SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 11
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                   năm 2012-2013
I. TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉCTƠ
Cần nhớ:
                                                                                          
*Cho 3 véctơ a ,b ,c trong đó a ,b không cùng phương. a ,b ,c đồng phẳng  !k , l  : c  k.a  l.b
                                                                    
* a ,b ,c không đồng phẳng thì x,!m, n, p   : x  m.a  n.b  p.c
1. Hệ tọa độ trong không gian
2. Kết quả cần nhớ
                                                      
Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  ( x1; y1; z1 ),v  ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi đó:
                                                                
* u  v  ..., u  v  ..., ku  ..., u.v  ... u  v  ,           * u , v cùng phương 
                                   
* Độ dài véctơ u  ,        * cos(u , v ) 
          
            
* Tọa độ AB , Khoảng cách giữa hai điểm A, B…
                                                                            x  kxB y A  kyB z A  kzB 
* Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1 (tức là MA  kMB ) và ta có M  A                    ;         ;          
                                                                                    1 k      1 k      1 k 
* Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác…
                                                                               
VD1. Trong không gian Oxyz cho ba vector a  (3;0;1), b  (1; 1; 2), c  (2;1; 1)
                   
a/ Tính a (b c ), | a  b |
                                  
b/ Tính cos(a, b ), cos(a,c ), cos(a  b , c )
VD 2. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;4;2), B(4;1;0), C(5; 1;1)
a/ Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của ta giác.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
                                     
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MB  MC  6MA  0
d/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, chứng minh A, G, M thẳng hàng.
3. Tích có hƣớng của hai véctơ và ứng dụng
                                                                                                             
* Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  ( x1; y1; z1 ),v  ( x2 ; y2 ; z2 ) . Tích có hướng của hai véctơ u ,v là
                                             yz       zx x y 
một véctơ và được xác định bởi [ u ,v ]   1 1 ; 1 1 ; 1 1 
                                               y2 z2 z2 x2 x2 y2 
* Tính chất
                                            
 + [ u,v ]  u; [ u, v ]  v hay [ u ,v ] .u  0; [ u ,v ] .v  0
                     
 + [ u , v ]  u v sin(u ,v )
               
 + [ u ,v ]  0  u,v cùng phương
                                                                
* Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ a , b , c đồng phẳng là [ a, b] . c  0
* Ứng dụng:
                                               
                                                 
+ Diện tích hình hành ABCD là S ABCD  [ AB, AD ]
                                       1  
                                               
+ Diện tích tam giác ABC là SABC  [ AB, AC ]
                                       2
                                                      
                                                       
+ Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' là Vhh  [ AB, AD ] . AA'
                                   1   
                                        
+ Thể tích tứ diện ABCD là V        [ AB, AC ] . AD
                                   6
4. Phƣơng trình mặt cầu
ĐN. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) , bán kính R là:
                                 ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2
Dạng khác: Phương trình dạng x2  y 2  z 2  2 Ax  2By  2Cz  D  0 (Thỏa đk A2  B2  C 2  D  0 )
là phương trình của một mặt cầu tâm I ( A; B; C ) , bán kính R  A2  B2  C 2  D .
                                                        
                                                                     
                                                                        
VD 3. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết OA  (3; 2; 2), OB  (5; 4; 1) , C (1;3;0) .
a/ Chứng minh tam giác ABC vuông cân.
b/ Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Ths. Nguyễn Thanh Quang         0983901825             -1-                                 THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                               năm 2012-2013
c/ Đường thẳng AB cắt (Oxy) tại M. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M.
d/ Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp ABCO.
VD 4. Trong không gian Oxyz cho hình bình hành ABCD với A(1;0;1), B(2;1;2) và giao điểm hai đường
        3 3
chéo I ( ;0; ) .
        2 2
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành.
b/ Tính diện tích hình bình hành ABCD.
c/ Tìm diện tích tam giác ABM với M (2;3;4) , suy ra khoảng cách từ A đến đường thẳng BM.
d/ Chứng minh rằng ABCE với E (1;2; 3) là 4 đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó rồi suy ra
khoảng cách từ E đến mặt phẳng (ABC).
e/ Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE.
f/ Tìm tọa độ trực tâm H của MNP với M (1;2;3), N (3;5;4), P(3;0;5) .
VD 5. Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau
a/ Qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trong mp (Oxy).
b/ Bán kính bằng 2, tiếp xúc với mp (Oyx) và có tâm nằm trên tia Ox.
c/ Có tâm I (1; 2;3) và tiếp xúc với mp (Oyx).
VD 6. Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' với A(0;1;1) , B(0; 2;3) , C (2;4;2), A(1;2;5) .
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tính diện tích mặt chéo BDD'B'.
c/ Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'.
VD 7. Trong không gian Oxyz cho (Sm ): x2  y 2  z 2  4mx  4 y  2mz  m2  4m  0
a/ Tìm điều kiện của m để ( Sm ) là mặt cầu.
b/ Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong họ ( Sm ) nêu trên.
5. Giải bài toán không gian bằng phƣơng pháp tọa độ (trích một phần ôn thi ĐH)
    Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ
thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
Phương pháp.
B1. Chọn hệ trục Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O)
B2. Xác định tọa độ các điểm có liên quan (có thể xác định tất cả các điểm hoặc một vài điểm cần thiết).
Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:
+ Điểm nằm trên các trục, mp tọa độ hay trên đường thẳng nào đó,..
+ Dựa vào quan hệ song song, vuông góc của các yếu tố của hình đã cho,…
+ Điểm cần tìm là giao điểm của các đường, của đường và mặt,…
B3. Dùng các kiến thức về tọa độ cùng với kiến thức hh lớp 11 để giải bài toán.
Dạng toán thường gặp: -Chứng minh sự song song, vuông góc,…
                          -Thể tích khối đa diện, tỉ số thể tích, diện tích thiết diện, bài toán cực trị và quỹ
tích.
Chú ý: + S   S.cos  trong đó S là diện tích của đa giác (H), S' là diện tích hình chiếu của (H) trên ( ) ,
 là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp ( ) .
        + Cho tứ diện S.ABC, trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A, B, C khác với S.
                        VS . ABC  SA SB SC 
Ta luôn có                             · ·
                         VS . ABC     SA SB SC
Ta thường gặp một số hình có thể dùng hệ trục tọa độ như sau:
Dạng 1. Đối với hình hộp chữ nhật, hình lập phương
+ Chọn gốc là một đỉnh trong 8 đỉnh.
+ Ba cạnh xuất phất từ một đỉnh nằm trên 3 trục.




Dạng 2. Hình chóp tam giác có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh vuông góc với nhau từng đôi một.
Ths. Nguyễn Thanh Quang       0983901825             -2-                               THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                         năm 2012-2013
+ Chọn gốc của hệ trục tọa độ trùng với đỉnh của góc vuông đó, ba trục chứa 3 cạnh xuất phát từ đỉnh của
góc vuông đó.
Dạng 3. Tứ diện đều
Cách 1. + Dựng hình lập phương ngoại tiếp tứ diện đều.
        + Chọn hệ trục có gốc trùng với một đỉnh của hình lập phương.
        + Ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó nằm trên ba trục.
Cách 2. Hai trục lần lượt chứa đường cao và một cạnh tương ứng của mặt (BCD), trục còn lại vuông góc
với (BCD) (cùng phương với đường cao AH). Chú ý: Chóp tam giác đều cũng có cách chọn tương tự.




Dạng 4. Hình chóp tứ giác có đáy là hình thoi, các cạnh bên bằng nhau
+ Chọn trục Oz chứa đường cao SO của hình chóp.
+ Hai trục Ox, Oy lần lượt chứa hai đường chéo của đáy.
Chú ý: Hình chóp tứ giác đều cũng chọn như vậy
                          S




Dạng 5. Chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau.
+ Chọn gốc O là một đỉnh của HCN, hai trục chứa 2 cạnh của HCN.
+ Trục thứ 3 vuông góc với đáy (cùng phương với đường cao SO của hình chóp, trục Az nằm trên mặt
chéo (SAC))
Dạng 6. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân
+ Chọn hai trục lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác cân là đáy của lăng trụ. Trục
còn lại chứa đường trung bình của mặt bên.




Chú ý: Lăng trụ tam giác đều cũng chọn tương tự.
Dạng 7. Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi
+ Chọn trục Oz nằm trên đường thẳng nối tâm hai đáy
+ Hai trục còn lại chứa hai đường chéo đáy
Chú ý: Lăng trụ đứng có đáy là hình vuông có cách chọn như vậy hoặc đơn giản hơn là chọn trục Oz là
một cạnh của lăng trụ.
Dạng 8. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông
Chọn đỉnh tam giác vuông làm gốc, ba trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh này.




*Một số bài tập áp dụng.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạn bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
AB, BC, DD . Chứng minh rằng AC  (MNP)
                                          
                                                     
                                                         
HD. Chọn hệ trục Oxyz, sau đó chứng minh AC.MN  0, AC.MP  0

Ths. Nguyễn Thanh Quang       0983901825          -3-                             THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                             năm 2012-2013
Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ tự trung điểm các cạnh AD,
CD. Lấy P  BB : BP  3PB . Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương.
                                
HD. Chọn hệ trục Oxyz, gọi n, n theo thứ tự là vtpt của (ABCD) và (MNP), S , S  lần lượt là diện tích
thiết diện và diện tích hình chiếu của nó trên (ABCD). Lúc đó diện tích hình chiếu là S   S ABCNM .
                                                     2            1          1                      7a 2 6
Gọi   (( ABCD),(MNP)) thì cos  | cos(n,n   ) |      . S         .S       (S ABCD  S DMN ) 
                                                        6         cos       cos                       16
Bài 3. Cho tứ diện OABC với OA  a, OB  b, OC  c và OA  OB  OC .
a/ Tính cosin các góc của tam giác ABC. Chứng tỏ ABC là tam giác nhọn.
b/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính OG.
                                             a2                        1 2
HD . Chọn hệ trục Oxyz, Tính cos A                          0, OG       a  b2  c 2
                                        a b . a c
                                         2   2       2    2            3
Bài 4. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ( ABC), SA  a . Tính tan của góc giữa hai
đường thẳng AB, SC.            ĐS. tan   7
Bài 5. Cho tứ diện SABC có đường cao SA  h, ABC vuông tại C, AC  b, BC  a . Gọi M là trung điểm
                                1 
                                 
của AC và N là điểm sao cho SN  SB
                                      3
a/ Tính độ dài đoạn MN.
b/ Tìm mối liên hệ giữa a, b, h để MN  SB .
                               1 2                      
                                                          
  ĐS.                    MN       b  4a 2  16h 2 , MN .SB  0  4h 2  2a 2  b 2
                               6
§2. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Phƣơng trình mặt phẳng
                                                                      
* n  0 được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ) .
                                               
* n là véctơ pháp tuyến của mp ( ) thì k.n (k  0) cũng là vector pháp tuyến của ( ) .
   
* a ,b không cùng phương và lần lượt nằm trên hai đường thẳng song song hoặc chứa trong ( ) thì một
                   
vtpt của ( ) là n = [ a,b ] .
                                                                          
* Phương trình của mặt phẳng ( ) qua M o ( xo ; yo ; zo ) và nhận n  ( A; B; C ) làm một vtpt:
                                   A( x  xo )  B( y  yo )  C ( z  zo )  0 (1)
Hay Ax  By  Cz  D  0 Trong đó A2  B2  C 2  0 .
VD. Lập ptmp ( ) trong các trường hợp sau:
a/ ( ) qua 3 điểm A(0;1;2), B(2; 2;1),C (2;0;1)                            ĐHKB 2008
b/ ( ) qua hai điểm A(1;1; 1), B(5;2;1) và song song với trục Oz.
c/ ( ) qua điểm A(3; 2; 1) và song song với mặt phẳng 4 x  3 y  z  5  0 .
d/ ( ) qua 2 điểm A(0;1;1), B(1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng x  y  z  1  0 .
2. Các trƣờng hợp riêng. Giả sử ( ) : Ax  By  Cz  D  0 , A2  B2  C 2  0 khi đó
a) ( ) qua gốc O  D  0
b) ( ) song song hoặc chứa Ox  A  0
c) ( ) song song hoặc trùng với (Oxy)  A  B  0
                                       D       D           D                     x y z
d) Nếu A, B,C, D  0 , Đặt a   , b   , c   ta đưa pt về dạng    1 , và được gọi là pt
                                       A        B          C                     a b c
mặt phẳng theo đoạn chắn. Lúc đó ( ) qua M (a; o; o), B(0; b;0), C (0;0; c)
VD. Trong kg Oxyz cho M (30;15;6)
a/ Viết ptmp ( ) qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ.
b/ Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp ( ) .
ĐS: x  2 y  5z  30  0, H (1;2;5)
3. Vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng
* Xét các bộ ( x1;...; xn ), n  2, trong đó các số x1 ,..., xn không đồng thời bằng 0.
Ths. Nguyễn Thanh Quang       0983901825            -4-                              THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                    năm 2012-2013
   + Hai bộ số ( A1;...; An ) và ( B1;...; Bn ) được gọi là tỉ lệ nhau nếu tồn tại số t sao cho
                                                                                     A          A
( A1;...; An )  t ( B1;...; Bn ) . Ta viết A1 :  : An  B1 :  : Bn hay 1    n
                                                                                     B1        Bn
   + Hai bộ số ( A1;...; An ) và ( B1;...; Bn ) không tỉ lệ , ta viết A1 :  : An  B1 :  : Bn
* Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mp ( ) : Ax  By  Cz  D  0, ( ) : Ax  By  Cz  D  0 .
     + ( ) cắt ( )  A : B : C  A : B : C
                            A B C D
     + ( ) // ( )                                                       , A.B.C.D '  0
                           A B C  D
                            A B C D
     + ( )  ( )                                                       , A.B.C.D '  0
                            A B C  D
VD. Cho hai mp ( ) : 2 x  my  3z  6  m  0,                     ( ) : (m  3) x  2 y  (5m  1) z 10  0
Tìm m để: ( ) cắt ( ) , ( ) // ( ) , ( )  ( ) , ( )  ( )
4. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
 * Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) tới ( ) : Ax  By  Cz  D  0 là
                                                                  | Ax0  By0  Cz0  D |
                                              d ( M 0 ;( )) 
                                                                        A2  B 2  C 2
* Góc giữa hai mặt phẳng.
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 , ( ') :A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 . Thì  bằng
hoặc bù với góc giữa hai VTPT của hai mặt phẳng đó. Vì vậy
                                                        
                                                    | n. n ' |             | A. A ' BB ' CC ' |
                           cos  | cos(n, n ') |    
                                                   | n | .| n ' |     A  B 2  C 2 . A '2  B '2  C '2
                                                                        2

Để lập pt mặt phẳng ( ) ta cần:
C1. Biết một điểm thuộc ( ) và một vtpt của ( ) .
C2. Biết một điểm thuộc ( ) và hai vector nằm trên hai đường thẳng a, b (a b) mà chúng chứa trong
( ) hoặc song song với ( ).
VD 1. Trong mp Oxyz, viết pt mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau đây
                                                 
a/ ( ) qua A(2; 1;3) và có một vtpt n  (2;7; 1)
                                                                                          
b/ ( ) qua A(4;1; 3) song song với giá của hai vector u  (2;1; 1), v  (3;5; 2)
c/ ( ) qua 3 điểm A(2; 1;3), B(4;0;1), C(10;5; 3)
d/ ( ) qua A(2;1;4) và song song với mặt phẳng ( ) : 4 x  3 y  2 z  5  0
e/ ( ) qua OA và vuông góc với mặt phẳng ( ) :  3x  2 y  4 z 13  0
f/ ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN với M (2;3;4), N (4;3; 5)
g/ ( ) qua M (3; 1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) :  3x  2 y  4 z 13  0 , ( ) : 2x  y  5z  3  0
VD 2. Trong mp Oxyz, cho 4 điểm A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a/ Lập phương trình ( ABC ) .
b/ Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện.
c/ Lập pt mặt phẳng (  ) qua D và song song với mp ( ABC ) .
d/ Tìm khoảng cách từ D đến ( ABC ) .
VD 3. Cho hình lặp phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Dùng phương pháp tọa độ để:
a/ Chứng minh ( ABD) // ( BCD) .
b/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên.
VD 4. Cho ( ) : 2 x  3 y  z 17  0, M (2;3;4)
a/ Tìm khoảng cách từ M đến ( )
b/ Tìm điểm A trên Ox cách đều điểm M và mặt phẳng ( )
c/ Tìm điểm N trên Oz cách đều hai mặt phẳng ( ) : x  y  z  1  0, ( ) : x  y  z  5  0
VD 5. Cho tứ diện ABCD với A(1;0;4), B(1;1;0), C(0;0;1), D(2;3; 1) . Viết ptmp ( ) qua trọng tâm G
của tứ diện đồng thời song song với AB và CD.

Ths. Nguyễn Thanh Quang         0983901825              -5-                                 THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                    năm 2012-2013
VD 6. Cho G(1; 2;3) , gọi ( ) là mp qua G và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho ABC nhận G làm
trọng tâm. Viết phương trình mặt phẳng ( ) .
VD 7. Cho hai mặt phẳng ( ) : x  2 y  z  2  0,(  ) : x  my  (m  1) z  m  2  0 . Tìm giá trị của m để
                                                                                     1
hai mặt phẳng ( ),(  ) hợp với nhau một góc 600 .               ĐS m  1; m  
                                                                                     2
VD 8. Viết phương trình mặt phẳng () trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua ba điểm A(1; 1;2), B(1;3;2), C (4;3;2) . Từ đó chứng minh rằng: bốn điểm A, B, C và
 D(4; 1; 2) đồng phẳng.
b/ Đi qua các hình chiếu của điểm P(2; 1;  trên các trục tọa độ.
                                               2)
c/ Đi qua điểm M (5; 4; 3) và cắt ba trục tọa độ ở ba điểm cách đều gốc tọa độ.
VD 9. Cho hai mặt phẳng: ( ) : 2 x  y  2 z 1  0 , ( ') : x  6 y  2 z  5  0 và điểm I (1; 3;4)
a/ Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên vuông góc.
b/ Viết pt mp () đi qua gốc tọa độ và giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
c/ Viết phương trình mp tiếp diện tại A(1; 2; 3) của mặt cầu tâm I (1;3; 2) bán kính IA.
d/ Lập pt mặt cầu tâm I và tiếp xúc Ox .
e/ Viết pt mặt cầu qua A(1;2; 4), B(1; 3;1), C (2;2;3) biết tâm của nó nằm trong mặt phẳng Oxy .
VD 10. Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1; 4;9) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các
điểm A, B, C (khác gốc O) sao cho:
a/ Thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
b/ OA  OB  OC đạt giá trị nhỏ nhất.
                               PHƢƠNG PHÁP VIẾT PHƢƠNG TRÌNH
                           ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz .
                                       -------------------------------------
I. Một số kiến thức cơ bản về phƣơng trình của đƣờng thẳng trong không gian Oxyz
    
* u  0 được gọi là VTCP của đthẳng d nếu u nằm trên d hoặc trên những đường thẳng song song với d.
                                                                                                      
1. Phương trình tham số: Đường thẳng (d ) qua M o ( xo ; yo ; zo ) và có một véctơ chỉ phương u  (a; b; c)
                             x  x0  at
                            
sẽ có phương trình tham số:  y  y0  bt         , a 2  b2  c 2  0 , (1)
                             z  z  ct
                                  0

                                                                   x  x0 y  y0 z  z0
2. Phương trình chính tắc: Trong (1) nếu a.b.c  0 thì ta có                          (2)
                                                                     a      b      c
Và (2) được gọi là pt chính tắt của (d ) .
 II. Phƣơng pháp viết phƣơng trình của đƣờng thẳng trong kg
Phƣơng pháp 1: Tìm một điểm nằm trên đthẳng  và một VTCP của nó.
     1. Đi qua hai điểm A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) .
                                                           
     Đường thẳng  đi qua A( xA ; y A ; z A ) và nhận AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  z A ) làm VTCP, viết được ptts.
     Ví dụ: Trong kg Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(4; 0;  3) , C (2; 3; 2)
        a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
        b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Tìm tọa độ điểm H.
     2. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng a có pt cho trước.
      Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTCP của a làm VTCP của nó.
     Từ đó suy ra phương trình của .
     3. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng () có pt cho trước.
                                                                  
     Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTPT n của () làm VTCP của nó. Từ đó suy ra
     phương trình của .
  Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;3) , B(1; 2;1) , C (1; 1; 3) . Hãy viết
phương trình tham số của đường thẳng  đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng
chứa tam giác ABC.

Ths. Nguyễn Thanh Quang         0983901825              -6-                                 THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                          năm 2012-2013
                                                                     (ĐH Huế, Khối A-1999)
   4. Nằm trong một mặt phẳng () và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước.
Đường thẳng  cần tìm chính là đường thẳng đi qua các giao điểm của () với đường thẳng a và b .
Giải tọa độ giao điểm, từ đó suy ra phương trình của .
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng
                                            x  1 t          x  2  t '
                                                              
y  2 z  0 và cắt cả hai đường thẳng:  :  y  t     ,  ' :  y  4  2t '   (ĐH Huế, Khối A-2000)
                                             z  4t           z  1
                                                              
   5. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng a, b không cùng phương có pt cho
        trước.
                                                      
                                                                                        
  Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận u  u, u ' làm VTCP của nó, với u, u ' lần lượt là
                                                                   
VTCP của a và b.
    6. Đi qua điểm M o  ( ) và vuông góc với đường thẳng a, đồng thời nằm trong mp () có pt cho
trước (đường thẳng a không vuông góc với ()).
                                                               
                                                                              
Đường thẳng  cần tìm đi qua điểm M0 và có VTCP là: u  u; n  , với u là VTCP của đường thẳng a
                                                                         
    
và n là VTPT của mp().
                                                                                    x 1 y z  2
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho (): 2 x  y  z  2  0 và đường thẳng (d ) :                  .
                                                                                      2  1     3
a/ Tìm tọa độ giao điểm A của (d) và mặt phẳng ().
b/ Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc với đường thẳng (d) và nằm trong mặt phẳng
().                                                                ( ĐH An Ninh, ĐH Cảnh Sát, 1999)
 Phƣơng pháp 2: Đƣa đƣờng thẳng cần tìm về giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó rồi ta viết đƣợc
phƣơng trình của nó.
1. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước.
Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó:
+ () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa a.
+ () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa b.
Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2) và hai đường thẳng có phương
                                          x  1 t
               x 1 y 1 z                
trình: (d1 ) :     =     ,      (d 2 ) :  y  3  t . Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt cả hai
                 2   1 1                  z  3  2t
                                          
đường thẳng trên.                                              (ĐH GTVT TP.HCM, Khối A-2001)
2. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt một đường thẳng a và vuông góc với một đường thẳng b có phương
trình cho trước.
Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó:
    + () là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc với b.
    + () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa a.
Chú ý: Đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , cắt và vuông góc với một đường thẳng a có phương
trình cho trước, làm tương tự. Hoặc đường thẳng này chính là đường thẳng đi qua M 0 và hình chiếu của
M0 lên đường thẳng a.
                                                                                 x  3  2t
Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; 2; 4) và đường thẳng (d ) :  y  1  t . Viết phương
                                                                                
                                                                                 z  1  4t
                                                                                
trình đường thẳng  đi qua A, cắt và vuông góc với d. (Đề thi ĐH, CĐ Khối B - 2004)
 1. Song song với một đường thẳng a và cắt cả hai đường thẳng b, c có pt cho trước
 Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó:
+ () là mặt phẳng chứa b và song song với a.
+ () là mặt phẳng chứa c và song song với a.
Ths. Nguyễn Thanh Quang       0983901825          -7-                              THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                              năm 2012-2013
2. Vuông góc với một mặt phẳng () và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước
  Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp(P) với mp(Q), trong đó:
   + (P) là mặt phẳng chứa a và vuông góc với ()
   + (Q) là mặt phẳng chứa b và vuông góc với ()
3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng a lên một mặt phẳng () có pt cho trước
  + Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó () là mặt phẳng chứa a và
vuông góc với ().
  + Lấy hai điểm trên a rồi tìm hình chiếu trên ( )
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(1;1;1) và C  ;
                                                                          1 1 1
                                                                            ; .
                                                                         3 3 3
    a/ Viết phương trình mặt phẳng () vuông góc với đường thẳng OC tại C.
    b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d ) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên
    mặt phẳng ().         (Đề thi TN THPT, 2000-2001)
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( D)  ( )  ( ) với ( ) : x  z  3  0,
 ( ) :2 y  3z  0 và mặt phẳng ( P) : x  y  z  3  0 . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của
đường thẳng (D) trên mặt phẳng (P). (ĐH Quốc Gia HCM, Khối A-1998)
   2. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 ,  2
Cách 1.
+ Đưa 2 pt về dạng tham số
+ Lấy hai điểm H, K lần lượt nằm trên 1 ,  2
+ Đ kiện HK vuông góc với 1 ,  2
Đường thẳng đi qua hai điểm H, K là đường thẳng cần tìm.
Cách 2.
                                                                               
+ Lập ptmp ( ) chứa 1 và có một véc tơ pháp tuyến n  [u 1 , u  ] với u  u 1 , u 2 
                                                                                         
+ Tìm giao điểm M của ( ) và  2 .
                                                  
                                                          
+ Đường thẳng cần tìm qua M và có 1 VTCP u  u 1 , u 2 
                                                             
Cách 3. Đ thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó:
                                                        
+ () là mặt phẳng chứa 1 và có một VTPT u  u 1 , u 2  .
                                                              
                                                                   
+ () là mặt phẳng chứa  2 và có một VTPT u  u 1 , u 2  (Với u 1 , u 2 lần lượt là VTCP của 1 và  2 )
                                                             
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểmA,B,C,D có toạ độ xác định bởi các hệ
                        
                                                        
thức: A(2; 4; 1) , OB  i  4 j  k , C  (2; 4; 3), OD  2i  2 j  k . Viết phương trình tham số của đường
vuông góc chung  của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa  và mặt phẳng (ABD).
                                                                                 (TN THPT 2003-2004)
Ví dụ 2. Trong kg Oxyz cho 1  ( )  ( ) với ( ) :2 x  y  4 z  5  0, ( ) : x  y  2 z  1  0 và
      x  1 t
      
 2 :  y  2  3t
       z  2t
      
a/ Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 và
song song với  2 .
b/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (2; 1; 1) và song song với cả hai đường thẳng trên.
c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 và vuông góc với mặt phẳng (P): x  2 y  z  3  0 . Suy ra
phương trình hình chiếu vuông góc của 1 lên mặt phẳng (P).
                                   x  5  2t         x  3  2t '
                                  
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 1 :  y  1  t ,  2 :  y  3  t ' . Chứng minh rằng hai đường thẳng trên
                                                      
                                  z  5  t          z  1 t '
                                                     
song song. Viết pt mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
Ths. Nguyễn Thanh Quang       0983901825             -8-                              THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                       năm 2012-2013
 Phƣơng pháp ĐỂ LẬP PHƢƠNG TRÌNH CỦA MỘT MẶT PHẲNG TA CẦN
*Tìm một điểm nằm trên mp và một VTPT của nó.
Mặt phẳng () có phương trình: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
*Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mp (): Ax  By  Cz  D  0 .
                                                              
Mặt phẳng () đi qua M0 và nhận VTPT của () là n  ( A; B; C ) làm VTPT, nên có phương trình:
                                         A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
Hay Ax  By  Cz  D  0 , với D  ( Ax0  By0  Cz0 )
Cách khác: () có dạng Ax  By  Cz  m  0 rồi cho đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) để tìm m.
*Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với đ thẳng (d) có pt cho trước.
                                                      
                                                       
Mp() đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTCP ud của (d) làm VTPT của nó. Từ đó suy ra ptrình của mp()
*Mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
                                 x x        y  yB z A  z B                         
                                                                                        
Mp() đi qua trung điểm I ( A B ; A                    ;          ) của AB và nhận AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )
                                    2            2            2
và làm VTPT. Từ đó suy ra phương trình của mp() .
Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng () trong mỗi trường hợp sau:
                                                         1 1 1
a/ Vuông góc với đường thẳng OC tại C với C ( ; ; ) .
                                                         3 3 3
b/ Đi qua A(2; 1;1) và vuông góc với đường thẳng  là giao tuyến của hai mp ( ) : 2 x  y  z  2  0 và
( ) : y  z  4  0
c/ Đi qua A(1; 0; 5) và song song với mặt phẳng ( ) : 2 x  y  z  6  0
                                                                    
* Tìm một điểm nằm trên mp và cặp VTCP u1  (a; b; c), u2  (d ; e; f ) không cùng phương nằm trong
( ) hoặc trên những đường thẳng song song với ( ) . MP() cần tìm đi qua điểm M0 và có VTPT là:
              b c c a a b
n với n  u1 , u2   
                             ;      ;         ( A; B; C ) .
                        e f f d d e
Suy ra phương trình mặt phẳng (): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
* Đi qua ba điểm A, B, C có tọa độ cho trước.
                              
                                 
() đi qua A và nhận n   AB, AC  làm VTPT. Từ đó suy ra phương trình.
                                       
Còn một số bài toán lập ptmp nữa: Chẳng hạn mp
   *Chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b có pt cho trước.
   *Chứa đường thẳng a và vuông góc với mặt phẳng (  ) có pt cho trước.
   *Chứa hai đường thẳng cắt nhau.
   * Chứa hai đường thẳng song song.
   * Đi qua một điểm và song song với hai đthẳng chéo nhau cho trước.
   * Song song và cách đều hai đường thẳng chéo nhau cho trước.

                                                    MẶT CẦU
                                                 ***************
Nhắc lại:
1/ Định nghĩa: Mặt cầu S ( I , R)  M  3 IM  R .
2/ Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c) , bán kính R là: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2
3/ Mọi phương trình dạng: x2  y 2  z 2  2 Ax  2By  2Cz  D  0 ,     (Đk A2  B2  C 2  D  0 )
là phương trình của một mặt cầu tâm I ( A; B; C ) , bán kính R  A2  B2  C 2  D .
4/ Đk cần và đủ để mp (P) tiếp xúc với mặt cầu S ( I ; R) (hay (P) là tiếp diện của (S)) là: d ( I ;( P))  R .
5/ Đk cần và đủ để đthẳng  tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) (hay  là tiếp tuyến của (S)) là: d ( I ; )  R .
6/ Vị trí tương đối của mặt cầu S ( I ; R) với một mặt phẳng (P):
  d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )   .
  d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )  H , với H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
Ths. Nguyễn Thanh Quang          0983901825               -9-                                   THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                                     năm 2012-2013
 d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )  C ( H , r ) , trong đó: C ( H ; r )  ( P) là đường tròn tâm H (với H là hình chiếu
vuông góc của I lên (P)), bán kính r  R 2  d 2 ( I ,( P)) .
Chú ý: Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu (S) (tức d(I; R) = 0) thì ( P)  (S )  C( I , R)
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
1/ Đi qua điểm A(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1).
2/ Có tâm C(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2 x  y  3z  11  0 .
3/ Có tâm nằm trên mặt phẳng x  y  z  2  0 và đi qua 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1).
4/ Đi qua điểm S(2; 3; 4) và các hình chiếu của S lên các trục tọa độ.
5/ Có tâm I(1; 1; 1) và tiếp xúc với đường thẳng  là giao tuyến của hai mp :
( ) : x  2 y  z  9  0, ( ) : 2 y  z  5  0 .
6/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1), D(-1; 6; 2).
7/ Có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng  là giao tuyến của hai mp: ( ) : 5x  4 y  3z  20  0;
( ) : 3x  4 y  z  8  0 tại hai điểm AB sao cho AB = 40.
8/ Có đường kính AB với A, B là các điểm lần lượt nằm trên hai đường thẳng
                                  x  20  2t
      x y2 z4                  
1 :                   ,  2 :  y  t         và AB vuông góc với cả hai đường thẳng trên.
     1      1        2           z  16  t
                                 
Bài 2. Trong kg Oxyz cho mặt cầu (S ) : x2  y 2  z 2  12 x  4 y  6 z  24  0 .
1/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
2/ Chứng minh rằng mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 cắt mặt cầu (S). Viết phương trình đường tròn là
giao của (S) và (P). xác định tọa độ tâm H và bán kính r của đường tròn này.
                                                       x  2  t
                                                       
3/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đ thẳng  :  y  1  t . Viết pt tiếp diện của (S) tại các giao điểm đó.
                                                       z  3  t
                                                       
Bài 3.
1/ Cho mặt phẳng ( P ) : 3x  4 y  5z  a  0 . Tìm a để mặt phẳng trên tiếp xúc với mặt cầu (S):
                    1

x2  y 2  z 2  1.
2/ Lập ptmc có tâm tại gốc tọa độ và tiếp xúc với mp ( P2 ) : x  y  z  5  0 .
Bài 4. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2  y 2  z 2  2 x  4 z  4  0 và ba điểm A(3; 1; 0), B(2;
2; 4), C(-1; 2; 1).
1/ Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C.
2/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (S).
3/ Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
4/ Xác định vị trí tương đối của ( P) và ( S ) .
Bài 5. Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng song song (P1), (P2) có phương trình: ( P ) : 2 x  y  2 z 1  0,
                                                                                            1

( P2 ) : 2 x  y  2 z  5  0 và điểm A(-1; 1;1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng trên. Gọi (S) là mặt cầu
bất kì đi qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng trên.
a/ Chứng tỏ rằng bán kính của (S) là một hằng số và tính bán kính đó.
b/ Gọi I là tâm của các hình cầu (S) ở trên. Chứng tỏ rằng I thuộc một đường tròn cố đinh. Xác định tọa
độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài 6. Trong không gian Oxyz cho mp ( ) :2 x  3 y  z 17  0 và A(2;3; 4)
a/ Tìm điểm A ' đối xứng với A qua ( ) .
b/ Tìm điểm M  Oz cách đều điểm A và ( ) .
                                   x 1 y  2 z  1
c/ Tìm hình chiếu của () :                         trên ( ) .
                                     2    1       3
Bài 7. Trong kg Oxyz cho 2mp ( ) : x  2 y  z  2  0, ( ) : x  y  2 z  5  0
a/ Lập pt đường thẳng giao tuyến của ( ), (  ) .
Ths. Nguyễn Thanh Quang         0983901825              - 10 -                               THPT Chuyên Lê Khiết
Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN                                             năm 2012-2013
b/ Viết pt mp ( ) qua M (1;2; 3) vuông góc với cả ( ), (  ) .
c/ Viết pt mp ( P) đối xứng với ( ) qua M (1;2; 3) .
d/ Tính góc tạo bởi hai mp ( ), (  ) .
e/ Tìm tập hợp tất cả các điểm cách đều ( ) và (  ) .
Bài 8. Trong kg Oxyz cho ABC với A(6; 2;3), B(0;1;6), C(2;0; 1)
                                              16 2
a/ Tìm tọa độ trực tâm H của ABC . H ( ;  ;2)
                                               5    5
b/ Tìm độ dài đường cao BE kẻ từ B của ABC .
c/ Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc A của ABC .
Bài 9. Trong kg Oxyz cho (S ) : x2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  3  0 và mp ( P) :2 x  2 y  z  m  0
a/ Xác định giá trị m để ( P),( S ) có điểm chung.                            12  m  6
b/ Lập pt tiếp diện của ( S ) biết tiếp diện song song với (Q) :2 x  2 y  z  0
c/ Lập phương trình đường thẳng  qua tâm mặt cầu và vuông góc với (Q)
d/ Lập pt đường tròn giao tuyến của (Q) và ( S ) .
Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt phẳng
(P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song
song với mặt phẳng (P).
Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng   ( )  ( ) với () : 2 x  y  z  1  0
(  ) : x  y  z  2  0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0.
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P).
                                                                          x2 y2 z
Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:                               và mặt phẳng
                                                                            1       1      1
(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với
đường thẳng Δ.
Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho
 
   
AC  (0;6;0) . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với A(0; 0; a 3 ), B(a; 0; 0),
C(0; a 3 , 0) (a > 0). Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Bài 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết phương trình mặt
phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300.
                                                                                           x  3  2t
                                                                                          
Bài 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng (d)  y  1  t .
                                                                                           z  1  4t
                                                                                          
Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; –1; 3) và đường thẳng (d) là
giao tuyến của hai mặt phẳng () : 3x  2 y 11  0, () : y  3z  8  0 .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm
của đường thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK.
b. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mphẳng (α) có pt: x + y – z + 1 = 0.
                                                                      x 1 y  3 z  3
Bài 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:                       và mặt phẳng
                                                                       1     2     1
(P): 2x + y – 2z + 9 = 0.
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường
   thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), biết Δ đi qua A và vuông góc với d.

                                                                                                   Còn nữa
Ths. Nguyễn Thanh Quang       0983901825           - 11 -                            THPT Chuyên Lê Khiết

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Thiết lập phương trình mặt phẳng
Thiết lập phương trình mặt phẳngThiết lập phương trình mặt phẳng
Thiết lập phương trình mặt phẳngThế Giới Tinh Hoa
 
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGTHAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGDANAMATH
 
Toa do trong mặt phẳng
Toa do trong mặt phẳngToa do trong mặt phẳng
Toa do trong mặt phẳngZenDi ZenDi
 
[Vnmath.com] de thi quoc gia lan 1 thpt hau loc 2
[Vnmath.com] de thi quoc gia lan 1 thpt hau loc 2[Vnmath.com] de thi quoc gia lan 1 thpt hau loc 2
[Vnmath.com] de thi quoc gia lan 1 thpt hau loc 2Marco Reus Le
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠDANAMATH
 
Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
 Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ... Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...Thùy Linh
 
692 bai hinh ltdh 17 quang trung
692 bai hinh ltdh  17 quang trung692 bai hinh ltdh  17 quang trung
692 bai hinh ltdh 17 quang trungndphuc910
 
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
200 Bài toán hình học tọa độ phẳngtuituhoc
 
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1Đăng Hoàng
 
244 bai tap hinh giai tich trong khong gian
244 bai tap hinh giai tich trong khong gian244 bai tap hinh giai tich trong khong gian
244 bai tap hinh giai tich trong khong gianThang Le Quang
 
55 Đề thi thử đại học có hướng dẫn giải 2014 Trần Sĩ Tùng
 55 Đề thi thử đại học có hướng dẫn giải 2014 Trần Sĩ Tùng 55 Đề thi thử đại học có hướng dẫn giải 2014 Trần Sĩ Tùng
55 Đề thi thử đại học có hướng dẫn giải 2014 Trần Sĩ TùngDương Ngọc Taeny
 
200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)
200 bai tap hinh hoc toa do phang   tran si tung (2)200 bai tap hinh hoc toa do phang   tran si tung (2)
200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)Song Tử Mắt Nâu
 
20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án
20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án
20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp ánTôi Học Tốt
 
118 Bài tập hình học phẳng
118 Bài tập hình học phẳng118 Bài tập hình học phẳng
118 Bài tập hình học phẳngMinh Thắng Trần
 
Đường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Đường thẳng đường tròn Oxy MathvnĐường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Đường thẳng đường tròn Oxy MathvnMinh Thắng Trần
 
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGGIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGDANAMATH
 
03 bai toan giai tam giac p1_bg
03 bai toan giai tam giac p1_bg03 bai toan giai tam giac p1_bg
03 bai toan giai tam giac p1_bgNgoc Diep Ngocdiep
 

Was ist angesagt? (18)

Thiết lập phương trình mặt phẳng
Thiết lập phương trình mặt phẳngThiết lập phương trình mặt phẳng
Thiết lập phương trình mặt phẳng
 
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGTHAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
 
Toa do trong mặt phẳng
Toa do trong mặt phẳngToa do trong mặt phẳng
Toa do trong mặt phẳng
 
[Vnmath.com] de thi quoc gia lan 1 thpt hau loc 2
[Vnmath.com] de thi quoc gia lan 1 thpt hau loc 2[Vnmath.com] de thi quoc gia lan 1 thpt hau loc 2
[Vnmath.com] de thi quoc gia lan 1 thpt hau loc 2
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
 
Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
 Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ... Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
 
692 bai hinh ltdh 17 quang trung
692 bai hinh ltdh  17 quang trung692 bai hinh ltdh  17 quang trung
692 bai hinh ltdh 17 quang trung
 
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
 
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
De va dap an thi thu lan 01 2015 khoi a a1
 
244 bai tap hinh giai tich trong khong gian
244 bai tap hinh giai tich trong khong gian244 bai tap hinh giai tich trong khong gian
244 bai tap hinh giai tich trong khong gian
 
55 Đề thi thử đại học có hướng dẫn giải 2014 Trần Sĩ Tùng
 55 Đề thi thử đại học có hướng dẫn giải 2014 Trần Sĩ Tùng 55 Đề thi thử đại học có hướng dẫn giải 2014 Trần Sĩ Tùng
55 Đề thi thử đại học có hướng dẫn giải 2014 Trần Sĩ Tùng
 
200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)
200 bai tap hinh hoc toa do phang   tran si tung (2)200 bai tap hinh hoc toa do phang   tran si tung (2)
200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)
 
20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án
20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án
20 đề thi thử kì thi quốc gia có đáp án
 
118 Bài tập hình học phẳng
118 Bài tập hình học phẳng118 Bài tập hình học phẳng
118 Bài tập hình học phẳng
 
Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng
Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳngTuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng
Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng
 
Đường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Đường thẳng đường tròn Oxy MathvnĐường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
Đường thẳng đường tròn Oxy Mathvn
 
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGGIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
 
03 bai toan giai tam giac p1_bg
03 bai toan giai tam giac p1_bg03 bai toan giai tam giac p1_bg
03 bai toan giai tam giac p1_bg
 

Ähnlich wie Một số bt về đường thẳng, mp

Chuong 3 phuong phap toa do trong khong gian
Chuong 3   phuong phap toa do trong khong gianChuong 3   phuong phap toa do trong khong gian
Chuong 3 phuong phap toa do trong khong gianHuynh ICT
 
Cac dang toan ve pp toa do trong kg
Cac dang toan ve pp toa do trong kgCac dang toan ve pp toa do trong kg
Cac dang toan ve pp toa do trong kgndphuc910
 
7 van-de-ve-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian
7 van-de-ve-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian7 van-de-ve-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian
7 van-de-ve-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gianCong Thanh Nguyen
 
Chuyên đề phương pháp tạo độ trong không gian oxyz
Chuyên đề phương pháp tạo độ trong không gian oxyzChuyên đề phương pháp tạo độ trong không gian oxyz
Chuyên đề phương pháp tạo độ trong không gian oxyzluanvantrust
 
Bài toán vận dụng cao chủ đề 7 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ có lời giải file ...
Bài toán vận dụng cao chủ đề 7 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ có lời giải file ...Bài toán vận dụng cao chủ đề 7 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ có lời giải file ...
Bài toán vận dụng cao chủ đề 7 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ có lời giải file ...nataliej4
 
Toan pt.de019.2010(+17de)
Toan pt.de019.2010(+17de)Toan pt.de019.2010(+17de)
Toan pt.de019.2010(+17de)BẢO Hí
 
Ngan hang de hinh hoc giai tich trong khong gian
Ngan hang de hinh hoc giai tich trong khong gianNgan hang de hinh hoc giai tich trong khong gian
Ngan hang de hinh hoc giai tich trong khong gianQuyen Le
 
Toán 2 2010 khối thpt chuyên toán tin, thpt chuyên đhkhtn, đhqg hn
Toán 2 2010 khối thpt chuyên toán tin, thpt chuyên đhkhtn, đhqg hnToán 2 2010 khối thpt chuyên toán tin, thpt chuyên đhkhtn, đhqg hn
Toán 2 2010 khối thpt chuyên toán tin, thpt chuyên đhkhtn, đhqg hnViệt Nam Tổ Quốc
 
Dethithu d hkhoia-2012-toan-hnams
Dethithu d hkhoia-2012-toan-hnamsDethithu d hkhoia-2012-toan-hnams
Dethithu d hkhoia-2012-toan-hnamsNghia Phan
 
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vnTập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vnMegabook
 
250 câu trắc nghiệm môn Toán vận dụng cao có đáp án chi tiết
250 câu trắc nghiệm môn Toán vận dụng cao có đáp án chi tiết250 câu trắc nghiệm môn Toán vận dụng cao có đáp án chi tiết
250 câu trắc nghiệm môn Toán vận dụng cao có đáp án chi tiếthaic2hv.net
 
Tập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian - Megabook.vn
Tập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian - Megabook.vnTập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian - Megabook.vn
Tập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian - Megabook.vnMegabook
 
Chuyen de-9-hinh-hoc-phang
Chuyen de-9-hinh-hoc-phangChuyen de-9-hinh-hoc-phang
Chuyen de-9-hinh-hoc-phanggadaubac2003
 
05 ki thuat xu li hinh chu nhat
05 ki thuat xu li hinh chu nhat05 ki thuat xu li hinh chu nhat
05 ki thuat xu li hinh chu nhatHuynh ICT
 
ôn hình lớp 9
ôn hình lớp 9ôn hình lớp 9
ôn hình lớp 9tamhvtc
 

Ähnlich wie Một số bt về đường thẳng, mp (20)

Chuong 3 phuong phap toa do trong khong gian
Chuong 3   phuong phap toa do trong khong gianChuong 3   phuong phap toa do trong khong gian
Chuong 3 phuong phap toa do trong khong gian
 
Cac dang toan ve pp toa do trong kg
Cac dang toan ve pp toa do trong kgCac dang toan ve pp toa do trong kg
Cac dang toan ve pp toa do trong kg
 
7 van-de-ve-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian
7 van-de-ve-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian7 van-de-ve-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian
7 van-de-ve-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian
 
Chuyên đề phương pháp tạo độ trong không gian oxyz
Chuyên đề phương pháp tạo độ trong không gian oxyzChuyên đề phương pháp tạo độ trong không gian oxyz
Chuyên đề phương pháp tạo độ trong không gian oxyz
 
Chuyên Đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz Tự Luận Và Trắc Nghiệm
Chuyên Đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz Tự Luận Và Trắc NghiệmChuyên Đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz Tự Luận Và Trắc Nghiệm
Chuyên Đề Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz Tự Luận Và Trắc Nghiệm
 
288ehq h9
288ehq h9288ehq h9
288ehq h9
 
Bài toán vận dụng cao chủ đề 7 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ có lời giải file ...
Bài toán vận dụng cao chủ đề 7 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ có lời giải file ...Bài toán vận dụng cao chủ đề 7 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ có lời giải file ...
Bài toán vận dụng cao chủ đề 7 tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ có lời giải file ...
 
Hinh hoc khong gian
Hinh hoc khong gianHinh hoc khong gian
Hinh hoc khong gian
 
Hinh hoc khong gian
Hinh hoc khong gianHinh hoc khong gian
Hinh hoc khong gian
 
Toan pt.de019.2010(+17de)
Toan pt.de019.2010(+17de)Toan pt.de019.2010(+17de)
Toan pt.de019.2010(+17de)
 
Ngan hang de hinh hoc giai tich trong khong gian
Ngan hang de hinh hoc giai tich trong khong gianNgan hang de hinh hoc giai tich trong khong gian
Ngan hang de hinh hoc giai tich trong khong gian
 
Toán 2 2010 khối thpt chuyên toán tin, thpt chuyên đhkhtn, đhqg hn
Toán 2 2010 khối thpt chuyên toán tin, thpt chuyên đhkhtn, đhqg hnToán 2 2010 khối thpt chuyên toán tin, thpt chuyên đhkhtn, đhqg hn
Toán 2 2010 khối thpt chuyên toán tin, thpt chuyên đhkhtn, đhqg hn
 
Dethithu d hkhoia-2012-toan-hnams
Dethithu d hkhoia-2012-toan-hnamsDethithu d hkhoia-2012-toan-hnams
Dethithu d hkhoia-2012-toan-hnams
 
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vnTập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
Tập 3 chuyên đề Toán học: Hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
 
250 câu trắc nghiệm môn Toán vận dụng cao có đáp án chi tiết
250 câu trắc nghiệm môn Toán vận dụng cao có đáp án chi tiết250 câu trắc nghiệm môn Toán vận dụng cao có đáp án chi tiết
250 câu trắc nghiệm môn Toán vận dụng cao có đáp án chi tiết
 
Tập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian - Megabook.vn
Tập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian - Megabook.vnTập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian - Megabook.vn
Tập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian - Megabook.vn
 
De toan 12 101
De toan 12 101De toan 12 101
De toan 12 101
 
Chuyen de-9-hinh-hoc-phang
Chuyen de-9-hinh-hoc-phangChuyen de-9-hinh-hoc-phang
Chuyen de-9-hinh-hoc-phang
 
05 ki thuat xu li hinh chu nhat
05 ki thuat xu li hinh chu nhat05 ki thuat xu li hinh chu nhat
05 ki thuat xu li hinh chu nhat
 
ôn hình lớp 9
ôn hình lớp 9ôn hình lớp 9
ôn hình lớp 9
 

Mehr von ntquangbs

Lên mạng 121
Lên mạng 121Lên mạng 121
Lên mạng 121ntquangbs
 
Lên mạng 10
Lên mạng 10Lên mạng 10
Lên mạng 10ntquangbs
 
Lên mạng 12
Lên mạng 12Lên mạng 12
Lên mạng 12ntquangbs
 
Lên mạng 1
Lên mạng 1Lên mạng 1
Lên mạng 1ntquangbs
 
đề Thi ka 2011
đề Thi ka 2011đề Thi ka 2011
đề Thi ka 2011ntquangbs
 
đề Thi toán ka 2011
đề Thi toán ka 2011đề Thi toán ka 2011
đề Thi toán ka 2011ntquangbs
 
đề Thi đh khối a 2011
đề Thi đh khối a 2011đề Thi đh khối a 2011
đề Thi đh khối a 2011ntquangbs
 
đề Cương 12 hki (2010-2011)
đề Cương 12 hki (2010-2011)đề Cương 12 hki (2010-2011)
đề Cương 12 hki (2010-2011)ntquangbs
 
Bo ga giai tich 12nc hki
Bo ga giai tich 12nc hkiBo ga giai tich 12nc hki
Bo ga giai tich 12nc hkintquangbs
 
De cuong k11 ban a -hki-2009-2010
De cuong k11   ban a -hki-2009-2010De cuong k11   ban a -hki-2009-2010
De cuong k11 ban a -hki-2009-2010ntquangbs
 
Bài tập ánh sánh
Bài tập ánh sánhBài tập ánh sánh
Bài tập ánh sánhntquangbs
 
Bo ga giai tich 12nc hki
Bo ga giai tich 12nc hkiBo ga giai tich 12nc hki
Bo ga giai tich 12nc hkintquangbs
 
đA kt 1 tiết
đA kt 1 tiếtđA kt 1 tiết
đA kt 1 tiếtntquangbs
 
đề Thi tn 2 cot
đề Thi tn 2 cotđề Thi tn 2 cot
đề Thi tn 2 cotntquangbs
 
đề Thi tn 2 cot
đề Thi tn 2 cotđề Thi tn 2 cot
đề Thi tn 2 cotntquangbs
 
Ke chuyen ve kim loai(q2) 784
Ke chuyen ve kim loai(q2) 784Ke chuyen ve kim loai(q2) 784
Ke chuyen ve kim loai(q2) 784ntquangbs
 
Ke chuyen ve kim loai(q1) 783
Ke chuyen ve kim loai(q1) 783Ke chuyen ve kim loai(q1) 783
Ke chuyen ve kim loai(q1) 783ntquangbs
 
The green house effect
The green house effectThe green house effect
The green house effectntquangbs
 
Da suc ct_dh_k10
Da suc ct_dh_k10Da suc ct_dh_k10
Da suc ct_dh_k10ntquangbs
 

Mehr von ntquangbs (20)

Lên mạng 121
Lên mạng 121Lên mạng 121
Lên mạng 121
 
Lên mạng 10
Lên mạng 10Lên mạng 10
Lên mạng 10
 
Lên mạng 12
Lên mạng 12Lên mạng 12
Lên mạng 12
 
Lên mạng 1
Lên mạng 1Lên mạng 1
Lên mạng 1
 
đề Thi ka 2011
đề Thi ka 2011đề Thi ka 2011
đề Thi ka 2011
 
đề Thi toán ka 2011
đề Thi toán ka 2011đề Thi toán ka 2011
đề Thi toán ka 2011
 
đề Thi đh khối a 2011
đề Thi đh khối a 2011đề Thi đh khối a 2011
đề Thi đh khối a 2011
 
đề Cương 12 hki (2010-2011)
đề Cương 12 hki (2010-2011)đề Cương 12 hki (2010-2011)
đề Cương 12 hki (2010-2011)
 
Bo ga giai tich 12nc hki
Bo ga giai tich 12nc hkiBo ga giai tich 12nc hki
Bo ga giai tich 12nc hki
 
De cuong k11 ban a -hki-2009-2010
De cuong k11   ban a -hki-2009-2010De cuong k11   ban a -hki-2009-2010
De cuong k11 ban a -hki-2009-2010
 
Bài tập ánh sánh
Bài tập ánh sánhBài tập ánh sánh
Bài tập ánh sánh
 
Bo ga giai tich 12nc hki
Bo ga giai tich 12nc hkiBo ga giai tich 12nc hki
Bo ga giai tich 12nc hki
 
đA kt 1 tiết
đA kt 1 tiếtđA kt 1 tiết
đA kt 1 tiết
 
đS 111
đS 111đS 111
đS 111
 
đề Thi tn 2 cot
đề Thi tn 2 cotđề Thi tn 2 cot
đề Thi tn 2 cot
 
đề Thi tn 2 cot
đề Thi tn 2 cotđề Thi tn 2 cot
đề Thi tn 2 cot
 
Ke chuyen ve kim loai(q2) 784
Ke chuyen ve kim loai(q2) 784Ke chuyen ve kim loai(q2) 784
Ke chuyen ve kim loai(q2) 784
 
Ke chuyen ve kim loai(q1) 783
Ke chuyen ve kim loai(q1) 783Ke chuyen ve kim loai(q1) 783
Ke chuyen ve kim loai(q1) 783
 
The green house effect
The green house effectThe green house effect
The green house effect
 
Da suc ct_dh_k10
Da suc ct_dh_k10Da suc ct_dh_k10
Da suc ct_dh_k10
 

Một số bt về đường thẳng, mp

  • 1. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 I. TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉCTƠ Cần nhớ:          *Cho 3 véctơ a ,b ,c trong đó a ,b không cùng phương. a ,b ,c đồng phẳng  !k , l  : c  k.a  l.b        * a ,b ,c không đồng phẳng thì x,!m, n, p   : x  m.a  n.b  p.c 1. Hệ tọa độ trong không gian 2. Kết quả cần nhớ   Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  ( x1; y1; z1 ),v  ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi đó:           * u  v  ..., u  v  ..., ku  ..., u.v  ... u  v  , * u , v cùng phương     * Độ dài véctơ u  , * cos(u , v )    * Tọa độ AB , Khoảng cách giữa hai điểm A, B…    x  kxB y A  kyB z A  kzB  * Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1 (tức là MA  kMB ) và ta có M  A ; ;   1 k 1 k 1 k  * Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm tam giác…    VD1. Trong không gian Oxyz cho ba vector a  (3;0;1), b  (1; 1; 2), c  (2;1; 1)      a/ Tính a (b c ), | a  b |       b/ Tính cos(a, b ), cos(a,c ), cos(a  b , c ) VD 2. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;4;2), B(4;1;0), C(5; 1;1) a/ Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của ta giác. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.      c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MB  MC  6MA  0 d/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, chứng minh A, G, M thẳng hàng. 3. Tích có hƣớng của hai véctơ và ứng dụng    * Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u  ( x1; y1; z1 ),v  ( x2 ; y2 ; z2 ) . Tích có hướng của hai véctơ u ,v là   yz zx x y  một véctơ và được xác định bởi [ u ,v ]   1 1 ; 1 1 ; 1 1   y2 z2 z2 x2 x2 y2  * Tính chất         + [ u,v ]  u; [ u, v ]  v hay [ u ,v ] .u  0; [ u ,v ] .v  0      + [ u , v ]  u v sin(u ,v )    + [ u ,v ]  0  u,v cùng phương       * Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ a , b , c đồng phẳng là [ a, b] . c  0 * Ứng dụng:    + Diện tích hình hành ABCD là S ABCD  [ AB, AD ] 1    + Diện tích tam giác ABC là SABC  [ AB, AC ] 2     + Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' là Vhh  [ AB, AD ] . AA' 1     + Thể tích tứ diện ABCD là V  [ AB, AC ] . AD 6 4. Phƣơng trình mặt cầu ĐN. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) , bán kính R là: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 Dạng khác: Phương trình dạng x2  y 2  z 2  2 Ax  2By  2Cz  D  0 (Thỏa đk A2  B2  C 2  D  0 ) là phương trình của một mặt cầu tâm I ( A; B; C ) , bán kính R  A2  B2  C 2  D .     VD 3. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết OA  (3; 2; 2), OB  (5; 4; 1) , C (1;3;0) . a/ Chứng minh tam giác ABC vuông cân. b/ Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC. Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -1- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 2. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 c/ Đường thẳng AB cắt (Oxy) tại M. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M. d/ Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp ABCO. VD 4. Trong không gian Oxyz cho hình bình hành ABCD với A(1;0;1), B(2;1;2) và giao điểm hai đường 3 3 chéo I ( ;0; ) . 2 2 a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành. b/ Tính diện tích hình bình hành ABCD. c/ Tìm diện tích tam giác ABM với M (2;3;4) , suy ra khoảng cách từ A đến đường thẳng BM. d/ Chứng minh rằng ABCE với E (1;2; 3) là 4 đỉnh của một tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó rồi suy ra khoảng cách từ E đến mặt phẳng (ABC). e/ Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE. f/ Tìm tọa độ trực tâm H của MNP với M (1;2;3), N (3;5;4), P(3;0;5) . VD 5. Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau a/ Qua ba điểm A(0;8;0), B(4;6;2), C(0;12;4) và có tâm nằm trong mp (Oxy). b/ Bán kính bằng 2, tiếp xúc với mp (Oyx) và có tâm nằm trên tia Ox. c/ Có tâm I (1; 2;3) và tiếp xúc với mp (Oyx). VD 6. Trong không gian Oxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' với A(0;1;1) , B(0; 2;3) , C (2;4;2), A(1;2;5) . a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b/ Tính diện tích mặt chéo BDD'B'. c/ Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D'. VD 7. Trong không gian Oxyz cho (Sm ): x2  y 2  z 2  4mx  4 y  2mz  m2  4m  0 a/ Tìm điều kiện của m để ( Sm ) là mặt cầu. b/ Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong họ ( Sm ) nêu trên. 5. Giải bài toán không gian bằng phƣơng pháp tọa độ (trích một phần ôn thi ĐH) Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. Phương pháp. B1. Chọn hệ trục Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) B2. Xác định tọa độ các điểm có liên quan (có thể xác định tất cả các điểm hoặc một vài điểm cần thiết). Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào: + Điểm nằm trên các trục, mp tọa độ hay trên đường thẳng nào đó,.. + Dựa vào quan hệ song song, vuông góc của các yếu tố của hình đã cho,… + Điểm cần tìm là giao điểm của các đường, của đường và mặt,… B3. Dùng các kiến thức về tọa độ cùng với kiến thức hh lớp 11 để giải bài toán. Dạng toán thường gặp: -Chứng minh sự song song, vuông góc,… -Thể tích khối đa diện, tỉ số thể tích, diện tích thiết diện, bài toán cực trị và quỹ tích. Chú ý: + S   S.cos  trong đó S là diện tích của đa giác (H), S' là diện tích hình chiếu của (H) trên ( ) ,  là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp ( ) . + Cho tứ diện S.ABC, trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A, B, C khác với S. VS . ABC  SA SB SC  Ta luôn có  · · VS . ABC SA SB SC Ta thường gặp một số hình có thể dùng hệ trục tọa độ như sau: Dạng 1. Đối với hình hộp chữ nhật, hình lập phương + Chọn gốc là một đỉnh trong 8 đỉnh. + Ba cạnh xuất phất từ một đỉnh nằm trên 3 trục. Dạng 2. Hình chóp tam giác có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh vuông góc với nhau từng đôi một. Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -2- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 3. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 + Chọn gốc của hệ trục tọa độ trùng với đỉnh của góc vuông đó, ba trục chứa 3 cạnh xuất phát từ đỉnh của góc vuông đó. Dạng 3. Tứ diện đều Cách 1. + Dựng hình lập phương ngoại tiếp tứ diện đều. + Chọn hệ trục có gốc trùng với một đỉnh của hình lập phương. + Ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó nằm trên ba trục. Cách 2. Hai trục lần lượt chứa đường cao và một cạnh tương ứng của mặt (BCD), trục còn lại vuông góc với (BCD) (cùng phương với đường cao AH). Chú ý: Chóp tam giác đều cũng có cách chọn tương tự. Dạng 4. Hình chóp tứ giác có đáy là hình thoi, các cạnh bên bằng nhau + Chọn trục Oz chứa đường cao SO của hình chóp. + Hai trục Ox, Oy lần lượt chứa hai đường chéo của đáy. Chú ý: Hình chóp tứ giác đều cũng chọn như vậy S Dạng 5. Chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau. + Chọn gốc O là một đỉnh của HCN, hai trục chứa 2 cạnh của HCN. + Trục thứ 3 vuông góc với đáy (cùng phương với đường cao SO của hình chóp, trục Az nằm trên mặt chéo (SAC)) Dạng 6. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân + Chọn hai trục lần lượt là cạnh đáy và chiều cao tương ứng của tam giác cân là đáy của lăng trụ. Trục còn lại chứa đường trung bình của mặt bên. Chú ý: Lăng trụ tam giác đều cũng chọn tương tự. Dạng 7. Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi + Chọn trục Oz nằm trên đường thẳng nối tâm hai đáy + Hai trục còn lại chứa hai đường chéo đáy Chú ý: Lăng trụ đứng có đáy là hình vuông có cách chọn như vậy hoặc đơn giản hơn là chọn trục Oz là một cạnh của lăng trụ. Dạng 8. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông Chọn đỉnh tam giác vuông làm gốc, ba trục chứa ba cạnh xuất phát từ đỉnh này. *Một số bài tập áp dụng. Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạn bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, DD . Chứng minh rằng AC  (MNP)        HD. Chọn hệ trục Oxyz, sau đó chứng minh AC.MN  0, AC.MP  0 Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -3- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 4. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 Bài 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ tự trung điểm các cạnh AD, CD. Lấy P  BB : BP  3PB . Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương.   HD. Chọn hệ trục Oxyz, gọi n, n theo thứ tự là vtpt của (ABCD) và (MNP), S , S  lần lượt là diện tích thiết diện và diện tích hình chiếu của nó trên (ABCD). Lúc đó diện tích hình chiếu là S   S ABCNM .  2 1 1 7a 2 6 Gọi   (( ABCD),(MNP)) thì cos  | cos(n,n ) |  . S .S  (S ABCD  S DMN )  6 cos cos 16 Bài 3. Cho tứ diện OABC với OA  a, OB  b, OC  c và OA  OB  OC . a/ Tính cosin các góc của tam giác ABC. Chứng tỏ ABC là tam giác nhọn. b/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính OG. a2 1 2 HD . Chọn hệ trục Oxyz, Tính cos A   0, OG  a  b2  c 2 a b . a c 2 2 2 2 3 Bài 4. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ( ABC), SA  a . Tính tan của góc giữa hai đường thẳng AB, SC. ĐS. tan   7 Bài 5. Cho tứ diện SABC có đường cao SA  h, ABC vuông tại C, AC  b, BC  a . Gọi M là trung điểm  1   của AC và N là điểm sao cho SN  SB 3 a/ Tính độ dài đoạn MN. b/ Tìm mối liên hệ giữa a, b, h để MN  SB . 1 2    ĐS. MN  b  4a 2  16h 2 , MN .SB  0  4h 2  2a 2  b 2 6 §2. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Phƣơng trình mặt phẳng    * n  0 được gọi là véctơ pháp tuyến của mp ( ) nếu giá của n vuông góc với ( ) .   * n là véctơ pháp tuyến của mp ( ) thì k.n (k  0) cũng là vector pháp tuyến của ( ) .   * a ,b không cùng phương và lần lượt nằm trên hai đường thẳng song song hoặc chứa trong ( ) thì một    vtpt của ( ) là n = [ a,b ] .  * Phương trình của mặt phẳng ( ) qua M o ( xo ; yo ; zo ) và nhận n  ( A; B; C ) làm một vtpt: A( x  xo )  B( y  yo )  C ( z  zo )  0 (1) Hay Ax  By  Cz  D  0 Trong đó A2  B2  C 2  0 . VD. Lập ptmp ( ) trong các trường hợp sau: a/ ( ) qua 3 điểm A(0;1;2), B(2; 2;1),C (2;0;1) ĐHKB 2008 b/ ( ) qua hai điểm A(1;1; 1), B(5;2;1) và song song với trục Oz. c/ ( ) qua điểm A(3; 2; 1) và song song với mặt phẳng 4 x  3 y  z  5  0 . d/ ( ) qua 2 điểm A(0;1;1), B(1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng x  y  z  1  0 . 2. Các trƣờng hợp riêng. Giả sử ( ) : Ax  By  Cz  D  0 , A2  B2  C 2  0 khi đó a) ( ) qua gốc O  D  0 b) ( ) song song hoặc chứa Ox  A  0 c) ( ) song song hoặc trùng với (Oxy)  A  B  0 D D D x y z d) Nếu A, B,C, D  0 , Đặt a   , b   , c   ta đưa pt về dạng    1 , và được gọi là pt A B C a b c mặt phẳng theo đoạn chắn. Lúc đó ( ) qua M (a; o; o), B(0; b;0), C (0;0; c) VD. Trong kg Oxyz cho M (30;15;6) a/ Viết ptmp ( ) qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. b/ Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp ( ) . ĐS: x  2 y  5z  30  0, H (1;2;5) 3. Vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng * Xét các bộ ( x1;...; xn ), n  2, trong đó các số x1 ,..., xn không đồng thời bằng 0. Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -4- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 5. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 + Hai bộ số ( A1;...; An ) và ( B1;...; Bn ) được gọi là tỉ lệ nhau nếu tồn tại số t sao cho A A ( A1;...; An )  t ( B1;...; Bn ) . Ta viết A1 :  : An  B1 :  : Bn hay 1    n B1 Bn + Hai bộ số ( A1;...; An ) và ( B1;...; Bn ) không tỉ lệ , ta viết A1 :  : An  B1 :  : Bn * Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mp ( ) : Ax  By  Cz  D  0, ( ) : Ax  By  Cz  D  0 . + ( ) cắt ( )  A : B : C  A : B : C A B C D + ( ) // ( )     , A.B.C.D '  0 A B C  D A B C D + ( )  ( )     , A.B.C.D '  0 A B C  D VD. Cho hai mp ( ) : 2 x  my  3z  6  m  0, ( ) : (m  3) x  2 y  (5m  1) z 10  0 Tìm m để: ( ) cắt ( ) , ( ) // ( ) , ( )  ( ) , ( )  ( ) 4. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng * Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) tới ( ) : Ax  By  Cz  D  0 là | Ax0  By0  Cz0  D | d ( M 0 ;( ))  A2  B 2  C 2 * Góc giữa hai mặt phẳng. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 , ( ') :A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 . Thì  bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT của hai mặt phẳng đó. Vì vậy    | n. n ' | | A. A ' BB ' CC ' | cos  | cos(n, n ') |     | n | .| n ' | A  B 2  C 2 . A '2  B '2  C '2 2 Để lập pt mặt phẳng ( ) ta cần: C1. Biết một điểm thuộc ( ) và một vtpt của ( ) . C2. Biết một điểm thuộc ( ) và hai vector nằm trên hai đường thẳng a, b (a b) mà chúng chứa trong ( ) hoặc song song với ( ). VD 1. Trong mp Oxyz, viết pt mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau đây  a/ ( ) qua A(2; 1;3) và có một vtpt n  (2;7; 1)   b/ ( ) qua A(4;1; 3) song song với giá của hai vector u  (2;1; 1), v  (3;5; 2) c/ ( ) qua 3 điểm A(2; 1;3), B(4;0;1), C(10;5; 3) d/ ( ) qua A(2;1;4) và song song với mặt phẳng ( ) : 4 x  3 y  2 z  5  0 e/ ( ) qua OA và vuông góc với mặt phẳng ( ) :  3x  2 y  4 z 13  0 f/ ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN với M (2;3;4), N (4;3; 5) g/ ( ) qua M (3; 1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) :  3x  2 y  4 z 13  0 , ( ) : 2x  y  5z  3  0 VD 2. Trong mp Oxyz, cho 4 điểm A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a/ Lập phương trình ( ABC ) . b/ Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện. c/ Lập pt mặt phẳng (  ) qua D và song song với mp ( ABC ) . d/ Tìm khoảng cách từ D đến ( ABC ) . VD 3. Cho hình lặp phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Dùng phương pháp tọa độ để: a/ Chứng minh ( ABD) // ( BCD) . b/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên. VD 4. Cho ( ) : 2 x  3 y  z 17  0, M (2;3;4) a/ Tìm khoảng cách từ M đến ( ) b/ Tìm điểm A trên Ox cách đều điểm M và mặt phẳng ( ) c/ Tìm điểm N trên Oz cách đều hai mặt phẳng ( ) : x  y  z  1  0, ( ) : x  y  z  5  0 VD 5. Cho tứ diện ABCD với A(1;0;4), B(1;1;0), C(0;0;1), D(2;3; 1) . Viết ptmp ( ) qua trọng tâm G của tứ diện đồng thời song song với AB và CD. Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -5- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 6. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 VD 6. Cho G(1; 2;3) , gọi ( ) là mp qua G và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho ABC nhận G làm trọng tâm. Viết phương trình mặt phẳng ( ) . VD 7. Cho hai mặt phẳng ( ) : x  2 y  z  2  0,(  ) : x  my  (m  1) z  m  2  0 . Tìm giá trị của m để 1 hai mặt phẳng ( ),(  ) hợp với nhau một góc 600 . ĐS m  1; m   2 VD 8. Viết phương trình mặt phẳng () trong mỗi trường hợp sau: a/ Đi qua ba điểm A(1; 1;2), B(1;3;2), C (4;3;2) . Từ đó chứng minh rằng: bốn điểm A, B, C và D(4; 1; 2) đồng phẳng. b/ Đi qua các hình chiếu của điểm P(2; 1;  trên các trục tọa độ. 2) c/ Đi qua điểm M (5; 4; 3) và cắt ba trục tọa độ ở ba điểm cách đều gốc tọa độ. VD 9. Cho hai mặt phẳng: ( ) : 2 x  y  2 z 1  0 , ( ') : x  6 y  2 z  5  0 và điểm I (1; 3;4) a/ Chứng minh rằng hai mặt phẳng trên vuông góc. b/ Viết pt mp () đi qua gốc tọa độ và giao tuyến của hai mặt phẳng trên. c/ Viết phương trình mp tiếp diện tại A(1; 2; 3) của mặt cầu tâm I (1;3; 2) bán kính IA. d/ Lập pt mặt cầu tâm I và tiếp xúc Ox . e/ Viết pt mặt cầu qua A(1;2; 4), B(1; 3;1), C (2;2;3) biết tâm của nó nằm trong mặt phẳng Oxy . VD 10. Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1; 4;9) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác gốc O) sao cho: a/ Thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. b/ OA  OB  OC đạt giá trị nhỏ nhất. PHƢƠNG PHÁP VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz . ------------------------------------- I. Một số kiến thức cơ bản về phƣơng trình của đƣờng thẳng trong không gian Oxyz   * u  0 được gọi là VTCP của đthẳng d nếu u nằm trên d hoặc trên những đường thẳng song song với d.  1. Phương trình tham số: Đường thẳng (d ) qua M o ( xo ; yo ; zo ) và có một véctơ chỉ phương u  (a; b; c)  x  x0  at  sẽ có phương trình tham số:  y  y0  bt , a 2  b2  c 2  0 , (1)  z  z  ct  0 x  x0 y  y0 z  z0 2. Phương trình chính tắc: Trong (1) nếu a.b.c  0 thì ta có   (2) a b c Và (2) được gọi là pt chính tắt của (d ) . II. Phƣơng pháp viết phƣơng trình của đƣờng thẳng trong kg Phƣơng pháp 1: Tìm một điểm nằm trên đthẳng  và một VTCP của nó. 1. Đi qua hai điểm A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) .  Đường thẳng  đi qua A( xA ; y A ; z A ) và nhận AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  z A ) làm VTCP, viết được ptts. Ví dụ: Trong kg Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(4; 0;  3) , C (2; 3; 2) a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Tìm tọa độ điểm H. 2. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng a có pt cho trước. Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTCP của a làm VTCP của nó. Từ đó suy ra phương trình của . 3. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng () có pt cho trước.  Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTPT n của () làm VTCP của nó. Từ đó suy ra phương trình của . Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;3) , B(1; 2;1) , C (1; 1; 3) . Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC. Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -6- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 7. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 (ĐH Huế, Khối A-1999) 4. Nằm trong một mặt phẳng () và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước. Đường thẳng  cần tìm chính là đường thẳng đi qua các giao điểm của () với đường thẳng a và b . Giải tọa độ giao điểm, từ đó suy ra phương trình của . Ví dụ: Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng x  1 t x  2  t '   y  2 z  0 và cắt cả hai đường thẳng:  :  y  t ,  ' :  y  4  2t ' (ĐH Huế, Khối A-2000)  z  4t z  1   5. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng a, b không cùng phương có pt cho trước.       Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận u  u, u ' làm VTCP của nó, với u, u ' lần lượt là   VTCP của a và b. 6. Đi qua điểm M o  ( ) và vuông góc với đường thẳng a, đồng thời nằm trong mp () có pt cho trước (đường thẳng a không vuông góc với ()).      Đường thẳng  cần tìm đi qua điểm M0 và có VTCP là: u  u; n  , với u là VTCP của đường thẳng a    và n là VTPT của mp(). x 1 y z  2 Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho (): 2 x  y  z  2  0 và đường thẳng (d ) :   . 2 1 3 a/ Tìm tọa độ giao điểm A của (d) và mặt phẳng (). b/ Viết phương trình đường thẳng  đi qua A vuông góc với đường thẳng (d) và nằm trong mặt phẳng (). ( ĐH An Ninh, ĐH Cảnh Sát, 1999) Phƣơng pháp 2: Đƣa đƣờng thẳng cần tìm về giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó rồi ta viết đƣợc phƣơng trình của nó. 1. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước. Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó: + () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa a. + () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa b. Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2) và hai đường thẳng có phương x  1 t x 1 y 1 z  trình: (d1 ) : =  , (d 2 ) :  y  3  t . Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt cả hai 2 1 1  z  3  2t  đường thẳng trên. (ĐH GTVT TP.HCM, Khối A-2001) 2. Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt một đường thẳng a và vuông góc với một đường thẳng b có phương trình cho trước. Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó: + () là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc với b. + () là mặt phẳng đi qua M0 và chứa a. Chú ý: Đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , cắt và vuông góc với một đường thẳng a có phương trình cho trước, làm tương tự. Hoặc đường thẳng này chính là đường thẳng đi qua M 0 và hình chiếu của M0 lên đường thẳng a.  x  3  2t Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; 2; 4) và đường thẳng (d ) :  y  1  t . Viết phương   z  1  4t  trình đường thẳng  đi qua A, cắt và vuông góc với d. (Đề thi ĐH, CĐ Khối B - 2004) 1. Song song với một đường thẳng a và cắt cả hai đường thẳng b, c có pt cho trước Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó: + () là mặt phẳng chứa b và song song với a. + () là mặt phẳng chứa c và song song với a. Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -7- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 8. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 2. Vuông góc với một mặt phẳng () và cắt cả hai đường thẳng a, b có pt cho trước Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp(P) với mp(Q), trong đó: + (P) là mặt phẳng chứa a và vuông góc với () + (Q) là mặt phẳng chứa b và vuông góc với () 3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng a lên một mặt phẳng () có pt cho trước + Đường thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó () là mặt phẳng chứa a và vuông góc với (). + Lấy hai điểm trên a rồi tìm hình chiếu trên ( ) Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(1;1;1) và C  ; 1 1 1  ; . 3 3 3 a/ Viết phương trình mặt phẳng () vuông góc với đường thẳng OC tại C. b/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d ) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (). (Đề thi TN THPT, 2000-2001) Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( D)  ( )  ( ) với ( ) : x  z  3  0, ( ) :2 y  3z  0 và mặt phẳng ( P) : x  y  z  3  0 . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (D) trên mặt phẳng (P). (ĐH Quốc Gia HCM, Khối A-1998) 2. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 ,  2 Cách 1. + Đưa 2 pt về dạng tham số + Lấy hai điểm H, K lần lượt nằm trên 1 ,  2 + Đ kiện HK vuông góc với 1 ,  2 Đường thẳng đi qua hai điểm H, K là đường thẳng cần tìm. Cách 2.       + Lập ptmp ( ) chứa 1 và có một véc tơ pháp tuyến n  [u 1 , u  ] với u  u 1 , u 2    + Tìm giao điểm M của ( ) và  2 .     + Đường thẳng cần tìm qua M và có 1 VTCP u  u 1 , u 2    Cách 3. Đ thẳng  cần tìm chính là giao tuyến của mp() với mp(), trong đó:    + () là mặt phẳng chứa 1 và có một VTPT u  u 1 , u 2  .        + () là mặt phẳng chứa  2 và có một VTPT u  u 1 , u 2  (Với u 1 , u 2 lần lượt là VTCP của 1 và  2 )   Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểmA,B,C,D có toạ độ xác định bởi các hệ         thức: A(2; 4; 1) , OB  i  4 j  k , C  (2; 4; 3), OD  2i  2 j  k . Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung  của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa  và mặt phẳng (ABD). (TN THPT 2003-2004) Ví dụ 2. Trong kg Oxyz cho 1  ( )  ( ) với ( ) :2 x  y  4 z  5  0, ( ) : x  y  2 z  1  0 và x  1 t   2 :  y  2  3t  z  2t  a/ Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 1 và song song với  2 . b/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (2; 1; 1) và song song với cả hai đường thẳng trên. c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 và vuông góc với mặt phẳng (P): x  2 y  z  3  0 . Suy ra phương trình hình chiếu vuông góc của 1 lên mặt phẳng (P).  x  5  2t  x  3  2t '  Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 1 :  y  1  t ,  2 :  y  3  t ' . Chứng minh rằng hai đường thẳng trên  z  5  t z  1 t '   song song. Viết pt mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó. Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -8- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 9. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013  Phƣơng pháp ĐỂ LẬP PHƢƠNG TRÌNH CỦA MỘT MẶT PHẲNG TA CẦN *Tìm một điểm nằm trên mp và một VTPT của nó. Mặt phẳng () có phương trình: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 *Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mp (): Ax  By  Cz  D  0 .  Mặt phẳng () đi qua M0 và nhận VTPT của () là n  ( A; B; C ) làm VTPT, nên có phương trình: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 Hay Ax  By  Cz  D  0 , với D  ( Ax0  By0  Cz0 ) Cách khác: () có dạng Ax  By  Cz  m  0 rồi cho đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) để tìm m. *Đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với đ thẳng (d) có pt cho trước.   Mp() đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận VTCP ud của (d) làm VTPT của nó. Từ đó suy ra ptrình của mp() *Mặt phẳng trung trực của đoạn AB. x x y  yB z A  z B   Mp() đi qua trung điểm I ( A B ; A ; ) của AB và nhận AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A ) 2 2 2 và làm VTPT. Từ đó suy ra phương trình của mp() . Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng () trong mỗi trường hợp sau: 1 1 1 a/ Vuông góc với đường thẳng OC tại C với C ( ; ; ) . 3 3 3 b/ Đi qua A(2; 1;1) và vuông góc với đường thẳng  là giao tuyến của hai mp ( ) : 2 x  y  z  2  0 và ( ) : y  z  4  0 c/ Đi qua A(1; 0; 5) và song song với mặt phẳng ( ) : 2 x  y  z  6  0   * Tìm một điểm nằm trên mp và cặp VTCP u1  (a; b; c), u2  (d ; e; f ) không cùng phương nằm trong ( ) hoặc trên những đường thẳng song song với ( ) . MP() cần tìm đi qua điểm M0 và có VTPT là:      b c c a a b n với n  u1 , u2      ; ;   ( A; B; C ) .  e f f d d e Suy ra phương trình mặt phẳng (): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 * Đi qua ba điểm A, B, C có tọa độ cho trước.     () đi qua A và nhận n   AB, AC  làm VTPT. Từ đó suy ra phương trình.   Còn một số bài toán lập ptmp nữa: Chẳng hạn mp *Chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b có pt cho trước. *Chứa đường thẳng a và vuông góc với mặt phẳng (  ) có pt cho trước. *Chứa hai đường thẳng cắt nhau. * Chứa hai đường thẳng song song. * Đi qua một điểm và song song với hai đthẳng chéo nhau cho trước. * Song song và cách đều hai đường thẳng chéo nhau cho trước. MẶT CẦU *************** Nhắc lại: 1/ Định nghĩa: Mặt cầu S ( I , R)  M  3 IM  R . 2/ Phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c) , bán kính R là: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 3/ Mọi phương trình dạng: x2  y 2  z 2  2 Ax  2By  2Cz  D  0 , (Đk A2  B2  C 2  D  0 ) là phương trình của một mặt cầu tâm I ( A; B; C ) , bán kính R  A2  B2  C 2  D . 4/ Đk cần và đủ để mp (P) tiếp xúc với mặt cầu S ( I ; R) (hay (P) là tiếp diện của (S)) là: d ( I ;( P))  R . 5/ Đk cần và đủ để đthẳng  tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) (hay  là tiếp tuyến của (S)) là: d ( I ; )  R . 6/ Vị trí tương đối của mặt cầu S ( I ; R) với một mặt phẳng (P):  d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )   .  d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )  H , với H là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 -9- THPT Chuyên Lê Khiết
  • 10. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013  d ( I ;( P))  R  ( P)  (S )  C ( H , r ) , trong đó: C ( H ; r )  ( P) là đường tròn tâm H (với H là hình chiếu vuông góc của I lên (P)), bán kính r  R 2  d 2 ( I ,( P)) . Chú ý: Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu (S) (tức d(I; R) = 0) thì ( P)  (S )  C( I , R) MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: 1/ Đi qua điểm A(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1). 2/ Có tâm C(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2 x  y  3z  11  0 . 3/ Có tâm nằm trên mặt phẳng x  y  z  2  0 và đi qua 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1). 4/ Đi qua điểm S(2; 3; 4) và các hình chiếu của S lên các trục tọa độ. 5/ Có tâm I(1; 1; 1) và tiếp xúc với đường thẳng  là giao tuyến của hai mp : ( ) : x  2 y  z  9  0, ( ) : 2 y  z  5  0 . 6/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 2; 2), B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1), D(-1; 6; 2). 7/ Có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng  là giao tuyến của hai mp: ( ) : 5x  4 y  3z  20  0; ( ) : 3x  4 y  z  8  0 tại hai điểm AB sao cho AB = 40. 8/ Có đường kính AB với A, B là các điểm lần lượt nằm trên hai đường thẳng  x  20  2t x y2 z4  1 :   ,  2 :  y  t và AB vuông góc với cả hai đường thẳng trên. 1 1 2  z  16  t  Bài 2. Trong kg Oxyz cho mặt cầu (S ) : x2  y 2  z 2  12 x  4 y  6 z  24  0 . 1/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (S). 2/ Chứng minh rằng mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 cắt mặt cầu (S). Viết phương trình đường tròn là giao của (S) và (P). xác định tọa độ tâm H và bán kính r của đường tròn này. x  2  t  3/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đ thẳng  :  y  1  t . Viết pt tiếp diện của (S) tại các giao điểm đó. z  3  t  Bài 3. 1/ Cho mặt phẳng ( P ) : 3x  4 y  5z  a  0 . Tìm a để mặt phẳng trên tiếp xúc với mặt cầu (S): 1 x2  y 2  z 2  1. 2/ Lập ptmc có tâm tại gốc tọa độ và tiếp xúc với mp ( P2 ) : x  y  z  5  0 . Bài 4. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2  y 2  z 2  2 x  4 z  4  0 và ba điểm A(3; 1; 0), B(2; 2; 4), C(-1; 2; 1). 1/ Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. 2/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của (S). 3/ Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 4/ Xác định vị trí tương đối của ( P) và ( S ) . Bài 5. Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng song song (P1), (P2) có phương trình: ( P ) : 2 x  y  2 z 1  0, 1 ( P2 ) : 2 x  y  2 z  5  0 và điểm A(-1; 1;1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng trên. Gọi (S) là mặt cầu bất kì đi qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng trên. a/ Chứng tỏ rằng bán kính của (S) là một hằng số và tính bán kính đó. b/ Gọi I là tâm của các hình cầu (S) ở trên. Chứng tỏ rằng I thuộc một đường tròn cố đinh. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó. Bài 6. Trong không gian Oxyz cho mp ( ) :2 x  3 y  z 17  0 và A(2;3; 4) a/ Tìm điểm A ' đối xứng với A qua ( ) . b/ Tìm điểm M  Oz cách đều điểm A và ( ) . x 1 y  2 z  1 c/ Tìm hình chiếu của () :   trên ( ) . 2 1 3 Bài 7. Trong kg Oxyz cho 2mp ( ) : x  2 y  z  2  0, ( ) : x  y  2 z  5  0 a/ Lập pt đường thẳng giao tuyến của ( ), (  ) . Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 - 10 - THPT Chuyên Lê Khiết
  • 11. Bài tập PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN năm 2012-2013 b/ Viết pt mp ( ) qua M (1;2; 3) vuông góc với cả ( ), (  ) . c/ Viết pt mp ( P) đối xứng với ( ) qua M (1;2; 3) . d/ Tính góc tạo bởi hai mp ( ), (  ) . e/ Tìm tập hợp tất cả các điểm cách đều ( ) và (  ) . Bài 8. Trong kg Oxyz cho ABC với A(6; 2;3), B(0;1;6), C(2;0; 1) 16 2 a/ Tìm tọa độ trực tâm H của ABC . H ( ;  ;2) 5 5 b/ Tìm độ dài đường cao BE kẻ từ B của ABC . c/ Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc A của ABC . Bài 9. Trong kg Oxyz cho (S ) : x2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  3  0 và mp ( P) :2 x  2 y  z  m  0 a/ Xác định giá trị m để ( P),( S ) có điểm chung. 12  m  6 b/ Lập pt tiếp diện của ( S ) biết tiếp diện song song với (Q) :2 x  2 y  z  0 c/ Lập phương trình đường thẳng  qua tâm mặt cầu và vuông góc với (Q) d/ Lập pt đường tròn giao tuyến của (Q) và ( S ) . Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. Bài 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng   ( )  ( ) với () : 2 x  y  z  1  0 (  ) : x  y  z  2  0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P). x2 y2 z Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:   và mặt phẳng 1 1 1 (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng Δ. Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho   AC  (0;6;0) . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với A(0; 0; a 3 ), B(a; 0; 0), C(0; a 3 , 0) (a > 0). Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM. Bài 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300.  x  3  2t  Bài 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng (d)  y  1  t .  z  1  4t  Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Bài 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; –1; 3) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng () : 3x  2 y 11  0, () : y  3z  8  0 . a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK. b. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mphẳng (α) có pt: x + y – z + 1 = 0. x 1 y  3 z  3 Bài 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:   và mặt phẳng 1 2 1 (P): 2x + y – 2z + 9 = 0. a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), biết Δ đi qua A và vuông góc với d. Còn nữa Ths. Nguyễn Thanh Quang 0983901825 - 11 - THPT Chuyên Lê Khiết