El documento explica la ecuación general del círculo y cómo encontrar la ecuación de un círculo dado sus puntos o su tangencia con otra curva. También describe cómo encontrar la ecuación de una recta tangente a un círculo en un punto, y propiedades de las rectas tangentes a conicas.

1. Ecuación general del círculo
 Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el
lugar geométrico de los puntos que equidistan 5
unidades del punto Q(4, 3).
5
3
4
Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar
geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de
este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5

2. Que se escribe como
2 2
d P,Q x 4 y 3 5
De donde, 2 2
x 4 y 3 25
Esta ecuación representa un círculo
La forma canónica o estándar del círculo
de radio r y con centro en C(a, b) es:
2 2 2
x a y b r r
b C
a

3. Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior
x2-2xa+a2+y2-2yb+b2
=x2+y2+(-2a)x+(-2b)y+a2+b2
notamos que a2+b2=r2
Si D=-2a, E=-2b y F=a2+b2-r2
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Esta es la forma general de la
ecuación del círculo.

4. Problema individual: Encontrar el centro y radio
del círculo cuya ecuación es
4x2+4y2-12x+40y+77=0
4(x2-3x)+4(y2 +10y)= -77
(x2-3x)+(y2 +10y)= -77/4
(x2-3x+9/4)+(y2 +10y+25)= -77/4+9/5+25
(x-3/2)2+(y+5)2= 8
Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es 8=2 2

5. Ejercicio en equipo
Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos
(1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica.
Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma
siguiente:
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del
círculo por estar en él, tenemos
1+25+D+5E+F=0
4+9-2D+3E+F=0
4+1+2D-E+F=0

6. Es decir,
D+5E+F=-26
-2D+3E+F=-13
2D-E+F=-5
Resolviendo el sistema tenemos,
D=-9/5, E=19/5, F=-26/5
Por lo tanto la ecuación del círculo es:
5x2+5y2-9x-19y-26=0
El ejemplo anterior demuestra el empleo de la
fórmula general para deducir la ecuación deseada.

7. Solución alterna
Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el
círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del
círculo que deseamos.
(1,5)
(-2,3)
(2,-1)
Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3), el punto
medio es (-1/2,4) y la pendiente m=2/3.

8. Entonces la ecuación de la mediatriz es
y-4=-3/2(x+1/2) de donde 6x+4y=13 (1)
Repetimos lo anterior con la cuerda de (1,5) a (2,-1)
m=6 y la ecuación de la mediatriz es, y-2=1/6(x-3/2),
es decir 2x-12y=-21 (2)
El centro se encuentra donde se cruzan (1) y (2), es
decir (9/10, 9/10)
El radio es la distancia del centro a cualquiera de los
puntos, por ejemplo (1,5). r= 962/100
La ecuación de la circunferencia que buscamos es:
(x-9/10)2+(y-19/10)2=962/100
o bien 5x2+5y2-9x-19y-26=0

9. Diseño de un engrane. El siguiente ejercicio se realizará
en equipo. Ver archivo (Ejercicio engrane.doc)

10. Ejercicio en equipo
 Encontrar la ecuación de la recta tangente al
círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).
Recuerda: Una recta es tangente a un círculo si
toca a éste en un solo punto. La recta tangente a
un circulo tiene la propiedad de ser
perpendicular al radio que une al centro del
círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad
es la que nos permite encontrar la ecuación de la
recta tangente.

11. Solución:
 Primero debemos encontrar la pendiente del radio
que une a P con el centro del círculo. El centro
tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es
m=3/4.
 De donde la pendiente de la recta tangente al
círculo en P es –4/3; por tanto su ecuación es
y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0
12
6
3
-5

12. Ejercicio en equipo
 Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la
recta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)
 Solución: El centro C(xo, yo) del círculo debe estar en
la recta l que es perpendicular a la recta dada y que
pasa por P. Como la recta dada tiene pendiente ½ , la
recta l tiene pendiente m=-2; por tanto su ecuación es
y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0
 Por tanto las coordenadas de C satisfacen
2xo+yo-21=0 (1)
 Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual a
la distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que

13. 2 2 2 2
x0 8 y0 5 x0 12 y0 9
 Elevando al cuadrado y simplificando tenemos
xo+yo-17=0 (2)
 Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por
(1) y (2) encontramos las coordenadas del centro
C(4,13) y el radio r= 80
 Así la ecuación de la circunferencia es
(x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0
13
5
4 8

14.  Vamos ahora a discutir otra propiedad de la recta
tangente que nos servirá también para definir las rectas
tangentes a las otras cónicas.
 Sea P un punto de un círculo y l la recta tangente al
círculo que pasa por P.
 Observamos en la figura que todos los puntos de l
distintos de P están en una sola de las dos regiones
determinadas por el círculo, esto es, en la región de
afuera, ya que si Q es otro punto de l, d(C,Q)>d(C,P)
puesto que en el triángulo
rectángulo CPQ, el
P
segmento CP es un cateto
C
y el segmento CQ es la
hipotenusa.
l
Q

15.  Además, una recta l es tangente a una
cónica en un punto P de ella, si corta a la
cónica únicamente en P y todos los demás
puntos de l están en una sola de las regiones
determinadas por la cónica.
 Una recta es normal a una cónica en un
punto P si es perpendicular a la recta
tangente a la cónica que pasa por ese punto.