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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECN...
LIMITES INFINITO Y LÍMITES EN EL INFINITO
LIMITES INFINITO
Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy...
Caso 2:
limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*
a,δ f(x) < -
A.
Caso 3:
limx...
Operaciones con límites
Teorema
Límite de la suma
El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término,...
Demostración:
limx->af(x) = b => (por def. de límite) para todo Eb,ε1 existe un E*a,δ1 / para todo x
perteneciente al E*
a...
|c||f(x) - b| + |b||c - g(x)| εk|c|
=> |f(x)/g(x) - b/c| < ----------------------------- < ----- = ε
por 1) k|c| k|c|
Ejem...
Caso 2:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = 0
T) limx->af(x)g(x) = 1
Caso 3:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf
T) limx-...
Teorema
Límite de la función compuesta
H) limx->af(x)=b, limx->bg(x)=c
T) limx->ag[f(x)]=c
Demostración:
Queremos demostra...
limx->a P(x) = P(a)
Ejemplo: limx->2 x2 - 3x + 4 = 2
limx->inf P(x) = limx->inf anxn
Ejemplo: limx->+inf -3x3 + x2 - 2x + ...
x2 - 2x - 8 = (x - 2)(3x + 4)
-2x2 + 5x - 2 (x - 2)(-2x + 1) -3
lim -------------- = lim ---------------- = ---
x->2 3x2 -...
|P(x) + |Q(x))
Ejemplo:
(IND. inf - inf)
___________ __________ |
lim |x2 + 2x - 3 - |x2 + x - 1 =
x->-inf
__________ ____...
x->-inf
x3 - 3x2 + 1 - x3 + 4x - 1
2 + lim ----------------------------------------------------- =
x->-inf 3 __________ 3 ...
Indeterminación 1inf
g(x) lim g(x)(f(x) - 1)
lim f(x) = e x->a
x->a
Ejemplo:
(IND. 1inf)
| x + 5
x + 2 | lim (x + 2)(-----...
Indeterminaciones inf - inf e inf/inf
 Aplicar límites tipo
Ejemplo:
equiv. a 1/x + 1
--^--
1/x (2x - 1)(1 + x) - 2x2
lim...
x->3+ x->3+ 1/(x - 3)
(por órdenes de infinitos)
 Aplicar límites tipo
Límites tipo
Sustituir una expresión por su límite...
x->0 x2 2 x->0
(1 + x)m - 1
lim ------------- = 1 => (1 + x)m - 1 equiv mx
x->0 mx x->0
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 f(x) crece indefinidamente a
medida que x crece
indefinidamente.
 f(x) decrece indefinidamente a
medida que x decrece
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para indicar que la función decrece
indefinidamente cuando la variable decrece.
para indicar que la función crece
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Limites infinito y limites en el infinito

  1. 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE LIMITES INFINITO Y LÍMITES EN EL INFINITO INTEGRANTE: Miguel Colmenarez C.I: 24667969 Sección: 1
  2. 2. LIMITES INFINITO Y LÍMITES EN EL INFINITO LIMITES INFINITO Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes. Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito. Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito. Definición Límite infinito Caso 1: limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E* a,δ f(x) > A. El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A. En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf. x f(x) 100 1,0x10-4 1.000 1,0x10-6 10.000 1,0x10-8 100.000 1,0x10-10 1.000.000 1,0x10-12
  3. 3. Caso 2: limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E* a,δ f(x) < - A. Caso 3: limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todox > B f(x) > A. Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.
  4. 4. Operaciones con límites Teorema Límite de la suma El límite de una suma es igual a la suma de los límites de cada término, siempre que estos límites sean finitos. H) limx->af(x)=b, limx->ag(x)=c T) limx->af(x) + g(x) = b + c Demostración: Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo x perteneciente al E* a,δ |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε. Sea ε' = ε/2 limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E* a,δ1 |f(x) - b| < ε'. limx->ag(x)=c => (por def. de límite) para todo ε' > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E* a,δ2 |g(x) - c| < ε'. Sea δ = min {δ1,δ2} Para todo x perteneciente al E* a,δ se cumple:  |f(x) - b| < ε'  |g(x) - c| < ε' => |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε |(f(x) + g(x)) - (b+c)| = |(f(x) - b) + (g(x) - c)| <= (*)|f(x) - b| + |g(x) - c| < ε (*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b| => (por def. de límite) limx->af(x) + g(x) = b + c Límite del cociente H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c distinto de 0) T) limx->af(x)/g(x) = b/c
  5. 5. Demostración: limx->af(x) = b => (por def. de límite) para todo Eb,ε1 existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E* a,δ1 |f(x) - b| < ε1. limx->ag(x) = c => (por def. de límite) para todo Ec,ε2 existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E* a,δ2 |g(x) - c| < ε2. Quiero probar que limx->af(x)/g(x) = b/c, o sea que para todo Eb/c,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E* a,δ |f(x)/g(x) - b/c| < ε. |f(x)c - g(x)b| |f(x)c - g(x)b - bc + bc| |f(x)/g(x) - b/c| = --------------- = ------------------------- = |g(x)c| |g(x)c| |c(f(x) - b) + b(c - g(x))| |c||f(x) - b| + |b||c - g(x)| --------------------------- <= ----------------------------- < |g(x)c| (*) |g(x)c| (**) |c||f(x) - b| + |b||c - g(x)| (1) ----------------------------- k|c| (*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|. (**) pues |g(x)|>k por teo. de la acotación. Sea ε1 = εk/2 y ε2 = εk|c|/2|b| Para todo x perteneciente al E* a,δ1 |f(x) - b| < εk |c||f(x) - b| < εk|c| (2) --- => ---- 2 2 Para todo x perteneciente al E* a,δ2 |g(x) - c| < εk|c| |b||g(x) - c| < εk|c| (3) ----- => ---- 2|b| 2 Sea δ = min {δ1,δ2} De 2) y 3): para todo x perteneciente al E* a,δ |c||f(x) - b| + |b||g(x) - c| < εk|c|
  6. 6. |c||f(x) - b| + |b||c - g(x)| εk|c| => |f(x)/g(x) - b/c| < ----------------------------- < ----- = ε por 1) k|c| k|c| Ejemplo ex 1 lim ----- = -- x->0 x + 2 2 Otros cocientes Caso 1: H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0+ T) limx->af(x)/g(x) = +inf (-inf si b < 0) El límite 0+ indica que, en un entorno de a, f(x) se aproxima a 0 por la derecha, es decir, 0 < f(x) < ε. Caso 2: H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0- T) limx->af(x)/g(x) = -inf (+inf si b < 0) Caso 3: H) limx->ag(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf T) limx->af(x)/g(x) = 0+ (0- si b < 0) Caso 4: H) limx->af(x) = b > 0, limx->af(x) = -inf T) limx->af(x)/g(x) = 0- (0+ si b < 0) Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)/g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 0/0. Si limx->af(x) = inf y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)/g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma inf/inf. Límite exponencial Caso 1: H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c≠0) T) limx->af(x)g(x) = bc
  7. 7. Caso 2: H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = 0 T) limx->af(x)g(x) = 1 Caso 3: H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf T) limx->af(x)g(x) = +inf Caso 4: H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf T) limx->af(x)g(x) = 0 Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 0inf. Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 00. Si limx->af(x) = inf y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma inf0. Si limx->af(x) = 1 y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma 1inf. Función compuesta Si f es una función tal que f:A->B y g es una función tal que g:C->D, y B es subconjunto de C (el dominio de g contiene al rango de f), podemos definir una nueva función h:A- >D como sigue: para cada x en A, se aplica f resultando un valor f(x) en B. Luego a este valor f(x) se aplica g, obteniéndose g[f(x)]. Definimos h como la función que mapea x en g[f(x)]. Se dice que h es la composición de g y f: h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))
  8. 8. Teorema Límite de la función compuesta H) limx->af(x)=b, limx->bg(x)=c T) limx->ag[f(x)]=c Demostración: Queremos demostrar que limx->a g[f(x)]=c, o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E* a,δ g[f(x)] perteneciente al Ec,ε. Por hipótesis limx->bg(x)=c => por def. de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que... para todo x perteneciente al E* b,δ g(x) pertenece al Ec,ε (1) Por hipótesis limx->af(x) = b => por def. de límite si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que... para todo x perteneciente al E* a,α f(x) pertenece al Eb,δ (2) De (1) y (2) se deduce que: Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E* a,α g[f(x)] pertenece al Ec,ε. Cálculo de límite Polinomios Ver página sobre límites de polinomios por detalles.
  9. 9. limx->a P(x) = P(a) Ejemplo: limx->2 x2 - 3x + 4 = 2 limx->inf P(x) = limx->inf anxn Ejemplo: limx->+inf -3x3 + x2 - 2x + 1 = limx->+inf -3x3 = -inf A(x) | A(α) lim ---- = | 1) ---- si B(α)≠0 x->α B(x) | B(α) | 2) inf si B(α)=0 y A(α)≠0 | 3) INDETERMINADO de la forma 0/0 | si B(α)=0 y A(α)=0 Ejemplos: x2 - 1 3 1) lim ------- = -- x->2 3x - 4 2 x2 - 1 3 2) lim -------- = -- = +inf x->2 x - 2 0 -2x2 + 5x - 2 0 3) lim -------------- = -- INDETERMINADO x->2 3x2 - 2x - 8 0 Para resolverlo, expresamos cada polinomio como un producto y simplificamos los factores comunes. Para ello, bajamos cada polinomio por Ruffini. -2 5 -2 2 -4 2 -2 1 0 -2x2 + 5x - 2 = (x - 2)(-2x + 1) 3 -2 8 2 6 8 3 4 0
  10. 10. x2 - 2x - 8 = (x - 2)(3x + 4) -2x2 + 5x - 2 (x - 2)(-2x + 1) -3 lim -------------- = lim ---------------- = --- x->2 3x2 - 2x - 8 x->2 (x - 2)(3x + 4) 10 A(x) anxn lim ---- = lim ---- x->inf B(x) x->inf bmxm Ejemplo: 3x3 + 2x2 - 5 3x3 3 lim -------------- = lim ----- = -- x->+inf 2x3 - 8x2 x->+inf 2x3 2 Raíces de polinomios Si el límite da indeterminado, aplicar el siguiente truco: ____ ____ P(x) - Q(x) lim |P(x) - |Q(x) = lim ---------------- ____ ____ |P(x) + |Q(x)) Se llama expresión conjugada de __ __ __ __ |a - |b a |a + |b Multiplicando y dividiendo por la conjugada, obtenemos la diferencia de las cantidades subradicales. ____ ____ ____ ____ ____ ____ (|P(x) + |Q(x)) lim |P(x) - |Q(x) = lim |P(x) - |Q(x) ----------------- = ____ ____ (|P(x) + |Q(x)) P(x) - Q(x) lim ---------------- ____ ____
  11. 11. |P(x) + |Q(x)) Ejemplo: (IND. inf - inf) ___________ __________ | lim |x2 + 2x - 3 - |x2 + x - 1 = x->-inf __________ __________ ___________ __________ (|x2 + 2x - 3 + |x2 + x - 1) lim |x2 + 2x - 3 - |x2 + x - 1 ---------------------------- = x->-inf __________ __________ (|x2 + 2x - 3 + |x2 + x - 1) x2 + 2x - 3 - (x2 + x - 1) x - 2 lim ----------------------------- = lim ---------------------- = x->-inf __________ __________ __________ __________ |x2 + 2x - 3 + |x2 + x - 1 |x2 + 2x - 3 + |x2 + x - 1 x x x -1 lim ----------- = lim ------- = lim --- = -- x->-inf __ __ x->-inf -x - x x->-inf -2x 2 |x2 + |x2 Raíz cúbica 3 ____ 3 ____ lim |P(x) - |Q(x) = 3 ____ 3 ____ 3 _______ 3 ____ 3 ____ ( |P(x)2 + |Q(x)2 + |P(x)Q(x) ) lim |P(x) - |Q(x) -------------------------------- = 3 ____ 3 ____ 3 _______ ( |P(x)2 + |Q(x)2 + |P(x)Q(x) ) P(x) - Q(x) lim ------------------------------ 3 ____ 3 ____ 3 _______ |P(x)2 + |Q(x)2 + |P(x)Q(x) Ejemplo: (IND. inf - inf) 3 ____________ 3 ___________ | lim 2 + |x3 - 3x2 + 1 - |x3 - 4x + 1 =
  12. 12. x->-inf x3 - 3x2 + 1 - x3 + 4x - 1 2 + lim ----------------------------------------------------- = x->-inf 3 __________ 3 _________ 3 ___________________ |(x3-3x2+1)2 + |(x3-4x+1)2 + |(|x3-3x2+1)(x3-4x+1) -3x2 2 + lim ---- = 2 - 1 = 1 x->-inf 3x2 Indeterminación 0/0  Si se trata de un cociente de polinomios, aplicar Ruffini como se explicó antes.  Aplicar límites tipo. Ejemplo: L(1 + 5x) 5x 5 lim --------- = lim -- = -- x->0 2x | x->0 2x 2 | IND. 0/0 Límite tipo: L(1 + f(x)) equiv. f(x) f(x)->0  Aplicar L'Hôpital: H) limx->a f(x) = limx->a g(x) = 0 Existe limx->af'(x)/g'(x) T) limx->af(x)/g(x) = limx->af'(x)/g'(x) Ejemplo: 2x - 2 lim ------ INDETERMINADO 0/0 x->1 Lx 2 2x - 2 Veamos lim ---- = 2 => lim ------ = 2 x->1 1/x x->1 Lx
  13. 13. Indeterminación 1inf g(x) lim g(x)(f(x) - 1) lim f(x) = e x->a x->a Ejemplo: (IND. 1inf) | x + 5 x + 2 | lim (x + 2)(----- - 1) lim ((x + 5)/(x - 3)) = e x->+inf x - 3 = x->+inf 8 8x lim (x + 2)---- = lim -- = 8 e x->+inf x - 3 e x->+inf x e Indeterminaciones 00 e inf0 g(x) lim g(x)Lf(x) lim f(x) = e x->a x->a Ejemplo: (IND 00) (IND. 0.inf) (por órdenes de infinitos) | | Lx | 2x | lim 2xLx | lim ----- | 0 lim x = e x->0+ = e x->0+ 1/2x = e = 1 x->0+ (IND. inf0) | 1/x | lim ((1 + x + 2x2)/(x - 1)) = x->+inf (IND. inf/inf) | lim (1/x)L((1 + x + 2x2)/(x - 1)) | 0 e x->+inf = e = 1 | (por órdenes de infinitos)
  14. 14. Indeterminaciones inf - inf e inf/inf  Aplicar límites tipo Ejemplo: equiv. a 1/x + 1 --^-- 1/x (2x - 1)(1 + x) - 2x2 lim (2x - 1)e - 2x = lim -------------------- = x->+inf x->+inf x x - 1 x lim ----- = lim --- = 1 x->+inf x x->+inf x  Aplicar órdenes de infinitos. Equivalente al de mayor orden. orden Lx < orden xn < orden ax < orden xnx (x->+inf) Ejemplo: (IND. inf - inf) | lim (Lx)2 - (x - 1)2/x = -inf x->0+ pues orden (x - 1)2/x > orden (Lx)2 (IND. inf/inf) ex | lim ---- = +inf pues orden ex > orden x x->+inf x Indeterminación 0.inf  Pasar la expresión que tiende a 0 al denominador del denominador. Queda una indeterminación inf/inf. Resolverla aplicando órdenes de infinitos. Ejemplo: (IND. 0.inf) (IND. inf/inf) | 1/(x - 3) | 1/(x - 3) | e | lim (3 - x)e = lim -------- = -inf
  15. 15. x->3+ x->3+ 1/(x - 3) (por órdenes de infinitos)  Aplicar límites tipo Límites tipo Sustituir una expresión por su límite o su equivalente, cuando:  es un término que multiplica o divide a toda la expresión  es una cantidad subradical aunque aparezcan suma de radicales  es una expresión afectada por una función trascendental (e, L, sen, cos, tg, etc.) lim (1 + 1/x)x = e x->inf lim (1 + x)1/x = e x->0 L(1 + x) lim -------- = 1 => L(1 + x) equiv x x->0 x x->0 También: Lx equiv x - 1 x->1 ex - 1 lim ------- = 1 => ex - 1 equiv x x->0 x x->0 ax - 1 lim ------ = La (a perteneciente a R+) => ax - 1 equiv xLa x->0 x x->0 sen x lim ----- = 1 => sen x equiv x x->0 x x->0 tg x lim ---- = 1 => tg x equiv x x->0 x x->0 1 - cos x 1 lim ---------- = -- => 1 - cos x equiv x2/2
  16. 16. x->0 x2 2 x->0 (1 + x)m - 1 lim ------------- = 1 => (1 + x)m - 1 equiv mx x->0 mx x->0 n ______ n _____ |1 + x - 1 1 |1 + x - 1 lim ------------- = -- => lim ------------ = 1 x->0 x n x->0 x/n n _____ => |1 + x - 1 equiv x/n LÍMITES EN EL INFINITO En la siguiente tabla se presenta el análisis del comportamiento de funciones que crecen o decrecen indefinidamente cuando la variable también crece o decrece sin tope.  f(x) crece indefinidamente a medida que x crece indefinidamente.  f(x) crece indefinidamente a medida que x decrece indefinidamente  f(x) decrece indefinidamente a medida que x crece indefinidamente.  f(x) decrece indefinidamente a medida que x decrece indefinidamente
  17. 17.  f(x) crece indefinidamente a medida que x crece indefinidamente.  f(x) decrece indefinidamente a medida que x decrece indefinidamente  f(x) crece indefinidamente a medida que x decrece indefinidamente.  f(x) decrece indefinidamente a medida que x crece indefinidamente. Estas funciones presentan comportamientos que no pueden describirse con la idea y el concepto de límite estudiado. Por lo tanto, debe extenderse dicho concepto para interpretar y simbolizar estas situaciones. Simbólicamente se escribe: Gráficamente para indicar que la función decrece indefinidamente cuando la variable crece indefinidamente. para indicar que la función crece indefinidamente cuando la variable decrece indefinidamente.
  18. 18. para indicar que la función decrece indefinidamente cuando la variable decrece. para indicar que la función crece indefinidamente cuando la variable crece. Recordemos que en cualquiera de los límites , , , , es importante tener en cuenta que +¥ o -¥ no son números. En estos casos se dice que el límite no existe. La expresión significa que si x ® +¥ ; f(x) ® +¥ . Es decir que para todo M > 0, existe k > 0 tal que si x > k, Þ f(x) > M. Esto significa que si x es positivo y grande, su correspondiente imagen f(x) también es positiva y grande. Ejemplo. Discuta el comportamiento de la función y = para x ® +¥ y para x ® - ¥ . Grafique. Cuando x ® +¥ , x3 ® +¥ y por lo tanto ® +¥ . Se puede escribir Cuando x ® –¥ , x3 ® –¥ y por lo tanto ® –¥ . Luego Su gráfica es

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