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素数⼤大富豪に関する⾃自由研究まとめ
2015.1.19  第359回勉強会
にせい
今⽇日のおはなし
!  素数⼤大富豪とは
!  基本ルール(カードの出し⽅方など)
!  よく使う倍数判定法
!  「素数⼤大富豪で出すことのできる素数」に関する考察
!  具体的に考えてみる
!  プログラムを使って数えてみる
!  「最⼤大...
素数⼤大富豪とは
!  2⼈人以上で遊ぶトランプゲーム
!  ゲームの流流れは⼀一般の⼤大富豪と同じ
!  最初に⼿手札を配る(残ったカードは⼭山札として使⽤用)
!  ⼿手札から、前の⼈人が出した数字より⼤大きい数字を出していく
!  無条件...
カードの出し⽅方
!  2枚以上のカードを組み合わせて出す場合は、カードの数字を
10進法で左から読んで得られる数字として扱う
!  例例
!  場に出ている枚数と同じ枚数を使い、より⼤大きい数字を出す
!  ジョーカーは0〜~13(K)の好き...
グロタンディーク素数切切り
!  通称: グロタンカット
!  ⼀一般の⼤大富豪で⾔言う「8切切り」
!  有名な数学者の逸話に則り、57は素数として出すことができる
(合成数として出すことはできない)
!  57が出た時は、強制的に場を流流し...
合成数の出し⽅方
!  合成数(素数でない数)は、⼿手札にその数の素因数を表現する
カードを全て持っている場合に限り、それらのカードを捨てる
ことにより出すことができる
!  例例:
× × =
素因数の3枚は捨てる
(直接流流す)
場に出すカ...
反則とペナルティ
!  カードを出せないことは反則にはならない              
(パスをするか、⼭山札から1枚引くことができる)
!  反則
!  素数として出したが素数でなかった
!  合成数出しにおける素因数分解の計算間違い
!...
よく使う倍数判定法
!  2の倍数 → (⼀一の位が)偶数
!  5の倍数 → ⼀一の位が5または0
!  3の倍数 → 各桁の和が3の倍数
!  3桁の数Aについて
    A = 100a + 10b + c (例例:A=729ならa=7,...
ところで…
「素数⼤大富豪で出すことのできる素数」って
⼀一体どのくらいあるのだろう?
(参考)⼤大富豪で出すことのできる⼿手
!  1枚ずつ: (1〜~K) + ジョーカー = 14通り
!  同じ数字2枚〜~4枚: 13 × 3 + 1 = 40通り
!  連続する数字3枚: (3,4,5) 〜~ (K, A, 2) = 11...
1枚のとき
(7個/7通り)
2枚のとき
(38個/39通り)
3枚のとき (338個/350通り)
素数⼤大富豪で出すことのできる素数
!  10〜~Kの存在により、使う枚数が同じでも表現できる桁数は最
⼤大で2倍になる
!  ジョーカー(2枚)を「0」として使うことができることによ
り、表現できる数の幅がさらに広がっている
!  とはいえ、...
1桁〜~4桁のとき
!  同じ数字が5つ以上(0は3つ以上)重複することはないため、
全ての数を表現することが可能
!  9,999までの素数の個数… 1,229個
!  素数⼤大富豪で出すことができる4桁までの数は 1,229個
5桁〜~6桁のとき
!  1〜~9の数字は、ジョーカーを使えば6つまで使⽤用可
    0を3つ以上使う素数はトランプでは表現不不可(10の形を除く)
!  5桁:40,009、70,001、70,003、70,009、90,001、90,00...
7桁のとき
!  「トランプで表現不不可の素数の個数を求める」プログラムを
作成(Rubyを使⽤用)
!  同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数    
… 4,083個
!  7桁の素数は  586,081個
!  素数⼤大富...
8桁のとき
!  7桁と同様のプログラムを作成
!  同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数    
… 66,932個
!  8桁の素数は  5,096,876個
!  素数⼤大富豪で出すことができる8桁までの素数は
660,2...
9桁のとき
!  8桁と同様のプログラムを少しアレンジして使⽤用
!  同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数    
… 591,433個
!  9桁の素数は  45,086,079個
!  素数⼤大富豪で出すことができる8桁ま...
ここまでの成果まとめ
桁数 全ての素数 トランプで表現可能な素数 (累累計)
1 4 4 4
2 21 21 25
3 143 143 168
4 1,061 1,061 1,229
5 8,363 8,357 9,586
6 68,906 6...
限界を感じる
!  桁が増えるとプログラムがなかなか終わらなくなっていく…
(9桁で約2時間半)
!  今後も桁が増えればさらに⻑⾧長くなっていくこと間違いなし
!  桁が増えても「作れる数」は                         ...
ゴールを確認する
!  最⼤大の数は  (9+4×2)×4 + 2×2 -1 = 71桁?
!  対戦相⼿手が最⼩小の数1(A)を持っていると仮定すると最⼤大の数は
99,998,888,777,766,665,555,444,433,332,...
ゴールを確認する
!  最⼤大の数は  (9+4×2)×4 + 2×2 -1 = 71桁?
!  対戦相⼿手が最⼩小の数1(A)を持っていると仮定すると最⼤大の数は
99,998,888,777,766,665,555,444,433,332,...
まとめと展望
!  素数⼤大富豪というトランプゲームが熱い
!  ⼀一般の⼤大富豪と同じなのは、ゲームの流流れくらい
!  素数⼤大富豪で出すことができる9桁までの素数は50,184,877個
!  10〜~71桁の素数についても、今後できれば...
おわり。
  
補⾜足資料料
  
表現不不能な素数の個数を求める(8桁)
!  a = 10,000,001とする
!  aが3,5,7,11で割り切切れる場合はその時点で除外
!  aを1桁ごとに分け、10進数表⽰示で使われる数字の個数をそれぞ
れカウントする(変数 zero...
表現不不能な素数の個数を求める(9桁)
!  基本のプログラムは8桁までと同様
!  「1■1■1■1■1」の形をとる素数のみ別途カウントする    
(■= 4〜~9、それぞれ違う数字でも同じ数字でもOK)
!  141414141 ≦ a ...
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素数大富豪に関する自由研究まとめ

今 最も熱い数学トランプゲーム「素数大富豪」について、簡単なルールを紹介した上で、「ゲームの中で出せる素数の個数」に関する自由研究の成果をまとめました。
54枚のカードの組み合わせから広がる素数の世界。始まりは2から、しかし一歩進むごとにぐんぐんスケールアップしてゆく素数大富豪の可能性に、あなたはどこまで食らいついていけますか?
札幌の科学勉強会での発表用に作成したスライドです。

※「素数大富豪で出すことのできる素数の個数を数える問題」(通称:素数大富豪素数問題)については、進展があればブログ(http://nisei.hatenablog.com)にて報告しています。興味のある方は数学カテゴリの記事をご覧ください。(3歩進んで2歩下がるくらいのペースで進んでおります)

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素数大富豪に関する自由研究まとめ

  1. 1. 素数⼤大富豪に関する⾃自由研究まとめ 2015.1.19  第359回勉強会 にせい
  2. 2. 今⽇日のおはなし !  素数⼤大富豪とは !  基本ルール(カードの出し⽅方など) !  よく使う倍数判定法 !  「素数⼤大富豪で出すことのできる素数」に関する考察 !  具体的に考えてみる !  プログラムを使って数えてみる !  「最⼤大の素数」を探してみる !  まとめと展望
  3. 3. 素数⼤大富豪とは !  2⼈人以上で遊ぶトランプゲーム !  ゲームの流流れは⼀一般の⼤大富豪と同じ !  最初に⼿手札を配る(残ったカードは⼭山札として使⽤用) !  ⼿手札から、前の⼈人が出した数字より⼤大きい数字を出していく !  無条件で出せるのは素数のみ !  素数として出した数字が素数でない場合はペナルティがある !  ⼿手札のカードを組み合わせて数字を作ることができる
  4. 4. カードの出し⽅方 !  2枚以上のカードを組み合わせて出す場合は、カードの数字を 10進法で左から読んで得られる数字として扱う !  例例 !  場に出ている枚数と同じ枚数を使い、より⼤大きい数字を出す !  ジョーカーは0〜~13(K)の好きな数字として出すことができる (41) (109)
  5. 5. グロタンディーク素数切切り !  通称: グロタンカット !  ⼀一般の⼤大富豪で⾔言う「8切切り」 !  有名な数学者の逸話に則り、57は素数として出すことができる (合成数として出すことはできない) !  57が出た時は、強制的に場を流流し、 それを出したプレイヤーの⼿手番から ゲームを再開する 特別なルール(1)
  6. 6. 合成数の出し⽅方 !  合成数(素数でない数)は、⼿手札にその数の素因数を表現する カードを全て持っている場合に限り、それらのカードを捨てる ことにより出すことができる !  例例: × × = 素因数の3枚は捨てる (直接流流す) 場に出すカードは2枚 特別なルール(2)
  7. 7. 反則とペナルティ !  カードを出せないことは反則にはならない               (パスをするか、⼭山札から1枚引くことができる) !  反則 !  素数として出したが素数でなかった !  合成数出しにおける素因数分解の計算間違い !  ペナルティ !  出したカードを全て⼿手札に戻し、その枚数だけ更更に⼭山札からカー ドを引いて⼿手札に加えて次のプレイヤーに⼿手番を移す
  8. 8. よく使う倍数判定法 !  2の倍数 → (⼀一の位が)偶数 !  5の倍数 → ⼀一の位が5または0 !  3の倍数 → 各桁の和が3の倍数 !  3桁の数Aについて     A = 100a + 10b + c (例例:A=729ならa=7,b=2,c=9)       = (99+1)a + (9+1)b + c       = 99a + 9b + a + b + c       = 3(33a+3b) + a + b + c   ∴ a + b + cが3の倍数ならAは3の倍数
  9. 9. ところで… 「素数⼤大富豪で出すことのできる素数」って ⼀一体どのくらいあるのだろう?
  10. 10. (参考)⼤大富豪で出すことのできる⼿手 !  1枚ずつ: (1〜~K) + ジョーカー = 14通り !  同じ数字2枚〜~4枚: 13 × 3 + 1 = 40通り !  連続する数字3枚: (3,4,5) 〜~ (K, A, 2) = 11通り !  連続する数字4枚〜~13枚: 10+9+‥+2+1 = 55通り !  計120通り !  マークの違いまで考慮に⼊入れると  464通りくらい (※ローカルルールよって多少変動あり)
  11. 11. 1枚のとき (7個/7通り)
  12. 12. 2枚のとき (38個/39通り)
  13. 13. 3枚のとき (338個/350通り)
  14. 14. 素数⼤大富豪で出すことのできる素数 !  10〜~Kの存在により、使う枚数が同じでも表現できる桁数は最 ⼤大で2倍になる !  ジョーカー(2枚)を「0」として使うことができることによ り、表現できる数の幅がさらに広がっている !  とはいえ、カードの枚数に制限はあるのだから、出せる素数 は限られるのでは?(推測) !  桁ごとに、何個の数字を出すことができるのか調べてみる
  15. 15. 1桁〜~4桁のとき !  同じ数字が5つ以上(0は3つ以上)重複することはないため、 全ての数を表現することが可能 !  9,999までの素数の個数… 1,229個 !  素数⼤大富豪で出すことができる4桁までの数は 1,229個
  16. 16. 5桁〜~6桁のとき !  1〜~9の数字は、ジョーカーを使えば6つまで使⽤用可     0を3つ以上使う素数はトランプでは表現不不可(10の形を除く) !  5桁:40,009、70,001、70,003、70,009、90,001、90,007 !  6桁:100,003など、計203個 !  5〜~6桁の素数は全部で 77,269個 !  素数⼤大富豪で出すことができる6桁までの数は 1,229 + 77,269 – 209 = 78,289 個
  17. 17. 7桁のとき !  「トランプで表現不不可の素数の個数を求める」プログラムを 作成(Rubyを使⽤用) !  同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数     … 4,083個 !  7桁の素数は  586,081個 !  素数⼤大富豪で出すことができる7桁までの数は 78,289 + 586,081 – 4,083 = 660,287個
  18. 18. 8桁のとき !  7桁と同様のプログラムを作成 !  同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数     … 66,932個 !  8桁の素数は  5,096,876個 !  素数⼤大富豪で出すことができる8桁までの素数は 660,287 + 5,096,876 – 66,932 = 5,690,231個
  19. 19. 9桁のとき !  8桁と同様のプログラムを少しアレンジして使⽤用 !  同じ数字をトランプの枚数以上に重複して使⽤用する素数     … 591,433個 !  9桁の素数は  45,086,079個 !  素数⼤大富豪で出すことができる8桁までの素数は 5,690,231 + 45,086,079 – 591,433 = 50,184,877個
  20. 20. ここまでの成果まとめ 桁数 全ての素数 トランプで表現可能な素数 (累累計) 1 4 4 4 2 21 21 25 3 143 143 168 4 1,061 1,061 1,229 5 8,363 8,357 9,586 6 68,906 68,703 78,289 7 586,081 581,998 660,287 8 5,096,876 5,029,944 5,690,231 9 45,086,079 44,494,646 50,184,877
  21. 21. 限界を感じる !  桁が増えるとプログラムがなかなか終わらなくなっていく… (9桁で約2時間半) !  今後も桁が増えればさらに⻑⾧長くなっていくこと間違いなし !  桁が増えても「作れる数」は                               思ったより減らない !  計算⽅方法について再考する必要あり
  22. 22. ゴールを確認する !  最⼤大の数は  (9+4×2)×4 + 2×2 -1 = 71桁? !  対戦相⼿手が最⼩小の数1(A)を持っていると仮定すると最⼤大の数は 99,998,888,777,766,665,555,444,433,332,222,131,313,131,313, 121,212,121,111,111,111,101,010,101 !  試しに因数分解してみた
  23. 23. ゴールを確認する !  最⼤大の数は  (9+4×2)×4 + 2×2 -1 = 71桁? !  対戦相⼿手が最⼩小の数1(A)を持っていると仮定すると最⼤大の数は 99,998,888,777,766,665,555,444,433,332,222,131,313,131,313, 121,212,121,111,111,111,101,010,101 !  試しに因数分解してみた → 7で割れる 7 × 11 × 13 × 37 × 2,699,972,696,972,396,942,393,942,093,912,091,457,546,003,000,275,727,545,727,545,727,273
  24. 24. まとめと展望 !  素数⼤大富豪というトランプゲームが熱い !  ⼀一般の⼤大富豪と同じなのは、ゲームの流流れくらい !  素数⼤大富豪で出すことができる9桁までの素数は50,184,877個 !  10〜~71桁の素数についても、今後できればいいな !  その先には合成数が待っている…
  25. 25. おわり。   
  26. 26. 補⾜足資料料   
  27. 27. 表現不不能な素数の個数を求める(8桁) !  a = 10,000,001とする !  aが3,5,7,11で割り切切れる場合はその時点で除外 !  aを1桁ごとに分け、10進数表⽰示で使われる数字の個数をそれぞ れカウントする(変数 zero, two〜~nine) !  1は11を使えば7つ以上表現可能なので省省略略 !  aを2桁ごとに分け、10,12が含まれる場合は0,2のカウントを減らす !  zeroが3以上、または [zero + two〜~nineのどれか] が7以上にな るものについて素数判定を⾏行行い、該当する個数をカウントする !  a = a + 2 として繰り返す(a = 99,999,999となるまで)
  28. 28. 表現不不能な素数の個数を求める(9桁) !  基本のプログラムは8桁までと同様 !  「1■1■1■1■1」の形をとる素数のみ別途カウントする     (■= 4〜~9、それぞれ違う数字でも同じ数字でもOK) !  141414141 ≦ a ≦ 19191919191 の範囲でカウント

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