Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Die SlideShare-Präsentation wird heruntergeladen. ×

บทที่ 1 หน่วยวัดและปริมาณทางฟิสิกส์

Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Wird geladen in …3
×

Hier ansehen

1 von 60 Anzeige
Anzeige

Weitere Verwandte Inhalte

Diashows für Sie (20)

Andere mochten auch (11)

Anzeige

Ähnlich wie บทที่ 1 หน่วยวัดและปริมาณทางฟิสิกส์ (20)

Weitere von Thepsatri Rajabhat University (20)

Anzeige

Aktuellste (20)

บทที่ 1 หน่วยวัดและปริมาณทางฟิสิกส์

  1. 1. บทที่ 1 หน่วยวัดและปริมาณทางฟิสิกส์ อ.ณภัทรษกร สารพัฒน์ สาขาวิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏเทพสตรี ลพบุรี
  2. 2. หน่วยวัด และ การวัด สิ่งสาคัญของการเรียนวิชาฟิสิกส์ คือ การวัด
  3. 3. การวัด คือ การคานวณค่าปริมาณที่ไม่ทราบค่าว่ามีปริมาณที่กาหนดคงที่ เท่าใด ปริมาณที่กาหนดคงที่นี้เรียกว่า หน่วย (unit) ฉะนั้นการวัดจึงต้องมีระบบหน่วยวัดที่ถูกต้องเชื่อถือได้และใช้ สะดวก เพื่อให้เป็นสากลทั่วโลกหน่วยวัดจึงต้องใช้ค่าเหมือนกัน ซึ่งจาเป็นต้องมีคาจากัดความที่ชัดเจนเกี่ยวกับหน่วยวัดและวิธีคานวณ ปรับเทียบกับระบบวัด ลักษณะนี้เรียกว่า มาตรฐาน (standard) เป็น การ ปรับเทียบ (calibration) คือ การตรวจสอบระบบวัดให้ตรงกับมาตรฐานเมื่อ ระบบอยู่ในสภาพที่สอดคล้องกับสภาพที่กาหนดไว้ในมาตรฐาน การวัด
  4. 4.  ปี ค.ศ. 1960 การประชุม The 11th Conference General des Poised Measures ได้ยอมรับระบบ System International Unit's ให้เป็นระบบ หน่วยวัดสากล ระบบนี้เรียกว่าระบบ “SI” ในการประชุมครั้ง ต่อมาได้มีการปรับแต่งระบบจนปัจจุบันนี้มีหน่วยวัดพื้นฐาน 7 ประเภท คือ วัดมวลเป็นกิโลกรัม(kg) วัดความยาวเป็นเมตร(m) นับเวลาเป็นวินาที(s) วัดกระแสเป็นแอมแปร์(A) วัดอุณหภูมิเป็นองศาเคลวิน (K) วัดความเข้มแสงสว่างเป็นแคนเดลา(cd) และวัดปริมาณสสารเป็นโมล(mol) จากหน่วยวัดพื้นฐานเหล่านี้ทาให้ได้หน่วย อนุพันธ์อื่น ๆ หน่วยวัด
  5. 5. หน่วยวัด o ระบบอังกฤษ o ระบบสากลระหว่างชาติ (SI) o ระบบเมทริก (CGS) ระบบหน่วย เวลา มวล ความยาว ความเร็ว SI วินาที กิโลกรัม เมตร เมตร/วินาที CGS วินาที กรัม เซนติเมตร เซนติเมตร/วินาที อังกฤษ วินาที ปอนด์มวล ฟุต ฟุต/วินาที
  6. 6. หน่วย SI แบ่งเป็น หน่วยฐาน และ หน่วยอนุพัทธ์ หน่วยฐาน เป็นหน่วยของปริมาณฐานซึ่งมี 7 ปริมาณ ดังนี้ หน่วยวัด ปริมาณฐาน สัญลักษณ์ หน่วยฐาน สัญลักษณ์ ความยาว l, s เมตร m มวล m กิโลกรัม kg เวลา t วินาที s อุณหภูมิทาง เทอร์โมไดนามิกส์ T เคลวิน K กระแสไฟฟ้า I แอมแปร์ A ความเข้มของการ ส่องสว่าง I แคนเดลา cd ปริมาณสสาร n โมล mol
  7. 7. หน่วยอนุพัทธ์ คือ หน่วยที่มีหน่วยฐานหลายหน่วย มาเกี่ยวเนื่องกัน เช่น หน่วยวัด ความเร็ว มีหน่วย m/s โมเมนตัม มีหน่วย kg.m/s แรง มีหน่วย kg. m/s2 หรือ นิวตัน, N
  8. 8. หน่วยอนุพันธ์เอสไอที่มีชื่อเฉพาะ ชื่อหน่วย สัญลักษณ์ ปริมาณ การแสดงออกในรูปหน่วยฐาน เฮิรตซ์ Hz ความถี่ s−1 เรเดียน rad มุม m·m−1 สเตอเรเดียน sr มุมตัน m2·m−2 นิวตัน N แรง kg m s −2 จูล J พลังงาน N m = kg m2 s−2 วัตต์ W กาลัง J/s = kg m2 s−3 ปาสกาล Pa ความดัน N/m2 = kg m −1 s−2 ลูเมน lm ฟลักซ์ส่องสว่าง cd sr = cd ลักซ์ lx ความสว่าง cd m−2 คูลอมบ์ C ประจุไฟฟ้า A s โวลต์ V ความต่างศักย์ J/C = kg m2 A−1 s−3 โอห์ม Ω ความต้านทานไฟฟ้า V/A = kg m2 A−2 s−3
  9. 9. หน่วยอนุพันธ์เอสไอที่มีชื่อเฉพาะ ชื่อหน่วย สัญลักษณ์ ปริมาณ การแสดงออกในรูปหน่วยฐาน ฟารัด F ความจุไฟฟ้า Ω−1 s = A2 s4 kg−1 m−2 เวเบอร์ Wb ฟลักซ์แม่เหล็ก kg m2 s−2 A−1 เทสลา T ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก Wb/m2 = kg s−2 A−1 เฮนรี H ความเหนี่ยวนาไฟฟ้า Ω s = kg m2 A−2 s−2 ซีเมนส์ S ความนา Ω−1 = kg−1 m−2 A2 s3 เบกเคอเรล Bq กันมันตภาพของรังสี s−1 เกรย์ Gy ขนาดกาหนดของการดูดกลืนรังสี J/kg = m2 s−2 ซีเวิร์ต Sv ขนาดกาหนดของกัมมันตภาพรังสี J/kg = m2 s−2 องศาเซลเซียส °C อุณหภูมิอุณหพลวัต K − 273.15 คาทัล kat อานาจการเร่งปฏิกิริยา mol/s = s−1·mol
  10. 10. คาอุปสรรคในระบบ SI ถ้าค่าของหน่วยมูลฐานหรือหน่วยอนุพัทธ์ มากหรือน้อย เกินไป การเขียนแบบธรรมดาจะยุ่งยาก เช่น ความเร็วแสงมีค่าประมาณ 300,000,000 เมตรต่อวินาที โดยการเปลี่ยนรูปแบบการเขียนจานวนเป็นการเขียนใน รูป 10 ยกกาลัง เช่น 108 เพื่อความสะดวกจึงใช้คาอุปสรรค (prefix) แทนค่า 10 ยกกาลังเหล่านั้น
  11. 11. คาอุปสรรคแทน 10 ยกกาลังเลขบวก คาอุปสรรค ความหมาย สัญลักษณ์ exa- 1018 E peta- 1015 P tera- 1012 T giga- 109 G mega- 106 M kilo- 103 k hecto- 102 H deka- 101 Da
  12. 12. คาอุปสรรคแทน 10 ยกกาลังเลขลบ (ค่าน้อยกว่า 1) คาอุปสรรค ความหมาย สัญลักษณ์ deci- 10-1 d centi- 10-2 c milli- 10-3 m micro- 10-6  nano- 10-9 n pico- 10-12 p femto- 10-15 f atto- 10-18 a
  13. 13. ตัวอย่าง : 300,000,000 เมตรต่อวินาที = 3 x108 เมตรต่อวินาที 60,000,000 g = 60 x106 g = 60 Mg = 60,000 x 103 g = 60,000 kg 10 km = 10 x 103 m 2 ms = 2 x 10-3 s = 0.002 s
  14. 14. 1) 1 km = mm 2) 1.5 nm = m 3) 2.7 m3 = mm3 4) 1.45 kN = mN 5) 1.4 MHz = kHz กิจกรรม จงเปลี่ยนหน่วยเหล่านี้ให้ถูกต้อง
  15. 15. การเปลี่ยนหน่วย - เปลี่ยนจาก หน่วยที่เล็ก ไปสู่ หน่วยที่ใหญ่กว่า เช่น เปลี่ยนจาก mm. ไปเป็น m. เปลี่ยนจาก inch ไปเป็น m. นา conversion factor ไป หาร o หน่วยวัด
  16. 16. การเปลี่ยนหน่วย ตัวอย่าง 1 ถ้าต้องการเปลี่ยน 2500 m ให้เป็น km จาก 1 km = 103 m ดังนั้น 2500 m = 2500/103 km = 2.5 km o หน่วยวัด
  17. 17. การเปลี่ยนหน่วย ตัวอย่าง 2 ถ้าต้องการเปลี่ยน 254 cm ให้เป็น inch จาก 1 inch = 2.54 cm ดังนั้น 254 cm = 254/2.54 inch = 100 inch o หน่วยวัด
  18. 18. การเปลี่ยนหน่วย - เปลี่ยนจาก หน่วยที่ใหญ่ ไปสู่ หน่วยที่เล็กกว่า เช่น เปลี่ยนจาก m. ไปเป็น mm. เปลี่ยนจาก m. ไปเป็น inch นา conversion factor ไป คูณ o หน่วยวัด
  19. 19. การเปลี่ยนหน่วย ตัวอย่าง 3 ถ้าต้องการเปลี่ยน 2.5 km ให้เป็น m จาก 1 km = 103 m ดังนั้น 2.5 km = 2.5*103 m = 2500 m o หน่วยวัด
  20. 20. การเปลี่ยนหน่วย ตัวอย่าง 4 ถ้าต้องการเปลี่ยน 100 inch ให้เป็น cm จาก 1 inch = 2.54 cm ดังนั้น 100 inch = 100*2.54 cm = 254 cm o หน่วยวัด
  21. 21. การเปลี่ยนหน่วย การหา conversion factor ถ้าต้องการเปลี่ยนชั่วโมง , h เป็นวินาที, s 1 h = 60 min 1 min = 60 sและ 1 h = 60*60 = 3600 s o หน่วยวัด
  22. 22. การเปลี่ยนหน่วย ถ้าต้องการเปลี่ยน km/h เป็น m/s จาก 1 km = 103 m 1 h = 3600 sและ o หน่วยวัด 𝟏 𝐤𝐦 𝐡 = 𝟏𝟎 𝟑 𝐦 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝐬 = 𝟓 𝐦 𝟏𝟖 𝐬
  23. 23. การเปลี่ยนหน่วย ถ้าต้องการเปลี่ยน km/h เป็น m/s ให้เอา 5/18 ไป ถ้าต้องการเปลี่ยน m/s เป็น km/h ให้เอา 5/18 ไป คูณ หาร o หน่วยวัด
  24. 24. ตัวอย่าง 5 จงเปลี่ยนอัตราเร็ว 36 ไมล์/ชั่วโมงให้เป็น เมตร/วินาที เมื่อ 1 ไมล์ = 1.6 km วิธีทา 1 ไมล์ = 1.6 km = 1600 m 1 h = 3600 s 𝟏 𝐦𝐢 𝐡 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝐦 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝐬 = 𝟒 𝟗 𝐦/𝐬 3𝟔 𝐦𝐢 𝐡 = 𝟑𝟔 × 𝟒 𝟗 𝐦/𝐬 = 𝟏𝟔 𝐦/𝐬 ตอบ
  25. 25. ตัวอย่างที่ 6 ถังบรรจุน้ามันรถยนต์ มีน้ามันในถัง 10 ลิตร สถานีบริการน้ามันเติมน้ามันด้วยอัตรา 5 ลิตร/นาที ถ้าเติม น้ามันเป็นเวลา 96 วินาที จะมีน้ามันภายในถังทั้งหมดเท่าไร วิธีทา ปริมาณน้ามันทั้งหมด = มีอยู่เดิม + ที่เติม มีอยู่เดิม = 10 ลิตร 𝟓 𝐋 𝐦𝐢𝐧 = 𝟓 𝐋 𝟔𝟎 𝐬 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟑 𝐋/𝐬
  26. 26. ดังนั้น ถ้าเติมน้ามันเป็นเวลา 96 วินาที จะได้น้ามัน = 10 + 8 L = 18 L ตอบ 𝟗𝟔 𝐬 × 𝟎. 𝟎𝟖𝟑 𝐋 𝐬 = 𝟖 𝐋 ปริมาณน้ามันทั้งหมด = มีอยู่เดิม + ที่เติม
  27. 27. ปริมาณทางฟิสิกส์ ปริมาณทางฟิสิกส์มีมีกี่ประเภท
  28. 28. เวกเตอร์ ปริมาณต่างๆ ในวิชาฟิสิกส์แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ ปริมาณสเกลาร์ ปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณที่ระบุเพียงขนาดและ หน่วย ก็ได้ความสมบูรณ์ เช่น มวล ( kg ) พื้นที่ (m2) ความถี่ ( Hz ) เวลา (s) อุณหภูมิ ( K ) เป็นต้น ปริมาณที่ต้องระบุทั้ง ขนาด และ ทิศทาง จึงได้ความ สมบูรณ์ เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง แรง เป็นต้น
  29. 29. o เวกเตอร์ ปริมาณเวกเตอร์ โดยทั่วไปเขียนด้วยลูกศรที่มีความ ยาวเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ และมีทิศเดียวกับเวกเตอร์บน ลูกศรจะมีอักษรย่อกากับว่าเป็นเวกเตอร์ของปริมาณใด เช่น มีแรง 𝑭 ขนาด 30 N กระทาต่อวัตถุทิศขวา 𝑭 ขนาด 30 N
  30. 30. o คุณสมบัติของเวกเตอร์ • การเท่ากันของเวกเตอร์ - ถ้า 𝐀 = 𝐁 แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน และทิศทางเดียวกัน 𝐩 −𝐩 𝐩 𝐩 𝐀 𝐁 - ถ้า 𝐀 = −𝐁 แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน และทิศทางเดียวกัน
  31. 31. ขนาดของเวกเตอร์ สัญลักษณ์ s , v , F , p หรือ o เวกเตอร์ 𝒔 , 𝒗 , 𝑭 , 𝒑
  32. 32. การบวกเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ทาได้ 2 วิธี คือ การบวก เวกเตอร์โดย วิธีเขียนรูป และ การบวก เวกเตอร์โดย วิธีคานวณ o เวกเตอร์
  33. 33. การบวกเวกเตอร์โดยวิธีเขียนรูป ทาได้โดยนาเวกเตอร์ที่จะบวกมาต่อกันให้หัว ลูกศรเรียงตามกัน โดยผลรวมหรือ เวกเตอร์ลัพธ์ คือ เวกเตอร์ที่ลากจากหางลูกศรของเวกเตอร์แรกไปยังหัว ลูกศรของเวกเตอร์สุดท้าย o เวกเตอร์
  34. 34. 4 หน่วย 3 หน่วย การบวกเวกเตอร์โดยวิธีเขียนรูป + o เวกเตอร์ 𝐀 𝐁 𝐑 = 𝐀 + 𝐁 𝐀 𝐁 𝟑𝟕° 𝐑
  35. 35. ตัวอย่าง 7 + + + A = 3 หน่วย, B = 2 หน่วย, C = 2 หน่วย, D = 1 หน่วย จากการวัดเวกเตอร์ลัพธ์ มีขนาด 6 หน่วย 𝐑 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 + 𝐃 𝐑 𝐀 𝐁 𝐂 𝐃
  36. 36. คุณสมบัติการบวกของเวกเตอร์ กฎการสลับที่ กฎการเปลี่ยนกลุ่ม o เวกเตอร์ 𝐀 + 𝐁 = 𝑩 + 𝐀 = 𝑹 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 = 𝑨 + 𝐁 + 𝐂 = 𝑹
  37. 37. o กฎการสลับที่ + ถ้ายก 𝐑 ในรูปมาซ้อนจะได้ 𝐀 𝐁 𝐀 𝐁 𝐀 𝐁 𝐀 𝐁 𝐀 𝐁 𝐑
  38. 38. o กฎการเปลี่ยนกลุ่ม 𝐑 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 + + 𝐀 𝐁 𝐂 𝐀 + 𝐁 𝐑 𝐂 𝐀 𝐁 𝐁 + 𝐂 𝐑 𝐂 𝐀 𝐁 𝐑 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 𝐑 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂
  39. 39. o การบวกเวกเตอร์โดยวิธีคานวณ การบวกเวกเตอร์โดยวิธีคานวณทาได้ทีละ 2 เวกเตอร์ ถ้า 𝐏 เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 𝐏 𝐐 เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 𝐐 𝜽 เป็นมุมระหว่าง 𝐏 และ 𝐐 𝐏 𝐐 𝜽 𝐑 𝐏 𝐐 𝜽 𝜸 𝜶 𝜷
  40. 40. การหาขนาดของ 𝐑 โดยใช้ กฏโคไซน์ การหาทิศของ 𝐑 โดยใช้ กฏไซน์ o การบวกเวกเตอร์โดยวิธีคานวณ 𝑹 𝟐 = 𝑷 𝟐 + 𝑸 𝟐 + 𝟐𝑷𝑸 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑹 𝟐 = 𝑷 𝟐 + 𝑸 𝟐 − 𝟐𝑷𝑸 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝐏 𝐬𝐢𝐧 𝛃 = 𝐐 𝐬𝐢𝐧 𝛄 = 𝐑 𝐬𝐢𝐧 𝛂
  41. 41. o การบวกเวกเตอร์โดยวิธีคานวณ 𝑹 𝟐 = 𝑷 𝟐 + 𝑸 𝟐 + 𝟐𝑷𝑸 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎° 𝜽 = 𝟗𝟎° 𝑹 𝟐 = 𝑷 𝟐 + 𝑸 𝟐 → ทฤษฎีบทปิทากอรัส 𝟎𝐏 𝐐 𝜽
  42. 42. ตัวอย่าง 8 จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ ของ 𝐀 และ 𝐁 ที่กาหนดให้ดังรูป ด้วยวิธีคานวณ 4 หน่วย 2 หน่วย 𝟏𝟐𝟎° 𝐀 𝐁
  43. 43. วิธีทา ≈ 3.46 หน่วย ตอบ 𝟏𝟐𝟎° 𝐀 𝐁 𝛄 𝜷 𝟔𝟎° 𝐑 จาก กฎโคไซน์ จะได้ 𝑹 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 − 𝟐𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° = 𝟒 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟐 𝑹 = 𝟏𝟐
  44. 44. o การลบเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ ทาได้โดย การบวกกับเวกเตอร์ที่ เป็นลบ เช่น ตัวอย่าง 2.3 จงหาขนาดและทิศทางของผลต่าง ของเวกเตอร์ 𝐀 และ 𝐁 ที่กาหนดให้ดังรูป 4 หน่วย 𝐀 − 𝐁 = 𝑨 + −𝐁 𝐀 𝐁 −𝐁 2 หน่วย 𝟏𝟐𝟎°
  45. 45. วิธีทา จากการบวกกับเวกเตอร์ที่เป็นลบ 𝐀 ขนาด 4 หน่วย จากสมการ จะได้ 𝐑 = 𝐀 − 𝐁 = 𝐀 + −𝐁 −𝐁 ขนาด 2 หน่วย𝟏𝟐𝟎° 𝑹 ≈ 5.29 หน่วย ตอบ 𝑹 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 − 𝟐𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟐𝟎° = 𝟒 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟒 𝟐 −𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° = 𝟏𝟔 + 𝟒 − 𝟐 𝟒 𝟐 − 𝟏 𝟐 = 𝟐𝟎 + 𝟖  𝑹 = 𝟐𝟖
  46. 46. จาก กฎไซน์ หาทิศทางของเวกเตอร์ จะได้ว่า เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาด 5.29 หน่วย 𝐁 𝐬𝐢𝐧 𝛄 = 𝐑 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟐𝟎°  𝐁 𝐬𝐢𝐧 𝛄 = 𝐑 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎°  𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝛄 = 𝟓.𝟐𝟗 𝟎.𝟖𝟔𝟔  𝐬𝐢𝐧 𝛄 = 𝟐 𝟎.𝟖𝟔𝟔 𝟓.𝟐𝟗 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟕  𝛄 = sin−𝟏 𝟎. 𝟑𝟐𝟕 มีทิศทามุม 𝛄 = sin−𝟏 𝟎. 𝟑𝟐𝟕 = 𝟏𝟗° กับ 𝑨
  47. 47. o องค์ประกอบเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก การแยกเวกเตอร์เป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ y x 𝐴 𝐵
  48. 48. y x 𝑖 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศ +𝐱 𝑗 เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศ +𝐲 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑥 = 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 = 𝐴 𝑦 𝐴 𝑥 = 𝐴 𝑥 𝑖 𝐴 𝑦 = 𝐴 𝑦 𝑗 𝐴 = 𝐴 = 𝐴 𝑥 2 + 𝐴 𝑦 2
  49. 49. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่ง หน่วย และมีทิศเดียวกับเวกเตอร์ที่สนใจ ถ้า 𝐴 เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 𝐴 𝑎 เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกับ จะได้ หรือ o เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ( Unit Vector ) 𝐴 = 𝐴 𝑎𝑎 = 𝐴 𝐴
  50. 50. o เวกเตอร์หนึ่งหน่วย ( Unit Vector ) กาหนดให้ 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 𝑎 𝐴 𝑎 = 𝐴 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 𝐴 𝑥 2 + 𝐴 𝑦 2 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์ 𝐴 คือ 𝑎
  51. 51. ตัวอย่างที่ 9 𝑎 = 4 𝑖 − 3 𝑗 และ 𝑏 = 6 𝑖 + 8 𝑗 จงหาขนาดและ ทิศทางเทียบกับแกน x ของเวกเตอร์ ต่อไปนี้ (a) 𝑎 (b) 𝑏 (c) 𝑎 + 𝑏 (d) 𝑏 − 𝑎 (e) 𝑎 − 𝑏
  52. 52. o ผลคูณของเวกเตอร์ ผลคูณเชิงสเกลาร์ A ∙ B = ABcosθ = A B cosθ A B θ
  53. 53. o ผลคูณเชิงสเกลาร์ 𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘 และ 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝑖 ∙ 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑥 𝑖 ∙ 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑥 𝑖 ∙ 𝐵𝑧 𝑘 + 𝐴 𝑦 𝑗 ∙ 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 ∙ 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑦 𝑗 ∙ 𝐵𝑧 𝑘 + 𝐴 𝑧 𝑘 ∙ 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑧 𝑘 ∙ 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘 ∙ 𝐵𝑧 𝑘 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑖 = 0 𝑖 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 = 0 𝑘 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 0
  54. 54. Ex. จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ทั้ง 2 ดังนี้ วิธีทา จาก o ผลคูณเชิงสเกลาร์ 𝐴 = 2 𝑖 + 3 𝑗 + 4 𝑘 𝐵 = 𝑖 − 2 𝑗 + 3 𝑘 𝐴 𝑥 = 2 𝐵𝑥 = 1 𝐴 𝑦 = 3 𝐵𝑦 = −2 𝐴 𝑧 = 4 𝐵𝑧 = 3 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧 𝐴 𝐵 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧 = 2 1 + 3 −2 + 4 3 = 8 𝐴 = 22 + 32 + 42 = 29 𝐵 = 12 + −2 2 + 32 = 14
  55. 55. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 8 29 14 = 0.397 = cos−1 0.397 𝜃 = 66.6° Ans ดังนั้น 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧 𝐴 𝐵
  56. 56. o ผลคูณเชิงเวกเตอร์ การครอสเวกเตอร์ ถ้า 𝛉 = 𝟎° และ 𝛉 = 𝟏𝟖𝟎° จะทาให้ผลการครอสมีค่าเท่ากับศูนย์ C = A × B C = A B sinθ A B θ
  57. 57. o ผลคูณเชิงเวกเตอร์ C = A × B
  58. 58. o ผลคูณเชิงเวกเตอร์ A × B = −B × A 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘 × 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝑖 × 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑥 𝑖 × 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑥 𝑖 × 𝐵𝑧 𝑘 + 𝐴 𝑦 𝑗 × 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑦 𝑗 × 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑦 𝑗 × 𝐵𝑧 𝑘 + 𝐴 𝑧 𝑘 × 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴 𝑧 𝑘 × 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘 × 𝐵𝑧 𝑘 𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘 × 𝑘 = 0 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑘 𝑗 ∙ 𝑖 = − 𝑘 𝑖 ∙ 𝑘 = − 𝑗 𝑘 ∙ 𝑖 = 𝑗 𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑖 𝑘 ∙ 𝑗 = − 𝑖
  59. 59. o ผลคูณเชิงเวกเตอร์ C = A × B = 𝐴 𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴 𝑧 𝐵𝑦 𝑖 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑥 − 𝐴 𝑥 𝐵𝑧 𝑗 + 𝐴 𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴 𝑦 𝐵𝑥 𝑘 𝐶 𝑦 𝐶𝑧𝐶 𝑥 A × B = 𝑖 𝑗 𝑘 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
  60. 60. ตัวอย่างที่ 10 เวกเตอร์ 𝑎 = 3 𝑖 + 3 𝑗 − 2 𝑘, 𝑏 = − 𝑖 − 4 𝑗 + 2 𝑘 และ 𝑐 = 2 𝑖 + 2 𝑗 + 𝑘 จงหา (a) a ∙ b + c (b) a × b + c (c) a × b × c

×