Secuencias para el aula expresiones algebraicas y modelos de area

Secuencias para el aula
Expresiones algebraicas y modelos de área.

Profesora Teresita Novoa de Chascomús, provincia de Buenos Aires.
Profesor Rubén Salatin de la provincia de Córdoba
Profesora Eugenia Hernando de la provincia de Buenos Aires
Profesora Graciela Freda del Partido de Gral. San Martín en la provincia de Buenos Aires
Profesora Ivana Agüero de Cruz del Eje en la provincia de Córdoba
Profesora Nilda González de Remedios de Escalada, provincia de Buenos Aires

2012
Área: Matemática
Nivel: Secundario
Año: 3 año
Profesor /Provincia: Teresita Novoa
Contenido: Desarrollo del cuadrado de un binomio

Tema: Expresiones algebraicas

A) Construcción. (Trabajo individual)

a) Sobre una hoja cuadriculada dibujar un segmento “a”, de cualquier longitud, sobre este segmento
construir un cuadrado, (lo llamaremos C1),. Dibujar un segmento “b”, con una longitud distinta de “a”, y
sobre él construir un cuadrado, (C2). Construir dos rectángulos, (R1 y R2), cada uno de ellos con lados igual a
los segmentos “a” y “b”. Recortar las cuatro figuras y armar un cuadrado con ellas, (C3).

(Observación: si los alumnos estuvieron trabajando sobre las propiedades de los cuadriláteros y su
construcción, se les podría pedir que los hicieran en una hoja lisa)

b) Responder:

1. ¿Cómo escribirías algebraicamente el área de cada una de las figuras, (C1, C2, R1, R2)?
2. ¿Qué segmentos forman cada lado del cuadrado mayor, (C3)?
3. ¿Cómo escribirías algebraicamente el área del cuadrado C3, teniendo en cuenta la medida de sus
lados?
4. ¿Qué relación hay entre el área de las figuras C1, C2, R1, R2, y la figura C3? Escribirlo
algebraicamente.

B) (Trabajo grupal). Armar grupos de cuatro alumnos, (como máximo).

a) Confrontar con los integrantes de tu grupo las actividades realizadas y contestar:

1. ¿Todos utilizaron las mismas medidas de segmentos?
2. ¿Escribieron de la misma manera el área de cada una de las figuras?
3. ¿Contestaron de la misma forma la pregunta 4?

4. ¿Si mezclan todas las figuras del grupo qué deben tener en cuenta para armar los cuadrados C3?
5. Analizar las dos actividades de GeoGebra

dasarrollo 2.ggb Cuadrado_de_un_binomio-_1.ggb

1. ¿Se cumple la igualdad para cualquier valor de a y b?
2. ¿Qué relación hay entre el área del cuadrado grande con el área de las otras figuras.

6. Indicar cuáles de las siguientes expresiones equivalen al área del cuadrado C3

1) a + b + a 2 + b2
2) a2 + b2 + 2 ab
3) (a2 + b2)2
4) (a + b)2
5) a 2 + b2
6) ab + ba +a2 + b2

7. Buscar en libros de matemática o por internet “desarrollo del cuadrado de un binomio” y
relacionarlo con lo aprendido. Escribir con el grupo una definición

Aporte de la actividad:

Esta actividad permite:

 Comparar áreas de distintas figuras.

 Relacionar áreas y lados con la construcción de fórmulas.

 Introducir al alumno en el concepto de álgebra.

 Reconocer expresiones algebraicas equivalentes.

 Promueve la discusión entre compañeros sobre procedimientos y conclusiones.

2012
Área: Matemática
Nivel: Secundario
Año:
Profesor /Provincia: RUBEN SALATIN // CORDOBA
Contenido: DIFERENCIA DE CUADRADOS

Justificación de la diferencia de cuadrados en forma geométrica

Con las herramientas que tengamos a mano, ya sea la Netbook…o el lápiz y papel, intentaremos seguir los
siguientes pasos para crear una expresión válida de la diferencia de los cuadrados de dos valores arbitrarios.

Actividad 1

1. Dibuje un cuadrado de lados (a), siendo a, un valor natural (a > 0). Nombre: -1-

2. Dibuje otro cuadrado de lados (b), siendo b, un valor natural comprendido entre (0 < b < a). Nombre: -2-

3. Superponga estas dos figuras y descubra que figuras quedan representadas, ya sea cortando en forma vertical y
horizontal o en forma oblicua y colóqueles nombres, como en las anteriores.

4. Qué relación podría descubrir de las áreas que quedaron de la superposición y cuantas figuras quedan?

5. Podrían ahora, armar la expresión algebraica del área de la diferencia de dos cuadrados de lados a y b?

6. Si a es el doble o el triple o el enésimo valor de b…..como quedaría la expresión algebraica expresada?

7. Si a y b, fueran números enteros (positivos y negativos), sería válida la expresión que ha encontrado?
Justifique su respuesta.

8. Tendría un sentido geométrico lo anterior?


La actividad va a aportar el conocimiento del área obtenida de la diferencia de otros dos, como restar varias formas
(cuadrados y rectángulos) , como representar algebraicamente esas formas y el planteo del campo de aplicaciones en
el conjunto de números estudiados.


 Utilizar un programa llamado geogebra para crear cada uno de los pasos.

 Poder realizarlos en papel y lápiz. Cortar figuras y movilizar piezas.

 Utilizar las reglas para verificar lados y medidas que quedan sin cubrir.

 Que el alumno….les dé las dimensiones que quiera y que verifique las expresiones obtenidas con sus
compañeros.

 Reemplazar números por letras y crear expresiones generales o expresiones algebraicas.

 Que el alumno exponga sus conclusiones en un archivo de Word, con imágenes, tablas, gráficos, etc….

2012
Área: Matemática
Nivel: Secundario
Año: 3° año ESB
Profesor : Hernando María Eugenia /Provincia -Buenos Aires
Contenido: Expresiones Algebraicas

Tema: Interpretación Geométrica de expresiones Algebraicas

Actividad 1

a) Exprese en función de a, el perímetro y el área de la figura de la forma más reducida:

(Aclaración! los lados opuestos de la figura son paralelos)

b) Exprese en símbolos: ……la mitad del área de la figura.

……el triple del área de la figura.

…..la cuarta parte del perímetro.

c) Si a= 2cm ¿cuál es el valor numérico del perímetro y del área de la figura? ¿Cómo lo calculaste ?

d) Exprese para cada figura, el área pintada de dos formas distintas. ¿Podía demostrar analíticamente que las
dos expresiones son equivalentes para cada caso?

( Aclaración! la base del rectángulo mide 15 cm y la altura 10 cm)



 Comenzar a trabajar con expresiones algebraicas, asociadas a figuras geométricas.

 Traducir al lenguaje algebraico.

 Interpretar el valor numérico de una expresión algebraica.

 Demostrar la equivalencia entre expresiones algebraicas.

Actividad 2

a) Teniendo en cuenta dos rectángulos de altura x y base a y b respectivamente.

I) Explique qué significado tiene la expresión : a.x + b.x
II) Forme con ellos un único rectángulo, señale sus dimensiones y su área.

b) ¿Qué significado geométrico puede asignarle a la expresión : x² - 4 y ² ?¿Puede asignarle más de un
significado?. Justifique gráficamente y analíticamente.

c) Trabajando con geogebra ,construya figuras cuyas superficies sea las siguientes:

I) (a + b). a II) ( a + b) ² III) a² + 2 ab + b² IV) a² - b² V) (a – b)²



 Trabajar con expresiones algebraicas, asociadas a figuras geométricas.

 Traducir de lenguaje algebraico a geométrico.

 Demostrar la equivalencia entre expresiones algebraicas.

 Utilizar el programa geogebra como apoyo visual.

 Analizar la equivalencia ( a + b) ² = a² + 2 ab + b² a partir de la act 2_c)

Bibliografía consultada:

* Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González” Departamento de Matemática

- Curso de Nivelación 2012 -

Páginas Sugeridas: …

: http://argentina.aula365.com/post/cuadrado-binomio/

2012
Área: Matemática
Nivel: Secundario
Año: 3º
Profesor: Graciela Norma Freda
Provincia: Buenos Aires
Contenido: Cuadrado de un binomio

Tema: Cuadrado de un binomio

Actividad 1

1. Construye en cartulina: a- Un cuadrado de lado a
b- Un cuadrado de lado b
c- Dos rectángulos de base a y altura b
Elige los valores que desees para a y b.
2. Utiliza los cuadriláteros construidos como piezas de un rompecabezas para armar un cuadrado. ¿Es posible ese
armado?
Si crees que sí, ármalo.
Si crees que no explica por qué?
3. Si lograste armar el cuadrado, calcula su área de dos formas distintas.
4. Reúnete con dos compañeros y comenten de qué forma realizaron los cálculos.
5. Observen el siguiente video y luego usando Geogebra realicen la misma construcción
http://graciela-dejandohuellas.blogspot.com.ar/p/actividades.html



 Descubrir mediante material concreto dos formas de obtener un mismo resultado.

 Recrear una construcción usando Geogebra y valorar su utilidad

 Compartir experiencias e intercambiar producciones

Actividad 2

1. ¿Qué relación encuentran entre la construcción con Geogebra y el armado del rompecabezas? Escriban sus
conclusiones.
2. Escriban dos expresiones que permitan calcular el área del cuadrado “grande” para valores de a y de b variables.
3. Interactuando con la construcción en Geogebra analicen y respondan:
a. ¿es posible que el área del cuadrado “grande” coincida con el área de alguno de los otros cuadrados
interiores? ¿en qué casos?
b. Si a=b ¿a qué es igual el área del cuadrado “grande”?
c. ¿Cuáles son los posibles valores de a y de b? ¿Pueden ser valores negativos?
4. ¿Podrían decir que las expresiones que escribieron en el ítem 7 expresan siempre el mismo número? Si creen
que sí, demuéstrenlo. Si creen que no expliquen por qué.
5. Escriban una expresión algebraica que represente las situaciones 8 a y 8 b.
6. Si a y b no fuesen las medidas de dos segmentos, ¿cuáles podrían ser sus valores para que las dos expresiones
que escribieron en el ítem 7 sean equivalentes?



 Comparar la construcción realizada en cartulina con la realizada en Geogebra y analizar las diferencias

 Escribir expresiones algebraicas que modelicen situaciones geométricas.

 Establecer diferencias entre igualdad y equivalencia.

 Demostrar equivalencias entre expresiones algebraicas.

 Debatir sobre los procedimientos o caminos para llegar a un resultado final.

 Interpretar el valor numérico de una expresión algebraica.

 Analizar las diferencias entre el trabajo geométrico y el numérico.

2012
Área: Matemática
Nivel: Secundario
Año: 3º año
Profesor : Ivana Analía Agüero
Provincia: Córdoba
Contenido: Cuadrado de un binomio

Tema: Cuadrado de un binomio

Actividad 1

En tu carpeta de clase, preferentemente de hojas cuadriculadas, sigue los siguientes pasos:

1) Dibuja un cuadrado de 3 cm de lado y luego calcula su superficie o área. ¿Cuál es el resultado que
obtienes?
2) Si nombras a cada lado del cuadrado anterior como “a”, y deseas calcular su superficie ¿cuál es el
resultado que obtienes?
3) Ahora si dibujas dos rectángulos que miden 3cm x 5 cm, y calculas su superficie, ¿Cuál es el resultado
de la superficie de cada uno?
4) Si nombras al lado que mide 3 cm como “a” y al lado que mide 5 cm como “b”, responde: ¿Cuál es el
resultado que obtienes, al multiplicar esos lados?
5) Por último dibuja un cuadrado de 5 cm de lado y calcula su superficie: ¿Cuál es su resultado de su
superficie?



 Relacionar conceptos geométricos y operaciones algebraicas.

 Crear expresiones algebraicas que modelicen figuras geométricas.

 Usar fórmulas de cálculos de superficies de figuras geométricas planas.

Actividad 2

Dibuja nuevamente las figuras geométricas elaboradas en la actividad anterior, respetando las mismas
medidas, pero esta vez en papel glasé o papel de colores. Luego recórtalas para pegarlas en tu carpeta de la
siguiente manera:

En grupos de 3 o 4 integrantes, piensan y luego responden: (Consulta con tu profesora si es necesario)

1) Al unir todas las figuras, ¿se obtiene otro cuadrado o rectángulo mayor? Justifica tus respuestas.
2) ¿Cómo llamarías a cada lado de la figura geométrica unida?
3) ¿Cómo calcularías ahora la superficie de esta figura geométrica?

Luego de responder las preguntas, exponen sus respuestas delante de los otros grupos, en forma oral,
y debaten cuál es el resultado de la superficie total de esta figura.

Por último, acceden a este enlace: http://argentina.aula365.com/post/cuadrado-binomio/ y vean el
video que aparece en esa página web. Vuelven a responder las 3 preguntas anteriores de esta
actividad, y discutan en clase cuáles son sus errores y aciertos sobre los cálculos de la superficie de
todas las figuras geométricas unidas.



 Relacionar operaciones realizadas en la actividad anterior con las de esta actividad.

 Modelizar figuras geométricas para formar una nueva figura.

 Debatir en grupos sobre los procedimientos o caminos para llegar a un resultado final.

2012
Área: Matemática
Nivel: Secundario
Año: 3° Año
Profesor : Nilda Haydée González Provincia: Buenos Aires
Contenido: ÁLGEBRA y GEOMETRÍA

Tema: EXPRESIONES EQUIVALENTES

Actividad 1

a) Un rectángulo tiene lados que miden 7 cm y 4 cm. Si el lado que mide 7 cm se aumenta una cierta
cantidad x como muestra el dibujo. ¿Cuál o cuáles de estas fórmulas permiten calcular el área del
nuevo rectángulo? Explicá tu elección.

(7 + x) . 4 7+x.4

28 + 4 . x 28 + 7 . x

b) Escribí una fórmula que permita calcular el área del nuevo rectángulo, si el lado que aumenta en x
unidades es ahora el que mide 4 cm.

c) Si ambos lados aumentan x unidades, ¿Cómo será el dibujo de la situación? Escribí una fórmula para
calcular el área de la nueva figura, cualquiera sea el valor de x.

d) Utilizá el programa GeoGebra para construir la interpretación geométrica de esta actividad y verificá,
con las herramientas que el programa posee, la veracidad de esta expresión algebraica.



 Relacionar una figura geométrica y su respectiva expresión algebraica.


 Utilizar el programa GeoGebra.

 Considerar las ventajas de utilizar un programa dinámico.

 Verificar por medio de las herramientas que posee el programa GeoGebra la veracidad de la equivalencia
trabajada.

Actividad 2

a) Encontrá una fórmula que permita calcular el área de la figura coloreada sabiendo que se obtiene
recortando las cuatro esquinas cuadradas a un cuadrado de lado a.

b) Explicá por qué el área de la figura también se puede calcular mediante la expresión:

(a – 2b)2 + 4b . (a – 2b)

C) Utilizá el programa GeoGebra para construir la interpretación geométrica de esta actividad y verificá,




 Justificar la equivalencia de expresiones algebraicas.



trabajada.

Bibliografía:

Gustavo Piñeiro y otros; MATEMÁTICA III; Bs. As.; Santillana; 2011

2012
Área: Matemática
Nivel: Secundario
Año: 3° Año
Profesor : Nilda Haydée González Provincia: Buenos Aires
Contenido: ÁLGEBRA y GEOMETRÍA

Tema EXPRESIONES EQUIVALENTES (Resueltos)

Actividad 1

e) Un rectángulo tiene lados que miden 7 cm y 4 cm. Si el lado que mide 7 cm se aumenta una cierta
cantidad x como muestra el dibujo. ¿Cuál o cuáles de estas fórmulas permiten calcular el área del
nuevo rectángulo? Explicá tu elección.

(7 + x) . 4 7+x.4

28 + 4 . x 28 + 7 . x

(7+x).4 representa el área de toda la figura, considerando uno de los lados iguales a (7+x) y el otro 4.

28+ 4.x representa el área del rectángulo de lados 7 y 4; más el área del rectángulo de lados 4 y x.

f) Escribí una fórmula que permita calcular el área del nuevo rectángulo, si el lado que aumenta en x
unidades es ahora el que mide 4 cm.

7 . (4 + x) o 28 + 7 . x

g) Si ambos lados aumentan x unidades, ¿Cómo será el dibujo de la situación? Escribí una fórmula para
calcular el área de la nueva figura, cualquiera sea el valor de x.

(7 + x) . (4 + x) = 28 + 7x + 4x + x2

h) Utilizá el programa GeoGebra para construir la interpretación geométrica de esta actividad y verificá,



 Relacionar una figura geométrica y su respectiva expresión algebraica.




trabajada.

Actividad 2

c) Encontrá una fórmula que permita calcular el área de la figura coloreada sabiendo que se obtiene
recortando las cuatro esquinas cuadradas a un cuadrado de lado a.

a2 – 4.b2

d) Explicá por qué el área de la figura también se puede calcular mediante la expresión:

(a – 2b)2 + 4b . (a – 2b)

(a – 2b)2 es el área del cuadrado que se forma en el centro de la figura y

b . (a – 2b) el área de cada uno de los cuatro rectángulos restantes:

D) Utilizá el programa GeoGebra para construir la interpretación geométrica de esta actividad y verificá,




 Justificar la equivalencia de expresiones algebraicas.



trabajada.

Bibliografía: Gustavo Piñeiro y otros; MATEMÁTICA III; Bs. As.; Santillana; 2011

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