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ISPN7 Lógica matemática
Año 2013, Venado Tuerto
2. Contenidos
Artículos
Primera parte 1
Segunda parte 2
Conjunto 2
Álgebra de Boole 8
Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 31
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 32
Licencias de artículos
Licencia 34
4. 2
Segunda parte
Conjunto
Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los
elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección
de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto,
en particular, un subconjunto del primero.
En matemáticas, un conjunto es una agrupación
de objetos considerada como un objeto en sí. Los
objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa:
personas, números, colores, letras, figuras, etc.
Cada uno de los objetos en la colección es un
elemento o miembro del conjunto.
[1]
Por
ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris
es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde,
Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una
propiedad que todos sus elementos poseen. Por
ejemplo, para los números naturales, si se
considera la propiedad de ser un número primo,
el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede
escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define
un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil,
Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los
planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante
operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más
elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro
lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos
matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de
axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Historia
El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida
que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.
[2]
Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya
contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind
al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna:
relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones
5. Conjunto 3
relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus
investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La
influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de
«axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las
diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.
Definición
[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de
elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.
—Georg Cantor
[3]
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa:
números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman
elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:
[4]
a ∈ A se lee
entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.
Por ejemplo:
3 ∈ A , ♠ ∈ D
amarillo ∉ B, z ∉ C
Notación
Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la
imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.
Existen varias maneras de referirse a un
conjunto. En el ejemplo anterior, para los
conjuntos A y D se usa una definición intensiva
o por comprensión, donde se especifica una
propiedad que todos sus elementos poseen. Sin
embargo, para los conjuntos B y C se usa una
definición extensiva, listando todos sus
elementos explícitamente.
Es habitual usar llaves para escribir los
elementos de un conjunto, de modo que:
B = {verde, blanco, rojo}
C = {a, e, i, o, u}
Esta notación mediante llaves también se utiliza
cuando los conjuntos se especifican de forma
intensiva mediante una propiedad:
A = {Números naturales menores que 5}
D = {Palos de la baraja francesa}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
6. Conjunto 4
A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}
D = {p : p es un palo de la baraja francesa}
F = {n
2
: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},
En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la
forma n
2
tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros
cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .
Igualdad de conjuntos
Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A,
tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o
mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.
Un conjunto está totalmente determinado por sus
elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se
establece como:
Propiedad de la extensionalidad
Dos conjuntos A y B que tengan los
mismos elementos son el mismo conjunto,
A = B.
Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un
mismo conjunto puede especificarse de muchas
maneras distintas, en particular extensivas o
intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los
números naturales menores que 5 es el mismo
conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2,
3 y 4. También:
B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la
bandera de México}
C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}
D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:
B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}
C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}
Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de
dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:
{1, 2} = {1, 2, 1}
En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto
de la derecha es que 1 es uno de sus elementos.
7. Conjunto 5
Subconjuntos
Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto
propio).
Un subconjunto A de un conjunto B, es un
conjunto que contiene algunos de los elementos
de B (o quizá todos):
Un conjunto A es un subconjunto del
conjunto B si cada elemento de A es a su
vez un elemento de B.
Cuando A es un subconjunto de B, se denota
como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en
B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse
que B es un superconjunto de A y también «B
contiene a A» o «B incluye a A».
Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo,
ya que siempre se cumple que «cada elemento de
A es a su vez un elemento de A». Es habitual
establecer una distinción más fina mediante el
concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B.
Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).
[5]
Ejemplos.
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
Conjuntos disjuntos
A y B son conjuntos disjuntos.
Un conjunto A es disjunto a otro B si los
elementos de A no pertenecen a B:
la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es
disjunto de B, B es disjunto de A:
Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si
no tienen elementos comunes, que también
puede decirse:
Los conjuntos A y B son disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.
8. Conjunto 6
Cardinalidad
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del
conjunto:
El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.
El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B|
= 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N =
{1, 2, 3, ...}. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen
conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número
transfinito.
Operaciones con conjuntos
Operaciones con conjuntos
Unión
Intersección
Diferencia
Complemento
Diferencia simétrica
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos
conjuntos:
9. Conjunto 7
• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes
a A y B.
• Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A
cualquier elemento que esté en B.
• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A
∁
que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos
los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos
los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b
perteneciente a B.
Ejemplos
• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
• {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
•
• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
Notas
[1]
[1] Para esta introducción, véase y .
[2]
[2] Esta sección está basada en
[3]
[3] Véase
[4] Este símbolo lo introdujo Peano. Vid Matemática Moderna de André Warusfel sobre epsilon y Nachbin en su Álgebra Elemental (pág.1 y
pág.2) habla de: "La notación de Peano x ∈ X".
[5] También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B
y B ⊋ A. Véase Subconjunto.
Referencias
Bibliografía
• Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996) (en inglés). What is Mathematics? An Elementary
Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplemento del capítulo II.
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf), consultado el
18-04-2011.
• Jech, Thomas. Edward N. Zalta (ed.): « Set Theory (http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/
set-theory/)» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultado el
22-04-2011.
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
•
• Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la
OEA, traducida al español por César E. Silva.
10. Conjunto 8
Bibliografía adicional
• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. México 22, D.F.
primera edición en español.
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre ConjuntosCommons.
• Weisstein, Eric W., « Set (http://mathworld.wolfram.com/Set.html)» (en inglés), MathWorld, consultado el
22-04-2011
• Esta obra deriva de la traducción de Set, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia
Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en inglés.
Álgebra de Boole
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica
que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones
unión, intersección y complemento.
Historia
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8
de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el
primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en
un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en
1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De
Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de
utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica
proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of
Thought, publicado en 1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada
en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en
aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables,
en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:
•
• Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
•
• Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la
función.
11. Álgebra de Boole 9
Definición
Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha definido:
• Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.
Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.
• La operación binaria interna, que llamaremos suma:
por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a
con b.
• La operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto
a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se
trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
Axiomas necesarios
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son un álgebra de boole, si cumple las
siguientes axiomas:
• 1a: La ley asociativa de la suma:
•
• 1b: La ley asociativa del producto:
• 2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
•
• 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
• 3a: La ley conmutativa de la suma:
•
• 3b: La ley conmutativa del producto:
• 4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
12. Álgebra de Boole 10
•
• 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
•
• 5a: Existe elemento complemento para la suma:
•
• 5b: Existe elemento complemento para el producto:
Teoremas fundamentales
Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:
• 6a: Ley de idempotencia para la suma:
•
• 6b: Ley de idempotencia para el producto:
• 7a: Ley de absorción para la suma:
•
• 7b: Ley de absorción para el producto:
•
• 8a: Ley de identidad para la suma:
•
• 8b: Ley de identidad para el producto:
• 9: Ley de involución:
•
• 10: Ley del complemento:
• 11: Leyes de De Morgan:
Orden en el álgebra de Boole
Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a
antecede a b y lo denotamos:
si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1.
2.
3.
4.
13. Álgebra de Boole 11
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el
cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.
Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada
mediante el intercambio de los operadores suma con los de producto, y de los con los .
Adición Producto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Otras formas de notación del álgebra de Boole
En Lógica binaria se suele emplear la notación , común en la tecnología digital, siendo la forma
más usual y la más cómoda de representar.
Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:
Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta
lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO
Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y
pueden tomar los valores {0, 1}
Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:
En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o
verdadero, equivalentes a {0, 1}
Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:
En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto:
En esta notación las leyes de De Morgan serían así:
Otra forma en la álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serían así:
14. Álgebra de Boole 12
Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean
apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el
producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión
de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.
La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables:
y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:
Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La
utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las
matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.
Estructuras algebraicas que son Álgebra de Boole
Hay numerosos casos de distintas análisis de estructuras algebraicas que corresponden al álgebra de Boole, aunque
en apariencia son muy diferentes, su estructura es la misma, vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer
palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distinta terminología para referirse a
las operaciones o a las variables, veámoslos.
Lógica binaria
Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria basada en los ceros y los
unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma más conocida de este álgebra, que en ocasiones da lugar a la
interpretación que el álgebra de Boole es la lógica binaria exclusivamente, así el conjunto en este caso está
formado por dos elementos {0,1}, o {F,V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles
alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin perdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como
ya hemos dicho:
Donde:
• La operación unaria interna, que llamaremos negación:
La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, le asigna un b de
{0,1}.
15. Álgebra de Boole 13
Para todo elemento a en {0.1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es la negación de a. Como se ve
en la tabla.
• La operación binaria interna, que llamaremos suma:
Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a
con b.
• la operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto
a y b. Como se puede ver en la tabla.
Axiomas
Así es un álgebra de boole al cumplir los siguientes axiomas:
•
• 1a: La ley asociativa de la suma:
•
• 1b: La ley asociativa del producto:
•
• 2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
•
• 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
•
• 3a: La ley conmutativa de la suma:
•
• 3b: La ley conmutativa del producto:
•
• 4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
•
• 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
16. Álgebra de Boole 14
•
• 5a: Existe elemento complementario para la suma:
•
• 5b: Existe elemento complementario para el producto:
Luego es álgebra de boole.
Teoremas fundamentales
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:
•
• 6a: Ley de idempotencia para la suma:
•
• 6b: Ley de idempotencia para el producto:
•
• 7a: Ley de absorción para la suma:
•
• 7b: Ley de absorción para el producto:
•
• 8a: Ley de identidad para la suma:
•
• 8b: Ley de identidad para el producto:
•
• 9: Ley de involución:
•
• 10: Ley del complemento:
•
• 11: Leyes de De Morgan:
Orden en el álgebra de Boole
Partiendo de álgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que cumplen alguna de estas
condiciones:
entonces a es menor o igual que b. Dados los valores binarios 0 y 1, podemos ver:
1.
2.
3.
4.
17. Álgebra de Boole 15
Estas cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas supone el cumplimiento de las otras, en
este caso es sencillo comprobarlas todas. Luego podemos decir que 0 antecede a 1 y lo denotamos:
Si además sabemos que 0 y 1 son valores distintos:
El valor binario 0 es menor que el valor binario 1.
Álgebra de conjuntos
Partiendo de un conjunto U, cualesquiera, llamamos conjunto potencia
de U, al conjunto de todos los subconjuntos posibles de U y lo
denotamos .
A título de ejemplo podemos considerar:
Que tiene como conjunto potencia:
Donde podemos definir:
Y como es obvio:
• La operación unaria interna, que llamaremos complemento:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento A de
P(U), le asigna un B de P(U).
Para todo elemento A en P(U), se cumple que existe un único B en
P(U), tal que B es el complemento A.
Definiendo el complemento de un conjunto así:
B es el complemento de A, si se cumple que para todo x que pertenezca a B, x pertenece a U y x no pertenece a A.
• La primera operación binaria la llamaremos unión:
18. Álgebra de Boole 16
Con esta operación binaria interna definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le
asigna un C de P(U).
Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la unión A y
B.
Definiendo la unión de dos conjuntos como:
El conjunto C es la unión de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A o de B
• La segunda operación binaria la llamaremos intersección:
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).
Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la
intersección A y B.
Definiendo la intersección de dos conjuntos como:
El conjunto C es la intersección de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A y de B.
19. Álgebra de Boole 17
Axiomas
Con lo que podemos plantear: , para un U conocido, como álgebra de boole si cumple las
siguientes axiomas:
•
• 1a: La ley asociativa de la unión:
•
• 1b: La ley asociativa de la intersección:
•
• 2a: Existencia del elemento neutro para la unión:
•
• 2b: Existencia del elemento neutro para la intersección:
•
• 3a: La ley conmutativa de la unión:
•
• 3b: La ley conmutativa de la intersección:
•
• 4a: Ley distributiva de la unión respecto de la intersección:
•
• 4b: Ley distributiva de la intersección respecto a la unión:
•
• 5a: Existe elemento complementario para la unión:
•
• 5b: Existe elemento complementario para la intersección:
Concluyendo que es un álgebra de boole.
Teoremas fundamentales
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:
•
• 6a: Ley de idempotencia para la unión:
•
• 6b: Ley de idempotencia para la intersección:
•
• 7a: Ley de absorción para la unión:
•
• 7b: Ley de absorción para la intersección:
•
• 8a: Ley de identidad para la unión:
•
• 8b: Ley de identidad para la intersección:
•
• 9: Ley de involución:
20. Álgebra de Boole 18
•
• 10: Ley del complemento:
•
• 11: Leyes de De Morgan:
Orden en el álgebra de Boole
Dado álgebra de Boole, podemos comprobar:
1.
2.
3.
4.
Para los conjuntos A y B que cumplen estas propiedades, podemos decir que A antecede a B, que en el caso de
conjuntos se diría A es igual o un subconjunto de B y lo denotamos:
Entendiéndose que A es igual o un subconjunto de B cuando:
El conjunto A es igual o un subconjunto de B, si para todo elemento x
que pertenezca a A, x pertenece a B.
También se puede comprobar:
Para todo A de las partes de U, si se cumple que: la unión de A y U es U, la intersección de A y U es A, la unión del
complemento de A y U es U, la intersección de A y el complemento de U es el conjunto vacío, entonces A es igual o
un subconjunto de U.
Esta conclusión forma parte de la definición de las partes de U, pero se puede llegar a ella por el cumplimiento de
una de las cuatro condiciones expuestas, como ya se mencionó, las cuatro condiciones son equivalentes y el
cumplimiento de una de ellas implica el cumplimiento de las demás.
Aplicando el mismo razonamiento podemos ver:
21. Álgebra de Boole 19
Siendo B un conjunto de las partes de U, llegando a la conclusión de que el conjunto vacío es igual o un subconjunto
de B.
Lógica proposicional o de predicados
Una proposición, o un predicado, es un valor de verdad que puede expresarse de forma verbal o con expresiones o
relaciones matemática o lógica, por ejemplo:
•
• 'Hoy es miércoles.'
•
• 'El edificio es alto.'
•
• 'El perro está ladrando.'
Son proposiciones expresadas verbalmente, y también lo son:
•
• 'x = 3'
•
• 'mcd(a, b) = 2n + 1'
Dado que cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, las proposiciones suelen designarse con letra:
•
• p= 'Llueve'
•
• q= 'Llueve mucho'
•
• r= 'Llevo paraguas'
•
• s= 'La calle está mojada'
Las afirmaciones verdadero y falso también son proposiciones, designaremos con: al conjunto de proposiciones,
a fin de ver que la lógica de proposiciones es un álgebra de Boole, además consideraremos:
• La operación unaria interna, que llamaremos negación:
La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada proposición a, le asigna otra poposición
b.
Para toda proposición a, se cumple que existe una única proposición b, tal que b es la negación de a.
• La primera operación binaria interna, que llamaremos disyunción:
Con la operación disyunción, definimos una aplicación que a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de
B.
Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de la
disyunción de a y b.
• La segunda operación binaria interna, que llamaremos conjunción:
Con la operación conjunción definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de
B.
22. Álgebra de Boole 20
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de la
conjunción de a y b.
Axiomas
Así es un álgebra de boole al cumple los siguientes axiomas:
•
• 1a: La ley asociativa de la disyunción:
•
• 1b: La ley asociativa de la conjunción:
•
• 2a: Existencia del elemento neutro para la disyunción:
•
• 2b: Existencia del elemento neutro para la conjunción:
•
• 3a: La ley conmutativa de la disyunción:
•
• 3b: La ley conmutativa de la conjunción:
•
• 4a: Ley distributiva de la disyunción respecto a la conjunción:
•
• 4b: Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:
•
• 5a: Existe elemento complementario para la disyunción:
•
• 5b: Existe elemento complementario para la conjunción:
Luego es álgebra de boole.
Teoremas fundamentales
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:
•
• 6a: Ley de idempotencia para la disyunción:
•
• 6b: Ley de idempotencia para la conjunción:
•
• 7a: Ley de absorción para la disyunción:
•
• 7b: Ley de absorción para la conjunción:
•
• 8a: Ley de identidad para la disyunción:
•
• 8b: Ley de identidad para la conjunción:
23. Álgebra de Boole 21
•
• 9: Ley de involución:
•
• 10: Ley de complemento:
•
• 11: Leyes de De Morgan:
Orden en el álgebra de Boole
Sabiendo que es álgebra de Boole, se puede comprobar que:
1.
2.
3.
4.
Para las proposiciones: a, b que cumplen alguna de estas condiciones se puede afirmar que a antecede a b. Que en el
caso de proposiciones o predicados se dice que a es tanto o más fuerte que b, o que b es más débil que a, y lo
representamos:
Así por ejemplo dadas las proposiciones:
• a= Llueve mucho
• b= Llueve
podemos ver:
•
Si: llueve mucho o llueve entonces llueve.
Si se da la circunstancia de cualesquiera de dos, que llueve mucho o llueve, claramente llueve en cualquier caso.
•
Si: llueve mucho y llueve entonces llueve mucho.
Si afirmamos que llueve mucho y que llueve, y se cumplen las dos circunstancias entonces es que llueve mucho.
•
Si: no llueve mucho o llueve es verdadero.
No llueve mucho indica que puede que llueva poco o que no llueva, si no llueve mucho o llueve abarca todas las
posibilidades, desde tiempo seco a muy lluvioso, luego la afirmación es verdadera en todo caso.
•
Si: llueve mucho y no llueve es falso.
Si afirmamos que llueve mucho y simultáneamente que no llueve, la afirmación es claramente falsa.
La afirmación más restrictiva es la más fuerte y la menos restrictiva la más débil, en este caso:
La proposición llueve mucho es tanto o más fuerte que llueve, la afirmación llueve mucho es un caso particular o el
mismo caso de llueve.
24. Álgebra de Boole 22
Operaciones en álgebra de Boole
El álgebra de Boole se basa en un conjunto en el que se han definidos tres operaciones internas: una unaria y dos
binarias, como ya hemos visto, siendo cómoda esta definición. Estrictamente hablando solo son necesarias dos, la
unaria y una de las binarias, así, por ejemplo, en la lógica binaria con la negación y el producto podemos definir la
suma.
Con la ley de De Morgan:
Esta expresión resulta más compleja, pero partiendo de la negación y el producto binarios define la suma binaria.
En la imagen de la derecha podemos ver un circuito en paralelo de dos pulsadores a y b, que corresponde a la suma
binaria de a y b, y su equivalente en un circuito en serie de a y b, los dos dan como resultado la misma tabla de
verdad, y por tanto son equivalentes, lo artificioso el circuito serie para obtener el mismo resultado que en un circuito
paralelo deja ver lo conveniente de considerar esa función, la posibilidad de obtener la suma de dos variables
binarias mediante la negación y el producto señalan que, de forma primaria, el álgebra de Boole se basa solo en dos
operaciones, y que cualquier expresión en la que intervenga la suma puede transformarse en otra equivalente en la
que solo intervienen la negación y el producto.
En el caso de la teoría de conjuntos con el complemento y la intersección podemos definir la unión:
De una forma similar al álgebra binaria, o cualquier otra álgebra de Boole, La definición del álgebra con solo dos
operaciones complica las expresiones, pero permite determinar ciertas relaciones muy útiles, así como otras
operaciones distintas.
En el álgebra de Boole definido en un conjunto las operaciones son internas, dado que parte de elemento de ,
para obtener un resultado en .
Sin perdida de la generalidad, y dado los distintos formas que puede adoptar el álgebra de Boole consideraremos la
lógica proposicional con las proposiciones: a, c, b, etc. Que pueden tomar los valores verdadero: V o falso: F. Y las
conectivas lógicas sobre esas proposiciones que dan como resultado otras proposiciones lógicas, cada proposición: a,
b, c, etc. Define un conjunto A, B, C, etc. Que podemos representar de forma gráfica en un diagrama de Venn.
25. Álgebra de Boole 23
Operaciones nularias
Una Operación nularia es la que devuelve un valor sin necesidad de argumentos, podemos ver Tautología y
Contradicción
La tautología presenta el valor verdadero sin necesidad de argumentos o independientemente de las variables sobre
la que se calcule. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto universal.
En lógica proposicional corresponde al valor: verdadero:
En un circuito de conmutación corresponde a una conexión fija o puente cerrado.
La contradicción, por el contrario, presenta siempre el valor falso, sin necesitar argumentos o independientemente de
los argumentos presentados. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto vacío.
En lógica proposicional corresponde al valor: falso:
En un circuito de conmutación, corresponde a la no conexión o puente abierto.
26. Álgebra de Boole 24
Operaciones unarias
Una Operación unaria es la que solo necesita un argumento para presentar un resultado, podemos ver dos
operaciones unarias: identidad y negación.
La operación identidad de una proposición presenta el valor de la variación.
Esta operación se puede hacer con el dispositivo electrónico Buffer amplificador.
En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente abierto: Interruptor NA.
La operación negación lógica de una variable presenta el valor contrario del argumento, o los casos contrarios de los
recogidos en el argumento.
Esta operación se hace con la Puerta NOT.
En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente cerrado: Interruptor NC.
27. Álgebra de Boole 25
Operaciones binarias
La operación binaria es la que necesita dos argumentos, de hecho es la forma más generalizada de operación,
normalmente cuando nos referimos a operaciones, nos referimos a operaciones binarias, en el álgebra de Boole
podemos ver las siguientes operaciones binarias:
La conjunción lógica presenta resultado verdadero solo cuando sus dos argumentos son verdaderos.
Normalmente representado:
La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la intersección de conjuntos en teoría de conjuntos, o a la
puerta lógica AND:
en circuitos de conmutación seria un circuito en serie de interruptores.
La Negación alternativa presenta resultado verdadero en todos los casos excepto cuando sus dos argumentos son
verdaderos. Esta operación es la negación de la conjunción.
La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NAND.
La disyunción lógica acepta dos argumentos presentando como resultado verdadero si uno u otro de los argumentos
es verdadero.
La disyunción puede expresarse:
28. Álgebra de Boole 26
La operación disyunción lógica de proposiciones, es equivalente a la unión de conjuntos en teoría de conjuntos, a la
puerta lógica OR:
y al circuito en paralelo en circuitos de conmutación
La Negación conjunta presenta resultado verdadero solo cuando sus dos argumentos son falsos. Esta operación es la
negación de la disyunción.
La negación conjunta de proposiciones es equivalente a la puerta lógica NOR.
La condicional material presenta resultado falso si el primer argumento es verdadero y el segundo falso, en el resto
de los casos presenta resultado verdadero, esta operación no es conmutativa y puede expresarse:
A esta operación también se llama implicación: a implica b:
si a es verdadero b es verdadero.
si a es falso y b es verdadero, la implicación es falsa.
si a es falsa, la implicación es vedadera independientemente el valor de b.
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:
La negación condicional material presenta resultado verdadero si el primer argumento es verdadero y el segundo
falso, en el resto de los casos presenta resultado falso, esta operación no es conmutativa y es la negación de la
29. Álgebra de Boole 27
condicional material, también suele llamarse diferencia de a y b , puede expresarse:
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:
La Condicional material inversa es la operación que presenta resultado falso si el primer argumento es falso y el
segundo verdadero, en el resto de los casos presenta resultado verdadero, esta operación no es conmutativa y es el
resultado de permutar a y b en la condicional material, puede expresarse:
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:
La Negación condicional material inverso presenta resultado verdadero si el primer argumento es falso y el segundo
verdadero, en el resto de los casos presenta resultado falso, esta operación no es conmutativa y es la negación de la
condicional inverso, también suele llamarse diferencia: b - a, puede expresarse:
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:
La bicondicional presenta resultado verdadero si los dos argumentos son iguales, esto es: si a y b son verdaderos o si
a y b son falsos.
Le corresponde la Puerta XNOR.
30. Álgebra de Boole 28
La disyunción exclusiva presenta resultado verdadero si los dos argumentos son dispares, esto es si de los dos
argumentos uno es verdadero y otro falso, es la negación de la bicondicional:
Esta operación también se llama o exclusivo, uno o el otro pero no los dos, le corresponde la puerta lógica: XOR.
Fórmula de Boole bien formada
Partiendo de un conjunto: y donde a, b, c, d, ... son variables o constantes que pueden tomar valores del conjunto
, donde se han definido las siguientes operaciones internas:
podemos decir que son fórmulas bien formadas: fbf:
1: Una variable o constante:
2: La negación de una variable o constante:
3: La operación binaria entre dos variables o constantes:
4: El resultado de sustituir en una fórmula bien formada, una variable o constante por una fórmula bien formada:
La aplicación repetida de estos criterios dará siempre una fórmula bien formada.
ejemplo:
Se podrán emplear tantos paréntesis como sean necesarios para evitar ambigüedades, evitando siempre la utilización
superflua de paréntesis.
31. Álgebra de Boole 29
Jerarquía de los operadores
Al evaluar una expresión booleana, deben realizarse las operaciones de acuerdo con su nivel jerárquico, realizando
primero la de mayor jerarquía. Si existen paréntesis, deben resolverse primero los más internos y trabajar hacia fuera.
En ausencia de paréntesis, la jerarquía de las operaciones es, de mayor a menor, la siguiente:
1.
2.
3.
Si se tienen varias operaciones con la misma jerarquía, éstas pueden ser evaluadas de derecha a izquierda o de
izquierda a derecha, el resultado será el mismo.
Como ejemplo, considérese la evaluación de las siguientes expresiones booleanas:
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Álgebra de Boole. Commons
• %20digital/Algebra%20de%20conmut.pdf Álgebra de Boole - Definición
[1]
• Álgebra de Boole y puertas lógicas
[2]
• Tema 5: Álgebra de Boole y Funciones Lógicas
[3]
• Álgebra de Boole
[4]
• Álgebra Booleana
[5]
• TEMA 6. ÁLGEBRA DE BOOLE
[6]
• BOOLE-DEUSTO SW didáctico: Tablas de verdad, V-K, autómatas...
[7]
• Álgebra de Boole
[8]
• Álgebra de Boole
[9]
• Álgebra de Boole
[10]
• Álgebra de Boole y Diseño de Computadoras (PDF)
[11]
• Curso Completo de Electrónica Digital
[12]
• Álgebra de Boole y circuitos con puertas lógicas
[13]
• TEMA 3. Álgebra de Boole
[14]
Referencias
[1] ftp://ftp.ehu.es/cidira/dptos/depjt/Apuntes/Electronica
[2] http://apuntes.rincondelvago.com/algebra-de-boole-y-puertas-logicas.html
[3] http://arantxa.ii.uam.es/~ig/teoria/temas/IG_tema-5-2008-2009.pdf
[4] http://electronred.iespana.es/alg_boole.htm
[5] http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/elec3-cap4.pdf
[6] http://ocw.usal.es/eduCommons/ensenanzas-tecnicas/electronica/contenido/electronica/Tema6_AlgebraBOOLE.pdf
[7] http://paginaspersonales.deusto.es/zubia
[8] http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/boole.pdf
[9] http://users.dcc.uchile.cl/~clgutier/Capitulo_3.pdf
[10] http://usuarios.lycos.es/bnunez/Archivos%20propios/Digitales/Algebra_Boole.pdf
[11] http://www.box.net/shared/db3n75vgfg
[12] http://www.edudevices.com.ar/download/articulos/digitales/Cur_dig_03.pdf
[13] http://www.esi2.us.es/~jaar/Datos/FIA/T3.pdf
[14] http://www.uhu.es/rafael.lopezahumada/descargas/tema3_fund_0405.pdf
32. Álgebra de Boole 30
Bibliografía
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