Tema 2. DIVISIBILITAT

Múltiples
Diem que un nombre a és múltiple del nombre b
quan a es pot aconseguir multiplicant b per un
altre nombre que no tingui decimals.
30 = 6 · 5 30 és múltiple de 6
30 és múltiple de 5
42 = 6 · 7 42 és múltiple de 2
42 és múltiple de 7
Múltiples 1

Per calcular múltiples d’un nombre a, només
hem d’anar multiplicant-lo per altres nombres.
El resultat forma el llistat de múltiples de a.
4·3
6
5
4
2
1
Múltiples de 4: 4 8 12 16 20 24 ...
Un nombre té infinits múltiples
Múltiples 2

Divisors
Un nombre a és divisor d’un altre nombre b si la
divisió b : a és exacta, és a dir, si el quocient
no té cap xifra decimal o si el residu de la
divisió sense decimals és 0.
24 : 8 = 3 Com que la divisió és exacta, diem que 8 és divisor de 24
24 : 5 = 4’8 Com que la divisió no és exacta, 5 no és divisor de 24
Quan a és divisor de b, podem dir també que
b és divisible per a.
Divisors 1

Fixa’t en que quan una divisió és exacta, no
només trobes un divisor...
60 : 5 = 12 Divisió exacta 5 és divisor de 60
...ja que si fas la divisió entre el quocient també
dóna exacta
60 : 12 = 5 Divisió exacta 12 és divisor de 60
Per tant , en realitat has trobat dos divisors
60 : 5 = 12 Divisió exacta 5 i 12 són divisors de 60

La propietat anterior es pot fer servir per trobar
tots els divisors d’un nombre a. El sistema
consisteix en dividir a entre 1, entre 2, etc...
Quan la divisió és exacta, apuntem com a
divisors d’a el divisor i el quocient.
Divisors de 24 = { 1, 2, 3, 4, 6 ,8 , 12 , 24 }
No afegim cap
24 : 1 = 24 24 : 2 = 12 24 : 3 = 8 24 : 4 = 6 24 : 5 = 4’8
Exacta Exacta Exacta Exacta No Exacta
Pots parar quan arribes a dividir entre un nombre superior a a
En l’exemple, com que 24 4'... No hauria calgut dividir entre 5.

Relació entre múltiples i divisors
Ser divisor i múltiple d’un nombre són
propietats inverses, és a dir, si un nombre a és
múltiple de b, llavors b és divisor d’a i
viceversa
30 és múltiple de 6 30 = 6 · 5
6 és divisor de 30 La divisió és exacta 30 : 6 = 5

No et confonguis!
Soleu tenir molts problemes per distingir quin
nombre és el múltiple i quin és el divisor de
l’altre. Per no fer-ho, recordeu un petit
truquet: el múltiple és més gran; el divisor és
més petit.

Nombres primers i compostos
Tots els nombres superiors a 1 tenen almenys
dos divisors: l’1 i ell mateix. Quan no té cap
altre divisor, diem que és un nombre primer.
En cas contrari, parlem de nombre compost.
N’hi ha un nombre infinit de nombres primers,
però cal conèixer la llista dels primers
nombres primers:
2 3 5 7 11 13 17 19 ...
I no, el nombre 1 no és primer perquè només té un divisor: ell mateix

Descomposició en factors primers
Tots els nombres compostos es poden escriure com a
producte de nombres primers.
90 = 2 · 3 · 3 · 5 252 = 2 · 2 ·3 · 3 · 7 1320 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11
Per estalviar espai, si n’hi ha factors primers
repetits s’escriuen en forma de potència
90 = 2 · 32· 5 252 = 22 ·32 · 7 1320 = 23· 3 · 5 · 11
Aquesta expressió d’un nombre com a producte de
potències de nombres primers es coneix com
la descomposició factorial del nombre.

Per calcular la descomposició factorial d’un nombre a, anem
dividint a entre els nombres primers, successivament. Si la divisió
és exacta, apuntem el nombre primer i continuem fent el mateix
amb el resultat fins que obtinguem com a resultat l’1.
Evidentment, hem de conèixer quins són els nombre primers per
poder portar a terme aquest procés.
252 2 Si multipliquem amb el nombre el nombre
Escrivim el provant els nombres primers de l’esquerra,
Comencemresultat de la divisió sotaprimer més petit, el 2
126 2 el resultat serà amb el resultat
Repetim el procés el nombre que volíem descomposar.
63 3 Com que aquest nombre no es pot dividir entre 2,
252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7
passem al següent nombre primer, el 3 els nombres primers
21 3 Anem repetint successivament amb tots
7 7 Agrupem en forma de potències i ja tenim
1 la descomposició factorial del nombre.
Parem quan arribem a l’1
252 = 22 · 32 · 7

Criteris de divisibilitat
Per poder fer les descomposicions factorials més
ràpidament, convé conèixer els criteris de
divisibilitat més habituals.
Els criteris de divisibilitat són una sèrie de
normes i consells que ens permeten detectar
gairebé a primera si un nombre és divisible per
un altre.
Anem a recordar els criteris de divisibilitat més
fàcils i habituals.

Divisibilitat per 2
Un nombre és divisible per 2 quan acaba en
0, 2, 4, 6 o 8. Així de fàcil.
15.538 Acaba en 8 És divisible per 2
(si no t’ho creus, comprova-ho; 15.538 : 2 = 7.769)
60.843 Acaba en 3 No és divisible per 2

Divisibilitat per 5
El criteri de divisibilitat del 5 és tan fàcil com
l’anterior: un nombre es pot dividir per 5 si
acaba en 0 o 5. Si acaba en una altra xifra, no
és divisible per 5.
45.675 Acaba en 5 És divisible per 5
678.120 Acaba en 0 És divisible per 5
2.134 No acaba ni en 0 ni en 5 No és divisible per 5

Divisibilitat per 3
Per saber si un nombre és divisible per 3 hem de
sumar totes les seves xifres. Si el resultat és
múltiple de 3, el nombre inicial és divisible per 3
237 2 + 3 + 7 = 12 12 és múltiple de 3 237 és divisible per 3
(En efecte, 237 : 3 = 79, divisió exacta)
401 4+0+1=5 5 no és múltiple de 3 401 : 3 no és exacta
Si al sumar dóna un nombre molt gran, pots tornar a fer servir
el criteri amb el resultat.
95.688 9 + 5 + 6 + 8 + 8 = 36 3+6=9 9 és múltiple de 3 Divisible!

Altres criteris de divisibilitat
Divisibilitat per 4: Només cal comprovar si el nombre
format per les dues últimes xifres és múltiple de 4.
256.732 32 : 4 dóna exacte 256.732 és divisible per 4
Divisibilitat per 9: Sumem les xifres i comprovem que
el resultat és múltiple de 9
4 + 5 + 6 + 2 + 1 = 18
45.621 45.621 és divisible per 9
18 és múltiple de 9
Divisibilitat per 10: Un nombre és divisible per 10
només quan acaba en 0.

Divisors comuns
Els divisors comuns de dos (o més) nombres son
aquells nombres que són divisors de tots dos alhora.
Divisors de 24 = {1, 2, 3 , 4, 6, 8, 12, 24} Divisors de 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Divisors comuns de 24 i 30 = { 1 , 2 , 3 , 6 }
L’1 és sempre un divisor comú de qualsevol conjunt de
nombres, ja que és divisor de tots.
El més importants dels divisors comuns és el més alt,
anomenat Màxim Comú Divisor (M.c.d).
M.c.d. (24, 30) = 6

Calcular el M.c.d. de dos (o més) nombres com ho
hem fet abans pot ser molt llarg, especialment si
els nombres són grans. Per això, ho farem amb
un altre mètode, més directe.
Calculem el M.c.d. de 120, 180 i 252
120 = 23 · 3 · 5
Calculem el M.c.d. agafant la
Seleccionem els nombres primers que 180 = 22 · 32 · 5
potència d’exponent més baix de
es repeteixen en totes les
cadascun d’aquests factors i
Primer, hemdescomposicions
de fer les descomposicions
multiplicant-les. 252 = 22 · 32 ·7
factorials de tots els nombres.
Es repeteixen el 2 i el 3
M.c.d. (120, 180, 252) = 22 · 3 = 12

Múltiples comuns
Els múltiples comuns de dos (o més nombres) són aquells
nombres que són múltiples de tots ell al mateix temps.
Múltiples de 20 = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, ...}
Múltiples de 12 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132 144, ...}
Múltiples comuns = { 60, 120, 180, 240, ...}
Com que cada nombre té infinits múltiples, hem de fer molts o
fer servir la imaginació per trobar uns quants múltiples comuns.
De tots els múltiples comuns, el més important és el més petit,
al que anomenem el Mínim Comú Múltiple (m.c.m.).
m.c.m. (12, 20) = 60

Calcular el m.c.m. de dos (o més) nombres amb la
llista de múltiples pot ser molt llarg, així que
també ho calcularem amb un mètode basat en la
descomposició factorial.
Calculem el m.c.m. de 12, 18 i 40
Primer, hem de fer les descomposicions 12 = 22 · 3
factorials de tots els nombres.
Calculem el m.c.m. agafant la 18 = 2 · 32
potència d’exponent més alt de
cadascun dels factors primers que 40 = 23 · 5
apareixen, estiguin repetits o no, i
multiplicant-les.
m.c.d. (12, 18, 40) = 23 · 32 · 5 = 360