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Estatistica Aplicada - Vol 1 2003

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Livro Estatística Aplicada - Vol 1 2003

Elizabeth Reis

Veröffentlicht in: Bildung
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Estatistica Aplicada - Vol 1 2003

  1. 1. Paulo Melo Rosa Andrade - , FDItJES sI~ABO
  2. 2. Visite a S�labo na rede: www.silabo.pt
  3. 3. Probabilidades,Vari�veis Aleat�rias Distribui��esTe�ricas Elizabeth Reis Paulo Me10 Rosa Andrade Teresa Calapez ~TDI��O - REVISTA
  4. 4. E expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer meio ou forma, NOMEADAMENTE FOTOC�PIA, esta obra. As transgress�es ser�o pass�veis das penalidades previstas na legisla��o em vigor. Editor: Manuel Robalo T�tulo: Estat�sticaAplicada -Volume 1 Autores: Elizabeth Reis, Paulo Melo, RosaAndrade, Teresa Calapez O Edi��esS�labo, Lda. 4Wdi��o -2Weimpress�o Capa: Paul Klee (1879-1940), Clair de /une � St. Germain, 1915. Lisboa, 2003 Impress�oe acabamentos: Gr�fica ManuelA. Pacheco, Lda. Dep�sitoLegal: 160052f01 ISBN: 972-618-245-X EDI��ES S~LABO,LDA. R. Cidade de Manchester,2 1170-100 LISBOA Telf.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silaboQsilabo.pt www.silabo.pt
  5. 5. Cap�tulo I .Introdu��o 1. DUAS RAZ�ES PARA SE ESTUDAR ESTAT~STICA . . . . . . . . 17 2. A NECESSIDADE DA ESTAT~STICANAS CI�NCIAS ECON�MICAS E DE GEST�O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.M�TODO ESTAT~STICODE RESOLU��ODE UM PROBLEMA . . 19 4. ESTAT~STICADESCRITIVA E INFER�NCIA ESTAT~STICA. . . . . 20 .5 ESCALAS DE MEDIDA DOS DADOS ESTAT~STICOS. . . . . . . 22 5.1. Escala nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2. Escala ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.3. Escala por intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.4. Escala de r�cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 .6 ALGUMAS CONSIDERA��ES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . 25 .7 UTILIZA��O DO COMPUTADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Cap�tulo I1 .Teoria das probabilidades .1 RESUMO HIST~RICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.CONCEITOS DA TEORIA DAS PROBABILIDADES. . . . . . . . . 32 2.1. Experi�ncia aleat�ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Espa�o de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Acontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.�LGEBRA DOS ACONTECIMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1. Uni�o de acontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2. Intersec��o de acontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
  6. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Diferen�a de acontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Propriedades das opera��es . . . . . . . . . . . . . . . . .4.CONCEITOS DE PROBABILIDADE . . . . . . . . . .4.1. Conceito cl�ssico de probabilidade (a priori) . . . . .4.2. Conceito frequencista de probabilidade (a posteriori) . . . . .4.3. Conceito subjectivo ou personalista de probabilidade . . . . . . . . .5.AXIOMAS DA TEORIA DAS PROBABILIDADES . . . . . . . . . . . . . . .6. PROBABILIDADES CONDICIONADAS 6.1. Axiom�tica e teoremas da teoria das probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . .na probabilidade condicionada 7.PROBABILIDADE DE INTERSEC��O DE ACONTECIMENTOS. . . . . . . . . . . . . . .ACONTECIMENTOS INDEPENDENTES . . . . . . . .7.1. Probabilidade de intersec��o de acontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Acontecimentos independentes 7.3. Acontecimentos independentes versus acontecimentos . . . . . . . . . . . .incompat�veis ou mutuamente exclusivos 8.TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL E F�RMULADE BAYES . . . . . . . . . . . . . . . . .8.1. Teorema da probabilidadetotal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2. F�rmula de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .EXERC~CIOSPROPOSTOS Cap�tulo 111 .Vari�veisaleat�rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Enquadramento e exemplos . . .1.2. C�lculo de probabilidadesatrav�s de vari�veis aleat�rias . . . . .1.3. Vari�veis aleat�rias unidimensionais e bidimensionais 2. FUN�OES DE PROBABILIDADE E DE DISTRIBUI��O . . . . . . . . .DE VARI�VEIS ALEAT�RIAS UNIDIMENSIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Vari�veis aleat�rias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Fun��o de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Fun��o de distribui��o . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Vari�veis aleat�rias cont�nuas
  7. 7. 3. FUN�OES DE PROBABILIDADE E DE DISTRIBUI�AO DE VARI�VEIS ALEAT~RIASBIDIMENSIONAIS . . . . . . . . . . 115 3.1.Vari�veis aleat�rias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.1.1. Fun��o de probabilidade conjunta . . . . . . . . . . . . . 115 3.1.2.Fun��o de distribui��o conjunta . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.1.3.Fun��o de probabilidade marginal . . . . . . . . . . . . . 119 3.1.4.Independ�ncia de vari�veis aleat�rias . . . . . . . . . . . 120 3.2.Vari�veis aleat�rias cont�nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2.1.Defini��o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 3.2.2.C�lculo de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . .3.2.3.Fun��es de densidade de probabilidade marginais 125 3.2.4.Independ�ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4. PAR�METROSDE VARI�VEIS ALEAT�RIAS: VALOR ESPERADO E VARI�NCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1.M�dia ou valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1.1.Defini��o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 4.1.2.Propriedades do valor esperado . . . . . . . . . . . . . . 129 . . . . . . .4.1.3.Valor esperado de fun��o de vari�vel aleat�ria 131 4.1.4.Valor esperado monet�rio (V.E.M.) . . . . . . . . . . . . . 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.Vari�ncia e desvio-padr�o 137 . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1.Propriedades da vari�ncia 139 . . . . . . . . .4.3.Covari�ncia e coeficiente de correla��o linear 140 5.MOMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.Fun��o geradora de momentos 147 6.DESIGUALDADES DE MARKOV E CHEBISHEV . . . . . . . . . . 148 EXERC~CIOSPROPOSTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Capitulo /V .Distribuip�es te�ricas mais importantes 1.DISTRIBUI��ES DISCRETAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. A distribui��o uniforme 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.Prova de Bernoulli 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.A distribui��o de Bernoulli 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.A distribui��o binomial 171 . . . . . . . . . . .1.4.1.A fun��o de probabilidade da binomial 172 1.4.2.Aspecto gr�fico da fun��o de probabilidade da binomial . . 177 . . . . . . . . . . . . .1.4.3.Par�metros da distribui��o binomial 181
  8. 8. . . . . . . . . . .1.4.4. A aditividade nas distribui��es binomiais . . . . . . . . .1.4.5. Outras aplica��es da distribui��o binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. A distribui��o multinomial . . . . . . . .1.5.1. Par�metros mais importantes da multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. A distribui��o binomial negativa . . . . . .1.6.1. Rela��o entre a binorr.ial e a binomial negativa 1.6.2. Par�metros mais importantes da binomial negativa . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7. A distribui��o geom�trica ou de Pascal 1.7.1. Par�metros mais importantes da distribui��o geom�trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8. A distribui��o hipergeom�trica 200 1.8.1. Par�metros mais importantes da distribui��o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hipergeom�trica 203 . . . . . . .1.8.2. Generaliza��o da distribui��o hipergeom�trica 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.9. A distribui��o de Poisson 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.9.1. O processo de Poisson 206 1.9.2. Par�metros mais importantes da distribui��o de Poisson . 209 . . . . . . . . .1.9.3. A aditividade nas distribui��es de Poisson 212 . . . . . .1.9.4. Aproxima��o da distribui��o binomial a Poisson 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. DISTRIBUI�~ESCONT~NUAS 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. A distribui��o uniforme 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. A distribui��o normal 222 . . . . . . . . . . .2.2.1. Caracter�sticas da distribui��o normal 223 . . . . .2.2.2. C�lculo de probabilidades na distribui��o normal 225 . . . . . . . . . . . . .2.2.3. A aditividadada distribui��o normal 232 2.2.4. A distribui��o normal como uma aproxima��o . . . . . . . . . . . . . . . . . . .da distribui��o binomial 234 2.2.5. A distribui��o normal como aproxima��o . . . . . . . . . . . . . . . . . .da distribui��o de Poisson 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. A distribui��o exponencial 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. A distribui��o Gama 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .EXERC~CIOSPROPOSTOS 244 Ap�ndice .Tabelas de distribui��o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Distribui��o binomial 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Distribui��o de Poisson 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Distribui��o normal padr�o 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .BIBLIOGRAFIA 265
  9. 9. Nota a segunda edi��o Esta nova edi�ao de tstatistica Aplicada, para al�m de constituir uma nova vers�o revista e actualizada, apresenta-se agora dividida em dois volumes, para, tanto quanto poss�vel, responder as solicita��es de muitos dos nossos leitores, docentes e alunos, cujos programas de Estat�sticaassim se encontram estruturados. O primeiro volume, para al�m do cap�tulo introdut�rio, inclui um segundo cap�tulo sobre Teoria das Probabilidades, um terceiro sobre Vari�veis Aleat�- rias, sendo o quarto e �ltimo sobre as Distribui��es Te�ricas mais Importantes. Os restantes cinco cap�tulos da primeira edi��o fazem agora parte do segundo volume. Embora maioritariamentededicado aos m�todos de Infer�n- cia Estat�stica (cap�tulos Vil, VI11 e IX, Estima��o de Par�metros, Ensaios de Hip�teses e Testes n�o-Param�tricos), depois de uma breve introdu��o aos Processos de Amostragem (quinto cap�tulo), � tamb�m feita a apresenta��o das Distribui��es Amostrais (cap�tulo VI). Acreditamos que esta solu��o dar� tamb�m resposta as prefer�ncias de muitos outros leitores que, pelo carinho e interesse com que acompanharam a primeira edi��o, pelas sugest�es e indica��es de gralhas e erros, decidida- mente contribu�ram para a produ��o desta nova edi��o. A todos, os nossos agradecimentos. Conscientes de que � poss�vel fazer melhor, esperamos que esta nova edi��o vos desperte tanta aten��o como a anterior, deixando aqui a promessa de nos mantermos empenhados no seu aperfei�oamento. 0 s autores Lisboa, Setembro de 1997
  10. 10. Pref�cio Este livro de Estat�stica Aplicada destina-se a profissionais licenciados ou n�o e a estudantes universit�rios que, na vida pr�tica ou no processo de aprendizagem, t�m necessidade de saber Estat�stica e de a aplicar aos pro- blemas mais variados do dia-a-dia. Como objectivos finais, este livro pretende tornar compreens�veis a linguagem e nota��o estat�sticas, bem como exempli- ficar as suas potenciais utiliza��es, sem descurar os pressupostos subjacentes e o rigor te�rico necess�rio. Dever� referir-se que a escolha do t�tulo n�o foi pac�fica. De entre os v�rios alternativos - Probabilidades e Estat�stica, Infer�ncia Estat�stica, etc. - a prefer�ncia por Estat�stica Aplicada justifica-se pela abordagem diferenciada de outras obras j� publicadassobre Infer�ncia Estat�stica, e que resumidamen- te pode ser assim descrita: mais do que <<ensinar,,,pretende-secom este livro, a) despertar e estimular o interesse dos leitores pelo m�todo estat�stico de resolu��o dos problemas; b) utilizando uma linguagem simples e acess�vel, apresentar os conceitos e m�todos de an�lise estat�sticade modo mais intuitivo e informal; c) acompanhar a apet�ncia te�rica com exemplos apropriados a cada situa��o. O livro encontra-se dividido em nove cap�tulos. No cap�tulo I (Introdu��o) s�o explicitadas v�rias raz�es para que um profissional, t�cnico, estudante ou mero cidad�o adquira um n�vel m�nimo de conhecimentos em Estat�stica. A Teoria das Probabilidades � objecto de estudo do cap�tulo II. Nele s�o apresentados os diferentes conceitos de probabilidade e a sua axiom�tica, dando especial relevo aos teoremas da probabilidade total e de Bayes. 0 s terceiro e quarto cap�tulos, tal como o segundo, s�o essenciais para a compreens�o dos seguintes, relativos a Infer�ncia Estat�stica. O cap�tulo III respeita as Vari�veis Aleat�rias, sua defini��o, caracter�sticas e propriedades. No quarto cap�tulo estudam-se em pormenor as distribui��es de algumas vari�veis aleat�rias de import�ncia maior nas �reas de aplica��o das ci�ncias s�cio-econ�micas como sejam as distribui��es de Bernoulli, binomial, Poisson, binomial negativa, hipergeom�trica, multinomial, uniforme e normal. O cap�tuloV � dedicado ao estudo dos processos de amostragem, incluindo os diferentes m�todos de recolha de uma amostra, enquanto que no cap�tulo VI se apresentam as distribui��es amostrais mais importantes.
  11. 11. Os tr�s �ltimoscap�tuloss�o dedicados a Infer�nciaEstat�stica propriamen- te dita. No cap�tulo VI1 apresentam-se m�todos de estima��o de par�metros, com �nfase especial para o m�todo de m�xima verosimilhan�a.Inclui-seainda a estima��o por intervalos.Os cap�tulos VIII e IX destinam-se a apresenta��o, respectivamente, dos ensaios de hip�teses param�tricos e n�o-param�tricos. Com excep��o do primeiro, todos os restantescap�tulos s�o finalizados com um conjunto de exerc�cios n�o resolvidos, acompanhados geralmente das respectivas solu��es. No Ap�ndice est�o inclu�das as Tabelas (das distribui��es) necess�rias a compreens�odo texto e a resolu��o dos exemplos e dos exerc�cios propostos. Este livro � o resultado de alguns anos de experi�ncia docente dos seus autores na equipa de Estat�stica do ISCTE e da tentativa de responder as necessidades sentidas por muitos -alunos e docentes de variadas licencia- turas, docentes do ensino secund�rio, profissionais e t�cnicos de diferentes �reas cient�ficas (gest�o, economia, sociologia, psicologia, medicina, enferma- gem, engenharia, inform�tica, etc.) -que, no decorrer destes anos, e na falta de uma obra que os ajudasse a encontrar as solu��es estat�sticas apropriadas aos seus problemas, procuraram ajuda junto dos autores. Sem d�vida que a responsabilidade desta obra � assumida pelos seus autores, mas a sua concretiza��o s� se tornou poss�vel com a ajuda, apoio e disponibilidadede muitos. Por isso, n�o deixando de agradecer a todos os que, directa ou indirectamente, contribu�rampara a sua realiza��o, gostar�amos de, nominalmente, dar uma palavra especial de agradecimento aos seguintes docentes de Estat�stica do ISCTE: Ana Cristina Ferreira, Ana Paula Marques, Ant�nio Robalo, F�tima Ferr�o, F�tima Salgueiro, Gra�a Trindade, Helena Carvalho, Helena Pestana, Jo�o Figueira, J.C. Castro Pinto, J.J. Dias Curto, Margarida Perestrelo e Paula Vicente. Finalmente, uma palavra de apre�o a todos os alunos, quer das licenciatu- ras do ISCTE, quer dos mestrados do INDEGIISCTE, cujas sugest�es, d�vidas e problemas certamente contribu�ram para enriquecer este livro. Os autores
  12. 12. I. Duas raz�es para se estudar estat�stica Existem duas boas raz�es para se saber Estat�stica. Primeiro, qualquer cidad�o est� diariamente exposto a um enorme conjunto de informa��es resultantes de estudos sociol�gicos e de mercado ou econ�micos, de sonda- gens pol�ticas ou mesmo de pesquisa cient�fica. Muitos destes resultados baseiam-seem inqu�ritospor amostragem. Alguns deles utilizam, para o efeito, uma amostra representativa de dimens�o adequada e recolhida por um pro- cesso aleat�rio. Outros n�o. Para estes, a validade dos resultados n�o ultrapassa a amostra que os originou. A afirma��o de que � f�cil mentir com Estat�stica � quase um lugar comum. Qualquer manual que se preze apresenta nas primeiras p�ginas a famosa cita��o atribu�da a Benjamin Disraeli: <<There is three kinds of lies: lies, damned lies and statistics),. E o pior � que, de certa forma, esta cita��o � verdadeira: � f�cil distorcer e manipular resultados e conclus�es e enganar algu�m n�o-(in)formado.Mas saber Estat�stica permite que se avaliem os m�todos de recolha, os pr�prios resultados, se detectem e rejeitem falsas conclus�es. Se, para muitos, a necessidade de saber Estat�stica adv�m do facto de serem cidad�os do mundo, para alguns essa necessidade � acrescida por uma actividade profissional que requer a utiliza��o de m�todos estat�sticos de recolha, an�lise e interpreta��o de dados. E esta � a segunda raz�o para se estudar Estat�stica. A utiliza��o da Estat�stica nas ci�ncias sociais, pol�ticas, econ�micas, biol�gicas, f�sicas, m�dicas, de engenharia, etc, � por demais conhecida: os m�todos de amostragem e de infer�ncia estat�stica tornaram-se um dos principais instrumentosdo m�todo cient�fico. Para todos os que traba- lham nestas �reas, � vital um conhecimento b�sico dos conceitos, possibilidades e limita��es desses m�todos. 2. A necessidade da estat�stica nas ci�ncias econ�micas e de gest�o Nas �reas econ�micas e de gest�o de empresas, a Estat�stica pode ser utilizada com tr�s objectivos: (1) descrever e compreender rela��es entre diferentes caracter�sticasde uma popula��o, (2) tomar decis�es maiscorrectas e (3) fazer face a mudan�a.
  13. 13. ESTAJ/.SJICA APLICADA A quantidade de informa��o recolhida, processada e finalmente apresenta- da a um comum mortal cresce t�o rapidamenteque um processo de selec��o e identifica��o das rela��es mais importantes se torna imprescind�vel. � aqui que a Estat�stica poder� dar o seu primeiro contributo, quer atrav�s de m�todos meramente descritivos, quer utilizando m�todos mais sofisticados de genera- liza��o dos resultados de uma amostra a toda a popula��o. Uma vez identificadas as rela��es, estas poder�o constituir uma ajuda preciosa a tomada de decis�es correctas em situa��es de incerteza. Veja-se o seguinte exemplo. Atrav�s de m�todosestat�sticosadequados, determinada institui��o banc�- ria identificou as caracter�sticas s�cio-econ�micas daqueles que considera serem bons clientes. Esta identifica��o permite-lhe, no futuro, rejeitar pedidos de cr�dito por parte de potenciais clientes, cujas caracter�sticas mais se afas- tam das anteriores. Planear significa determinar antecipadamente as ac��es a empreender no futuro. Para fazer face a mudan�a, � necess�rio que as decis�es e o planea- mento se apoiem numa an�lise cuidada da situa��o presente e numa previs�o realista do que acontecer� no futuro. Os m�todos estat�sticos de previs�o n�o permitem adivinhar com uma precis�o absolutaos acontecimentos futuros, mas permitem medir as varia��es actuais e estabeleceros cen�riosfuturos mais prov�veis, diminuindo, de algum modo, a incerteza inerente a esses acontecimentos futuros. Na gest�o das empresas, a tomada de decis�o � crucial e faz parte do dia-a-dia de qualquer gestor. As consequ�ncias dessas decis�es s�o dema- siado importantes para que possam basear-se apenas na intui��o ou feeling moment�neos. Os gestores s�o respons�veis pelas decis�es mesmo quando estas se baseiam em informa��es incompletas ou incertas. � precisamente porque a informa��o dispon�vel est� associado um elevado grau de incerteza que a Estat�stica se tornou t�o importante no processo de tomada de decis�es: a Estat�stica permite a extrac��o de conclus�es v�lidas a partir de informa��o incompleta. O ambiente de forma��o de uma decis�o varia de um extremo em que muita, pouca, ou nenhuma informa��o est� dispon�vel, ao extremo oposto em que o decisor det�m toda ou quase toda a informa��o sobre a situa��o. Este �ltimo extremo significa que o decisor conhece a situa��o de todos os elemen- tos da popula��o.A informa��o dispon�vela partirdos recenseamentosdo INE, realizados de 10 em 10 anos, � um exemplo. Mas a situa��o mais comum
  14. 14. para os gestores � aquela em que quase nenhuma informa��o se encontra dispon�vel. Veja-se o exemplo do lan�amento de um novo produto utilizando tecnologia de ponta praticamentedesconhecida dos consumidores. Como ir�o estes reagir ao lan�amento do novo produto? A partida, pouca ou nenhuma informa��o existe para que o gestor possa responder a esta pergunta. A Estat�sticafornece aos gestores instrumentosparaque possamresponder a estas quest�es e tomar decis�es com alguma confian�a, mesmo quando a quantidade de informa��odispon�vel � pequena e as situa��es futuras s�o de elevada incerteza. 3. M�todo estat�stico de resolu��o de um problema Para que se obtenham resultadosv�lidos, o investigador deve seguir todos os passos que definem o m�todo estat�stico de resolu��o de problemas: 1. Identificar correctamente o problema em an�lise. Mesmo em estudos explorat�rios cujo objectivo � identificar poss�veis rela��es entre as caracter�s- ticas dos indiv�duos sem que, a partida, se defina um modelo reguladordessas rela��es, � necess�rio identificar o problema para o qual se pretendemencon- trar respostas. 2. Recolhera informa��onecess�ria, relevantepara o problemaem estudo, em tempo �til e t�o completa quanto poss�vel. Esta informa��opoder�consistir em dados prim�rios, recolhidos atrav�s de um question�rio, ou dados secun- d�rios, recolhidos e publicados atrav�s de outra fonte de informa��o. 3. Classificar e organizar os dados, por exemplo, atrav�s da codifica��o e cria��o de uma base de dados em suporte inform�tico. Uma vez ultrapassada esta fase, � j� poss�vel reduzir a quantidade de informa��o,fazendo desapa- recer os pormenores menos importantes atrav�s de medidas de estat�stica descritiva (medidas de tend�ncia central, dispers�o, concentra��o, etc ), qua- dros e gr�ficos. 4. An�lise dos dados e apresenta��o dos resultados: identificar rela��es, testar hip�teses, definir modelos com a ajuda de m�todos estat�sticos apro- priados.
  15. 15. ESTAT~STICAAPLICADA 5. Tomar a decis�o mais adequada, ponderando as poss�veis op��es face aos objectivos inicialmente propostos. A qualidade da informa��o recolhida e as capacidades do investigadordeterminam, em grande parte, a adequabilida- de das op��es propostas. Estatistica descritiva e infer�nc�a estat�stica Embora a classifica��o e organiza��o dos dados a que se faz refer�ncia no terceiro passo seja ainda um cap�tulo importante da Estat�stica-a Esta- t�stica Descritiva - um segundo cap�tulo torna-se muito mais importante, quando os dados recolhidosrespeitamapenas a um subconjunto da popula��o em estudo e n�o a toda a popula��o -a Infer�ncia Estat�stica. S� quando o grupo sobre o qual se pretende obter informa��o � de dimens�o reduzida, se torna vi�vel recolher essa informa��o para todos os elementos desse grupo. O recenseamento de uma popula��o envolve custos e tempos demasiado elevados para serem suportados por organiza��es n�o vocacionadas para o efeito. Por essa raz�o, se tornaram populares e se generalizaram a todos os dom�nios cient�ficos as t�cnicas de amostragem. Contrariamentea um recenseamento, onde se recolhe informa��o sobre as caracter�sticas de toda uma popula��o, uma amostra fornece informa��osobre um subconjunto dessa popula��o. Os m�todosde Infer�nciaEstat�sticapermitem (1) estimar as caracter�sticas desconhecidasde uma popula��o (por exemplo, a propor��o de consumidores que preferem uma dada marca de detergentes) e (2) testar se determinadas hip�teses sobre essas caracter�sticas desconhecidas s�o plaus�veis (por exemplo, se a afirma��o de um vendedor de que os resultados de lavagem da marca que vende s�o superiores aos de outras marcas concorrentes). Nos exemplos anteriores, as caracter�sticas das popula��es (propor��o de consumidores e resultados m�dios da aplica��o do produto) s�o os par�me- tros. Quando respeitam a uma amostra, estes indicadores estat�sticos passam a chamar-se estat�sticas. 0 s m�todos de Infer�ncia Estat�stica envolvem o c�lculo de estat�sticas, a partir das quais se infere sobre os par�metros da popula��o, isto �, permitem, com determinado grau de probabilidade, generalizar a popula��o certas con- clus�es, por compara��o com os resultados amostrais.
  16. 16. Exemplos de par�metros s�o a m�dia de uma popula��o (p), a vari�ncia (o2)ou o desvio-padr�o (o). Como exemplos de estat�sticas: a m�dia (X),a vari�ncia (s2)OU O desvio-padr�o ( s )amostrais. A distin��o entre par�metro e estat�sticatorna-se extremamenteimportante na Infer�ncia Estat�stica. Muitas vezes pretende-se estimar o valor de um par�metro ou fazer um teste de hip�teses sobre o seu valor. No entanto, o c�lculo dos par�metros �, geralmente, imposs�vel ou impratic�vel, devido aos requisitos de tempo e dinheiro a que obriga. Nestes casos, a escolha de uma amostra aleat�ria permite que se obtenha uma estimativa para o par�metro. A base da Infer�ncia Estat�sticaconsiste, assim, na possibilidade de se tomarem decis�es sobre os par�metros de uma popula��o, sem que seja necess�rio proceder a um recenseamento de toda a popula��o. %+-?+%.o. **.. Exemplo Um industrial de m�quinas de lavar quer determinar qual o n�mero m�dio de lavagens de determinado tipo de m�quina (lavar e secar), at� que necessitemde repara��o. O par�metro que pretende conhecer � o n�mero m�dio de lavagens das m�quinas at� serem reparadas. O t�cnico da sua f�brica selecciona aleato- riamente algumas m�quinas da sua produ��o mensal, e verifica as lavagens efectuadasat� ocorrer uma avaria, calculando, em seguida, para as m�quinas da amostra, o n�mero m�dio de lavagens, isto �, a m�dia amostral. A figura seguinte demonstra o processo seguido. Amostra aleat�ria Amostra Estat�sticas(conhecidas) Par�metros(desconhecidos) / Infer�ncia Estat�stica
  17. 17. ESTAT~STICAAPLICADA O processode generalizar a popula��o os resultados recolhidos na amostra � feito num ambiente de incerteza.A n�o ser que o valor dos par�metros seja calculado a partir de todos os elementos da popula��o, nunca se saber� com certeza se as estimativas ou infer�ncias feitas s�o verdadeiras ou n�o. Num esfor�o para medir o grau de confian�aou de certeza associadoaos resultados do processo de infer�ncia, a Estat�stica utiliza a teoria das probabilidades. Por essa raz�o se dedica um cap�tulo deste livro ao estudo das probabilidades. 5.Escalas de medida dos dados estat�st�cos Os exemplos de dados que diariamente se podem recolher s�o dos mais variados. Vejamos alguns: a temperatura m�xima na cidade de Lisboa; a cota- ��o do escudo e das restantes moedas do Sistema Monet�rio Europeu; as taxas de infla��o dos pa�ses da Uni�o Europeia; as exporta��es de material electr�nico dos pa�ses da �sia Oriental; a distribui��o et�ria da popula��o do concelho de Lisboa; a distribui��o por sexos dessa mesma popula��o; as profiss�es da popula��o da Marinha Grande; a distribui��o dos emigrantes portugueses por pa�ses de acolhimento; as prefer�ncias da popula��o portu- guesa no que respeita as suas viagens de f�rias; as prefer�ncias dos portu- gueses em rela��o aos quatro canais de televis�o nacional; as quotas de mercado das diferentes marcas de autom�veis utilit�rios. Estes exemplos de dados estat�sticos diferenciam-se, n�o s� por se referi- rem a caracter�sticas de diferentes popula��es, mas tamb�m por estarem definidos em diferentes escalas de medida e, portanto, por necessitarem de diferentes m�todos estat�sticos para os descreverem e analisarem. S�o quatro os tipos de escalas de medida: nominal, ordinal, por intervalos e por r�cios. Nem sempre � evidente a distin��o entre estas escalas, sobretudo entre as duas �ltimas.A classificaq�o que se descrever� em seguida � a adoptada pelos autores deste livro, embora se reconhe�a n�o existir unanimidade neste dom�- nio.
  18. 18. 5.1. Escala nominal Os dados definidos numa escala nominal s�o dados qualitativos por exce- l�ncia. Por exemplo, suponha-se que se pretendia conhecer a caracter�stica profis��o da popula��o constitu�da pelos pais dos alunos universit�rios. O estudo desta caracter�stica permitiria descrever o conjunto de profiss�es desta popula��o, atrav�s de uma listagem que incluiria: -trabalhador qualificado - m�dico -advogado -militar -professor - banc�rio -etc, etc, etc. Suponha-se ainda que, para efeitos de processamento dos dados, se co- dificava cada um dos valores desta caracter�stica, dando o valor 1 ao trabalhador qualificado, 2 ao m�dico, 3 ao advogado, 4 ao militar, e assim por diante. Estesn�meross�o utilizadosapenas como c�digos e n�o como valores quantitativos, uma vez que, por exemplo, ao valor 4, n�o est� associada uma maior quantidade do que aos valores 1, 2 e 3. Os c�digos num�ricos s�o utilizados para diferenciar as categorias desta caracter�stica, n�o fazendo qualquer sentido calcular indicadores quantitativos (como a m�dia ou desvio-padr�o) a partir destes n�meros. Outros exemplos de caracter�sticas definidas em escalas nominais s�o a religi�o, a ra�a, a localiza��o geogr�fica, o local de nascimento, o sexo, os sectores de actividade econ�mica. Um caso particular deste tipo de escala de medida ocorre quando a carac- ter�stica em estudo tem apenas duas categorias: s�o as chamadas caracter�sticas bin�rias ou dicot�micas. S�o exemplos deste tipo de caracte- r�sticas o sexo (que pode ser masculino ou feminino), e a resposta a seguinte pergunta: <<Resideem Lisboa?>,(podendo ser Sim ou N�o).
  19. 19. ESTAT~STICAAPLICADA 5.2. Escala ordinal Quando numa caracter�stica nominal a ordem das categorias obedece a uma sequ�ncia com significado, est�-se em presen�a de uma caracter�stica definida numa escala ordinal. 0 s c�digos num�ricos que identificam as cate- gorias j� n�o s�o dados de forma arbitr�ria mas sim de tal modo que as categorias as quais foram dados o primeiro e �ltimo c�digos s�o as que mais distam e mais se diferenciam entre si. As escalas ordinais tornam-se extremamente �teis para medir opini�es subjectivas sobre as qualidades de certos atributos, cuja medi��o objectiva � imposs�vel. Por exemplo, poder-se-� perguntar a um consumidor qual a sua opini�o sobre o sabor de determinado produto alimentar, de acordo com a seguinte escala: 1- detesta 2 - gosta pouco 3 - indiferente 4 - gosta 5 - adora. As respostas a esta quest�o podem ser resumidas numa escala ordinal, com cinco categorias, vulgarmente conhecida por escala de Likert. Outro exemplo consistiria em solicitar aos consumidores que ordenassem por ordem decrescente de prefer�ncia, de 1 at� 8, oito marcas de sabonetes. Um outro modo de obten��o de uma escala ordinal consiste em dividir uma escala cont�nua em m�ltiplos intervalos. Por exemplo, os indiv�duos de uma popula��o podem ser classificados em tr�s grandes grupos, resultantes da divis�o de um intervalo cont�nuo de idades: jovens (at� 18 anos), adultos (de 18 a 65 anos) e idosos (mais de 65 anos). 5.3. Escala por intervalos Para al�m das propriedades da escala ordinal, a escala por intervalos tem ainda a propriedade de a dist�nciasiguais corresponderemquantidades iguais. As escalas por intervalos podem ser cont�nuas ou discretas. S�o cont�nuas se podem tomar um n�mero infinito n�o numer�vel de valores e s�o discretas se
  20. 20. o n�mero de valores que tomam � finito ou, sendo infinito, � numer�vel. Por exemplo, a temperatura do ar em graus Fahrenheit est� definida numa escala cont�nua, enquanto que o n�mero de autom�veis que atravessa a ponte 25 de Abril, em cada hora, � uma caracter�stica definida numa escala discreta. 5.4. Escala de r�cios Esta escala tem as mesmas propriedades de uma escala por intervalos cont�nua, e adicionalmente apresenta a caracter�stica de possuir um zero absoluto como valor m�nimo. Exemplos de dados definidos nesta escala s�o a altura, o peso, o tempo, o volume, etc. Com dados deste tipo, altera��es nas unidades de medida n�o afectam os r�cios entre dois valores. Por exemplo, o r�cio entre o peso de duas embalagens de a��car � sempre o mesmo, qualquer que seja a unidade de medida (quilos, gramas, libras, etc). Pelo contr�rio, a temperatura do ar n�o define uma escala de r�cios: embora 6. Algumas considera��es finais A diferen�a entre uma escala por intervalos e uma escala de r�cios nem sempre � evidente o que leva alguns autores a agregarem estes dois tipos numa s� categoria. Os dados definidos nestas duas escalas s�o considerados como m�tricos dado que s�o quantitativos por natureza. Os dados nominais e ordinais s�o dados qualitativos e, portanto, n�o-m�- tricos.A grande maioria dos m�todos estat�sticos requer a utiliza��o de dados m�tricos. Os dados nominais s�o os mais limitados em termos de t�cnicas estat�sticas dispon�veis para a sua an�lise. Aos dados ordinais podem aplicar- se todas as t�cnicas definidas para dados nominais e, adicionalmente, as
  21. 21. ESTAT~STICAAPLICADA t�cnicas especificamente concebidas para este tipo de dados. Na realidade, constitui uma perda de informa��o tratar dados ordinais como nominais, pelo que muitos autores prop�em at� que estes dados sejam tratados com t�cnicas definidas para dados em escalas por intervalos. Os m�todos de Infer�ncia Estat�stica podem ser classificados em dois grandes tipos: m�todos param�tricos e n�o param�tricos. De um modo geral os primeiros requerem que os dados estejam definidos numa escala por intervalos ou de r�cios, o que n�o acontece com os segundos. Os dados ordinais, apesar de serem qualitativos, por obedecerem a uma rela��o de ordem, s�o, como se disse, muitas vezes analisados com m�todos param�tri- cos. Este livro preocupar-se-�, sobretudo, com a apresenta��o de m�todos param�tricosde an�lise de dados, embora um dos cap�tulos seja especialmen- te dedicado aos m�todos n�o-param�tricos. 7. Utiliza��o do computador As inova��es do hardware e software, e a sua acessibilidade em termos de pre�o, vieram criar novas oportunidades de aplica��o dos m�todos estat�sticos a grandes bases de dados. Esta acessibilidade, e o desenvolvimentode software estat�sticoapropriado, vieram permitir a aplica��o generalizada de muitos m�todos estat�sticos que, por serem complexosquando manualmenteaplicados, se tornavam demorados e aborrecidos. Para al�m do software n�o espec�fico, como sejam as folhas de c�lculo (Lotus e Excel), que permitem, pelo menos, uma an�lise preliminar da infor- ma��o, desenvolveram-semuitos programasespec�ficos para a an�lise estat�s- tica. De entre as m�ltiplas hip�teses existentes no mercado, devem referir-se, pela sua popularidadee abrang�ncia, o SPSS, o SAS e o MINITAB. Mas muitos outros se encontram dispon�veis a pre�os relativamente acess�veis, para quem possuir um microcomputador, com um m�nimo de 640 Kb de RAM e 20 Mb de disco, como sejam o SYSTAT, CSS e STATGRAPHS. Para grandes sistemas, os programas SPSS, BMDP, SAS e GENSTAT continuam a ser os mais utili- zados. Para al�m destes, muito outro software tem sido desenvolvido para aplica��es pontuais, sobretudo de m�todos de estat�stica multivariada.
  22. 22. Resumo hist�rico N�o � poss�velfazer a hist�ria da Estat�stica sem falar em probabilidades. Estas tiveram a sua origem no estudo dos jogos de azar, j� conhecidos dos Eg�pcios 3500 anos A.C. Mas s� no s�culo xvi se assiste a primeira tentativa de desenvolver uma teoria das probabilidades. Cardano foi um dos primeiros a tentar descrever um m�todo de c�lculo das probabilidadesbem como as suas leis b�sicas. Cardano pode ser consi- derado como um verdadeiro cientista da �poca Renascentista:escreveu sobre todas as �reas de estudo da �poca incluindo a matem�tica, a teologia, a cosmologia e a medicina. Com o seu livro intitulado The book on games of chance, Cardano n�o s� explica as leis da probabilidade como analisaos jogos de azar e ensina a jogar e a detectar os abatoteiros)).A sua experi�ncia como jogador inveterado ajuda-o a analisar correctamente os jogos de dados e a compreender, tamb�m de modo correcto, o c�lculo de probabilidades para os casos sim�tricos ou igualmente prov�veis. Nestes casos, a probabilidade de um acontecimento � o quociente entre o n�mero de resultados que permitem a realiza��o desse acontecimento e o n�mero total de resultados poss�veis. Por exemplo, a probabilidade de que saia uma face par no lan�amento de um dado � 3/�, uma vez que h� seis resultados poss�veis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e tr�s deles s�o n�merospares (2,4,6). Uma importantelei probabil�sticadescoberta por Cardano foi a lei do produto de acontecimentos independentes. A proba- bilidade de sair �Face,>quando se lan�a uma moeda � 1/2. A probabilidadede sair <(Face2,)quando se lan�a um dado � 1/6. A probabilidade de estes dois acontecimentos ocorrerem quando se lan�auma moedae um dado � o produto das duas: ( 1 4 .('/E) = 1/12. Cinco d�cadas mais tarde, Galileu respondeu aos jogadores sobre uma quest�o que, aparentemente, os preocupava: quando se lan�am tr�s dados, o total de 10 pontos ocorre mais vezes que um total de 9, o que Ihes parecia contradit�rio uma vez que � igual o n�mero de combina��es (6) que somam 9 (621, 531, 522, 441, 432, 333) e 10 pontos (631, 622, 541, 532, 442, 433). Mas Galileu mostrou que s� � poss�vel que os resultados tenham diferente probabilidadese a ordem for tamb�m tomada em considera��o e, nesse caso,
  23. 23. ESTAT~STICAAPLICADA o n�mero de resultados com soma igual a 9 � de 25, e com soma igual a 10, de 27, resultando em probabilidades de 25/21s e 27/216, respectivamente. O que muitos autores se admiram � que os jogadores se tenham apercebido desta diferen�a t�o diminuta! O estudo sistem�tico das leis das probabilidadesteve um contributo impor- tante com Pascal e Fermat e a correspond�ncia trocada entre ambos. Tudo come�ou quando Chevalier de M�r�, conhecido escritor e ardente jogador da corte de Lu�s xiv, consultou Fermat sobre problemas de divis�o de apostas e interrup��es antes de se completar um jogo. Blaise Pascal (1623 -1662) era uma crian�a prod�gio que aos dezasseis anos j� tinha escrito um livro e aos dezoito inventado uma m�quina calcula- dora. Pierre de Fermat (1601-1665) era um jurista de Toulouse que nos tempos livres se dedicava ao estudo da matem�tica, tendo j� sido considerado como o maior matem�tico puro de todos os tempos. Se de Cardano se pode afirmar que marcou o fim da pr�-hist�riada Teoria das Probabilidades, Fermat e Pascal deram o passo decisivo no desenvolvi- mento desta teoria e na fundamenta��o te�rica da Infer�ncia Estat�stica. No final do s�culo xvii, Leibniz publicou duas obras, uma sobre problemas com- binat�rios, e outra sobre a aplica��o das probabilidades as quest�es financeiras. Foi sob o seu conselho que Jacques Bernoulli estudou o assunto de tal modo que o c�lculo das probabilidadesadquire finalmente o estatuto de ci�ncia. O teorema de Bernoulliapresenta pela primeiravez a correspond�ncia entre frequ�ncias e probabilidades, dando origem a um novo conceito de probabilidade. O conceito de probabilidade inversa � definido por Thomas Bayes ainda no s�culo xviii. A import�ncia dos resultados de Bayes s� vem a ser reconhecidaquase dois s�culos depois, quando se forma, dentro da Esta- t�stica, uma nova corrente: a escola Bayesiana. Durante o s�culo xix o desenvolvimento do c�lculo das probabilidades deveu-se ao contributo de tr�s astr�nomos: Laplace, Gauss e Quetelet. Muitos dos desenvolvimentos posteriores, nomeadamente da escola russa (Chebyshev, Markov e Lyapunov), baseiam-se na an�lise e desenvolvimento da obra de Laplace.Gauss explanou umateoria sobre a an�lise de observa��o aplic�vel a qualquer ramo da ci�ncia, contribuindo, assim, para alargar o campo de aplica��o do c�lculo das probabilidades. Quetelet iniciou a sua aplica��o aos fen�menos sociais. A ele se deve a introdu��o do conceito de <<homemm�dio. e a chamada de aten��o para a consist�ncia dos fen�menos sociais.
  24. 24. TEORIADAS PROBABILIDADES A distin��o entre Estat�stica e Probabilidades parece j� ser imposs�vel. Desde o final do s�culo xix que muitos contribu�ram para o desenvolvimento da Estat�stica com valiosas antecipa��es que s� mais tarde puderam ser plenamente compreendidas. De entre estes talvez se possam destacar Karl Pearson, William Gosset que escreveu sob o pseud�nimo de ((Studentn e Ronald Fisher, pelo vigoroso impulso dado a Estat�stica. Pearson, que se dedicou ao estudo da correla��o, cuja descoberta � atribu�da a Galton, foi um entusiasta do evolucionismo de Darwin, desenvolveu extraordinariamente os m�todos de tratamento de dados, para al�m de se interessar pelo c�lculo das probabilidades. Em 1894, depois de analisar um elevado n�mero de resultados das roletas num casino, chegou a conclus�o de que estas estavam viciadas e que n�o serviam como laborat�rio para an�lise das probabilidades; em suma, a raz�o de ser dos casinos n�o era, de modo nenhum, cient�fica. Mas estas experi�ncias no in�cio da sua carreira n�o deixaram de ser �teis na aplica��o que fez da teoria das probabilidades a evolu��o biol�gica e a importantes descobertasestat�sticas como o teste do qui-quadrado, utilizado para testar se uma dada distribui��o de frequ�ncia segue determinada distribui��o probabi- I�stica. Gosset, ou seja, �Student>),trabalhava para uma empresa produtora de cervejas -a Guiness -e come�ou uma nova fase nos estudos estat�sticos com os m�todos de tratamento de pequenas amostras. Fisher deu, talvez, a mais importante contribui��o a Estat�stica Matem�tica e a sua divulga��o. O livro que publicou em 1925, Statiscal Methods for Research Workers, permitiu aos investigadores a familiariza��o necess�ria com os m�todos estat�sticos e a sua aplica��o a problemas pr�ticos. Muitos outros nomes poderiamser referidos neste percurso de quase quatro s�culos. Todos contribu�ram para que, quando Fisher publicou o seu livro, h� muito se tivesse deixado de definir Estat�stica como (<oestudo dos assuntos de Estado,,, associando-a a teoria das probabilidades. Com o s�culo xx, a Estat�stica tornou-se um instrumento de an�lise poderoso aplicado em todas as �reas do saber e a que o desenvolvimento inform�ticoveio dar novo f�lego.
  25. 25. Conceitos da teoria de probabilidades Se lhe perguntassem o significado da seguinte frase - (<Selan�ar uma moeda ao ar, a probabilidade de sair (<Face>>� )> -a sua resposta talvez fosse: <<S�h� dois resultados poss�veis com iguais hip�teses de ocorrerem>>. Mas suponha que lhe perguntavamtamb�m: (<Quala probabilidadede um carro avariar ao atravessar a ponte 25 de Abril?),. Tamb�m aqui existem apenas dois resultados poss�veis: ao atravessar a ponte ou o carro avaria ou n�o avaria. Mas j� ser� imposs�vel responder que essa probabilidade � l/2. A simetria ou equiprobabilidade existente na primeira experi�ncia (lan�amentode uma moe- da ao ar) j� n�o se verifica na segunda. Esta � a situa��o mais comum, a de experi�ncias cujos resultados s�o influenciados pelo acaso e aos quais est�o associadas diferentes probabilidades. 2.1. Experi�ncia aleat�ria S�o objecto de estudo na teoria das probabilidades os fen�menos aleat�- rios, ou seja, acontecimentos influenciados pelo acaso. Na base desta teoria est� o conceito de experi�ncia aleat�ria, isto �, o processo de observa��o ou de ac��o cujos resultados, embora podendo ser descritos no seu conjunto, n�o s�o determin�veis a priori, antes de realizada a experi�ncia. Uma experi�ncia aleat�ria tem como caracter�sticas (Murteira, 1979: 16): - A possibilidade de repeti��o da experi�ncia em condi��es similares; - N�o se poder dizer a partida qual o resultado (fen�meno aleat�rio) da experi�ncia a realizar, mas poder descrever-se o conjunto de todos os resultados poss�veis; - A exist�ncia de regularidade quando a experi�ncia � repetida muitas vezes.
  26. 26. TEORIADAS PROBABILIDADES � com base nesta �ltima caracter�stica que se desenvolvetoda uma teoria e um conjunto de modelos probabil�sticos tendentes a explicar os fen�menos aleat�rios e a dar uma indica��o da maior ou menor probabilidade da sua ocorr�ncia. A experi�ncia aleat�ria contrap�e-sea experi�ncia n�o aleat�riaou determin�stica, aquela cujo resultado pode ser conhecido antes da sua reali- za��o. Por exemplo, o valor da velocidade de propaga��o do som (340 mls) � conhecido mesmo antes de realizada a experi�ncia, o mesmo acontecendo com a medi��o da temperaturade entradaem ebuli��o da �gua, cujo resultado (lOoOC) � conhecido a priori. J� o mesmo n�o sucede quando lan�amos ao ar um dado ou extra�mos uma carta dum baralho, quando medimos a dura��o de vida de uma I�mpada ou observamos o resultado do exame de um estu- dante escolhido ao acaso. Embora se possa dizer, no caso do exame, que o estudante ir� obter uma classifica��o entre O e 20 valores, n�o podemos afirmarqual a classifica��o exacta que o estudante obter�, se por exemplo 10, 14 ou 18 valores. Essa classifica��o s� ser� conhecida depois de realizado o exame. O mesmo acontece com a dura��o de vida de uma I�mpada; talvez se possa afirmar que ela durar� entre O e 100 horas, mas o valor exacto da sua dura��o n�o � conhecido sen�o depois de a I�mpada se ter fundido. Quando lan�amos ao ar um dado e observamos o n�mero inscrito na face voltada para cima, podemos descrever o conjunto de todos os resultados que poder�o ocorrer (1, 2, 3, 4, 5 e 6), mas j� � imposs�vel, antes de efectuarmos o lan�amento, afirmar qual a face que ir� sair. Depois de efectuado o lan�a- mento, certamente que alguma face ter� ocorrido, por exemplo a face 3. Dizemos ent�o que <<3),� o resultado desta experi�ncia aleat�ria. 2.2. Espa�o de resultados Numa determinadaexperi�ncia aleat�ria, o conjunto de todos os resultados poss�veis designa-se por espa�o de resultados, e representa-se pela letra grega C&. No exemplo do lan�amento do dado, L2 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } . A maior parte das vezes n�o se descrevem em detalhe as condi��es e as circunst�ncias que caracterizam uma experi�ncia aleat�ria. � esta de resto a dificuldade de fundo do c�lculo das probabilidades: descri��o das condi��es uniformes em que um acontecimento aleat�rio se verifica ou n�o.
  27. 27. ESTAT~STICAAPLICADA Se o n�mero de elementos do espa�o de resultados for finito ou infinito numer�vel trata-se de um espa�o de resultados discreto; havendo um n�mero infinito n�o numer�vel de elementos disp�e-se de um espa�o de resultados cont�nuo. Um espa�o de resultados pode ser ainda quantitativo ou qualitativo, conforme a naturezados elementos que o comp�em. A indica��o dos elemen- tos do espa�o de resultados pode fazer-se, quer pela enumera��o de todos os elementos que o comp�em (quando s�o em n�mero finito, evidentemente) -defini��o por extens�o -quer pela descri��o abreviada desses elementos -defini��o por compreens�o. Uma loja abre as 9 horas e encerra as 19. Um cliente,tomado ao acaso, entra na loja no momento X e sai no momento Y (tanto X como Y s�o expressos em horas com origem nas 9). Pretendeobservar-se os momentos de entrada e sa�da do cliente. Como a chegada e sa�da de um cliente se processa ao acaso, logicamente que poder� ocorrer em qualquer momento no tempo, entre as 9 e as 19 horas, pelo que X e Y s�o vari�veis cont�nuas com X < Y. Portanto, o espa�o de resultados R � infinito n�o numer�vel, podendo descrever-se da forma seguinte: (defini��o de R por compreens�o). - * - .-> -. -. . - . Exemplo 2 Considere-sea experi�ncia aleat�ria que consiste no lan�amento de um dado e observa��o do n�mero inscrito na face voltada para cima. O espa�o de resultados � R = {1,2,3,4,5,6) (defini��o de R por extens�o).
  28. 28. TEORIA DAS PROBABILIDADES 2.3.Acontecimentos Retome-se o exemplo da experi�ncia aleat�ria que consiste no lan�amento de um dado e cujo espa�o de resultados � L2 = {1,2,3,4,5,6 ) . Sendo o espa�o de resultados um conjunto, � poss�velformar subconjuntos dos seus elementos, como, por exemplo: cujo significado �, respectivamente: A: sa�da de face 2 B: sa�da de face �mpar C: sa�da de face divis�vel por 3. A, B e C, sendo subconjuntos de Q, s�o simultaneamente conjuntos de resultados poss�veisda experi�ncia aleat�ria. Designam-se por acontecimentos. Um acontecimento �, pois, um conjunto de resultados poss�veis de uma experi�ncia aleat�riaou, de modo equivalente, qualquer subconjunto do espa- �o de resultados � um acontecimento definido em i2 (eventualmenteo pr�prio Q ou o conjunto vazio 0). Um acontecimento A relativo a um determinado espa�o de resultados Q e associado a uma experi�ncia aleat�ria � simplesmente um conjunto de resul- tados poss�veis. Diz-se que A se realizou, se o resultado da experi�ncia aleat�ria, w,� um elemento de A, isto �, se o,E A. N�o se dever� confundir acontecimento com resultado. Enquanto que o primeiro significa algo que a experi�ncia aleat�ria pode produzir, mas n�o se realiza necessariamente, um resultado indica algo que a experi�ncia aleat�ria produziu. Ou seja, o conceito de resultado s� tem sentido depois de realizada a experi�ncia, enquanto que o conceito de acontecimento tem pleno sentido mesmo antes da experi�ncia aleat�ria se realizar. Um acontecimento,A, diz-se acontecimento elementar se a sua realiza��o depender da ocorr�ncia de somente um resultado espec�fico da experi�ncia aleat�ria.
  29. 29. ESTAT~STICAAPLICADA Por oposi��o poder-se-� definir um acontecimento complexo ou composto aquele cuja realiza��o implica a ocorr�ncia de um resultado da experi�ncia aleat�ria, qualquer um de entre os v�rios poss�veis para aquele acontecimento. ",-." , , _*... ._..l . ' * , , '"- ."..-. < < . I.",..IIV *.^ - .< >. ..,..-"- 1 - - Exemplo 3 Admita-se a seguinte experi�ncia aleat�ria: contagem do n�mero de pe�as produzidas por uma m�quina at� ao aparecimento de uma pe�a defeituosa. A experi�nciaconsiste, portanto, em contar as pe�as produzidas pela m�qui- na, interrompendo-se essa contagem no momento em que surgir uma defeituosa. Como se poder� verificar, qualquer n�mero inteiro pode ser um resultado da experi�ncia: -pode ser 0, se a primeira pe�a retirada for defeituosa; -pode ser 1, se a primeira pe�a for boa e a segunda defeituosa; -pode ser 2, se as duas primeiras forem boas e a terceira defeituosa; -e assim por diante. Em geral, poder� ser n se as primeiras n pe�as forem boas e a n + 1 defeituosa. O espa�o de resultados associado a esta esperi�ncia aleat�ria � o conjunto dos n�meros inteiros Ser�o acontecimentos, por exemplo, os seguintes subconjuntos de Q: ou A: contam-seseispe�as at� sair uma defeituosa. B: conta-se um n�meropar de pe�as at� sair uma defeituosa. Para que A se realize ter� que ocorrer um, e s�mente um, dos poss�veis resultados da experi�ncia aleat�ria (6); diz-se ent�o que A � um acontecimento elementar. Pelo contr�rio, para que B se realize, basta que ocorra um, mas qualquer um, de entre os v�rios resultados poss�veis, e que s�o todos os que correspondem a contagens pares (2, 4, 6, 8 ...). Trata-se, portanto, de um acon- tecimento complexo.
  30. 30. Torna-se ainda mais n�tida a diferen�a entre acontecimento e resultado quando se trata de acontecimentos complexos: enquanto que o primeiro prev� a possibilidade de ocorr�ncia de v�rios resultados, depois de realizada a experi�ncia aleat�ria apenas ocorrer� um desses resultados poss�veis. Na Teoria das Probabilidades, um acontecimento n�o �, nem um conceito referenteao passado, nem um conceito com ocorr�ncia assegurada no futuro. � apenas uma eventualidade (acontecimento elementar) ou um conjunto de eventualidades (acontecimento complexo) cuja ocorr�ncia depende do acaso. Os acontecimentos podem ainda ser classificados em certos, poss�veis e imposs�veis. Considere-se a experi�ncia aleat�ria que consiste em medir o tempo neces- s�rio para que um aluno com o 12Qno obtenha uma licenciaturaem gest�o de empresas. Admitindo-se que nenhum destes alunos poder� levar mais de 20 anos para tal e considerando que em algumas institui��es universit�rias a dura��o m�nima da licenciatura � de quatro anos, o espa�o de resultados desta experi�n- cia aleat�ria ser�: Sejam os seguintes acontecimentos A: o tempo necess�rio para obten��o da licenciatura � de 5 anos 6: o tempo necess�rio � igual ou superior a 4 anos mas n�o superior a 20 anos. C o tempo necess�rio � de 2 anos. Poder-se-�dizer que A � um acontecimentoposs�vel, B � um acontecimento certo e C � um acontecimento imposs�vel. 6 � um acontecimento certo porque ocorre sempre, sendo o conjunto que o define 6 = [4,20] exactamente coincidentecom o pr�prio espa�o de resultados.J� o acontecimento C n�o ocorre, qualquer que seja o resultadoda experi�ncia aleat�ria e, como n�o existe qualquer resultado que torne vi�vel a sua realiza��o, o conjunto que define C � o vazio: c = 0
  31. 31. ESTAT~STICAAPLICADA O acontecimento A situa-se, relativamente a B e C, numa situa��o inten�dia quanto ao grau de possibilidade de se realizar. A � apenas poss�vel, podendo ocorrer ou n�o depois de realizada a experi�nciaaleat�ria. Considere-seum novo acontecimento D: o tempo necess�riopara obten��o da licenciatura � superiora 4 e inferior a 6 anos OU D = ]4,6[. Verifica-se que quando A se realizar, D tamb�m se realiza, uma vez que A � um subconjunto de D. Ent�o, A � um sub-acontecimentode D,A c D,pois a realiza��ode A implica a realiza��o de D.
  32. 32. d~gebrados acontecimentos Q Definiu-se acontecimento como um conjunto de resultados poss�veis de uma experi�ncia aleat�ria. Esta defini��o sugere'que se poder� utilizar todos os instrumentos da teoria dos conjuntos para representar os acontecimentos e as opera��es que se definem sobre estes. Por exemplo, o diagrama de Venn revela-sede extrema utilidade na representa��ode acontecimentos: o conjunto universal � identificado como o espa�o de resultados L2 da experi�ncia alea- t�ria e cada acontecimento A por uma regi�o interior a Q. De modo id�ntico, o diagrama de Venn pode ser utilizado para representar, de forma simplificadae sugestiva, as opera��es que se definem sobre acon- tecimentos: uni�o ou soma l�gica, intersec��o ou produto l�gico e diferen�a. 3.1. Uni�o de acontecimentos
  33. 33. ESTAT~TICAAPLICADA A uni�o de acontecimentos implica, pois, a ideiade disjun��o, de alternativa, traduzida por ou; para que se realize o acontecimento uni�o basta que ocorra pelo menos um dos acontecimentos: ou A, ou B ou ambos. Diagramaticamente, a uni�o de A com B pode representar-se da seguinte forma: A opera��o uni�o de acontecimentos pode ser generalizadaa mais de dois acontecimentos. Dada uma sucess�o infinita de acontecimentosAl, A2, ..., A,, ...,define- m se a sua uni�o Ai como sendo o acontecimento que ocorrer� se e i=1 somente se ocorrer pelo menos um dos acontecimentos Ai. 3.2. Intersec��o de acontecimentos Contrariamente a uni�o, a intersec��o implica a ideia de conjun��o, simul- taneidade ou sequ�ncia, a ideia de e: o acontecimento A B s� se realiza
  34. 34. TEORIADAS PROBABILIDADES quando se realizarem os acontecimentos A e 9. Diagramaticamente, a inter- sec��o de A e B pode ser representada da seguinte forma: Tamb�m esta opera��o pode ser generalizada a um conjunto, finito ou infinito, de acontecimentos. H� certos acontecimentos que n�o podem ocorrer simultaneamente, logo a sua intersec��o � o acontecimento imposs�vel, isto �, corresponde a um conjunto vazio. Acontecimentos nestas condi��es, em que a ocorr�ncia de um exclui a ocorr�ncia dos restantes, dizem-se mutuamente exclusivosou incom- pat�veis. No diagrama de Venn anterior representam-setr�s acontecimentos mutua- mente exclusivos.
  35. 35. . - . Exemplo 5 Seja a experi�ncia aleat�ria que consiste no lan�amento de um dado e os dois acontecimentos a ela associados: A : sa�da de face par; A = { 2 , 4 , 6) B : sa�da de face �mpar; B = { 1,3,5 ) A e B s�o mutuamente exclusivos ou incompat�veis, uma vez que n�o podem ocorrer simultaneamente: se ocorre A, isto �, sai face par, n�o pode ocorrer B e vice-versa. 3.3. Diferen�a de acontecimentos Diagramaticamente
  36. 36. TEORIA DAS PROBABILIDADES Seja a experi�ncia aleat�ria que consiste em medir o consumo m�dio per capita de cerveja em Portugal (em litros) e A e B os seguintes acontecimentos: A: o consumo m�dio per capita � superior ou igual a 30 litros mas inferior a 50 litros. B: o consumo m�dio per capita � igual ou superior a 40 litros mas inferior a 75 litros. A -B � o acontecimento �o consumo m�dio per capita � igual ou superior a 30 litros mas inferior a 40 litros� dado que
  37. 37. ESTAT~STICAAPLICADA 3.4. Propriedades das opera��es Em seguida apresentam-se as propriedades mais importantes das opera- ��es de uni�o e intersec��ode acontecimentos. PROPRIEDADES 1. Comutativa / 3. Distributiva IA u ( B n C ) = / A n < B u C ) = I UNI�O 2.Associativa INTERSEC��O A U B = B U A A n B = B n A A u ( B u C ) = ( A u B ) u C 4. Idempot�ncia A n < B n c > = < A n B ) n c 5. Lei do complemento 6. Leis de De Morgan A u A = A 7. Elemento neutro A n A = A A 2=Q - A =2 ij 8. Elemento absorvente A ~ � = D A ~ B = � u B A u 0 = A A n Q = A A =Q A n 0 = 0
  38. 38. Conceitos de probabilidade a Quais as hip�teses de que o rio Douro venha a ter um caudal abaixo do normal no pr�ximo Ver�o? Qual a probabilidade de que a procura de autom�- veis movidos a energia el�ctrica venha a aumentar no pr�ximo ano? Qual a probabilidade de que os trabalhadores do Metropolitanode Lisboa entrem em greve na pr�xima sexta-feira? As respostas a estas perguntas s�o dadas em termos da probabilidade ou verosimilhan�a de que cada um destes aconteci- mentos ocorra, sendo esta identificada como uma medida da certeza da ocorr�ncia de cada acontecimento. Nas �reas econ�micae de gest�o, os diferentesconceitos de probabilidade s�o largamente utilizados. Por exemplo, quando o primeiro-ministroafirma que a infla��o no corrente ano n�o ultrapassar�4% ou quando um industrialprev� que as mat�rias-primas importadas para a sua produ��o n�o sofrer�o um aumento de pre�os no curto prazo. As probabilidadesfornecem aos gestores e economistas as bases para a tomada de decis�o, quando existe incerteza sobre a evolu��o futura e sobre os efeitos pr�ticos das suas decis�es, isto �, quando a partir do passado n�o � poss�vel prever deterministicamenteo futuro, devido a influ�ncia do acaso, sendo no entanto poss�vel prever as linhas de evolu��o futura e as possibilidades de estas se concretizarem. De acordo com a defini��o e o m�todo de c�lculo, podem definir-se tr�s conceitos de probabilidade: cl�ssica, emp�rica ou frequencista e subjectiva. As probabilidades que se baseiam nas caracter�sticas intr�nsecas dos aconteci- mentos s�o definidas segundo o conceito cl�ssico. Aquelas que se baseiam numa quantidade razo�vel de evid�ncia objectiva s�o emp�ricas ou frequen- cistas, enquanto que as probabilidades definidas com base em cren�as ou opini�es individuais se denominam subjectivas.
  39. 39. ESTAT~STICAAPLICADA 4 I Conceito cl�ssico de probabilidade (a priori) Se a uma experi�ncia aleat�ria se podem associar Nresultados poss�veis, mutuamente exclusivos e igualmente prov�veis, e se nA desses resultados nA tiverem o atributo A, ent�o a probabilidade de A � a frac��o -, N onde: nA - n�mero de resultados favor�veis a A N - n�mero de resultados poss�veis Repare-se que, para o conceito cl�ssico de probabilidade, os resultados poss�veis s�o todos igualmente prov�veis, isto �, t�m todos igual probabilidade de se realizarem. � este o conceito subjacente aos chamados jogos de azar, cuja pr�via apresenta��o sistem�tica foi feita por Cardano. Este define como probabilidade de um acontecimento o r�cio entre o n�mero de resultados que fazem com que o acontecimento se realize e o n�mero total de resultados. Por exemplo, a probabilidade de sair um n�mero par quando se lan�a um dado � de 3/6 porque existem seis resultados poss�veis e tr�s deles s�o n�meros pares. Galileu, meio s�culo mais tarde, utilizou o mesmo conceito de probabilidade para responder a uma d�vida dos jogadores que notaram, no lan�amento de tr�s dados, sa�rem mais vezes faces que somam um total de 10 pontos do que 9 pontos. Tal como Cardano, Galileu sabia que era necess�rio ter em considera��o a ordem dos resultados para que se possam associar probabi- lidades diferentes aos resultados. Assim, de 6 x 6 x 6 =216 resultados poss�veis, 25 somam 9 pontos e 27 somam um total de 10 pontos, de onde resultam, respectivamente, probabilidades de 25/216 e 27/216 . Este �ltimo exemplo ilustra bem a necessidade de recorrer a an�lise combinat�ria como m�todo auxiliar para a contagem do n�mero de casos favor�veis e do n�mero de casos poss�veis.
  40. 40. TEORIADAS PROBABILIDADES Na experi�ncia aleat�ria que consiste no lan�amento de um dado e observa- ��o do n�mero inscrito na face voltada para cima, seja A o acontecimento: sa�da da face 3. O espa�o de resultados � definido pelos seguintes elementos R = { 1, 2, 3, 4, 5,6 }. A probabilidade de se realizar o acontecimento A �: com: n~- n�mero de resultados favor�veis ao acontecimento A N-n�mero de resultadosposs�veis. Consideremos a experi�ncia aleat�ria que consiste no lan�amento de uma moeda equilibrada ao ar. Seja A o acontecimento: sa�da de face. O espa�o de resultados ser� constitu�do por R = { Face, Coroa ). A probabilidade de A ser�: Um investigador mostra a um indiv�duo 12 cores e pede-lhe que escreva 4 que sejam suas favoritas. a) Quantos resultados poss�veis existem? b) Se uma das cores do lote das 12for azul, quantos resultados poss�veis ir�o conter essa cor? pois o azul � sempre escolhido e portanto s� 3 cores das restantes 11 podem ser escolhidas.
  41. 41. ESTAT~STICAAPLICADA c) Qual a probabilidadede escolher a cor azul como uma das suas preferidas? 4.2. Conceito frequencista de probabilidade (a posteriori) Se em N realiza��es de uma experi�ncia, o acontecimento A se verificou n vezes, diz-se que a frequ�ncia relativa de A nas Nrealiza��es � sendo fA a frequ�ncia relativa do acontecimento A. Noutras N realiza��es da mesma experi�ncia, desde que N seja suficien- temente elevado, a frequ�ncia relativa com que se realiza o acontecimento A � em geral diferente mas pr�xima da anterior. A medida que o n�mero de provas aumenta, verifica-se uma regularidadedas frequ�ncias relativas, de tal modo que a irregularidadedos resultados individuais se op�e uma certa regu- laridade estat�stica ao fim de uma longas�rie de provas, isto �, fA = VN tende a estabilizar. � esta caracter�stica das experi�ncias aleat�rias que permite definir o conceito frequencista de probabilidade. Ao n�mero para que tende a frequ�ncia relativa fA , quando se aumenta o n�mero de provas, chama-se probabilidade do acontecimento A: P I A ] = lim fA N-s m Isto equivale a aceitar que numa sucess�o numerosa de experi�ncias � praticamente certo que a frequ�ncia relativa de A seja aproximadamente igual a P[A I. Esta regra est� na base da defini��o frequencista de probabilidade.
  42. 42. TEORIADAS PROBABILIDADES O valor da frequ�ncia relativa � uma indica��o do valor da probabilidade na experi�ncia aleat�ria considerada, quando se repete essa experi�ncia um n�mero suficientemente grande de vezes. ----."?*- w8".,,~% *-- ",, .- ,. .-. ., , - .-,~-- . . .%.. . Exemplo 10 A experi�ncia aleat�ria que consiste na observa��o do sexo de um rec�m- -nascido pode considerar-se o exemplot�pico para aplica��o do conceitofrequen- cista de probabilidade. Porque esta experi�ncia j� se realizou in�meras vezes e existem registos do seu resultado, sabe-se que a probabilidade do sexo do rec�m-nascidoser masculino � de aproximadamente 0,52 e de ser feminino � de cerca de 0,48. A utiliza��o do conceito cl�ssico de probabilidade teria conduzido ao valor de 0,5 para cada uma das referidas probabilidades,o que constituiria um erro. Este seria proveniente do facto de se considerarem equiprov�veis os elementos do espa�o de resultados S2 = { Masculino, Feminino}, quando estes o n�o s�o. 4.3. Conceito subjectivo ou personalista de probabilidade Utilizando este conceito, a probabilidadede um acontecimento� dada pelo grau de credibilidade ou de confian�a que cada pessoa d� a realiza��o de um acontecimento. Baseia-se na informa��o quantitativa (ex: frequ�ncia de ocor- r�nciade umacontecimento)eiou qualitativa (ex: informa��osobre experi�ncia passada em situa��es semelhantes) que o decisor possui sobre o aconteci- mento em causa. Diferentesdecisores podem atribuir diferentes probabilidades ao mesmo acontecimento decorrentes da experi�ncia, atitudes, valores, etc, que possuem. Esta no��o de probabilidade pode ser aplicada a experi�ncias que, embora de resultado sujeito ao acaso, n�o se podem efectuar v�rias vezes nas mes- mas condi��es, casos em que os conceitos frequencista e cl�ssico n�o se podem aplicar.
  43. 43. ESTAT�STICAAPLICADA * e?+ w,",*-- 2 -".--. W" . . . ,. , . - Exemplo I1 Se o Primeiro Ministro afirmasse aa infla��o para o pr�ximo ano ser� de 3% com uma probabilidadede 0,9>>estaria a aplicar o conceito subjectivo ou perso- nalista de probabilidade. Uma outra figura pol�tica, da Oposi��o, diria certamente que tal meta seria dif�cil de atingir, e sendo instada a quantificar o que para ela era <<dif�cil�poderia mesmo afirmar: �Tal n�vel de infla��o s� ser� atingido com uma probabilidade de 0,25>>.Tamb�m esta figura pol�tica estar�, deste modo, a aplicar o conceito personalista de probabilidade. II
  44. 44. Axiomas da teoria das probabilidades Da necessidade de sistematiza��odos conceitos empregues na Teoria das Probabilidades e da constru��o de um corpo te�rico coerente surgem os tr�s axiomas em que se baseiam todos os desenvolvimentos posteriores deste campo das matem�ticas. Assim, consideramos que P(.) � uma fun��o que associa a todo o acontecimento A definido em Q um n�mero compreendido no intervalo [O, 11 e que satisfaz os seguintes axiomas: O terceiro axioma sofre uma adapta��o para o caso de c2 infinito (Murteira: 1979: 68).
  45. 45. ESTAT~STICAAPLICADA Com base nos axiomas referidos � poss�vel demonstrar diversosteoremas, entre os quais se destacam os seguintes: Considere-se um acontecimento A qualquer associado a um espa�o de resultados R, e o seu complementar �. Atendendo a pr�pria defini��o de acontecimento complementar, � evidente que A e � cumprem as seguintes condi��es: -n�o podem ocorrer simultaneamente, isto �, A e � s�o mutuamente exclusivos, logo a sua intersec��o � o acontecimento imposs�vel; -quando se realiza a experi�ncia aleat�ria, ocorrer� sempre um dos acontecimentosA ou �, logo, a sua uni�o � o acontecimento certo SZ, isto �, Ent�o, aplicando probabilidades e, pelos axiomas 2) e 3) anteriores,
  46. 46. TEORIADAS PROBABILIDADES pr,As.wsw.- ..rY--"",,.r v <,r w .-,.#.-,'-.-~ -si -.-.ninx, . , ? . , i - 1 P1,l".....>. *. -< r^. Exemplo 12 Seja a experi�ncia aleat�ria que consiste na extrac��o de uma carta de um baralho de 52 cartas. O acontecimento A: sa�da de um rei tem probabilidade dado que existem 4 reis nas 52 cartas. Logo, a probabilidadedo acontecimento complementarde A, �: n�o sai rei, � que se poderia facilmente comprovar uma vez que, num baralho de 52 cartas, existem 48 que n�o s�o reis. Atendendo as propriedades do elemento neutro na uni�o de acontecimen- tos, � agora poss�vel determinar a probabilidade de ocorr�ncia do acontecimento imposs�vel.Assim S Z y 0 = S Z e, aplicando probabilidades, mas, porque os dois acontecimentos s�o mutuamente exclusivos, P[Q] + P [ 0 ] = P [ Q ]
  47. 47. ESTAT~STICAAPLICADA ou seja, P [ 0 ] = P [ Q ] - P [ a ] O acontecimento imposs�vel tem probabilidade nula mas a rec�proca n�o � verdadeira. A raridade dum acontecimento pode levar a que a sua probabili- dade seja zero sem que, no entanto, este seja imposs�vel. � o caso em que, no lan�amento duma moeda ao ar, esta fica em p� sem cair para nenhum dos lados. Sejam dois acontecimentos A e B quaisquer. Atendendo as propriedades das opera��es sobre acontecimentos, facilmente se demonstra o seguinte B = B ~ ( A ~ A ) B = ( B n A ) u � ~ n � > Os acontecimentos( B r A ) e ( B n� ) s�o mutuamente exclusivos e ( B n� ) � o acontecimento que se realiza quando se realiza B mas n�o se realiza A, logo B n � = { w : w E B A w E A } = B - A
  48. 48. TEORIADAS PROBABILIDADES Pelo axioma 3, teremos ent�o P [ B ] = P [ B n A ] + P [ B n� ] ou logo Na produ��o de uma empresa de artigos de vestu�rio, 10% dos artigos produzidos t�m defeitos de material (tecido), 5% t�m defeitos de acabamento e 2% defeitos de ambos os tipos. Qual a probabilidade de uma pe�a de vestu�rio retirada ao acaso ter apenas defeitos de tecido? Considerando os acontecimentos A: o artigo tem defeito de mat�ria prima (tecido) B: o artigo tem defeito de acabamento e o acontecimento A - B : o artigo tem apenas defeito de mat�ria prima a sua probabilidadeser� P [ A - B ] = P [ A ] - P [ A n B ] . De acordo com os dados dispon�veis ent�o P[A - 51 = 0,10 - 0,02 = 0,08 isto �, a probabilidadede uma pe�a de vestu�rio ter apenas defeitos de tecido � de 0,08.
  49. 49. ESTAT~STICAAPLICADA Considerem-sedois acontecimentos A e Bquaisquer, mutuamente exclusi- vos ou n�o. Ent�o, pelo teorema anterior e pelas propriedades das opera��es, A y B = ( A y B ) n s z = Aplicando probabilidades P[A y B ] = P[A y ( 6 - A ) ] Mas, porque A e ( B - A ) s�o mutuamente exclusivos, P[A y B ] = P [ A ] + P[B - A ] e utilizando o teorema anterior sobre a probabilidade da diferen�a de dois acontecimentos
  50. 50. . " - , . " - . ~ P - ~ , - ~ r r ,><...i.I,T r-:-. ..r..?,.murw-,.w W v p . ~ " ' ..- r.*-.- -. ..., -*.-. .--, "-*rq Exemplo 14 Seja a experi�nciaaleat�ria que consiste em retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e considerem-se os acontecimentos: A: sai rei B: saipaus cujas probabilidadess�o, respectivamente, 4/52 e 13/52. A probabilidadedo acontecimento uni�o A y B: sai rei ou paus 16 � P[A y B ] = -, uma vez que existem 16 resultados favor�veis (13 de 52 sa�rem paus mais 3 de sa�rem reis que n�o s�o de paus) em 52 resultados poss�veis. Esta probabilidade� diferente de pois ao somamos P[A] com P[B], conta-se duas vezes a probabilidade do acontecimento asai rei de paus� (acontecimentoA n B ) comum aos aconteci- mentos A e B. � necess�rio, portanto, deduzir a probabilidade deste �ltimo acontecimento: P[A y B ] = P[A] + P[B] - P[A n 51 = ..- r-r r- olwl -rr, I-", %C<- rB r .r* 1 r - r * rr" -- ... ",*. -. r.r<. ,, .' - Exemplo 15 Em determinada cidade, 30% da popula��o de leitores de jomais di�rios compra o jornal aDi�rio>>,40% o jornal �P�blico�e 10%compra os dois jomais. Se desta popula��o escolhermos um leitor ao acaso, qual a probabilidade de ele comprar pelo menos um destes jomais, isto �, de ler o <<Di�rio>>,ou o <<P�blico�ou ambos? Considerando os acontecimentos: A: o leitor compra o di�rio� B: o leitor compra o <<P�blico�
  51. 51. ESTAT~STICAAPLICADA e sabendo que P [ A ] = 0,30 P [ B ] = 0,40 P [ A n B ] = 0,lO o que se pretende conhecer � P [ A y B ] . P [ A y B ] = P [ A ] + P [ B ] - P [ A n B ] = = 0,30 + 0,40 - 0,lO = = 0,60 isto �, 60% dos leitores compra pelo menos um destes jornais.
  52. 52. TEORIADAS PROBABILIDADES Para n =3 Para n =4
  53. 53. Exemplo 16 A mesma popula��ode leitoresdo exemploanteriorfoi inquiridasobre as suas prefer�nciasrelativamenteatr�s revistasmensaisA, Be C. Os resultadosobtidos foram os seguintes: Qual a probabilidade de, um leitor escolhido ao acaso, ser leitor de a) Somente A e C? b) Pelo menos uma revista? Revista A B C A e B A e C B e C A e B e C As respostasa estas duas quest�es s�o imediatasse se atender ao teorema 3 e a generaliza��odo teorema 4: a) A probabilidadepedida � Leitores (Oh) 9 8 22,9 12,l 51 3,7 6,O 2,4 b) A probabilidadepedida �
  54. 54. WoRIA DAS PROBABILIDADES Este problema poderia tamb�m ser resolvido com o auxilio de um diagrama de Venn.
  55. 55. Probabilidades condicionadas A partir do momento em que se conhece a probabilidade de o acontecimen- to B (do espa�o de resultados Q) ocorrer, � poss�velcalcular a probabilidadede qualquer outro acontecimento A se realizar condicionado pelo acontecimento B. Um jogador da loteriacompra tr�s bilhetes para a extrac��o do Natal com os n�meros 01011, 15555 e 22444, realizando-se o sorteio entre um total de 40000 n�meros, de 00000 a 39999. O acontecimento: A: o jogador obt�m o primeiro pr�mio comporta tr�s resultadosfavor�veis A = {01011, 15555, 22444) num total de 40000 resultados poss�veis
  56. 56. TEORIADAS PROBABILIDADES Aplicando o conceito cl�ssico de probabilidade facilmente se obt�m a proba- bilidade de o jogador obter o primeiro pr�mio: Admita-se agora que, no dia da extrac��o, o jogador soube acidentalmente que o n�mero premiado em primeirolugar era um n�mero par, emboran�otivesse ainda conhecimento do n�mero premiado. Qual ser� agora a probabilidade do jogador obter o primeiro pr�mio considerando a informa��o adicional de que, entretanto, tomou conhecimento? Isto �, qual a probabilidadede o jogador obter o primeiro pr�mio dado que o n�mero premiado � par? O n�mero de resultados favor�veis � agora apenas de 1, uma vez que o jogador apenas possui um bilhete com n�mero par, enquanto que os resultados poss�veis passaram a ser de 20000 (o total de n�meros pares nos 40000): sendo B: o primeiro pr�mio saiu a um n�mero par. A probabilidade anterior n�o representa a probabilidadeabsoluta ou total de A se realizar (igual a 3/40 000 como se viu anteriormente),. mas a probabilidade de A condicionada pela ocorr�ncia de B, ou probabilidadede A dado B. O facto de ser dado Bopera uma redu��o no espa�o de resultados, que passa de R, constitu�do por 40 000 resultadosposs�veis, para o pr�prio B, formado por apenas 20 000 resultados.A probabilidade de A ser� ent�o Dividindo ambos os termos da frac��o por 40000 obt�m-se 1 ficando i) no denominador o n�mero de resultadosfavor�veis a 5sobre o n�mero total de resultados poss�veis, isto �, a probabilidadede B; ii) no numerador o quociente entre o n�mero de resultados favor�veis a ocor- r�ncia de A e B em simult�neo (A n B) e o n�mero total de resultados poss�veis, ou seja, P[A n B1.
  57. 57. ESTAT~STICAAPLICADA Concluindo, a probabilidade de A dado B � igual a Suponha-se agora a situa��o inversa. No dia da extrac��o o jogador � infor- mado de que lhe sa�u o primeiro pr�mio. Qual a probabilidade de que o n�mero premiado seja par? O que se pretende conhecer � P[E IA 1. Aplicando a defini��o de probabili- dade condicionada: ou, porque a intersec��o de acontecimentos � comutativa, Considere-seque a partir duma amostra efectuada sobre v�rios rec�m-nasci- dos se obteve o seguinte quadro de probabilidadeconjunta: onde: Al - um rec�m-nascidoescolhido ao acaso � do sexo masculino; AP- um rec�m-nascidoescolhido ao acaso � do sexo feminino; Bl - um rec�m-nascidoescolhido ao acaso tem olhos castanhos; B2- um rec�m-nascidoescolhido ao acaso n�o tem olhos castanhos.
  58. 58. TEORIADAS PROBABILIDADES A partir deste quadro podem-se definir: -probabilidades conjuntas como, por exemplo, a probabilidade do rec�m- -nascido ser do sexo masculino e n�o ter olhos castanhos: -probabilidades marginais (referentes a um �nico acontecimento) como, por exemplo, a probabilidade de um rec�m-nascido ser do sexo masculino independentemente da cor dos olhos: -probabilidadescondicionadas, por exemplo, de um rec�m-nascidon�o ter olhos castanhos dado que � do sexo masculino: P [B2I AI ] � a probabilidade de B tendo em conta que o acontecimento AI se realiza, ou seja, AI passa a ser o acontecimento certo, com proba- bilidade 1 (PIA1 I AI ] = 1 ) e B2 s� pode ocorrer quando ocorre simulta- neamenteAI. Logo a probabilidadede B2 n AI passa a ser redimensio- nadatendo em conta a probabilidadeunit�riado acontecimento AI no novo espa�o de resultados R ' = AI. u 6.1. Axiom�tica e teoremas da teoria das probabilidades na probabilidade condicionada O conceito de probabilidade condicionada satisfaz todos os axiomas da teoria das probabilidadesintroduzidosanteriormente.Assim, sendo Bum acon- tecimento tal que P[B] > 0 :
  59. 59. ESTAT~TICAAPLICADA I ) P [ A I B ] 2 O Demonstra��o: mas P [ A ri B ] 2 O e P [ B ] > O logo P[AI B ] 2 O por defini��o pelo Axioma 1 por hip�tese c.q.d. Demonstra��o: corque Q � o elemento neutro da intersec��o de acontecimentos. 3) Se Al e A2 s�o mutuamente exclusivos (isto �, Al n A2 = 0 ), ent�o: P[(Ai A*) I B ] = P[A1 I B ] + P[A2 I B ]
  60. 60. TEORIADAS PROBABILIDADES Demonstra��o: pela propriedade distributiva porque (Al n B ) e (A2 n B) s�o mutuamente exclusivos, por A, e A2 O serem, donde = P[A1 I B ] + PIA2 I B ] . Ao obedecer a axiom�tica da Teoria das Probabilidades, o conceito de probabilidade condicionada satisfaz tamb�m todos os seus teoremas.
  61. 61. Probabilidade da intersec~�o de acontecimentos. Acontecimentos independentes 7.1. Probabilidade da intersec��o de acontecimentos A probabilidade de intersec��o de dois acontecimentos, A e 9, decorre da probabilidade condicionada. De acordo com o ponto anterior, da defini��o de probabilidade condicionada resulta que Assim, das duas igualdades anteriores retira-se que
  62. 62. TEORIADAS PROBABILIDADES Exemplo 17 (continuaq�o) Retomando o exemplo do jogador que compratr�s bilhetes de loteria a sortear na extrac��o do Natal, a probabilidade da intersec��o de 6 com A, ou de o jogador receber o primeiro pr�mio e de este ser um n�mero par (1/40000),tanto pode obter-se tomando 6 como condicionante como inversamente, tomando A como condicionante A probabilidade de intersec��o de dois acontecimentos pode ser facilmente generalizada a mais de dois acontecimentos se atendermos a associatividade da intersec��o. Generaliza��o a tr�s acontecimentos: P[A n B n C ] = P[(A n B ) n C ] = = P [ C J ( An B ) ] . P[A n B ] = = p [ C l ( A n 811 . P [ B I A l . P [ A l , para A, B e Ctais que P [ A ] + O e P [ A n B ] # O
  63. 63. Generaliza��o a quatro acontecimentos: P [ A n B n C n D ] = P [ ( A n B r, C ) n D ] = = P [ D ( ( An B n C ) ] . P [ A ,qB C ] = = P [ D I ( A n B n C ) ] .P [ C I ( A n B ) ] . P [ B I A ] . P [ A ] . paraA,B,CeDtaisqueP[A],P[A n B ] , P [ A n B n C ] n�onulas. 7.2.Acontecimentos independentes Relacionadocom o conceito de probabilidadecondicionada est� o conceito de acontecimentos independentes.
  64. 64. TEORIADAS PROBABILIDADES Estas rela��es, de per si intuitivas, derivam da defini��o formal de aconte- cimentos independentes: Para dois acontecimentos independentes, podem enunciar-se os seguintes teoremas: Demonstre-se o primeiro: A = A ~ Q = [ A ~ ( B ~ E ) ~ = ( A ~B ) y ( A ~ E ) logo P [ A ] = P[(A n B ) (A ni)]= P [ A n a] + P [ A n � ] porque (A ri B) e (A n 8)s�o mutuamente exciusivos P[A ] = P[A ] . P[B ] + P [A n E] porque A e B s�o independentes
  65. 65. ESTAT~STICAAPLICADA logo P [ A n E ] = P [ A ] - P [ A ] . P [ B ] = = P [ A ] . (1 - P [ B ] ) = = P [ A ] . P$] porque P [ E I = 1 - P [ B ] Ent�o, dado que se demonstrou que conclui-se que, nestas condi��es, A e s�o acontecimentos independentes, c.q.d. De modo id�ntico se poderiam demonstrar os dois �ltimos teoremas. Os acontecimentos Ai, A2, ...,An dir-se-�o independentes dois a dois se verificarem apenas a primeira condi��o. Conv�m tamb�m referir que a �ltima condi��o � necess�ria mas n�o suficiente para que AI, A2, ...,An sejam independentes.
  66. 66. TEORIADAS PROBABILIDADES Suponha-se R formado por 4 acontecimentos elementares de igual probabili- dade: Q = {OI, w2, w3, w4 1 com P[ai] = V4, i= 1, 2, 3, 4. Considerem-se os acontecimentos A = { a i , a 2 1 B = {WI, 0 3 1 C = {WI, w4} Pretende-severificar se os acontecimentos A, B e C s�o independentes. 1 P [ A n B] = P[wl] = - 4 As condi��es anterioresgarantem que os acontecimentos s�o independentes dois a dois. Contudo, Assim, os acontecimentos n�o s�o independentes entre si, embora o sejam dois a dois. M
  67. 67. ESTAT~STICAAPLICADA Seja a experi�ncia aleat�ria que consiste no lan�amento de dois dados regu- lares e distingu�veis, cujo espa�o de resultados � o conjunto e os acontecimentos A - a soma dos pontos dos 2 dados � par B- a soma dos pontos dos 2 dados � m�ltipla de 3 C - a soma dos pontos dos 2 dados � maior que 9 Com probabilidades Como se pode verificar P[A n B n C] = P[ A ] . P [ B ] . P [C]. No en- tanto, apenas os acontecimentos A e B s�o independentes, sendo A e C, e B e C dependentes entre si, pois
  68. 68. TEORIADAS PROBABILIDADES Em experi�nciasaleat�rias ligadas a jogos de azar �, em geral, f�cil verificar a exist�ncia ou n�o de independ�ncia dos acontecimentos. Noutros casos, por�m, s� depois do exame rigoroso de todas as condi��es se poder�concluir acerca da independ�nciados acontecimentos. Uma caixa cont�m 100 pe�as sendo 10 defeituosas. Considere-se a expe- ri�ncia aleat�ria que consiste em extrair sucessivamente duas pe�as da caixa. Pretende saber-se a probabilidade do acontecimento: A: a primeirape�a � n�o-defeituosa e a segunda � defeituosa. Para calcular esta probabilidade � necess�rio atender as duas situa��es poss�veis: aquela em que a extrac��o da segunda se efectua sem que a primeira seja reposta na caixa (extrac��osem reposi��o) e quando a extrac��o da segun- da pe�a s� se efectua depois da primeira ter sido reposta na caixa (extrac��o com reposi��o). -Extrac��o sem reposi��o. Sejam os acontecimentos: Dl: a primeirape�a � defeituosa D2: a segunda pe�a � defeituosa ent�o A = Dl n D2. Por se tratar de uma extrac��o sem reposi��o, os dois acontecimentos s�o dependentes, logo P[A] = f [ D 1 n D2] = -Extrac��o com reposi��o. Agora os acontecimentos elementares D1e D2 s�o independentes, pois a primeira pe�a extra�da � reposta e a probabilidade de 4 n�o se altera pelo facto de D1ter ocorrido. Ap�s a primeira extrac��o, a caixa volta a ter 100 pe�as, das
  69. 69. ESTAT~STICAAPLICADA quais 10 s�o defeituosas, isto � Ent�o P I A ] = p[D1 n D2] = 7.3. Acontecimentos independentes versus acontecimentos incompat�veis ou mutuamente exclusivos Sejam A e B dois acontecimentostais que - no caso dos acontecimentos serem incompat�veis (mutuamenteexclusi- vos) tem-se, por defini��o, (A n B ) = 0 e, consequentemente, P [ A n B ] = O. Os acontecimentos n�o podem ser independentes pois, para tal, e por defini��o de independ�ncia, seria P [A n B ] = P [A] . P [ B ] > 0, pois ambos os acontecimentost�m probabilidades n�o nulas. - no caso dos acontecimentos serem independentes n�o podem ser mu- tuamente exclusivos, pois se s�o independentes ent�o, P [A ri B ] = P [A] . P [ B ]� maior que zero; para serem simultanea-
  70. 70. TEORIADAS PROBABILIDADES mente mutuamente exclusivos esta probabilidadeteria de ser nula, facto imposs�vel a n�o ser que algum dos acontecimentos tivesse proba- bilidade nula, o que n�o � o caso. Assim, em geral, dois acontecimentos n�o podem ser simultaneamente independentese mutuamente exclusivos. Existe, no entanto, umcaso particular em que tal pode ocorrer: � o caso em que um dos acontecimentos � imposs�vel, porque este � sempre independente e mutuamente exclusivo de todo e qual- quer outro acontecimento poss�vel.
  71. 71. Teorema da probabilidade total e f�rmula de Bayes O conceito de probabilidadecondicionada revela-se muito importante e de larga utiliza��o quando se conhecem probabilidades condicionadas nas quais os acontecimentos condicionantes definem uma parti��o em R.
  72. 72. 8.1. Teorema da probabilidade total Demonstra��o n = V (B n Ai). i= 1 Dado que os Ai s�o mutuamente exclusivos, ent�o os acontecimentos (B nAi), i= 1, 4..., n, tamb�m O s�o; logo
  73. 73. ESTAT~STICAAPLICADA Diagramaticamente com n = 5 I P [ B ] vem igual a soma das probabilidades dos acontecimentos sombrea- dos no diagrama, isto �, dos acontecimentos (Ai n B), com i= 1, 2, 3,4,5. 8.2. F�rmula de Bayes Demonstra��o
  74. 74. TEORIADAS PROBABILIDADES por defini��o de probabilidade de intersec��o de dois acontecimentos (no numerador) e pelo teorema da probabilidade total (no denominador). c.q.d. Uma f�brica de cachimbos utiliza 3 m�quinas de acabamento com volume di�rio de produ��o, respectivamente, de 500,1000 e 2000 unidades. De acordo com a experi�nciaanterior sabe-se que a percentagem de cachimbos defeituosos originados por cada m�quina �, respectivamente, de 0,005,0,008e 0,Ol. Sabendo que um cachimbo foi encontrado defeituoso pretende apurar-sequal a m�quina que, com maior probabilidade, lhe ter� dado origem e qual a que tem menor probabilidadede o ter gerado. Para resolver o problema devemos em primeiro lugar definir todos os aconte- cimentos. Ai - Um cachimbo escolhido ao acaso da produ��o di�ria foi produzido pela mgquina 1 A2 - Um cachimbo escolhido ao acaso da produ��o di�ria foi produzido pela m�quina 2 AS- Um cachimbo escolhidoao acaso da produ��o di�ria foi produzidopela m�quina 3 B - Um cachimbo escolhido ao acaso da produ��o di�ria � defeituoso Pretendemos calcular as P[AiI B ] (i = 1, 2, 3)e orden�-las por ordem de- crescente. Ai, A2,A3 definem uma parti��o em i2 visto que 3 i) Apenas as m�quinas 1, 2 e 3 produzem cachimbos, isto �, y Ai = R. i= 1 ii) Um cachimbo que � produzido numa m�quina n�o � produzido noutra, A i r , Ai= 0, i # j i, j = 1,2,3. iii) Qualquer uma das m�quinas produz cachimbos, P[Ai] > O, i = 1,2,3. As informa��es fornecidas no enunciado v�o permitir utilizar a f�rmula de Bayes, para o c�lculo das probabilidades pretendidas.
  75. 75. ESTAT~STICAAPLICADA Sabe-se pelo enunciado que a probabilidade de cada cachimbo ter sido produzido por cada uma das m�quinas �: Conhecem-se tamb�m as probabilidades de um cachimbo ser defeituoso, dado que foi produzido numa determinada m�quina: P [BI AI ] = 0,005 Construindo um quadro: 0,008 0,0023 0,Ol O 0,0057 0,66 P[ B ]= 0,0087 1 Note-se que P[B] foi calculada recorrendo ao teorema da probabilidadetotal. Do quadro anterior retira-se que a probabilidade de um cachimbo ter sido produzido pela m�quina 3, sabendo que � defeituoso, � de 0,66; a mesma probabilidadepara a m�quina 2 � de 0,26 e para a m�quina 1 de 0,08. Com base nestes resultados, a ordem de inspec��odas m�quinasdever� ser: em 1"ugar a m�quina 3, em 2Vugar a m�quina 2, em 3"ugar a m�quina 1.
  76. 76. Exerc�cios propostos 1. Sejam os acontecimentos AI, A2 e A3 com probabilidadesde ocorr�ncia di- ferentes de zero. Sabe-se que: ( i ) P I A l ] = 0,12,P [ A 2 ]= 0,10e P [ A 2 nA,] = 0,05 (ii)AI � mutuamente exclusivo quer com A2 quer com A3 (�ii) Dois dos acontecimentos referidos s�o independentes. Calcule: P [ AI y A2 (J A3 1 . 2. Num grupo de 100 estudantes de l�nguas, 20 escolheram Franc�s, 60 Ingl�s e 10escolheramambas as I�nguas.Se for escolhidoum estudante ao acaso, qual a probabilidadede: a) ter escolhido ambas as I�nguas? b) ter escolhido Franc�s ou Ingl�s? c) n�o ter escolhido nenhuma das duas I�nguas? d) ter escolhido Ingl�s mas n�o Franc�s? R: a) 0,10 b) 0,70 c) 0,30 d) 0,50 3. Os 400 clientes di�rios de uma cantina self-service, de entre os v�rios pratos dispon�veis, apresentam as seguintes prefer�ncias: 120 pedem hamburgers, 80 preferem pratos de galinha e 50 encomendam pizza. Sabe-se ainda que 20 clientes encomendam hamburger e pizza na mesma refei��o e os que encomen- dam qualquer um dos restantes pratos, n�o fazem outra encomenda em simult�neo. Qual a probabilidadede um cliente escolhido ao acaso encomendar: a) apenas hamburger ou galinha? b) apenas pizza? c) pelo menos um dos tr�s pratos? d) qualquer um dos restantes pratos dispon�veis na cantina? R: a) I801400 b) 301400 c) 2301400 d) 1701400. 4. De um grupo de pe�as, 3 s�o defeituosas e 7 s�o boas. Se escolher 3 ao acaso, qual a probabilidadede elas serem todas boas?
  77. 77. EsTAT~STICAAPUCADA 5. Suponha que: P [A] = 0,4 P [ B ] = 0,3 P [ C ] = 0,7 P [ � n B ] = 0,l P [ A n B nc]= 0,l Calcule P [ A n ( A ] R: 0,5 6. Considere os seguintes acontecimentos definidos em a:Ai, A2 e B em que 1 2 P[Ai 1 B ] = 4e P[A2 I B ] = 3. Comente as seguintes afirma��es: a) �A1e A2 s�o acontecimentos mutuamente exclusivos~~. b) <<Ale B s�o acontecimentos mutuamente exclusivos~~. R: a) Nada se pode concluir com a informa��o dispon�vel; b) AI e B n�o podem ser mutuamente exclusivos, logo a afirma��o � falsa. 7. Uma companhia transportadora a�rea afirma que 95% dos seus voos chegam a hora marcada. Se forem escolhidos tr�s voos e admitindo que o atraso de umvoo em nada afecta. a hora de chegada dos restantes, qual a probabilidade.dostr�s voos chegarem a horas? R: 0,857375 8. Tr�s ca�adores atiram a um pato de forma independente sendo de 1/2, l/3 e 1/4 respectivamente a probabilidadede acertar no alvo. Qual a probabilidadede que: a) o pato seja atingido? b) o pato seja atingido por pelo menos 2 ca�adores? 9. Numa sala de reuni�es est�o 4 gestores cada um deles identificado com o nome colocado num d�stico sobre a mesa. A hora de almo�o a empregada da limpeza abriu inadvertidamenteuma janela fazendo voar os d�sticos, que se mistura- ram com mais outros seis que se encontravam noutra mesa com nomes diferentes. a) Qual a probabilidadede a empregada acertar nos nomes dos quatro ges- tores quando voltar a colocar os d�sticos em cima da mesa? b) Sabendo que a empregada acertou nos quatro nomes, qual a probabilidade de os colocar nos lugares certos? R: a) 2415040; b) 1/24
  78. 78. TEORIADAS PROBABILIDADES 10. Considere Al, A2, A3, acontecimentos que constituem uma parti��o do e�- pa�o dos resultados. Sendo as probabilidadesde A1,A2 e A3 respectivamente iguais a 0,5; 0,3 e 0,2 e sendo B um outro acontecimento pertencente ao mesmo espa�o de resul- tados, diga justificando se � poss�vel ter: 11. Dos tr�s fornecedores de certo produto para uma loja (em partes de 30%, 50% e 20% respectivamente), todos fornecem produtos com defici�ncias, sendo a percentagem de produtosdefeituosossobre o total fornecido por cada um deles de 7%, 5% e 4% respectivamente. a) Tendo comprado um produto nessa loja e verificado que apresentava defi- ci�ncias, qual o seu fornecedor mais prov�vel? b) Qual a probabilidade de um determinado produto escolhido ao acaso ter vindo do 1Yornecedor e apresentar defici�ncias? 12. As fam�lias da cidade A escolhem uma das tr�s alternativasparafazer f�rias: praia, campo ou ficar em casa. Durante a �ltima d�cada, verificou-se que escolhiam aquelas alternativas respectivamente 50%, 30% e 20% das fam�lias da referida cidade. A probabilidade de descansar durante as f�rias est� ligada a alternativa escolhida: 0,4; 0,6 e 0,5 conforme se tenha ido para a praia, para o campo ou ficado em casa. a)Qual a probabilidade de uma fam�lia da cidade A descansar durante as f�rias? b) Sabendo que determinada fam�lia descansou durante as f�rias, qual a alternativa mais prov�vel de ter sido escolhida por esta fam�lia? R: a) 0,48; b) a alternativa mais prov�vel e a praia. 13. Considere duas caixas A e B. A caixa A tem duas bolas verdes e uma branca e a Btem duas bolas verdes e duas brancas. Uma destas caixas � seleccionada ao acaso. Duas bolas foram retiradas tamb�m aleatoriamente e verificou-se que a primeira era branca e a segunda tamb�m, tendo-se reposto a primeira bola depois de se verificar a sua cor. Calcule a probabilidade de ter sido seleccionada a caixa A.
  79. 79. 14. Um estudante efectuou um teste de resposta m�ltipla. Para as quest�es colocadas no teste, o estudante ou conhece a resposta e nesse caso d� a resposta correcta ou n�o conhece a resposta e nesse caso tenta adivinhar na esperan�a de acertar na resposta certa. Considere ainda que existem 5 alternativas de resposta que s�o igualmente plaus�veis. Coloque-se no lugar do professor. Sabendo que o estudante acertou na resposta correcta, qual a probabilidade de que o estudante conhecesse de facto a resposta certa? 15. O mercado de servi�o telem�vel est� dividido entre duas empresas, CELUM e CELDOIS, com quotas, respectivamente,de 60% e 40%. O organismo regulador encomendou um estudo de opini�o do mercado do qual conclui que: - 70% dos utilizadores do servi�o telem�vel est�o satisfeitos, - dos clientes de CELUM, 80% est�o satisfeitos. a) Qual a percentagem de clientes de CELDOIS que est�o satisfeitos? b) Qual a divis�o do mercado, dentro dos clientes satisfeitos? c) Qual a probabilidade de encontrar um cliente que tenha contrato com a CELUM e se sinta insatisfeito? 16. A empresa Omega produz bens de equipamento.A sua produ��odestina-se a dois mercados externos: Estados Unidos da Am�rica (25%) e Fran�a (15%). A restante produ��o � vendida internamente. Estudos efectuados permitiram concluir que 20% dos bens produzidos para Fran�a sofrem de pequenas anomalias, enquanto que 30% dos bens com ano- malias se destinam ao mercado norte americano. Sabe-se ainda que a percentagemde bens com anomalias destinada ao mercado interno � metade da que se destina ao mercado norte americano. a) A empresa confrontada com esta situa��o defende que no m�ximo s� 4% da sua produ��o apresenta anomalias. Comente esta afirma��o. b) Se se constatar que determinado bem apresenta anomalias, qual a proba- bilidade de ser consumido internamente? R: a) Incorrecta (� de 5,45%); b) 0,15
  80. 80. Defini��o I. I. Enquadramento e exemplos Se bem que muitas experi�nciasaleat�rias tenham resultados quantitativos, isto �, d�em origem a um espa�o de resultados Q cujos elementos s�o conjuntos de n�meros reais, outras h� em que tal n�o acontece.Vejamos tr�s exemplos da primeira situa��o. Exemplo 1 Seja a experi�ncia aleat�riaque consiste na observa��o do tempo que decorre entre a chegada de duas chamadas telef�nicas consecutivas a uma determinada central telef�nica. Ent�o, 52 vir�: 52 = { t : t >O) 111 Exemplo 2 Seja a experi�ncia aleat�ria que consiste na observa��o do volume de vendas di�rio de tr�s pontos de venda de uma empresa. Ent�o, 52 ser� Exemplo 3 Seja a experi�ncia aleat�ria que consiste na observa��o do �ltimo d�gito do �ndice da Bolsa de Valores de Lisboa. Ent�o, 52 vir� 52 = {O, 1, 2, ..., 9) ai
  81. 81. ESTAT~STICAAPLICADA E, agora, tr�s exemplos da segunda situa��o. Exemplo 4 Seja a experi�ncia aleat�ria que consiste no controlo de qualidade de compo- nentes electr�nicos: num lote grande de componentes escolhem-setr�s ao acaso e analisam-se. Ent�o, se designarmos por D - o componente � defeituoso N - o componente n�o � defeituoso, vir�, Q = {(N, N, N ) ; ( N , N, D ) ; (N, D, N ) ; (D, N, N ) ; (N, D, D ) ; (D, N, D ) ; (D, D, N); (D, D, D ) } . - * Exemplo 5 Seja a experi�ncia aleat�ria que consiste no registo da percep��o que um cliente, escolhido ao acaso, tem acerca da qualidade do servi�o p�s-venda da empresa Sx Lda. Ent�o, por exemplo, vir� Q = { Boa, M�dia, M� ] Seja a experi�ncia aleat�ria que consistena escolhacasual de uma das quatro empresas que controlavam o mercado de servi�os de telecomunica��es em Portugal: Q = { Telecom Portugal, CPRM, TLP, Telecel) Bl Em qualquer das situa��es podemos estar interessados (e � essa, ali�s, a quest�o que nos preocupanesta abordagem) em determinar as probabilidades da ocorr�ncia de um acontecimento ou conjunto de acontecimentos, definidos no �mbito de uma dada experi�ncia aleat�ria. Ora, esse object�vo e a conse- quente aplica��o de m�todos estat�sticos passam, normalmente, pela quantifica��o dos resultados dessas experi�ncias. Isto �: o c�lculo de pro- babilidades � muito mais expedito quando, a cada acontecimento ou conjunto
  82. 82. de acontecimentos da experi�ncia aleat�ria corresponde um n�mero (real). � justamente no estabelecimento de uma tal correspond�ncia que reside o cerne da quest�o. Assim, podemos definir o conceito de vari�vel aleat�ria do modo que se segue. Diagramaticamente: Q, onde o, E i2 e x designa o valor que a vari�vel aleat�ria X(.) assume. Veja-se a aplica��o deste conceito aos exemplos dados atr�s. Para abreviar, omite-se aqui a descri��o da experi�ncia aleat�ria subjacente. Passar-se-�, tamb�m, a usar as express�es V.A. X ou X para abreviar a refer�ncia � vari�vel aleat�ria X (.) 3. Parao casodevari�veisaleat�riasunidimensionais.Paraasvari�veis multidimensionais,ver ponto 1.3. Fala-se ainda de vari�veis aleat�rias mistas quando resultam de uma combina��o de v�rias vari�veis aleat�rias, umas discretas e outras cont�nuas. Est�subjacente a cada valor assumido por Xum acontecimento (ouconjunto de acontecimentos) probabiliz�vel.Mesmo quando a V.A. for apresentadasem refer�ncia a uma determinadaexpe- ri�ncia aleat�ria, n�o deve esquecer-se a sua <<g�nese),.
  83. 83. ESTAT�STICAAPLICADA - *, - e *." Exemplo I (continuaq�o) n = { t : t > O) X -tempo entre duas chamadas telef�nicas que chegam a uma mesma central telef�nica. x(n)= {xixi:xi > o) 4 . V u r r B u w i . T r r i x g ^-r r. v - . . - --* >g- -- - u. - - --, - Exemplo 2 (continuaq�o) C2 = {(VI,v2, v3):vi2 0, i= 1 , 2 , 3 ) X -soma das vendas di�rias dos tr�s pontos de venda de uma empresa. OU Y- m�ximo das vendas di�rias... Y(Q) = {vi: = max {VI,~ 2 ,v311 OU Z - amplitude das vendas di�rias... Z(R) = {q: 4 = max {vl,v2, v3) - min {vl,v2,v3}) ~ x e m ~ l o3 (continua��o) n = {0,1,2,...,9) X - valor do dlgito observado. x(n)= {xi:xi = o, I , 2, ...,9)
  84. 84. Q = {(N,N , N ) 9 ( N , N , D ) ,( N ,D , N ) , ( D ,N , N ) ,( N ,D , D ) , ( D ,N , D ) , ( D , D , N ) ,� D , D , D)} X- n�mero de pe�as defeituosas em cada amostra aleat�ria de tr�s pe�as. X(Q) = {O, 1, 2, 3) pois {mi1 * {q:3 = X ( o i ) = O, 1,2,3) SZ - {Boa,M�dia, M� ) X - Classifica��oda empresa Considerando 1 - M� 2 -M�dia 3 - Boa
  85. 85. ESTAT~STICAAPLICADA Exemplo 6 (continua��o) Q = { T.P., CPRM, TLP, T ) X - volume de vendas, em 1993, de cada uma das empresas (em 10' escudos) X(Q) = {20,60,100) sendo X(T.P.) = 100 X(CPRM) = 60 X(TLP) = 60 X(T) = 20 Y- n�mero de empregados, em 1993, de cada uma das empresas (em 1o3 unidades) Y(Q) = {2,3,4,61, sendo Y(T.P.) = 6 Y(CPRM) = 3 Y(TLP) = 4 Y(T) = 2 1.2. C�lculo de probabilidades atrav�s de vari�veis aleat�rias Como foi visto no ponto anterior, a cada acontecimento de C2 � poss�vel fazer corresponder um n�mero real x - � o princ�pio subjacente a g�nese de uma vari�vel aleat�ria. Ent�o, o objectivo que se pretende agora atingir � calcular probabilidades, n�o com base nos pr�prios acontecimentos, mas sim nas suas imagens - valores assumidos pela vari�vel aleat�ria. Ou seja, pretende-se saber como <<transferir))a probabilidade de ocorr�ncia de um determinado acontecimento A, P[A ] , para a probabilidade de X(A ) assumir o correspondente valor x, P[X = x ] . No exemplo 4 deste cap�tulo, analisavam-se lotes de 3 componentes elec- tr�nicos, verificando se estes eram defeituosos ( D )ou n�o defeituosos (N). Construindo a vari�vel aleat�ria X- n�mero de componentes defeituosos, em 3, e definindo o acontecimento A como A = {(N, N, D 1, (D, N, N ) ,(D, N, N)),
  86. 86. � obvio que P[X = 11 = P[A]. 3 3 Ent�o, como P[A] = -, ser� P [X = 11 = -. 8 8 No exemplo 6, onde se escolhia aleatoriamente 1 das 4 empresas de telecomunica��es, e considerando a vari�vel aleat�ria Y - volume de vendas, em 1993,ter-se-� P[X = 60 ] = P [escolher uma empresa cujo volume de vendas em 1993 seja igual a 60 milh�es de contos.] = P (escolher CPRM ou escolher TLP) Para o caso de vari�veis aleat�rias discretas, podemos afirmar que a probabilidade de uma vari�vel aleat�ria X assumir um valor concreto x � igual a probabilidade de realiza��o do acontecimento A cuja imagem dada por X (.) � x. Temos assim a seguinte defini��o: Diagramaticamente onde P ( X = xl) = P(wi V COj) P ( x = x2) = P(wk)

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