makalah ini saya buat tentang Relasi Biner

1. Operasi Relasi BINER
Kelompok 5
Nama Anggota Kelompok
SURYANINGSIH
: 122.21.012
HANJAIRIN
: 122.21.022
NUR EFRIANI
: 122.21.026
Bq. FITRIA ULFA
: 122.21.028
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
IKIP MATARAM
2013

2. KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan karunia-Nya kepada
kita semua, sehingga kita dapat terus beraktivitas dan berkarya apa yang telah kita
rencanakan dapat berhasil sesuai dengan rencana.
Rasa bahagia kami yang tak terhingga karena kami telah dapat menyelesaikan
tugas yang diberikan dosen untuk makalah kami yang berjudul “RELASI BINER”. Kami
menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran
dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan
makalah ini.
Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan
serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT
senantiasa meridhai segala usaha kita. Aamiin.

3. DAFTAR ISI
Halaman Judul ...........................................................................................................
Kata Pengantar ...........................................................................................................
Daftar Isi ...................................................................................................................
Bab I Pendahuluan .....................................................................................................
A. Latar belakang .................................................................................................
B. Rumusan masalah ...........................................................................................
Bab II Pembahasan ....................................................................................................
2.1 Pengertian Relasi Biner...................................................................................
2.11 Representasi Relasi dengan Diagram Panah ..........................................
2.12 Representasi Relasi dengan Tabel .........................................................
2.2 Operasi pada Relasi Biner ...............................................................................
a. Invers Relasi .............................................................................................
b. Kombinasi Relasi. .....................................................................................
c. Komposisi Relasi. .....................................................................................
Bab III Penutup ..........................................................................................................
A. Kesimpulan .....................................................................................................
Daftar Pustaka

4. BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Konsep relasi sebenarnya adalah konsep yang tidak asing bagi kita, karena
kita alami secara langsung dalam kehidupan sehari-hari sehingga secara intuitif
dapat dengan mudah kita pahami maknanya. Dua hal atau lebih dapat dikatakan
berelasi apabila terdapat suatu hubungan atau keterkaitan di antara mereka.
Hubungan atau keterkaitan itu dapat terjadi dalam berbagai macam bentuk,
misalnya hubungan kesamaan (sifat, bentuk, profesi, kegemaran, dsb), hubungan
kekerabata, hubungan pertemanan, hubungan kerjasama, dll. Dalam pergaulan
hidup sehari-hari kita mempunyai berbagai macam hubungan atau relasi, misalnya
relasi dengan anggota-anggota keluarga kita, relasi dengan teman-teman kita, relasi
dengan rekan-rekan kerja kita, dst. Dalam matematika juga kita menjumpai
berbagai macam relasi antara entitas-entitas matematika, kesebangunan antara
bangun-bangun geometri, relasi ketermuatan antara himpunan-himpunan, dst.
B. Rumusan Masalah
a. Apa pengertian relasi biner?
b. Bagaimana operasi-operasi pada relasi biner?

5. BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Relasi Biner
Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu relasi (Biner) R dari A ke B
adalah himpunan bagian dari A x B. Jika (a,b)
dan a berelasi dengan b,
dituliskan a R b. Jika a tidak berelasi b, maka dituliskan a R b.
Jadi : Relasi antara himpunan A dan B disebut Relasi Biner
Definisi : Relasi Biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B
Op
Notasi :
Jika
kita gunakan notasi
R, dan jika
yang artinya a dihubungkan dengan b oleh
jika gunakan notasi a R yang artinya a tidak dihubungkan oleh
b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B
disebut daerah hasil (range atau codomain) dari R.
Contoh :
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.
•
Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p, q)
R jika p habis membagi
q maka diperoleh:
•
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}
Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y)
•
Jika x adalah faktor prima dari y. Maka:
•
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)
R

6. 2.11 Representasi Relasi dengan Diagram Panah
Q
A
P
A
2
2
2
4
3
3
8
4
4
9
8
8
15
9
9
2
3
4
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}
2.12 Representasi Relasi dengan Tabel
Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua
menyatakan daerah hasil
A
2
2
2
2
4
2
4
4
2
8
8
3
3
4
Operasi Operasi pada Relasi.
A
2
2.2 Operasi pada Relasi Biner
Q
4
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}
P
2
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8),
(3, 9), (3, 15)}
8
3
3
3
9
3
15
a. Invers Relasi (R-1)
Bila pada relasi R dari A ke B dibalik seluruh pasangan berurutan,
komponen pertama menjadi komponen kedua begitu juga sebaliknya, maka
terbentuklah sebuah relasi dari B ke A yang merupakan Invers dari R.
Jadi,
Bila R =

7. Maka,
Inversnya R-1=
Contoh 1:
-
Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari
relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A
yang didefinisikan oleh :
R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }
Contoh 2:
Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.
•
Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu : (p, q) ∈ R jika dan hanya jika p
habis membagi q
•
maka kita peroleh : R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)
•
R–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk : (q,
p) ∈ R–1 jika q adalah kelipatan dari p
•
sehingga diperoleh : R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }
contoh 3:
Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R
1 1 1 0 0
M
0 0 0 1 1
0 1 1 0 0

8. Matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan
melakukan transpose terhadap matriks M
1 0 0
N
M
T
1 0 1
1 0 1
0 1 0
0 1 0
b. Kombinasi Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi
himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua
relasi atau lebih juga berlaku.
Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B,
maka R1
R2, R1
R2, R1 – R2, dan R1
R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Contoh :
Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.
Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}
•
R1
R2 = {(a, a)}
•
R1
R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
•
R1
R2 = {(b, b), (c, c)}
•
R2
R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}
•
R1
R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1
dan MR2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua
relasi tersebut adalah

9. MR1
R2
= MR1
MR2
dan
MR1
R2
= MR1
MR2
Contoh :
Misalkan bahwa relasi R1 dan R2
A dinyatakan oleh matriks
1 0 0
R1 = 1 0 1 dan R2 =
1 1 0
MR1
MR1
R2
R2
pada himpunan
0
0
1
MR2
MR2
= MR1
= MR1
1 1
= 1 1
1 1
0
= 0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
c. Komposisi Relasi
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah
relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan
S
R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
S
R = {(a, c)
c)
a
A, c
C, dan untuk beberapa b
B, (a, b)
R dan (b,
S }
Contoh 1:
Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi
dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan S = {(2, u), (4, s), (4, t),
(6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.
Komposisi relasi R dan S adalah
S
R = {(1, u),(1, t),(2, s),(2, t),(3, s),(3, t),(3, u)}
Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah:
2
1
4
2
3
6
8
s
t
u

10. Contoh 2:
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1
dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut
adalah MR2
R1
= MR1 MR2
Dalam hal ini operator “.” sama seperti pada
perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan “ ” dan
tanda tambah dengan “ ”.
Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks
0 1 0
1 0 1
R1
R2
1 1 0
1 0 1
0 0 0
Matriks yang menyatakan R2
MR2
R1
R1 adalah
= MR1 . MR2
1 0 1
0 1 0
1 1 0
0 0 1
0 0 0
M R1oR2
0 0 1
1 0 1
(1 0) (0 0) (1 1)
(1 1) (0 0) (1 0)
(1 0) (0 1) (1 1)
(1 0) (1 0) (0 1)
(1 1) (1 0) (0 0)
(1 0) (1 1) (0 1)
(0 0) (0 0) (0 1) (0 1) (0 0) (0 0) (0 0) (0 1) (0 1)
1 1 1
0 1 1
0 0 0

11. BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Dari pembahasan makalah diatas, maka dapat kami simpulkan bahwa
Untuk menggambarkan hubungan antara dua
anggota himpunan, misalnya A
dengan B, kita bisa menggunakan pasangan berurut (ordered pairs). Elemen
pertama adalah anggota dari A dan yang kedua dari B. Relasi antara dua himpunan
yang demikian ini disebut sebagai relasi biner.
Macam-macam operasi yang digunakan pada relasi biner adalah Invers
Relasi, Kombinasi Relasi (R1 ∩ R2 (union atau gabungan), R1 ∪ R2, (irisan atau
intersection), R1 – R2, (selisih atau diference), R1
R2 ), serta Komposisi Relasi.

12. DAFTAR PUSTAKA
Theresia, 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan. Jakarta:
Erlangga.
Yunus, Muhammad. 2007. Logika: Suatu Pengantar. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Susilo, Frans. 2012.Landasan Matematika.Yogyakarta:Graha Ilmu.