El documento presenta los conjuntos de números reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos. Explica sus propiedades y relaciones, así como conceptos como intervalos y operaciones entre ellos. También incluye ejemplos y problemas para practicar el uso de estos conjuntos y conceptos.

1. mitagi@gmail.com
2019
CONJUNTOS DE NÚMEROS REALES

2. Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1;-1/2;0;1/3;1/2;1;3/2;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...;𝝅; 𝟕 ;
𝟑
𝟐
𝝅 ; 𝟐𝟗 ; e;....}
Números Reales ( R ) R={...;-2;-1;0;1;
𝟑
𝟐
𝝅 ; 𝟐 ; e;2;3;....}
Números Complejos ( C ) C={...;-2;1;0;1; 2-i; 2+2i;2+3i;3;....}

4. N
Z
Q
I
R
C

5. EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
 2
P x N/ x 9 0   
T x Q /(3x 4)(x 2) 0    
B x I/(3x 4)(x 2) 0    
 2
Q x Z / x 9 0   
 2
F x R / x 9 0   
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
 
4
T
3

 B 2

6. Sistemas de los números Reales
1) Asociatividad: para todo a, b y c en R
𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 𝒚 𝒂 (𝒃𝒄) = (𝒂𝒃) 𝒄
2) Conmutatividad: para todo a y b en R
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 𝒚 𝒂𝒃 = 𝒃𝒂
3) Elementos neutros:  a distinto de 0 y 1 tales que, a en R
𝒂 + 𝟎 = 𝒂 𝒚 𝒂𝒙𝟏 = 𝒂
4) Distributividad: para todo a, b y c en R
𝒂 (𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄

7. 1) Para todo a, b y c en R
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑐
2) Para todo a, b y c en R
𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 𝑦 𝑎 ≠ 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑐
3) Sustracción: Si a y b son números reales
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
4) División: Si a y b son números reales y si b≠0
Algunas consecuencias
1a
a b
b

 

8. 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑅
Los números reales pueden ser positivo, negativo o igual a cero.
Además está ordenado a través de ser “menor que” denotada por < ;
y definida a continuación:
Para dos números reales a y b,
𝑎 < 𝑏 𝑠í 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠í 𝑏 − 𝑎 > 0

9. Propiedades asociadas
1) Tricotomía : 𝑎 < 𝑏 ó 𝑎 = 𝑏 ó 𝑎 > 𝑏
2) Transitividad : Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐 entonces 𝑎 < 𝑐
3) Si 𝑎 < 0 𝑦 𝑏 < 0 entonces 𝑎 + 𝑏 < 0
4) Si 𝑎 < 𝑏 sí y sólo sí 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐
5) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑
6) Si 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 > 0 entonces 𝑎 + 𝑏 > 0
7) Si 𝑐 > 0, 𝑎 < 𝑏 sí y sólo sí 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
𝑐 < 0, 𝑎 < 𝑏 si y solo si 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

10. La recta real es la representación geométrica del conjunto R
La recta Real
Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de
los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto
representaría un número real, de ahí que a dicha recta suela llamársele recta real o eje real.

11. Intervalos
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar
los intervalos se utilizan los siguientes símbolos:
a) Intervalo finito o acotado:
 , /a b x a x b     
   , /a b x a x b   
a b
a b
a b
  , /a b x a x b   
  , /a b x a x b   

12. b) Intervalo infinito o no acotado:
a
 , /a x x a     
a
  , /a x x a   
a
a

 , /a x x a     
  , /a x x a   
 , /x x    

13.     A B x / x A x B
U
A
B
A B x / x A x B    
U
A
B
UNION
INTERSECCION

14. A B x / x A x B    
U
A
B
A B x / x (A B) x (B A)      DIFERENCIA SIMETRICA
DIFERENCIA
A B (A B) (A B)    
A B

15. Simbólicamente: A' x / x U x A   
A’ = U - A
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y
1
2 3
4
5
6
7
8
9
U
AA
A’={2;4;6,8}

16. 1. Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ;
C = [-1, 4] ; D = (-4, 5].
Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes
operaciones:
a) A U D b) c) B – C d)A C  A B C 
-3 3-4 5
Solución
a) A U D = D
b) A C
-3 3-1 4
1,3 
Problemas

17. c) B – C
-3 3-1 4
3, 1  
 A B C d)
-3 3-1 4
3,3 

18. 2. Sean los intervalos determinar si son Verdaderas o
Falsas las siguientes afirmaciones
 
 
  
     
) 2
) 1,3
)
) ' 2,3
) ' 1,4
a A C
b A B C
c B C A
d A B C B
e A C A B

 
   
  
    
   
   1,4 ; 3,7 ; 2,6A B C    

19. 3. Si A = [-3;3] ;B =(-3;3) ; C =(-1;4] ;D =(-4;-3); E =[-1;4); F=(-4;3), determine:
   
  
)
)
)
a F E
b F E E F
c C F D

  
  
4. Sean:
 
 
 
/ 2 1 5,9
/ 0
/ 2 6
A x x
B x x
C x x
    
  
   
Calcular:
 A B C 

20. 5. Sean los intervalos:
  

 
 
,4 3
5,0
6,10
:
A
B
C
Calcular A B C
    
  

 
6. Sean los siguientes intervalos:
 
 
, ; 0,8 ; 0,5
' , 1 8,
A m n B A B
A B
    
      
Si , y son de signos diferentes , calcular:
a) El intervalo correcto de A
b)
,m n   ( )m n
  'A C B 