olimpiadas de mate

1. Final Nacional
18º Olimpiada de Matemática 12 de Octubre de 2006
Primer día Mayores Tiempo 4 horas
1.- Juana y Juan tienen que escribir cada uno una lista ordenada de fracciones de manera
que las dos listas tengan la misma cantidad de fracciones y que la diferencia entre la suma
de todas las fracciones de la lista de Juana y la suma de todas las fracciones de la lista de
Juan sea mayor que 123.
12 2 2 3 2 4 2 5 2
Las fracciones de la lista de Juana son ; ; ; ; ;............
1 3 5 7 9
12 2 2 3 2 4 2 5 2
Y las fracciones de la lista de Juan son ; ; ; ; ;............
3 5 7 9 11
Hallar la menor cantidad de fracciones que deben escribir cada uno para lograr el objetivo.
2.- En un triángulo ABC con lados de longitudes enteras en centímetros, se sabe que el
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radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide centímetros y el área es
8
84 centímetros cuadrados. Determinar las longitudes de los lados del triángulo.
3.- Se tiene el siguiente tablero de 2 × 6
Hallar de cuantas maneras se puede ir desde el punto A hasta el punto B, desplazandose por
los segmentos del tablero, respetando las reglas siguientes.
- No se puede pasar dos veces por un mismo punto.
- Sólo se puede hacer tres tipos de movimientos desplazándose por los segmentos:
Hacia la derecha, hacia arriba, hacia abajo
- Se tiene que pasar por el punto C

2. Final Nacional
18º Olimpiada de Matemática 13 de Octubre de 2006
Segunda día Mayores Tiempo 4 horas
4.- Sea n un número de 6 cifras, cuadrado perfecto y cubo perfecto, si n − 6 no es par ni
múltiplo de 3. Hallar n .
5.- Un estudiante aburrido pasea por un pasillo donde hay una fila de armarios cerrados,
numerados del 1 al 1024. Abre el armario Nº 1, luego se salta un armario y abre el
siguiente, y así sucesivamente. Cuando llega al final de la fila da la vuelta y vuelve a
empezar: abre el primer armario que encuentra cerrado, se salta el siguiente armario cerrado
y así sigue hasta el inicio del pasillo. Recorre de inicio a final, de final a inicio el pasillo
hasta que todos los armarios quedan abiertos. ¿Cuál es el nº del ultimo armario que abrió?
6.- Sea ABC un triángulo acutángulo y escaleno, siendo BC su lado menor. Sean P y Q
puntos sobre AB y AC respectivamente, tales que BQ = CP = BC. Sean O1 y O2 los
centros de los círculos circunscritos de AQB y APC, respectivamente. Sean H y O el
ortocentro y circuncentro de ABC.
i).- Demuestre que O1O2 = BC
ii).- Demuestre que BO2 , CO1 y HO son concurrentes.