Mathematical Induction

1. 数学的帰納法は
帰納ではない？
西尾泰和
114年8月7日木曜日

2. 数学的帰納法
• 「数学的帰納法は帰納ではなくて演繹」
という言葉がひとり歩きしている感が
あるので整理してみました
214年8月7日木曜日

3. 演繹の例
• ソクラテスは人である
• すべての人は死ぬ
• よって、ソクラテスも死ぬ
314年8月7日木曜日

4. 一般化
特殊化 ソクラテスは人 ソクラテスは死ぬ
すべての人は死ぬ
一般的な命題から特殊化を行っている
414年8月7日木曜日

5. 帰納の例
• ソクラテスは人であり、死ぬ
• プラトンは人であり、死ぬ
• よって、すべての人はいつか死ぬ
514年8月7日木曜日

6. 一般化
特殊化 ソ＝人かつ死ぬ プ＝人かつ死ぬ
すべての人は死ぬ
特殊な命題から一般化している
614年8月7日木曜日

7. 数学的帰納法
• 1: P(1)は真である
• 2: P(k)が真の時P(k+1)も真
• 3: 1に2を無限回適用することで
「P(1)かつP(2)かつP(3)かつ… が真」
• よって任意の自然数nについてP(n)が真
714年8月7日木曜日

8. 一般化
特殊化 P(1) P(2)
P(k)→P(k+1)
ここは演繹
814年8月7日木曜日

9. 一般化
特殊化 P(1) P(2)
P(k)→P(k+1)
P(3) P(4)
演繹を無限に繰り返し…
914年8月7日木曜日

10. 一般化
特殊化 P(1) P(2) P(3) P(4)
得られた個別の命題から…
P(5) P(6)
1014年8月7日木曜日

11. 一般化
特殊化 P(1) P(2) P(3) P(4)
得られた個別の命題から帰納によって一般化
P(5) P(6)
すべての自然数nについてP(n)
1114年8月7日木曜日

12. 数学的帰納法
• 1: 演繹を無限回繰り返すことで
全対象についての命題を網羅し
• 2: そこから帰納で全称命題を導く手法
→演繹と帰納を組み合わせた手法
1214年8月7日木曜日

13. よくある疑問
• 演繹は論理的に正しい
• 帰納は論理的に正しくない
• 数学は論理的に正しい
• よって数学は演繹だけから構成されてい
るのでは？
1314年8月7日木曜日

14. ポアンカレ
• 1906年「科学と仮説」でこの問題を考察した
• 「数学が演繹でないなら、なぜ正しい結果が
得られるのか？数学が演繹なら、なぜ新しい
一般化された命題が得られるのか？」(要約*)
* 以下同様
1414年8月7日木曜日

15. ポアンカレ
• 出直し法*（proof by recurrence）による加算の
結合性の証明を実例として紹介
• 「物理的な帰納法は我々の外にある秩序への
信念に基いているので、不正確。一方、数学
的な帰納法（出直し法）はそうではない」
• 「両者は異なる基礎に基づくが、同じ向き、
特殊から一般へと進んでいる。」
* 今で言う数学的帰納法は、パスカルによる出直し法が起源
1514年8月7日木曜日

16. ポアンカレ
• つまり「帰納は論理的に正しくない」
は正しくない
• それは物理的な帰納法では成立するが、
数学的な帰納法では成立しない
• 数学的帰納法が帰納であるがゆえに
新しい一般化した命題を得ることができる
1614年8月7日木曜日

17. ペアノ
• 「いや、そもそも『自然数』って
明確に定義されてないじゃん？」
1714年8月7日木曜日

18. ペアノ
• 自然数の最初の一つが存在する
• すべての自然数が「次の自然数」を持つ
• …などのいくつかの公理を導入すること
で「自然数」を定義した(1891年)
1814年8月7日木曜日

19. 一般化
特殊化 P(1) P(2) P(3) P(4)
従来：帰納によって「すべての自然数∼」を導く
ペアノ以降：自然数の定義によりこの2つは同値
P(5) P(6)
すべての自然数nについてP(n)
1914年8月7日木曜日

20. ペアノ
• ペアノによる公理の導入によって
数学的帰納法の帰納の部分がなくなった
• 残るのは演繹だけなので
「ペアノの公理を認めるなら
数学的帰納法は演繹」はTrue
2014年8月7日木曜日

21. まとめ
• 1654年 パスカルが出直し法を発明
これは無限回の演繹と最後の1回の帰納を組み合わせて自然数についての証明を行う技法
• 1900年前後、帰納が使われてる数学的帰納法が
数学として正しいのかどうかの議論が盛んに…
• 解決策１：1906年 ポアンカレ 「数学の帰納法は
物理の帰納法と違って論理的に正しいんだ」
• 解決策２：1891年 ペアノ 「『自然数』を定義し
て、数学的帰納法の帰納のステップを公理として
認めよう」
2114年8月7日木曜日

22. 参考文献
• ポアンカレ「科学と仮説」 岩波文庫
の第1章「数学的推理の本章」p.20-40
短いので是非一読をオススメします。
http://www.amazon.co.jp/gp/product/
4003390210/?tag=nishiohirokaz-22
• もしくは英語版を無償で読む
http://www.gutenberg.org/ebooks/37157
2214年8月7日木曜日