O documento discute a álgebra de Boole, uma estrutura matemática formal que caracteriza propriedades comuns entre a lógica proposicional e a teoria dos conjuntos. A álgebra de Boole define operações e propriedades que qualquer modelo matemático que compartilhe essas características segue, permitindo generalizações entre contextos.

1. Álgebra de Boole

2. Sumário
• Estrutura e Modelos
• Definições e Propriedades
• Isomorfismo

3. • As mesmas propriedades matemáticas
podem ser observadas em contextos
diferentes?

4. Lógica Proposicional
Equivalência Nome da regra
P ∨ Q
P ∧ Q
Q ∨ P
Q ∧ P
Comutatividade
(P ∨ Q) ∨ R
(P ∧ Q) ∧ R
P ∨ (Q ∨ R)
P ∧ (Q ∧ R)
Associatividade
P ∨ (Q ∧ R)
P ∧ (Q ∨ R)
(P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
(P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Distributividade
P ∨ 0
P ∧ 1
P
P
Elemento Neutro
P ∨ P’
P ∧ P’
1
0
Complemento

5. Teoria dos Conjuntos
A∪B = B∪A A∩B = B∩A Comutatividade
(A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Associatividade
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributividade
A∪∅ = A A∩S = A Existência de
elemento neutro
A∪A´=S A∩A´=∅ Propriedades do
complemento

6. • Uma das especialidades do pensamento
científico é a busca de padrões entre
diversos fenômenos observados.
‣ Seriam, essas semelhanças, manifestações de um
mesmo princípio geral subjacente?
‣ Esse princípio pode ser identificado e estudado
por si mesmo?

7. Modelos e Generalizações
• Uma estrutura matemática é um
conjunto abstrato de objetos, junto com
operações ou relações bem definidas
entre eles
‣ modelo formal que descreve propriedades
específicas (que podem ser comuns a
diferentes sistemas);
‣ generalização que captura um conjunto de
caraterísticas essenciais;

8. • A Álgebra de Boole é uma estrutura
matemática.
‣ A Lógica Proposicional é uma álgebra de boole
‣ A Teoria dos Conjuntos é uma álgebra de boole
‣ A Álgebra de Boole caracteriza formalmente as
propriedades comuns entre Lógica proposicional
e a Teoria dos Conjuntos.
‣ A aritmética de inteiros não é uma álgebra de
boole

9. Definição
Uma álgebra de Boole é um conjunto B no qual estão
definidas duas operações binárias, + e ⋅, e uma operação
unária, ′, e que contém dois elementos distintos, 0 e 1, tais
que as seguintes propriedades são válidas, quaisquer que
sejam x, y, z ∈ B:
x+y = y+x x⋅y = y⋅x Comutatividade
(x+y)+z= x+(y+z) (x⋅y)⋅z= x⋅(y⋅z) Associatividade
x+(y⋅z)=(x+y)⋅(x+z) x⋅(y+z)=(x⋅y)+(x⋅z) Distributividade
x+0 = x x⋅1 = x Elemento neutro
x+x′ = 1 x⋅x′ = 0 Complemento

10. Notação
• Podemos denotar uma álgebra de boole
por [ B, +, ⋅, ′, 0, 1 ]
• Qualquer modelo matemático que seja
uma álgebra de boole possui
‣ as operações +, ⋅ e ′
‣ os elementos 0 e 1
‣ as propriedades especificadas.

11. Complemento
• Se x é um elemento de uma álgebra de
boole, o elemento x′ é denominado o
complemento de x.
• O complemento é único.

12. Propriedades
• A formalização permite identificar as
propriedades comuns a todos os modelos
• Se demonstrarmos uma nova
propriedade, esta nova propriedade será
válida para qualquer álgebra de boole
‣ ela também poderá ser usada para demonstrar
outras propriedades.

13. Idempotência
A propriedade de idempotência da soma
x + x = x
é valida em qualquer álgebra de boole.

14. Exemplo
• Usando as propriedades de uma álgebra
de boole, demonstre que a idempotência
da soma é válida.

15. Exemplo
• Usando as propriedades de uma álgebra
de boole, demonstre que a idempotência
da soma é válida.
x+x = (x+x)⋅1
= (x+x)⋅(x+x′)
= x + (x⋅x′)
= x+0
= x

16. Propriedade Dual
• Cada propriedade em uma álgebra de
Boole tem a sua propriedade dual
• A propriedade dual é obtida
permutando-se + com ⋅ e 1 com 0.
• Exemplos
Propriedade Propriedade Dual
x + x = x x⋅x = x
x+0 = x x⋅1 = x

17. Exemplo
• Como fica a idempotência da soma no
contexto de lógica proposicional?
• E no contexto de teoria dos conjuntos?

18. Exemplo
• Como fica a idempotência da soma no
contexto de lógica proposicional?
• E no contexto de teoria dos conjuntos?
P ∨ P = P

19. Exemplo
• Como fica a idempotência da soma no
contexto de lógica proposicional?
• E no contexto de teoria dos conjuntos?
P ∨ P = P
A ∪ A = A

20. Exemplo
• Prove que propriedade x+1 = 1 é válida
em qualquer álgebra de boole.
• Qual é a propriedade dual?

21. Exemplo
• Prove que propriedade x+1 = 1 é válida
em qualquer álgebra de boole.
• Qual é a propriedade dual?
x+1 = x + (x+x′)
= (x+x)+x′
= x+x′
= 1

22. Exemplo
• Prove que propriedade x+1 = 1 é válida
em qualquer álgebra de boole.
• Qual é a propriedade dual?
x+1 = x + (x+x′)
= (x+x)+x′
= x+x′
= 1
x⋅0 = 0

23. Exercício
• Prove que o complemento é único.

24. Dicas para Demonstrações
• Comece pela expressão mais complexa e
tente mostrar que ela se reduz à expressão
mais simples.
• Considere somar 0 (x⋅x′) ou multiplicar
por 1 (x+x′).
• Lembre-se da idempotência (x⋅x = x e
x+x=x) e da distributividade.

25. Isomorfismo
• Duas instâncias de uma estrutura são
isomorfas se existe uma bijeção que
relaciona os elementos de uma instância aos
elementos da outra, de modo que as
propriedades são preservadas.
‣ Cada instância é uma imagem espelhada da outra.
‣ As duas instâncias são, essencialmente, iguais.

26. Isomorfismo
• Um isomorfismo é uma bijeção que
preserva as propriedades relevantes.
• Exemplo: Sejam (S1,ρ) e (S2,σ) dois
conjuntos parcialmente ordenados.
‣ S1 = {1,2,3,5,6,10,15,30}; x ρ y x divide y
‣ S2 = ℘({1,2,3}); A σ B A ⊆ B
‣ S1 e S2 são isomorfos

27. • A função bijetora f é um isomorfismo do
conjunto parcialmente ordenado (S1,ρ) no
conjunto parcialmente ordenado (S2, σ)
‣ as propriedades são preservadas!
f: {1,2,3,5,6,10,15,30} → ℘({1,2,3})
f(1) = ∅
f(2) = {1}
f(3) = {2}
f(5) = {3}
f(6) = {1,2}
f(10) = {1,3}
f(15) = {2,3}
f(30) = {1,2,3}
A função f-1 é um isomorfismo
de (S2, σ) em (S1, ρ).

28. É fácil encontrar um isomorfismo
entre duas instâncias?
Considere o caso de uma estrutura matemática
mais complexa, como uma álgebra de Boole.
O isomorfismo precisa preservar também o
comportamento das operações!

29. efetuar a operação e
aplicar a bijeção
aplicar a bijeção e
efetuar a operação
=
a, b c
operação
r, s
bijeção bijeção
t
operação
f(a) = r
f(b) = s
f(c) = t

30. Isomorfismo de Álgebras de Boole
• Sejam A1 e A2 álgebras de Boole.
‣ A1 = [B, +, ×, ′, 0, 1] e A2 = [C, ⊕, ⊗, ″, ∅, ⊥]
• Uma função f: B→C é um isomorfismo de
A1 em A2 se:
1. f é uma bijeção
2. f( x + y) = f(x) ⊕ f(y)
3. f( x × y) = f(x) ⊗ f(y)
4. f(x′) = (f(x))″

31. Exemplo
• Sejam A1 e A2 álgebras de Boole.
‣ A1 = [ {0, 1, a, a′}, +, ⋅, ′, 0, 1]
‣ A2 = [ ℘(S), ∪, ∩, ′, ∅, S], S = {1,2}
′⋅

32. Exemplo
• Então a função f, como definida a seguir, é
um isomorfismo de A1 em A2
f(0) = ∅
f(1) = S
f(a) = {1}
f(a′) = {2}

33. • Não é fácil determinar se duas instâncias
de uma estrutura matemática são
isomorfas.
• Porém, sabemos que
‣ Se B é uma álgebra de Boole com n elementos
e n = 2m para algum m, então B é isomorfa a
[℘(S), ∪, ∩, ′, ∅, S], S = {1, 2, ... , m}.