2. У оквиру ове наставне теме
изучаваћемо:
линеарну функцију
график линеарне функције
испитивање тока и графика
линеарне функције (нулу функције,
рашћење и опадање, знак функције,
пресек са координатним осама)
4. Променљиву у изразу који дефинише
придруживање називамо независно
променљива и најчешће је означавамо са x,
а вредност израза који зависи од независно
променљиве x означавамо са f(x), нпр.
f(x)=2x+1, или само са y, нпр. y=2x+1. Тада
величину y називамо зависно променљива,
јер њена вредност зависи од вредности x.
5. У случају да је израз који дефинише
придруживање линеаран, то придруживање
називамо линеарна функција.
Нпр.
Деф: Придруживање којим реалном броју x
придружујемо реалан број y, такав да је
y = kx+n, где су k и n неки фиксирани
реални бројеви, назива се линеарна
функција. Специјално, ако је k=0, онда је
реч о константној функцији.
6. За линеарну функцију y=kx+n кажемо да је
задата у експлицитном облику.
Константа k (коефицијент уз x) назива се
коефицијент правца.
Константа n назива се слободан члан.
За n=0, линеарна функција представља
уопштење директне пропорционалности,
односно y = kx.
Како је линеаран израз kx+n дефинисан за
сваки реалан број x, линеарна функција
сваком реалном броју додељује неки
реалан број.
11. Поновимо:
- Две бројевне праве у равни, нормалне
једна на другу чине координатни систем.
- Пресечна тачка правих је координатни
почетак.
- Бројевне праве се називају координатне
осе, апсциса и ордината.
- Свака тачка координатног система
записује се као уређен пар (x,y), где су x и
y апсциса и ордината дате тачке.
12. 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
Координатни систем
координатне осе
апсциса
ордината
координатни
почетак
5
-6
-1
6
x
y
13. 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
Координатни систем
5
-6
-1
6
I квадрант
x>0,y>0
IV квадрант
x>0,y<0
III квадрант
x<0,y<0
II квадрант
x<0,y>0
B(-3,2)
C(-5,-2)
А(3,2)
D(4,-4)
x
y
14. Сваком уређеном пару реалних бројева (x,y)
одговара једна тачка у координатнатној
равни.
Свакој тачки координатне равни одговара
један уређен пар реалних бројева (x,y).
График функције директне
пропорционалности је скуп свих тачака у
равни чије координате задовољавају
једначину y=kx.
Тај график је права која пролази кроз
координатни почетак.
15. Пример: Нацртати график функцијa:
а) y=2x
x
y
0
0
y=2x
б) y= x
x
y
0
0
1
y=
x
2
1
2
1
1
2
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
5
-6
-1
6
x
y
16. Функција y = kx, x R, је специјалан случај
линеарне функције (n=0). Знање о њеном
графику помаже при цртању графика
функције y = kx+n.
Деф: График линеарне функције y = kx+n,
x R, је скуп свих тачака (x,y) чије су
координате повезане једнакошћу y = kx+n.
17. 5
1
y=2x+3
x
y
-2 0-1
2
y=2x
1 2
0 4-2-4
x
y
-2 0-1
5
y=2x+3
1 2
3 71-1
y=2x
1 2 3 4 5 6
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
-6
-1
6
Пример: Нацртајмо график функција y = 2x
и y = 2x+3, x R.
Графици су
паралелне
праве!
x
y
18. 5
1
y=2x-5
x
y
-2 0-1
2
y=2x
1 2
0 4-2-4
x
y
30
1-3
y=2x-5
1 2
-5 -1
4
3
y=2x
1 2 3 4 5 6
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
-6
-1
6
Пример: Нацртајмо сада и график
функције y = 2x–5, x R.
Графици су
паралелне
праве!
x
y
19. Пример: Нацртајмо сада и графике
линеарних (константних) функција y=0, y=3
и y=–5 (k=0).
5
1
y=-5
x
y
-2 0-1
0
y=0
1 2
0 000
y=3
y=0
1 2 3 4 5 6
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
-6
-1
6
x
y
-2 0-1
3
1 2
3 333
x
y
-2 0-1
-5
1 2
-5 -5-5-5
y=-5
y=3
x
y
20. Пример: Нацртајмо сада и графике
линеарних (константних) функција y=0, y=3
и y=–5 (k=0).
5
1
x=-3
x
y
-2 0-1
0
y=0
1 2
0 000
y=3
x=0
1 2 3 4 5 6
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
-6
-1
6
x
y
-2 0-1
3
1 2
3 333
x
y
-2 0-1
-5
1 2
-5 -5-5-5
y=-5
x=2
x
y
21. На основу претходних примера јасно је да
је график произвољне линеарне функције
y = kx+n, x R, права.
Графици линеарних функција које имају
једнаке коефицијенте правца су
међусобно паралелне праве.
Ако су графици две линеарне функције
паралелни, онда те две функције имају
једнаке коефицијенте правца.
услов паралелности: k1=k2
22. Сви графици приказани у претходним
примерима пресецају y-осу.
Броју 0 линеарна функција y = kx+n
придружује број n, јер је k 0+n = n. Према‧
томе, тачка Т(0,n) увек припада графику
линеарне функције.
Закључак: График линеарне функције
y = kx+n, x R, сече y-осу у тачки која је
одређена уређеним паром (0,n).
24. Пресек са x-осом:
0 = 3x–6
⇒x = 2
График сече x-осу
у тачки (2,0).
5
1
Пресек са y-осом
је у тачки (0,-6).
y=3x-6
1 2 3 4 5 6
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
-6
-1
6
Пример: Одредимо тачке у којима график
функције y = 3x–6 сече координатне осе.
x
y
25.
26. Да ли график сваке линеарне функције има
заједничких тачака са x-осом?
Постоје линеарне функције (y=3, y=–5, ...)
чији график не сече x-осу.
Линеарна једначина 0 x+n = 0 за n≠0 нема‧
решење, а уколико је n=0, сваки реалан
број је решење те једначине.
Закључак: Константна функција y=n за n≠0
нема нулу и не сече x-осу. Сваки реалан
број је нула константне функције y=0, а
график ове функције је x-оса.
27. Посматрајмо сада графике линеарних
функција y = 2x+1 и y = –2x+1.
При повећању
вредности
независно
променљиве x
повећава се и
вредност зависно
променљиве y.
При повећању
вредности
независно
променљиве x
смањује се
вредност зависно
променљиве y.
x
y
-2 0-1
3
y=2x+1
1 2
1 5-1-3
x
y
-2 0-1
-1
y=-2x+1
1 2
1 -335
5
1
y=2x+1
1 2 3 4 5 6
2
3
4
-6 -2-3-4-5 -1
-2
-3
-4
-5
0
-1
6
x
y
Y=-2x+1
28. Деф: Линеарна функција је растућа ако
повећање вредности независно
променљиве условљава повећање
вредности зависно променљиве.
Деф: Линеарна функција је опадајућа ако
повећање вредности независно
променљиве условљава смањење
вредности зависно променљиве.
29. Закључак:
-Ако је k>0, функција је растућа, а њен
график заклапа оштар угао са позитивним
делом x-осе.
- Ако је k<0, функција је опадајућа, а њен
график заклапа туп угао са позитивним
делом x-осе.
- Ако је линеарна функција растућа, онда је
k>0, а ако је опадајућа, онда је k<0.
- Константна функција није ни растућа ни
опадајућа, а њен график је паралелан
x-оси.
30. Посматрајмо поново график функције
y = 3x–6. Видимо да се график десно од
тачке (2,0) налази изнад x-осе, а лево од
тачке (2,0) испод x-осе.
y>0 за x>2
y<0 за x<2
Заправо, вредности десно
од нуле функције су решења
неједначине 3x–6>0,
a вредности лево од нуле
функције су решења
неједначине 3x-6<0.
31. У случају функције y = -3x–6 график се
десно од тачке (-2,0) налази испод x-осе, а
лево од тачке (-2,0) изнад x-осе.
y>0 за x<-2
y<0 за x>-2
Заправо, вредности лево
од нуле функције су решења
неједначине -3x–6>0,
a вредности десно од нуле
функције су решења
неједначине -3x-6<0.
32. Закључак:
Ако је коефицијент правца линеарне
функције позитиван (k>0), функција је
позитивна за вредности веће од нуле
функције, а негативна за вредности мање
од нуле функције.
Ако је коефицијент правца линеарне
функције негативан (k<0), функција је
позитивна за вредности мање од нуле
функције, а негативна за вредности веће од
нуле функције.
33. График линеарне функције у правоуглом
координатном систему је права, али да ли
је свака права график неке линеарне
функције?
Кроз разне примере видели смо да график
линеарне функције може да заклапа оштар
или туп угао са x-осом, или пак да буде
паралелан са x-осом.
А шта је са правама које су нормалне на
x-осу?
34. Ако је права нормална на x-осу, тада је она
паралелна y-оси. Шта је заједничко свим
тачкама које припадају некој од ових
правих? Прва координата тачака сваке од
ових правих се не мења.
Дакле, праве паралелне
y-оси су облика x=а.
35. Ако при имплицитном задавању линерне
функције аx+by+c=0, x R, коефицијент b
може бити једнак и броју 0, онда је на овај
начин могуће описати сваку праву у
координатном систему.
Закључак: Свака права у правоуглом
координатном систему xОy одређена је
једнакошћу аx+by+c=0, где су а и b
произвољни реални бројеви који не могу
истовремено бити једнаки 0.
