موقع ملزمتي - ملزمة هندسة للصف الثالث الإعدادي الترم الثاني

1. [ ]١
‫م‬
‫ب‬‫ﺟ‬
‫ا‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬:-
‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺎ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﺗﺒﻌﺪ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ھﻰ‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫اﻟﺜﺎﺑﺖ‬ ‫اﻟﺒﻌﺪ‬ ‫وﯾﺴﻤﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬:-
‫م‬ ‫ﻣﺜﻞ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫وأى‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺗﺼﻞ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫أى‬‫ا‬‫م‬ ، ‫ب‬ ‫م‬ ،‫وﻛﻠﮭﺎ‬ ‫ﺟـ‬
‫ﻧﻖ‬ ‫وﺗﺴﺎوى‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫وﺗﺮ‬:-‫ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺗﺼﻞ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫أى‬ ‫ھﻰ‬
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫ء‬ ‫ب‬ ‫ﻣﺜﻞ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬:-‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺗﺼﻞ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫أى‬ ‫أو‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﯾﻤﺮ‬ ‫وﺗﺮ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫وﺗﻤﺮ‬
‫اﻟﻤ‬ ‫ﺗﺠﺰﺋﺔ‬‫ﺴﺘﻮى‬
‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺎت‬ ‫ﺛﻼث‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺗﺠﺰئ‬
)١(‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺧﺎرج‬ ‫ﻧﻘﻂ‬:‫ع‬ ، ‫ص‬ ، ‫س‬ ‫ﻣﺜﻞ‬
)٢(‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬:‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬
)٣(‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬:‫و‬ ، ‫ھـ‬ ، ‫ء‬ ‫ﻣﺜﻞ‬
‫أن‬ ‫ﻻﺣﻆ‬:
•‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﯾﻨﺘﻤﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬
•‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
•‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬∪‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﯾﺴﻤﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬
٠
‫أ‬‫م‬‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫ا‬
‫ب‬
٠‫ﺟـ‬
٠‫س‬٠‫ص‬
٠‫ع‬
٠‫ء‬
٠‫ھـ‬
‫و‬٠
‫اﻟﺪاﺋــــــــــــــــﺮة‬
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2. [ ]٢
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬
‫ﻟﮭﺎ‬ ‫ﺗﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺑﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﯾﻤﺮ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫أى‬
‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﺎور‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫وﻟﮭﺬا‬
‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ا‬‫ﺣﯿﺚ‬ ‫م‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ب‬‫ا‬) =-٥،-٣(‫ب‬ ،) =١،٥(
‫أوﺟﺪ‬)‫أوﻻ‬(‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬)‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬(‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ھﺬه‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬)‫ﺛﺎﻟﺜﺎ‬(‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫م‬=‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬‫ا‬‫ب‬") =،) = (،) = (-٢،١(
‫ﻧﻖ‬=‫م‬‫ا‬) =-٢+٥(٢
) +١+٣(٢
=٩+١٦=٢٥=٥‫طﻮﻟﯿﺔ‬ ‫وﺣﺪات‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ‬=٢‫ﻧﻖ‬ ‫ط‬=٢‫ط‬×٥=١٠‫ط‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
‫ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫أى‬ ‫وﺑﻤﻨﺘﺼﻒ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺑﻤﺮﻛﺰ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬‫اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻤﻮدﯾﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ب‬ ‫أ‬ ‫ء‬ ‫م‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ــــــــــــــــــ‬
‫ﺑﻤﺮﻛ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬‫ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫أى‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻤﻮدﯾﺎ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺰ‬ً
‫اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﯾﻨﺼﻒ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ء‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
-٥+١
٢
-٣+٥
٢
-٤
٢
٢
٢
‫اﻟﺪاﺋـﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‬
‫ﻧﺘﯿﺠﺔ‬)١(
‫م‬
‫أ‬‫ب‬ ‫ء‬
‫ﻧﺘﯿﺠﺔ‬)٢(
‫م‬
‫ء‬ ‫أ‬‫ب‬
‫ﻣﺜﺎل‬
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3. [ ]٣
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬‫ﺑﺎﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻣﺎرا‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻤﻮدﯾﺎ‬ ‫اﻟﻤﺮﺳﻮم‬ً
‫م‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻤﻮدى‬ ‫ل‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬∋‫ل‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﺟـ‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬=٣‫ﻧﻖ‬ ، ‫ﺳﻢ‬=٥‫ب‬ ‫أ‬ ‫طﻮل‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ﺟـ‬∴‫ق‬)‫أ‬ ‫ﺟـ‬ ‫م‬= (٩٠ْ∴‫ﺟـ‬ ‫أ‬=١٦=٤‫ﺳﻢ‬
∴)‫ﺟـ‬ ‫أ‬(٢
) =‫م‬ ‫أ‬(٢
-)‫ﺟـ‬ ‫م‬(٢
)=٥(٢
–)٣(٢
∴‫ب‬ ‫أ‬=٢‫ﺟـ‬ ‫أ‬=٢×٤=٨‫ﺳﻢ‬
=٢٥–٩=١٦
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ـ‬‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ق‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ‬ ‫ص‬ ، ‫س‬)‫أ‬= (٧٠ْ
‫ق‬ ‫أوﺟﺪ‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬(‫ق‬ ،)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬(‫اﻟﻤﻨﻌﻜﺴﺔ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬∴‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬= (٣٦٠ْ–٢٥٠ْ=١١٠
∴‫ق‬)‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬= (٩٠ْ‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬(‫اﻟﻤﻨﻌﻜﺴﺔ‬=٣٦٠ْ–‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬(
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬∴‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬=٣٦٠ْ–١١٠ْ
∴‫ق‬)‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬= (٩٠ْ=٢٥٠ْ
‫ﻣﺠﻤﻮ‬‫اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﺎت‬ ‫ع‬=٣٦٠ْ
‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬= (٣٦٠ْ–]٩٠ْ+٩٠ْ+٧٠ْ[
‫ﻧﺘﯿﺠﺔ‬)٣(
‫أ‬‫ب‬
‫ل‬
٠‫م‬
‫م‬
‫أ‬‫ب‬
‫ﺟـ‬
٣
٥
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫م‬
‫س‬‫ص‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
٧٠
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4. [ ]٤
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ق‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬)‫س‬‫ص‬ ‫أ‬= (٦٠ْ
‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬= (١٢٠‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬:‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬∴‫ق‬)‫ص‬ ‫س‬ ‫م‬= (٩٠ْ‫ق‬)‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬= (٣٦٠-٢٧٠=٩٠ْ
A‫اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﺎت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬=٣٦٠ْ‫ص‬ ‫م‬‫ﺟـ‬ ‫أ‬
∴‫ق‬)‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬= (٣٦٠ْ–]٦٠ْ+١٢٠ْ+٩٠ْ[∴‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬//‫ء‬ ‫ﺟـ‬
‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬:‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬
‫اﻟﺤﻞ‬:A‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬∴‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬
A‫ب‬ ‫أ‬//‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬ ، ‫ء‬ ‫ﺟـ‬∴‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ص‬ ‫م‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬=١٠‫ﺳﻢ‬
‫م‬ ‫س‬ ‫طﻮل‬ ‫أوﺟﺪ‬
A‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬∴‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬
A‫ﻗ‬ ‫ب‬ ‫أ‬‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻄﺮ‬∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫م‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫م‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬
∴‫س‬ ‫م‬=‫ﺟـ‬ ‫ب‬=٥‫ﺳﻢ‬
‫م‬
‫أ‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫س‬
‫ص‬
٦٠
١٢٠
‫أ‬‫ب‬
‫ﺟـ‬‫ء‬
‫م‬
‫س‬
‫ص‬
١
٢
‫ﺑﯿﻦ‬ ‫اﻟﻮاﺻﻠﺔ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫طﻮل‬
‫ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺿﻠﻌﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﻰ‬‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﺗﺴﺎوى‬
‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫اﻟﻀﻠﻊ‬ ‫طﻮل‬
‫ﻣﺜﺎل‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
٠٠
٠
‫أ‬‫ب‬
‫س‬
‫م‬
‫ﺟـ‬
٠٠
٠
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5. [ ]٥
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻣﺘﺤﺪﺗﺎ‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬
‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫و‬ ‫م‬ ، ‫ء‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ء‬ ‫ب‬
‫ﺑﻄﺮح‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬١‫ﻣﻦ‬٢
A‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫و‬ ‫م‬∴‫و‬ ‫ﺟـ‬=‫ء‬ ‫و‬)١(‫و‬ ‫أ‬–‫و‬ ‫ﺟـ‬=‫ب‬ ‫و‬–‫ء‬ ‫و‬
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬=‫ء‬ ‫ب‬
A‫و‬ ‫م‬‫ب‬ ‫أ‬∴‫و‬ ‫أ‬=‫ب‬ ‫و‬)٢(
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮان‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬
‫ﻣﻨ‬ ‫ھـ‬ ، ‫ء‬‫ق‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﺘﺼﻔﺎ‬)‫أ‬= (١٢٠ْ
‫اﻻﺿﻼع‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوى‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫م‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬∴‫ق‬)‫أ‬ ‫ء‬ ‫م‬= (٩٠ْ∴‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬= (‫ق‬)‫ھـ‬ ‫م‬ ‫ء‬=(٦٠
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬∴‫ق‬)‫أ‬ ‫ھـ‬ ‫م‬= (٩٠‫ﺑﺎﻟﺮاس‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻘﺎﺑﻞ‬ ْ
‫اﻟﺸ‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﺎت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬‫اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‬ ‫ﻜﻞ‬=٣٦٠ْ‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬)‫أﻗﻄﺎر‬ ‫أﻧﺼﺎف‬(
∴‫ق‬)‫ھـ‬ ‫م‬ ‫ء‬= (٣٦٠–]٩٠+٩٠+١٢٠=[٦٠∴‫ق‬)‫س‬= (‫ق‬)‫ص‬= = (٦٠ْ
∴‫ق‬)‫س‬= (‫ق‬)‫ص‬= (‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬=(٦٠ْ
∴‫اﻻﺿﻼ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوى‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫م‬‫ع‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﯾﻨﺼﻒ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬)‫م‬ ‫ب‬ ‫أ‬(
‫إﺛﺒﺖ‬‫ﺟـ‬ ‫م‬ ‫أن‬//‫ب‬ ‫أ‬
‫م‬
‫أ‬‫ب‬ ‫ﺟـ‬‫ء‬
‫و‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫ء‬‫ھـ‬
‫م‬
‫س‬‫ص‬
١٢٠
٢
*
‫م‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
*
‫ﻣﺜﺎل‬
‫ﻣﺜ‬‫ﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠٠٠
٠
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
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6. [ ]٦
‫ﯾﻨﺼﻒ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬)‫م‬ ‫ب‬ ‫أ‬(‫ﻣﻦ‬١،٢‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬
∴‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫م‬(=‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬) (١(∴‫ق‬)‫ب‬ ‫ﺟـ‬ ‫م‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬] (‫ﻣﺘﺒﺎدﻟﺘﺎن‬ ‫وھﻤﺎ‬[
A‫ﺟـ‬ ‫م‬=‫ب‬ ‫م‬)‫اﻗﻄﺎر‬ ‫أﻧﺼﺎف‬(∴‫م‬ ‫ﺟـ‬//‫ب‬ ‫أ‬
∴‫ق‬)‫ب‬ ‫ﺟـ‬ ‫م‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫م‬()٢(
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــ‬
‫ﻛ‬ ‫إذا‬‫أ‬ ‫م‬ ‫ﺎن‬<‫ﻧﻖ‬‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=‫ﻧﻖ‬‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬>‫ﻧﻖ‬
‫ﻓﺈن‬‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺧﺎرج‬ ‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬
‫أ‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻣﻮﺿﻊ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬)=-٣،٧(‫ب‬ ،)=-٢،٦(‫ﺟـ‬ ،)=٣،٥(‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻦ‬
‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬‫م‬)=١،٢(‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫وطﻮل‬٥‫ﺳﻢ‬
‫أ‬ ‫م‬) =١+٣(٢
) +٧-٢(٢
=١٦+٢٥=٤١<‫ﻧﻖ‬∴‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺧﺎرج‬ ‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬
‫ب‬ ‫م‬) =١+٢(٢
) +٦-٢(٢
=٩+١٦=٢٥=٥=‫ﻧﻖ‬∴‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻘﻊ‬ ‫ب‬
‫ﺟـ‬ ‫م‬) =٣-١(٢
) +٥-٢(٢
=٤+٩=١٣>‫ﻧﻖ‬∴‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫ﺗﻘﻊ‬ ‫ﺟـ‬
‫ــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ــــــــــــــــــ‬
٠٠
٠
‫ﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫أوﺿﺎع‬ ‫أوﻻ‬
‫م‬‫م‬
‫م‬
‫أ‬‫أ‬
‫أ‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫أوﺿﺎع‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬ً
‫م‬‫م‬‫م‬ ‫أ‬‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬
‫ﺟـ‬
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7. [ ]٧
‫ﻛ‬ ‫إذا‬‫أ‬ ‫م‬ ‫ﺎن‬<‫ﻓﺈن‬ ‫ﻧﻖ‬‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﻧﻖ‬>‫ﻧﻖ‬‫ﻓﺈن‬
‫ﯾﻘ‬ ‫ل‬‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺧﺎرج‬ ‫ﻊ‬‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﺎطﻊ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ل‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ل‬
‫ل‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=φ‫ل‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫أ‬{‫ل‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬{
‫أن‬ ‫ﻻﺣﻆ‬:
‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬∩‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫ب‬ ، ‫أ‬{
‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬∩‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬=‫ب‬ ‫أ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)١(‫اﻟﻤﺘﺒﺎﻋﺪﺗﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬)٢(‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺘﻤﺎﺳﺘﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬‫اﻟﺨﺎرج‬
‫ن‬ ‫م‬<‫ﻧﻖ‬١+‫ﻧﻖ‬٢‫ن‬ ‫م‬=‫ﻧﻖ‬١+‫ﻧﻖ‬٢
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=φ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫أ‬{
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬=φ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬∩‫ﺳﻄﺢ‬‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫أ‬{
)٣(‫اﻟﻤﺘﻘﺎطﻌﺘ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬‫ﺎن‬)٤(‫اﻟﺪاﺧﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺘﻤﺎﺳﺘﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬
‫ﻧﻖ‬١–‫ﻧﻖ‬٢>‫ن‬ ‫م‬>‫ﻧﻖ‬١+‫ﻧﻖ‬٢‫ن‬ ‫م‬=‫ﻧﻖ‬١–‫ﻧﻖ‬٢
‫ل‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﻟﺒﻌﻀﮭﻤﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫داﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫أوﺿﺎع‬
‫م‬‫م‬
‫م‬‫ن‬
‫م‬
‫ن‬
‫ن‬
‫ن‬
‫أ‬
‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬
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8. [ ]٨
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫ب‬ ، ‫أ‬{‫اﻟﺪاﺋﺮة‬‫م‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫أ‬{
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬=‫م‬ ‫ﺳﻄﺢ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)٥(‫اﻟﻤﺘﺪاﺧﻠﺘﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬
‫ن‬ ‫م‬>‫ﻧﻖ‬١–‫ﻧﻖ‬٢
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=φ
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬=‫م‬ ‫ﺳﻄﺢ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــ‬
)٦(‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻣﺘﺤﺪﺗﺎ‬:‫ن‬ ‫م‬=‫ﺻﻔﺮ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰﻳﻦ‬‫ﺧﻂ‬:-‫ﻣﺮﻛﺰﯾﮭﻤﺎ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫اﻟﻮاﺻﻠﺔ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ھﻮ‬)‫ن‬ ‫م‬(
‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬:-
١-‫اﻟﻤﻤﺎس‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻤﻮدﯾﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫اﻟﺨﺎرج‬ ‫أو‬ ‫اﻟﺪاﺧﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﯿﻦ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﻦ‬ ‫ﺧﻂ‬
‫اﻟﺘﻤﺎس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮك‬
‫م‬‫ن‬
‫م‬‫ن‬
‫م‬‫ن‬
٠‫م‬
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9. [ ]٩
٢-‫ﻣﺘﻘﺎطﻌ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﻦ‬ ‫ﺧﻂ‬‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﺘﯿﻦ‬
‫وﯾﻨﺼﻔﮫ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮك‬ ‫اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻤﻮدﯾﺎ‬ً
‫اﻟﻤﺮﻛﺰﯾﻦ‬ ‫ﺧﻂ‬ ‫ن‬ ‫م‬
∴‫ن‬ ‫م‬⊥‫د‬ ‫س‬ ، ‫ص‬ ‫س‬=‫د‬ ‫ص‬
٣-‫ﻣﺸﺘﺮك‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﻟﮭﻤﺎ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬ ‫اﻟﻤﺘﺪاﺧﻠﺘﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬
٤-‫واﺣﺪ‬ ‫ﻣﺸﺘﺮك‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﻟﮭﻤﺎ‬ ‫اﻟﺪاﺧﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺘﻤﺎﺳﺘﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬
٤-‫رﺳﻤﮭﺎ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس‬ ‫ﻋﺪد‬
‫ﻣﺘﺒﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬=٤‫ﻣﻤﺎﺳﺎت‬
٥-‫رﺳﻤﮭﺎ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت‬ ‫ﻋﺪد‬
‫اﻟﺨﺎرج‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﯿﻦ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬=٣‫ﻣﻤﺎﺳﺎت‬
٦-‫رﺳﻤﮭﺎ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت‬ ‫ﻋﺪد‬
‫ﻣﺘﻘﺎطﻌﺘﯿﻦ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬=٢
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ق‬ ، ‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬)‫ب‬ ‫م‬ ‫أ‬= (٦٠ْ
‫م‬ ‫أ‬ ،=١٠‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺳﻢ‬
٠٠
٠
‫م‬‫ن‬
‫س‬
‫ص‬
‫ء‬
‫ھﻨﺪﺳﯿﺔ‬ ‫ﺣﻘﺎﺋﻖ‬
١-‫اﻟﺘﻤﺎس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺮﺳﻮم‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻤﻮدﯾﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس‬ً
٢-‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻧﮭﺎﯾﺘﮫ‬ ‫إﺣﺪى‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻌﻤﻮدى‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬
٣-‫ﻣﺘﻮازﯾ‬ ‫ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﮭﺎﯾﺘﻰ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺎن‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫اﻟﻤﻤﺎﺳﺎن‬‫ﺎن‬
‫م‬
‫أ‬‫ب‬
٦٠
‫ﻣﺜﺎل‬
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10. [ ]١٠
A‫ق‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ب‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬)‫ب‬ ‫أ‬ ‫م‬= (١٨٠–]٩٠+٦٠[
A‫ب‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ‫م‬∴‫ق‬)‫م‬ ‫ب‬ ‫أ‬= (٩٠ْ=١٨٠ْ–١٥٠ْ=٣٠ْ
‫ز‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﺎت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬‫اﻟﺪاﺧﻠﺔ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫واﯾﺎ‬=١٨٠‫ﻧﻖ‬=‫م‬ ‫ب‬=‫م‬ ‫أ‬=×١٠=٥‫ﺳﻢ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ، ‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬=٣‫ﺳﻢ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ،=٤‫م‬ ‫أ‬ ‫طﻮل‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ب‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬)‫م‬ ‫أ‬(٢
) =٣(٢
) +٤(٢
=٩+١٦=٢٥
B‫ب‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ‫م‬B‫ق‬)‫م‬ ‫ب‬ ‫أ‬= (٩٠ْB‫م‬ ‫أ‬=٢٥=٥‫ﺳﻢ‬
B)‫م‬ ‫أ‬(٢
) =‫ب‬ ‫أ‬(٢
) +‫م‬ ‫ب‬(٢
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬=٦‫ﺳﻢ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ،=٨‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ﺳﻢ‬=٤‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫ﺳﻢ‬‫ب‬
‫م‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬+‫م‬ ‫ﺟـ‬=٤+٦=١٠‫ﺳﻢ‬∴)‫م‬ ‫أ‬(٢
) =‫ب‬ ‫أ‬(٢
) +‫م‬ ‫ب‬(٢
)‫م‬ ‫أ‬(٢
) =١٠(٢
=١٠٠∴‫ق‬)‫أ‬ ‫ب‬ ‫م‬= (٩٠ْ
،)‫ب‬ ‫أ‬(٢
) +‫م‬ ‫ب‬(٢
) =٨(٢
)+٦(٢
=٦٤+٣٦=١٠٠‫ب‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ‫م‬
∴‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬
١
٢
١
٢
‫أ‬
‫م‬
‫ب‬
‫م‬
‫أ‬‫ب‬
‫ﺟـ‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
٠٠
٠
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11. [ ]١١
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ق‬ ، ‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫ﺟـ‬)‫ب‬ ‫م‬ ‫أ‬= (١٣٠ْ
‫ق‬ ‫أوﺟﺪ‬)‫ﺟ‬ ‫ب‬ ‫أ‬‫ـ‬(
‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫م‬ ‫ب‬ ، ‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬
∴‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫م‬∴‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫م‬= (٩٠ْ∴‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬= (٩٠ْ–٢٥ْ=٥٥ْ
‫ب‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫أ‬ ‫ﻓﻰ‬=‫أ‬ ‫م‬)‫أﻗﻄﺎر‬ ‫أﻧﺼﺎف‬(
∴‫ق‬)‫أ‬ ‫ب‬ ‫م‬= (‫ق‬)‫ب‬ ‫أ‬ ‫م‬= = (٢٥ْ
‫ـــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫ﻟﮭﻤﺎ‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬
‫ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻤﺲ‬ ‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫ﺟـ‬=١٠‫ﺳﻢ‬
‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺤﺼﻮرة‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬ ‫اﺣﺴﺐ‬
‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﺟـ‬ ‫م‬=‫ط‬]‫ﻧﻖ‬٢
٢
–‫ﻧﻖ‬١
٢
[
∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ﺟـ‬∴‫ﺟـ‬ ‫أ‬=٥‫ﺳﻢ‬=‫ط‬)]‫م‬ ‫أ‬(٢
–)‫م‬ ‫ﺟـ‬(٢
=[‫ط‬)‫ﺟـ‬ ‫أ‬(٢
∴‫اﻟﻤﺤ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺼﻮرة‬=‫ﻧﻖ‬ ‫ط‬٢
٢
–‫ﻧﻖ‬ ‫ط‬١=‫ط‬)٥(٢
=٢٥‫ط‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﻣﻨﺘﺼ‬ ‫س‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ء‬ ‫ﻒ‬
‫ق‬ ، ‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬)‫س‬ ‫م‬ ‫أ‬= (١١٠‫ق‬ ‫أوﺟﺪ‬ ،)‫ب‬(
٥٠
٢
‫م‬
‫أ‬
‫ب‬ ‫ﺟـ‬
١٣٠
‫ﻧﻖ‬١
‫ﻧﻖ‬٢
‫م‬
‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫ب‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
‫ﻣﺜﺎل‬
‫م‬
‫س‬ ‫ء‬‫ﺟـ‬
‫أ‬
‫ب‬
١١٠
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12. [ ]١٢
‫ﺟـ‬ ‫ء‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬∴‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫س‬ ‫م‬= (٩٠ْ∴‫ق‬)‫ب‬= (٣٦٠ْ–]٩٠ْ+٩٠ْ+١١٠[
‫أ‬ ‫م‬ ، ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬)‫ﻧﻖ‬(∴‫ق‬)‫ب‬ ‫أ‬ ‫م‬=(٩٠ْ=٣٦٠–٢٩٠=٧٠ْ
‫ﻗﯿﺎﺳﺎ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬‫اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ‬ ‫زواﯾﺎ‬ ‫ت‬=٣٦٠ْ
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ق‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬)‫م‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬= (٣٥ْ
‫ق‬ ،)‫أ‬=(٢٠ْ
‫ﺟ‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫ﻓﻰ‬‫ب‬ ‫م‬ ‫ـ‬=‫ﺟـ‬ ‫م‬)‫أﻗﻄﺎر‬ ‫أﻧﺼﺎف‬(‫ﻓﻰ‬‫م‬ ‫ب‬ ‫أ‬
∴‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫م‬= (‫ق‬)‫ب‬ ‫ﺟـ‬ ‫م‬= (٣٥ْ‫ق‬)‫م‬ ‫ب‬ ‫أ‬= (١٨٠–]٧٠+٢٠= [٩٠ْ
∴‫ق‬)‫ب‬ ‫م‬ ‫أ‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫م‬+ (‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫م‬(∴‫ب‬ ‫م‬‫ب‬ ‫أ‬
=٣٥ْ+٣٥ْ=٧٠ْ∴‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ب‬ ‫أ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
‫ﻓ‬‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻰ‬
‫س‬ ‫ب‬=‫ب‬ ‫أ‬ ،، ‫ص‬ ‫ﺟـ‬=‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬:
)١(‫ب‬ ‫م‬=‫ﺟـ‬ ‫م‬)٢(‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬
‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬=‫س‬ ‫ب‬ ، ‫ﻧﻖ‬=‫ص‬ ‫ﺟـ‬∴‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫م‬
∴‫س‬ ‫م‬+‫ب‬ ‫س‬=‫ص‬ ‫م‬+‫ﺟـ‬ ‫ص‬∴‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬
B‫ب‬ ‫م‬=‫ﺟـ‬ ‫م‬)‫أوﻻ‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫وھﻮ‬(
‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫م‬=‫ﺟـ‬ ‫م‬)‫اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوى‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ‬(‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫أ‬ ،
‫أ‬
‫ب‬
‫م‬‫ﺟـ‬ ٣٥ ٢٠
‫أ‬
‫م‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫س‬
‫ص‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤـــــــــــــــ‬‫ـــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
‫أ‬‫م‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫س‬
‫ص‬
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13. [ ]١٣
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬
‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﯾﻮﺟﺪ‬‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻰ‬)‫أ‬(
*‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ھﺬه‬ ‫أﻗﻄﺎر‬ ‫أﻧﺼﺎف‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬
‫ا‬‫واﺣﺪة‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟﻤﯿﻌﺎ‬ ‫ﺗﻘﻊ‬ ‫ﻣﺮاﻛﺰھﺎ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﻟﻄﻮل‬
‫ﺑﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﯾﻮﺟﺪ‬
‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺘﯿﻦ‬
)١(‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ھﺬه‬ ‫ﻣﺮاﻛﺰ‬]‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬
‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮭﺎ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻠﯿﮭﺎ‬ ‫اﻟﻌﻤﻮدى‬[
)٢(‫ﯾﻤﻜ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫أﺻﻐﺮ‬‫ﯾﺴﺎوى‬ ‫طﻮﻟﮭﺎ‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﻟﺘﻤﺮ‬ ‫رﺳﻤﮭﺎ‬ ‫ﻦ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻧﺼﻒ‬
]‫ب‬ ‫أ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=١٠‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫أﺻﻐﺮ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬
=٥‫ﺳﻢ‬[
‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺘﯿﻦ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺎرة‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬X‫اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫اﻟﺒﻌﺪ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)‫أ‬(‫واﺣﺪة‬ ‫أﺳﺘﻘﺎﻣﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﺑﺜﻼث‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﺗﻌﯿﻦ‬:-
‫واﺣﺪة‬ ‫أﺳﺘﻘﺎﻣﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﺑﺜﻼث‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫واﺣﺪة‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﻻ‬
)‫ب‬(‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﺑﺜﻼث‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬‫واﺣﺪة‬ ‫أﺳﺘﻘﺎﻣﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬
‫واﺣﺪة‬ ‫أﺳﺘﻘﺎﻣﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﺑﺜﻼث‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫وﺣﯿﺪة‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬
‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬
‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺘﯿﻦ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬
‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﺑﺜﻼث‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬
‫ب‬
‫أ‬
‫أ‬
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14. [ ]١٤
‫ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ‬ ‫اﻟﺨﺎرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬:-
‫اﻟﺨﺎرج‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺑﺮؤوس‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ھﻰ‬
‫أن‬ ‫ﻻﺣﻆ‬
١-‫اﻟﻤﻘﺎﻣﺔ‬ ‫اﻻﻋﻤﺪة‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ھﻰ‬ ‫ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ‬ ‫اﻟﺨﺎرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬
‫ﻣ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫أﺿﻼﻋﮫ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬‫ﻨﺘﺼﻔﺎﺗﮭﺎ‬
٢-‫اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ‬ ‫اﻟﻘﺎﺋﻢ‬ ‫ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ‬ ‫اﻟﺨﺎرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬
٣-‫اﻟﺪاﺧﻠﺔ‬ ‫زواﯾﺎه‬ ‫ﻣﻨﺼﻔﺎت‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺑﺮؤوس‬ ‫اﻟﻤﺎرة‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫طﻮﻟﮭﺎ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ارﺳﻢ‬٥‫ﻛﻢ‬ ‫ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫أرﺳﻢ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫ﺳﻢ‬
‫؟‬ ‫رﺳﻤﮭﺎ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫داﺋﺮة‬
‫اﻟﺨﻄﻮات‬:-
١-‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬=٥‫ﺟـ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻧﻨﺼﻒ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫ﺳﻢ‬
٢-‫ل‬ ‫وﻟﯿﻜﻦ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬
٣-‫اﻟﻔﺮﺟﺎ‬ ‫ﺑﺴﻦ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻧﮭﺎﯾﺘﻰ‬ ‫اﺣﺪى‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻧﺮﻛﺰ‬‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﺑﻔﺘﺤﺔ‬ ‫ر‬
‫ﻗﻠﯿﻼ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻛﺒﺮ‬
٤-‫ن‬ ، ‫م‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﻰ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫ﻗﻮﺳﺎ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬ً
٥-‫ﺛﻢ‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﻓﺘﻤﺮ‬ ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬ ‫اﻟﻔﺘﺤﺔ‬ ‫وﺑﻨﻔﺲ‬ ‫م‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻔﺮﺟﺎر‬ ‫ﺑﺴﻦ‬ ‫ﻧﺮﻛﺰ‬
‫ن‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻧﺮﻛﺰ‬‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫وﻧﺮﺳﻢ‬ ‫اﻟﻔﺘﺤﺔ‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ‬
‫أن‬ ‫ﻻﺣﻆ‬:-‫طﻮل‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬
‫وﺗﺮا‬ ‫ب‬ ‫أ‬‫ﻓﯿﮭﺎ‬
‫أ‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫م‬
٠
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫م‬
‫ن‬
‫ﺟـ‬ ‫أ‬‫ب‬
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15. [ ]١٥
‫ﻧﻈﺮﯾﺔ‬)٢–١(
‫اﻟﻤﻌﻄﯿﺎت‬:‫ب‬ ‫أ‬=‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬ ، ‫ء‬ ‫ﺟـ‬
‫اﻟﻤﻄﻠﻮب‬:‫س‬ ‫م‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺎت‬=‫ص‬ ‫م‬
‫اﻟﺒﺮھﺎن‬:‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬∴‫س‬ ‫أ‬=‫ب‬ ‫أ‬
‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ص‬ ‫م‬∴‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬∴‫ص‬ ‫ﺟـ‬=‫ب‬ ‫أ‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ء‬ ‫ﺟـ‬∴‫س‬ ‫أ‬=‫ص‬ ‫ﺟـ‬
‫س‬ ‫أ‬‫ص‬ ‫ﺟـ‬ ، ‫م‬∴‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬≡‫م‬ ‫ص‬ ‫ﺟـ‬
‫س‬ ‫أ‬=‫ص‬ ‫ﺟـ‬‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬ ‫اﻟﺘﻄﺎﺑﻖ‬ ‫وﻣﻦ‬
‫م‬ ‫أ‬ ‫ﻓﯿﮭﻤـــــﺎ‬=‫م‬ ‫ﺟـ‬)‫أﻗﻄﺎر‬ ‫أﻧﺼﺎف‬(‫م‬ ‫س‬=‫م‬ ‫ص‬
‫ق‬)‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬= (‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫ﺟـ‬=(٩٠ْ‫إﺛﺒﺎﺗﮫ‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫وھﻮ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
‫ﻧﺘﯿﺠﺔ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ‬ ‫و‬ ، ‫ن‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬=‫ء‬ ‫ﺟـ‬=‫ق‬ ‫م‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ص‬ ‫س‬=‫ھـ‬ ‫ن‬=‫ف‬ ‫و‬
‫ﺑﻤﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫أوﺗﺎر‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬
‫ﺗ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻄﻮل‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫اﻷوﺗﺎر‬‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫أﺑﻌﺎد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻜﻮن‬
١
٢
١
٢
‫ﻣﺘ‬ ‫أﺑﻌﺎد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫اﻟﻄﻮل‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫اﻻوﺗﺎر‬ ‫اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻓﻰ‬‫ﻣﺮاﻛﺰھﺎ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺴﺎوﯾﺔ‬
‫و‬
‫س‬
‫ص‬ ‫م‬
‫أ‬‫ب‬ ‫ق‬
‫ن‬
‫ﺟـ‬
‫ء‬ ‫ھـ‬
‫ف‬
‫م‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫س‬‫ص‬
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
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16. [ ]١٦
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬=، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬
‫ھـ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ء‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫س‬ ‫م‬
‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬)١(‫ء‬ ‫س‬=‫ھـ‬ ‫ص‬
)٢(‫ق‬)‫س‬ ‫أ‬ ‫ء‬= (‫ق‬)‫ص‬ ‫أ‬ ‫ھـ‬(
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬∴‫ص‬ ‫ھـ‬ ‫أ‬ ، ‫س‬ ‫ء‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬
‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬‫ﺟـ‬ ‫أ‬∴‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬∴‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬)١(‫ﻓﯿﮭﻤﺎ‬
‫ء‬ ‫م‬=‫ھـ‬ ‫م‬)‫أﻗﻄﺎر‬ ‫أﻧﺼﺎف‬()٢(
‫ﺑﻄﺮح‬٢‫ﻣﻦ‬١‫ء‬ ‫أ‬‫س‬≡‫ص‬ ‫ھـ‬ ‫أ‬
‫ء‬ ‫م‬–‫س‬ ‫م‬=‫ھـ‬ ‫م‬-‫ص‬ ‫م‬‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬ ‫اﻟﺘﻄﺎﺑﻖ‬ ‫وﻣﻦ‬
‫ء‬ ‫س‬=‫ص‬ ‫ھـ‬)‫أوﻻ‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫وھﻮ‬(‫ق‬)‫س‬ ‫أ‬ ‫ء‬= (‫ق‬)‫ص‬ ‫أ‬ ‫ھـ‬(]‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮب‬ً[
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﺟـ‬ ‫ب‬=‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬ ، ‫ھـ‬ ‫ء‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫ھـ‬ ‫ء‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬=‫ء‬ ‫أ‬
‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬∴‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫م‬≡‫م‬ ‫ص‬ ‫أ‬
‫ھـ‬ ‫ء‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬∴‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬ ‫اﻟﺘﻄﺎﺑﻖ‬ ‫وﻣﻦ‬ ‫ھـ‬ ‫ء‬ ‫ص‬ ‫م‬
‫ﺟـ‬ ‫ب‬=‫ھـ‬ ‫ء‬∴‫س‬ ‫م‬=‫س‬ ‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫أ‬)١(
‫أ‬
‫ء‬‫ھـ‬
‫س‬‫ص‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫م‬
‫س‬ ‫أ‬=‫ص‬ ‫أ‬
‫س‬ ‫ء‬=‫ص‬ ‫ھـ‬)‫ﻣﺜﺒﺖ‬(
‫ق‬)‫س‬ ‫ء‬ ‫أ‬=(‫ق‬)‫ھـ‬ ‫ص‬ ‫أ‬=(٩٠ْ
‫م‬
‫ب‬
‫س‬‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫ص‬
‫ھـ‬
‫أ‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
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17. [ ]١٧
∆∆‫ص‬ ‫م‬ ‫أ‬ ، ‫س‬ ‫م‬ ‫أ‬‫س‬ ‫ب‬ ‫وﻟﻜﻦ‬=‫ص‬ ‫ء‬)٢(
‫ﺑﻄﺮح‬٢‫ﻣﻦ‬١
‫ﻓﯿﮭﻤﺎ‬‫س‬ ‫أ‬–‫س‬ ‫ب‬=‫ص‬ ‫أ‬–‫ص‬ ‫ء‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫إﺛﺒﺎﺗﮫ‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮب‬ ‫وھﻮ‬ ‫ء‬ ‫أ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ق‬)‫أ‬= (٥٠‫ق‬ ، ْ)‫ب‬= (٦٥‫ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ‬ ‫ص‬ ، ‫س‬ ، ْ
‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟـ‬
)١(‫ق‬ ‫أوﺟﺪ‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬) (٢(‫س‬ ‫م‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ص‬ ‫م‬
‫اﻟﺰواﯾ‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﺎت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬‫ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ‬ ‫اﻟﺪاﺧﻠﺔ‬ ‫ﺎ‬=١٨٠ْ
B‫ق‬)‫ﺟـ‬= (١٨٠ْ–]٥٠ْ+٦٥ْ= [٦٥ْ
A‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬∴‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬
∴‫ق‬)‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬= (٩٠ْ
A‫ﻣﻨﺘﺼ‬ ‫س‬‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻒ‬∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬
∴‫ق‬)‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬= (٩٠ْ
B‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬=(٣٦٠–]٥٠+٩٠+٩٠[=١٣٠
A‫ق‬)‫ب‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬(∴‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
∴‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬
‫ــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‬ ‫وﺗﺮان‬ ‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬
‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬
‫ق‬ ‫أن‬ ‫ﺑﺮھﻦ‬)‫ص‬ ‫س‬ ‫ب‬= (‫ق‬)‫س‬ ‫ص‬ ‫ء‬(
‫ﻣﺸﺘﺮك‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫م‬ ‫أ‬
‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬
‫ق‬)‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬=(‫ق‬)‫م‬ ‫ص‬ ‫أ‬= (٩٠ْ
‫م‬
‫أ‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫س‬‫ص‬
٥٠
٦٥
‫أ‬
‫س‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫ص‬
‫م‬
‫ﻣﺜﺎل‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
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18. [ ]١٨
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬∴‫ق‬)‫ب‬ ‫س‬ ‫م‬= (٩٠ْ∴‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬
‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬∴‫ق‬)‫ء‬ ‫ص‬ ‫م‬= (٩٠‫ص‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫ﻓﻰ‬:‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬
∴‫ق‬)‫س‬ ‫م‬‫ب‬= (‫ق‬)‫ء‬ ‫ص‬ ‫م‬) (١(∴‫ق‬)‫ص‬ ‫س‬ ‫م‬= (‫ق‬)‫س‬ ‫ص‬ ‫م‬) (٢(
‫ب‬ ‫أ‬=‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬ ، ‫ء‬ ‫ﺟـ‬‫ﺑﻄﺮح‬ ‫ء‬ ‫ﺟـ‬٢‫ﻣﻦ‬١‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬
‫ق‬)‫ص‬ ‫س‬ ‫ب‬= (‫ق‬)‫س‬ ‫ص‬ ‫ء‬(
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ‬
‫إذ‬‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ا‬‫ء‬ ‫ﺟـ‬
A‫س‬ ‫م‬=‫ﻓﺈن‬ ‫ص‬ ‫م‬‫ب‬ ‫أ‬=‫ء‬ ‫ﺟـ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﯾﻨﺼﻒ‬ ‫م‬ ‫أ‬ ‫ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬)‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ھـ‬(
‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ھـ‬ ‫ء‬
‫س‬ ‫م‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬‫م‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ب‬‫ھـ‬ ‫ء‬ ‫ص‬
‫أ‬ ‫م‬ ،‫س‬ ‫أ‬ ‫م‬‫ص‬B‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬≡‫م‬ ‫ص‬ ‫أ‬
∴‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬
‫ﻓﯿﮭﻤﺎ‬∴‫ﺟـ‬ ‫ب‬=‫ء‬‫ھـ‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
٠٠
٠
‫ﻧﻈﺮﯾﺔ‬ ‫ﻋﻜﺲ‬)٢–١(
‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫أﺑﻌﺎد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻷوﺗﺎر‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺔ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫أو‬ ‫اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬
‫اﻟﻄﻮل‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻓﺈﻧﮭﺎ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟ‬
‫ـ‬
‫س‬
‫م‬
‫ص‬
‫ء‬
}
‫ﺿ‬ ‫م‬ ‫أ‬‫ﻣﺸﺘﺮك‬ ‫ﻠﻊ‬
‫ق‬)‫م‬ ‫أ‬ ‫س‬= (‫ق‬)‫م‬ ‫أ‬ ‫ص‬(
‫ق‬)‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬= (‫ق‬)‫م‬ ‫ص‬ ‫أ‬(
‫أ‬
‫ب‬
‫س‬‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫ص‬
‫ھـ‬
*
*
‫م‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
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19. [ ]١٩
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻣﺘﺤﺪﺗﺎ‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬
‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫و‬ ‫ھـ‬ ، ‫ء‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ص‬ ، ‫س‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬=‫و‬ ‫ھـ‬
‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ص‬ ‫س‬
‫اﻟﻌﻤﻞ‬:-‫و‬ ‫م‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬‫ن‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬‫و‬ ‫ھـ‬
‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬A‫ب‬ ‫أ‬=‫و‬ ‫ھـ‬∴‫و‬ ‫م‬=‫ن‬ ‫م‬
‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬A‫و‬ ‫م‬=‫ن‬ ‫م‬∴‫ء‬ ‫ﺟـ‬=‫ص‬ ‫س‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫م‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮان‬ ‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬)=٢،-٣(
‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫و‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬
‫ھـ‬) =-١،١(‫و‬ ،) =٦،٠(‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ء‬ ‫ﺟـ‬
‫ھـ‬ ‫م‬) =٢+١(٢
+)-٣-١(٢
=٩+١٦=٢٥=٥‫طﻮﻟﯿﺔ‬ ‫وﺣﺪات‬
‫و‬ ‫م‬) =٢–٦(٢
) +٠+٣(٢
=١٦+٩=٢٥=٥‫طﻮﻟﯿﺔ‬ ‫وﺣﺪات‬
A‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫ھـ‬ ‫م‬
A‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫و‬∴‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫و‬ ‫م‬
A‫ھـ‬ ‫م‬=‫و‬ ‫م‬∴‫ب‬ ‫أ‬=‫ء‬ ‫ﺟـ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬
‫ء‬ ‫م‬=‫ق‬ ، ‫ھـ‬ ‫م‬)‫ھـ‬ ‫م‬ ‫ء‬= (١٢٠ْ
‫اﻻﺿﻼع‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوى‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬
‫أ‬
‫ﺟـ‬
‫م‬
‫ء‬‫ب‬
‫ھـ‬
‫س‬‫ص‬‫و‬
‫و‬
‫ن‬
‫أ‬
‫ھـ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫و‬
‫ء‬
‫م‬
‫أ‬
‫م‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫ء‬‫ھـ‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
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20. [ ]٢٠
A‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬∴‫م‬‫ء‬‫ب‬ ‫أ‬)١(‫ق‬)‫أ‬(=٣٦٠–]٩٠+٩٠+١٢٠=[٦٠ْ
A‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬∴‫ھـ‬ ‫م‬‫ﺟـ‬ ‫أ‬)٢(‫ق‬)‫ب‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬= (= =٦٠
‫ء‬ ‫م‬=‫ھـ‬ ‫م‬)٣(∴‫ق‬)‫أ‬= (‫ق‬)‫ب‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬(
‫ﻣﻦ‬١،٢،٣‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬∴‫اﻻﺿﻼع‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوى‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
∴‫ق‬)‫ب‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬(
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫ء‬ ‫س‬=‫ھـ‬ ‫ص‬
‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬:‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
A‫س‬ ‫م‬=‫ص‬ ‫م‬)‫أﻗﻄﺎر‬ ‫أﻧﺼﺎف‬) (١(‫ﻣﻦ‬٤،٥‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬
‫ء‬ ‫س‬ ،=‫ھـ‬ ‫ص‬)‫ﻣﻌﻄﻰ‬) (٢(‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫ﺑﻄﺮح‬٢‫ﻣﻦ‬١
B‫س‬ ‫م‬–‫ء‬ ‫س‬=‫ص‬ ‫م‬–‫ھـ‬ ‫ص‬
B‫ء‬ ‫م‬=‫ھـ‬ ‫م‬)٤(
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ھـ‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ء‬ ‫م‬)٥(
‫ـــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫س‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=‫ص‬ ‫م‬=‫ع‬ ‫م‬
‫ق‬ ‫أوﺟﺪ‬)‫أ‬(‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫وإذا‬=١٠‫ﺳﻢ‬
‫ﻣﺤﯿﻂ‬ ‫أوﺟﺪ‬‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬
١٨٠–٦٠
٢
١٢٠
٢
‫ھـ‬ ‫ء‬
‫أ‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫م‬
‫س‬‫ص‬
‫أ‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫س‬‫ع‬
‫ص‬
‫م‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
‫ﻣﺜﺎل‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
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21. [ ]٢١
A‫س‬ ‫م‬‫س‬ ‫م‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ع‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬=‫ﻣﻦ‬ ‫ع‬ ‫م‬١،٢،٣‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬
∴‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬)١(A‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫ب‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬=١٠‫ﺳﻢ‬
A‫س‬ ‫م‬‫س‬ ‫م‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬=‫ص‬ ‫م‬B‫ق‬)‫أ‬= (‫ق‬)‫ب‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬= (٦٠ْ
∴‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫ب‬)٢(B‫ﻣﺤﯿﻂ‬‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬=‫ب‬ ‫أ‬+‫ﺟـ‬ ‫ب‬+‫ﺟـ‬ ‫أ‬
A‫ص‬ ‫م‬‫ع‬ ‫م‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ب‬‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬=‫ع‬ ‫م‬=١٠+١٠+١٠=٣٠‫ﺳﻢ‬
∴‫ﺟـ‬ ‫ب‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬)٣(
‫اﻟﻤﻘﺎﺑ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬‫ﻞ‬
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ، ‫ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬
‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫رﺳﻢ‬‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫ء‬ ‫ب‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬=‫ھـ‬ ‫ﺟـ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
A‫ب‬ ‫ء‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ھـ‬ ‫ص‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫ء‬ ‫س‬ ‫م‬=‫ﺟـ‬ ‫ھـ‬
∴‫ص‬ ‫م‬=‫س‬ ‫م‬A‫ءب‬ ‫س‬ ‫م‬
∴‫ب‬ ‫ء‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬
‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬ ، ‫م‬ ‫ص‬ ‫أ‬B‫س‬ ‫ب‬=‫ب‬ ‫ء‬
‫ﻣﺸﺘﺮك‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫م‬ ‫أ‬A‫ﺟـ‬ ‫ھـ‬ ‫ص‬ ‫م‬∴‫ﺟـ‬ ‫ھـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬
‫ص‬ ‫م‬ ‫ﻓﯿﮭﻤﺎ‬=‫س‬ ‫م‬B‫ﺟـ‬ ‫ص‬=‫ﺟـ‬ ‫ھـ‬
‫ق‬)‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬= (‫ق‬)‫م‬ ‫ص‬ ‫أ‬= (٩٠ْA‫ء‬ ‫ب‬=‫ﺟـ‬ ‫ھـ‬∴‫س‬ ‫ب‬=‫ﺟـ‬ ‫ص‬)٢(
‫م‬ ‫س‬ ‫أ‬≡‫م‬ ‫ص‬ ‫أ‬‫ﺑﺠﻤﻊ‬١،٢
∴‫س‬ ‫أ‬=‫ص‬ ‫أ‬)١(‫س‬ ‫أ‬+‫ب‬ ‫س‬=‫ص‬ ‫أ‬+‫ﺟـ‬ ‫ص‬
∴‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫أ‬
‫ھـ‬
‫ص‬
‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫س‬
‫م‬
‫ب‬
}
١
٢
١
٢
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
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22. [ ]٢٢
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮان‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬
‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ‬ ‫ھـ‬ ، ‫ء‬
‫ص‬ ، ‫س‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻘﻄﻌﺎن‬ ‫ھـ‬ ‫م‬ ، ‫ء‬ ‫م‬
‫ء‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬‫س‬=‫ص‬ ‫ھـ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
A‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬∴‫ب‬ ‫أ‬ ‫ء‬ ‫م‬
A‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬∴‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ھـ‬ ‫م‬
A‫س‬ ‫م‬=‫ء‬ ‫س‬ ، ‫ص‬ ‫م‬=‫ھـ‬ ‫ص‬
B‫س‬ ‫م‬–‫ء‬ ‫س‬=‫ص‬ ‫م‬–‫ھـ‬ ‫ص‬
∴‫ء‬ ‫م‬=‫ھـ‬ ‫م‬∴‫ب‬ ‫أ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬‫ـــــــ‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬
)١(‫اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻌﺒﺎرات‬ ‫أﻛﻤﻞ‬
١-‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬=١٠‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬=١٣‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
٢-‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬=١٠‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬=٧‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
٣-‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬=١٠‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬=١٠‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
٤-‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬=١٠‫ﻛﺎ‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬‫أ‬ ‫م‬ ‫ن‬=‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻨﻄﺒﻖ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺻﻔﺮﺳﻢ‬.........
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
٥-‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬=‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
٦-‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬=‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
‫أ‬
‫س‬
‫ب‬
‫ص‬
‫ﺟـ‬
‫م‬
‫ء‬‫ھـ‬
‫ﻣﺜﺎل‬
?‫اﻟﺤــــــــــــــــــﻞ‬@
٣
٥
٧
٥
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23. [ ]٢٣
٧-‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬ ‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬=‫ﺗﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
٨-‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫طﻮل‬ ‫داﺋﺮة‬١٠‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﯾﺒﻌﺪ‬ ‫ﻓﺈﻧﮫ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻤﺲ‬ ‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬
........‫ﺳﻢ‬
٩-‫ﻛ‬ ‫إذا‬‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫م‬ ‫ﺎﻧﺖ‬١٠‫ﺗﻘ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫أ‬ ، ‫ﺳﻢ‬‫أ‬ ‫م‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻊ‬.... =‫ﺳﻢ‬
١٠-‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬=٥‫أ‬ ، ‫ﺳﻢ‬∋‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ل‬ ‫أ‬ ‫م‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ل‬
)‫أ‬(‫أ‬ ‫م‬=٧‫ﯾﻘﻊ‬ ‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬..............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
)‫ب‬(‫أ‬ ‫م‬=٥‫ﯾﺴﻤﻰ‬ ‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬................‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬
)‫ﺟـ‬(‫أ‬ ‫م‬=٢‫ﯾﺴﻤﻰ‬ ‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬.................‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬
١١-‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫م‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬=‫أ‬ ، ‫ﻧﻖ‬∋‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ل‬ ‫أ‬ ‫م‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ل‬
)‫أ‬(‫أ‬ ‫م‬=‫ﯾﻘﻊ‬ ‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬..............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
)‫ب‬(‫أ‬ ‫م‬=‫ﯾﺴﻤﻰ‬ ‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬................‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬
)‫ﺟ‬‫ـ‬(‫أ‬ ‫م‬=‫ﯾﺴﻤﻰ‬ ‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ﻧﻖ‬.................‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬
١٢-‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=φ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬.............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
١٣-‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫س‬{‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬.............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
١٤-‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫ص‬ ، ‫س‬{‫ل‬ ‫ﻓﺈن‬‫ﯾﻜﻮن‬.............‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
١٥-‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫ب‬ ، ‫أ‬{‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻓﺈن‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬=........
١٦-‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫أ‬{‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻓﺈن‬∩‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬........... =
١٧-‫ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ‬ ‫ﻧﺼﻔﻰ‬ ‫طﻮﻻ‬ ‫ن‬ ، ‫م‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬٨، ‫ﺳﻢ‬٥‫ﻛﺎ‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬‫ن‬ ‫م‬ ‫ن‬=١٥‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ﺗﻜﻮﻧﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬...............
١٨-‫ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ‬ ‫ﻧﺼﻔﻰ‬ ‫طﻮﻻ‬ ‫ن‬ ، ‫م‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬٨، ‫ﺳﻢ‬٥‫ن‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬=١٣‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ﺗﻜﻮﻧﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬...............
٢
٥
٩
٥
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24. [ ]٢٤
١٩-‫ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ‬ ‫ﻧﺼﻔﻰ‬ ‫طﻮﻻ‬ ‫ن‬ ، ‫م‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬٨، ‫ﺳﻢ‬٥‫ن‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬=٥‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ﺗﻜﻮﻧﺎن‬...............
٢٠-‫ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ‬ ‫ﻧﺼﻔﻰ‬ ‫طﻮﻻ‬ ‫ن‬ ، ‫م‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬٨، ‫ﺳﻢ‬٥‫ن‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬=٣‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ﺗﻜﻮﻧﺎن‬...............
٢١-‫ﻗﻄﺮﯾﮭﻤﺎ‬ ‫ﻧﺼﻔﻰ‬ ‫طﻮﻻ‬ ‫ن‬ ، ‫م‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬٨، ‫ﺳﻢ‬٥‫ن‬ ‫م‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺳﻢ‬=١‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ﺗﻜﻮﻧﺎن‬...............
٢٢-‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=φ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﻓﺈن‬‫ﺗﻜ‬‫ﻮﻧﺎن‬................‫أو‬.............
٢٣-‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫أ‬{‫ﺗﻜﻮ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﻓﺈن‬‫ﻧﺎن‬................‫أو‬.........
٢٤-‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬=}‫أ‬{‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﻓﺈن‬‫ﺗﻜﻮﻧﺎن‬............
٢٦-‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬∩‫ا‬ ‫ﺳﻄﺢ‬‫ن‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮة‬=‫ﺗﻜﻮﻧﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬
........................‫أو‬...........................
٢٧-‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬∩‫ن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬=φ‫ﺗﻜﻮﻧﺎن‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﻓﺈن‬.................
٢٨-‫ﻣﺘﺒﺎﻋﺪﺗﯿﻦ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت‬ ‫ﻋﺪد‬............... =
٢٩-‫اﻟﺨﺎرج‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت‬ ‫ﻋﺪد‬............... =
٣٠-‫ﻣﺘﻘﺎطﻌﺘﯿﻦ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت‬ ‫ﻋﺪد‬............... =
٣١-‫اﻟﺪاﺧﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺳﺘﺎن‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت‬ ‫ﻋﺪد‬............... =
٣٢-‫ﻣﺘﺪاﺧﻠﺘﯿﻦ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎﺳﺎت‬ ‫ﻋﺪد‬... =............
]١[‫اﻟﻤﻌﻄﺎة‬ ‫اﻻﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬ ‫اﻻﺟﺎﺑﺔ‬ ‫أﺧﺘﺮ‬ ‫اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫اﻻﺷﻜﺎل‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام‬:
١-‫ق‬ ، ‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎﺳﺎ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫ھـ‬ ‫ب‬ ‫م‬= (١٢٠ْ
‫ق‬ ‫ﻓﺈن‬)‫ب‬ ‫م‬ ‫أ‬......... = (
)‫أ‬(٦٠ْ)‫ب‬(٣٠ْ)‫ﺟـ‬(٨٠ْ)‫ء‬(٩٠ْ
٢-‫ﻛ‬ ‫إذا‬‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎﺳﺎ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﺎن‬‫ب‬ ‫أ‬ ،=‫م‬ ‫أ‬
‫ﻓﺈن‬:‫ق‬)‫م‬.......... = (
)‫أ‬(٣٠ْ)‫ب‬(٤٥ْ)‫ﺟـ‬(٦٠ْ)‫ء‬(٩٠ْ
‫أ‬ ‫ب‬
‫م‬
‫ھـ‬
‫م‬
‫أ‬‫ب‬
‫م‬
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25. [ ]٢٥
٣-‫م‬ ‫أ‬ ، ‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺗﻤﺲ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=٦‫ب‬ ‫م‬ ، ‫ﺳﻢ‬=١٠‫ﺳﻢ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻓﺈن‬...... =‫ﺳﻢ‬
)‫أ‬(٦)‫ب‬(٨)‫ﺟـ‬(١٠)‫ء‬(١٢
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــ‬
٤-‫ق‬ ، ‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻤﺲ‬ ‫أ‬ ‫ﺟـ‬)‫م‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬= (٣٠ْ
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬=٥‫ﺳﻢ‬
‫ﺟـ‬ ‫م‬ ‫ﻓﺈن‬........ =‫ﺳﻢ‬
)‫أ‬(٥)‫ب‬(١٠)‫ﺟـ‬(٥‫؟‬٣)‫ء‬(٢.٥
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــ‬
٥-‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬‫ء‬ ، ‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻤﺴﺎن‬ ‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ، ‫أ‬ ‫ﺟـ‬ ، ‫م‬
‫ق‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬)‫ب‬ ‫م‬ ‫ء‬= (٥٠ْ
‫ﻓﺈن‬:‫ق‬)‫ﺟـ‬............. = (
)‫أ‬(٥٠ْ)‫ب‬(١٣٠ْ)‫ﺟـ‬(٩٠ْ)‫ء‬(٤٠ْ
٦-‫أ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺗﻤﺲ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬
‫ب‬ ‫م‬∩‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=}‫ﺟـ‬{
‫ﺟـ‬ ‫م‬ ‫ﺣﯿﺚ‬=‫ﺟـ‬ ‫ب‬‫ق‬ ‫ﻓﺈن‬)‫ب‬....... = (
)‫أ‬(٣٠ْ)‫ب‬(٤٥ْ)‫ﺟـ‬(٦٠ْ)‫ء‬(٩٠ْ
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)١(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫وﺗﺮﯾ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬‫ق‬ ، ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻦ‬)‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ب‬= (٤٥ْ
‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ‬ ‫ھـ‬ ، ‫ء‬
‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻓﻘﻄﻊ‬ ‫م‬ ‫ء‬ ‫رﺳﻢ‬:‫ھـ‬ ‫م‬=‫و‬ ‫ھـ‬
‫أ‬
‫ب‬‫م‬
‫ﺟـ‬
‫أ‬
‫م‬
٣٠ْ
٥٠
ْ ◌
‫ﺟـ‬
‫أ‬
‫ء‬
‫ب‬
‫م‬
‫ﺟـ‬
‫أ‬
‫م‬ ‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫م‬
‫ء‬
‫ھـ‬
‫و‬
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26. [ ]٢٦
)٢(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ق‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬)‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ب‬= (٧٠ْ
‫أوﺟﺪ‬:‫ق‬)‫ص‬ ‫م‬ ‫س‬(
‫ــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٣[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ق‬ ، ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎطﻌﺘﺎن‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ن‬ ، ‫م‬)‫د‬ ‫ن‬ ‫م‬=(١٠٠٥
‫ب‬ ‫أ‬∩‫م‬ ‫ن‬=}‫ھـ‬{‫اﻟﺪ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ،‫م‬ ‫اﺋﺮة‬
‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬:‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ب‬(
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــ‬
]٤[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫اﻟﻮﺗﺮ‬ ، ‫م‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬//‫ﺟـ‬ ‫م‬
‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫س‬ ‫ص‬
‫ق‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬)‫ص‬ ‫ب‬ ‫أ‬= (٥٠ْ
‫ق‬ ‫أوﺟﺪ‬)‫س‬ ‫ب‬ ‫ﺟـ‬(
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٥[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻤﺲ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ء‬//‫ء‬ ‫م‬
‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ب‬= (٨٠‫ق‬ ، ْ)‫ﺟـ‬ ‫ء‬ ‫م‬= (٢٠ْ
‫ﺟـ‬ ‫أ‬∩‫ء‬ ‫م‬=}‫ھـ‬{
‫ق‬ ‫أوﺟﺪ‬)‫م‬ ‫ﺟـ‬ ‫ھـ‬(
‫ن‬
‫ھـ‬
‫ء‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫م‬
‫ص‬
‫س‬‫ﺟـ‬
‫أ‬
‫م‬
٥٠ْ
‫ب‬
‫ب‬
‫أ‬
‫م‬
‫ﺟـ‬‫ء‬
‫ھـ‬
٢٠
٨٠
‫أ‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫م‬
٧٠ْ ‫س‬‫ص‬
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27. [ ]٢٧
]٦[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫م‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ص‬ ‫ﺟـ‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬
‫ق‬)‫س‬ ‫م‬ ‫ص‬= (١٤٠‫أوﺟﺪ‬ ْ:‫ق‬)‫ﺟـ‬(
‫ـــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
]٧[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ء‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬∋‫أ‬ ‫ب‬
‫ﺟـ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫ﻟﻠﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﻤﺎس‬ ‫ﺟـ‬ ‫ء‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬
‫ق‬)‫ب‬= (٢٥‫ق‬ ‫أوﺟﺪ‬ ْ)‫ء‬(
‫ـــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٨[‫اﻟﻘﻮﺳﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﻣﻤﺎ‬ ‫اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬ ‫اﻻﺟﺎﺑﺔ‬ ‫أﺧﺘﺮ‬
١-‫رﺳﻢ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬................‫ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬
)‫أ‬(‫واﺣﺪة‬ ‫داﺋﺮة‬)‫ب‬(‫داﺋﺮﺗﺎن‬
)‫ﺟـ‬(‫دواﺋﺮ‬ ‫ﺛﻼث‬)‫ء‬(‫اﻟﺪاواﺋﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻋﺪد‬
٢-‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ﺑﻄﺮﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺎرة‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻋﺪد‬
)‫أ‬(‫واﺣﺪة‬ ‫داﺋﺮة‬)‫ب‬(‫داﺋﺮﺗﺎن‬
)‫ﺟـ‬(‫دواﺋ‬ ‫ﺛﻼث‬‫ﺮ‬)‫ء‬(‫اﻟﺪاواﺋﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻋﺪد‬
٣-‫واﺣﺪ‬ ‫ﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﺛﻼث‬ ‫أى‬............................
)‫أ‬(‫ﺑﮭﺎ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﻻ‬)‫ب‬(‫واﺣﺪة‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﺑﮭﺎ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬
)‫ﺟـ‬(‫داﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ﺑﮭﺎ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬)‫ء‬(‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﮭﺎﺋﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﺑﮭﺎ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬
٤-‫ﺑﻤﻌﻠﻮﻣﯿﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﺗﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬........................
)‫أ‬(‫واﺣﺪة‬ ‫أﺳﺘﻘﺎﻣﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﺛﻼث‬)‫ب‬(‫ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬
)‫ﺟـ‬(‫واﺣﺪة‬ ‫أﺳﺘﻘﺎﻣﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﺛﻼث‬)‫ء‬(‫واﺣﺪة‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬
‫ﺟـ‬
‫م‬
‫أ‬‫ب‬ ‫س‬
١٤٠ْ
‫ء‬
‫أ‬‫م‬‫ب‬ ٢٥
‫ﺟـ‬
‫ص‬
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28. [ ]٢٨
٥-‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻋﺪد‬‫ﻟ‬ ‫رؤوس‬ ‫ﺛﻼث‬ ‫ﺑﺄى‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫أن‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬‫ﯾﺴﺎوى‬ ‫أﺿﻼع‬ ‫ﻤﺘﻮازى‬.................
)‫أ‬(‫ﺻﻔﺮ‬)‫ب‬(١)‫ﺟـ‬(٢)‫ء‬(‫ﻧﮭﺎﺋﻰ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻋﺪد‬
٦-‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟﻤﯿﻌﺎ‬ ‫ﻣﺮاﻛﺰھﺎ‬ ‫ﺗﻘﻊ‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﺟﻤﯿﻊ‬..................
)‫أ‬(‫ب‬ ‫أ‬)‫ب‬(‫ب‬ ‫أ‬
)‫ﺟـ‬(‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﺗﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬)‫ء‬(‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬
٧-‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺑﺮؤوس‬ ‫اﻟﻤﺎرة‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ‬......................
)‫أ‬(‫ﻣﺘﻮﺳﻄﺎﺗﮫ‬)‫ب‬(‫أرﺗﻔﺎﻋﺎﺗﮫ‬
)‫ﺟـ‬(‫اﻟﺪاﺧﻠﺔ‬ ‫زواﯾﺎه‬ ‫ﻣﻨﺼﻔﺎت‬)‫ء‬(‫أﺿﻼﻋﮫ‬ ‫ﺗﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﺎور‬
٨-‫ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ب‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ‬ ‫ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ھﻮ‬ ‫ﺑﺮؤوﺳﮫ‬ ‫اﻟﻤﺎرة‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬.........
)‫أ‬(‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬)‫ب‬(‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬
)‫ﺟـ‬(‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬)‫ء‬(‫اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ﺧﺎرج‬
٩-‫ﺑﺮؤوس‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﻻ‬...................
)‫أ‬(‫ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ‬)‫ب‬(‫ﻣﺜﻠﺚ‬)‫ﺟـ‬(‫ﻣﺮﺑﻊ‬)‫ء‬(‫ﻣﻌﯿﻦ‬
١٠-‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬=٤‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬‫أﺻﻐﺮ‬
‫ھﻮ‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫داﺋﺮة‬............
)‫أ‬(٢‫ﺳﻢ‬)‫ب‬(٣‫ﺳﻢ‬)‫ﺟـ‬(٤‫ﺳﻢ‬)‫ء‬(٨‫ﺳﻢ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
]٩[‫ﯾﺄﺗﻰ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫أﻛﻤﻞ‬
١-‫وطﻮل‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫ﻋﻠﻢ‬ ‫إذا‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺗﺘﻌﯿﻦ‬.................
٢-‫داﺋﺮة‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﺑﺮؤوس‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬.................
٣-‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬=٦‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬٥‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫وﺗﻤﺮ‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ھﻮ‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬....................
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29. [ ]٢٩
٤-‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬=٥.٤‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪواﺋﺮ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﻢ‬٢.٧‫وﺗﻤﺮ‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ھﻮ‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬....................
٥-‫ط‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫طﺮﻓﺎھﺎ‬ ‫ﯾﻘﻊ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫ﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫طﻮل‬ ‫أﻛﺒﺮ‬‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻮل‬٧‫ﯾﺴﺎوى‬ ‫ﺳﻢ‬
...............
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]١٠[‫ﺑﻤﻘﺪار‬ ‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﺗﺒﻌﺪ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫أ‬ ، ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ل‬٢‫ﺗﺮﺳﻢ‬ ‫ﻛﯿﻒ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ﻗﻄﺮھﺎ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫داﺋﺮة‬٣‫ل‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫وﯾﻘﻊ‬ ‫أ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫ﺳﻢ‬‫ﻋﺪد‬ ‫ﻛﻢ‬
‫اﻟﺤﻠﻮل‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
]١١[‫طﻮﻟﮭﺎ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ب‬ ‫أ‬٨‫ﻧﺼﻒ‬ ‫وطﻮل‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫أرﺳﻢ‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ﻗﻄﺮھﺎ‬٥‫اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬ ‫ﻟﮭﺬه‬ ‫ﺣﻼ‬ ‫ﻛﻢ‬ ، ‫ﺳﻢ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)١٢(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫ء‬ ‫س‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬=‫ھـ‬ ‫ص‬
‫ــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــ‬
)١٣(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﺟـ‬ ‫ب‬=‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫م‬ ، ‫ھـ‬ ‫ء‬
‫أن‬ ‫أﺛﺒﺖ‬ ‫ھـ‬ ‫ء‬ ‫ص‬ ‫م‬:‫ب‬ ‫أ‬=‫ء‬ ‫أ‬
‫أ‬
‫ب‬‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫س‬
‫ھـ‬
‫ص‬
‫م‬
‫أ‬
‫ء‬
‫ص‬‫ھـ‬
‫ب‬
‫س‬‫ﺟـ‬
‫م‬
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30. [ ]٣٠
)١٤(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ص‬ ‫م‬:
)١(‫س‬ ‫أ‬=‫ص‬ ‫أ‬
)٢(‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫س‬= (‫ق‬)‫ب‬ ‫أ‬ ‫ص‬(
)١٥(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ص‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫س‬ ، ‫ء‬ ‫ﺟـ‬
‫أن‬ ‫أﺛﺒﺖ‬:‫اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوى‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫ھـ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــ‬
)١٦(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬:
)‫أوﻻ‬(‫ص‬ ‫س‬‫م‬ ‫أ‬)‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬(‫ء‬ ‫س‬=‫ص‬ ‫ھـ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)١٧(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت‬ ‫ص‬ ، ‫س‬ ، ‫ء‬ ‫ﺟـ‬
‫ﺟـ‬ ،‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ء‬
‫أن‬ ‫أﺛﺒﺖ‬:‫س‬ ‫ھـ‬=‫و‬ ‫ص‬
‫أ‬
‫س‬
‫ء‬
‫ب‬
‫ص‬
‫م‬
‫ھـ‬
‫ﺟـ‬
٠‫م‬
‫س‬
‫ص‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫ھـ‬
‫ص‬
٠‫م‬ ‫أ‬
‫ب‬
‫ء‬
‫ﺟـ‬
‫ھـ‬
‫س‬
‫و‬
‫أ‬
‫ﺟـ‬
‫ھـ‬
‫ء‬
‫ص‬
‫س‬
‫م‬
‫ب‬
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31. [ ]٣١
)١٨(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ‫أ‬=‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫ق‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬)‫ھـ‬ ‫م‬ ‫ء‬= (١٢٠ْ
‫ﯾﻨﺼﻒ‬ ‫س‬ ‫ھـ‬)‫ء‬ ‫ھـ‬ ‫أ‬(
‫س‬ ‫ھـ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬//‫ء‬ ‫م‬
‫ــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)١٩(‫ﯾﺄﺗﻰ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫أﻛﻤﻞ‬
١-‫أﺑﻌﺎد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻄﻮل‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫اﻻوﺗﺎر‬.........................
٢-‫إذا‬ ‫اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬‫ﻣ‬ ‫أﺑﻌﺎد‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻻوﺗﺎر‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻓﺈﻧﮭﺎ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺘﺴﺎوﯾﺔ‬...........
]٢٠[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ھـ‬ ‫ص‬ ‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ، ‫ھـ‬ ‫س‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ، ‫م‬ ‫داﺋﺮة‬
‫ب‬ ‫أ‬∩‫ء‬ ‫ﺟـ‬=}‫م‬{‫ب‬ ‫أ‬ ،=‫ء‬ ‫ﺟـ‬
‫س‬ ‫أ‬=٣‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺳﻢ‬:‫ص‬ ‫ھـ‬ ‫طﻮل‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــ‬
]٢١[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎطﻌﺘﺎن‬ ‫ن‬ ، ‫م‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬
‫ن‬ ‫م‬ ‫ورﺳﻢ‬ ، ‫ص‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫وﯾﻘﻄﻊ‬ ‫س‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻓﻘﻄﻌﮫ‬
‫ا‬ ‫وﯾﻘﻄﻊ‬ ‫و‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ھـ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻟﺪاﺋﺮة‬
‫ص‬ ‫س‬=‫ھـ‬ ‫و‬‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ب‬ ‫أ‬
]٢٢[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻘﺎطﻌﺘﺎن‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬ ‫ن‬ ، ‫م‬
‫ن‬ ‫م‬∩‫ب‬ ‫أ‬=}‫ل‬{‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫و‬ ،
‫و‬ ‫م‬ ، ‫ص‬ ‫س‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ع‬=‫ل‬ ‫ن‬ ، ‫ل‬ ‫م‬=‫ع‬ ‫ن‬
‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ص‬ ‫س‬
١٢٠
‫أ‬
‫ﺟـ‬‫ب‬
‫ھـ‬
‫م‬
‫ء‬
‫س‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
‫ء‬
‫س‬
‫ع‬
‫ص‬
‫ن‬ ‫ل‬
‫م‬
‫ھ‬‫ـ‬
‫أ‬
‫س‬
‫ء‬
‫ص‬
‫م‬
‫ﺟـ‬‫ب‬
‫ھـ‬‫ن‬ ‫م‬
‫ص‬
‫س‬
‫و‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ﺟـ‬
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32. [ ]٣٢
]٢٣[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻣﺘﺤﺪﺗﺎ‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮ‬ ‫ع‬ ‫أ‬ ، ‫ء‬ ، ‫ﺟـ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬
‫ص‬ ، ‫س‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫اﻟﻜﺒﺮى‬
‫ق‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬)‫ع‬ ‫ب‬ ‫أ‬= (‫ق‬)‫ب‬ ‫ع‬ ‫ا‬(‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬=‫ص‬ ‫س‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٢٤[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﻓﻰ‬ ‫وﺗﺮان‬ ‫ء‬ ‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫م‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫ﻣﺘﺤﺪﺗﺎ‬ ‫داﺋﺮﺗﺎن‬
‫ص‬ ، ‫س‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫وﯾﻤﺴﺎن‬ ‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬=‫وإ‬ ‫ء‬ ‫ﺟـ‬‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ذا‬
‫اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬=٥‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫وطﻮل‬ ‫ﺳﻢ‬
٣‫ب‬ ‫أ‬ ‫طﻮل‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺳﻢ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــ‬
]٢٥[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫وﺗﺮان‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ، ‫م‬ ‫ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬
‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ھـ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫ء‬
‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ص‬ ، ‫س‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻘﻄﻌﺎ‬ ‫ھـ‬ ‫م‬ ، ‫ء‬ ‫م‬ ‫رﺳﻢ‬
‫س‬ ‫ء‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬=‫ب‬ ‫أ‬ ‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫ص‬ ‫ھـ‬=‫ﺟـ‬ ‫أ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٢٦[‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫م‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻄﻮل‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن‬ ‫وﺗﺮان‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬
‫ء‬ ‫م‬ ‫رﺳﻢ‬ ، ‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ، ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ‬ ‫ھـ‬ ، ‫ء‬
‫ص‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻘﻄﻊ‬ ‫ھـ‬ ‫م‬ ‫ورﺳﻢ‬ ‫س‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻓﻘﻄﻊ‬
‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬)١(‫س‬‫ء‬=‫ص‬ ‫ھـ‬
)٢(‫ق‬)‫ب‬ ‫أ‬ ‫س‬= (‫ق‬)‫ﺟـ‬ ‫أ‬ ‫ص‬(
‫أ‬
‫ب‬
‫ء‬
‫ﺟـ‬
‫ع‬
‫س‬
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‫ﺟـ‬‫ص‬
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