1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam menyelesaikan soal dalam matematika penting untuk diketahui
tentang teori yang berlaku dalam penyelesaian sebuah soal. Hal ini penting
dilakukan supaya dalam penyelesaiannya memperhatikan prosedur
penyelesaian soal . seperti dalam penyelesaian soal keterbagian.
Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalam
teori bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. Keterbagian
bilangan merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, oleh
karenanya kita sebagai mahasiswa dan mahasiswi pendidikan matematika
harus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikapi hal
tersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya dalam
bentuk catatan yang akan menambah pengetahuan kita semua sebagai
mahasiswa pendidikan matematika.
1.2 Rumusan masalah
a) Apa yang dimaksud dengan keterbagian ?
b) Apa sajakan sifat yang berlaku dalam keterbagain ?
c) Bagaimana ciri suatu bilangan yang habis dibagi ?
d) Bagaimana teorema menghitung pembagi persekutuan ?
1.3 Tujuan penulisan
a) Pembaca mengetahui tentang keterbagian
b) Pembaca juga mengetahu sifat yang berlaku dalam keterbagian untuk
dapat diaplikasikan

2. 2
c) Pembaca mengetahui ciri suatu bilangan yang habis dibagi dan dapat
menerapkannya dalam soal keterbagian.

3. 3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Definisi Keterbagian
Keterbagian merupakan bilangan bulat b dibagi oleh a jika terdapat
bilangan bulat x, sehingga b = ax dan dinotasikan a│b. dibaca “a membagi
b”, atau “ b terbagi habis oleh a” atau “b kelipatan dari a”. sifat pembagian ini
: jika a≠ 0 dan terdapat x € z sedemikian sehingga b = ax, maka x tunggal.
Sebagai bukti : misalkan b = ax1 dan b = ax2 sehingga ax1 = ax2 ,
ax1 - ax2 = 0 ↔ a(x1 – x2 ) = 0
↔ karena a ≠ 0, maka x1 – x2 = 0……….. Sehingga x1 = x2
Jika a=0, maka x tak ada kecuali b = 0, dalam kasus ini x tidak
tunggal, untuk b =ax, maka a disebut factor dari b dan b disebut kelipatan dari
a. untuk a≠ 0, x disebut hasil bagi b oleh a. bilangan bulat x dalam b = ax
sering disebut juga factor komplemen b oleh a.
2.2 Sifat-sifat keterbagian
Jika a,b,c bilangan bulat maka berlaku:
a) a│ b → a │bc, untuk setiap c bilangan bulat.
Bukti Jika d│a maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a = dk. Dengan
mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas dengan n, kita peroleh a(n)
= dk(n). Dengan menggunakan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan
ketertutupan perkalian pada bilangan bulat, kita peroleh n.a = d (nk). Jadi
d│na.
b) (a │ b, b │c) → a │ c.
Bukti a│b dan b│k maka menurut definisi, terdapat bilangan bulat f dan g
sedemikian sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnya
menurut definisi, a│k.
c) (a │ b, b │a) → a = ± b.

4. 4
d) (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).
Bukti d│a mengakibatkan a = md, m suatu bilangan bulat. d│b
mengakibatkan b = nd, n suatu bilangan bulat a + b = md + nd = (m + n)d
Karena m dan n bilangan bulat, m + n juga bilangan bulat, d│ (a + b).
Dengan demikian, d membagi a + b, atau ditulis d│ (a + b).
e) (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap x,y bilangan bulat.
Bukti j│a dan j│b maka terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian
sehingga dan b =jg sehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya,
j│(ka+lb).
Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c
f) a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.
g) a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m bilangan bulat dan m ≠ 0
h) ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.
2.3 Ciri suatu bilangan habis dibagi
Ada beberapa teorema yang berkaitan dengan ciri suatu bilangan
yang habis dibagi, yaitu
a. Teorema 7-10 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka
(a + b + c ) juga habis dibagi x
b. Teorema 7-11 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka (
a-b-c) juga habis dibagi x
c. Teorema 7-12 : untuk a,b,c € Z, jika a│c, maka c│ab
2.3.1 Suatu bilangan ahabis dibagi 2 juka bilangan yang diwakili oleh angka
terakhirnya genap.
Bukti : misalkan bilangan tersebut adalah ab = a.10 + b. a.10 habis
dibagi 2, supaya ab habis dibagi 2, maka haruslah b dibagi 2
Contoh : 24 = 2.10 + 4
2.10 habis dibagi 2 dan 4 juga habis dibagi 2, maka tentulah
24 habis dibagi 2

5. 5
2.3.2 Bilangan yang habis dibagi oleh 2n
Untuk n=1 maka suatu bilangan yang habis dibagi 2 jika satu
bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.
Untuk n=2 maka suatu bilangan yang habis dibagi 4 jika dua
bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4. Apakah
11348 habis dibagi 4? Kita ambil dua digit terakhir 48 ternyata habis
dibagi 4, jadi 11348 habis dibagi 4.
Utuk n=3 maka suatu bilangan yang habis dibagi 8 jika tiga angka
terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.
Contoh : Apakah 532096 habis dibagi 8? Kita ambil tiga digit
terakhir yaitu bilangan 096 ternyata habis dibagi 8, jadi 532096 habis
dibagi 8.
2.3.3 Suatu bilangan habis dubagi 4, jika dua angka terakhir bilangan tersebut
habis dibagi 4.
Bukti : misalkan bilangan tersebut abc
abc = a.100 + b.10 + c
a.100 habis dibagi 4 sebab a.100 = 4(25a)
jadi agar abc habis dibagi 4, maka kharuslah (b.10 + c) habis
dibagi 4
Contoh : 732 = 7.100 + 3.10 + 2
7.100 habis dibagi 4, sebab 700 = 4(175), 32 habis dibagi 4,
sehingga 732 habis dibagi 4.
2.3.4 Suatu bilangan habis dibagi 8, jika 3 angka terakhir bilangan tersebut
habis dibagi 8
Bukti : misalkan bilangan tersebut abcd
abcd = a.1000 + b.100 + c.10 + d
a.1000 habis dibagi 8 sebab a.1000 = 8 (125a).
jadi supaya abcd habis dibagi 8, maka haruslah (b.100 + c.10 +
d) habis dibagi 8

6. 6
Contoh : 2832 = 2.1000 + 8.100 + 3.10 + 2
2.1000 habis dibagi 8, sebab 2000 = 8 (250), 832 habis dibagi
8, oleh karena itu 2832 habis dibagi 8.
2.3.5 Suatu bilangan habis dibagi lima, jika angka paling kanan dari bilangan
tersebut adalah 5 atau 0.
Bukti : i) misalkan bilangan tersebut ab, yang berarti ab = a.10 + b,
dengan b=5, karena ada a.10 merupakan kelipatan 5, berarti
a.10 habis dibagi 5, sedangkan b=5 juga habis dibagi 5,
sehingga secara keseluruhan ab habis dibagi 5.
ii) 10 habis dibagi 5, setiap bilangan yang angka terakhirnya nol
berarti puluhan atau kelipatan sepuluh, maka jelas bilangan
tersebut habis dibagi 5.
Contoh : 235 = 2.100 + 3.10 + 5
2.100 habis dibagi 5, 3.10 habis dibagi 5 dan 5 juga habis
dibagi 5. Oleh sebab itu, 235 habis dibagi 5
2.3.6 Suatu bilangan habis dibagi 9, jika jumlah bilangan yang diwakili oleh
angka-angkanya habis dibagi 9.
Bukti : misalkan a € Z dengan 1≤ a ≥ 9, maka
Bilangan puluhan bisa ditulis a(9 + 1)
Bilangan ratusan dapat ditulis a(99 + 1)
Bilangan ribuan dapat ditulis a(999 + 1)
Bilangan puluhan ribu dapat ditulis a(9999 + 1) dan seterusnya.
Misalkan bilangan yang akan diperiksa adalah abcd
abcd = a.1000 + b.100 + c.10 + d
= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d
= (999.a + 99.b + 99.c) + (a+ b+c+ d)
Karena (999.a + 99.b + 99.c) kelipatan 9, agar abcd habis dibagi 9,
maka haruslah (a+ b+c+ d) habis dibagi 9.

7. 7
Contoh : 6804 = 6(999+1) + 8(99+1) + 0(9+1) + 4
= 6.999 + 8.99 + 0.9 + (6+8+0+4)
Karena 6.999 + 8.99 + 0.9 habis dibagi 9 dan (6+8+0+4) = 18
habis dibagi 9, maka 6804 habis dibagi 9
2.3.7 Suatu bilangan habis dibagi 3, jika jumlah bilangan yang diwakili oleh
angka-angkanya habis dibagi 3.
Bukti : misalkan a € Z dengan 1≤ a ≥ 9, maka
Bilangan puluhan bisa ditulis a(9 + 1)
Bilangan ratusan dapat ditulis a(99 + 1)
Bilangan ribuan dapat ditulis a(999 + 1)
Bilangan puluhan ribu dapat ditulis a(9999 + 1) dan seterusnya.
Contoh : 123 = 1(99+1) + 2(9+1) + 3
= (1.99 + 2.9) + (1+2+3)
1.99 2.9 habis dibagi 3, maka 123 habis dibagi 3.
2.3.8 Suatu bilangan habis dibagi 6, jika bilangan tersebut habis dibagi 2 dan
habis dibagi 3.
Bukti : misalkan a € Z dengan 1≤ a ≥ 9, maka
Bilangan puluhan bisa ditulis a(9 + 1)
Bilangan ratusan dapat ditulis a(99 + 1)
Bilangan ribuan dapat ditulis a(999 + 1)
Bilangan puluhan ribu dapat ditulis a(9999 + 1) dan seterusnya.
Contoh : 972 habis dibagi 2, juga habis dibagi 3 sebab 9+7+2 = 28
habis dibagi 3, oleh karena itu 972 habis dibagi 6.
2.3.9 Suatu bilangan habis dibagi 7 jika selisih antara bilangan yang diwakili
oleh bilangan semula kecuali angka yang terakhir dengan dua kali
angka yang terakhir habis dibagi 7.

8. 8
Contoh : 7│ 84 sebab 8 – 2 (4) = 0 + 0.7
0 habis dibagi 7
7 │ 483 sebab 48 – 2(3) = 42
Jelas 42 kelipatan dari 7, jadi 7 │ 483
2.3.10 Suatu bilangan habis dibagi 10 jika angka terakhir dari bilangan
tersebut adalah nol.
Contoh : 40 habis dibagi 10, karena angka terakhir dari bilangan
tersebut adalah 0.
2.3.11 Suatu bilangan habis dibagi 11 jika pada bilangan tersebut jumlah
bilangan yang diwakili oleh angka pada tempat ganjil (dihitung dari
kanan) dikurangi dengan jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-
angka pada tempat genap habis dibagi 11.
Bukti : bilangan berpangkat 10 dapat ditulis dalam kelipatan 1,
sebagai berikut :
100
= 0.11 + 1
101
= 1.11 – 1
102
= 9.11 + 1
103
= 91.11 – 1
104
= 909.11 + 1
105
= 9091.11 - 1
…………………
102k
= m.11 + 1, untuk suatu k, m bilangan cacah
102k+1
= n.11 – 1, untuk suatu k, n bilangan cacah.
Misalkan bilangan yang akan kita tunjukkan adalah abcd.
abcd artinya :
e.100
= e(k1.11 + 1) = e.k1.11 + e
d.101
= d(k2.11 – 1) = d.k2.11 – d

9. 9
c.102
= c(k3.11 + 1) = c.k3.11 + c
b.103
= d(k4.11 – 1) = b.k4.11 – b
a.104
= a(k5.11 – 1) = a.k5.11 + a
Jadi abcd = (ek1 + dk2 + ck3 + bk4 + ak5). 11 + (a+c+e) – (d+b) agar
abcd habis dibagi 11, maka haruslah {(a+c+e) – (d+b)} habis dibagi
11.
Contoh :
1) 76978 habis dibagi 11 sebab (7+9+8) - (6+7) = k.11 dengan
k=1, maka 76978 habis dibagi 11
2) 765842902 habis dibagi 11 sebab (7+5+4+9+2) – (6+8+2+0) =
27 – 16 = 11 merupakan kelipatan dari 11.
Untuk ciri-ciri suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan yang
lebih besar dari pembagi yang telah dibahas diatas, jika bilangan itu
komposit pada dasarnya sama, kecuali untuk pembagi-pembagi prima
yang lebih besar dari 13.
2.4 Pembagi Persekutuan
Pembagi persekutuan merupakan suatu bilangan bulat a disebut
pembagi (=factor persekutuan dari b dan c, jika a│ b dan a│c.
Setiap bilangan bulat tak nol hanya memiliki berhingga banyak factor
saja, oleh sebab itu factor persekutuan dari b dan c hanya ada sejumlah
terbatas saja, kecuali dalam kasus b = c = 0. Bilangan 1 membagi setiap
bilangan bulat, oleh karena itu 1 merupakan pembagi persekutuan dua
bilangan sebarang a dan b. Jadi setiap pasang bilangan memiliki pembagi
persekutuan.
Paling sedikit ada satu diantara b danc adalah tak nol, yang terbesar
diantara pembagi-pembagi persekutuan yang positif dinamakan pembagi
persekutuan terbesar (factor persekutuan terbesar „FPB‟ ) dari b dan c. notasi
(b.c) menyatakan fpb dari b dan c.

10. 10
Pembagi persekututan terbesar Dari b dan c dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari b dan c. hal tersebut dinyatakan dengan teorema sebagai
berikut :
Teorema 7-13 : jika g = (b,c) maka terdapat bilangan bulat x0 dan y0
sedemikian sehingga g = bx0 + cy0
Bukti : Pandang kombinasi linear bentuk bx + cy dengan x dan y sebagai
bilangan bulat dan K = { m│ m = bx +cy }, himpunan K ≠ Ø, sebab
0 € K, yaitu untuk x = 0 dan y = 0.
Pilih x0 dan y0 sedemikian sehingga h = bx0 + cy0 bilangan positif
terkecil dalam K. tunjukkan bahwa h│ b dan h│ c . andaikan h
tidak│b, maka b = hq + r dengan 0 < r< h
atau r = b – qh
= b – q(bx0 + cy0 )
= b(1-qx0) + c(-qy0) karena 1 – qx0 € Z dan –cy0 € Z,
maka r berbentuk bx + cy untuk suatu x,y bilangan bulat. Dengan
kata lain r € K. hal ini bertentangan dnengan pengandaian bahwa
terkecil dalam K dan 0 < r < h. maka haruslah h│ b dan b│h.
Karena g = (b,c) maka terdapat bilangan bulat m,n sedemikian
sehingga b = g.m dan c = g.n. dari h = bx0 + cy0 = gmx0 + gny0 =
g(mx0 + ny0 ). Jadi g│h. berdasarkan teorema 7-5 jika g│h maka g ≤
h.
Tidak mungkin terjadi g < h, karena g pembagi persekutuan terbesar
dari b dan c, maka haruslah g = h = bx0 + cy0

11. 11
Contoh : (27,45) = 9 berarti 9 = 27xo + 45yo dan dapat diambil
9 = 27(2) + 45(-1) atau
9 = 27 (-3) + 45 (2) atau
9 = 27 (-8) + 45 (5)
Teorema 7-14 : Jika g = (b,c) maka g mempunyai ciri-ciri :
(1) G bilangan bulat positif terkecil yang berbentuk
bx + cy untuk x dan y bilangan bulat positif
(2) G pembagi persekutuan yang positif dari b dan c
dan g terbagi oleh persekutuan b dan c
Teorema 7-15 : Untuk sembarang bilangan bulat p > 0berlaku
(pa,pb) = p(a,b)
Teorema 7-16 : Jika d > 0, d│a dan d│b, maka ( , ) = ( a,b)
Jika (a,b) = g , maka , ) = 1 ( bilangan bulat a
dan b saling prima jika (a,b) = 1
Teorema 7-17 : Suatu bilangan bulat b relative prima terhadap yang
tidak nol, jika sisa hasil bagi b oleh a juga relative
prima terhadap prima.
Teorema 7-18 : Jika c│ab dan (b,c) = 1, maka c│a = 1
Teorema 7-19 : Algoritma Euclid
Diberikan bilangan bulat b dan c dengan c > 0, bila
kita terapkan alogaritma pembagian berkali-kali
maka diperoleh persamaan sebagai berikut :

12. 12
b = cq1 + r1 0 < r1 < o
c = r1 q2 + r2 0 < r2 < r1
r1 = r2 q3 + r3 0 < r3 < r2
r2 = r3 q4 + r4 0 < r4 < r3
.......................................................
rj-4 = rj-3 qj-2 + rj-2 0 < rj-2 < rj-3
rj-3 = rj-2 qj-1 + rj-1 0 < rj-1 < rj-2
rj-2 = rj-1 qj + rj 0 < rj < rj-1
rj-1 = rj qj-1
FPB dari b dan c adalah rj yang merupakan sisa tak
nol pada langkah ke j dalam proses pembagian
diatas.
Contoh : Misalkan b = 161 dan c = 91, maka
161 = 1.91 + 70
91 = 1.70 + 21
70 = 3.21 + 7
21 = 3.7
Jadi FPB dari 161 dan 91 adalah 7 atau (161,91) = 7.
Berdasarkan teorema 7-13, jika (161,91) = 7, maka

13. 13
Sehingga 7 = 161x0 + 91y0
7 = 70 – 3.21
7 = 70 – 3(91 – 1.70)
= 4.70 – 3.91
= 4(161 – 1.91) – 3.91
= 4(161) – 7 (91)
7= 161(4) + 91(-71)
diperoleh xo = 4 dan yo = -7

14. 14
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Keterbagian merupakan bilangan bulat b dibagi oleh a jika terdapat
bilangan bulat x, sehingga b = ax dan dinotasikan a│b. dibaca “a membagi
b”, atau “ b terbagi habis oleh a” atau “b kelipatan dari a”. sifat pembagian ini
: jika a≠ 0 dan terdapat x € z sedemikian sehingga b = ax, maka x tunggal.
Jika a,b,c bilangan bulat maka berlaku sifat keterbagian:
a. a│ b → a │bc, untuk setiap c bilangan bulat.
b. (a │ b, b │c) → a │ c.
c. (a │ b, b │a) → a = ± b.
d. (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).
e. (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap x,y bilangan bulat.
f. a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.
g. a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m bilangan bulat dan m ≠ 0
h. ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.
Ada beberapa teorema yang berkaitan dengan ciri suatu bilangan
yang habis dibagi, yaitu
a. Teorema 7-10 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka
(a + b + c ) juga habis dibagi x
b. Teorema 7-11 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka
( a-b-c) juga habis dibagi x
c. Teorema 7-12 : untuk a,b,c € Z, jika a│c, maka c│ab

15. 15
DAFTAR PUSTAKA
Erman. 1993.Perkenalan dengan Teori Bilangan. Bandung: Wijayakusumah
Lutfi, nurul aulia. 2012. Makalah Teori Bilangan Keterbagian. http//: Lutfi, nurul
aulia.blogspot.com