Este documento presenta varios problemas de física relacionados con vectores. Incluye cálculos para hallar vectores resultantes de fuerzas que forman ángulos específicos, descomposición de vectores en componentes, y velocidades resultantes considerando velocidades en diferentes direcciones. Los problemas implican el uso de fórmulas trigonométricas y de vectores para determinar magnitudes y ángulos desconocidos.

1. FÍSICA
PROBLEMARIO DE VECTORES
PROFESOR: MIGUEL MOLINA RIVERA
DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA AGRICOLA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
CHAPINGO, MÉXICO.

2. Hallar el vector resultante de dos vectores fuerza de 4N y 3N, aplicando el punto 0 y formando un ángulo de:
a) 90° y b) 60°
Datos:
𝐹1 = 4𝑁
𝐹2 = 3𝑁
𝜃 = 90°
𝜃 = 60°
Incógnita
𝑅 =?
Formulas
𝑅 = √ 𝐹1
2
+ 𝐹2
2
𝛾 = tan−1 ( 𝐹2
𝐹1
⁄ )
𝑅 𝑋 = 𝐹1 + 𝐹2 𝐶𝑜𝑠𝜃
𝑅 𝑌 = 𝐹2 𝑆𝑒𝑛𝜃
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
a) 𝑅 = √4𝑁2 + 3𝑁2
𝑅 = 5𝑁
𝛾 = tan−1(3𝑁
4𝑁⁄ )
𝛾 = 37°
b) 𝑅 𝑋 = 4𝑁 + (3𝑁) cos 60°
𝑅 𝑋 = 5.5𝑁
𝑅 𝑌 = (3𝑁) sin 60°
𝑅 𝑌 = 2.59𝑁

3. 𝑅 = √5.5𝑁2 + 2.59𝑁2
𝑅 = 6.09𝑁
𝛾 = tan−1(2.59𝑁
5.5𝑁⁄ )
𝛾 = 25° 12´58.22"
Cuatro vectores fuerza coplanarios están aplicados a un cuerpo en un punto 0. Hallar su resultante.
Datos:
𝐴 = 80𝑁
𝑎 = 0°
𝐵 = 100𝑁
𝑏 = 45°
𝐶 = 110𝑁
𝑐 = 30°
𝐷 = 160𝑁
𝑑 = 20°
Incógnita
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 + 𝐵 cos 𝑏 − 𝐶 cos 𝑐 − 𝐷 cos 𝑑
Y
XA
B
C
D

4. 𝑅 𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 + 𝐶 sin 𝑐 − 𝐷 sin 𝑑
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 80𝑁 cos 0° + 100𝑁 cos 45° − 110𝑁 cos 30° − 160𝑁 cos 20°
𝑅 𝑌 = 100𝑁 sin 45° + 110𝑁 sin30° − 160𝑁 sin 20°
𝑅 𝑋 = −94.90𝑁
𝑅 𝑌 = 70.99𝑁
𝑅 = √−94.90𝑁2 + 70.99𝑁2
𝑅 = 118.51𝑁
𝛾 = tan−1(70.99𝑁
−94.90𝑁⁄ )
𝛾 = −36° 47´54.05"
Sabiendo que el módulo del vector resultante de otros dos, correspondientes a sendas fuerzas perpendiculares,
es de 100N, y que otro de ellos forma un ángulo de 30° con dicha resultante, hallar esta fuerza.
Datos:
𝑅 = 100𝑁
𝛾 = 30°
Incógnita:
𝑅 𝑋 =?
Formula
𝑅 𝑋 = 𝑅 cos 30°
R=110N
r=30°

5. Desarrollo
𝑅 𝑋 = 100𝑁 cos 30°
𝑅 𝑋 = 86.60𝑁
Sabiendo que el vector fuerza resultante de otros dos que forman un ángulo recto es de 10N, y que uno de ellos
es de 6N, calcular el otro.
Datos:
𝑅 = 10𝑁
𝑅 𝑋 = 6𝑁
Incógnita
𝑅 𝑌 =?
Formula
𝑅2
= 𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
Desarrollo
𝑅2
− 𝑅 𝑌
2
= 𝑅 𝑋
2
𝑅 𝑌
2
= 𝑅2
− 𝑅 𝑋
2
𝑅 𝑌 = √𝑅2 − 𝑅 𝑋
2
𝑅 𝑌 = √10𝑁2 − 6𝑁2
𝑅 𝑌 = 8𝑁
R
Rx

6. La velocidad de un bote en agua en reposo es de 8 km/h. sabiendo que la velocidad de la corriente del río es de
4 km/h, hallar el ángulo que debe formar, con la orilla, la ruta del bote para que alcance un punto de la orilla
enfrente al de partida.
Datos:
𝐵 = 8 𝑘𝑚/ℎ
𝐴 = 4 𝑘𝑚/ℎ
Incógnita
𝛾 =?
Formula
𝛾 = sin−1( 𝐴
𝐵⁄ )
Desarrollo
𝛾 = sin−1
(
4
𝑘𝑚
ℎ
8
𝑘𝑚
ℎ
⁄ )
𝛾 = 30°
Un barco navega hacia el norte con una velocidad de 12 km/h. Sabiendo que la velocidad de la marea es de 5
km/h y dirigida hacia el oeste. Calcular el módulo y dirección y sentido del vector, velocidad resultante del barco.
Datos
𝐴 = 12 𝑘𝑚/ℎ
𝐵 = 5 𝑘𝑚/ℎ
Incógnitas
Rio
A
B
A
B
ɣ
R
R
A
B
r

7. 𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵2
𝛾 = tan−1
(
𝐴
𝐵
)
Desarrollo
𝑅 = √12 𝑘𝑚/ℎ2 + 5 𝑘𝑚/ℎ2
𝑅 = 13 𝑘𝑚/ℎ
𝛾 = tan−1 (
12 𝑘𝑚/ℎ
5 𝑘𝑚/ℎ⁄ )
𝛾 = 67° 22´48.48"
Un motociclista se dirige hacia el norte con una velocidad de 50 km/h. La velocidad del viento es de 30 km/h
soplando hacia el oeste. Calcular la velocidad aparente del viento observada por el motociclista.
Datos
𝐴 = 50 𝑘𝑚/ℎ
−𝐴 = −50 𝑘𝑚/ℎ
𝐵 = −30 𝑘𝑚/ℎ
Incógnita
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 = √ 𝐵2 + −𝐴2
A
-A
B
R
ɣ

8. 𝛾 = tan−1(−𝐴
𝐵⁄ )
Desarrollo
𝑅 = √(−30𝑘𝑚/ℎ)2 + (−50 𝑘𝑚/ℎ)2
𝑅 = 58.31 𝑘𝑚/ℎ
𝛾 = tan−1 (
−50 𝑘𝑚/ℎ
−(30𝑘𝑚/ℎ)⁄ )
𝛾 = 59° 2´10.48"
Descomponer un vector fuerza de 1000N que forma un ángulo de 53° con la horizontal en sus componentes
verticales y horizontales.
Datos
𝐴 = 1000𝑁
𝑎 = 53°
Incógnitas
𝐴 𝑋 =?
𝐴 𝑌 =?
Formulas
𝐴 𝑋 = 𝐴 cos 𝑎
𝐴 𝑌 = 𝐴 sin 𝑎
Desarrollo
𝐴 𝑋 = (1000𝑁) cos 63°
𝐴 𝑋 = 601.82𝑁
𝐴 𝑌 = (1000𝑁) sin 63°
𝐴 𝑌 = 798.64𝑁
Un muchacho tira de una cuerda atada a un cuerpo con una fuerza de 20N. La cuerda forma un ángulo de 30°
con el suelo. Hallar el valor de la fuerza que tiende a elevar verticalmente al cuerpo.
A
AY
a

9. Datos
𝐴 = 20𝑁
𝑎 = 30°
Incógnita
𝐴 𝑌 =?
Formula
𝐴 𝑌 = 𝐴 sin 𝑎
Desarrollo
𝐴 𝑌 = (20𝑁) sin 30°
𝐴 𝑌 = 10𝑁
Un bloque prismático de peso W = 300N se apoya sin rozamiento sobre un plano inclinado 25° con la horizontal.
a) Hallar las componentes de W normal y paralela al plano.
b) ¿Qué fuerza F paralela al plano será necesario aplicar al cuerpo para que ascienda por la rampa?
Datos
𝑤 = 300𝑁
𝑎 = 25°
Incógnitas
𝑤 𝑋 =?
𝑤 𝑌 =?
𝐹 =?
Formulas
𝑎 + 𝑏 = 90°
Y
X
a
w

10. 𝑤 𝑋 = −𝑤 cos 𝑏
𝑤 𝑌 = 𝑤 sin 𝑏
𝐹 = −𝑤 𝑋
Desarrollo
𝑏 = 90° − 𝑎
𝑏 = 90° − 25° = 75°
𝑤 𝑋 = −(300𝑁) cos 25°
𝑤 𝑋 = −77.65𝑁
𝑤 𝑌 = (300𝑁) sin 75°
𝑤 𝑌 = 289.78𝑁
𝐹 = +77.65𝑁
Nota: el signo + significa que va hacia arriba del plano.
Hallar la mínima fuerza F paralela a un plano inclinado sin rozamiento, de 18m de longitud, que es necesario
aplicar a un cuerpo de peso w = 900N, para arrastrarlo sobre el hasta una plataforma situada a 5m del suelo.
Datos
𝐵 = 18𝑚
𝐴 = 5𝑚
𝑤 = 900𝑁
Incógnitas
𝐹 = −𝑤 𝑋
Formulas
𝑤 𝑋 = −𝑤 cos 𝑏
A
a
B
w
d d

11. 𝑎 + 𝑑 = 90°
𝑎 = sin−1( 𝐴
𝐵⁄ )
Desarrollo
𝑎 = sin−1(5𝑚
18𝑚⁄ )
𝑎 = 16° 7´39.43"
𝑑 = 90° − 𝑎
𝑑 = 73° 52´20.57"
𝑤 𝑋 = −(900𝑁) cos 73° 52´20.57"
𝑤 𝑋 = −250𝑁
𝐹 = −(−250𝑁) = 250𝑁
Hallar la resultante de los cinco vectores fuerza coplanarios A = 19N, B = 15N, C = 16N, D = 11N, E = 12N
formando ángulos de a = 0°, b = 60°, c = 45°, d = 30°, e = 90° como se indica.
Datos
𝐴 = 19𝑁 , 𝑎 = 0°
𝐵 = 15𝑁 , 𝑏 = 60°
𝐶 = 16𝑁 , 𝑐 = 45°
𝐷 = 11𝑁 , 𝑑 = 30°
𝐸 = 12𝑁, 𝑑 = 90°
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Y
XA
B
C
D
E
bc
d

12. Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 + 𝐵 cos 𝑏 − 𝐶 cos 𝑐 − 𝐷 cos 𝑑
𝑅 𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 + 𝐶 sin 𝑐 − 𝐷 sin 𝑑 − 𝐸
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 19𝑁 + 15𝑁 cos 60° − 16𝑁 cos 45° − 11𝑁 cos 30°
𝑅 𝑋 = 5.66𝑁
𝑅 𝑌 = 15𝑁 sin60° + 16𝑁 sin 45° − 11𝑁 sin 30° − 12𝑁
𝑅 𝑌 = 6.80𝑁
𝑅 = √(5.66𝑁)2 + (6.80𝑁)2
𝑅 = 8.85𝑁
𝛾 = tan−1(6.80𝑁
5.66𝑁⁄ )
𝛾 = 50° 13´39.34”
Un telescopio que mira hacia una estrella fija, situada en la vertical del lugar presenta una inclinación de 20.5
segundos con dicha vertical. Debido al movimiento orbital de la tierra, el telescopio está animado de una velocidad
de 27.76 km/seg., formando un ángulo recto con la dirección de la estrella. De estos datos, deducir la velocidad
de la luz.
Datos
𝛼 = 20.5"
𝑉 = 29.76
𝑘𝑚
𝑠𝑒𝑔
Incógnita
Dirección de la
velocidad de la luz
α

13. 𝐶 =?
Formula
tan 𝛼 =
𝑉
𝐶
Desarrollo
𝐶 tan 𝛼 = 𝑉
𝐶 =
𝑉
tan 𝛼
𝐶 =
29.76 𝑘𝑚/𝑠𝑒𝑔
tan(20.5")
𝐶 = 299, 436.1275 𝑘𝑚/𝑠𝑒𝑔
Si un vector forma con los ejes X y Y ángulos de 60° y tiene de módulo 4N. Calcular:
a) Sus componentes en X, Y y Z.
b) El ángulo que forma con el eje Z.
Datos
𝐴 = 4𝑁
𝑎 𝑋 = 60°
𝑎 𝑌 = 60°
Incógnitas
𝐴 𝑋, 𝐴 𝑌, 𝐴 𝑍 =?
Formulas
𝐴 𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 𝑋
Z
Y
X
60°
Ay
Az
Ax
60°

14. 𝐴 𝑌 = 𝐴 cos 𝑎 𝑌
𝑐𝑜𝑠2
𝑎 𝑋 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑎 𝑌 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑎 𝑍 = 1
𝐴 𝑍 = 𝐴 cos 𝑎 𝑍
Desarrollo
𝐴 𝑋 = (4𝑁) cos 60°
𝐴 𝑋 = 2𝑁
𝐴 𝑌 = (4𝑁) cos 60°
𝐴 𝑌 = 2𝑁
𝑐𝑜𝑠2
𝑎 𝑍 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑎 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑎 𝑌
cos 𝑎 𝑍 = √1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 𝑌
𝑎 𝑍 = cos−1 [√1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 𝑋 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 𝑌]
𝑎 𝑍 = cos−1 [√1 − 𝑐𝑜𝑠260° − 𝑐𝑜𝑠260°]
𝑎 𝑍 = 45°
𝐴 𝑍 = 𝐴 cos 𝑎 𝑍
𝐴 𝑍 = (4𝑁) cos 45°
𝐴 𝑍 = 2.83𝑁
Se tiene el siguiente diagrama de fuerzas coplanarias.
Calcular:
a) La fuerza resultante
b) El ángulo que se forma con el eje X
Datos
𝐴 = 5𝑁, 𝑎 = 60°
𝐵 = 7𝑁, 𝑏 = 30°
A
B
a
b

15. Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 + 𝐵 cos 𝑏
𝑅 𝑌 = 𝐴 sin 𝑎 − 𝐵 sin 𝑏
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 5𝑁 cos 60° + 7𝑁 cos 30°
𝑅 𝑋 = 8.56𝑁
𝑅 𝑌 = 5𝑁 sin 60° − 7𝑁 sin 30°
𝑅 𝑌 = 0.83𝑁
𝑅 = √(8.56𝑁)2 + (0.83𝑁)2
𝑅 = 8.60𝑁
𝛾 = tan−1(8.60𝑁
8.56𝑁⁄ )
𝛾 = 5° 32´17.65"
Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son: A = 6N, B = 3N y C = 4N, que forman respectivamente
los siguientes ángulos con el eje X positivo, 45°, 30° y 60°. Las tres fuerzas están en el mismo plano. Calcular el
módulo y el ángulo que forman con el eje X y la resultante de dichas fuerzas.
Datos
Y
X
A
a
B
b
C
c

16. 𝐴 = 6𝑁, 𝑎 = 45°
𝐵 = 3𝑁, 𝑏 = 30°
𝐶 = 4𝑁, 𝑐 = 60°
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 + 𝐵 cos 𝑏 + 𝐶 cos 𝑐
𝑅 𝑌 = 𝐴 sin 𝑎 − 𝐵 sin 𝑏 − 𝐶 sin 𝑐
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 (
𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 6𝑁 cos 45° + 3𝑁 cos 30° + 4𝑁 cos 60°
𝑅 𝑋 = 8.84𝑁
𝑅 𝑌 = 6𝑁 sin 45° − 3𝑁 sin 30° − 4𝑁 sin 60°
𝑅 𝑌 = 2.28𝑁
𝑅 = √(8.84)2 + (2.28)2
𝑅 = 9.13𝑁
𝛾 = tan−1(2.28𝑁
8.84𝑁⁄ )
𝛾 = 14° 27´44.83"
Descomponer las fuerzas de 20N que forman un ángulo 45° en las direcciones a y b indicadas en la figura.
Y
f = 45°
F
X
b
30°
c
∢𝑏
a

17. Datos
𝐹 = 20𝑁
𝑓 = 45°
∢𝑎 = 0°
∢𝑏 = 30° + 𝑐
Incógnitas
𝐹𝑎 =?
𝐹𝑏 =?
Formulas
𝐹𝑎 = 𝐹 cos 𝑓
𝐹𝑏 = 𝐹 cos ∢𝑏
𝑐 + 𝑓 = 90°
Desarrollo
𝐹𝑎 = 20𝑁 cos 45°
𝐹𝑎 = 14.14𝑁
𝑐 = 90° − 𝑓
𝑐 = 90° − 45°
𝑐 = 45°
∢𝑏 = 30° + 45° = 75°
𝐹𝑏 = 20𝑁 cos 75°
𝐹𝑏 = 5.18𝑁
Dados los siguientes vectores 𝐴⃗ = 3𝑖̂ − 2𝑗̂ y 𝐵⃗⃗ = −4𝑖̂ + 𝑗̂, calcular:
a) El vector suma y su módulo.
b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje X
c) El vector 𝐶⃗ = 2𝐴⃗ − 3𝐵⃗⃗ y el vector unitario en la dirección y sentido del vector 𝐶⃗
Datos
𝐴⃗ = 3𝑖̂ − 2𝑗̂
𝐵⃗⃗ = −4𝑖̂ + 𝑗̂
Incógnitas

18. a) 𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗
|𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗|
b) 𝐴⃗ − 𝐵⃗⃗
𝜃 =?
c) 𝐶⃗ =?
𝑐̂ =?
Desarrollo
𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = (3𝑖̂ − 2𝑗̂) + (−4𝑖̂ + 𝑗̂)
𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = (3𝑖̂ − 4𝑖̂) + (−2𝑗̂ + 𝑗̂)
𝐴⃗ + 𝐵⃗⃗ = −𝑖̂ − 𝑗̂
𝐴⃗ − 𝐵⃗⃗ = (3𝑖̂ − 2𝑗̂) − (−4𝑖̂ + 𝑗̂)
𝐴⃗ − 𝐵⃗⃗ = (3𝑖̂ − 2𝑗̂) + 4𝑖̂ − 𝑗̂
𝐴⃗ − 𝐵⃗⃗ = 3𝑖̂ + 4𝑖̂ − 2𝑗̂ − 𝑗̂
𝐴⃗ − 𝐵⃗⃗ = 7𝑖̂ − 3𝑗̂
𝜃 = tan−1(−3
7⁄ )
𝜃 = −23° 11´54.93"
𝐶⃗ = 2(3𝑖̂ − 2𝑗̂) − 3(−4𝑖̂ + 𝑗̂)
𝐶⃗ = 6𝑖̂ − 4𝑗̂ + 12𝑖̂ − 3𝑗̂
𝐶⃗ = 18𝑖̂ − 7𝑗̂
|𝐶⃗| = √(18)2 + (−7)2
|𝐶⃗| = 19.31
𝐶⃗̂
=
𝐶⃗
|𝐶⃗|
=
18𝑖̂ − 7𝑗̂
19.31
Encontrar la magnitud de la suma de un desplazamiento de 15km, y un desplazamiento de 25km cuando el
ángulo entre ellos es de 135°.
135°
B
Ab

19. Datos
𝐴 = 15 𝑘𝑚
𝐵 = 25 𝑘𝑚
𝑏 = 180° − 135° = 45°
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 − 𝐵 cos 𝑏
𝑅 𝑌 = 𝐵 sin 𝑏
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 15 𝑘𝑚 − 25 𝑘𝑚 cos 45°
𝑅 𝑋 = −2.68 𝑘𝑚
𝑅 𝑌 = 25𝑘𝑚 sin45°
𝑅 𝑌 = 17.68 𝑘𝑚
𝑅 = √(−2.68)2 + (17.68)2
𝑅 = 17.88 𝑘𝑚
𝛾 = tan−1(17.68 𝑘𝑚
−2.68 𝑘𝑚⁄ )
𝛾 = −81° 22´49.84"
Un autobús viaja 23 km sobre una carretera recta que esta 30° al norte del este. ¿Cuáles son las componentes
este y norte de su desplazamiento?
Y
X
A
a
N
S
E
O

20. Datos
𝐴 = 23 𝑘𝑚
𝑎 = 30°
Incógnitas
𝐴 𝑋 =?
𝐴 𝑌 =?
Formulas
𝐴 𝑋 = 𝐴 cos 𝑎
𝐴 𝑌 = 𝐴 sin 𝑎
Desarrollo
𝐴 𝑋 = (23 𝑘𝑚) cos 30°
𝐴 𝑋 = 19.92 𝑘𝑚
𝐴 𝑌 = (23 𝑘𝑚) sin 30°
𝐴 𝑌 = 11.5 𝑘𝑚
Un receptor GPS te indico que tu casa se encontraba a 15 km en una dirección de 40° al norte del oeste, pero el
único camino conduce directamente al norte. Si tomaste ese camino y caminaste 10 km, ¿Qué distancia y en qué
dirección tendrás que caminar para llegar a tu casa?
Datos
𝐴 = 15 𝑘𝑚
𝑎 = 40°
𝐵 = 10 𝑘𝑚
Incógnitas
𝑅 =?
R
B
A
a
ɣ

21. 𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 cos 𝑎
𝑅 𝑌 = 𝐴 sin( 𝑎 − 𝐵)
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 15 𝑘𝑚 cos 40°
𝑅 𝑋 = 11.49 𝑘𝑚
𝑅 𝑌 = 15𝑘𝑚 sin40° − 10𝑘𝑚
𝑅 𝑌 = −0.36 𝑘𝑚
𝑅 = √(11.49 𝑘𝑚)2 + (−0.36 𝑘𝑚)2
𝑅 = 11.496 𝑘𝑚
𝛾 = tan−1(−0.36 𝑘𝑚
11.49 𝑘𝑚⁄ )
𝛾 = −1° 47´40.49"
Para la figura anterior obtenga el vector resultante
Datos:
𝐴 = 3𝑁
𝐵 = 4𝑁
Incógnitas
𝑅 =?
Y
X
B = 4N
A = 3N
ɣ

22. 𝛾 =?
Formulas
𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵2
𝛾 = tan−1( 𝐴
𝐵⁄ )
Desarrollo
𝑅 = √(3𝑁)2 + (4𝑁)2
𝑅 = 5𝑁
𝛾 = tan−1(3𝑁
4𝑁⁄ )
𝛾 = 36° 52´11.63"
Dos vectores de 8N y 5N forman un ángulo de 60 °. ¿Cuál es su suma vectorial?
Datos
𝐴 = 8𝑁
𝐵 = 5𝑁
𝑏 = 60°
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 + 𝐵 cos 𝑏
𝑅 𝑌 = 𝐵 sin 𝑏
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
b A

23. 𝑅 𝑋 = 8𝑁 + 5𝑁 cos 60°
𝑅 𝑋 = 10.5𝑁
𝑅 𝑌 = 5𝑁 sin 60°
𝑅 𝑌 = 4.33𝑁
𝑅 = √(10.5𝑁)2 + (4.33𝑁)2
𝑅 = 11.36𝑁
𝛾 = tan−1(4.33𝑁
10.5𝑁⁄ )
𝛾 = 22° 24´37.15"
Obtenga la resultante de los siguientes vectores
Datos
𝐴 = 6 𝑘𝑚
𝐵 = 4 𝑘𝑚 , 𝑏 = 45°
𝐶 = 8 𝑘𝑚
𝐷 = 3 𝑘𝑚
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = −𝐴 − 𝐵 cos 𝑏 + 𝐷
𝑅 𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 + 𝐶
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
D
C
B
A
b

24. 𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = −6 𝑘𝑚 − (4 𝑘𝑚)(cos 45°) + 3 𝑘𝑚
𝑅 𝑋 = −5.83 𝑘𝑚
𝑅 𝑌 = (4 𝑘𝑚)(sin45°) + 8 𝑘𝑚
𝑅 𝑌 = 10.83 𝑘𝑚
𝑅 = √(−5.83 𝑘𝑚)2 + (10.83 𝑘𝑚)2
𝑅 = 12.3 𝑘𝑚
𝛾 = tan−1(10.83 𝑘𝑚
−5.83 𝑘𝑚⁄ )
𝛾 = −61° 42´20"
Hallar la suma de los siguientes vectores, 3m dirigidos al este; 12 metros dirigidos 40° al NE y 7m dirigido 60° al
SO.
Datos
𝐴 = 3 𝑚
𝐵 = 12𝑚, 𝑏 = 40°
𝐶 = 7 𝑚, 𝑐 = 60°
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 + 𝐵 cos 𝑏 + 𝐶 cos 𝑐
𝑅 𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 − 𝐶 sin 𝑐
A
B
b
C
c
N
S
E
O

25. 𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 (
𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 3𝑚 + 12𝑚 (cos 40°) − 7𝑚 (cos 60°)
𝑅 𝑋 = 8.69𝑚
𝑅 𝑌 = 12𝑚 (sin40°) − 7𝑚 (sin60°)
𝑅 𝑌 = 1.65 𝑚
𝑅 = √(8.69𝑚)2 + (1.65𝑚)2
𝑅 = 8.85𝑚
𝛾 = tan−1(1.65 𝑚
8.69 𝑚⁄ )
𝛾 = 10° 45´3.48"
El nudo O está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas por lo que los vectores representativos w = 100lb, A y
B se podrán trazar de manera que formen un triángulo cerrado. Obtenga a los vectores A y B.
Datos
𝑤 = 100 𝑙𝑏
𝜃 = 30°
Incógnitas
𝐴 =?
𝑎 =?
A
B
w
30°
A
B
w
30°
a

26. 𝐵 =?
Formulas
tan 𝜃 =
𝐵
𝑤
cos 𝜃 =
𝐴
𝑤
𝑎 + 𝜃 = 90°
Desarrollo
𝑤 tan 𝜃 = 𝐵
𝐵 = 𝑤 tan 𝜃
𝐵 = (100 𝑙𝑏) tan 30°
𝐵 = 57.74 𝑙𝑏
𝑤 cos 𝜃 = 𝐴
𝐴 = 𝑤 cos 𝜃
𝐴 = (100 𝑙𝑏) cos 30°
𝐴 = 86.60 𝑙𝑏
𝑎 + 30° = 90°
𝑎 = 60°
Hallar la resultante y la equilibrante de una fuerza horizontal de 7N y una fuerza de 12N que forme un ángulo de
60° con la horizontal.
Datos
𝐴 = 7𝑁
𝐵 = 12 𝑁
B
R
A
b ɣ
e
E
Y
X

27. 𝑏 = 60°
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
𝐸 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 + 𝐵 cos 𝑏
𝑅 𝑌 = 𝐵 sin 𝑏
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
𝐸 = 𝑅 , 𝑒 = 𝛾
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 7𝑁 + 12 𝑁 (cos 60°)
𝑅 𝑋 = 13 𝑁
𝑅 𝑌 = 12 𝑁 (sin 60°)
𝑅 𝑌 = 10.39𝑁
𝑅 = √(13 𝑁)2 + (10.39 𝑁)2
𝑅 = 16.64 𝑁
𝛾 = tan−1(10.39 𝑁
13 𝑁⁄ )
𝛾 = 38° 37´58.53"
𝐸 = 16.64 𝑁
𝑒 = 38° 37´58.53"

28. Una lancha de motor efectúa los siguientes desplazamientos 300m al Oeste, 200m al Norte, 350m al Noroestes y
150m al Sur. Calcular:
a) La distancia que recorre.
b) El desplazamiento resultante.
Datos
𝐴 = 300𝑚, 𝑎 = 0°
𝐵 = 200𝑚, 𝑏 = 90°
𝐶 = 350𝑚, 𝑐 = 45°
𝐷 = 150𝑚, 𝑑 = 90°
Incógnitas
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 =?
𝑅 =?, 𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = −𝐴 + 𝐶 cos 𝑐
𝑅 𝑌 = 𝐵 + 𝐶 sin 𝑐 − 𝐷
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 300𝑚 + 200𝑚 + 350𝑚 + 150𝑚 = 1000𝑚
𝑅 𝑋 = −300𝑚 + (350𝑚) cos 45°
𝑅 𝑋 = −52.51𝑚
N
S
E
O A
B
C
D
R
ɣ

29. 𝑅 𝑌 = 200𝑚 + (350𝑚) sin45° − 150𝑚
𝑅 𝑌 = 297.49𝑚
𝑅 = √(−52.51𝑚)2 + (297.49𝑚)2
𝑅 = 302.09𝑚
𝛾 = tan−1(297.49 𝑚
−52.51 𝑚⁄ )
𝛾 = −79° 59´23.36"
Un jinete y su caballo cabalgan 600 m a Este, 400m en dirección Noroeste y 200m al Norte. Calcular:
a) La distancia total que recorre.
b) El desplazamiento resultante.
Datos
𝐴 = 600𝑚, 𝑎 = 0°
𝐵 = 400𝑚, 𝑏 = 45°
𝐶 = 200𝑚, 𝑐 = 90°
Incógnitas
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =?
𝑅 =? , 𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = −𝐴 + 𝐵 cos 𝑏
𝑅 𝑌 = 𝐵 sin 𝑏 + 𝐶
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 (
𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
A
B
C

30. Desarrollo
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 600𝑚 + 400𝑚 + 200𝑚 = 1200𝑚
𝑅 𝑋 = −600𝑚 + (400𝑚) cos 45°
𝑅 𝑋 = −317.16𝑚
𝑅 𝑌 = (400𝑚) sin45° + 200𝑚
𝑅 𝑌 = 482.84𝑚
𝑅 = √(−317.16𝑚)2 + (482.84𝑚)2
𝑅 = 577.69𝑚
𝛾 = tan−1(482.82 𝑚
−317.16 𝑚⁄ )
𝛾 = −56° 42´1.97"
Mediante una cuerda un niño jala un carrito de juguete con una fuerza de 80N, la cual forma un ángulo de 40°
con el eje horizontal.
Calcular:
a) El valor de la fuerza que jala al carro horizontalmente.
b) El valor de la fuerza que tiende a levantar al carro.
Datos
𝐹 = 80 𝑁
𝑓 = 40°
Incógnitas
𝐹𝑋 =?
𝐹𝑌 =?
Fórmulas
𝐹𝑋 = 𝐹 cos 𝑓
𝐹𝑌 = 𝐹 sin 𝑓
Desarrollo
f

31. 𝐹𝑋 = (80 𝑁) cos 40°
𝐹𝑋 = 61.28
𝐹𝑌 = (80 𝑁) sin 40°
𝐹𝑌 = 51.42 𝑁
Hallar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal la siguiente suma de vectores.
Datos
𝐹 = 38 𝑁
𝑔 = 30°
𝐺 = 30 𝑁
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐹 + 𝐺 cos 𝑔
𝑅 𝑌 = 𝐺 sin 𝑔
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 38 𝑁 + (30𝑁) cos 30°
𝑅 𝑋 = 63.98𝑁
𝑅 𝑌 = (30 𝑁) sin30°
𝑅 𝑌 = 15 𝑁
𝑅 = √(63.98 𝑁)2 + (15 𝑁)2
g = 30°
F = 38N

32. 𝑅 = 65.71 𝑁
𝛾 = tan−1(15 𝑁
63.98 𝑁⁄ )
𝛾 = 13° 11´40.52"
En la siguiente suma de vectores, encontrar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal.
Datos
𝐹1 = 400 𝑁
𝑓2 = 140°
𝐹2 = 250 𝑁
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = −𝐹1 + 𝐹2 cos 40°
𝑅 𝑌 = 𝐹2 sin 40°
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = −400𝑁 + (250𝑁) cos 40°
𝑅 𝑋 = −208.49 𝑁
𝑅 𝑌 = (250 𝑁) sin 40°
𝑅 𝑌 = 160.70 𝑁
𝑅 = √(−208.49 𝑁)2 + (160.70 𝑁)2
𝑅 = 263.23 𝑁
F1 = 400N
f2 = 140°
F2 = 250N
g = 40°

33. 𝛾 = tan−1(160.70 𝑁
−208.49 𝑁⁄ )
𝛾 = −37° 37´27.59"
Dos personas jalan, mediante una cuerda cada una, un baúl de madera, como se ve en la figura, una de las
personas aplica una fuerza A de 300 N con un ángulo de 18° respecto al Este. Determine la fuerza B que debe
aplicar la otra persona y el ángulo que debe formar respecto al Este para que el baúl se desplace hacia el Este
con una fuerza resultante de 450N.
Datos
𝐴 = 300 𝑁
𝑎 = 18°
𝑅 = 450 𝑁, 𝛾 = 0°
Incógnitas
𝐵 =?
𝑏 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐴 cos 𝑎 + 𝐵 cos 𝑏 = 𝑅
𝑅 𝑌 = 𝐴 sin 𝑎 − 𝐵 sin 𝑏 = 0
Desarrollo
𝑅 𝑋 = (300𝑁) cos 18° + 𝐵 cos 𝑏 = 450𝑁
𝑅 𝑌 = (300𝑁) sin 18° − 𝐵 sin 𝑏 = 0
𝐵 sin 𝑏 = (300𝑁) sin18°
𝐵 sin 𝑏 = 450𝑁 − (300𝑁) sin 18°
sin 𝑏
cos 𝑏
= tan 𝑏 =
(300𝑁) sin 18°
450𝑁 − (300𝑁) sin18°
tan 𝑏 = 0.5629
𝑏 = tan−1(0.5629)
A
E
B
a
b

34. 𝑏 = 29° 22´35.34"
𝐵 =
(300𝑁) sin18°
sin 𝑏
𝐵 =
(300𝑁) sin 18°
sin(29.37648383)
𝐵 = 189𝑁
Encontrar las resultantes de la suma de los siguientes vectores:
Datos
𝐹1 = 4𝑁
𝐹2 = 3𝑁, 25°
𝐹3 = 2.5𝑁
𝐹4 = 2𝑁, 40°
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝐹𝑋 = 𝐹1 + 𝐹2 cos 25° − 𝐹4 cos 40°
𝐹𝑌 = 𝐹2 sin 25° + 𝐹3 − 𝐹4 sin40°
𝑅 = √𝐹𝑋
2
+ 𝐹𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝐹𝑌
𝐹𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝐹𝑋 = 4𝑁 + 3𝑁 cos 25° − 2𝑁 cos 40°
40°
25°
F3
F4
F1
F2

35. 𝐹𝑋 = 5.1869𝑁
𝐹𝑌 = 3𝑁 sin25° + 2.5𝑁 − 2𝑁 sin 40°
𝐹𝑌 = 2.4822𝑁
𝑅 = √(5.1869 𝑁)2 + (2.4822 𝑁)2
𝑅 = 5.75 𝑁
𝛾 = tan−1(2.4822 𝑁
5.1869 𝑁⁄ )
𝛾 = 25° 36´
Calcular el producto escalar de los siguientes vectores.
Datos
𝐹⃗ = 3𝑁, 35°
𝑑⃗ = 4𝑚
𝜃 = 35°
Incógnita
𝐹⃗ ∙ 𝑑⃗ =?
Formula
𝐹⃗ ∙ 𝑑⃗ = 𝐹 𝑑 cos 𝜃
Desarrollo
𝐹⃗ ∙ 𝑑⃗ = (3𝑁)(4𝑚) cos 35°
𝐹⃗ ∙ 𝑑⃗ = 9.83 𝑁𝑚
Calcular el producto vectorial de los siguientes vectores.
d = 4m
Θ = 35°
40°
F = 25N
𝑑⃗ = 5𝑚

36. Datos
𝑑 = 5𝑚
𝐹 = 25𝑁
𝜃 = 40°
Incógnita
|𝐹⃗ × 𝑑⃗| =?
Formula
|𝐹⃗ × 𝑑⃗| = 𝐹 𝑑 sin 𝜃
Desarrollo
|𝐹⃗ × 𝑑⃗| = (25𝑁)(5𝑚) sin 40°
|𝐹⃗ × 𝑑⃗| = 80.35 𝑁𝑚
El vector 𝐹⃗ × 𝑑⃗ sale de la hoja y es perpendicular al plano formado por 𝐹⃗ 𝑦 𝑑⃗ que es de la hoja.
La rapidez de un bote en agua estancada es 𝑉 = 20 𝑘𝑚
ℎ⁄ . Si el bote debe viajar en dirección transversal a la de
un río cuya corriente tiene una rapidez de 𝑉2 = 12 𝑘𝑚
ℎ⁄ , ¿A qué ángulo aguas arriba debe apuntar la proa del
bote?
Datos
𝑉1 = 20 𝑘𝑚
ℎ⁄
𝑉2 = 12 𝑘𝑚
ℎ⁄
Incógnita
𝜃 =?
Formula
sin 𝜃 =
𝑉2
𝑉1
θ
V2
V1
RCorriente del río

37. Desarrollo
sin 𝜃 =
12 𝑘𝑚
ℎ⁄
20 𝑘𝑚
ℎ⁄
𝜃 = sin−1 (
12 𝑘𝑚
ℎ⁄
20 𝑘𝑚
ℎ⁄
)
𝜃 = 36° 52´11.63"
Un viaje en aeroplano implica tres etapas y dos escalas. La primera etapa es en dirección Este durante 620 km, la
segunda etapa es en dirección Sureste 45° durante 440 km, y la tercera etapa es en dirección 53° al Suroeste,
durante 550 km. ¿Cuál es el desplazamiento total de y la resultante del aeroplano?
Datos
𝐷1 = 620 𝑘𝑚 , 𝐸
𝐷2 = 440 𝑘𝑚, 45° 𝑆𝐸
𝐷3 = 550 𝑘𝑚, 53° 𝑆𝑂
Incógnita
𝑅 =?
𝛾 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝐷1 + 𝐷2 cos 45° − 𝐷3 cos 53°
𝑅 𝑌 = −𝐷2 sin45° − 𝐷3 sin53°
𝑅 = √𝐹𝑋
2
+ 𝐹𝑌
2
𝛾 = tan−1 ( 𝐹𝑌
𝐹𝑋
⁄ )
𝐷 = 𝐷1 + 𝐷2 + 𝐷3
Desarrollo
𝑅 𝑋 = (620 𝑘𝑚) + (440 𝑘𝑚) cos 45° − (550 𝑘𝑚) cos 53°
D1
45°
D2
D3
53°

38. 𝑅 𝑋 = 600 𝑘𝑚
𝑅 𝑌 = −(440 𝑘𝑚) sin 45° − (550 𝑘𝑚) sin 53°
𝑅 𝑌 = −750 𝑘𝑚
𝑅 = √(600 𝑘𝑚)2 + (−750 𝑘𝑚)2
𝑅 = 960 𝑘𝑚
𝛾 = tan−1(−750 𝑘𝑚
600 𝑘𝑚⁄ )
𝛾 = 51° , En el cuarto cuadrante
𝐷 = 620 𝑘𝑚 + 440 𝑘𝑚 + 550 𝑘𝑚 = 1610 𝑘𝑚
Un explorador camina 22 km en dirección Norte, y a continuación camina en una dirección de 60° al Sureste
durante 47 km. ¿Cuál es el desplazamiento resultante y el total?
Datos
𝐴⃗ = 22 𝑘𝑚, 𝑁
𝐵⃗⃗ = 47 𝑘𝑚, 60° 𝑆𝐸
Incógnitas
𝑅 =?
𝛾 =?
𝐷 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = +𝐵 cos 60°
𝑅 𝑌 = 𝐴 −B sin 60°
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝛾 = tan−1 (
𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
60°
𝐴⃗
𝐵⃗⃗

39. 𝐷 = 𝐴 + 𝐵
Desarrollo
𝑅 𝑋 = (47 𝑘𝑚) cos 60°
𝑅 𝑋 = 23.5 𝑘𝑚
𝑅 𝑌 = (22 𝑘𝑚) −(47 km) sin 60°
𝑅 𝑌 = −18.7 𝑘𝑚
𝑅 = √(23.5 𝑘𝑚)2 + (−18.7 𝑘𝑚)2
𝑅 = 30 𝑘𝑚
𝛾 = tan−1(−18.7 𝑘𝑚
23.5 𝑘𝑚⁄ )
𝛾 = 38° 30′
𝐷 = 22 𝑘𝑚 + 47 𝑘𝑚 = 69 𝑘𝑚
Un avión vuela a 90 𝑘𝑚
ℎ⁄ en la dirección 0° y es arrastrado por un viento de 50 𝑘𝑚
ℎ⁄ en la dirección de 90°. ¿Cuál
es la velocidad resultante?
Datos
𝑉1
⃗⃗⃗⃗ = 90 𝑘𝑚
ℎ⁄ , 0°
𝑉2
⃗⃗⃗⃗ = 50 𝑘𝑚
ℎ⁄ , 90°
Incógnitas
𝑅 =?
𝜃 =?
Formulas
𝑅 𝑋 = 𝑉1
𝑅 𝑌 = 𝑉2
𝑅 = √𝑅 𝑋
2
+ 𝑅 𝑌
2
𝜃 = tan−1 ( 𝑅 𝑌
𝑅 𝑋
⁄ )
Desarrollo
𝑅 𝑋 = 90 𝑘𝑚
ℎ⁄

40. 𝑅 𝑌 = 50 𝑘𝑚
ℎ⁄
𝑅 = √(90 𝑘𝑚
ℎ⁄ )
2
+ (50 𝑘𝑚
ℎ⁄ )
2
𝑅 = 103 𝑘𝑚
ℎ⁄
𝜃 = tan−1 (
50 𝑘𝑚
ℎ⁄
90 𝑘𝑚
ℎ⁄
⁄ )
𝜃 = 29°
Sume
𝐴⃗
𝐵⃗⃗
𝐶⃗
=
4𝑖̂
2𝑖̂
6𝑖̂
+
5𝑗̂
7𝑗̂
4𝑗̂
+
8𝑘̂
3𝑘̂
2𝑘̂
𝑅⃗⃗ = 12𝑖̂ + 16𝑗̂ + 13𝑘̂
Reste
𝐴⃗ = 9𝑖̂ + 8𝑗̂ − 3𝑘̂
𝐵⃗⃗ = 5𝑖̂ + 3𝑗̂ − 2𝑘̂
Solución
− 𝐴⃗
𝐵⃗⃗
=
9𝑖̂ +
−5𝑖̂ −
8𝑗̂ −
3𝑗̂ +
3𝑘̂
2𝑘̂
𝑅⃗⃗ = 4𝑖̂ + 5𝐽̂ − 1𝑘̂
Obtenga el producto punto 0 escalar de los siguientes vectores.
𝐴⃗ = 3𝑖̂ + 2𝑗̂ − 5𝑘̂
𝐵⃗⃗ = 2𝑖̂ + 4𝑗̂ − 3𝑘̂
Solución
𝐴⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = (3𝑖̂ + 2𝑗̂ − 5𝑘̂) ∙ (2𝑖̂ + 4𝑗̂ − 3𝑘̂)
𝐴⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = (3)(2) + (2)(4) + (−5)(−3)
𝐴⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = 5 + 16 + 15 = 26
Obtenga el producto cruz o vectorial de los siguientes vectores
𝑎⃗ = 4𝑖̂ + 5𝑗̂ + 6𝑘̂

41. 𝑏⃗⃗ = 3𝑖̂ + 2𝑗̂ + 2𝑘̂
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = |
𝑖̂
4
3
𝑗̂
5
2
𝑘̂
6
2
𝑖̂
4
3
𝑗̂
5
2
|
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = 𝑖̂(5)(2) + 𝑗̂(6)(3) + 𝑘̂(4)(2) − 𝑘̂(3)(5) − 𝑖̂(2)(6) − 𝑗̂(2)(4)
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = 10𝑖̂ + 18𝑗̂ + 8𝑘̂ − 12𝑖̂ − 8𝑗̂ − 15𝑘̂
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = −2𝑖̂ + 8𝑗̂ − 7𝑘̂
Obtenga el vector unitario en la dirección y sentido del siguiente vector.
𝑎⃗ = 4𝑖̂ + 5𝑗̂ − 8𝑘̂
Solución
| 𝑎⃗| = √(4)2 + (5)2 + (−8)2
| 𝑎⃗| = √16 + 25 + 64
| 𝑎⃗| = √105
𝑎̂ =
𝑎⃗
| 𝑎⃗|
=
4𝑖̂
√105
+
5𝑗̂
√105
−
8𝑘̂
√105
Obtenga el producto punto 0 escalar de los siguientes vectores
𝑎⃗ = 9𝑖̂ − 5𝑗̂ − 4𝑘̂
𝑏⃗⃗ = 4𝑖̂ − 2𝑗̂ + 3𝑘̂
Solución
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = (9𝑖̂ − 5𝑗̂ − 4𝑘̂) ∙ (4𝑖̂ − 2𝑗̂ + 3𝑘̂)
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = (9)(4) + (−5)(−2) + (−4)(3)
𝐴⃗ ∙ 𝐵⃗⃗ = 36 + 10 − 12 = 34
Obtenga el producto cruz 0 vectorial de los siguientes vectores.
𝑐⃗ = 4𝑖̂ + 7𝑗̂ − 3𝑘̂
𝑑⃗ = −3𝑖̂ + 5𝑗̂ − 6𝑘̂
Solución

42. 𝑐⃗ × 𝑑⃗ = |
𝑖̂
4
−3
𝑗̂
7
5
𝑘̂
−3
−6
𝑖̂
4
−3
𝑗̂
7
5
|
𝑐⃗ × 𝑑⃗ = 𝑖̂(7)(−6) + 𝑗̂(−3)(−3) + 𝑘̂(4)(5) − 𝑘̂(−3)(7) − 𝑖̂(5)(−3) − 𝑗̂(−6)(4)
𝑐⃗ × 𝑑⃗ = −42𝑖̂ + 9𝑗̂ + 20𝑘̂ + 15𝑖̂ + 24𝑗̂ + 21𝑘̂
𝑐⃗ × 𝑑⃗ = −27𝑖̂ + 33𝑗̂ + 41𝑘̂
Obtenga un vector unitario en la dirección y sentido del vector
𝑎⃗ = −7𝑖̂ − 5𝑗̂ − 4𝑘̂
Solución
| 𝑎⃗| = √(−7)2 + (−5)2 + (−4)2
| 𝑎⃗| = √49 + 25 + 16
| 𝑎⃗| = √90
𝑎̂ =
𝑎⃗
| 𝑎⃗|
= −
7𝑖̂
√90
−
5𝑗̂
√90
−
4𝑘̂
√90
Obtenga un vector unitario en la dirección y sentido del vector
𝑎⃗ = −5𝑖̂ − 8𝑗̂
Solución
| 𝑎⃗| = √(−5)2 + (−8)2
| 𝑎⃗| = √25 + 64
| 𝑎⃗| = √89
𝑎̂ =
𝑎⃗
| 𝑎⃗|
= −
5𝑖̂
√89
−
8𝑗̂
√89
Obtenga un vector unitario en la dirección y sentido del vector
𝑎⃗ = 4𝑖̂ − 8𝑗̂
Solución
| 𝑎⃗| = √(4)2 + (−8)2
| 𝑎⃗| = √16 + 64
| 𝑎⃗| = √80

43. 𝑎̂ =
𝑎⃗
| 𝑎⃗|
=
4𝑖̂
√80
−
8𝑗̂
√80
Obtenga el ángulo entre los vectores
𝑎⃗ = −4𝑖̂ − 5𝑗̂
𝑏⃗⃗ = −3𝑖̂ − 2𝑗̂
Solución
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = | 𝑎⃗| |𝑏⃗⃗| cos 𝜃
𝜃 = cos−1 (
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗
| 𝑎⃗| |𝑏⃗⃗|
)
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = (4)(−3) + (−5)(−2)
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = −12 + 10 = −2
| 𝑎⃗| = √(4)2 + (−5)2
| 𝑎⃗| = √16 + 25 = √41
|𝑏⃗⃗| = √(−3)2 + (−2)2
|𝑏⃗⃗| = √9 + 4 = √13
𝜃 = cos−1
(
−2
(√41)(√13)
) = 94° 58′
11.07"