Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatom

1. Линеарне једначине
и неједначине са
једном непознатом

2. У оквиру ове наставне теме
изучаваћемо:
 алгебарске изразе
 еквивалентност израза
 линеарне једначине
 решавање линеарних једначина са
једном непознатом
 линеарне неједначине
 решавање линеарних неједначина са
једном непознатом

3. Променљиве замењују величине чију тачну
вредност не знамо или величине које могу
имати различите вредности.
Од бројева, променљивих и рачунских
операција, придржавајући се
одговарајућих правила, градимо
алгебарске изразе. Нпр. 5+2, 2x+1,
Aко у алгебарском изразу учествује
променљива, кажемо да је то алгебарски
израз са променљивом.

5. Операција множења има приоритет у
односу на операцију сабирања.
Поред рачунских операција сабирања и
множења, дефинишемо и операције
одузимања и дељења.
За свака два реална броја a и b важи:

6. Деф: Скуп свих вредности променљиве за
које дати израз има бројевну вредност
назива се област дефинисаности тог
израза или скуп допустивих вредности
променљиве за тај израз.
Нпр.

7. Деф: Два израза су еквивалентна ако
имају исту област дефинисаности и ако су
њихове бројевне вредности једнаке за све
допустиве вредности променљивих.
Нпр. изрази x2
и нису еквивалентни јер
немају исти домен
изрази x+7 и 8x нису еквивалентни
јер немају исту вредност за свако x из R
изрази 5x+3x и 8x су еквивалентни

8. Деф: Два израза су еквивалентна ако
имају исту област дефинисаности и ако су
њихове бројевне вредности једнаке за све
допустиве вредности променљивих.
Нпр. изрази x2
и нису еквивалентни јер
немају исти домен
изрази x+7 и 8x нису еквивалентни
јер немају исту вредност за свако x из R
изрази 5x+3x и 8x су еквивалентни

10. Линеарне једначине
са једном непознатом

11. Деф: Два алгебарска израза, од којих бар
један садржи променљиву или више њих,
спојена знаком једнакости (с циљем да се
одреде вредности променљиве или
променљивих за које је једнакост
истинита), чине једначину.

12. Ако се у једначини појављује само једна
променљива, кажемо да је то једначина са
једном непознатом.
Нпр. 2x+y=5 је једначина са две непознате.
Скуп свих вредности променљиве за које
су дефинисани алгебарски изрази који се у
једначини јављају називамо облашћу
дефинисаности те једначине.
Деф: Једначина са једном непознатом x је
линеарна ако је еквивалентна једначини
облика аx + b = 0, где су а и b реални
бројеви.

13. Деф: Решење једначине је сваки број који
додељен непознатој ту једначину преводи
у истиниту бројевну једнакост.
Нпр, једначине x = 2 и x + 7 = 9 имају исто
решење.
Деф: Две једначине су еквивалентне ако је
свако решење једне од њих уједно решење
и друге, или ако обе једначине немају
решења.
Како да од дате једначине добијамо њој
еквивалентну? Користићемо следећа три
правила.

14. 1. Правило замене
У једначини, заменом алгебарског израза
њему еквивалентним изразом, добијамо
нову једначину која је еквивалентна
полазној.
Нпр. у једначини 2(x+2)–3 = 5 израз
2(x+2) мењамо изразом 2x+4, јер су
еквивалентни. Тако добијамо једначину
2x+4–3 = 5 која је еквивалентна полазној.

15. 2. Правило о додавању
У једначини, додавањем истог израза на
обе стране једначине (одузимањем истог
израза од обе стране једначине),
добијамо једначину која је еквивалентна
полазној.
Нпр. када додамо број 18 на обе стране
једначине 9x–18=0, добијамо еквивалентну
једначину 9x–18+18 = 0+18. Сада, применом
правила замене, добијамо 9x = 18.

16. 3. Правило о множењу
У једначини, множењем (дељењем) истим
изразом, различитим од 0, обе стране
једначине, добијамо једначину која је
еквивалентна полазној.
Нпр. када ако обе стране једначине 9x = 18
помножимо са , добијамо њој
еквивалентну једначину .

17. Како у општем случају решавамо линеарну
једначину аx+b = 0, где је а било који
реалан број различит од 0, а b произвољан
реалан број.

18. Пример 1: Реши једначину 5x – 10 = 0.

19. Пример 2: Реши једначину 5x = 5x+1.

20. Пример 3: Реши једначину 5x = 2x+3x.
Деф: Ако је сваки реалан број решење
неке једначине, кажемо да је она
неодређена и називамо је идентитетом.

21. Дакле, једначина аx+b = 0 :

22. Пример 4: Реши једначину 7x–8 = 4x+4.

23. Пример 5: Реши једначину .
3
2
11
6
=+
x

24. Пример 6: Реши једначину
3(4(2–3(x–1))–5)–8 = 1.

25. Пример 7: Реши једначину
(x+6)2
= x2
+ 144.

26. Пример 8: Реши једначину |3x+2| = 5.

27. Пример 9: Решимо једначину (x+3)‧(6–x) = 0.

28. Пример 10: Решимо једначину x2
+4x = 0.

29. Линеарне неједначине
са једном непознатом

30. Нпр. 7x - 8 < 4
Деф: Два алгебарска израза који садрже
променљиву или променљиве, спојена
знаком неједнакости (<, ≤, > или ≥) чине
неједначину.
Деф: Решење неједначине је сваки број
који додељен непознатој ту неједначину
преводи у истиниту бројевну неједнакост.

31. Скуп решења неједначине често исказујемо
користећи интервале реалних бројева.
[а,b] или а≤x≤b(а,b) или а<x<b
[а,b) или а≤x<b(а,b] или а<x≤b.

34. 1. Правило замене
У неједначини, заменом алгебарског израза
њему еквивалентним изразом, добијамо
нову неједначину која је еквивалентна
полазној.

35. 2. Правило о додавању
Додавањем истог израза на обе стране
неједначине (одузимањем истог израза
од обе стране неједначине) добијамо
нову неједначину која је еквивалентна
полазној.

36. 3. Правило о множењу
Множењем (дељењем) истим позитивним
бројем обе стране неједначине добијамо
нову неједначину истог типа која је
еквивалентна полазној.
Множењем (дељењем) истим негативним
бројем обе стране неједначине добијамо
нову неједначину са промењеним знаком
неједнакости која је еквивалентна
полазној.

37. Пример 1: Покажи да је неједначина
линеарна.
17
7
32
−≥−
−
x
x

38. Пример 2: Решимо неједначину:

39. Код решавања линеарне неједначине
разликујемо два случаја:
Важно: Множењем обе стране неједначине
негативним бројем знак неједнакости се
мења на следећи начин.

40. Пример 3: Решимо неједначину:

41. Пример 4: Решимо неједначину: 3x > 3x-1.

42. Пример 5: Решимо неједначину: 3x > 3x+1.

44. Презентацију је израдила Мирјана Митић,
наставник математике
Хвала на пажњи!