 0,4041
24 0,4067 0,4094 0,4120 0,4147 0,4173 0,4200
25 0,4226 0,4253 0,4279 0,4305 0,4331 0,4358
26 0,4384 0,4410 0,4436 0,4462 0,4488 0,4514
27 0,4540 0,4566 0,4592 0,4617 0,4643 0,4669
28 0,4695 0,4720 0,4746 0,4772 0,4797 0,4823
29 0,4848 0,4874 0,4899 0,4924 0,4950 0,4975
30 0,5000 0,5025 0,5050 0,5075 0,5100 0,5125
31 0,5150 0,5175 0,5200 0,5225 0,5250 0,5275
32 0,5299 0,5324 0,5348 0,5373 0,5398 0,5422
33 0,5446 0,5471 0,5495 0,5519 0,5544 0,5568
34 0,5592 0,5616 0,5640 0,5664 0,5688 0,5712
35 0,5736 0,5760 0,5783 0,5807 0,5831 0,5854
36 0,5878 0,5901 0,5925 0,5948 0,5972 0,5995
37 0,6018 0,6041 0,6065 0,6088 0,6111 0,6134
38 0,6157 0,6180 0,6202 0,6225 0,6248 0,6271
39 0,6293 0,6316 0,6338 0,6361 0,6383 0,6406
40 0,6428 0,6450 0,6472 0,6494 0,6517 0,6539
41 0,6561 0,6583 0,6604 0,6626 0,6648 0,6670
42 0,6691 0,6713 0,6734 0,6756 0,6777 0,6799
43 0,6820 0,6841 0,6862 0,6884 0,6905 0,6926
44 0,6947 0,6967 0,6988 0,7009 0,7030 0,7050
45 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173

TABELA DOS SENOS - 45º - 90º
0 10 20 30 40 50
45 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173
46 0,7193 0,7214 0,7234 0,7254 0,7274 0,7294
47 0,7314 0,7333 0,7353 0,7373 0,7392 0,7412
48 0,7431 0,7451 0,7470 0,7490 0,7509 0,7528
49 0,7547 0,7566 0,7585 0,7604 0,7623 0,7642
50 0,7660 0,7679 0,7698 0,7716 0,7735 0,7753
51 0,7771 0,7790 0,7808 0,7826 0,7844 0,7862
52 0,7880 0,7898 0,7916 0,7934 0,7951 0,7969
53 0,7986 0,8004 0,8021 0,8039 0,8056 0,8073
54 0,8090 0,8107 0,8124 0,8141 0,8158 0,8175
55 0,8192 0,8208 0,8225 0,8241 0,8258 0,8274
56 0,8290 0,8307 0,8323 0,8339 0,8355 0,8371
57 0,8387 0,8403 0,8418 0,8434 0,8450 0,8465
58 0,8480 0,8496 0,8511 0,8526 0,8542 0,8557
59 0,8572 0,8587 0,8601 0,8616 0,8631 0,8646
60 0,8660 0,8675 0,8689 0,8704 0,8718 0,8732
61 0,8746 0,8760 0,8774 0,8788 0,8802 0,8816
62 0,8829 0,8843 0,8857 0,8870 0,8884 0,8897
63 0,8910 0,8923 0,8936 0,8949 0,8962 0,8975
64 0,8988 0,9001 0,9013 0,9026 0,9038 0,9051
65 0,9063 0,9075 0,9088 0,9100 0,9112 0,9124
66 0,9135 0,9147 0,9159 0,9171 0,9182 0,9194
67 0,9205 0,9216 0,9228 0,9239 0,9250 0,9261
68 0,9272 0,9283 0,9293 0,9304 0,9315 0,9325
69 0,9336 0,9346 0,9356 0,9367 0,9377 0,9387
70 0,9397 0,9407 0,9417 0,9426 0,9436 0,9446
71 0,9455 0,9465 0,9474 0,9483 0,9492 0,9502
72 0,9511 0,9520 0,9528 0,9537 0,9546 0,9555
73 0,9563 0,9572 0,9580 0,9588 0,9596 0,9605
74 0,9613 0,9621 0,9628 0,9636 0,9644 0,9652
75 0,9659 0,9667 0,9674 0,9681 0,9689 0,9696
76 0,9703 0,9710 0,9717 0,9724 0,9730 0,9737
77 0,9744 0,9750 0,9757 0,9763 0,9769 0,9775
78 0,9781 0,9787 0,9793 0,9799 0,9805 0,9811
79 0,9816 0,9822 0,9827 0,9833 0,9838 0,9843
80 0,9848 0,9853 0,9858 0,9863 0,9868 0,9872
81 0,9877 0,9881 0,9886 0,9890 0,9894 0,9899
82 0,9903 0,9907 0,9911 0,9914 0,9918 0,9922
83 0,9925 0,9929 0,9932 0,9936 0,9939 0,9942
84 0,9945 0,9948 0,9951 0,9954 0,9957 0,9959
85 0,9962 0,9964 0,9967 0,9969 0,9971 0,9974
86 0,9976 0,9978 0,9980 0,9981 0,9983 0,9985
87 0,9986 0,9988 0,9989 0,9990 0,9992 0,9993
88 0,9994 0,9995 0,9996 0,9997 0,9997 0,9998
89 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
90 1,0000

SENAI - Guarulhos98
TABELA DOS CO-SENOS - 0º - 45º
0 10 20 30 40 50
0 1,0000 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998
1 0,9998 0,9998 0,9997 0,9997 0,9996 0,9995
2 0,9994 0,9993 0,9992 0,9990 0,9989 0,9988
3 0,9986 0,9985 0,9983 0,9981 0,9980 0,9978
4 0,9976 0,9974 0,9971 0,9969 0,9967 0,9964
5 0,9962 0,9959 0,9957 0,9954 0,9951 0,9948
6 0,9945 0,9942 0,9939 0,9936 0,9932 0,9929
7 0,9925 0,9922 0,9918 0,9914 0,9911 0,9907
8 0,9903 0,9899 0,9894 0,9890 0,9886 0,9881
9 0,9877 0,9872 0,9868 0,9863 0,9858 0,9853
10 0,9848 0,9843 0,9838 0,9833 0,9827 0,9822
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13 0,9744 0,9737 0,9730 0,9724 0,9717 0,9710
14 0,9703 0,9696 0,9689 0,9681 0,9674 0,9667
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19 0,9455 0,9446 0,9436 0,9426 0,9417 0,9407
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30 0,8660 0,8646 0,8631 0,8616 0,8601 0,8587
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44 0,7193 0,7173 0,7153 0,7133 0,7112 0,7092
45 0,7071 0,7050 0,7030 0,7009 0,6988 0,6967

TABELA DOS CO-SENOS - 45º - 90º
0 10 20 30 40 50
45 0,7071 0,7050 0,7030 0,7009 0,6988 0,6967
46 0,6947 0,6926 0,6905 0,6884 0,6862 0,6841
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50 0,6428 0,6406 0,6383 0,6361 0,6338 0,6316
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89 0,0175 0,0145 0,0116 0,0087 0,0058 0,0029
90 0,0000

SENAI - Guarulhos100
TABELA DAS TANGENTES - 0º - 45º
0 10 20 30 40 50
0 0,0000 0,0029 0,0058 0,0087 0,0116 0,0145
1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0291 0,0320
2 0,0349 0,0378 0,0407 0,0437 0,0466 0,0495
3 0,0524 0,0553 0,0582 0,0612 0,0641 0,0670
4 0,0699 0,0729 0,0758 0,0787 0,0816 0,0846
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11 0,1944 0,1974 0,2004 0,2035 0,2065 0,2095
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19 0,3443 0,3476 0,3508 0,3541 0,3574 0,3607
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38 0,7813 0,7860 0,7907 0,7954 0,8002 0,8050
39 0,8098 0,8146 0,8195 0,8243 0,8292 0,8342
40 0,8391 0,8441 0,8491 0,8541 0,8591 0,8642
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42 0,9004 0,9057 0,9110 0,9163 0,9217 0,9271
43 0,9325 0,9380 0,9435 0,9490 0,9545 0,9601
44 0,9657 0,9713 0,9770 0,9827 0,9884 0,9942
45 1,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295

TABELA DAS TANGENTES - 45º - 90º
0 10 20 30 40 50
45 1,0000 1,0058 1,0117 1,0176 1,0235 1,0295
46 1,0355 1,0416 1,0477 1,0538 1,0599 1,0661
47 1,0724 1,0786 1,0850 1,0913 1,0977 1,1041
48 1,1106 1,1171 1,1237 1,1303 1,1369 1,1436
49 1,1504 1,1571 1,1640 1,1708 1,1778 1,1847
50 1,1918 1,1988 1,2059 1,2131 1,2203 1,2276
51 1,2349 1,2423 1,2497 1,2572 1,2647 1,2723
52 1,2799 1,2876 1,2954 1,3032 1,3111 1,3190
53 1,3270 1,3351 1,3432 1,3514 1,3597 1,3680
54 1,3764 1,3848 1,3934 1,4019 1,4106 1,4193
55 1,4281 1,4370 1,4460 1,4550 1,4641 1,4733
56 1,4826 1,4919 1,5013 1,5108 1,5204 1,5301
57 1,5399 1,5497 1,5597 1,5697 1,5798 1,5900
58 1,6003 1,6107 1,6213 1,6318 1,6426 1,6534
59 1,6643 1,6753 1,6864 1,6977 1,7090 1,7205
60 1,7321 1,7438 1,7556 1,7675 1,7796 1,7917
61 1,8041 1,8165 1,8291 1,8418 1,8546 1,8676
62 1,8807 1,8940 1,9074 1,9210 1,9347 1,9486
63 1,9626 1,9768 1,9912 2,0057 2,0204 2,0353
64 2,0503 2,0655 2,0809 2,0965 2,1123 2,1283
65 2,1445 2,1609 2,1775 2,1943 2,2113 2,2286
66 2,2460 2,2637 2,2817 2,2998 2,3183 2,3369
67 2,3559 2,3750 2,3945 2,4142 2,4342 2,4545
68 2,4751 2,4960 2,5172 2,5387 2,5605 2,5826
69 2,6051 2,6279 2,6511 2,6746 2,6985 2,7228
70 2,7475 2,7725 2,7980 2,8239 2,8502 2,8770
71 2,9042 2,9319 2,9600 2,9887 3,0178 3,0475
72 3,0777 3,1084 3,1397 3,1716 3,2041 3,2371
73 3,2709 3,3052 3,3402 3,3759 3,4124 3,4495
74 3,4874 3,5261 3,5656 3,6059 3,6470 3,6891
75 3,7321 3,7760 3,8208 3,8667 3,9136 3,9617
76 4,0108 4,0611 4,1126 4,1653 4,2193 4,2747
77 4,3315 4,3897 4,4494 4,5107 4,5736 4,6383
78 4,7046 4,7729 4,8430 4,9152 4,9894 5,0658
79 5,1446 5,2257 5,3093 5,3955 5,4845 5,5764
80 5,6713 5,7694 5,8708 5,9758 6,0844 6,1970
81 6,3138 6,4348 6,5605 6,6912 6,8269 6,9682
82 7,1154 7,2687 7,4287 7,5958 7,7704 7,9530
83 8,1444 8,3450 8,5556 8,7769 9,0098 9,2553
84 9,5144 9,7882 10,0780 10,3854 10,7119 11,0594
85 11,4301 11,8262 12,2505 12,7062 13,1969 13,7267
86 14,3007 14,9244 15,6048 16,3499 17,1693 18,0750
87 19,0811 20,2056 21,4704 22,9038 24,5418 26,4316
88 28,6363 31,2416 34,3678 38,1885 42,9641 49,1039
89 57,2900 68,7501 85,9398 114,5887 171,8854 343,7737
90

Exercício
7. Procure os ângulos correspondentes na tabela e escreva-os ao lado, conforme
exemplo:
a) 0,167 = sen 9°40’
b) 0,401
c) 0,868
d) 0,997
e) 0,862
f) 0,761
g) 0,9
h) 0,6
Vamos considerar agora o problema inverso. Conhecendo a medida de um ângulo,
encontrar na tabela o valor do seno correspondente.
Podemos encontrar, por exemplo, o valor do seno do ângulo de 3º20’.
Primeiro, localizamos os graus da medida da primeira coluna da tabela:
Depois, seguimos a linha desses graus até a coluna que fica na direção dos minutos
da medida. Como a medida do exemplo possui 20’, seguimos a linha até a coluna de
20’.

Dessa forma, encontramos o seno do ângulo de 3º20’: sen 3º20’ = 0,05814.
Vejamos outros exemplos:
a) sen 74º10’ = 0,96206
b) sen 63º = 0,89101 (como não há minutos, procura-se o valor na coluna 0’)
c) sen 10’ = 0,00291 (como não há graus, procura-se na linha 0º)
Exercícios
8. Consulte a tabela e escreva os senos dos ângulos:
a) a)sen 24º30’
b) b)sen 44º40’
c) c)sen 85º
d) d)sen 61º50’
e) e)sen 30º
f) f)sen 45º
9. Consulte uma das três tabelas trigonométricas para responder às questões a
seguir.
a) Qual é o co-seno de 60º?
b) Qual é a tangente de 18º?
c) 0,25882 é co-seno de qual ângulo?
d) 7,268 é a tangente aproximada de que ângulo?
e) Qual é o seno de 30º? E o co-seno de 60º? Estes resultados são iguais?
f) Qual é o co-seno de 39º10’? E o seno de 50º50’? Esses resultados são iguais?
g) Qual é o seno de 25º30’? E o co-seno de 64º30’? Esses resultados são iguais?
10. Calcule a soma dos ângulos das questões e, f e g do exercício anterior. Assim:
a)
(Procure lembrar-se como se chamam esses pares de ângulos pois será muito útil no
seu trabalho)
b) c)

O seno de um ângulo é uma constante. Isso quer dizer que o seno de uma
determinada medida de ângulo é sempre o mesmo, quaisquer que sejam as medidas
da hipotenusa e do cateto oposto a esse ângulo. Como você já viu, o seno do ângulo
de 30º, por exemplo, é sempre 0,5.
Nos dois triângulos seguintes, o seno de é 0,5. Observe:
sen = ______
sen = ______
Nos dois casos, o seno é 0,5 e o ângulo mede 30º, apesar de as medidas dos lados
serem diferentes: 2cm e 4cm no primeiro; 3cm e 6cm no segundo.
O mesmo ocorre com as razões co-seno e tangente. Dessa forma é sempre possível
calcular a medida de um ângulo agudo quando conhecemos as medidas dos lados do
triângulo.
sen = ______
sen = _________

Cálculo do ângulo
Vamos ver qual é a medida do ângulo F do triângulo DEF.
Ι) dados do problema:
a.i. = = a.i.
c.o. = 40 ou 40 = c.o.
hip. = 50 50 = hip.
ΙΙ) Resolução:
sen = sen = sen =
Consultando a tabela de senos temos: =
Observação
Após a consulta à tabela, o nome da razão (sen) desaparece, pois 53º10’ já é a
medida do ângulo indicado. Portanto, para calcular a medida do ângulo seguimos os
seguintes passos:
1º) destacamos os dados do problema;
2º) identificamos a razão de acordo com os dados;
3º) resolvemos o problema, substituindo na fórmula (razão) os dados indicados e
efetuando as operações até consultar a tabela.

Exercícios
11. Calcule o ângulo H:
I) dados: a.i. =
c.a. =
hip. =
II) razão: cos =
III) cos =
cos = _________ (ver tabela de co-seno)
=
Resposta: O ângulo mede _____________
12. Calcule o ângulo :
I) dados: a.i. =
c.a. = 10
c.o. = 16
II) razão: tg =
III) tg =
tg = ____________ (consultando a tabela de tangentes)
= ___________

13. Calcule os ângulos indicados nas figuras:
a)
b)
c)

Cálculo de um lado do triângulo
É sempre possível calcular o valor de um lado qualquer de um triângulo retângulo
sendo conhecidos um ângulo e qualquer um dos outros dois lados.
Exemplo:
Calcule x no triângulo abaixo.
I) dados: a.i. = ______º
c.a. = _______cm
c.o.= x
II) razão: tg = _______
III) tg 35º = ______
• Consultando a tabela de tangentes temos: tg 35º ≅ _________ (vamos trabalhar
com apenas 3 casas decimais).
Então: _____ ou ______ = ________
• Calculando o valor de x:
x = _____
Resposta: O valor de x é _______cm.

Outros exemplos:
a) Calcule o lado .
I) dados: ___________ = a.i.
________ mm = hip.
___________ = c.a. (x)
II) razão: __________
III) cos 65º40’ = _________
tabela: cos 65º40’ = 0,412
0,412 =
15
x
ou
15
X
1
0,412
=
1 . X = 0,412 . 15
X = 6,18
Resposta:___________________________
b) Calcule a hipotenusa do triângulo HIJ:
I) dados: __________
__________
__________
II) razão: ___________
III) __________

tabela:
x =
x = ______
Resposta: A ___________do triângulo mede __________mm.
Exercícios
14. Escreva nas cotas indicadas: (c.a.), (c.o.),(hip.) ou (a.i.), conforme o caso.
a)
b)
c)

d)
15. Consulte a tabela e responda:
a) sen 30º =
b) cos 30º =
c) tg 30º =
d) sen 30º20’ =
e) cos 30’ =
f) tg 90º =
16. Escreva o ângulo correspondente às razões dadas:
a) exemplo: cos x = 0,500
Resposta: x = 60º
b) cos x = 0,86603
c) tg x = 1,76758
d) sen x = 0,500
e) sen x = 0,86603

17. Calcule as cotas pedidas. Utilize os esquemas dos exemplos dados:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)

18. Calcule os ângulos ou lados pedidos.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)

i) j)
l)
19) Calcule as cotas D1 e D2.
20) Calcule a medida X.

21) Calcule as medidas b e x.
22) Calcule a profundidade de fresar p.
23) Determinar o diâmetro D da peça abaixo.

24) Para fazer os furos na peça abaixo, a peça foi colocada em uma mesa com
coordenadas. Determinar a cota x e y do furo 1 e a distância llll de um furo ao
outro.

Lei dos Senos e Lei dos Co-
senos
Lei dos co-senos para um triângulo
Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos
outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo co-seno do
ângulo formado por eles.
α < 90º’ α > 90º
a2
= b2
+ c2
– 2 . b . c . cos α
Exemplo
Calcule a medida de x.
Note que o lado de medida x deve ser
oposto ao ângulo dado.
a2
= b2
+ c2
– 2 . b . c . cos α ← escrevendo a fórmula

x2
= 52
+ 72
– 2 . 5 . 7 . cos 50º ← substituindo as medidas
x2
= 25 + 49 – 70 . 0,642 ← substituindo cos 50º por 0,642
x2
= 25 + 49 – 44,94 ← efetuando a multiplicação
x2
= 74 – 44,94
x2
= 29,06 x = 06,29 x ≈ 5,3
Exercício
1. Determine x nos triângulos abaixo usando a lei dos co-senos.
a) b)
Para o cálculo do lado de um triângulo obtusângulo usamos a mesma relação do
triângulo acutângulo.
Exemplos
Veja como vamos calcular x no triângulo abaixo.
a2
= b2
+ c2
– 2bc cos α ← escrevendo a fórmula
x2
= 202
+ 232
– 2 . 20 . 23 cos135º ← substituindo as medidas
x2
= 400 + 529 – 920 cos135º
como cos135º = -cos(180º - 135º) = -cos45º = -0,707
x2
= 400 + 529 – 920 x (-0,707) ←substituindo cos135º por –0,707

x2
= 400 + 529 + 650,44 ← efetuando a multiplicação
x2
= 1579,44
Exercício
2. Calcule x para os triângulos abaixo.
a)
b)
⇒ x ≈ 39,7

Lei dos senos
A medida de um lado de um triângulo está para o seno do ângulo oposto a este lado,
assim como a medida de outro lado está para o seno do ângulo que lhe é oposto,
assim como a medida do último lado está para o seno do ângulo oposto a ele.
Observe a fórmula no triângulo abaixo:
αsen
a
=
βsen
b
βsen
b
=
γsen
c
αsen
a
=
γsen
c
ou
αsen
a
=
βsen
b
=
γsen
c
Veja como calcular as medidas de dois lados de um triângulo qualquer conhecendo-se
as medidas dos três ângulos e de um lado.
Escrevemos a medida do lado conhecido (48,7) sobre o seno do ângulo oposto
(sen103º) e igualamos com a medida de cada lado que se quer determinar sobre o
seno dos respectivos ângulos que lhes são opostos.
Vamos começar calculando x:
º103sen
7,48
=
º54sen
x
Como sen103º = sen(180º - 130º) = sen77º = 0,974 e sen54º = 0,809

substituímos esses valores na proporção acima obtendo:
974,0
7,48
=
809,0
x
Calculando o valor de x na proporção:
0,974x = 0,809 x 48,7⇒ 0,974x = 39,3983 ⇒ x =
974,0
3983,39
⇒
Fazendo o mesmo para calcular o valor de y temos:
º103sen
7,48
=
º23sen
y
⇒
974,0
7,48
/
=
390,0
y
/
974y = 390 x 48,7 ⇒ 974y = 18 993 ⇒ y =
974
99318
⇒
Observações
• Podemos aplicar a lei dos co-senos quando queremos calcular a medida de um
lado de um triângulo e conhecemos a medida de outros dois lados e um ângulo do
triângulo considerado.
• Podemos aplicar a lei dos senos quando quisermos calcular um lado de um
triângulo e tivermos conhecimento das medidas de um lado só e de, no mínimo, dois
ângulos.
• Muitas vezes é possível aplicar indiferentemente a lei dos co-senos ou a lei dos
senos. Depende dos elementos envolvidos.
Exercício
3. Determine x e y no triângulo abaixo sabendo que sen130º = sen(180º - 130º) =
sen50º.
x = 40,45
Y = 19,5
(Podemos simplificar, pois o número
de casas decimais é igual)

4. Aplique a lei conveniente e calcule o que se pede.
a)
b)
c)
d)

Exercícios Complementares
Calcule os valores desconhecidos dos exercícios a seguir:
1)
2)
.
10
.
15X
X
. .
20
5

3)
4)
5)
10
5 3
. .
X
.
10
6
6
X
X
27
8
20

6)
7)
8)
50
4012
30
X
.
12
.
X
35
X
8
4 4
11
.

9)
10)
11)
12)
13
30º
52X
X
112º
Ø20
Ø40
α
35
.
14
32º
X

13)
14)
15)
16)

17)
18)
19)
20)

21)
22)
23)
24)

25)
26)
27)
30º
20
6
9
X
60º
Y
4 10
X
40
4
12
Y
6 9
X
27
4
11
60º

28)
29)
Ø 53
X
87º
Y
60
75
ø8 (4X)
Ø36
Ø18
51,04
Y
X
20
30

30)
l a
b
h
g
f
k
j
i
e d
c

Alfabeto Grego
Alfabeto Grego
Maiúsc. Minúsc. Nome Uso mais comum
Α αααα alfa
Β ββββ beta
Γ γγγγ gama
Em Geometria plana para designar planos ou
ângulos e coeficientes de dilatação linear,
superficial e volumétrica.
∆∆∆∆ δ delta
Indicar variação de tempo, espaço, temperatura,
etc...
Ε ε épsilon
Ζ ζ dzeta
Η η eta
Θ θθθθ teta Designar temperaturas ou ângulos.
Ι ι iota
Κ κ kapa
Λ λλλλ lâmbda Comprimento de onda
Μ µµµµ mu(mi) Coeficiente de atrito dos materiais.
Ν ν nu (ni)
Ξ ξ Ksi
Ο ο ônicron
Π ππππ pi
Relação entre o comprimento e o diâmetro da
circunferência ( ~ 3,14159265659 ).
Ρ ρρρρ rô Indicar a resistividade elétrica.
ΣΣΣΣ σ sigma Indicar a somatória de sequências ou séries.
Τ τ tau Representar o trabalho realizado por uma força.
Υ υ Úpsilom (ipsilon)
ΦΦΦΦ ϕϕϕϕ fi Indicar conjunto vazio, fluxo.
Χ χ chi (qui)
Ψ ψ psi
ΩΩΩΩ ωωωω ômega
Unidade de resistência elétrica ( maiúsculo ) ,
Velocidade angular ( minúsculo ).

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