Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang Huy

Béton Armé I
Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Département GCU
Cours de 3ème année
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr.Ing.
qnguyen@insa-rennes.frVersion 1.5
©nguyenquanghuy2017

2
Table des matières
• Chapitre 1: Introduction
• Chapitre 2: Propriétés du béton
• Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature
• Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
• Chapitre 5: Bases générales de la flexion
• Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
• Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures
• Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures

3
Chapitre 1:
Introduction
1.1 Généralités
1.2 Historique
1.3 Eurocodes
1.4 Ouvrages de référence

4Chapitre 1:
Introduction
1.1 Généralités
- Le béton est un mélange dans des proportions préétablies de liant (ciment), avec des granulats
(sable, gravier, pierrailles) et de l'eau.
- On distingue trois catégories principales de béton selon son application structurale :
 le béton non armé (construction de grands barrages massifs)
 le béton armé
 Le béton précontraint
Répartition des constituants d’un béton courant
Le béton armé résulte de l’idée d’associer un matériau
économique résistant bien à la compression mais peu à la
traction, le béton, avec des armatures en acier pour créer
un matériau composite possédant des caractéristiques de
résistance, de ductilité et de durabilité suffisantes pour
réaliser des structures porteuses.

5Chapitre 1:
Introduction
1.1 Généralités
- Avantages principaux:
 la liberté dans le choix des formes;
 le caractère monolithique de ces structures : Les joints de dilatation sont espacés et le système possède,
de par son hyperstaticité, une importante réserve de capacité portante;
 la bonne durabilité;
 la bonne résistance au feu;
 la bonne résistance aux efforts accidentels;
 l’économie réalisée grâce à l’utilisation de matières premières peu coûteuses (granulats, ciment et eau).
 l‘économie d’entretien: les constructions en béton armé ne nécessitent aucun entretien tandis que les
constructions métalliques ont besoins d’être peintes régulièrement.
- Inconvénients
 l’influence défavorable du poids propre élevé sur les structures de grandes portées et sur les fondations;
 une isolation thermique faible, d’où la nécessité de prévoir des mesures de protection supplémentaires
pour les parois extérieures des bâtiments;
 la brutalité des accidents : les accidents qui surviennent d’un ouvrage en béton armé sont en général
soudains ou brutaux, en général ces accidents sont dus à des erreurs de calculs ou de réalisations;
 la difficulté de modification d’un ouvrage déjà réalisé : il est difficile de modifier un élément déjà réalisé.

6Chapitre 1:
Introduction
1.2 Historique
- 1824 J. Aspdin, anglais, invente le ciment Portland (brevet anglais). Ce liant hydraulique joue un rôle essentiel
dans le béton ”moderne”.
Entre 1850 et 1880, on assiste aux premiers développements du béton armé. Les recherches sont
menées simultanément dans plusieurs pays, dont la France:
- 1848 J.L. Lambot imagine d'associer des barres d'acier et du béton de ciment pour réaliser une barque
(exposition et brevet en 1855).
- 1849 J. Monier, un jardinier de Versailles, utilise un procédé analogue pour fabriquer des caisses pour fleurs.
On lui attribue l'invention du BA qui a ensuite été exploité en Allemagne par l'entreprise MONIER BETON
BRAU (brevet déposé en 1868).
- 1852 F. Coignet immeuble en béton avec fers profilés enrobés (mémoire sur l’utilité des tirants de fer dans le
béton, publié en 1861).
Entre 1880 et 1910, on note les premières réalisations importantes ainsi que des théories et des essais:
- 1892 F. Hennebique, E. Coignet structures monolithiques (planchers nervurés, poutres continues, ossatures).
- 1899 S. Boussiron pont routier en arc.
- 1910 P. Séjourne tablier d’un pont routier.
- 1886 G. Wayss premières bases théoriques et applications.
- 1893 S. de Mollins séries d’essais à Lausanne.
- 1849W. Ritter cours ETH sur la méthode Hennebique.
- 1902 E. Mörsch première théorie du béton armé, essais a Zurich (1901-1908) et Stuttgart (1916-1939).

7Chapitre 1:
Introduction
1.2 Historique
Entre 1880 et 1940, on constate l’apparition des premières idées propres à la précontrainte :
- 1886 P. Jackson, 1888 W. Döhring, 1907 M. Koenen premiers brevets et essais aux USA et en Allemagne; sans
succès, car les effets différés du béton annulaient la précontrainte.
- 1919 W.Wettstein, 1923 R. Dill premières applications avec des aciers de précontrainte de très hautes nuances.
- 1927 R. Färber dispositifs permettant le glissement des aciers de précontrainte lors de la mise en tension.
- 1939 F. v. Emperger utilisation côte à côte d’armatures passives et actives (précontrainte partielle).
Entre 1930 et 1950, on construit les premières réalisations en béton précontraint:
- 1928 E. Freyssinet premier brevet, applications aux poteaux électriques en 1930.
- 1934 F. Dischinger, 1937 U. Finsterwalder brevets pour la précontrainte extérieure (non adhérente), applications aux
ponts routiers en 1937 et 1938.
- 1938 K. Lenk H. Lütze après essais de grande échelle en 1935 et 1937, passage supérieur sur l’autoroute (l=33 m),
suivi d’un pont auto-routier en 1941.
- 1938 E. Hoyer banc de précontrainte (fils adhérents).
- 1940 E. Freyssinet procédé de précontrainte par câbles (fils ancrés par cônes en béton).
- 1945 E. Freyssinet six ponts sur la Marne (Luzancy, Esbly ...);
- 1948 BBRV câbles composés de fils ancrés au moyen de boutons matés à froid, pont routier en 1950.
- 1948 P.W. Abeles ponts routiers en précontrainte partielle.
- 1949 Dywidag câbles avec barres à filets laminés.
- 1949 Bau-Leonhardt câbles concentrés composés de torons.
- 1949 F. Leonhardt pont routier continu sur plusieurs travées.
- 1950 F. Leonhardt pont-rail continu sur plusieurs travées.
- 1950 U. Finsterwalder premier pont construit par encorbellement.

8Chapitre 1:
Introduction
1.3 Eurocodes
Liste des Eurocodes
EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures
EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton
EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier
EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton
EN 1995 Eurocode 5 : Conception et calcul des structures en bois
EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des ouvrages en maçonnerie
EN 1997 Eurocode 7 - Calcul géotechnique
EN 1998 Eurocode 8 - Calcul des structures pour leur résistance aux séismes
EN 1999 Eurocode 9 - Calcul des structures en aluminium

9Chapitre 1:
Introduction
EN 1990 Eurocode 0
Bases de calcul
EN 1991 Eurocode 1
Actions
EN 1992
Eurocode 2
Béton
EN 1993
Eurocode 3
Acier
EN 1994
Eurocode 4
Acier-béton
EN 1995
Eurocode 5
Bois
EN 1996
Eurocode 6
Maçonnerie
EN 1999
Eurocode 9
Aluminium
EN 1997
Eurocode 7
Géotechnique
EN 1999
Eurocode 8
Séisme
Sécurité structurale, aptitude au
service, durabilité et robustesse
Actions et charges sur les
structures
Conception, dimensionnement
et dispositions constructives:
règle de calcul pour différents
matériaux
Calcul géotechnique et
sismique
Lien entre les Eurocodes

10Chapitre 1:
Introduction
1.4 Ouvrages de référence
 NF EN 1990 Eurocode 0: bases de calcul des structures
 NF EN 1991 Eurocode 1: Actions sur les structures
 NF EN 1992 Eurocode 2: Calcul des structures en béton
 CEB-FIP Model Code 1990: Design code
 Béton armé, application de l’Eurocode 2. Ronan NICOT
 Calcul des structures en béton. Jean-Marie Paillé
 Pratique de l’Eurocode 2. Jean Roux
 Le béton armé selon Eurocodes 2. Yannick Sieffert
 Traité de béton armé selon l’Eurocode 2. Jean-Armand Calgaro

11
Chapitre 2: Propriétés des bétons
2.1 Généralités
2.2 Résistance en compression
2.2.1 Classes de résistance
2.2.2 Effet de la durée du chargement sur la résistance
2.2.3 Résistance moyenne du béton en compression à 28 jours
2.2.4 Résistance de calcul en compression
2.3 Résistance à la traction
2.4 Module d’élasticité et coefficient de Poisson
2.4.1 Module « sécant » de déformation instantanée
2.4.2 Module d’élasticité « tangent » à l’origine
2.4.3 Coefficient de Poisson
2.5 Effet du temps sur la résistance et le module d’élasticité
2.5.1 Développement de la résistance en compression
2.5.2 Développement de la résistance en traction
2.5.3 Développement du module d’élasticité
2.6 Diagramme contraintes-déformations
2.6.1 Diagramme pour l’analyse structurale
2.6.2 Diagramme pour le calcul des sections
2.7 Récapitulatif des caractéristiques de résistance et de déformation du béton
2.8 Déformation différées dans le temps: Fluage et Retrait
2.8.1 Fluage
2.8.2 Retrait
2.9 Dilatation thermique

12Chapitre 2: Propriétés du béton
2.1 Généralités
Le béton hydraulique est un mélange de liant (ciment), d’eau et de
granulat, dosé de façon à obtenir au moment de la mise en œuvre une
consistance convenable, et, après durcissement, les qualités requises.
Ces qualités sont les suivantes :
• Résistance mécanique, essentiellement résistance à la compression
simple.
• Résistance aux agents agressifs, eau de mer, eau séléniteuse, acides,
etc ...
• Résistance au feu
• Déformabilité, instantanée et surtout différée.
• Ouvrabilité au moment de la mise en œuvre.
• Certaines qualités spéciales, telles que la masse spécifique, aussi
élevée que possible (béton lourd) ou aussi faible que possible (béton
léger), une faible conductivité thermique, une bonne résistance à
l’abrasion, une bonne étanchéité, etc ...
• Les ouvrages en béton sont plus économiques à construire et à
entretenir.
Béton hydraulique:
liant = ciment
Béton bitumineux:
liant = bitume

2.2 Résistance en compression
2.2.1 Classes de résistance
• L’EC2 définit la résistance caractéristique en compression du
béton comme la valeur de la résistance correspondant à une
probabilité au plus égale à 5% de ne pas être atteint (p=5%).
(EC2-1-1 §3.1.2. (1)P)
• L’EC2 définit deux types de résistance : la résistance
mesurée sur cylindres et la résistance mesurée sur cubes.
• Les classes de résistance de l’EC2 sont basées sur la
résistance caractéristique mesurée sur cylindre, fck,
déterminée à 28 jours. (EC2-1-1 §3.1.2.(2)P)
• L’EC2 limite son domaine d’application aux bétons de
résistance caractéristique inférieure ou égale à 90 MPa.
• Pour les ponts, l’EC2 recommande de retenir Les classes de
résistance entre Cmin = C30/37 et Cmax = C70/85.
Béton C25/30:
fck= 25 MPa la résistance caractéristique à la
compression sur cylindre;
fck,cube =30 MPa la résistance à la
compression sur cube.

2.2.2 Effet de la durée du chargement sur la résistance
La résistance à la compression du béton dépend de la durée du chargement. A contrainte élevée, deux
phénomènes antagonistes se produisent:
• la résistance du béton augmente dans le temps du fait que la réaction d’hydratation du ciment se poursuit
(durcissement avec le temps);
• lorsque le béton est soumis à des contraintes de compression élevées (proche de la rupture), une micro-
fissuration se produit et se propage lentement.
Influence de la durée de chargement
sur la résistance à la compression
Résistance à la compression du béton
soumis à des contraintes de longue durée
 Pour un béton chargé à l’âge de 28 jours la résistance au chargement de longue durée correspond environ
80% de celle sous une charge de courte durée
 La résistance aux chargements de longue durée dépend de l’âge du béton lors de l’application de la charge.

2.2.3 Résistance moyenne du béton en compression à 28 jours, 𝑓𝑐𝑚
2.2.4 Résistance de calcul en compression
• La résistance de calcul en compression est définie comme (EC2-1-1 § 3.1.6 (1)P)
où:
𝛾c est le coefficient généralement fixé à 1,5 sauf en accidentel où il est pris égal à 1,2;
𝛼cc est un coefficient (compris entre 0.8 et 1) tenant compte des effets à long terme sur la résistance en
compression et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliqué.
Note: la valeur de 𝛼cc à utiliser dans un pays donné peut être fournie dans son Annexe Nationale. La valeur
recommandée par l’EC2 est 𝛼cc = 1 pour la partie Bâtiment et 𝛼cc = 0,85 pour la partie Ponts.
La France reconduit 𝜶cc = 1 (Bâtiments & Ponts) dans son Annexe Nationale.


 ck
cd cc
c
f
f

  ck
cd
c
f
f
 cm ck 8(MPa)f f

16
2.3 Résistance à la traction
 Résistance moyenne 𝑓 𝑐𝑡𝑚
La résistance à la traction du béton à 28 jours, 𝑓 𝑐𝑡, est déterminée par des essais de traction directe.
En l’absence des données, la résistance moyenne est donnée par:
• Pour les béton de classe C12/15 à C50/60: 𝑓 𝑐𝑡𝑚 = 0,3 (𝑓 𝑐𝑘)2/3
• Pour les classes supérieures à C50/60: 𝑓 𝑐𝑡𝑚 = 2,12 ln(1 + 𝑓𝑐𝑚 /10)
 Les valeurs caractéristiques de la résistance en traction sont (EC2-1-1 §3.1.2 (3)):
• Valeur caractéristique intérieure: 𝑓𝑐𝑡𝑘,0,05 = 0,7 𝑓𝑐𝑡𝑚 (fractile 5%)
• Valeur caractéristique supérieure: 𝑓𝑐𝑡𝑘,0,95 = 1,3 𝑓𝑐𝑡𝑚 (fractile 95%) (cette valeur n’est plus utilisée
dans l’Eurocode)
Chapitre 2: Propriétés du béton

17
Détermination de la valeur de la résistance à la traction 𝑓 𝑐𝑡 de manière indirecte
• par essai de flexion pure d’une éprouvette prismatique à base carrée, non armée:
• soit par essai de fendage diamétral d’une éprouvette cylindrique (« essai brésilien » ou « splitting ») :

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 Résistance de calcul en traction 𝑓 𝑐𝑡𝑑
La résistance de calcul en traction est définie comme (EC2-1-1 § 3.1.6 (2)P)
avec 𝛼ct = 1 (valeur reconduite en Annexe nationale) et 𝛾c est le coefficient
généralement fixé à 1,5 sauf en accidentel où il est pris égal à 1,2
 Résistance à la traction en flexion 𝑓 𝑐𝑡𝑚,fl (EC2-1-1 § 3.1.1 (1))
Pour évaluer le moment provoquant la première fissure (à l’ELS), l’EC2 définit une résistance à la traction en
flexion 𝑓 𝑐𝑡𝑚,fl :
où h est la hauteur de l’élément exprimée en mm (h > 100 mm).



ctk, 0,05
ctd ct
c
f
f
   
   
   
ctm,fl ctm ctmmax 1,6 ;
1000
h
f f f

19
2.4 Module d’élasticité et coefficient de Poisson
Dans le domaine quasi linéaire (phase 1), la relation contraintes-déformations se définie par un module d’élasticité
𝐸 𝑐 conformément à la loi de Hooke:
2.4.1 Module « sécant » de déformation instantanée
 c c cE
Pour une contrainte de courte durée d’application ( t<24h )
et au plus égale à 0,4𝑓𝑐𝑚, l’EC2 définie, pour les calculs
de la déformation instantanée, un « module sécant » égal
à:
 
   
 
0.3
cm 22000 (MPa)
10
cmf
E
Remarque: La valeur du module d’élasticité ne dépend pas uniquement de la classe du béton mais aussi de la
nature des granulats. Il peut être corrigé par le facteur multiplicateur suivant:

20
2.4.2 Module d’élasticité « tangent » à l’origine
Pour évaluer la déformation à long terme, l’EC2 définie un module tangent:
2.4.3 Coefficient de Poisson
Le coefficient de Poisson est le rapport entre la déformation
transversale relative et la déformation longitudinale relative :
Il varie selon la résistance du béton, de 0,15 à 0,25. Vu sa faible influence, on lui attribue, dans les
calculs, une valeur moyenne 𝑣=0,2.
En BA, ce coefficient intervient surtout dans le calcul des dalles où il prend les valeurs (EC2 § 3.1.4 (4))
 1,05c cmE E

21
2.5 Effet du temps sur la résistance et le module d’élasticité
2.5.1 Développement de la résistance en compression 𝑓cm
EC2-1-1 § 3.1.2

22
Résistance de calcul: fcd ou fcd(t) ?
L’EC2 ne permet pas de retenir une résistance de calcul fcd plus élevée à un âge t > 28 jours: il limite donc
fck(𝑡) à fck (EC2-1-1 § 3.1.2 (5))
Remarques:
• La formule fck(t) = fcm(t) – 8 n’est valable que pour t < 28 jours.
• On peut évaluer fcm(t) pour t > 28 jours, mais cette valeur n’est pas utilisée pour définir fck. La résistance
fcm(t) n’est utilisable que pour les justifications des structures en non linéaire: flèches, rotules, etc.

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0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
0
10
20
30
40
50
Age du béton [mois]
résistanceencompressionfcm
[MPa]
0 10 20 30 40 50 60
0
10
20
30
40
50
X: 1
Y: 13
Age du béton [jour]
résistanceencompressionfcm
[MPa]
X: 2
Y: 19.15
X: 3
Y: 22.73
X: 4
Y: 25.18
X: 5
Y: 27
Béton C30
Ciment classe N
Exemple: évolution de la résistance en compression du béton C30 au cours du temps
Observation: à deux jours
après la prise le béton
atteint 50% de la
résistance en compression
à 28 jours

24
2.5.2 Développement de la résistance en traction
EC2-1-1 § 3.1.2
La résistance caractéristique en traction pour t < 28 jours est déterminée par:
2.5.3 Développement du module d’élasticité (EC2-1-1 § 3.1.3 (3))
Pour le module d’élasticité moyen à une âge différent de 28 jours, L’EC2 retient:
Ecm(t) et fcm(t) sont les valeurs à l'âge t (jours) et Ecm et fcm les valeurs déterminées à 28 jours.
 
 
 
ctk, 0,05 ctm
ctd ct ct
c c
( ) 0.7 ( )
( )
f t f t
f t

25
2.6 Diagramme contraintes-déformations
On distingue deux sortes de diagrammes:
• L’un utilisé pour l’analyse structurale non-linéaire
• L’autre pour le calcul des sections
2.6.1 Diagramme pour l’analyse structurale
 calcul des rotules, des flèches, retrait
Dans le cas d’analyses non linéaires pour le calcul des
rotules, des flèches, retrait l’EC2 retient le diagramme
contraintes-déformations défini par l’équation de la loi 𝜎𝑐
en fonction de la déformation relative et de fcm
(EC2-1-1 § 3.1.5 (1)) :
𝜎𝑐

26
 Analyse au second ordre des bâtiments (EC2-1-1 § 5.8.6 (3))
L’EC2 retient la loi contrainte déformation (3.14) mais où l’on remplace dans l’expression de k la valeur de fcm par
fcd et la pente Ecm par Ecd = Ecm /1,2
 Analyse non linéaire des ponts (EC2-2 § 5.7)
L’EC2 retient le diagramme contrainte-déformation à partir de l’expression (3.14) mais dans laquelle, pour la va
leur de k, il y a lieu de remplacer fcm par 𝛾cf fck avec 𝛾cf = 1,1 𝛾𝑠 / 𝛾𝑐 (=1,1x1,15/1,5=0,85).

27
2.6.2 Diagramme pour le calcul des sections
L’EC 2 retient pour l’étude des sections, soumises à la flexion, des diagrammes plus simples, du type parabolique
ou bilinéaire.
 Diagramme parabole-rectangle (EC2-1-1 § 3.1.7 (1))
Diagramme parabole-rectangle
1,5

28
 Diagramme bilinéaire (EC2-1-1 § 3.1.7 (2))
L’EC2 permet d’utiliser également des diagrammes bilinéaires dans lesquels la parabole est remplacée par une
droite.
 Cas du béton confiné (EC2-1-1 § 3.1.9(2))
0
00c3
ck 0
00c3 ck
cu3 cu2
1,75 pour le béton de classe C50/60
50
1,75 0,55 ( ) pour 50
40
f
f


 
 

  


29
2.7 Récapitulatif des caractéristiques de résistance et de déformation du béton
Classes de résistance du béton

30
2.8 Déformations différées dans le temps: Fluage et Retrait
( )sh t
( )t ( )t

Reprise
Spécimen sans chargé Spécimen chargé Spécimen déchargé
sh
déformation du retraitsh
(âge du béton)t0t
1t
1t
e = déformation élastique initiale
f = déformation du fluage

(âge du béton)t
(âge du béton)t
2t
charge
décharge
élastique reprise
fluage reprise
sh   
• On constate que la déformation d’une éprouvette de
béton soumise à une contrainte de compression
uniaxiale constante augmente au cours du temps
 le fluage.
• On constate également qu’une éprouvette non-
chargée, subira également des déformations évoluant
dans le temps liées à une diminution de volume
 le retrait.
La déformation dans le temps d’une éprouvette chargée
axialement à l’âge t0 sous une contrainte de compression
constante 𝜎0 en une somme de trois termes:
• ε 𝑐(𝑡) est la déformation totale au temps 𝑡
• ε 𝑐𝑖(𝑡0, 𝜎0) est la déformation instantanée produite au
temps 𝑡0 lors de l’application de la contrainte 𝜎0
• ε 𝑐𝑐(𝑡, 𝑡0, 𝜎0) est la déformation de fluage au temps 𝑡
• ε 𝑐𝑠(𝑡, 𝑡𝑠) est la déformation du retrait au temps t
• 𝑡𝑠 étant du béton au commencement du retrait
0 0 0 0( ) ( , ) ( , , ) ( , )  c ci cc cs st t t t t t     

31
2.8.1 Fluage (creep)
Le fluage du béton est défini comme étant l’augmentation graduelle dans le temps de sa déformation relative sous
une contrainte appliquée. Lorsque cette contrainte est maintenue constante dans le temps, on parle de fluage
intrinsèque.
2.8.1.1 Types de fluage
• le fluage de base (basic creep) ; c’est un fluage qui se produit sans aucun échange d’humidité entre
l’élément de structure chargé et l’air ambiant;
• le fluage de dessiccation ; ce fluage peut être défini comme un fluage additionnel qui se produit lorsque le
béton sous charge est soumis à des conditions de séchage.
2.8.1.2 Effets du fluage
• Augmentation des flèches;
• Relaxation des contraintes;
• Résistance ultime.
2.8.1.3 Paramètres affectant le fluage
• instant t considéré pour évaluer son effet;
• âge du béton lors de la mise en charge t0;
• rapport eau/ciment et, indirectement, la résistance du béton;
• vitesse de durcissement du ciment;
• température et l’humidité relative ambiantes;
• niveau des sollicitations appliquées. Influence de l’intensité et de la durée du
chargement sur le fluage

32
2.8.1.3 Fonction de fluage et coefficient de fluage
• Dans la plage de contrainte correspondant à l’ELS (𝜎𝑐 ≤0,45.fcm) le béton se comporte comme un matériaux
visco-élastique linéaire. La déformation de fluage est donc liée linéairement au niveau de contrainte.
• La déformation de fluage à l’instant t pour une contrainte donnée et appliqué à t0:
𝜑 𝑡, 𝑡0 est fonction de l’humidité ambiante, de la classe du béton, du type du ciment et du rapport h0=2Ac/u où Ac
représente l’aire de la section et u son périmètre (voir Annexe B de l’EC2-1-1 pour plus de détails)
• La déformation totale dépendante de la contrainte:
où: 𝐽(𝑡, 𝑡0) est la fonction de fluage (ou compliance)
𝐸 𝑐𝑚(𝑡) est le module d’élasticité du béton à l’âge correspondant au moment du chargement 𝑡0

 0 0( , ) ( , ) oùc
cc
c
t t t t
E
𝜑 𝑡, 𝑡0 est le coefficient de fluage
𝐸𝑐 est le module tangent à 28 jours


    
 
     
  
0
0 0 0 0 0 0
( , )1
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
( )c ci cc c c
cm c
t t
t t t t t t J t t t
E t E

33
2.8.1.4 Principe de superposition
• les déformations relatives produites
par un incrément de contrainte
appliquée à n’importe quel instant ti
ne sont pas affectées par les
contraintes appliquées
antérieurement ou postérieurement.
• la déformation due à une contrainte
𝜎c(t) variant dans le temps en
décomposant l’histoire des
contraintes en petits incréments ∆𝜎c
appliqués aux moments 𝜏i et de
sommer leurs effets. On obtient
alors une expression du type :
Principe de superposition des déformations dues au fluage
          
0
0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( , )d ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
t n
c c c c i c i
it
t t J t t t J t J t t t J t t

34
2.8.1.5 Modèle de prédiction du fluage de l’EC2
 Coefficient de fluage pour des contraintes de compression modérée (≤ 0,45 fck) (Annexe B de l’EC2-1-1)
 Coefficient de fluage pour des contraintes de compression plus fortes (EC2-1-1 §3.1.4(4))
Si la contrainte de compression dépasse 0,45 fck, l’EC 2 demande de retenir un fluage non linéaire grâce à la
formule suivante :
Abaque de l’EC2
c
k 0 0
ck 0
( ,t ) ( ,t )exp 1.5 0.45
f (t )
  
         
  

35
2.8.2 Retrait (shrinkage)
Le retrait du béton est défini comme une diminution de volume au cours de son durcissement indépendamment
de tout chargement.
2.8.2.1 Types de retrait
• Le retrait plastique
• Le retrait chimique
• Le retrait thermique
• Le retrait hydrique
• Le retrait de carbonatation
2.8.2.2 Effets du retrait
• Redistributions significatives des efforts internes;
• Cause de fissuration;
2.8.2.3 Facteurs dont dépend le retrait
• Le dosage en ciment;
• Les rapports Eau/Ciment et Granulat/Ciment;
• L’humidité relative du milieu RH;
• La dimension des pièces.

36
2.8.2.4 Modèle de prédiction du retrait de l’EC2 (EC2-1-1 §3.1.4(6))
Le retrait total εcs est dû au retrait εcd de dessiccation du béton et au retrait εca provoqué par la réaction endogène
du béton:
• L’évolution de retrait de dessiccation:
• La déformation due au retrait endogène:
où:
Note: La formule de εcd,0 est donnée dans l’Annexe B.2 de l’EC2-1-1

37
2.9 Dilatation thermique (EC2-1-1 §3.1.3(5))
Comme c’est le cas pour la plupart des matériaux, le volume d’un élément en béton augmente avec la
température. L’augmentation de la longueur ∆𝐿 d’un élément de longueur 𝐿 suite à une variation de température
∆𝑇 vaut:
• Le coefficient de dilatation thermique 𝛼cT dépend de la composition du béton et de la température. Pour les
besoins du calcul, lorsque la dilatation thermique n’a pas de conséquence majeure, ce coefficient est pris égal
à 10x10-6 K-1.
• Si la détermination précise de la dilatation thermique est nécessaire, et si le type de granulats est connu, le
coefficient de dilatation thermique peut être déduit des valeurs mentionnées au tableau suivant:
       . .cT cT cTL L T T

38
Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature
3.1 Généralités
3.2 Types d’acier
3.3 Différentes formes d’armature
3.3 Caractéristiques mécaniques
3.3.1 Résistance à la traction
3.3.2 Module d’élasticité, coefficient de Poisson et masse volumique
3.3.3 Ductilité
3.4 Diagramme contrainte-déformation conventionnel

39Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature
3.1 Généralités
Les armatures classiques utilisées pour le béton armé sont caractérisées par:
 leur type:
– fils
– barres
– treillis soudés
 leur géométrie:
– les dimensions ( diamètre, ...)
– l’état de surface.
 leurs propriétés mécaniques:
– la résistance, la limite d’élasticité
– la ductilité
– le comportement à la fatigue
– le comportement à haute température
 leur mode de fabrication:
– aciers laminés à chaud
– aciers étirés ou écrouis à froid
– aciers subissant un traitement thermique (aciers trempés auto-revenu)

40
3.2 Types d’acier
On distingue quatre types d’acier pour armature, du moins au plus écroui :
1. Les aciers doux, sans traitement thermique ayant une valeur caractéristique de la limite élastique
garantie de 125 ou 235MPa. Ce sont les ronds lisses (noté ∅), qui ne sont plus utilisés que pour faire
des crochets de levage en raison de leur très grande déformation à la rupture (allongement de 22%).
2. Les aciers laminés à chaud, naturellement durs, dit aciers à haute adhérence de type I. Ce type d’acier
a une limite d’élasticité garantie de 400MPa et un allongement à la rupture de 14%.
3. Les aciers laminés à chaud et écrouis avec faible réduction de section (par traction-torsion), dits aciers à
haute adhérence de type II. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 500MPa et un
allongement à la rupture de 12%.
4. Les aciers laminés à chaud par tréfilage (forte réduction de section), fortement écrouis, utilisés pour
fabriquer les treillis soudés et fils sur bobines. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de
500MPa et un allongement à la rupture de 8%.
Diagrammes contrainte-déformation d’essais de
traction sur les différents types d’acier d’armature.
Les quatre types d’acier ont le même comportement
élastique, donc un même module de Young de Es =
200 000MPa. La déformation à la limite élastique
est voisine de 0,2%, en fonction de la valeur de la
limite d’élasticité.

41
3.3 Différentes formes d’armature
 Les barres: les barres laminés à chaud sous forme de:
• ronds lisses bruts de laminage (le type « lisse »
n’existe plus);
• barres à haute adhérence à surface latérale munie de
nervures obliques régulièrement espacées (barres HA)
On peut trouver des barres de longueur variant de 6 m à 14 m
pour les diamètres normalisés suivants (en mm):
 Les fils: Les armatures sous forme de fils sont stockées sur des bobines. Les fils servent principalement à la
réalisation de treillis soudés, de cadres, d’épingles et d’étriers en usine de façonnage d’armatures, ou pour le
ferraillage d’éléments préfabriqués tels que les prédalles BA ou BP. On trouve des diamètres de 6 à 12mm et
se sont généralement des aciers à haute adhérence (fils HA).
 Les treillis soudés: Les TS sont utilisés pour ferrailler rapidement des éléments plans, tels que les voiles,
dalles et dallages. Ils sont disponibles en rouleaux ou en panneaux et sont composés d’aciers à haute
adhérence.
Barres HA

42
3.3 Caractéristiques mécaniques
3.3.1 Résistance à la traction
On caractérise la résistance à la traction des aciers au moyen des trois grandeurs suivantes mesurées lors d’un
essai de traction:
• La résistance à la traction ft
• La limite d’élasticité fy
• L’allongement sous la charge maximale εu
Lorsque l’on désigne les valeurs caractéristiques de ces propriétés on les note respectivement ftk, fyk et εuk.
Rappel: La valeur caractéristique, fyk, de la limite d’élasticité correspond à une probabilité au plus égale à 5 % de
ne pas être atteinte. Elle fait l’objet d’un contrôle permanent en usine (EC2-1-1 § 3.2.4 et Annexe C).
3.3.2 Module d’élasticité, coefficient de Poisson et masse volumique (EC2-1-1 § 3.2.7)
Pour les barres d’armatures l’EC2 retient Es = 200 000 Mpa ; 𝜗s=0,3 et 𝜌s= 7850 kg/m3

43
3.3.3 Ductilité
L’EC2 (Annexe C1) définit trois classes de ductilité pour les armatures:
• Aciers à ductilité normale A: Ce sont les laminés à froid ou tréfilés ;
• Les aciers à haute ductilité B: Ce sont les laminés à chaud;
• Les aciers à très haute ductilité C

44
3.4 Diagramme contrainte-déformation conventionnel
L’EC2 adopte deux types de diagrammes contraintes-déformations pour les calculs (EC2-1-1 § 3.2.7 (2))
Remarque: La France utilise la valeur
recommandée de l’EC2 pour 𝜀ud
Classe fyd (Mpa) εud Es (MPa) Esh (MPa) fud (MPa)
acier A 435 0,0225 200000 1111 458
acier B 435 0,045 200000 842 471
acier C 435 0,0675 200000 1034 503

45
Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.1 Généralités
4.2 Modèles structuraux
4.2.1 Idéalisation de la structure
4.2.2 Portée utile des poutres et des dalles dans les bâtiments
4.2.3 Ecrêtement des moments sur appuis
4.2.4 Largeur participante des tables de compression
4.3 États limites
4.3.1 États limites ultimes ELU
4.3.2 États limites de service ELS
4.4 Notions d’actions
4.4.1 Valeurs caractéristiques des actions
4.4.2 Valeurs caractéristiques des actions permanentes Gk
4.4.3 Valeurs caractéristiques des actions variables Qk
4.4.4 Valeurs de calcul des actions variables Ad
4.5 Combinaisons d’actions
4.5.1 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites ultimes
4.5.2 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites de service
4.5.3 Valeurs caractéristiques des charges d’exploitation
4.6 Méthodes de calcul
4.6.1 L’analyse linéaire élastique
4.6.2 L’analyse linéaire élastique avec redistribution
4.6.3 L’analyse non linéaire
4.6.3 L’analyse plastique

46Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.1 Généralités
 Le calcul de toute structure comprend deux étapes:
• La première appelée analyse (A), consiste à déterminer les efforts intérieurs (moments, efforts normaux
et efforts tranchants) qui sollicitent la structure.
• La deuxième, appelée dimensionnement (D), peut avoir deux buts: déterminer les dimensions des
éléments en béton ainsi que les quantités d’armatures nécessaires, ou vérifier si les dimensions définies
préalablement sont suffisantes.
 Lors de la conception d’une structure, ces différentes étapes sont souvent menées de manière récursive:
 L’analyse d’une structure soumise à des charges statiques se base sur le développement des familles
d’équations suivantes:
• Les conditions d’équilibre.
• Les relations de compatibilité des déformations.
• Les lois de comportement des matériaux.
 Le but final du dimensionnement sera de vérifier que la structure répond aux conditions liées aux Etats Limites
Ultimes (ELU) et aux Etats Limites de Service (ELS).
Analyse Dimensionnement Vérification

4.2 Modèles structuraux
Afin de réaliser l’analyse structurale, il est nécessaire de transformer, à des fins de calcul, la structure réelle en
un modèle mécanique idéalisé qui est analysé en utilisant les outils que procure la théorie de la résistance des
matériaux. Cette opération est appelée modélisation.
Tour Phare – La Défense (92) Modèle structural

4.2.1 Idéalisation de la structure
 Poutres: on appelle poutre tout élément horizontal dont la longueur est supérieure à 3 fois de la hauteur.
 Dalles: on appelle dalle tout élément horizontal dont la plus petite dimension est supérieure à 5 fois de
l’épaisseur.
 Poteaux: on appelle poteau tout élément vertical dont le plus grand côté de la section est inférieur à 4 fois son
plus petit côté et dont la hauteur est supérieure à 3 fois sa plus grande dimension transversale.
 Murs (voiles): on appelle mur tout élément vertical qui n’est pas un poteau : a > 4b avec b épaisseur du mur ;
et h, la hauteur, est grande devant le petit côté a.
 Poutre-cloison: on appelle poutre-cloison tout élément horizontal dont la longueur est inférieure à 3 fois de la
hauteur.
b
h
l
 3l b
x
l
y
l  x y
l l e
e
b
a
h
 

4
3
a b a
h b
a
b
h
 4a b
Poutre
Dalle
Poteau
Mur
  5x yl l e
 3l h

4.2.2 Portée utile des poutres et des dalles dans les bâtiments (EC2-1-1 §5.3.2.2(1))
 L’EC2 définit la portée utile des poutres et des dalles par leff :
avec: ln la porté entre nus des appuis; a1 et a2 sont fonction de l’épaisseur t de l’appui et de sa nature

• Les dalles et poutres continues peuvent généralement être analysées en considérant que les appuis ne créent
pas de gêne à la rotation.
• Lorsqu'une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre
comme moment de calcul le moment au nu de l'appui. Il convient que le moment au nu de l'appui ne soit
pas inférieur à 0,65 fois le moment d'encastrement.
4.2.3 Ecrêtement des moments sur appuis (EC2-1-1 §5.3.2.2(4))
Lorsqu'une poutre ou une dalle est continue au droit d'un appui supposé ne pas créer de gêne à la rotation (au
droit d'un voile, par exemple), les moments sur appuis calculés avec des portées entre axes peuvent être
minorés d’une valeur:
Note: Cette règle est
appliquée seulement dans
le cas où la poutre ou la
dalle ne forme pas un
ensemble monolithique
avec l’appui.

4.2.4 Largeur participante des tables de compression (EC2-1-1 §5.3.2.1)

4.3 États limites
Les états limites sont des états au-delà desquels un ouvrage ne satisfait plus aux exigences de comportement du
projet. On distingue deux groupes d’états limites:
• États limites ultimes (ELU) qui concernent la sécurité des personnes, de la structure vis-à-vis de la ruine
(effondrement).
• États limites de service (ELS) qui concernent l’aptitude au service de la structure (qualité d’utilisation).
4.3.1 États limites ultimes ELU
Ils correspondent au maximum de la capacité portante de l’ouvrage ou d’un de ses éléments par:
• perte de stabilité d’une partie ou de l’ensemble de la structure assimilée à un corps rigide (perte d’équilibre
statique).
• rupture d’une ou de plusieurs sections critiques de la structure.
• transformation de la structure en un mécanisme déformable.
• instabilité de forme ou flambement.
• détérioration par effet de fatigue
Remarque: Il faut noter que le dimensionnement d’une structure ne doit pas nécessairement inclure la vérification
explicite de tous ces états-limites. Seuls ceux qui sont réellement pertinents vis-à-vis du dimensionnement de
l’ouvrage en question feront l’objet d’une vérification détaillée. A titre d’exemple, l’état-limite de fatigue ne sera
généralement pas décisif lors du dimensionnement d’un bâtiment courant.

4.3.2 États limites de service ELS
Les états limites de service définissent les conditions que doit satisfaire l’ouvrage pour que son usage normal et
sa durabilité soient assurés.
Dans le cas du béton armé le dépassement des ELS peut consister en:
• flèches excessives qui nuisent à l’aspect de l’ouvrage ou à son utilisation effective ou encore provoquent des
dommages aux finitions ou aux éléments structuraux.
• une fissuration excessive du béton qui risque de nuire à l’aspect de l’ouvrage, ou à sa durabilité ou à son
étanchéité.
• l’endommagement du béton par une compression excessive, susceptible de réduire la durabilité.
• des vibrations affectant le confort des usagers, entrainant des dommages à l’ouvrage ou à son contenu, ou
encore limitant l’efficacité de son fonctionnement.
Les exigences relatives aux états limites de services seront définies en fonction des conditions d’environnement
ou classes d’exposition en ce qui concerne la durabilité des ouvrages, et de performances en ce qui concerne
leur utilisation (pour plus de détail voir chapitre 7).

4.4 Notions d’actions
L’EC0 distingue trois classes d’action, en fonction de leur variation dans le temps ou la fréquence de leur
occurrence:
• les actions permanentes (G) - les actions continues ou pratiquement continues dont l’intensité est constante
ou très peu variable dans le temps: le poids propre des structures, les équipements fixes et les revêtements
de chaussée, et les actions indirectes provoquées par un retrait et des tassements différentiels.
• les actions variables (Q) - les actions dont l’intensité et la forme peut varier de manière importante dans le
temps: charges d’exploitation des bâtiments, les actions du vent, les charges de neige ...
• les actions accidentelles (A) - les actions qui ont une très faible probabilité d’occurrence (période de retour
très longue) : le séisme, les explosions, les chocs des véhicules.
Remarques:
 Les actions dues à l’eau peuvent être considérées comme permanentes et/ou variables, selon la variation de
leur grandeur dans le temps.
 Certaines actions, telles que les actions sismiques (EC8) et les charges de la neige (EC1), peuvent être
considérées comme accidentelles et/ou variables, en fonction du lieu.
 Les valeurs à considérer pour les actions sont définies dans l’EC1.
Les actions peuvent être classées selon:
• leur origine, comme direct ou indirecte
• leur variation spatiale, come fixe ou libre
• leur nature et/ou la réponse structurale, comme statique ou dynamique.

4.4.1 Valeurs caractéristiques des actions
La valeur caractéristique d’une action est sa principale valeur représentative, et doit être spécifiée comme valeur
moyenne, valeur inférieure ou supérieure, ou nominale.
Remarque: Conformément à l’EC0 et l’EC1 toutes les valeurs caractéristiques sont indicées avec la lettre « k »
4.4.2 Valeurs caractéristiques des actions permanentes Gk
La valeur caractéristique d’une action permanente doit être déterminée de la façon suivante:
• si la variabilité de G peut être considérée comme faible, une valeur unique de Gk peut être utilisée (une
variabilité faible se situe dans la fourchette 0,05 à 0,10);
• si la variabilité de G ne peut pas être considérée comme faible, deux valeurs doivent être utilisées: une valeur
supérieure Gk,sup et une valeur inférieure Gk,inf.
4.4.3 Valeurs caractéristiques des actions variables Qk
La valeur caractéristique d’une action variable doit correspondre soit:
• à une valeur supérieure correspondant à une probabilité recherchée de ne pas être dépassée ou une valeur
inférieure correspondant à une probabilité recherchée d’être atteinte, pendant une certaine durée de
référence;
• à une valeur nominale, qui peut être spécifiée dans des cas où il n’existe pas de distribution statistique
connue.
4.4.4 Valeurs de calcul des actions variables Ad
Il convient que la valeur de calcul Ad d’une action accidentelle soit spécifiée pour les projets individuels.

4.5 Combinaisons d’actions
Qk,1 = valeur caractéristique de l’action variable dominante
Qk,i = valeur caractéristique des actions variables d’accompagnement
Gkj,sup = valeur caractéristique de l’action permanente défavorable (effet de même sens que celui de l’action
variable dominante)
Gkj,inf = valeur caractéristique de l’action permanente favorable (effet de sens contraire à celui de l’action variable
dominante)
4.5.1 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites ultimes (ELU)
a- Combinaisons d’actions en situation durable ou transitoire (EC0 §6.4.3.2)
Par simplification, pour les bâtiments, les combinaisons d’actions à considérer sont les suivantes:
• Lorsque l’on ne considère que l’action variable la plus défavorable:
• Lorsque l’on considère toutes les actions variables:

b- Combinaisons accidentelles (EC0 §6.4.3.3)
• Pour les situations de projets accidentelles
• Pour les situations de projet sismiques

4.5.2 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites de service (ELS) (EC0 §6.5.3)
a- Combinaison caractéristique:
b- Combinaison fréquente:
c- Combinaison quasi permanente:
Par simplification, pour les bâtiments, la combinaisons d’action caractéristique peut s’écrire:
• Lorsque l’on ne considère que l’action variable la plus défavorable:
• Lorsque l’on considère toutes les actions variables:

4.5.3 Valeurs caractéristiques des charges d’exploitation

4.6 Méthodes de calcul
L’analyse structurale peut être basée sur quatre modèles de comportements :
• Comportement élastique : c’est l’analyse linéaire utilisable à l’ELU et à l’ELS ;
• Comportement élastique avec redistribution limitée : utilisable à l’ELU;
• Comportement plastique : utilisable à l’ELU;
• Comportement non linéaire : c’est la méthode d’intégration des courbures, utilisable l’ELU et à l’ELS.
Remarque: Des analyses complémentaires locales peuvent être nécessaires pour étudier des points particuliers
comme:
 Les appuis ou les nœuds de poutres ou poteaux-poutres
 Les charges concentrées
 Les zones d’ancrage
On distingue quatre types d’analyse
• L’analyse linéaire élastique;
• L’analyse linéaire élastique avec redistribution;
• L’analyse non linéaire;
• L’analyse plastique.

4.6.1 L’analyse linéaire élastique
• Le modèle doit suivre la théorie de l’élasticité linéaire, c’est-à-dire la résistance des matériaux (RDM).
• On retient la rigidité initiale qui correspond à l’inertie non fissurée et, pour le module béton, la valeur Ecm et les
diagrammes contrainte-déformation linéaires.
4.6.2 L’analyse linéaire élastique avec redistribution
• Le modèle doit suivre la théorie de l’élasticité linéaire, mais avec des redistributions assez limitées des
moments sur appuis.
• La redistribution des moments sur appuis en travée peut également s’envisager sous réserve de s’assurer
que les sections critiques ont une capacité de rotation suffisante pour supporter cette redistribution.
• L’EC2 indique que cette méthode peut s’appliquer à l’ELU.
M 
2
ELU / 8M p L
ELUp
L L
Diagramme de
moment RDMDiagramme de
moment redistribué

Article 5.5 de l’EC2

4.6.3 L’analyse non linéaire
• La théorie non linéaire tient compte du comportement non linéaire du matériau et/ou de la géométrie (analyse
du second ordre) et ne s’applique qu’à l’ELU.
• Ce type d’analyse requière généralement l’utilisation de méthodes de calcul numériques itératives
• Principe:
 On se base sur la RDM pour déterminer le moment M à chaque section. Par ce moment M, on évalue
par un calcul classique de flexion à l’ELU les raccourcissements de la fibre comprimée et l’allongement
des aciers.
 On détermine la courbure
1
𝑟
=
𝜀 𝑐+𝜀 𝑠
𝑑
et la rotation par intégration des courbures 𝜃 =
1
𝑟
𝑑𝑥
 On vérifie alors si θ < θlim
Remarque: Cette méthode présente une
certaine incohérence, car, en augmentant les
sollicitations jusqu’à la rupture des sections
critiques, le moment peuvent être
considérablement redistribués par rapport à
l’analyse élastique. Par ailleurs, elle donne
toujours des résultats du coté de la sécurité.

4.6.3 L’analyse plastique
• Cette analyse se base sur la théorie plastique des éléments suffisamment ductiles pour qu’on envisage des
rotules plastiques.
• C’est une méthode exclusivement applicable à l’ELU.
Notion de rotule plastique
 La ligne moyenne d’une poutre soumise à un moment
croissant prend une courbure:
 La section la plus sollicitée résiste d’abord
proportionnellement au moment extérieur M jusqu’à ce que
ce moment atteigne la valeur du moment de plastification MP
 Une fois atteint MP, cette section ne rompt pas, mais elle
continue à se déformer tout en équilibrant MP
 La poutre tourne autour de cette section, et ne se rompt
qu’une fois atteint le point ou sa capacité de déformation est
épuisée.
 Cette section se comporte comme une rotule plastique.
2
2
1 d
d
v
r x

P
pMRotule
plastique
p2
p pv

Règles simples pour mener une analyse plastique (EC2-1-1§5.6.2)
L’EC 2 permet de mener une analyse plastique sans justifier la capacité des rotules plastiques, sous réserve de
vérifier que les dispositions suivantes sont respectées:
• aciers à haute ductilité, de classe B ou C;
• 0,5 ≤ 𝑀𝑎/𝑀𝑡 ≤ 2 avec Ma le moment sur appui et Mt le moment en travée;
• calcul à l’ELU en limitant la hauteur comprimée, soit x/d ≤ 0,25 si béton de classe ≤ C50 et x/d < 0,15 si béton
de classe > C55.
Capacité de rotation des rotules plastiques
Pour vérifier les capacités de rotation des éléments
pour les poutres ou les dalles portant dans une
direction, l’EC2 admet, à titre de simplification, de
considérer que la capacité de rotation de la rotule
plastique intéresse une longueur de l’élément de
l’ordre de 1,2 fois sa hauteur:
 0.6
0
0.61
d

 
h
c s
u
h
x
r d
 


68
Chapitre 5: Bases générales de la flexion
5.1 Généralités
5.2 Comportement d’une poutre menée à la rupture par flexion simple
5.2.1 Section trop faiblement armée
5.2.2 Section trop fortement armée
5.3 Équations fondamentales
5.3.1 Les conditions d’équilibre
5.3.2 Les conditions de compatibilité
5.3.3 Les lois contrainte-déformation de l’EC2
5.4 Déformation d’une section à l’ELU: Règles de trois pivots de l’EC2
5.5 Domaine d’application pratique du calcul des sections à la rupture

69Chapitre 5: Bases générales de la flexion
5.1 Généralités
• Effets de flexion au sens large: les sollicitations produisant uniquement des contraintes normales parallèles à
l’axe longitudinal des pièces linéaires (poutres, poteaux, portiques …)
• Les sollicitations considérées comprennent; l’effort normal 𝑁 𝑥 et les moments de flexion 𝑀 𝑦 et 𝑀 𝑧

70
5.2 Comportement d’une poutre menée à la rupture par flexion simple
Considérons une poutre de section rectangulaire suffisamment
élancée simplement armée à la fibre inférieure et soumise à
flexion simple
Si la poutre est «bien dimensionnée», elle se comporte
suivant quatre régimes au fur et à mesure de l’augmentation
du moment de flexion:
• Phase de comportement élastique
• Phase de formation des fissures
• Phase de stabilisation de la fissuration
• Phase de plastification

71Chapitre 5: Bases générales de la flexion
5.2.1 Section trop faiblement armée
• Dans ce cas le moment de fissuration 𝑀𝑟 > moment de
plastification des armatures 𝑀𝑦.
• L’effort de traction dans le béton qui provoque la fissure
est supérieur à la résistance des armatures qui traverse
celle-ci  rupture brutale.
• Ce type de comportement fragile doit être absolument
évité  condition de non-fragilité 𝑀𝑦 > 𝑀𝑟
• C’est la raison pour laquelle l’EC2 fixe les quantités
minimales d’armatures (voir EC2-1-1 §7.3.2)
5.2.2 Section trop fortement armée
• Dans ce cas la résistance de la zone de béton
comprimée n’est pas suffisante pour que l’on puisse
atteindre la plastification des armatures (𝑀𝑢 < 𝑀𝑦)
 Rupture prématurée  comportement non ductile
• L’armature n’est pas exploitée à sa résistance maximum
 Cette situation est peu économique  il faut l’éviter
• C’est la raison pour laquelle l’EC2 fixe des imposions
sur la hauteur maximum de la zone de béton comprimé
à l’ELU en flexion simple (EC2-1-1 §5.6.3(2))
Comportement d’une poutre BA trop faiblement armée
Comportement d’une poutre BA trop fortement armée

72
5.3 Équations fondamentales
5.3.1 Les conditions d’équilibre
• Équilibre des forces
• Équilibre des moments
où:
M et N = efforts internes, calculés par rapport au centre de gravité G de la section homogène non fissurée
Fs1 = résultante des efforts de traction dans les armatures tendues
Fs2 = résultante des efforts de compression dans les armatures comprimées
Fc = résultante des efforts de compression dans le béton
Fsc = Fs2 + Fc
z = distance entre Fsc et Fs1
a = distance du centre de gravité G au centre de gravité des armatures tendues
  1sc sN F F
1sA
2sA
1sF
c
czd
d
scF
2sF
cF
zh
G
M
N
a
axe neutre
       1 ( )sc sM z F a N z F z a N

73
5.3.2 Les conditions de compatibilité
Les conditions de compatibilité s’écrivent:
  
  
 
1 21 c s s
r x d x x d
Hypothèse de Euler-Bernoulli: Les
sections planes restent plans après
déformation.
Compatibilité en flexion simple
1sA
2sA
1/r
 1s
 2s
c
x
d
d
où:
• 1/𝑟 courbure de la section droite;
• 𝑥 la hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la
plus comprimée;
• 𝑑 la hauteur utile, distance du centre de gravité de
𝐴s1 à la fibre la plus comprimée;
• 𝑑’ distance du centre de gravité de 𝐴s2 à la fibre de
béton la plus comprimée;
• 𝐴s1 l’aire des armatures tendues;
• 𝐴s2 l’aire des armatures comprimées éventuelles

74
5.3.3 Les lois contrainte-déformation de l’EC2
avec
 
  
 
   
 
    
 
  
2
2 2
2 2
2 si
si
c c
c cd c c
c c
c cd c c cu
f
f
Pour un béton de classe < C55
  0 0
2 200 00
2 3.5c cuet
 
   
    
 
   
si
si
s s s s yd
s cd sh s yd s yd
E
f E
200000MPa
1111MPa pour les aciers type A
842MPa pour les aciers type B
s
sh
sh
E
E
E



Diagramme de calcul pour l’acier des armatures
𝜀 𝑦𝑑
sE
sE
avec
Diagramme de calcul pour le béton
(parabole-rectangle)
1,5

75
5.4 Déformation d’une section à l’ELU: Règle de trois pivots de l’EC2
Pour les calculs à l’ELU, on suppose qu’un point de la droite de déformation dans la section est fixé. Ce point
s’appelle le pivot.
• Le pivot A correspond à un allongement de l’acier le plus tendu 𝜀𝑠 = 𝜀 𝑢𝑑
• Le pivot B correspond à un raccourcissement de la fibre de béton la plus comprimée 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢2 ou 𝜀𝑐𝑢3
• Le pivot C correspond à un raccourcissement de la fibre de béton à la distance
de la fibre la plus comprimée 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐2 ou 𝜀𝑐3

76
5.5 Domaine d’application pratique du calcul des sections à la rupture
• Pour un dimensionnement:
Étant donné des sollicitations de calcul (NEd ; MEd), quelles sont les dimensions de la section et quelles
sont les armatures nécessaires pour que la section puisse résister à ces efforts ?
• Lors d’une vérification:
Étant donné une section en béton armé dont les dimensions et les armatures sont définies, peut-elle
résister à un effort normal NEd et un moment de flexion MEd ?
Le principe de vérification consiste à déterminer les efforts internes résistants NRd, MRd correspondants aux états
de déformations de la section à l’état-limite ultime afin de fixer les frontières d’un domaine à l’intérieur duquel on
sait que la section n’a pas atteint la rupture.
La vérification de la section à l’ELU consiste à vérifier les conditions suivantes:


Ed Rd
Ed Rd
N N
M M

77
6.1 Généralités
6.2 Flexion simple à l’ELU
6.2.1 Hypothèses fondamentales
6.2.2 États de déformation à l’ELU
6.2.3 Condition de non fragilité: section minimale d’armatures
6.2.4 Limitation de la hauteur de la zone comprimée
6.2.5 Section maximale d’armatures
6.2.6 Sections rectangulaires, problèmes de dimensionnement
6.3 Sections rectangulaires sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU
6.3.1 Notations et coefficients adimensionnels
6.3.2 Diagramme rectangulaire simplifié pour le béton
6.3.3 Détermination des coefficients de remplissage et de centre de gravité
6.3.4 Commentaires sur la Clause 3.1.7(3) vis-à-vis l’utilisation du diagramme rectangulaire
6.3.5 Relations de base
6.3.6 Moments frontières
6.3.7 Dimensionnement de l’armature tendue
6.3.8 Calcul du moment résistant
6.3.9 Calcul des dimensions de la section et l’armature
6.4 Sections rectangulaires avec armatures de compression
6.4.2 Calcul des quantités des armatures tendues et comprimées (éventuelles)
6.4.3 Calcul du moment résistant
6.4.4 Calcul de l’armature tendue dans le cas où les aciers comprimées sont connus
6.5 Sections en T sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU
6.5.1 Moment de référence
6.5.2 Calcul des armatures
6.6 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des sections
rectangulaires ou en T à l’ELU
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU

78
6.1 Généralités
• Un élément est soumis à la flexion simple si les sollicitations se réduisent à un moment fléchissant M et un
effort tranchant V.
• En BA on distingue:
 l’action du moment M qui conduit au dimensionnement des armatures longitudinales
 l’action de l’effort tranchant qui concerne le dimensionnement des armatures transversales
• Quand on parle de la section en flexion simple en BA  les calculs relatifs au moment fléchissant M
• Le choix entre ELU et ELS pour dimensionner la section soumise à la flexion dépend de la limite des
ouvertures des fissures admise par l’Eurocode 2
Remarque: La valeur de 0,3 mm correspond à une fissuration préjudiciable au sens du BAEL91, celle de 0,2 mm
correspond à une fissuration très préjudiciable et celle de 0,4 correspond à une fissuration peu préjudiciable.
Limite des
ouvertures des
fissures
0,40 mm ou
pas de limite fixée,
sauf demande des
DPM
0.3 mm 0.2 mm
Dimensionnement ELU ELU (ou ELS) ELS
Vérification ELS ELS (ou ELU) inutile

79
6.2 Flexion simple à l’ELU
6.2.1 Hypothèses fondamentales
• Les sections planes restent planes
• Il n’y pas de glissement à l’interface béton-armatures
• Le béton tendu est négligé
• L’aire des aciers est concentrée en son centre de gravité
• Les contraintes se déduisent de la règle des trois pivots
6.2.2 États de déformation à l’ELU
6.2.3 Condition de non fragilité: section minimale d’armatures (EC2-1-1 §9.2.1.1(1))
• Lorsque la quantité d’armature dans une section en béton armé est très faible, on risque de se trouver dans la
situation où le moment de flexion nécessaire pour provoquer la fissuration est supérieur au moment résistant
ultime de la section  comportement « fragile » à éviter.
• Pour cela, l’EC2 fixe une quantité minimale d’armature tendue à prévoir dans une poutre:
Le diagramme des déformations passe:
• soit par le pivot A
• soit par le pivot B
mais pas par le pivot C car ceci est en
contradiction avec les hypothèse de
flexion simple
A
B
h
 2cu
0ud 1% yd
1 2
3
4 5
traction compression
 2c
2'

80
6.2.4 Limitation de la hauteur de la zone comprimée
• La capacité de rotation plastique d’un élément en béton armé soumis à un moment de flexion simple dépend
essentiellement de l’allongement plastique de l’armature tendue à la rupture dans la section critique.
• Dans le cas d’une section fortement armée, cette capacité de rotation diminue de manière importante.
• La diminution de capacité d’allongement de l’armature s’accompagne d’une augmentation de la hauteur de la
zone comprimée. En effet, dans de telles sections, l’aire de béton nécessaire pour équilibrer l’effort de traction
dans les armatures tendues devient importante.
• Afin de garantir une ductilité suffisante des éléments de la structure à l’ELU (comportement plastique), l’EC2
définit les limites suivantes (EC2-1-1 §5.6.3(2)):
 𝑥 𝑢/𝑑 ≤ 0,45 pour les béton de classe de résistance ≤ C50/60
 𝑥 𝑢/𝑑 ≤ 0,35 pour les béton de classe de résistance ≥ C55/67
6.2.5 Section maximale d’armatures (EC2-1-1 §9.2.1.1)
L’EC2 impose que la section des armatures tendues et comprimées
dans une poutre ne doivent pas dépasser 4% de l’aire de la section
en béton, hors zones de recouvrement:
6.2.6 Sections rectangulaires, problèmes de dimensionnement
• Quelle est l’armature As à prévoir dans une section dont les dimensions sont fixées pour obtenir le moment
résistant souhaité.
• Quel est le moment résistant MRd d’une section en béton armée dont les dimensions et l’armature sont fixées.
• Quelles sont les dimensions b, h et l’armature As à donner à la section pour obtenir un moment résistant
souhaité.
d
ux
cu
su
,max 0,04s cA A

81
6.3 Sections rectangulaires sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU
6.3.1 Notations et coefficients adimensionnels
• 𝑥 𝑢 = hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée
• 𝑓 𝑐𝑑 = 𝑓𝑐𝑘/1,5 résistance de calcul pour un béton de classe 𝑓 𝑐𝑘
• 𝑓 𝑦𝑑 = 𝑓𝑦𝑘/1,15 résistance de calcul pour un acier de limite élastique 𝑓 𝑦𝑘
• 𝑀 𝐸𝑑 = moment sollicitant à l’ELU
• 𝑀 𝑅𝑑 = moment résistant à l’ELU
• 𝐹 𝑐 = résultante des efforts de compression dans la zone de béton comprimé
• 𝐹 𝑐0 = résultante des efforts de compression sous une contrainte uniforme égale à 𝑓 𝑐𝑑
• Hauteur de la zone comprimée réduite 𝛼 𝑢 = 𝑥 𝑢/𝑑
• Pourcentage mécanique d’armature 𝜔 =
𝐴 𝑠
𝑏𝑑
𝑓 𝑦𝑑
𝜂𝑓 𝑐𝑑
• Moment réduit 𝜇 𝐸𝑑 =
𝑀 𝐸𝑑
𝑏𝑑2
𝜂𝑓𝑐𝑑
• 𝜆: coefficient de hauteur utile
• 𝜂: coefficient de résistance effective

82
6.3.2 Diagramme rectangulaire simplifié pour le béton (EC2-1-1 §3.1.7(3))
L’EC2 admet l’emploi d’un diagramme rectangle simplifié à la place du diagramme parabole-rectangle. Le
coefficient λ, définissant la hauteur utile de la zone comprimée, et le coefficient η, définissant la résistance
effective, valent :
d
ux
cu
su
c
B
y
A.N. c 2c  2cu
cdf
y
c
y
 cdf
 uxzone
comprimée
déformations
Contraintes
parabole-rectangle
Contraintes
rectangulaire
simplifiée
c
cdf
y
 3c  3cu
Contraintes
bilinéaire
𝜆

83
6.3.3 Détermination des coefficients de remplissage et de centre de gravité
• Coefficient de remplissage 𝜓 = 𝐹𝑐/𝐹𝑐0
• Coefficient de centre de gravité 𝛿 𝐺, le coefficient qui fixe la distance 𝛿 𝐺 𝑥 𝑢 de 𝐹 𝑐 à la fibre la plus comprimée
 
   
 
   
   
   
   
   
   
  
       
 
  

2
2
2 2 2
2 2
22
2
2
4
pour : 3 &
3 4 3
2 23
pour : &
3 4 3
cu cu c cu
cu c G
c c c cu
cu c cucu c
cu c G
cu cu cu c
• si le pivot est A, 𝜓 et 𝛿 𝐺 dépendent de 𝛼 𝑢
• si le pivot est B et pour le béton ≤ C50 on a 𝜀 𝑐2=2‰, et 𝜀 𝑐𝑢 = 3,5‰  𝜓 = 0,81 et
𝛿 𝐺 = 0,416  On peut substituer au diagramme parabole-rectangle un diagramme
rectangulaire simplifié
Béton de classe ≤ C50:
d
u ux d
  2cu c
A.N.
zone
comprimée
 cu cdf
G ux
cz
b   2cu c  cu cdf
G ux
cz
cdf
0.5 ux
 0c cF F
0c u cdF b x f
 0c cF F
2cas 1: cu c  2cas 2: cu c 

84
• Cette clause n’est pas très claire. Si le pivot est B  c’est évidence que «l’on peut admettre un diagramme
rectangulaire… »
• Peut-on le faire dans le cas du pivot A ?
6.3.4 Commentaires sur la Clause 3.1.7(3) vis-à-vis l’utilisation du diagramme rectangulaire simplifié
 G
G

cu




0.8
0.4G
 Avec le diagramme
rectangulaire on a pour
les béton ≤C50

85
• Comparaison entre les armatures calculées avec le diagramme parabole-rectangle et le diagramme
rectangulaire
𝑤 =
𝐴 𝑠
𝑏𝑑
𝑓 𝑦𝑑
𝑓𝑐𝑑
𝜇 𝐸𝑑 =
𝑀 𝐸𝑑
𝑏𝑑2 𝑓 𝑐𝑑
Conclusion: dans tous les cas de pivot, on peut substituer au diagramme parabole-rectangle
un diagramme rectangulaire. On utilise désormais le diagramme rectangulaire pour le calcul
de section
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Pourcentage mécanique d'armature
Momentrésistanceréduit
Diagramme parabole-rectangle
Diagramme rectangulaire
AB
PivotB
max

86
Conditions d’équilibre:
Compatibilité de déformations:
Relation contrainte-déformation:
(1 )
2
su
u
yd
Ed u
s c
Ed s c c uc
F F
M F z F
f
z

 

  

 

 



  
u cu
u s
cu
u
cu suu
x
d x


 

  

d
u ux d
su
A.N.
déformations
 ux
  0.5c uz d x
 c u cdF x b f
s s suF A
 cdfcu
zone
comprimée
b
Ed
M
sA
si
( ) sinon
su s su su yd
su yd sh su yd
E
f E
   
  
 
  
𝜀 𝑦𝑑
sE
sE

87
6.3.6 Moments frontières 𝜇 𝐴𝐵 , 𝜇 𝐴𝐶 et 𝜇 𝑚𝑎𝑥
Si l’on veut connaître à l’avance le pivot, il faut calculer le moment de flexion MAB au centre de gravité de
l’armature tendue correspondant à un diagramme de déformation passant à la fois par le pivot A et le pivot B.


 


2
2
cu
AB
cu ud
2
1
2
AB
AB AB AB
cd
M
bd f

  

 
   
 


 


2
2
c
AC
c ud
1
2AC AC AB

  
 
  
 
ABd
A
B
h
 2cu
ud
 2c
C
ACd
d


 
 
max
max
0.45 pour f 50MPa
0.35 pour f 50MPa
ck
ck
maxd
EC2-1-1 §5.6.3(2)
max max max1
2

  
 
  
 
Note: Il faut que 𝜇Ed ≥ 𝜇 𝐴𝐶 sinon la dimension de
la section béton est mal pré-dimensionnée.

88
Moments frontières pour différentes classes des bétons et d’aciers
≤C50 C55 C60 C70 C80 C90
3.5 3.1 2.9 2.7 2.6 2.6
2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
acier A
acier B
acier C
acier A 0.1346 0.1211 0.1142 0.1071 0.1036 0.1036
acier B 0.0722 0.0644 0.0605 0.0566 0.0546 0.0546
acier C 0.0493 0.0439 0.0412 0.0385 0.0371 0.0371
acier A 0.0816 0.0891 0.0927 0.0964 0.1000 0.1036
acier B 0.0426 0.0466 0.0486 0.0506 0.0526 0.0546
acier C 0.0288 0.0316 0.0330 0.0343 0.0357 0.0371
acier A 0.1019 0.0922 0.0872 0.0820 0.0794 0.0794
acier B 0.0561 0.0502 0.0473 0.0443 0.0427 0.0427
acier C 0.0387 0.0345 0.0324 0.0303 0.0292 0.0292
acier A 0.0632 0.0687 0.0714 0.0741 0.0768 0.0794
acier B 0.0335 0.0366 0.0381 0.0397 0.0412 0.0427
acier C 0.0228 0.0249 0.0260 0.0271 0.0282 0.0292
0.2952µmax 0.2408
µAB
µAC
Classe
εcu2 (‰)
εc2 (‰)
αAC
22.5
45
67.5
εud (‰)
αAB

89
6.3.7 Dimensionnement de l’armature tendue A𝑠
1. On calcule le moment réduit 𝜇 𝐸𝑑 =
𝑀 𝐸𝑑
𝑏𝑑2 𝜂𝑓𝑐𝑑
avec
2. Déterminer la position de l’axe neutre: 𝛼 𝑢
3. On calcule la déformation de l’armature 𝜀𝑠𝑢 et en déduit la contrainte 𝜎𝑠𝑢 en utilisant le diagramme de calcul
des aciers
4. On calcule la section d’armature nécessaire
 
    

     
1
(1 ) 1 1 2
2Ed u u u Ed
(1 0.5 )
Ed
s
u su
M
A
d  


Ed AB su ud
Ed AB su cu2
si pivot A
1
si pivot B u
u
   

   

   

   
Classe fyd (Mpa) εud Es (MPa) Esh (MPa) fud Mpa)
acier A 435 0,0225 200000 1111 458
acier B 435 0,045 200000 842 471
acier C 435 0,0675 200000 1034 503
s
udyd
ydf
s
sE
shE
Diagramme à
palier horizontal
Diagramme à palier incliné
su
suudf
En fonction du diagramme de calcul des aciers choisi (diagramme à
palier horizontal ou incliné), on détermine 𝜎𝑠𝑢 correspondant à 𝜀𝑠𝑢
Remarque: il convient de vérifier que 𝜇 𝐸𝑑≤𝜇 𝑚𝑎𝑥 (voir
6.2.6). Dans le cas contraire il faut augmenter les
dimensions de la section béton, la classe du béton ou
ajouter des armatures en compression.

90
Exemple de dimensionnement des armatures longitudinales tendues
Données:
• Caractéristiques mécaniques: béton C35, acier B500B
• Chargements appliqués: G = 16,5 kN/m et Q = 13,75 kN/m
• La poutre forme une construction monolithique avec ses appuis.
Question: Dimensionner les armatures longitudinales?
Calcul préliminaire:
o Combinaison fondamentale des actions à l’ELU:
o Portée utile:
o Hauteur utile:
o Béton C35:
o Acier B500B:
  Ed 1.35 1.5 42,9kN/mp G Q
   eff 1 2 5,5mnuL L a a
 0.9 360mmd h
      cd cu2
35
23,33 MPa; 0.0035 ; 0.8; 1
1,5
f
    yd ud
500
435 MPa; 0.045; 200000 MPa; 842 MPa
1,15 s shf E E

91
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
X: 0.2
Y: -24.33
[m]
Momentfléchissant[kNm]
X: 0.2
Y: 63.52
X: 0.55
Y: 0
X: 5.3
Y: 63.52
X: 3.16
Y: 162.2
X: 2.273
Y: 162.1
X: 2.75
Y: 162.2
Moment fléchissant RdM
Moment fléchissant RdM décalé: al
= 1.125d
Moment fléchissant résultant l'encastrement partiel
t,max 162.2 kNmM
   a t,max0.15 24.3 kNmM M
eff0.1L

92
Section à mi-travée:
  

   
1
1 1 2 0.306u Ed

 


   su cu2
1
0.008 0.002175
ydu
u s
f
E
 
 

1181 mm²
(1 0.5 )
théorique Ed
s
u su
M
A
d
 

     E
2
d
Ed Ed AB162, 0.2 kNm moment réduit 0.021 561 Pivot B5
cdbd f
M
M
Position de l’axe neutre:
Déformation des armatures tendues:
Contrainte dans les armatures tendues:   su 435 MPa (diagramme à palier horizontal)ydf
Aire de la section des armatures tendues:
Choix des armatures longitudinales: 6HA16  1206 mm²réel
sA

93
6.3.8 Calcul du moment résistant MRd
Note: Dans ce qui suit, le diagramme à palier horizontal d’aciers est utilisé.
On procède de la manière suivante :
1. On détermine la position de l’axe neutre:
2. On calcule le moment résistant réduit correspondant à 𝛼 𝑢 :
3. On en déduit
Problème: Trouver MRd pour As, d, b, fcd, fyd fixés
yds
u
cd
fA
bd f

 

   (1 0.5 )Rd u u
max
max
si pivot A
si < pivot B
si attention!!! trop d'armature tendue
u AB
AB u
u
 
  
 
 
 
 
  2
Rd Rd cdM bd f
Application: Calculer le moment résistant de la section à mi-travée  165.2 kNm >Rd EdM M ok

94
6.3.9 Calcul des dimensions de la section b, h et l’armature As
Pour résoudre ce problème, il faut fixer un paramètre complémentaire. On peut donc choisir l’état de déformation
à la rupture correspondant au cas où on atteint à la fois la déformation maximum du béton (pivot B) et
l’allongement maximum de l’armature (pivot A). La section dans ce cas est dite économique.
1. On fixe 𝛼 𝑢 = 𝛼 𝐴𝐵 et 𝜇 𝐸𝑑 = 𝜇 𝑅𝑑 = 𝜇 𝐴𝐵
2. Les dimensions de la section sont déterminées en utilisant la relation:
Si on fixe la largeur b, on peut en déduire la hauteur utile de la section:
3. L’armature nécessaire est obtenue en utilisant l’équilibre de moment:
Problème: Trouver b, h et As tel que MEd ≤ MRd pour MEd, fcd et fyd fixés
 
2 Ed
AB cd
M
bd
f
 
 Ed
AB cd
M
d
b f
(1 0.5 )
Ed
s
AB yd
M
A
d f


Remarque:
On peut également choisir l’état de déformation à la rupture correspondant à la hauteur limite de la zone
comprimée de l’EC2 : 𝛼 𝑢 = 𝛼 𝑚𝑎𝑥 et 𝜇 𝐸𝑑 = 𝜇 𝑅𝑑 = 𝜇 𝑚𝑎𝑥

95
6.4 Sections rectangulaires avec armatures de compression
Lorsque la hauteur limite de la zone comprimée imposée par l’EC2 est dépassée, on est amené à envisager une
des trois solutions suivantes:
• Augmenter les dimensions de la section
• Utiliser un béton de classe supérieure
• Renforcer la section au moyen une nappe d’armatures en compression
Remarques:
• L’adjonction d’une armature de compression dans une section lorsque le pivot est A (𝜇 𝐸𝑑 ≤ 𝜇 𝐴𝐵) n’a pas de
sens du point de vue économique puisque, dans ce cas, le béton n’est pas utilisé au maximum de sa capacité
et la diminution de l’armature inférieure qui s’ensuivrait ne sera pas significative.
• Le recours à une armature en compression n’est habituellement pas une solution économique, il est toujours
préférable d’augmenter les dimensions de la section.
• On aura recours à l’armature en compression que lorsque l’augmentation de la hauteur de la section en béton
n’est pas possible pour d’autres raisons (contraintes architecturales). Ou dans le cas où la section doit être
armée haut et bas car les moments qui la sollicite peuvent s’inverser. Il est alors logique de tenir compte des
deux nappes d’armatures pour optimiser la quantité totale du ferraillage.
• Il convient de ne pas oublier que les dimensions de la section en béton ne dépendent pas uniquement de
critères de résistance à l’ELU. Les dimensions d’une section en BA sont souvent imposées par des critères de
l’ELS qui limitent les déformations (flèches).
Pour ces raisons, on n’analysera que la cas où le plan de déformation passe par le pivot B

96
Notations:
L’équilibre de forces:
L’équilibre de moment:
Compatibilité de déformations:
1 1 2 2
1 2
1 2s su u cd s
su su
u
yd y
su
d
w w
f
A bd A
f
f   
 
  
   2
2 2
2
21 0 1 0..5 ( ) 5 (1 )Ed u u cd s s
su
Ed u u
yd
uM bd f A d wd
f
 

            



2
Ed
Ed
cd
M
bd f



yds
cd
fA
bd f



d
d
2
2 2
2
1 2
1
1 u
su cu
u
u
su cu
u
cu su su
u u ux x d d x

 

 
 

  
  

 




  


1sA
2sA
 cdf
czd
d
 2sc s cF F F
2 2 2s s suF A
 c u cdF bd f
zh
EdM
AN
ud
1 1 1s s suF A
 2cu
 2su
 1su
Note: pour le dimensionnement des armatures, les hauteurs utiles sont : d = 0,9h et d’=0,1h. Ainsi, 𝛿 = 1/9

97
6.4.2 Calcul des quantités d’armatures tendues et comprimées (éventuelles)
La procédure de calcul est la suivante :
1. Si 𝜇 𝐸𝑑 ≤ 𝜇 𝑚𝑎𝑥 , il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée (As2=0). On est ramené au problème
de dimensionnement d’une section rectangulaire avec une armature simple.
2. Si 𝜇 𝐸𝑑 > 𝜇 𝑚𝑎𝑥 , il faut ajouter une nappe d’armature comprimée pour limiter la hauteur de la zone comprimée
pour des raisons de ductilité (EC2-1-1 §5.6.3(2)). On fixe 𝛼 𝑢= 𝛼 𝑚𝑎𝑥
3. On en déduit les déformations et les contraintes dans les armatures
4. La quantité d’armature comprimée est calculée à l’aide de l’équilibre de moment:
5. On en déduit la quantité d’armature tendue:
Problème: Trouver As1 et As2 tel que MEd ≤ MRd pour d, d’, b, fcd, fyd et MEd fixés
2
max
2
2( )
Ed cd
s
su
M bd f
A
d d
 




 
 
max
1 2 1 1
max
max 2 2
2 2 2
max 2
1
si
sinon
su cu su yd sh su yd
yd sh su yd su yd
su cu su
s su
f E
f E
E

    

     
  
 

    
   
  
2 2
1
1
u cd s su
s
su
bd f A
A


  


98
Exemple de dimensionnement des armatures longitudinales tendues et comprimées
Données:
• Caractéristiques mécaniques: béton C35, acier B500A
• Chargements appliqués: G = 25 kN/m et Q = 22 kN/m
• La poutre forme une construction monolithique avec ses appuis.
Question: Dimensionner les armatures longitudinales?
Combinaison fondamentale des actions à l’ELU:
Moment de calcul à mi-travée:
 il faut avoir des armatures comprimées pour limiter la hauteur de la zone comprimée à 0,45𝑑
 (pivot B)
  Ed 1.35 1.5 62,4kN/mp G Q


    Ed
Ed Ed 2 max235.95 kNm moment ré 0.3121duit 0.2952
cd
M
M
bd f
  u max 0.45

99
  


 2 2
1
1
1949mm²théorique u cd s su
s
su
bd f A
A
 


 

2
max
2
2
210 mm²
( )
théorique Ed cd
s
su
M bd f
A
d d

   

 
   


     

    
max
1 2 1
max
max
2 2 2
max
1
0.00427 435 MPa
0.00253
su cu yd su yd
su cu yd su yd
f
f
Les déformations et les contraintes dans les armatures sont:
Aire de la section des armatures comprimées:
Choix des armatures longitudinales comprimées: 3HA12 2 339 mm²réel
sA
Aire de la section des armatures tendues:
Choix des armatures longitudinales tendues: 3HA25 + 3HA16 1 2076 mm²réel
sA

100
6.4.3 Calcul du moment résistant MRd
1. On détermine 𝛼 𝑢 par résolution du système des équations suivant:
2. Le moment résistant est calculé par la formule:
Problème 1: Trouver MRd pour As1, As2, b, d, fcd et fyd fixés
2 2
2
2
2
2
1 2
si
sinon
u
su cu
u
yd su yd
su
s su
su
u
yd
f
E
w w
f
 
 

 




 
 

 



 

 2
2 21 0.5 0.8Rd u u cd s suM bd f d A     
Remarque: Dans ce développement,
• le diagramme contrainte-déformation à palier horizontal d’aciers est utilisé.
• on suppose que
 Le plan de déformation passe par le pivot B
 Les armatures tendues travaillent dans le domaine plastique: 𝜀 𝑠𝑢1 ≥
𝜀 𝑦𝑑
Ces hypothèses signifient que l’on ne se trouve pas dans le cas d’une section
sur-armée. Comme l’un des buts de l’ajout d’une nappe d’armature supérieure
est d’éviter cette situation, ces conditions seront obligatoirement vérifiées lors
du dimensionnement.
2
1 2 2 2 2
1 2 1 2 2
yd cu2
1 1
si sinon 4
1 / 2 2
cu cu cu
u u u
yd yd yd
w w
w w w w w
  
   
       
   
         
   
   

101
6.4.4 Calcul de l’armature tendue dans le cas où les aciers comprimées sont connus
1. On détermine 𝛼 𝑢 par résolution du système des équations suivant:
2. La section d’armature tendue nécessaire est calculée par la formule:
Problème: Trouver As1 tel que MEd ≤ MRd pour As2, d, d’, b, fcd, fyd et MEd fixés
 
2 2
2
2
2
2
2
si
sinon
1 0.5 (1 )
u
su cu
u
yd su yd
su
s su
su
Ed u u
yd
f
E
w
f
 
 

 



   
 
 

 



   

2 2
1
u cd s su
s
yd
bd f A
A
f
  


102
6.5 Sections en T sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU
6.5.1 Moment de référence MTu
Ce moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de la section a une forme
rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zone comprimée a une forme de T.
6.5.2 Calcul des armatures
 cdf

 
   
 
f
Tu eff f
2cd
h
M b h f d
• Si MEd ≤ MTu  La zone comprimée a
une forme rectangulaire de largeur beff et
𝜆𝑥𝑢 ≤ ℎ𝑓  le calcul est similaire à celui
de la section rectangulaire de largeur beff
Problème: Trouver As1 tel que MEd ≤ MRd
pour d, bw, beff, hf, fcd, fyd et MEd fixés

103
• Si MEd > MTu  La table est insuffisante pour équilibrer à MEd. Une partie de la nervure est donc comprimée
𝜆𝑥𝑢 > ℎ 𝑓 . On effectue dans ce cas une décomposition de la section réelle en deux sections fictives:
Conclusion: On est amené à calculer l’armature tendue
nécessaire A1 de la section rectangulaire (1) soumise
à un moment (voir §6.3.7)
1- une section rectangulaire (1)
 de largeur bw;
 de hauteur utile d;
 dont l’armature tendue est constituée par
une fraction A1 de la section totale As;
 qui équilibre une fraction MEd1 du moment
total MEd
2- une section en T (2)
 Avec une table de largeur beff – bw et de hauteur hf
 d’épaisseur nulle
 de hauteur utile d;
 dont l’armature tendue est constituée par une
fraction A2 = As –A1 de la section totale As;
 qui équilibre une fraction MEd2 = MEd-MEd1 du
moment total MEd
 cdf
    

 
 
eff w Tu eff w f cd
Ed2 2
eff
et
su
b b M b b h f
M A
b
 Ed1 Ed Ed2M M M

104
6.6 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des
sections rectangulaires ou en T à l’ELU
1sA
2sA fh
effb
wb
1sA
2sA
1d
2d
wb
Données:
• Dimensions de la section: bw, beff, d1, d2, hf
• Béton: fck, 𝜀cu2 ou 𝜀cu3
• Acier: fyk, fyd, Es, Esh, 𝜀 𝑢𝑑 (diagramme à palier incliné)
• Sollicitations: MEd

50MPackf 
50
0.8
400
50
1
200
ck
ck
f
f



 

 
0.8
1




w effb b
oui
non
f
Tu eff f 2cd
h
M b h f d
 
   
 Section en T
non
Ed TuM Mw effb b oui
Section
rectangulaire
eff w
Ed1 Ed Tu
eff
b b
M M M
b

 
non
Section en T
Ed Ed1M M
Ed
Ed 2
w cd
M
b d f



Données
Ed max 
maxu 
non
s2 0A 
2 2
u
su cu
u
 
 



1 1
yd
su yd sh su
s
f
f E
E
 
 
   
 
 
 eff w f cd2 2
1
1 1
u cd s su
s
su su
b b h fbd f A
A
  
 

 
1 2
1 u
su cu
u

 



2 2
yd
su yd sh su
s
f
f E
E
 
 
   
 
 
 2
2
2
1 0.5
( )
Ed u u cd
s
su
M bd f
A
d d
  

 


 1
1 1 2u Ed 

  
oui s2 0A 
Ed AB 
1su ud 
non Pivot A
Pivot B
oui
1
yd
su
f
Es
 
1 1su s suE 
oui
non
s2 0A 
1 ,min
1 2
Vérifier:
et 0.04
s s
s s c
A A
A A A


Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des
armatures des sections rectangulaires ou en T à l’ELU

106
7.1 Généralités
7.2 Conditions d’environnement
7.3 Exigences de durabilité
7.4 Conditions d’enrobage
7.4.1 Condition sur les exigences d’adhérence
7.4.2 Condition sur la durabilité en fonction de l’environnement
7.5 Exemple: enrobage des armatures sur un pont mixte
Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures

107
7.1 Généralités
• Une structure durable doit satisfaire aux exigences d'aptitude au service, de résistance et de stabilité pendant
toute la durée d'utilisation de projet, sans perte significative de fonctionnalité ni maintenance imprévue
excessive
• La protection requise de la structure doit être établie en considérant l'utilisation prévue, la durée d'utilisation de
projet, le programme de maintenance envisagé ainsi que les actions attendues.
• L'importance éventuelle des actions directes et indirectes, des conditions d'environnement et des effets qui en
résultent doit être prise en considération.
7.2 Classes d’environnement
La conception d’un ouvrage doit permettre de garantir sa durabilité. Un ouvrage doit donc résister aux effets des
conditions d’environnement, actions chimiques et physiques, définies dans la norme NF EN 206-1 d’avril 2004.
• L’action chimique peut provenir de divers facteurs : stockage de liquides, environnement agressif (par
exemple le contact avec des gaz ou solutions chimiques), etc.
• L’action physique peut être due à l’abrasion, au gel, à la pénétration de l’eau, etc.

108Tableau 4.1 : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement,
conformément à l'EN 206-1
Sous chape
d’étanchéité
Béton extérieur

109
Béton soumis à
projections de sels
de déverglaçage
Bord de mer

110
Gel fort
Fondations

111
7.3 Exigences de durabilité (EC2-1-1 §4.3)
• (1)P Pour atteindre la durée d'utilisation de projet requise pour la structure, des dispositions appropriées
doivent être prises afin de protéger chaque élément structural des actions d'environnement concernées.
• (2)P Les exigences de durabilité doivent être prises en compte dans:
— la conception de la structure,
— le choix des matériaux,
— les dispositions constructives,
— l'exécution,
— la maîtrise de la qualité,
— les inspections,
— les vérifications,
— les dispositions particulières
(utilisation d'acier inoxydable,
revêtements, protection cathodique).
Tableau E.1N: Classes indicatives de résistance
pour la durabilité (Annexe E de l’EC 2)

112
7.3 Conditions d’enrobage (EC2-1-1 §4.4.1)
• L'enrobage est la distance entre la surface de l'armature (épingles, étriers et cadres compris, ainsi que
armatures de peau, le cas échéant) la plus proche de la surface du béton et cette dernière.
• Un enrobage minimal est imposé pour assurer :
– une bonne transmission des forces d’adhérence;
– l’absence d’épaufrures;
– une résistance au feu (EC2, partie 1-3);
– la protection des aciers contre la corrosion.
• L’EC2 ne reconduit plus les conditions sur les enrobages en fonction des états de fissuration, comme le
BAEL. Il définit la notion d’enrobage nominal minimal cnom comme suit : c’est l’enrobage minimal cmin basé sur
la NF EN 206-1 augmenté d’une valeur Δcdev correspondant aux tolérances:
• La valeur d’enrobage minimal à utiliser est la plus grande valeur de cmin satisfaisant aux exigences à la fois en
ce qui concerne l'adhérence et les conditions d'environnement:

113
7.3.1 Condition sur les exigences d’adhérence
Si la dimension nominale du plus gros granulat est supérieure à 32 mm, il convient de majorer cmin,b de 5 mm,
alors
7.3.2 Condition sur la durabilité cmin,dur en fonction de l’environnement
L’EC2 impose, sauf spécification contraire des Documents Particuliers du Marché (DPM), d’utiliser la classe
structurale S4 pour les bâtiments et ouvrages de génie civil courants. La classe S4 correspond à une durabilité
de l’ouvrage de 50 ans.

114
Il est possible de réduire ou
d’augmenter la classe structurale. En
effet, l’EC2 laisse à chaque pays la
possibilité de retenir des classes
supérieures, si l’on désire une durée de
vie supérieure à 50 ans, ou des classes
inférieures, si on a recours à des bétons
de qualité supérieure ou si l’entreprise
prouve sa maîtrise de la qualité pour
garantir le respect des enrobages.

115
7.4 Exemple: enrobage des armatures sur un pont mixte
XC3
XC4XC4, XF1
Tablier en zone de gel faible
Chape d’étanchéité
Questions :
– Déterminer la résistance minimale
du béton de structure
– Déterminer la classe structurale
– Choisir l’enrobage d’armatures
Tableau E.1N: Classes indicatives de résistance
pour la durabilité (Annexe E de l’EC 2)
Résistance
minimale du
béton: C30/37

116
• Classe structurale du paroi supérieur: 4 + 2 - 1 = 5  S5
• Classe structurale du paroi inférieur: 4 + 2 - 1 = 5  S5

117
• Enrobage minimal du paroi supérieur:
• Enrobage nominal du paroi supérieur:
avec assurance qualité avec mesure enrobages: Δcdev = 5 mm
• Enrobage minimal du paroi inférieur:
• Enrobage nominal du paroi inférieur:
   min min,b min,dur min, min,st min,add
c max c ;c c c c ;10mm max ;30mm;10mm 30mm
         
ϕ 0 0 0
     nom min dev
c c c 30 5 35mm
   min
c max ;35mm;10mm 35mm
     nom min dev
c c c 35 5 40mm

118
Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures
8.1 Généralités
8.2 Espacement des armatures de béton armé
8.3 Ancrage des barres longitudinales
8.3.1 Contrainte d’adhérence des barres droites
8.3.2 Conditions d’adhérence
8.3.3 Contrainte d’adhérence moyenne
8.3.4 Contrainte ultime d’adhérence
8.3.5 Longueur de « scellement droit »
8.3.6 Longueur d’ancrage droit de référence
8.3.7 Longueur d’ancrage de calcul
8.3.8 Types d’ancrages d’extrémité
8.3.9 Longueur d’ancrage droit de référence
8.3.10 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis intermédiaires
8.3.11 Ancrage des armatures inférieures dans les sections comportant
plusieurs lits d’armatures
8.4.12 Recouvrement des barres longitudinales
8.4 Ancrage des barres transversales

119
8.1 Généralités
• Les armatures dites « longitudinales » sont toujours disposées en lits horizontaux et en files verticales.
• Les files des lits inférieurs et supérieurs doivent se correspondre de façon :
 à réserver des passages verticaux pour la mise en place du béton;
 et à simplifier le tracé des armatures d’âme verticales.
• Les règles données ci-après supposent que les exigences relatives aux enrobages sont satisfaites. Elles ne
s’appliquent pas dans le cas d’un chargement dynamique d’origine sismique ou provoqué par la vibration de
machines, de charges d’impact, ni dans le cas de barres ayant reçu un revêtement époxy ou galvanisées.
Chapitre 8:
Dispositions constructives relatives aux armatures

120
• Dans le cas de groupement de n barres de même
diamètre ∅, la règle précédente s’applique, en prenant en
compte le diamètre équivalent :
où n = nombre de barres du paquet
o n ≤ 4 : barres comprimées ou jonction par
recouvrement
o n ≤ 3 : barres tendues
• Dans le cas de plusieurs lits de barres horizontales, les
barres de chaque lit doivent être situées l’une au-dessus
de l’autre de manière à constituer des files verticales. Un
espace suffisant doit être ménagé entre ces files pour
permettre le passage d’un pervibrateur.
• Les barres d’un recouvrement peuvent être au contact
l’une de l’autre sur la longueur du recouvrement.
8.2 Espacement des armatures de béton armé (EC2-1-1 §8.2)
• Afin de permettre une mise en place et un compactage satisfaisant du béton et ainsi garantir le
développement d’une bonne adhérence, entre barres parallèles isolées ou entre lits horizontaux de barres
parallèles, les espacements libres horizontales eh ou verticales ev doivent être telles que
   
 h v max g
e ou e max ;d 5mm; 20mm
𝜙 𝑚𝑎𝑥 est le diamètre maximal de la barre
dg est la dimension du plus gros granulat
n
n 55mm   
Chapitre 8:

121
8.3 Ancrage des barres longitudinales
Les barres doivent être ancrées de manière à assurer une bonne transmission des forces d’adhérence au béton,
en évitant toute fissuration longitudinale ainsi que tout éclatement du béton. Un ferraillage transversal est à
prévoir si nécessaire.
8.3.1 Contrainte d’adhérence des barres droites
Définition d’adhérence: On appelle « adhérence » l’action des forces de liaison qui s’opposent au glissement.
L’adhérence joue trois rôles :
1/ elle assure le « scellement » ou « ancrage » des barres arrêtées ;
2/ elle assure « l’entraînement » des armatures sous l’effort de glissement longitudinal provoqué par
l’effort tranchant;
3/ elle intervient pour distribuer la fissuration.
Observation expérimentale – Théorie de M. Caquot :
• L’effort qu’il faut exercer pour extraire par traction une
barre rectiligne noyée dans un bloc de béton est
important même après un glissement de plusieurs
millimètres.
• L’adhérence n’est donc pas un phénomène de
collage, mais de frottement.
Chapitre 8:

122
La rupture d’adhérence peut se produire :
1. par fissuration longitudinale du béton d’enrobage. La gaine de béton qui enserre la barre à la manière d’un
étau s’ouvre et l’adhérence disparaît. C’est le cas par exemple de barres situées près d’une paroi ou d’un
angle.
2. par glissement de la barre sans rupture du béton d’enrobage.
Ce glissement s’observe par exemple dans le cas d’une barre HA
placée au centre d’un bloc de béton armé transversalement.
Note: pour se prémunir contre cette rupture, on coud l’intervalle barre-paroi
par des armatures transversales dites «armature d’enrobage»
Chapitre 8:

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