Regresión lineal,ajuste de curva,tipos de regresión lineal

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
SANTIAGO MARIÑO
MIGUEL ESCOBAR R.
CI. 4.726.398
Asignatura:
Estadistica
ESPECIALIDAD: ING. CIVIL
Regresión Lineal

2. Regresión Lineal
Es una técnica estadística que sirve para identificar
alguna relación funcional entre 2 o mas variables.
En un modelo regresivo, se puede decir que “Y”,
depende del valor de “X”, en donde X e Y, son dos
variables cualquieras de donde:
Y: Es la variable dependiente
X: Es la variable Independiente.
Es evidente que será ideal, si pudiéramos pronosticar
una cantidad exactamente en términos de otra, pero
en muy pocos casos esto es posible. En la mayoría de
los casos, debemos conformarnos con pronosticar
promedios o valores esperados.
Por Ejemplo: No se puede pronosticar con exactitud
la cantidad de dinero que un medico ganara en diez
años después de haberse graduado, pero si se
consideran datos apropiados, se puede pronosticar
las ganancias promedias de todos los médicos, diez
años después de su graduación; de modo similar se
puede pronosticar la producción de naranjas de una
variedad en términos de la precipitación pluvial del
mes de Julio.
Los problemas de pronósticos del valor promedio de
una variable en términos del valor conocido de otra
variable se designan como problemas de regresión

3. Las relaciones entre cantidades conocidas y cantidades
que se deben pronosticar, se basan en ecuaciones
matemáticas, por ejemplo: La relación entre volumen (Y) y
presión (X) a temperatura constante de un gas viene dado
por , de donde k: es una constante numérica, o la relación
entre el tamaño de un cultivo de bacterias (Y) y el tiempo
(X) que ha estado expuesto a ciertas condiciones
ambientales se determina mediante la formula:
Ajuste de curva:
De donde: a y b son constantes numéricas siempre que
se use datos observados para llegar a una ecuación
matemática que describe la relación entre dos variables
(procedimiento denominado ajuste de curva), se debe
enfrentar tres clases de problemas;
Se debe decidir que clase de curva y por tanto que clase
de ecuación de pronóstico se debe usar.
Se debe encontrar la ecuación particular que sea mejor en
cierto sentido.
Se debe investigar aspectos referentes a los meritos de la
ecuación particular y de los pronósticos.
La primera clase de problema se decide mediante datos
en papel para graficas ordinarias o papel para graficas
especiales, con escalas especiales.
Se decide mediante revisión visual, la clase de curva (una recta,
una parábola entre otras), que describa mejor el patrón general de
los datos. En lo que respecta a este estudio (regresión lineal) Nos
centraremos en las ecuaciones lineales de dos incógnitas, estas
son de la forma . Que es la ecuación de la recta pendiente,
intercepción en donde es la intercepción de (el valor de y para
x=0) y , es la pendiente de la línea (específicamente el cambio en
que acompaña un incremento de una unidad en ).
Las ecuaciones lineales son útiles e importantes no solo porque
muchas ecuaciones en realidad son de esta forma, sino también
porque a menudo ofrecen aproximaciones cercanas para
relaciones que de otro modo serian difícil describir en términos
matemáticos.
El término “ecuación lineal”, se deriva del hecho de que la grafica
de , es una línea recta. Esto es, todos los pares de valores e , que
satisfagan una ecuación de la forma constituyen puntos que caen
en una línea recta.
En la práctica, los valores de y , normalmente se estiman a partir
de datos observados y una vez que se han determinado se puede
sustituir valor de x barra en la ecuación y calcular los valores
pronosticados correspondientes a y.
Para ilustrar esto supongamos que nos proporcionan datos sobre
la producción de papas en una región (en kg por ), y su
precipitación pluvial anual (en pulgadas, medidas de septiembre a
agosto), x; y que por medio de un método específico, se obtuvo la
ecuación de pronóstico:
Entonces para cualquier valor de X e Y, que son tales que:
Y=0,23+4,42x, se obtenga un punto (X,Y) que cae en la línea.
Sustituyendo X=8 por ejemplo, encontramos que hay una
precipitación pluvial de 8 pulgadas, podemos esperar una
producción de:

4. Tipos de modelos
de regresión lineal
Regresión lineal simple Regresión Lineal Múltiple
Sólo se maneja una variable
independiente, por lo que sólo
cuenta con dos parámetros. Son de
la forma:
Donde es el error asociado a la
medición del valor y siguen los
supuestos de modo que (media
cero, varianza constante e igual ).
Análisis
Dado el modelo de regresión simple,
si se calcula la esperanza (valor
esperado) del valor Y, se obtiene:
Derivando respecto a y e igualando
a cero, se obtiene:
Obteniendo dos ecuaciones
denominadas ecuaciones normales
que generan la siguiente solución
para ambos parámetros
La interpretación del parámetro es
que un incremento en Xi de una
unidad.
La regresión lineal permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o
razón. De la misma manera, es posible analizar la relación entre dos o más
variables a través de ecuaciones, lo que se denomina regresión
múltiple o regresión lineal múltiple.
Constantemente en la práctica de la investigación estadística, se
encuentran variables que de alguna manera están relacionadas entre sí,
por lo que es posible que una de las variables puedan relacionarse
matemáticamente en función de otra u otras variables.
Maneja varias variables independientes Cuenta con varios parámetros. Se
expresan de la forma:
donde es el error asociado a la medición del valor y siguen los supuestos
de modo que (media cero, varianza constante.)
Rectas de regresión.
Las rectas de regresión son las rectas que mejor se ajustan a la nube de
puntos (o también llamado diagrama de dispersión) generada por
una distribución binomio. Matemáticamente, son posibles dos rectas de
máximo ajuste:
La recta de regresión de Y sobre X:
La recta de regresión de X sobre Y: