Propriedades Semântica da Lógica Proposicional

Lógica Matemática
Naygno Barbosa Noia
UFT
14 de mar¸co de 2018
Naygno Barbosa Noia Lógica Matemática

1 Propriedades Semântica da Lógica Proposicional
Introdu¸cão
Propriedades Semânticas
Rela¸cões entre Propriedades Semânticas
Equivalências

Introdu¸cão
Faremos análise de propriedades semânticas que relacionam os resul-
tados das interpreta¸cões das fórmulas.
São rela¸cões obtidas no mundo semântico, mas a partir de fórmulas
que pertencem ao mundo sintático.

A defini¸cão a seguir é um conjunto de propriedades semânticas fundamentais
no estudo da lógica.
Defini¸cão (Propriedades Semânticas Básicas)
Sejam
H, G, H1, H2, . . . , Hn, . . .
fórmulas da Lógica Proposicional.
H é uma tautologia ou válida, se, e somente se, para toda inter-
preta¸cão I, I[H] = T.
H é fact´ıvel ou satisfat´ıvel, se, e somente se, existe pelo menos uma
interpreta¸cão I, tal que I[H] = T.

H é uma contingência, se, e somente se, existem duas interpreta¸cões
I1 e I2, tais que I1[H] = T e I2[H] = F.
H é contraditória, se, e somente se, para toda interpreta¸cão I,
I[H] = F.
H implica semanticamente (ou tautologicamente) G, se, e somente
se, para toda interpreta¸cão I, se I[H] = T, então I[G] = T
H equivale semanticamente (ou tautologicamente) a G, se, e so-
mente se, para toda interpreta¸cão I, I[H] = I[G].

Dada uma interpreta¸cão I, então I satisfaz H, se I[H] = T.
O conjunto
β = {H1, H2, . . . , Hn, . . .}
é satisfat´ıvel, se, e somente se, existe uma interpreta¸cão I tal que
I[H1] = T, I[H2] = T, . . . , I[Hn] = T, . . .
Nesse caso, I satisfaz o conjunto de fórmulas, o que é indicado por
I[β] = T.
Dado um conjunto de fórmulas vazio, então toda interpreta¸cão I
satisfaz esse conjunto.

O conjunto
β = {H1, H2, . . . , Hn, . . .}
implica semanticamente uma fórmula H, se para toda interpreta¸cão
I, se I[β] = T, então I[H] = T. Nesse caso, também dizemos que H
é uma consequência lógica ou semântica de β.
Nota¸cão: Denotamos
A implica¸cão (ou consequência) semântica com: .
A não implica¸cão (ou consequência) semântica com: .

Uma fórmula H é uma tautologia (ou é válida) quando qualquer
interpreta¸cão I interpreta H como sendo verdadeira.
O conceito de tautologia é muito mais que veracidade.
Uma fórmula G pode ser verdeira segundo uma interpreta¸cão J, mas
não ser tautológica. Nesse caso, G é apenas satisfat´ıvel.

Se existir uma outra interpreta¸cão I tal que I[G] = F, então G é uma
contingência.
As contingências são fórmulas cuja interpreta¸cão não pode ser de-
terminadas apenas pelas regras de semânticas.
É necessário determinar a interpreta¸cão dos s´ımbolos proposici-
onais que pertencem a uma contingência para calcular seu valor de
verdade.

Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.

Solu¸c˜ao

Solu¸cão
Para toda interpreta¸cão I é verdade que:

Solu¸c˜ao
I[P] = T ou I[P] = F

Solu¸c˜ao
I[P] = T ou I[P] = F ⇔ I[P] = T ou I[¬P] = T

Solu¸c˜ao
⇔ I[P ∨ ¬P] = T

Solu¸c˜ao
⇔ I[P ∨ ¬P] = T
⇔ [H] = T

Solu¸cão
⇔ I[P ∨ ¬P] = T
⇔ [H] = T
Logo, H = (P ∨ ¬P) é tautológica.

Tautologia
Assim, na fórmula H = (P ∨ ¬P), vimos que:
Tautologia
Independentemente do valor de verdade I[P], temos que I[H] = T.
Isto é, a interpreta¸cão da tautologia H independe da interpreta¸cão do
s´ımbolo proposicional P contido em H.

Tautologia
Assim, na fórmula H = (P ∨ ¬P), vimos que:
Tautologia
Independentemente do valor de verdade I[P], temos que I[H] = T.
Isto é, a interpreta¸cão da tautologia H independe da interpreta¸cão do
s´ımbolo proposicional P contido em H.
Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo
Além disso, o fato de a fórmula P ∨¬P ser uma tautologia está relacionado
ao princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: dada uma proposi¸cão e sua nega¸cão,
pelo menos uma delas é verdadeira.

Exemplo 2: (satisfabilidade e contingência)
Mostrar que a fórmula H = (P ∨ Q) é uma contingência e satisfat´ıvel.

Solu¸c˜ao

Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:

Solu¸c˜ao
se I[P] = T e I[Q] = F,

Solu¸c˜ao
se I[P] = T e I[Q] = F, ent˜ao I[H] = T

Solu¸c˜ao
se J[P] = F e J[Q] = F,

Solu¸c˜ao
se J[P] = F e J[Q] = F, ent˜ao J[H] = F

Solu¸cão
Portanto, H = (P ∨ Q) é uma contingência.

Solu¸cão
Portanto, H = (P ∨ Q) é uma contingência. Além disso, existe uma inter-
preta¸cão I tal que, I[H] = T, isto é, H é satisfat´ıvel.

Exemplo 3: (contradi¸cão)
Mostrar que a fórmula H = (P ∧ ¬P) é uma contradi¸cão.

Solu¸c˜ao

Solu¸cão
É falso que existe pelo menos uma interpreta¸cão I, tal que

Solu¸c˜ao
I[P] = T e I[P] = F

Solu¸c˜ao
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T

Solu¸c˜ao
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T

Solu¸c˜ao
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T

Solu¸cão
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
Assim, como é falso que exista uma interpreta¸cão I tal que I[H] = T,

Solu¸cão
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
Assim, como é falso que exista uma interpreta¸cão I tal que I[H] = T, segue
que, para toda interpreta¸cão I, I[H] = F,

Solu¸cão
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
Assim, como é falso que exista uma interpreta¸cão I tal que I[H] = T, segue
que, para toda interpreta¸cão I, I[H] = F, isto é, H é uma contradi¸cão.

Princ´ıpio da Não Contradi¸cão
Se a fórmula P ∧ ¬P é uma contradi¸cão, então a fórmula
¬(P ∧ ¬P) é uma tautologia.
A fórmula P ∧ ¬P está relacionado ao princ´ıpio da não contradi¸cão:
dada uma proposi¸cão e sua nega¸cão, pelo menos uma delas é
falsa.
Dada uma proposi¸cão, é falso que tal proposi¸cão e sua nega¸cão sejam
verdadeiras.

Exemplo 4: (tautologia, satisfabilidade, contradi¸cão)
Nas fórmulas a seguir, mostre o que:
(a) H1 = P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → Q é tautológica.
(b) H2 = P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → ¬Q é satisfat´ıvel.
(c) H3 = (P ∨ ¬P) → (Q ∧ ¬Q) é uma contradi¸cão.

Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (a))

Para todo interpreta¸c˜ao I,

se I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = T, ent˜ao

se I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = T, ent˜ao I[Q] = T.

Logo,

Logo,
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → Q] = T.

Logo,
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → Q] = T.
Portanto, H1 ´e uma tautologia.

Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (b))

Seja I uma interpreta¸c˜ao tal que I[Q] = F, ent˜ao

I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = F e I[¬Q] = T
Logo,

I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = F e I[¬Q] = T
Logo,
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → ¬Q] = T

I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = F e I[¬Q] = T
Logo,
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → ¬Q] = T
Portanto, H2 ´e satisfat´ıvel.

Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (c))

Para toda interpreta¸c˜ao I,

I[P ∨ ¬P] = T e I[Q ∧ ¬Q] = F
Logo,

I[P ∨ ¬P] = T e I[Q ∧ ¬Q] = F
Logo,
I[(P ∨ ¬P) → (Q ∧ ¬Q)] = F.

I[P ∨ ¬P] = T e I[Q ∧ ¬Q] = F
Logo,
I[(P ∨ ¬P) → (Q ∧ ¬Q)] = F.
Portanto, a fórmula H3 é uma contradi¸cão.

Conforme a Defini¸cão das Propriedades Semântica, H implica semantica-
mente G, quando para toda interpreta¸cão I
se I[H] = T então I[G] = T.
Ou seja, essa defini¸cão não diz que para toda interpreta¸cão I
I[H] = I[G] ou que I[H] = T e I[G] = T
A defini¸cão de implica¸cão semântica é a seguinte:
para toda interpreta¸cão I, se I interpreta H como T, então, I
interpreta G como sendo T.

Isto não quer dizer que, para toda interpreta¸cão I, as interpreta¸cões
de H e G segundo I coincidem ou são iguais a T.
Caso existe uma interpreta¸cão J tal que J[H] = F, então nada pode
ser dito sobre J[G]. Neste caso é poss´ıvel qu J[G] = T ou J[G] = F.

Exemplo 5 (implica¸cão semântica)
Considere as fórmulas
E = ((P ∧ Q) ∨ Q)
H = (P ∧ Q)
G = (P → Q)
Construa a tabela verdade associada a essas fórmulas e verifique se há ou
não rela¸cão de implica¸cão semântica no itens a seguir:
(a) E . . . G (b) E . . . H (c) H . . . E
(d) H . . . G (e) G . . . H (f ) G . . . E

Solu¸cão (Exemplo 5)
A tabela verdade associada a essas fórmulas é

A tabela verdade associada a essas f´ormulas ´e
P Q E H G
T T T T T
T F F F F
F T T F T
F F F F T

Mostre que as fórmulas H = (P ∧ Q) e G = P são tais que H implica se-
manticamente G.
Solu¸cão (Exemplo 6: 1a Forma)
Vamos utilizar as tabelas verdade associadas às fórmulas H e G

Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica se-
manticamente G.
P Q H G
T T
T F
F T
F F

Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica G.
P Q H G
T T T T
T F F T
F T F F
F F F F

P Q H G
T T T T
T F F T
F T F F
F F F F
Nessa tabela, na linha destacada, quando I[H] = T, ent˜ao I[G] = T. Logo,
a H implica semanticamente G.

Foi feita em sala de aula. Onde foi mostrado que
Se I[H] = T ent˜ao I[G] = T
Portanto, conclu´ımos que H G.

Exemplo 7 (equivalência semântica)
Mostre que as fórmulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) são equivalências
semânticas.
Para toda toda interpreta¸cão I, tem-se
I[H] = T

semˆanticas.
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T

semˆanticas.
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T

semˆanticas.
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F

semˆanticas.
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
⇔ I[P ∨ Q] = F

semˆanticas.
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
⇔ I[P ∨ Q] = F
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = T

semˆanticas.
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
⇔ I[P ∨ Q] = F
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = T
⇔ I[G] = T

I[H] = F

I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F

I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F

I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T

I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T

I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F

I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F
⇔ I[G] = F

I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F
⇔ I[G] = F
Logo, nos dois casos vemos que I[H] = I[G]. Portanto, H equivale seman-
ticamente a G.

I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F
⇔ I[G] = F
Logo, nos dois casos vemos que I[H] = I[G]. Portanto, H equivale seman-
ticamente a G. Fica como exerc´ıcio a outra forma de resolver utilizando a
tabela verdade.

(Satisfabilidade de Conjunto de Fórmulas)
Um conjunto de fórmulas
{H1, H2, · · · , Hn, · · · }
é satisfat´ıvel quando existe pelo menos uma interpreta¸cão I tal que I[Hi ] =
T, para todo i ∈ {1, 2, · · · , n, · · · }.
O conceito de satisfabilidade é importante em Computa¸cão.

{H1, H2, · · · , Hn, · · · }
T, para todo i ∈ {1, 2, · · · , n, · · · }.
Uma propriedade desejável de programas lógicos; por exemplo, é que
eles sejam conjuntos de fórmulas satisfat´ıveis.

{H1, H2, · · · , Hn, · · · }
T, para todo i ∈ {1, 2, · · · , n, · · · }.
Uma propriedade desejável de programas lógicos; por exemplo, é que
eles sejam conjuntos de fórmulas satisfat´ıveis.
Isso significa que deve haver pelo menos uma interpreta¸cão que sa-
tisfa¸ca o programa.

Exemplo 8 (insatisfabilidade de conjunto de fórmulas)
Mostre que o conjunto de fórmulas
H1 = P, H2 = ¬P e H3 = Q
é insatisfat´ıvel.
se I[H1 = T, então IH2 = F]
e, vice-versa.

Logo, n˜ao existe interpreta¸c˜ao I tal que
I[H1] = T, I[H2] = T e I[H3] = T.

Logo, não existe interpreta¸cão I tal que
I[H1] = T, I[H2] = T e I[H3] = T.
Portanto, o conjunto de fórmulas
{P, ¬P, Q}
é insatisfat´ıvel, como exigido.

Exemplo 9 (satisfabilidade de conjunto de fórmulas)
E = (P → Q), H = (Q → R) e G = (R → P)
é satisfat´ıvel.
Basta considerar uma interpreta¸cão I tal que
I[P] = F, I[Q] = F e I[R] = F
Então,
I[E] = T, I[H] = T e I[G] = T.

Exemplo 10 (insatisfabilidade)
H1 = (P → Q), H2 = (Q → R), H3 = (R → S)
H4 = (S → P), H5 = ¬(S → G)
é insatisfat´ıvel.
Supunha, ao contrário, que o conjunto de fórmulas
{H1, H2, H3, H4, H5}
é satisfat´ıvel.

Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,

{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T

{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T

{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F

{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)

{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T

{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T ⇔ I[P → Q] = T

{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T ⇔ I[P → Q] = T
⇔ I[P] = F ou I[Q] = T

{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T ⇔ I[P → Q] = T
⇔ I[P] = F ou I[Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F

Al´em disso,

Al´em disso,
I[H4] = T

Al´em disso,
I[H4] = T ⇔ I[S → P] = T

Al´em disso,
I[H4] = T ⇔ I[S → P] = T
⇔ I[S] = F ou I[P] = T

Al´em disso,
I[H4] = T ⇔ I[S → P] = T
⇔ I[S] = F ou I[P] = T
⇔ I[S] = F e I[P] = F (∗∗)

Além disso,
I[H4] = T ⇔ I[S → P] = T
⇔ I[S] = F ou I[P] = T
⇔ I[S] = F e I[P] = F (∗∗)
Obter I[S] = F em (∗∗) é uma contradi¸cão, pois já hav´ıamos obtido I[S] =
T em (∗). Portanto, o conjunto de formulas, não pode ser satisfat´ıvel.

Rela¸c˜oes entre Propriedades
Semˆanticas

As propriedades semânticas estão relacionadas entre si.
Veremos isso nas proposi¸cões a seguir.

Proposi¸cão 1 (tautologia e contradi¸cão)
Dada uma fórmula H, então
H é tautologia, se, e somente se, ¬H é uma contradi¸cão.

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸cão
Seja H uma fórmula,
H é tautologia

Demonstra¸cão
H é tautologia ⇔ para toda interpreta¸cão I, I[H] = T

Demonstra¸c˜ao
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F

Demonstra¸cão
⇔ ¬H é contradi¸cão

Demonstra¸cão
⇔ ¬H é contradi¸cão
Portanto, H é tautologia, se, e somente se, ¬H é uma contradi¸cão. cqd

Proposi¸cão 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma fórmula H,
se H é tautologia, então H é satisfat´ıvel.

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸cão
Seja H uma fórmula, tal que, se
H é tautologia

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸c˜ao
⇒ existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T

Demonstra¸c˜ao
⇔ H ´e satisfat´ıvel

Demonstra¸cão
⇔ H é satisfat´ıvel
Portanto, se H é tautologia, então H é satisfat´ıvel. cqd

a) H é tautologia, se, e somente se, ¬H é contraditória.
b) ¬H não é satisfativel, se, e somente se, ¬H é contraditória.

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸cão
A o item a) já foi demonstrado na Proposi¸cão 1. Resta mostrar o item b).

Demonstra¸cão
Seja H uma fórmula, então

Demonstra¸cão
¬H não é satisfat´ıvel

Demonstra¸cão
¬H não é satisfat´ıvel ⇔ não existe interpreta¸cão I tal que I[¬H] = T

Demonstra¸c˜ao
⇒ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F

Demonstra¸cão
⇔ ¬H é contradotória

Demonstra¸cão
⇔ ¬H é contradotória
Portanto, se H é tautologia, então H é satisfat´ıvel. cqd

Proposi¸cão 4 (implica¸cão semântica e o conectivo →)
Dadas as fórmulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) é tautologia.

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸cão
Sejam as fórmulas H e G. Então
H G

Demonstra¸cão
H G ⇔ para toda interpreta¸cão I, se I[H] = T, então I[G] = T

Demonstra¸c˜ao
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H → G] = T

Demonstra¸c˜ao
⇔ (H → G) ´e tautologia

Demonstra¸cão
⇔ (H → G) é tautologia
Portanto, H G, se, e somente se, (H → G) é tautologia. cqd

Proposi¸cão 5 (equivalência semântica e o conectivo ↔)
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) é tautologia.

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸cão
Dadas as fórmulas H e G. Então
H equivale a G

Demonstra¸c˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]

Demonstra¸c˜ao
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H ↔ G] = T

Demonstra¸c˜ao
⇔ (H ↔ G) ´e tautologia

Demonstra¸cão
⇔ (H ↔ G) é tautologia
Portanto, H equivalente a G, se, e somente se, (H ↔ G) é tautologia.
cqd

Proposi¸cão 6 (equivalência e implica¸cão semântica)
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸c˜ao
H equivale a G

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸c˜ao
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,

Demonstra¸c˜ao
se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T, e,

Demonstra¸c˜ao
se I[G] = T, ent˜ao I[H] = T

Demonstra¸c˜ao
⇔ H G e G H

Demonstra¸c˜ao
⇔ H G e G H
Portanto, H equivale a G, se, e somente se, H G e G H. cqd

Proposi¸cão 7 (transitividade da equivalência)
Dadas as fórmulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, então E equivale G.

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se

Demonstra¸c˜ao
H equivale a G

Demonstra¸c˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,

Demonstra¸c˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e

Demonstra¸c˜ao
e
H equivale a G

Demonstra¸c˜ao
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,

Demonstra¸cão
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸cão I, I[H] = I[G]
então

Demonstra¸cão
e
então
para toda interpreta¸cão I,

Demonstra¸cão
e
então
para toda interpreta¸cão I, I[E]=I[G]

Demonstra¸cão
e
então
para toda interpreta¸cão I, I[E]=I[G] ⇔ E equivale a G.

Demonstra¸cão
e
então
para toda interpreta¸cão I, I[E]=I[G] ⇔ E equivale a G.
Portanto, se E equivale a H e H equivale a G, então E equivale G. cqd

Proposi¸cão 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de fórmulas.
{H1, H2, · · · , Hn} é satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) é satisfativel.

Demonstra¸c˜ao

Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.

Demonstra¸c˜ao
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel

Demonstra¸cão
{H1, H2, · · · , Hn} é satisfat´ıvel ⇔ para toda interpreta¸cão I,

Demonstra¸cão
{H1, H2, · · · , Hn} é satisfat´ıvel ⇔ para toda interpreta¸cão I, I[Hi ] = T,
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}

Demonstra¸c˜ao
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}

Demonstra¸c˜ao
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}
I[(H1 ∧ (H2 ∧ (· · · ∧ Hn) · · · ))] = T

Demonstra¸c˜ao
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}
I[(H1 ∧ (H2 ∧ (· · · ∧ Hn) · · · ))] = T
⇔ (H1 ∧ (H2 ∧ (· · · ∧ Hn) · · · ))
´e satisfativel.cqd

Equivalˆencias
Equivalˆencias

Equivalências
Nesta se¸cão o objetivo é demonstrar o teorema da
dedu¸cão semântica.

Equivalências
Lema 1 (implica¸cão e tautologia)
Sejam H e G duas fórmulas.
Se {{H é tautologia} e {H G}}, então {G é tautologia}.

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao

Equivalências
Demonstra¸cão
Sejam H e G fórmulas. Por defini¸cão, H é tautologia, se, e somente se,
para toda interpreta¸cão I, I[H] = T. Mas, H G, se, e somente se,
para toda interpreta¸cão I, se I[H] = T, então I[G] = T. Logo, para toda
interpreta¸cão I, I[G] = T, se, e somente se, G é tautologia. Portanto, G é
tautologia. cqd

Equivalências
Lema 2 (implica¸cão e conjun¸cão)
Dadas as fórmulas A, B e C, então
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[A → (B → C)] = T

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[A → (B → C)] = T ⇔ I[A] = F e/ou I[B → C] = T

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
⇔ I[A] = F e/ou {I[B] = F e/ou I[C] = T}

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
⇔ {I[A] = F e/ou I[B] = F} e/ou I[C] = T

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
⇔ I[A ∧ B] = F e/ou I[C] = T

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
⇔ I[A ∧ B] = F e/ou I[C] = T
⇔ I[(A ∧ B) → C] = T

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F
⇔ I[(A ∧ B) → C] = F

Equivalências
Demonstra¸cão
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F
⇔ I[(A ∧ B) → C] = F
Portanto, para toda interpreta¸cão I, I[H] = I[G] = T; isto é, H equivale
a G.

Equivalências
Sejam as fórmulas H e G.
Se {H G}, então {H é tautologia ⇒ G é tautologia}.

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
Pelo Lema 2, o enunciado

Equivalências
Demonstra¸cão
se {H G}, então {H é tautologia ⇒ G é tautologia}
é verdadeiro, pois é equivalente ao enunciado

Equivalências
Demonstra¸cão
é verdadeiro, pois é equivalente ao enunciado
se {{H é tautologia} e {H G}}, então {G é tautologia}
que, pelo Lema 1, é verdadeiro.

Equivalências
Proposi¸cão 9 (equivalência e tautologia)
Sejam as fórmulas H e G,
se {H equivale a G}, então {H é tautologia ⇔ G é tautologia}.

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao

Equivalências
Demonstra¸cão
Pela Proposi¸cão 6,

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
H equivale a G ⇔

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
H equivale a G ⇔ H G e G H
Assim, pelo Lema 3,

Equivalências
Demonstra¸cão
Assim, pelo Lema 3,
se {H G}, então

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
Assim, pelo Lema 3,

Equivalências
Demonstra¸cão
Assim, pelo Lema 3,
e, se {G H}, então

Equivalências
Demonstra¸cão
Assim, pelo Lema 3,
e, se {G H}, então {G é tautologia ⇒ H é tautologia}

Equivalências
Demonstra¸cão
Assim, pelo Lema 3,
e, se {G H}, então {G é tautologia ⇒ H é tautologia}
Logo, pela defini¸cão de bi-implica¸cão, temos que
{H é tautologia ⇔ G é tautologia}

Equivalências
Teorema 1 (teorema da dedu¸cão – forma semântica)
Considere β um conjunto de fórmulas e as fórmulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇒)

Equivalˆencias
Primeiro, assuma que,

Equivalˆencias
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)

Equivalˆencias
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se

Equivalências
Assim, para toda interpreta¸cão I, se I[β] = T então

Equivalências
Assim, para toda interpreta¸cão I, se I[β] = T então I[β ∪ {A}] = T
independentemente de

Equivalˆencias
independentemente de I[A].

Equivalˆencias
independentemente de I[A]. Mas,

Equivalˆencias
independentemente de I[A]. Mas, β ∪ {A} B, ent˜ao

Equivalˆencias
independentemente de I[A]. Mas, β ∪ {A} B, ent˜ao I[B] = T. Logo,

Equivalˆencias
independentemente de I[A]. Mas, β ∪ {A} B, ent˜ao I[B] = T. Logo,
I[A → B] = T.

Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma

Equivalˆencias
Agora, assuma que,

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao

Equivalências
Agora, assuma que,
se β (A → B) então β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸cão I, tal que

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T,

Equivalências
Agora, assuma que,
Assim, para toda interpreta¸cão I, tal que I[β] = I[A] = T, isto é,

Equivalências
Agora, assuma que,
Assim, para toda interpreta¸cão I, tal que I[β] = I[A] = T, isto é, I[β ∪
{A}] = T.

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
{A}] = T. Ent˜ao,

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
{A}] = T. Ent˜ao, I[A → B] = T, pois

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
{A}] = T. Ent˜ao, I[A → B] = T, pois β (A → B); logo,

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
{A}] = T. Ent˜ao, I[A → B] = T, pois β (A → B); logo, I[B] = T.

Equivalˆencias

Equivalˆencias
Agora, assuma que,

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T,

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
I[B] = F,

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos I[A → B] = F, que contradiz

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos I[A → B] = F, que contradiz β (A → B).
Logo,

Equivalˆencias
Agora, assuma que,
Logo, I[B] = T.

Equivalências
Agora, assuma que,
Logo, I[B] = T. Portanto, para toda interpreta¸cão I, se I[β ∪ {A}] = T,
então I[B] = T; isto é, β ∪ {A} B.

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