Más contenido relacionado

Was ist angesagt?(20)

Hoán vị lặp tổ hợpHoán vị lặp tổ hợp
Hoán vị lặp tổ hợp
Thế Giới Tinh Hoa9.9K views
Phương pháp tínhPhương pháp tính
Phương pháp tính
hanoipost6.3K views
Ứng dụng excel_de_giai_qhttỨng dụng excel_de_giai_qhtt
Ứng dụng excel_de_giai_qhtt
luxubu207510.9K views
Luận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAYLuận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAY
Luận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAY
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 09171938641.3K views
Skkn 2012Skkn 2012
Skkn 2012
duyhien2509410 views
Chuyen  de giai he pt chua tham soChuyen  de giai he pt chua tham so
Chuyen de giai he pt chua tham so
Toán THCS8.4K views
Tai lieu on chuyen toanTai lieu on chuyen toan
Tai lieu on chuyen toan
Vui Lên Bạn Nhé1.9K views
Luận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đLuận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đ
Luận văn: Ứng dụng của phương trình sai phân, HAY, 9đ
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 09092326201.5K views
99 bai toan-ct-don-dieu99 bai toan-ct-don-dieu
99 bai toan-ct-don-dieu
Vui Lên Bạn Nhé712 views
Luận văn: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong toán phổ thôngLuận văn: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong toán phổ thông
Luận văn: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong toán phổ thông
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 09171938643.4K views

Destacado(8)

Battleship potemkin nicette workBattleship potemkin nicette work
Battleship potemkin nicette work
Nycette de Pondja213 views
Iraq CH FINALIraq CH FINAL
Iraq CH FINAL
Caitlin Hinton422 views
Finding opportunity in your evolving libraryFinding opportunity in your evolving library
Finding opportunity in your evolving library
Alex Zealand, Arlington Public Library138 views
AskmeAskme
Askme
sristi1992157 views
EN. CV - Peter Blach 2015EN. CV - Peter Blach 2015
EN. CV - Peter Blach 2015
Peter Blach630 views
Freedoms Foundation at Valley Forge October 2015 Newsletter Freedoms Foundation at Valley Forge October 2015 Newsletter
Freedoms Foundation at Valley Forge October 2015 Newsletter
Freedoms Foundation at Valley Forge Broward County Chapter493 views
QQ
Q
Annmariew143151 views
Fm11 ch 17 showFm11 ch 17 show
Fm11 ch 17 show
Adi Susilo397 views

Similar a THPT hoang le kha 2013 -MVN(20)

Thpt hoang le kha-MVN 2Thpt hoang le kha-MVN 2
Thpt hoang le kha-MVN 2
nguyen nguyen APi99 views
40 bai ham so chon loc(phongmath)40 bai ham so chon loc(phongmath)
40 bai ham so chon loc(phongmath)
phongmathbmt760 views
40 bai ham so chon loc (sưu Tầm)40 bai ham so chon loc (sưu Tầm)
40 bai ham so chon loc (sưu Tầm)
phongmathbmt662 views
Bat phuong trinh vo tiBat phuong trinh vo ti
Bat phuong trinh vo ti
phongmathbmt2.6K views
FINAL192NEW (1).pdfFINAL192NEW (1).pdf
FINAL192NEW (1).pdf
longl3743435 views
Luận văn: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu cănLuận văn: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Luận văn: Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0909232620238 views

Último(17)

Nhận Viết Assignment  Không Đạo Văn Cho Sinh Viên Tại Hà NộiNhận Viết Assignment  Không Đạo Văn Cho Sinh Viên Tại Hà Nội
Nhận Viết Assignment Không Đạo Văn Cho Sinh Viên Tại Hà Nội
lamluanvan.net Viết thuê luận văn12 views

THPT hoang le kha 2013 -MVN

  • 1. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 1 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. ĐẶT VẤN ĐỀ I/ Lời mở đầu. Căn cứ vào chủ trƣơng đƣờng lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà nƣớc. Căn cứ vào phƣơng hƣớng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trƣờng THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2012 – 2013. Trong quá trình giảng dạy, tôi đƣợc nhà trƣờng tin tƣởng giao cho dạy các lớp mũi nhọn, đối tƣợng học sinh chủ yếu là học sinh khá, giỏi. Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dƣỡng các em tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi dƣỡng cho các em ôn thi đại học là nhiệm vụ quan trọng số một. Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vai trò quan trọng hàng đầu. Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề và rất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán về đồ thị hàm số, trong đề tài của mình tôi chọn vấn đề quan trọng của đồ thị hàm số là một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số. Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dƣỡng học sinh ôn thi đại học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số’’. Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số phƣơng pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, tránh tình trạng khi các em gặp phải các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số thƣờng làm phức tạp vấn đề hay không giải đƣợc. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số. II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu 1. Thực trạng vấn đề Hiện nay khi gặp các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, một số học sinh chƣa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì thƣờng làm
  • 2. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 2 phức tạp hóa bài toán nên khó kết thúc bài toán, các em chƣa biết lựa chọn kiến thức hình học phù hợp với các bài toán. 2. Hệ quả của thực trạng trên Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu nhƣ học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tƣ duy hạn chế chƣa biết cách phối hợp giữa hình học và các bài toán đồ thị hàm số. Chính vì vậy ngƣời dạy phải hƣớng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Các giải pháp thực hiện. Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng kiến thức hình học nào phù hợp. Sau đó giúp học sinh xây dựng phƣơng pháp giải phù hợp. II. Biện pháp tổ chức thực hiện. Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, trƣớc hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức hình học về khoảng cách và kiến thức của hàm số. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình cho các hàm số để học sinh vận dụng. Trong đề tài này, tôi xin đƣa ra một số bài toán tƣơng đối đầy đủ về các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số. 1. Kiến thức toán có liên quan - Khoảng cách giữa hai điểm. - Công thức khoảng cách từ một điểm đến đƣòng thẳng. - Kỹ năng tính nhanh cực trị của hàm đa thức bậc ba, hàm phân thức bậc 2: bậc 1. - Sử dụng bảng biến thiên của hàm số. 2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số 3 21 ( ) 1 3 y f x x mx x m      có khoảng cách giữa các điểm cực đại cực tiểu là nhỏ nhất.
  • 3. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 3 Phân tích bài toán: Bài toán giải theo ba bƣớc Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu. Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đƣa ra toạ độ các điểm cực trị Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị và sử dụng hàm số hoặc các bất đẳng thức cơ bản đƣa ra giá trị nhỏ nhất của khoảng cách đó từ đó tìm ra m. Bài giải: Ta có: 2 '( ) 2 1f x x mx   có 2 1 0,m m     '( )f x có hai nghiệm phân biệt 1 2;x x và hàm số đạt cực trị tại 1 2;x x khi đó gọi các các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1 1;x y ), B( 2 2;x y ). Theo Viét ta có: 1 2 1 2 2 1 x x m x x      . Thực hiện phép chia ( )f x cho '( )f x ta có: 21 2 2 ( ) ( ). '( ) ( 1) ( 1). 3 3 3 f x x m f x m x m      Do 1 2 '( ) 0 '( ) 0 f x f x    nên 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 3 3 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 3 3 y f x m x m y f x m x m               . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) 9 4 [( ) 4 ][1 ( 1) ] 9 4 4 ( 1)[1 ( 1) ] 4(1 ) 9 9 2 13 3 AB x x y y x x m x x x x x x m m m AB                       Vậy m=0 thì giá trị nhỏ nhất giữa điểm cực đại và cực tiểu là: 2 13 3 .
  • 4. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 4 Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 2 2 ( ) 3 3( 1) 3 1y f x x x m x m        . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều O. Phân tích bài toán: Bài toán này ta làm theo hai bƣớc sau: Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay đƣợc cực trị. Bước 2: Cho hai khoảng cách bằng nhau ta đƣợc giá trị m cần tìm. Bài giải: Ta có: 2 2 '( ) 3 6 3( 1).f x x x m     Hàm số đạt cực đại cự tiểu khi phƣơng trình '( ) 0f x  có hai nghiệm phân biệt. Ta có: 2 2 '( ) 0 3 6 3( 1) 0.f x x x m       Ta cần có 2 2 ' 1 1 0 0.m m m        Với điều kiện đó hàm số có cực trị là 1 21 ; 1x m x m    . Gọi hai điểm cực trị là: 3 3 (1 ; 2 2 ); (1 ; 2 2 ).A m m B m m      Khi đó: 2 3 2 2 3 2 3 (1 ) ( 2 2 ) (1 ) ( 2 2 ) 16 4 0 0 .1 2 OA OB m m m m m m m m                     Đối chiếu điều kiện 1 2 m   . Ví dụ 3: Cho hàm số 2 ( ) 1 x mx m y f x x      . Chứng minh với mọi m khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là không đổi. Phân tích bài toán: Bài toán này rất đơn giản ta làm theo hai bƣớc Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay đƣợc 2 cực trị. Bước 2: Tính khoảng cách và đƣa ra điều phải chứng minh. Bài giải:
  • 5. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 5 Ta có: 2 2 2 '( ) ( 1) x x f x x    . 0 '( ) 0 2 x f x x       hàm số có hai điểm cực trị là A(0;-m), B(2;4-m). Khoảng cách hai điểm cực trị là: 2 2 (2 0) [(4 ) ( )] 2 5.d m m       Từ đó ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 4: Cho hàm số 2 2 2 ( ) . 1 x mx y f x x      Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đƣờng thẳng (d): 2 0x y   là bằng nhau. Phân tích bài toán: Bài toán này ta giải theo các bƣớc sau: Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cƣc tiểu. Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đƣ ra toạ độ hai điểm cực trị. Bước 3: Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng ta suy ra m. Bài giải: Ta có: 2 2 2 2 2 '( ) ( 1) x x m f x x      . Đặt: 2 ( ) 2 2 2; ' 3 2 .g x x x m m       Hàm số có cực đại và cực tiểu  '( ) 0f x  có hai nghiệm phân biệt ( ) 0g x  có hai nghiệm phân biệt khác - 1 ' 0 3 2 0 3 (*) ( 1) 0 3 2 0 2 m m g m                . Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có: 1 1 2 2( ;2 2 ), ( ;2 2 ).A x x m B x x m  Với 1 2;x x là hai nghiệm ( ) 0g x  , áp dụng viét ta có 1 2 1 2 2 2 2 x x x x m       . Ta có: 1 1 12 2 2 3 2 2 ( ;( )) ; 2 2 x x m x m d A d       
  • 6. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 6 2 2 22 2 2 3 2 2 ( ;( )) . 2 2 x x m x m d B d        Khi đó: 1 23 2 2 3 2 2 ( ;( )) ( ;( )) 2 2 x m x m d A d d B d        1 23 2 2 3 2 2x m x m      2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (3 2 2) (3 2 2) (3 3 )(3 3 4 4) 0 1 3 3 4 4 0 . 2 x m x m x x x x m x x m m                    Đối chiếu (*) 1 2 m  thoả mãn. Ngoài cách làm trên ta còn có thể dùng hình học để giải dựa vào cơ sở hai điểm A, B cách đều (d) khi AB song song với d hoặc trung điểm của AB thuộc (d). Ví dụ 5: Cho hàm số 2 ( ) . 1 x mx y f x x     Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 10. Phân tích bài toán: Bài toán này làm theo ba bƣớc: Bước 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để tìm toạ độ của điểm cực đại, điểm cực tiểu. Bước 3: Tính khoảng cách và áp dụng viét ta có m. Bài giải: Ta có: 2 2 2 '( ) (1 ) x x m f x x      . Đặt: 2 ( ) 2 ; ' 1g x x x m m       . Hàm số có cực đại, cực tiểu ( ) 0g x  có hai nghiệm phân biệt khác 1 ' 0 1 0 1(*). (1) 0 1 0 m m g m               
  • 7. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 7 Khi đó sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có hai điểm cực trị là: 1 1 2 2( ; 2 ); ( ; 2 ).A x x m B x x m    Với 1 2;x x là 2 nghiệm của phƣơng trình ( ) 0g x  . Theo viét: 1 2 1 2 2x x x x m      . Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 10 100 ( ) 4( ) 100 ( ) 20 ( ) 4 20 4 4 20 0. AB AB x x x x x x x x x x m m                     Đối chiếu (*) m=4 thoả mãn. Ví dụ 6: Cho hàm số 3 5 ( ) 2 x y f x x     có đồ thị (H). Tìm trên (H) điểm M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (H) là nhỏ nhất. Phân tích bài toán: Bước 1: Tìm tiệm cận đứng và ngang. Bước 2: Tính tổng các khoảng cách, áp dụng bất đẳng thức côsi tìm giá trị nhỏ nhất. Từ đó tìm đƣợc điểm M. Bài giải: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 3y  , tiệm cận đứng 2x  . Gọi toạ độ 1 ( ; ) ( ) 2 M a a H a    . Khi đó tổng khoảng cách từ M đến hai đƣờng tiệm cận là: 1 1 ( ) 2 3 2 2 2 . 2 2 2 m Md M x y m m m m             Dấu bằng xẩy ra khi: 2 11 2 ( 2) 1 32 m m m mm           Từ đó ta có M(1;2) và M(3;4). Ví dụ 7: Cho hàm số 2 3 3 ( ) 2 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
  • 8. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 8 Phân tích bài toán: Bước 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Bước 2: Gọi toạ độ của M ra và tính tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có giá trị nhỏ nhất từ đó tìm đƣợc M. Bài giải: Ta dễ tìm đƣợc tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là: 2 0x  ; Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là 1 0x y   . Gọi M( 2 3 3 ; 2 a a a a    ) thuộc (C). Tổng khoảng cách từ M đên hai tiệm cận là : 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 2 2 2 2 2 x y d M x x x          Theo bất đẳng thức côsi ta có: 4 0 0 1 ( ) 2 2 8 2 2 d M x x     Tức là giá trị nhỏ nhất của d(M) là 4 8 khi 0 4 2 0 0 0 0 4 1 2 1 1 2 2 ( 2) 12 2 2 2 2 x x x x x                Vậy toạ độ M( 4 4 4 1 1 2 ; 1 2 2 2      ) hay M( 4 4 4 1 1 2 ; 1 2 2 2      ). Ví dụ 8: Cho hàm số 2 5 15 ( ) 3 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung. Phân tích bài toán: Bước 1: Gọi toạ độ của M Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến trục hoành d1, khoảng cách từ M đến trục tung d2. Ta có phƣơng trình d1=2d2 từ đó tìm đƣợc M.
  • 9. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 9 Bài giải: Gọi toạ độ M( 2 5 15 ; 3 a a a a    ) Khoảng cách từ M đến trục hoành là: 2 1 5 15 3 a a d a     . Khoảng cách từ M đến trục tung là: 2d a . Ta có: 2 1 2 5 15 2 3 a a d d a a       Xét hai trƣờng hợp: + Trường hợp 1: 2 2 1 61 5 15 215 0 3 1 61 2 a a a a a a a a                  Khi đó toạ độ M là: 1 61 1 61 ( ; 1 61);( ; 1 61) 2 2         . + Trường hợp 2: 2 25 15 3 11 15 0 3 a a a a a a          phƣơng trình này vô nghiệm. Vậy toạ độ M là: 1 61 1 61 ( ; 1 61);( ; 1 61) 2 2         . Ví dụ 9: Cho hàm số 1 ( ) 1 x y f x x     có đồ thị (H). Tìm M thuộc (H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. Phân tích bài toán: Bước 1: Gọi toạ độ của M sau đó tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ. Bước 2: Ta tìm cách hạn chế miền tìm giá trị nhỏ nhất để thuận lợi cho việc tìm giá trị nhỏ nhất. Bài làm:
  • 10. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 10 Gọi toạ độ M( 1 ; 1 a a a   ) thuộc (H). Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là: 1 ( ) . 1 a d M a a     Để ý rằng với M(1;0) thì d(M)=1 do đó để tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta chỉ cần xét khi: 1 1 1 0 1.1 1 11 1 a a aa a a a                Với 0 1a  thì 1 1 1 ( ) ( 1) 2 1 1 1 a a d M a a a a a a              Áp dụng côsi ta có: 2 ( ) 2 ( 1) 2 2 2 2 ( 1) d M a a       Khi đó giá trị d(M) nhỏ nhất khi: 2 1 2 11 0 1 a aa a          Vậy toạ độ M( 2 1;1 2  ). Ví dụ 10: Cho hàm số 2 6 ( ) 3 x x y f x x      có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. Phân tích bài toán: Bước 1: Gọi toạ độ M( 2 6 ; 3 a a a a    ) hay M( 6 ; 4 3 a a a    ). Bước 2: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ, giới hạn miền lấy giá trị nhỏ nhất, sử dụng hàm số tìm giá trị nhỏ nhất. Bài giải: Gọi toạ độ M( 2 6 ; 3 x x x x    ) hay M( 6 ; 4 3 x x x    ). Tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là:
  • 11. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 11 6 ( ) 4 3 d M x x x      . Do M(2;0)thuộc (C) nên tìm giá trị nhỏ nhất d(M) ta chỉ cần xét với 2x  , xét hai khả năng: *) Nếu 2 0x   thì 6 ( ) ( ) 4 3 d M g x x     2 6 '( ) 0 ( 3) g x x     suy ra giá trị nhỏ nhất trên [-2;0] là g(0)=2. *) Nếu 0 2x  thì 6 ( ) ( ) 2 4 3 d M p x x x      2 3 36 '( ) 2 0 ( 3) 3 3 x p x x x            Lập bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất d(M) trên [0;2] là p(0)=p(2)=2. Vậy toạ độ M(2;0) và M(0;2). Ví dụ 11: Cho hàm số 4 9 ( ) 3 x y f x x     có đồ thị (H). Tìm trên mỗi nhánh của (H) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất. Phân tích bài toán: Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn hơn 3 và hoành độ nhỏ hơn 3, ta gọi toạ độ của A( 3 3;4    ); B( 3 3 ;4    ) với ,  là hai số dƣơng. Bước 2: Tính khoảng cách AB theo ,  sử dụng linh hoạt bất đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B. Bài giải: Gọi toạ độ của A( 3 3;4    ); B( 3 3 ;4    ) với ,  là hai số dƣơng. Ta có: 2 2 2 2 23 3 ( ) ( ) ( ) ( )B A B AAB x x y y             áp dụng côsi.
  • 12. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 12 2 2 2 2 2 2 2 9( ) 9 9 ( ) ( ) [1 ] 4 [1 ] ( ) ( ) ( ) AB                    2 9 9 4( ) 4.2 . 24AB         Dấu bằng xẩy ra khi: 0 39               Vậy toạ độ A( 3 3;4 3  ); B(3 3;4 3  ). Ví dụ 12: Cho hàm số 2 2 5 ( ) 1 x x y f x x       có đồ thị là (C). Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất. Phân tích bài toán: Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn hơn 1 và hoành độ nhỏ hơn 1, ta gọi toạ độ của A( 4 1;     ); B( 4 1 ;      ) với ,  là hai số dƣơng. Bước 2: Tính khoảng cách AB theo ,  sử dụng linh hoạt bất đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B. Bài giải: Gọi toạ độ của A( 4 1;     ); B( 4 1 ;      ) với ,  là hai số dƣơng. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] 4 ( ) [1 (1 ) ] B A B AAB x x y y                        Áp dụng côsi ta có: 2 2 2 2 8 16 8 8 (2 ) (2 ) 8( 4) 8(2 . 4) 32( 2 1)AB                  
  • 13. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 13 Dấu bằng xẩy ra: 4 0 8.8               Vậy toạ độ hai điểm A, B là: A( 44 4 1 8; 8 2 2   ); B( 44 4 1 8; 8 2 2  ). Ví dụ 13: Cho hàm số 2 4 5 ( ) 2 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) để khoảng cách từ M đến đƣờng thẳng  : 3 6 0x y   nhỏ nhất. Phân tích bài toán: Bước 1: Gọi toạ độ của M thuộc (C). Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến  : 3 6 0x y   , sau xử lý khéo giá trị tuyệt đối để áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số. Bài giải: Gọi điểm M( 2 4 5 ; 2 m m m m    ) hay M( 1 ; 2 2 m m m    ) thuộc (C). Khoảng cách từ M đến  : 3 6 0x y   là: 2 2 1 1 3 ( 2 ) 6 4 8 2 2 ( ; ) 103 1 1 4( 2) 1 1 1 1 2 102 (2 2 ) .2 2 2 . 2 2 510 10 10 m m m m m d M m m m m m m                         Khoảng cách từ M đến  : 3 6 0x y   nhỏ nhất bằng 2 10 5 , xẩy ra khi 2 5 1 24 2 4( 2) 1 32 2 m m m m m                Vậy toạ độ M là: 5 5 3 5 ( ; );( ; ). 2 2 2 2    Ví dụ 14: Cho hàm số 2 3 cos 4 sin 7 ( ) 1 x x y f x x       có đồ thị (C). Tìm  để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất.
  • 14. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 14 Phân tích bài toán: Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất đẳng thức Buanhiacopski để đƣ ra giá trị lớn nhất, từ đó tìm đƣợc  . Bài giải: Ta có: 2 3 cos 4 sin 7 4sin 3cos 7 3 cos 4sin 3cos 1 1 x x y x x x                   Từ đó ta dễ có tiệm cân xiên của đồ thị hàm số là: (3cos ) 4sin 3cos (3cos ) 4sin 3cos 0y x x y             . Khoảng cách từ O(0;0) đến tiệm cân xiên  là: 2 2 2 3 4.sin . 10 cos 4sin 3cos 10 ( ; ) 9cos 1 sin 10cos d O               Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacopski ta có: 2 2 2 2 2 9 (4 )(sin 10cos ) 13 1010( ; ) 10sin 10cos d O           Khoảng cách lớn nhất từ O(0;0) đến tiệm cân xiên  là 13 10 10 Khi sin 4 40 40 tan arctan( ) ,( ) 3 3 310.cos 10 k k             Vậy 40 arctan( ) ,( ) 3 k k    . Ví dụ 15: Giả sử  là tiếp tuyến tại M(0;1) của đồ thị hàm số 2 1 ( ) 1 x y f x x     (C). Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ điểm đó đến  là nhỏ nhất. Phân tích bài toán:
  • 15. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 15 Bước 1: Tìm phƣơng trình tiếp tuyến  . Bước 2: Dùng phƣơng pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách nhỏ nhất trên miền (1; ) . Bài giải: Ta có: 2 3 ' (1 ) y x   . Phƣơng trình tiếp tuyến  là: 3 1y x  . Gọi 0 0 0( ; ) ( )( 1)N x y C x  có khoảng cách tới  nhỏ nhất. Thế thì 0x là nghiệm của phƣơng trình: 0 0 02 00 23 '( ) 3 3 2 0(1 ) x y x x xx          Vậy toạ độ điểm cần tìm là N(2;-5). BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hàm số 3 2 ( ) 2 12 13y f x x mx x     . Tìm để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu cách đều trục Oy. Bài 2: Cho hàm số 2 1 ( ) 3 x y f x x     có đồ thị (C). Tìm toạ độ M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 3: Cho hàm số 4 7 ( ) 2 1 x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến các đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 4: Cho hàm số 5 8 ( ) 3 2 x y f x x     có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách giữa hai trục toạ độ là nhỏ nhất. Bài 5: Cho hàm số 2 5 ( ) 3 2 x y f x x      có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất. Bài 6: Cho hàm số 2 ( ) 2 x y f x x     có đồ thị (C). Tìm M trên (C) cách đều hai trục toạ độ.
  • 16. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 16 Bài 7: Cho hàm số 1 ( ) 2 x y f x x     có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. Bài 8: Cho hàm số 2 ( ) 3 x y f x x     có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Bài 9: Cho hàm số 2 2 5 ( ) 2 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 10: Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 11: Cho hàm số 2 2 2 ( ) 1 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 12: Cho hàm số 2 5 ( ) 2 x x y f x x      có đồ thị (C). Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M bất kỳ trên (C) đến các tiệm cận là hằng số. Bài 13: Cho hàm số 2 5 ( ) 2 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất. Bài 14: Cho hàm số 2 ( ) 1 x y f x x    có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 15: Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của (C) Các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất. Bài 16: Cho hàm số 2 3 7 1 ( ) 2 1 x x y f x x       có đồ thị (C). Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chung nhỏ nhất.
  • 17. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 17 Bài 17: Cho hàm số 2 2 3 5 ( ) 1 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để khoảng cách từ M đến trục hoành gấp 3 lần khoảng cách từ M đến trục tung. Bài 18: Cho hàm số 2 4 7 18 ( ) 2 5 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đƣờng tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 19: Cho hàm số 2 3 5 ( ) 2 2 x x y f x x      có đồ thị (C). Tìm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là lớn nhất. Bài 20: Cho hàm số 2 2 sin 3 cos 6 ( ) 1 x x y f x x       có đồ thị (C). Tìm  để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên là lớn nhất. Bài 21: Cho hàm số 2 4 sin 5 cos 11 ( ) 2 x x y f x x       . Tìm  để khoảng cách từ A(-1;0) đến tiệm cận xiên là lớn nhất. C. KẾT QUẢ I. Kết quả nghiên cứu Thông qua hệ thống các bài toán về khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số ở trên, ta thấy khi gặp các vấn đề trở nên đơn giản hơn rất nhiều, dễ vận dụng, không quá phức tạp với học sinh. Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đƣa ra hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tƣơng đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn. Hầu hết các em vận dụng tốt. II. Kiến nghị Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo, nhất là các sáng kiến đổi mới phƣơng pháp giảng dạy cần đƣợc tập hợp trong một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh đƣợc tham khảo.
  • 18. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 18 MỤC LỤC A. ĐẶT VẤN ĐỀ......................................................................Trang 1. I. Lời mở đầu............................................................................Trang 1. II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu...........................................Trang 1. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.......................................................Trang 2. I. Các giải pháp thực hiện........................................................Trang 2. II. Biện pháp tổ chức thực hiện...............................................Trang 2. 1. Kiến thức chuẩn bị................................................................Trang 2. 2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.............Trang 2. C. KẾT QUẢ.............................................................................Trang 17. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa hình học 10 Nâng cao. 2. Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao. 3. Sách bài tập Đại số - Giait tích 12 Nâng cao. 4. Hàm số tập 1. Tác giả: Phan Huy Khải. 5. Hàm số tập 1. Tác giả Trần Phƣơng. 6. Báo toán học và tuổi trẻ. 7. Các đề thi đại học môn toán từ 2002 - 2012. 8. Nguồn khác: Internet. XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 09 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của ngƣời khác. Mai Văn Ngọc
  • 19. Sáng kiếnkinh nghiệm môn Toán Năm học 2012 - 2013 Giáo viên: Mai Văn Ngọc THPT Hoàng Lệ Kha 19