2. ‫درست ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود .‬

3. ‫ أضرب كثيرات الحدود باستعمال خاصية التوزيع .‬‫- أضرب ثنائيتي حد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب .‬

4. ‫المفردات:‬
‫ طريقة التوزيع بالترتيب‬‫- العبارة التربيعية‬

5. ‫لماذا؟‬
‫نشا‬
‫لخياطة ثوب نستخدم قطعة من القماش مستطيلة الشكل،‬
‫ويدحدد سبعداها سبناء على طول لسبسه وعرضه .‬
‫ ً‬
‫حُ‬
‫فإذا كان طول قطعة القماش المراد تفصيلها كثوب لمين‬
‫يساوي ع زائد 081 سم، أو )ع + 081( سم .‬
‫ ً‬
‫وعرض القطعة يساوي نصف طول أمين مضافا‬
‫1‬
‫إليه 72 سم، أو 2 ع + 72. وليجاد المساحة‬
‫التقريبية لقطعة القماش، فإنك تدحتاج ليجاد ناتج‬
‫)ع + 081( ) 1ع + 72 ( .‬
‫2‬

6. ‫لماذا؟‬
‫نشا‬
‫ضرب ثنائيتي حد: تستعمل خاصية التوزيع‬
‫1‬
‫لضرب ثنائيتي حد مثل ع + 081، ع + 72.‬
‫2‬
‫ويمكن ضرب ثنائيتي الحد أفقيا أو رأسيا .‬
‫ ً‬
‫ ً‬

7. ‫خاصية التوزيع‬
‫أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:‬
‫أ( )2س + 3( )س + 5(‬

8. ‫أ( )2س + 3( )س + 5(‬
‫الطريقة الرأسية:‬
‫اضرب في 5‬
‫اضرب في س‬
‫2س + 3‬
‫2س + 3‬
‫)×( س + 5‬
‫01س + 51‬
‫5 )2س + 3( =‬
‫01س + 51‬
‫)×( س + 5‬
‫01س + 51‬
‫س )2س + 3( =‬
‫2س2 + 3س‬

9. ‫أ( )2س + 3( )س + 5(‬
‫الطريقة الرأسية:‬
‫اجمع الحدود المتشابهة‬
‫2س + 3‬
‫)×(س + 5‬
‫01س + 51‬
‫2 2 + 3س‬
‫س‬
‫01س2 +31س + 51‬

10. ‫أ( )2س + 3( )س + 5(‬
‫الطريقة الفقية:‬
‫)2س + 3( )س + 5( = 2س )س + 5( + 3 )س + 5(‬
‫اكتبها كمجموع حاصلي ضرب‬
‫= 2س2 + 01س + 3س + 51‬
‫= 2س2 + 31س + 51‬
‫خاصية التوزيع‬
‫اجمع الحدود المتشابهة‬

11. ‫ب( )س – 2( )3س + 4(‬
‫الطريقة الرأسية:‬
‫س-2‬
‫اضرب في 4‬
‫)×(3س + 4‬
‫4س - 8‬
‫4 )س – ( 2= 4س – 8‬

12. ‫اضرب في 3س‬
‫س+2‬
‫)×( 3س + 4‬
‫2‬
‫3 س - 6س‬
‫3س )س – 2( = 3س2 – 6س‬
‫جمع الحدود المتشابهة‬
‫س-2‬
‫)×( 3س + 4‬
‫4س - 8‬
‫3س2 -6س‬
‫2‬
‫3س - 2 س - 8‬

13. ‫الطريقة الفقية:‬
‫)س – 2( )3س + 4( = س )3س + 4( – 2 )3س + 4(‬
‫اكتبها كفرق بين حاصلي ضرب‬
‫= 3س + 4س – 6س – 8‬
‫= 3س – 2س – 8‬
‫خاصية التوزيع‬
‫اجمع الحدود المتشابهة‬

14. ‫نشاط‬
‫نشاط‬
‫تحقق من فهمك:‬
‫حواري‬
‫حواري‬
‫بسط كل عبارة فيما يأتي:‬
‫1أ( )3م + 4( )م + 5(‬
‫3م2+91م+02‬

15. ‫نشاط‬
‫نشاط‬
‫تحقق من فهمك:‬
‫حواري‬
‫حواري‬
‫بسط كل عبارة فيما يأتي:‬
‫1ب( )5ص – 2( )ص + 8(‬
‫5ص2+83ص-61‬

16. ‫وتسمى الصيغة المختصرة لخاصية التوزيع في ضرب‬
‫سُ‬
‫ثنائيتي حد بطريقة التوزيع بالترتيب .‬
‫مفهوم أساسي‬
‫طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫التعبير اللفظي:‬
‫لضرب ثنائيتي حد، أوجد ناتج جمع كل من: ضرب أول‬
‫حدين، وضرب الحدين الواقعين على الطرفين، وضرب‬
‫الحدين الوسطين، وضرب الحدين الخيرين بالترتيب .‬

17. ‫مثال:‬
‫ناتج ضرب‬
‫الحدين اللولين‬
‫ناتج ضرب‬
‫الحدين في‬
‫الطرفين‬
‫ناتج ضرب‬
‫الحدين‬
‫اللوسطين‬
‫ناتج ضرب‬
‫الحدين‬
‫اليخيرين‬
‫)س + 4( )س – 2( = )س( )س( + )س( )-2( + )4( )س( + )4( )-2(‬
‫= س 2 – 2 س + 4س – 8‬
‫= س 2 + 2س – 8‬

18. ‫قراءة الرياضيات‬
‫كثيرات الحدود كعوامل:‬
‫تقراء العبارة)س + 4( )س ــ 2 ( على‬
‫الصورة س زائد 4 مضروبا في س ناقص 2.‬

19. ‫مثال 2‬
‫طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:‬
‫أ( )2ص – 7( )3ص + 5(‬
‫)2ص ــ 7( )3ص +5(‬
‫= )2ص( )3ص( + )2ص( )5( + )-7( )3ص( + )-7( )5(‬
‫طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫= 6ص2 + 01ص – 12ص – 53‬
‫اضرب‬
‫= 6ص2 – 11ص – 53‬
‫جمع الحدود المتشابهة‬

20. ‫مثال 2‬
‫طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:‬
‫ب( )4أ – 5( )2أ – 9(‬
‫)4أ – 5( )2أ – 9(‬
‫=)4أ( )2أ( + )4أ( )-9( + )-5( )2أ( + )-5( )-9( طريقة التوزيع‬
‫بالترتيب‬
‫= 8أ2 – 63أ – 01أ + 54‬
‫= 8أ2 – 64أ + 54‬
‫اضرب‬
‫جمع الحدود المتشابهة‬

21. ‫تحقق من فهمك:‬
‫2أ( )4ب – 5( )3ب + 2(‬
‫21ب2-7ب-01‬

22. ‫تحقق من فهمك:‬
‫2ب( )2ص – 5( )ص – 6(‬
‫2ص2-71ص+03‬

23. ‫لظحظ أنه عند ضرب عبارتين خطيتين، تكون النتيجة‬
‫عبارة تربيعية. العبارة التربيعية هي عبارة ذات متغير‬
‫واظحد من الدرجة الثانية. ونتيجة ضرب ةثلةثة عبارات‬
‫خطية، هي عبارة من الدرجة الثالثة .‬
‫جيمكن استعمال طرجيقة التوزجيع بالترتيب لجيجاد‬
‫عبارة تمثل مساظحة مستطيل أعطي بعداه على‬
‫عُ‬
‫صورة ةثنائيتي ظحد .‬

24. ‫مثال 3 من واقع الحياة:‬
‫التوزيع بالترتيب‬

25. ‫بركة سباحة: يحيط ممر ببركة سباحة مستطيلة‬
‫الشكل. فإذا كان عرض الممر هو س متر.‬
‫فاكتب عبارة تمثل مساحة البركة والممر معا .‬
‫ ً‬
‫افهم: نحتاج إلى كتابة عبارة لمساظحة البركة والممر ظحولها .‬
‫خطط: استعمل صيغة مساظحة المستطيل بعد تحدجيد طول البركة‬
‫وعرضها بالضافة إلى عرض الممر .‬
‫ظحل: بما أن الممر منتظم من جميع‬
‫جهات البركة، فإن طول المستطيل‬
‫الممثل للبركة والممر جيزجيد على طول‬
‫البركة بمقدار 2س، وكذلك العرض. لذا‬
‫جيمكن تمثيل الطول ب 2س + 7‬
‫والعرض ب 2س + 5 .‬

26. ‫المساحة = الطول×العرض‬
‫= )2س + 7( )2س + 5(‬
‫مساحة المستطيل‬
‫بالتعويض‬
‫)2س( )2س( + )2س( )5( + )7( )2س( + )7( )5(‬
‫طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫= 4س2 + 01س + 41س + 53‬
‫اضرب‬
‫= 4س2 + 42س + 53‬
‫اجمع الحدود المتشابهة‬
‫لذا تكون المساظحة الكلية للممر والبركة معا هي:‬
‫ ً‬
‫4س2 + 42س + 53‬

27. ‫تحقق: اختر قيمة ل س وعوضها في العبارتين‬
‫)2س + 7( )2س + 5(، 4س2 + 42س + 53 .‬
‫ستجد أن النتيجة هي نفسها لكل العبارتين .‬

28. ‫الربط مع الحياة‬
‫تعتمد تكلفة بركة السباحة على عدة عوامل. منها: كون‬
‫البركة فوق مستوى سطح الضرض، أو دون مستوى‬
‫سطحها، ونوع المادة المستعملة في تبليطها.‬

29. ‫تحقق من فهمك:‬
‫3( إذا كان طول البركة 9 م وعرضها 7 م.‬
‫فأوجد مساظحة البركة والممر معا .‬
‫ ً‬
‫المساحة= 4س2+23س+36‬

30. ‫ضرب كثيرات الحدود: جيمكن استعمال خاصية‬
‫التوزجيع أجيضا لجيجاد ناتج ضرب كثيرتي ظحدود .‬
‫ ً‬
‫مثال 4‬
‫مثال 4‬
‫خاصية التوزيع‬

31. ‫أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:‬
‫أ( )6س + 5( )2س2 – 3س – 5(‬
‫)6س + 5( )2س2 – 3س – 5(‬
‫= 6س )2س2 – 3س – 5( + 5 )2س2 – 3س – 5( خاصية التوزيع‬
‫= 21س3 – 81س2 – 03س + 01س2 – 51س – 52‬
‫= 21س3 – 8س2 – 54س – 52‬
‫اضرب‬
‫اجمع الحدود المتشابهة‬

32. ‫أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:‬
‫ب( )2ص2 + 3ص – 1( )3ص2 – 5ص + 2(‬
‫)2ص2 + 3ص – 1( )3ص2 – 5ص + 2(‬
‫= 2ص2 )3ص2 – 5ص + 2( + 3ص )3ص2 – 5ص‬
‫+ 2( – 1 )3ص2 – 5ص + 2(‬
‫خاصية التوزيع‬
‫= 6ص4 – 01ص3 + 4ص2 + 9ص3 – 51ص2 + 6ص‬
‫– 3ص2 + ص – 2‬
‫= 6ص4 – ص3 – 41ص2 + 11ص – 2‬
‫اضرب‬
‫اجمع الحدود‬
‫المتشابهة‬

33. ‫إرشادات للدراسة‬
‫ضرب كثيرات الحدود‬
‫عند ضرب كثيرة حدود تحوي م حدا في أخرى‬
‫تحوي ن حدا، فسيكون ناتج الضرب قبل التبسيط‬
‫كثيرة حدود تحوي م×ن حدا، وفي المثال 4 أ ناتج‬
‫الضرب يحوي 2×3= حدود التبسيط.‬

34. ‫تحقق من فهمك:‬
‫4أ( )3س – 5( )2س2 + 7س – 8(‬
‫6س3+11س2-85س+04‬

35. ‫تأكــــد‬
‫أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:‬
‫1‬
‫)س + 5( )س + 2(‬
‫س2+7س+01‬

36. ‫تأكــــد‬
‫7‬
‫إطار صورة: صمم خالد إطارا لصورة‬
‫ ً‬
‫كما في الشكل المجاور .‬
‫فإذا كان الطار منتظما من جميع جهاته، فاكتب‬
‫ ً‬
‫عبارة تمثل المساحة الكلية للصورة والطار معا .‬
‫ ً‬
‫إطار صورة: 4س2+081س+002‬

37. ‫أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:‬
‫01 )5ص – 4( )3ص – 1(‬
‫51ص2-71ص+4‬

38. ‫أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي:‬
‫71 )2ص – 11( )ص2 – 3ص + 2(‬
‫2ص3-71ص2+73ص-22‬

39. ‫انتهى الدرس‬

40. ‫تحقق من فهمك:‬
‫4ب( )م2 + 2م – 3( )4م2 – 7م + 5(‬
‫4م4+م3-12م2+13م-51‬