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Cuaderno4eso b12 13_2

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Cuaderno4eso b12 13_2

  1. 1. IDEeSpaLrAtamBAenHtoÍAdeMatemáti as Curso2012-13 pCauraadde4eorMnEaoStdeOme-Oáejtpei ra ióis nioBs JSMMFMeruaaaassúnaIJFsn seeiaaJssrbú naSoevsaelinAmFeVdrerpairaVlneagBreáróelarnnaubdPsbiP eéaíozernVeroDSizñáeíÁzraárqznlavuanerozezdelosCorales
  2. 2. IÍnNdÚiM EeROgSeneral 5 111...1123....NúmERRejearepo rias osin roiaeodlasiezllevaas riuóiransdodoeasndt.eenr.ioo.mr.in..ad..o..re..s............................................................................................... 7789 22..I212I...PoÁliLnTOoGepmoeErrieoaBm si.aRoFndAeresal R oeinostnpooe.lsFinaao lmtgoeirobiszraa. ii ó.an.s................................................................11111333 3333....31234.....E uaEEEE i ouuuunaaaa eiiiisoooo,nnnnieeeensssseibdp rieoru arupa dar iiodeimonsr anaeodrleemoassspy.yoss..esi gi..siuót..nned..mfoa..a g..stroa..rdi..aol.................................................................................................................. 1111177778 33333.....56789..... IIISEnnni seeeut eauuum aaai aoiiisnoooennndseeeesssreaddp ueeoioratsn iedpaigoelouesn snerodas.m ol.iipong.noerasaa.idll e.oisó.. no...fna... u...tno...ari...ainl... ó....g....ni....ta....................................................................................................................... 1111188998 3444....41123....0.Cál uSEPClir osooutnpea lmio eeipgdaotasanordedísdetesemeexdl oipeu goaolano resiyiontlnm oeeig oasaulerdnaiseot myiuloionlnnosegneaa.úslrem.íestex.mrpo..i o...ans...en.... ....ia....le....s................................................................................................ 2122211293 5555....51234.....ProgSPPPruerrrooos eiggbosrrlieneeomsseniioosae.nnsseedvssaeagrnireaioútdmmmoéseétrt.roi is .aars.sea...le...s........................................................................................................................................... 2222257556 666...I6123I....ITriGgoERMEn aeoOuzdmaoiM dneieaotssEnrtedíTraseigtRáorningÍgooAumnlooésmtr.éi t.aris. .a.Rs.ela.. ..io..ne..s..en..t..re..e..la..s..........................................................................2333391131 6.4. Resolu ióndetriángulosre tángulos...3........................... 33
  3. 3. 777I7...123V....FunF UFFCiouuoNnnnne CiiseoopnnIrteeeOossadNll eieunsEaefudadSnlreeá stivói. anar.si..ab...le......re...a...l...................................................................................................3333457709 888888.....12345......ÁlgebFFFCOuuuropannnrer rediiiaooose pnnniooeeefsssnunednredsaexe ndp ipo ioo irnnnaaoeelpfeinusnos .nvri . eEaiirloo.sesnnats.ueayosl.di.dlfi.ouCoagn.doad m.riieónípt.nvmnoe.surriie s. e BBBBA...123.....SBoinluo BBBBB.....45678..... SSSSSooooollllluuuuu SSSmiooooilllnuuuo adiiiroooeinnnoeeeNsssedddweeelllttttoeeenmmmaaa123:::EPNo aaivíó.spanr...so.... fua....n.... i.....o.....ne.....s............................................................................................................... 444444111123 iiiiiooooonnnnneeeeesssssdddddeeeeelllllttttteeeeemmmmmaaaaa45678:::::FPCTÁurrálgionlg úulmiane CD..CGueoermpeotsrígaeopmlanétari eg oubrinoelroonsaimeoldosneegretaerfsuríaaí.nltem orimoonsioersse.,aFilneresa ..sioi..d u .aio. neo..esvy...aer..Ei nio.ens.eas.lgy.ebs.irs.atie. as..utbau..l ed..iioro..neade..lse...enx...upe...ovn...aes...nf ma.sa.s...................................................... ..u.ina... lei...osn...e....s.................................................. 4444557708 os 6779 5555635813 4
  4. 4. NBÚLMOQEUREOIS 5
  5. 5. TNeúmmae1rosreales 1.11..aC)aRl uelapealsvoalodrdeella susirgusioentaesnetxeprreisoiornes: 3−2 b)41/2 )(−8)−1/3 d) −3−2 e)(−3)−2 f) − 1 4 4.aIn)trodu d)( √3 2)4 −2 g)25−1/2 h) −80 2.aE)xpresa omounaúni apoten ia: (x2y)−2 · x3 · y−2 (x−2 · y)−1 · x2 · y b)(22 · 4−1)3 · 83 (23)−2 3.aE)xpresaenformadepoten ia: √3 2 b)p√35 ) 1 √4 57 elosfa toresdentrode adaraíz: 2 √3 3 b)4 3 3x 8 d)3 5.aSa) s 1 4 √3 15 )2 x s h)√4a2 + 4 i)4 5 6.Sai)mpli l)√625a17b10 s 3 25 9 e)2 √4 4 f)1 5 adelaraízlosfa toresquepuedas: √3 16 b)4√8 )√1000 d)√3 8a5 e)s 125a2 16b f)s 1 4 + 1 9 g)s 16 a3 s 9 7.Ra)edu 1 + 16 f)√8 625 : √4 25 j)5 p 28 · 315(xy2)8 · z33 k)x2y3 s 4x3y8 eaíndi e omúnyordenademenoramayor: z5 8.Realizalaopera )iónysimpli b)d)√4 4, √3 3, √2 asiesposible:7 √6, √3 4 √4 6, √5 10 √4 72, √3 9, √6 100 alossiguientesradi ales: √3 24 b)√6 27 )√3 −108 d)12 p 64y3 e)4 s 81 64
  6. 6. a)4√27 · 5√6 = b)2 d)g)e)h)f)s = (√3 12)2 = ( √6 32)3 = √3 24 : √3 3 = √3 2 · √3 = √3 a · 3 j)4 3 3 · = p s 27 8 = )√2 · s 1 8 9.aE)xpresa s √a2b = 1 a · √a = i) √6 32 √8 !3 2√3 : p √3 4 = k)3 p 3√3 · 4 p 9√3 · p 3 √4 3 = l)3 vuut s b3 a4 b5 · 4 a · omounaúni araíz: 4 p √3 4 b)3 p 2 √4 8 )( √4 a3 · √5 a4) : √a 10.aC)al ulaysimpli a: 5√125 + 6√45 − 7√20 + 3 2 √80 = b)√3 16 + 2 √3 2 − √3 54 − 21 5 √3 250 = )√125 + √54 − √45 − √24 = d)(√2 + √3)(√6 − 1) = 11.Sai)mpli aalmáximolassiguientesexpresiones: 3 √3 16 − 2 √3 250 + 5 √3 54 − 4 √3 2 = b)s 12.aE)fe s s 2 18 1 8 − 4 + = 5 125 3 45 = )7 √3 81a − 2 √3 3a4 + √3 3a 5 = d)2 3 s a3 b − 1 5 s a b3 + 2 9 s a b túaysimpli a: (√3 + √2)2 − (√3 − √3)2 = b)(√6 + √5) · 2√2 = )(√5 + √6)(√5 − √6) = d)(2√5 − 3√2)2 = e)(√2 − 1)(√2 + 1)√3 = f)(3√3 − 2√2)2 = 1.213..aR)aR ioan aliiozanloaslsiizgaui enitóesndednoemidnaednoroesm:inadores 8 √3 2 f) b)) d) e) 1 4 5 a √2 √3 4 √3 5 √4 a3b 2 √5 + √3 14.aR)a g) h) j) 3 3 11 2√3 − 3√2 2√5 + 3 √15.aR)a 3 + 3 j)a + b √a + b i) 3 √5 − 2 ionaliza: 5 √2 √4 3 b)2√3 √18 )√2 − 1 e)2√3 − 3√2 2√3 + 3√2 8 √2 d)2√3 − √2 √18 e)√72 + 3√32 − √8 √8 f)2√3 + √2 √12 g) 1 2(√3√5) h)3√6 + 2√2 3√3 + 2 i) 2 √2 √3 3 ionaliza: √3 + √2 √3 − √2 b) 4 8 − √2 )3√2 + 3√5 3√2 − 3√5 d) 1 √2 + 5
  7. 7. 1.316..aR)eEduj f) g)h)i) j) x + y a 1 √x + √y 4 1 √x + √y √− a − 1 √x − √y √18 √3 40 eera ui niúonsi ovraadrii aald:os √3 ab2 · √ba · √4 b2a = b)s vuut e)s p a3√a3 = g)a b2 · 3 √3 ab = p s b3 a4 · 6 a b = )q a p a√a = d)3 q a i) vuut b a2 √a 3 b2a = s a b = f)4 s b2 a 17.aO)peraysimpli √a √3 p a √· 3 a4 3 ab = = h)s a b √3 ab2 · 4 p a b s b2 s a · 3 b a √b2a p ab √3 a2b = j)5 p x2 √3 x5 · √3 x7 p x4 √3 x8 a: 1 √2 = e) 1 g) + = 7 1 √2 − 1 + 1 √2 + 1 = b) 1 √x√y + 1 √x − √y = ) 3 √3 − √2 − 2 √3 + √2 k)i)j)= p p √√a3 √6 − 27 = − 2a 4 a2 √6 a3 √+ 3a − 8 a12 = √98 − √18 = d)√7 − √5 √7 + √5 − √7 + √5 √7 − √5 1 √+ 3 √3 m)1 − 1 + 1 + √3 1 − √3 l)√√303 = (√2 + √3)(√6 1) = 96 · − q = f) 1 √2 − 1 − 1 √2 + 1 ñ)3 − √2 − p 17 − 12√2)2 = ( 1 √3 − √2 + 1 2 − √3 = h)5 √6 + 2 √6 + 3√2 − 4√2 √3 6 + √27 · p) p q 5 + 5 + √5 · 5 − = −18 p 5 + √5 = n)( p 17 + 12√2 + p 14 + 6√5 + p 14 − 6√5)2 = o)s 1183 25 − 5 s 112 225 + 1 30 √12348 − 10 s 7 36 s 1 3 + √147 + 30 s 1 2 − 4√72 + 20 √2 = q)3 √8 81 − 2 √6 27 − 2 1√0 32 + 9 s 1 3 + 2 √4 4 − 27 s 1 27 = 9
  8. 8. 10
  9. 9. ÁBLLGOQEUBERIAI 11
  10. 10. TPeomliano2mios.Fra ionesalgebrai as 2.11..Ra)eOalipzaelrasas igiuoiennetesso poerna iopnoesl:inomios (x3 − 6x + 9) + = b)1 e)f)) 1 x3 3x2 1 1 1 − − x − − x3 d)+ x2 + x 2 4 3 2 2x2 1 3x2 1 1 (−+ 6x − 5) − (+ 1) + x3 3x2 x = 2 3 2 − − g)− 4 (−2x2 + 6x − 5)2 = (−2x2 + 6x − 5)[(3x2 + 1) + (x3 − 6x + 9)] (x − 2)3 − (x + 3)(x − 1)(x + 5) − (x − 1)(x2 + 1) − (x − 1)3 = 1 (4x5 − 3x3 + 2x + 1) : (2x3 − x + 2) (2x5 − x2 − x − 1) : x + 3 2.22..HaTlaeoremadelResto.Fa toriza ión a paraqueelpolinomio3x4 − 4x3 − 5x2 + ax + 6 seadivisibleporx − 23.Hala . a paraqueelpolinomiox5 + 3x4 − 2x3 − 7x + a seadivisibleporx + 34.Hala . a yb paraqueelpolinomiox5 − ax + b seadivisibleporx2 − 45.Hala . a paraqueelpolinomio2x3 − x2 + 5x − a seadivisiblepor2x + 16.Hala . a paraqueelrestodeladivisióndelpolinomiox4 + ax3 − 3x2 − ax − 3 porx + 3 seaa + 17.Hala . a paraquealdividirelpolinomiox2 + ax + 3 entrex − 2 yx + 28.Hala ,losrestosseaniguales. a yb onla ondi ióndequeelpolinomioax4 + bx3 + 1 seadivisibleporx2 − 2x + 19.Cal ulapordospro edimientosdistintos,elvalornuméri odelpolinomiopara . x = 310.eDse s aodmapuónnoedneflao stporreos eedlipmoileinntooms.io .Indi a uál P(x) = x4 + 3x3 − 8x2 − 12x + 1611.Des ompónfa torialmenteelsiguientepolinomio . P(x) = 2x3 − 3x2 − 9x + 1012.Des ompónfa torialmenteelsiguientepolinomio . P(x) = 2x3 − x2 − 2x + 113.Halalasraí esenterasdelpolinomio . P(x) = x3 − x2 − 4x + 414.Halaunpolinomiode uartogradoqueseadivisiblepor . x2 − 4 yseanuleparax = 1 yx = 315.Halaunpolinomiode uartogradoquetengaporraí es . −2,03 y416.Cal ulalasraí esdelpolinomio . P(x) = x3 − 5x2 + 3x + 917.Da)es ompónenfa toreslospolinomios: . P(x) = x4 − 3x2 + 2 b)Q(x) = 4x3 − 16x2 + 9x + 9 )R(x) = x3 − 6x2 + 12x − 8 d)S(x) = x3 + x2 − 6x 13
  11. 11. 19. 18.Ca)al )a)¾Cuántohandevalerulalasraí esydes ompónenfa yparaquelasiguientedivisiónseaexa tores: b)d)ta? P(x) = x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3 Q(x) = x3 + 3x2 + 4x + 12 R(x) = 2x3 − 3x2 S(x) = 2x2 − 13x − 7 a b (x4 − 5x3 + 3x2 + ax + b) : (x2 − 5x + 1) b)¾Cuántohandevalera yb paraqueelrestodeladivisiónsea3x − 720.Bus aunpolinomioqueseadivisiblepor ? x − 1,porx − 3 yporx + 321.Caal) ulaelmáximo omúndivisoryelmínimo omúnmúltiplode ada.parejadepolinomios: P(x) = x2 − 4 y Q(x) = x2 − 4x + 4 b)P(x) = x4 − 7x3 + 12x2 y Q(x) = x5 − 3x4 − 4x3 )P(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 y Q(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 22.aD)elossiguientesparesdefra y ionesalgebrai as,di uálessonequivalentesy uálesno: x − 2 x2 − 4x + 4 x + 2 x2 − 4 b)x + 1 x − 1 y x2 − 2x + 1 x2 − 1 )a + b a − b y a2 − b2 a2 − 2ab + b2 d) x x + 1 y x3 + x2 + x x3 + 2x2 + 2x + 1 e)2x − 1 3x − 2 y 2x2 + x − 1 3x2 + x − 2 f) x x + y y x3 − xy2 23.aO)peraysimpli a: x3 − xy2 − x2y + y3 1 e)1 : x2 − y2 x − y = x − 2 = b)1 + x − y x + y = ) 1 g)1 2(x + h) − 2x xz − z = y2 i)h = d) x − y 3 = x2 − y2 9 k)x2 x − 2 2 − x − x2 − 4 − x + 2 = = f)xy − x y : m) 3 x x − 3 = 2 : 1 x + 1 3 = h) x + 1 (x − 1)2 · x2 − 1 x ñ) 1 x + x = x : x − 1 x · (x − 1) = j)2 x : 1 x : 1 x − 1 p) x − 1 3 5 + x2 x − x − 4 = 4x · 2x2 = l) x − 1 (x − 2)(x − 3) + x − 2 (x − 1)(x − 3) + x − 3 (x − 1)(x − 2) x − 1 + x − 3 x2 + x + 1 − 3x2 x3 − 1 = n) 1 x2 − 9x + 20 − 1 = 14 x2 − 11x + 30 + 1 x2 − 10x + 24 x3 − 1 − 1 x2 + x + 1 − x + 1 x − 1 = o) x2 − 1 x2 + 4x + 4 · 3x + 6 x2 − 2x + 1 x2 − 1 · x2 + 2x − 3 x + 3 = q) x + 1 x2 − 2x + 1 : x + 2 x − 1
  12. 12. 24.aO)peraysimpli a: x2 − 1 x2 − 4 e)x + 1 : x + 2 = x − = b)3 + x x2 : 1 x + 1 3 = ) g) 1 + = x 1 x : 1 − 1 x = d)x + 1 3x − 2 1 x − 4 − 5x x2 1 x i)x − 1 x = = f) x 1 − 1 − x 1 + x j)1 + x + 1 − x x = l)x 1 + x 1 − x − x = x3 − 1 = h)x − 2 x − 3 − x − 3 x − 2 1 x − 3 − 1 x − 2 1 + x 1 − x − 1 − x 1 + x : 1 + x 1 − x − 1 1 − 1 1 + x n) x3 − x x2 − x + 1 x2 + 2x + 4 x3 + 1 · : x2 − x x3 − 8 = x + 1 = k)a2 − 2ab + b2 x2 − y2 : a − b x − y o) x : − 1 x3 + 1 x + 1 = 1 + x = m) x2 − x + 1 x − 1 x2 : x − 1 1 x x − 1 + 1 + x2 1 − x2 p)1 − x 1 + x2 1 + x − 1 − x2 = = ñ)x2 − x 1 − x x + 1 q)1 1 + x + x2 1 − x + 1 + x 9x2 + 4 9x2 + 4 3x 2 − 2 : + 2 · : = 6x 6x 3x − 2 3x + 2   1 x2 + 1 1 x2 − 1 − 1 x2 − 1 1 x2 + 1   · x + 1 x − 1 + x − 1 x + 1 · x2 + 1 x2 − 2 = 15
  13. 13. 16
  14. 14. TEe muaa 3iones,ine ua ionesysistemas 3.11..aR)eEsu eluveal asiosingueiesntdesee upar iiomnese:roysegundogrado 5(x − 2) d)√2x2 − 2√6x + √18 = 0 e)(x − √3)(x + √15) − x2 + 3 = (x − √3)2 f)1 g)x 1 6 x 3 − 2(x + 4) − − = − 5 15 (x + 1)2 3x2 − 1 + 2 b)(x − 1)(x + 5) + 5x 2 = (x + 3)2 − (x − 7) ) − 3(x − 2 3 ) 3.22..Ra)eEsu + 4 2 3x 2 − 9 12 = − 3x + 6 6 − 3x − 3 2 3 6 13 − 2x − 2(x − 3)2 = − 1 3 4 + 1 2 x2 − 2 − 1 2 = x x2 − 5 4 h)x2 − 1 3 + (x − 2)2 = x2 + 2 eluveal asiosingueiesntbesie uuaa idonreasdbia usadradas: 4x4 − 5x2 + 1 = 0 b)x4 − 10x2 + 9 = 0 )x4 − 9x2 + 20 = 0 d)x4 − 3x2 − 4 = 0 e)x4 − 5x2 + 4 = 0 f)36x4 − 13x2 + 1 = 0 g)x4 − 5x2 − 36 = 0 h)x4 − 4x2 + 3 = 0 i)25x4 − 26x2 + 1 = 0 3.Ra)esuelvelassiguientese ua ionesbi uadradasin ompletas: 3x4 − 12x2 = 0 b)7x4 − 63x2 = 0 )3x4 − 75x2 = 0 d)x4 − 9x2 = 0 e)7x4 − 112 = 0 f)x4 − 81 = 0 3.34..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesntiersre au a iioonneasilreras ionales: √x2 + 7 + 2 = 2x b)x − √2x − 3 = 1 )√4x + 5 = x + 2 d)√x + 2 = x e)x − √169 − x2 = 17 f)x − √25 − x2 = 1 g)x + √5x + 10 = 8 h)√x + 4 − √6 − x = 2 i)√2x − 3 − √x − 5 = 2 j)2√x + 4 = √5x + 4 k)√x + 4 = 3 − √x − 1 l)√x − 3 + 2 = √2x + 2 m)√x + 4 + √x + 1 = 3 n)√x + 5 + √x = 1 ñ)√x + √x + 7 = 7 17
  15. 15. 3.45..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesntpesoe ruad ieonse s:omposi b)iónfa torial (x − 1)(x + 2)x = 0 = 0 x3 − 4x2 + 4x = 0 )(x2 − 1)(x + 3)(x + 2) = 0 d)x4 − 81x2 = 0 e)8x3 − 2x2 − x = 0 f)x4 − x2 = 0 g)x3 + 3x2 + 4x + 12 = 0 h)2x3 − 3x2 = 0 i)x3 − x2 − 12x = 0 j)x3 − 7x2 + 14x − 8 = 0 k)x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + 3 = 0 l)6x3 + 7x2 − x − 2 = 0 m)6x3 − 7x2 − 20x = 0 3.56..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesntresae uioa nioanelse:s x + 1 x − 1 x2 + 5(x − 2) x2 + x − 6 e) x2 g)3 x 2 + x + 1 − − x2 − 1 2x − 3 x2 − 9 x2 − 8x + 16 = 0 b) x2 x2 − 2x + 1 − 2x − 3 x − 1 + 1 = 0 )x + 2 x − 1 − x + 1 x − 2 − 1 = 0 d)1 − x x onunain + 3 b)ógnitax2 + x x2 − 4x + 3 0 x2 + x − 6 0 + 2x x − 2 = x2 − 2x + 1 = 2x + 3 x − 1 + 3 f)x + 1 x − 3 + x + 2 x + 3 = x − 6 − x + 4 x − 2 = 16 x2 − 8x + 12 h) 1 x2 + 3x + 2 = 2 x2 + 2x − 1 3.67..Ra)eIsnueelv eulaas siigounienetsesdinee usae igonuesn:dogrado )x2 + 2x + 3 6 0 d)x2 − 6x 6 0 e)x2 − 3x − 10 0 f)x2 − 6x + 9 0 g)x2 − 3x − 4 0 h)3x2 + 5x − 8 0 i)4x2 − 16x + 16 0 j)8x2 − 6x + 1 6 0 k)(3x − 1)2 + 2x − (2x − 1)2 6 5 l)(2x − 5)2 3.78..Ra)eIsnueelv eulaas siigounienetsesdinee utai pionoesr:a b) ional − 17x (x + 1)2 + 24 2x − 1 x 0 1 − 3x g)6 0 x − 1 0 x2 − 1 )x + 2 x − 4 0 d)x + 7 2 − 3x 6 0 e)2x + 3 4x + 3 6 0 f)6x − 5 18 3x + 2 6 4 x + 3 0 h)1 − x x2 0 i)x2 − 4 x2 − 1 0 j)9 − x2 x2 − 1 6 0 k)x − 1 x + 2 3 l)1 − x x + 3
  16. 16. 3.89..aR)eIsnueelv ) eulaas siigounienetsespineo rua dioenses :omposi iónfa d)b)torial 3.910..aR)eSsuiesltveelmosasisguideneteses x3 − x 0 isuteam aisodneee sual iionneesallineesales: x3 + 2x2 + x 0 x4 − 1 6 0 x3 − 2x2 − 5x + 6 0 = 3 e)  x − 1 3 − y 6 = 1 x 7 + 4y = 25 b) 5(2 − x) + 8y = 3 3x + 3(2y − 2) = 9 )  x + 1 3 − y − 1 2 3.1110..aR)esuSeilvsetleosmsiagusiendteesseis = 1 7x − 4(x + y) = 4 2(x − 3y + 5) − (2x + y) = −2y d)  x + y 2 − x − y 3 = 3 x + 2y 3 − x − 2y 4  3x − 2y 5 − 2x − 4y 3 = x − y 2 + 1 21x − 15 = 13(2x − y) + 45 f)  2x + 3y 4 − y + x 3 = x teumaas idoene euas inonoeslnionlienaealleess: 5x + 7y = 61 x · y = 8 b) 6x − 5y = 14 x · y = 72 ) x − y = 2 x · y = 48 d) x + xy + y = 11 x · y = 6 e) xy + 2y = 4 3x − y = 5 f) 5xy − 3x = 84 2x + 7y = 35 g) x2 + y2 = 25 x + y = 1 h) x2 + 3xy − 2x + y2 = 3 2x − y = −5 i) x · y = 2 x − y = 1 j) 2x2 + y2 = 22 x2 − y2 = 5 k) 2x2 − y2 = −2 xy = −2 l) 8x = y2 2x − y = 8 m) x2 + y2 = 10 x · y = 3 n) x2 + y2 = 41 xy = 20 ñ) x2 + y2 = 5 xy = 2 o) x − 2y + 8 = 0 x2 − y2 + 5 = 0 p) 2x2 − 5y2 = 52 3x2 − 7y2 = 80 q) x2 + y2 = 100 x − 7y = 50 r) x2 − y2 = 16 3x − 5y = 0 s) y2 = 4x x2 + y2 = 32 t) x + y = 13 √x − √y = 1 19
  17. 17. 20
  18. 18. TCeáml au4lologarítmi oye ua iones exponen iales 4.11..aC)aCl uolanl oespsigtuoiendteeslolgoagriatmroist,maploi adndeoluandennúi imón:ero log3 9 = b)log2 1024 = f))d)e)log2 8 = log 1 9 = log 100 = log 1 8 = h)log2 1 = i)log2 0, 5 = j)log2 0,25 = k)log3 243 = l)log3 2.Ca)al o)p)q)r)s)3 = log5 125 = log√4 = log216 6 = log9 3 = log4 √2 = 2 2 k)f)g)l)h)i)j)= log0,5 4 = log√3 = log9 1 = log 10100 = √8 = 3 log2 log3 √3 = log 1 1024 = g)log 1 2 1 9 = m)log 1 3 1 9 = n)log 0, 01 = ñ)log8 1 8 ulalossiguienteslogaritmos,apli andoladeni ión: log2 512 = b)log3 27 = )log 0, 001 = d)log 1 36 = 3.Ha)alalabasedeloslogaritmosenlassiguientesigualdades: loga 4 = 2 b)loga 9 = 2 e)f)g))2 4.Ca)al h)d)loga 625 = 4 loga 243 = 5 loga 256 = 8 loga 0, 125 = 3 loga 0, 001 = −3 loga 1 = 0 2 = e)log2 1 64 9 e)f)d)= −2 logx 0, 015625 = 3 logx 125 = 3 logx 3 = 3 = m)log25 1 125 = n)log49 7 = ñ)log 1 6 ulalabasedelossiguienteslogaritmos: logx 3 = −1 b)logx = 1 )logx 5.aA)pli 1 9 1 2 1 2 g)logx 1 4 l)= x log343 √7 = x 21 = 2 h)logx 2 = i)j)k)l)1 2 1 logx 0, 04 = −2 logx 4 = − logx 7 = −2 logx √4 3 = 2 andoladeni ióndelogaritmoresuelvelossiguientesejer i ios: 2x = 16 b)2x = 32 )31/x = 9 d)log2 64 = x e)log3 81 = x f)log101 10201 = x g)log16 0, 5 = x h)log10 0, 00001 = x i)logx 125 = 3 2 j)logx 1 3 = − 1 2 k)log125 1 √5
  19. 19. 6.aC)al ulaelvalorde,apli andoladeni ióndelogaritmo: xlog 2 √4 2 = x d)x = log3(3√3) e)x = log3 = 7 l)log2/5 x = −1 7.Ha)alaelresultadodelassiguientesexpresiones: log5 125 − log3 243 + log4 256 = b)log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49 = )log2 4 + log3 81 − log6 216 + log4 64 = d)log3 i)81 j)3 16 = x = log√81 x = 3/3 log√3/3 = x b)log 5 3 27 125 = x )log8 √4 3 9 ! f)x = log81(3) g)x = log81 √3 3 ! = h)x = log1/9 √4 3 3 ! √4 3 4.28..SaPbiernodpoiqeuedadesdeloslogaritmos 3 a) b),y,halaaproximadamenteelvalorde: 1 − log2 0, 5 = 36 log 2 ≃ 0′3010log 3 ≃ 0′4771 log 7 ≃ 0′8451log 30 log 84 ! k)logx 1 2187 e)f)g))1 − log5 0, 2 + log6 9 9.Sabiendoquea) ,, d)h)log 162 log 0′128 log 14′4 log √3 12 log 25 log 0′125 log 2 ≃ 0′3010log 3 ≃ 0′4771al ula: log 2, 025 b)log √5 0, 02 e)f)g))h)d)log log5 4 log√0, 3 log 8 log 5 log 10.Halaelvalordea) enestasexpresionesapli √0, 025 3 x 11.Sabiendoqueel8 a) 12 log 16 log k = 14, 4 d)5 12.Compruebaque log1/2 x log andolaspropiedadesdeloslogaritmos: ln x = ln 8 + ln 2 b)log x = log 36 − log 6 )ln x = 3 ln 2 d)ln x = ln 3 + ln 2 − ln 6 e)log x = 4 log 2 − , (siendo1 2 13.Compruebaqueen 14.Da)esarolalassiguientesexpresionesutilizandolaspropiedadesdelosl.ogaritmos: ualquierbase'a6= 1) loga 001 + 3 loga 100 − 4 loga 10 = 0log log 25 f)log x = 3 log 2 − 1 4 al ulaelvalordelassiguientesexpresiones: log k 100 b)log(0, 1k2) )log 3 s 1 k 1 a + log√a log a3 = − 1 6 a2b c b)log(a2b3c) )log d)a2√3 b √4 q c3 m 3 n4 log p m/n n e)log2 1 23x f)logx √x √3 x2 15.Ca)omprimelasexpresionesdemodoqueellogaritmoaparez aunasolavez: log x4 − log√xy b)log x − 2 log y )3 log x + log(1 − x) d)log x 2 + log y 4 e) −log x − log y f)log xlog x 22
  20. 20. 16.Ea)liminaloslogaritmosenlasexpresionessiguientes: log x + log y = 1 b)log x − log y = −1 )4 log x − 3 log y = 2 d)2 log x 3 − 1 = log y e)log(log x) = 1 4.317..Ra)eEsu eluveal asiosingueiesnteesxep uoa nioennes b)eixapolenesn yialelso:garítmi as 3x = 81 42x−1 = )2x+1 = √3 4 d)5x = 42 e)2x = 3 f)3x = 1000 g)3x + 3x+2 = 90 h)2x−1 + 2x+1 − 2x = 12 i)10x−2 + 10x−4 + 10x−6 = 10101 j)3x2 o)m)n)k)1 p)4 l)ñ)q)−2x = 1 3x + 32−x = 10 23x−1 = √4 2 32x+2 − 28 · 3x + 3 = 0 3x+1 + 3x + 3x−1 = 39 24x − 22x − 12 = 0 52x+1 5x+2 2x2 32−x2 − = 2500 = 5 r)x)u)s)v)y)t)w)z)1 = 3 22x−1 = 3 4 · 2x+3 = 4x−1 + 2x+2 = 48 2x−1 + 2x + 2x+1 = 7 2x+1 + 4x = 80 3 · 4x+1 − 5 · 2x−1 = 182 52x − 6 · 5x + 5 = 0 4x+1 + 2x+3 − 320 = 0 81+x + 23x−1 = 17 16 18.Ra)esuelvelassiguientese ua ionesexponen iales: 102+x = 1 b)2187 = 3x 1 512 d))23x+2 = 4x−1 −5 = 81 f)41−x = 0, 125 g)22x−3 = h)5x + 5x−1 = 6 i)3x + 3x+2 = 30 j)5x + 5x+1 + 5x−1 = m)1 x ñ)2 k)l)p)n)r)3x−1 + 3x+1 − s)q)o)3x = 189 2x−1 + 4x−3 = 5 t)v)2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 480 u)2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 960 2x + 2x+1 + 2x−1 = 7 4x − 5 · 2x + 4 = 0 3x − 31−x = 4 52x − 30 · 5x + 125 = 0 4x − 3 · 2x+1 + 8 = 0 2x − 4−x = 0 3x + 9−x = 0 22x + 22x−1 + 22x−2 + 22x−3 + 22x−4 = 1984 = 16 e)3x2 1 8 31 5 7x+y = 493 7x−y = 49 w) 3x+y = 729 3x + 3y = 90 19.Ra)esuelvelassiguientese ua ionesysistemaslogarítmi os: log2(x + 3) = −1 b)loga a = x 23
  21. 21. )log 7 = log x + log 3 d)log7 + log7 5 = 2 e)log 2 + log(x − 3) = log√2x f)log(3x + 5) − log(2x + 1) = 1 − log 5 g)2 log x − log(x + 6) = 0 h)log(x + 2) − log(x + 1) = 1 i)4 log k)x 5 m)j)l)= 2 log x n)2 log2 x − log2(x + 3) = 2 log(x2 − 3x + 12) = 1 log√3x + 1 + log 5 = 1 + log√2x − 3 log(25 − x3) − 3 log(4 − x) = 0 2 log x = 4 + log ñ) x 4 − log 3 81 x 10 ( p)x2 − y2 = 99 log x − log y = 1 = 1 ( o)  log2 x + 4 log2 y = 6 log2 x y x + y = 22 log x − log y = log 10 q)( 2x+3 : 2y = 8 log(xy) = 10 r)( log(x + y) + log(x − y) = log 145 2x−12y+1 = 32 s)( log(x + 2y) = log 50 log x + log y = 2 + log 2 20.Ra)esuelvelassiguientese ua ionesysistemaslogarítmi os: log1/3 √3 81 = x b)log2(2x − 1) = 3 )log x + log 50 = 3 d)2 log x = 1 + log e)2 log x = 2 + log(x − 16) f)log x − 1 = log(22 − x) g)3 log x = log 6 + 2 log x h)log x + log(2x) + log(4x) = −3 i)5 log x − log 32 = log k)j)11 x + 10 log(x − 2) − 1 = log 2 − log(x − 3) log(16 − x2) m)ñ) x 2 n)= log 1000 log(3x − 4) 3 log x − 4 log 2 = 3 log 3 log(x − 53) + log(x − 5) = 2 log 2 + log(11 − x2) = 2 l)log(35 − x3) log(5 − x) log(5 − x) = 2 o)( x + y = 22 log x − log y = 1 p)( log x + log y = 1 2 log x − 3 log y = 7 q)( log(x · y) = 4 log x − log y = 5 24
  22. 22. TPermogar5esiones. 5.11..EsS ruib eelossi ounaterospdrimeernosútmérmeirnoossderleaasule essióndetérminogeneralan = n + 1 n 2.Cal ulalosdiezprimerostérminosdelasu esióndetérminogeneralan = n2 + 3 3.Dadalasu esiónan = .Cal ulaa1,a5 ya114.Si . an = (−1)n(n + 1).Halalostérminosa2,a7 ya105.Cal ulaeltérminoqueo upaellugarquin eenlasu. esiónan = 2 − n2 n2 − 1 6.Ha)alalaexpresióndeltérminogeneraldelassiguientessu )2n2 + 1 n + 3 e)b)d)esiones: 1, −3, 5, −7, 9, . . . 1, 4, 9, 16, 25, . . . 1, 2, 4, 8, 16, . . . 1, 4, 7, 10, . . . 1 , . . . g)2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . h)1, 7.Dadalasu 2 3 4 , , , 2 3 4 esióndetérminogeneral5 , . . . an = , . . . f)5 3 , 10 9 , 20 27 , 40 81 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 2n2 + n + 3 n + 1 ,halah sabiendoqueah = 108 8 5.28..Ca)aPl urloagelrteérsmioinnoegesneararlidtem aédatiu naasdelasprogresionesaritméti assiguientes: 1, 6, 11, 16, . . . b)1, 5, 9, 13, . . . ) −8, −5, −2, 1, . . . d)2, 0, −2, −4, . . . e)3, 8, 13, 18, . . . f)1 , . . . 9.Cal ulaeltérminoa20 10.Cal ulaeltérmino delasu 11.Ca)ompletalostérminosquefaltanenlassiguientessu 12.Da)elassiguientessu ) b)esiones: 5 3 , , 2 8 4 , 2, . . . 7, 10, . . . , 16, . . . , 22, 25, . . . . . . , −3, −5, −7, . . . , −11, . . . −5, −3, . . . , 1, . . . , 5, . . . delasu esiónesión5,10,15,20,. a18 1, )esionesindi a uálessonaritméti 3 2 d)b)asy uálesno: 5, 7, 9, 11, . . . 2, 5, 10, 17, 26, 37, . . . 1 1, 4, 9, 16, 25, . . . 25 2 4 , , 1, , . . . 3 3 3
  23. 23. 13.Haal)laEllostrtiégrémsiminooseqnueseindi anenlassiguientesprogresionesaritméti as: 1, 6, 11, 16, . . . b)Elde imosextoen1, 5, 9, 13, . . . )Elvigésimo uartoen −8, −5, −2, 1, . . . 1145..HIa n))atleCClraipuneao ltloartoéteréntmrémruinmnionaionvspoigrseoénegstnirrmteersoei3óe5nynya2ur72nit5ampértoi ia2. 16.Haal)laLloass2u5mparidmeelroossttéérrmmininoossddeeunaprogresiónaritméti garelsoisóntéarrmitimnobést)iq Taureesisseentédirnomdeii lnaponsr:imenetrreté1r2myin-o27yladiferen aenlossiguientes asos: 3, 8, 13, . . . b)Loa22primerostérminosde42, 39, 36, . . . )Los40primerostérminosde1 . . . 111789...H2C¾C4aaully láauenlllataodlsséau timsémurammodai2ne6do.lseoslho1as2ympqúrulietmipeslruoomssadtreérd5me9in laoosmpdpreoregunrnedsaiidóponrsoaegrnriettrsmeióé1nt0i a0ar0itym2é0ti0 20.rLeasuslutmadaod1e064? 0a.sabiendoqueelter 5 3 , , 2 8 4 paraobtener eroes 2, 8, 14, . . . omo n 21.Shaembioensdsoumqaudeo?númerosnaturales onse utivostomadosapartirde11es1715.¾Cuántostérminos a5 = 18 yd = 222.aySreliat mosnuéstmii daae.rdaenl 1u6atrétromyineolsdde eimu,nohataeprl raoergloareesssuióm1n8aa.rdCietamll oéustlia naul.oesvLeaexpdtririfememreeornos .siatéernmtrienolossddeodsie xhtarepmroogsreessió1n6 2243..-HdC3eaalyllpaulrolilasmostterrsreeeossisynúpúletrmliimmseeoregosruso2nss4dat.obérieemsnidingoousqaudleealeustnteaárn pereronogmpreresonigóornsesa2iróiuntnmaidéritatidm aeésst.ia bai,enqudeosquuesulmosatreess1p8ryimqeureoslasusmumana 5.325..aE)nP ureontgrar eusáileosndeeslasgseigouimentéestrsui easiosnessonprogresionesgeométri as: 2, , . . . b)12, 20, 50, . . . )27, 45, 75, 125, . . . 26.Halaeltérminoduodé imodelaprogresión2, 4, 8, . . .27.Cal ulaeltérminodé imodelaprogresión . 1 2298..rEDelestpteéerr mmtiiivnnaaomlseoénspttseii.metoedperimunearopsrtoégrrmesiinóonsgdeeomunéatrip 4 8 16 , , 3 9 27 26 raogvarelesió2n43gyeolmaértarzió ans3i.lHosaldlaoselpprirmimereorstésromni3noy.4 1 1 , , , . . . 1000 100 10
  24. 24. 3312..IInntteerrppoollaa 30.lDuogsartéqrumeino iuna ousp torotétrémrminionsosenetnrtere74yy5103demodoqueformenunaprogresióngeométri aonnssei eultpivroimsedretuérnmaipnroodgreelsaiópnroggeroemsiéótnrie savalen6y8respe tivamente.Cal ulael 81 32 a. 1 8 3334..H¾7C,aeulláaúntlttroiemsstonéúr4mm48ienryoosssuseenshupamrnoagtr8oe8ms9iaó?dnogdeoemudénetarmip raoodsgoarbeqsiueiónendfoogreqmoumeenéstuurni sauampsraaobgeiersen2sdi6óonyqugseueoepmlrépotdrriuim aet.ort2é1r6m.inoes 3365..epTLlrarietmessuret mréeorramoy,dinee9lo6lssouésepnsstitdiiáemantdeoeeptsnérmripmmraeoiynrgooorrs.eqstiuéórenmegilnesooemsguédtnerdiu ona.;aHepalrlsloaegglruoenssidnóonúmegseeor3om2s.éutnrii daaddeesrmazaóynor3qeuse7e6l5p1r.iHmaelrloa,eyl 3378..HeEHsnaa2llllu7aanvelaoels pteérásronmgeglruienmlsooiesónsndeoxergt.euoon.m éutarid rai,láltoesrot,érsmisineossabperimqueeroesytádne einmporqougirnetsoiósnonge6omyé5tr4i, areyspqeu teivealmmeanytoer. 4309..pEtUérlnrimmpareiopnrdrooouygy rteleoalsditsóeéunrmlmogasiensodoemeispélroptirsrmii dmeaoresotriopeesrnsitem2é.re mCrinoia snlo otusétlrédamremliauninonrsaaozsepó,srnol2agy4r.reeaHslziaótóélnnlramgeelsioonsmiog éusitnearx 41.Cal ulalasumadelosinnitostérminosdelaprogresióngeométri alio taoat.éelarsmi giuunaaorlst.aaltpéarrmteindoevligpérsimimeor 5.44432...PUmanoPrda 44.eq¾duCuerueóodmlsaao?aaldnetnbeareilnodrr?eelpsaergtiurnsedo10a0ñoli,tr3o5s0d0eeuvrinoosaenl1n0avladseijlatse,rp orosorqaoulbdneaelllreaummpnraainmaddseaerua5dv0aa5lad0retisea3on1ldgd.0aao0du0sonsesuyorlodqsau,diueonr.ealafposerermgsouannrad apoandgoeaslr,láolas3t0ue0nr0 eterruiaárontrsgeuasl,loetnp 0, 1; 0, aa.lr¾adCeuulnápnartiaemxsehrilbaaisñ 01; 0, 001; 0, 0001; oihó,an3b,2rd5á0?e . . . aerraañqou,ee ta d.a¾Cvausáinjato otnatrednagráa2enlistaroldsamrálas 4465..p eSUsueentarámsnmnadabuoane i 4487..2ElUpe6anns taoubidesnutnoaeóesnpeo5 peh qaaleaui llt7aor gdheeaa,on?spq.loua¾riCe truaéeábrnpmetzooiannedourenmb4o5eesrdpá iiouea,dantredralaosrpeaesnñlioolsisón .lreoeUa pneruee mpdteaeeldoalilone3vo,mar6mri,líu9amn,l.eaq.t.urpmoeieedn tararadoz saeadndehí aoda,yids,yat¾aqvqnuiu aeiéjaeul?donenlg liautbugedalrlotdeonsandndráoe no áohtsr aebht roe ieóloseansslat.óhñsSeaoixenystidso 5eei1apsvelromaollpavessiniaeótbtdeaaeerr6viá0oeer.nl?0bdn0¾oeú0Qlremesuau.eélrrCaoo aasmd.dneiaAttiaádldra lbadadobetploeilaesúdnglqaeeturitmdoeroneohsseapáanyrrñebteo onoistolaesl,aeslylpvmoaerssáinímssdseeiuqiórsu aeaepsrlilaovlaaapm,amieenitenttanaerldtraieioo.dsúr¾e?.lCtpLimuraeáa n,itolyao; elnúmerototaldeárboles. 27
  25. 25. 49.Unmóviltieneunavelo 50.vDealod aidlaadsue nes1i5ónm/s.¾C uidáladseirnái laialvedleo 1i0d0a0dmal/s .abCoaddaes1e0gus,nd20osyyde30fosr?mauniformedisminuyela b2 − 1 5521..S¾lSaQeevudlaeéelnjoaaz ab))ECsatlu duauarendarpuadrlni udliaaeslitséertmraintaodne-éusinmaop.rogresiónaritméti ,dondeosaamynepi znetauliorlyátevaee9dnr,te8ies ldmaeol/m uste.nan¾avtCoeaulbhtáouantr aoesgeuonmnéútrmi ear.onatural. lait b2 + 1 b2 + 3 , , , . . .b b b b 53.Uanba)) ¾¾éCCluuulááannstteaosrtei epémlruopldaousd heeabpbeorrárámaplait soaasbrisop adareaduaqnu1a0ehesoexrgiasutnaydn1o01s2:m8i teaio?adtaeirer4mibmpao,y taoernnd uaarndáaaevnbeolaotle iadsnuazbdaerdleala1ma3li7tt,ua2dramdm/esál.axSiamil taua?rdaaasnegteurniodro. néulutolas?s? 28
  26. 26. GBELOOMQUEETRIIÍIA 29
  27. 27. TTermigaon6ometría 6.11..aE)xMpreesadriednarasdidanees:ángulos 1◦ b)120◦ )45◦ d)210◦ e)280◦ f)1120◦ 2.aE)xpresaengradossexagesimaleslossiguientesángulosexpresadosenradianes: 2 3.Ordenademayoramenorlossiguientesángulos: rad. 4.Determinaeláreadeunse 5.Cal ulaengradosyenradianeselsuplementariodel tor ir ular uyoángulo entralmideomplementariode.unángulotoradianes3 6.2. 6.HalaelvalordeRazonestrigonométri . enlossiguientestriángulosre as.Rela ionesentreelas ; /7 . PSfragrepla ements 33◦15′ = 2/7x rad. b)5 4 rad. )18 rad. d)1 rad. e) − 3 rad. f)7 2 1 radián; radianes; 30◦24′; ángulore tángulos: b)45◦ 20 tángulo uxyahipotenusa 60◦ 15 rad 130◦ 3/4 10 30◦ 78..DIamn)eiddtiee ram3ei lnm aulyaaxdsurrnaaonztodeneeasslutqsrui geaotpneeotrmotseéntmreii deaens1d ae dmloa.sudnoosdánegluoslossigdueiuenntterxsiáánngguulloosr:e )3507◦ d)11/3 rad e)7/3 rad f) −135◦ 9.aIn)di a,sin al ularsuvalor,elsignodelasrazonestrigonométri asdelossiguientesángulos: 179◦ b) −120◦ e)68◦ f)235◦ 10.Sabiendoque esunángulodel yal ulalasrestantesrazones −18◦ tg x = −12/5 x ∈ IV )342◦ d) uarto uadranteyquetg = −211.tSraigboiennodmoéqturie as. , al ulalasrestantesrazones esunángulodelsegundo uadranteyquesen = 1/312.tSriigonométri as. , uadrante.Halasen x ycos x13.Si . tg x = 4 3 , al ulalasdemásrazonestrigonométri aspara x 3 2 31 .
  28. 28. 15.Ídemsi 14.Ídemsiy . sec x = −3 x cotg x = − x 16.Si . cosec x = −5/3 y x 17.Sabiendoque ,halalasrestantesrazonestrigonométri as. sen 5◦ = 0, 0875 trigonométri asde (aproxima 18.Hlaa)asldlaelelánánguguloloddaedlop:rim.er 3 2 3 iónporredondeoalasdiezmilésimas), al ulalasrazones 4 175◦y uadrante uyasrazonestrigonométri as oin idanenvalorabsoluto on b)2 19.aH)alasin 32 ) d)e)f)−86◦ 400◦ 150◦ 230◦ 300◦ 2329◦ al uladora: sen 330◦ b)sen 180◦ )cos 330◦ d)sen(−120◦) e)sec(−270◦) f)cotg 4500◦ g)cosec 2700◦ h)sen240◦ i)tg 315◦ j)tg(−30◦) k)sec(−180◦) l)cos 1800◦ m)cos300◦ n)tg 150◦ ñ)cos 120◦ 20.Sisen = 3/4 y a) esunánguloagudo,hala: sen(90◦ − ) b)cos(180◦ − ) )tg(−) 21.Sicos(180◦ − ) = −1/3 y a) esunángulodelprimer uadrante,hala: sen b)cos(90◦ − ) )tg(−) 22.Dadounángulo medidoenradianesydelprimer a) b))uadrante,se ono ed),hala: sen = cos sen( − ) sen( + ) sen 23.Dadounángulo delsegundo 24.Sia) ypertene )d)1 4 3 sen( + ) tg ( + ) tg x = 2 x 2 − a) b)uadrante,se ono e,hala: 2 cos = − 5 sen cos( + ) ealprimer uadrante,hala: tg(90◦ − x) b)tg(360◦ + x) )tg(180◦ − x) d)tg(−x) e)tg(180◦ + x) f)tg(270◦ + x) g)tg(270◦ − x) h)tg(90◦ + x) 25.Cono iendosen 11◦ = 0, 19 ycos 11◦ = 0, 98a) , al ulaelseno, osenoytangentede: = 79◦ b) = 101◦ ) = 169◦ d) = 191◦ e) = 259◦ f) = 281◦ g) = 349◦ h) = 371◦ 26.Ca)ompruebalassiguientesidentidadestrigonométri as: sec2 + cosec2 = sec2 cosec2 b)(sen + cos )2 = 1 + 2 tg cos2 )cos + tg e)g)f)h) 1 + cotg2 cos2 = (cosec x + tg x) cos x = sen x + cotg x tg a + tg b sen2 a − cos2 b = sen2 b − cos2 a = tg a · tg b i)1 + tg2 x k) cos tg 1 − tg2 a sec − cos = cotg + sec d)sen2 = 1 cotg2 1 + cotg2 cotg a + cotg b cotg x = tg x cos2 x j) sen a · cos a cos2 a − sen2 a = tg a cosec − sen = tg3 l)cos2 x − sen2 x = cos2 x 1 + sen x − sen2 x 32
  29. 29. 27.Sai)mpli alassiguientesexpresionestrigonométri as: sen3 a + sen a · cos2 a b)sen a )cos3 a + cos2 a · sen a + cos a · sen2 a + sen3 a d) cos2 a e)1 tg a 1 − sen a (1 − cos x)(1 + cos x) sen x f)cos4 x(1 + sen x) (1 − sen2 x)2 g)sen4 x − sen2 x · cos2 x cos4 x − cos2 x · sen2 x · cotg x h)√1 − sen a · √1 + sen a √1 − cos a · √1 − cos a i)(1 − tg2 a) sen a · cos2 a (cos2 a − sen2 a) tg a j) cosec a 1 + cotg2 a k) sen x − 1 cosec x + cos2 x cos x + cotg x cos x l)sec2 a + cos2 a sec2 a − cos2 a 6.328..HaEla utoado siloosnáensgultorsigonométri as x a) talesque: tg x = 1 b)cos x = −1/2 )tg x = √3 d)sen x = √2/2 e)sen x = cos x f)sen x = 0 g)sen x = −1/2 h)cos x = −1 i)tg x = 0 j)cos x = −√3/2 k)cos x = −1 l)sen x = −√2/2 29.Ha iendousodela al uladorayredondeandoalosminutos,resuelvede0◦ a360◦ ea )ua ionestrigonométri as: lassiguientes sen x = 0, 5432 b)sen x = −0, 3714 )cos x = 0, 7321 d)cos x = −0, 1238 e)tg x = 1/5 f)tg x = −1/3 g)sec x = 7 h)cosec x = −4 i)cotg x = −0, 3 30.Ra)esuelvelassiguientese ua ionestrigonométri as: sen(2x + 1) = = √3 d)sen2 x − 2 cos2 x = 1 e)sen x + cosec x = k)g)i)1 f)2 h)j)6.431..ReRsueelsveollous siigóuinentdesetritárngiáulnosgrue ltoánsgurloes (tángulos l)5 sec x − 4 cos x = 8 5 cos2 x + sen2 x = 2 7 sen ,x eslahipotenusa,+ 4 cos2 x − 2 = 0 2 sen2 x + cos x = 1 sen2 x − cos2 x = 1/2 3 cos2 x = sen2 x 2 sen2 x + cos2 x = 1 ysonlos A = 90◦a b c b)sen 5x − 3 = − √3 2 )tg x − 5 5 2 atetos,B eselángulosopuestoalladob yC elánguloopuestoalladocada)tos: )delosque mym b)ono emoslossiguientes a = 10 b = 6 a = 15 myB = 32◦12′ e))mymyd)myb = 12 B = 72◦10′ b = 7 C = 23◦15′ b = 15 c = 20 m f)Laalturarelativaalahipotenusaha = 5 myB = 35◦20′ 33
  30. 30. 33.CCmaaálls 34.Desdeloaltodeunfarode35.mdealtura,seveunbar 32.A30metrosdelpiedeuna 35.DrCaaeytlo esurmldaeinllaasodllaisstloaobnnr uualllaatallaabaaajlltotuuurraanddáeengulaunl geiiateuladhlodareiqzluoaenstsoeemeesbnrd oehddiime einoe,as.idesdeelsueloyaseuvnealdaisptaunn himeneadefábri a aueeqnuterapreolybea obajounángulodedepresióndetiaaddeeéssutap,iebdaejo30unmá,nsgeuvleoldaeparte. 68◦42◦18◦36.áDnegsudleoldaeoriladeunrío,sevelaparte.másaltadeunárbolsituadoenlaotraorila,bajoun .sinosalejamosdelaorilaendire rt ao.unárbolde7mdealtura,silaeleva iónperpendi ular25m,elánguloesahorade ióndelos. 23◦25◦20◦37.Daletos.ddDeeeuutnenrbmfaairrn oaoslisatiutauanad dohousoarba1rd0e0eulmnríaod .eanlatil aodsota, yonenánpgeruploesnddie uelleavraa ieólnlad,esevelabaseyelpuntomás 22◦ y25◦ 3389..LCDaaestl edurimlaagineolanralaaledsaioldt,uelrauanadpreooltmefambrooa.myiedleánre5a2dye6u6nmo. tHóaglolanolorsegáunlgaurlodsey10el lmaddoe.lado.respe tivamente. 40.HalalalongituddeuntúnelAB PSfragrepla ements queatraviesaunamontaña,sabiendo: 3 km 500 m 700 m 50◦ B 41.D oomsu nire suensfedreen iasse antestienenderadios6 my8 m.Elánguloqueformansusdostangentes 30◦42.Desde iertopunto.Cdeall suulealolasedivsetaenl piaunqtuoemhaáyseanlttoredleosundaosto ernetrfoosrmdeanladso uirn uánnfgeurelon dieas.30◦ lahorizontal.Sinosa er amos75mha iaelpiedelatore,esteángulomide 70◦ 43.dEdeenl uaonnttoirnrorslet.adnetleaedraodpou,eerltoalmtímedeitarnotedeunuanaviasvuiaolnqeutaerfeogrmistaraun10á9n5gmuloddeealtitud.Elp.A ilHotaolavelalaatltourrrae on 44.dDiesstdane eilapduenltaoemroepduioerdteolvaudeilsataenl aipaaernattroe?dostores 60◦81◦ onlaverti al.¾Aqué A yBsuperioresson ,losángulosdeeleva ióndesusextremos 30◦ y60◦ respe tivamente.SiA tieneunaalturade40m,halalaalturadeB distan iaentrelastores. yla 34
  31. 31. FBULNOCQIUOENIVES 35
  32. 32. TFeumna i7onesrealesdevariablereal 7.11..DeClaosnsi gueiepntteosgdráe afsu,n¾ uáiólesndeelasno orespondenaunafun ión? PSfragrepla ements a) b) ) d) e) f) g) h) i) 1 1 1 1 1 1 2.Consideremoslafun ióndadaporf(x) = a)Lasimágenespara , al ula: x = 2,x = −5 yx = 1 1 1 2 5 b)Losoriginalesparay = 0 ey = 63.Si 2x x − 1 )Dominiodelafun ión. . f(x) = √x + 3a) ,hala: f(1),f(0),f(−2) yf b)¾Cuántovalef(−4)?¾Pertene e −4 )Cal ulalosoriginalesde aldominiodelafun ión? 3,5 yde2 d)¾Cuáleseldominiode − ? 26 9 3 37 f
  33. 33. ementsd 4.Dae)laCsasli b)En guuliaentesfun uentralosvaloresde ,ionesdadasporsugrá PSfragrepla ,yparalosque. a: f(−3)f(0)f(4) f(3)x f(x) = 2))ECsatlu udliaaelald oomntiinniuoidyaldadimelaagefunn. ión. . dhgfe)))))I I I i) 1 1 dhgfei)))))) idoandjuyntao iomtaa gieónn,.intervalos 6. Dióaibn)u:jalasgrá 1 PSfragrepla emen5.tsOdaeb) sererv aimlaiesngtroáy da1es dree liamsiseingtuoi,enextetbsr)efmuno siorneleastiyvodsetyeremstiundaiasusudo moni nt)iion,u as1 orespondientesalasfun iones1 onlas ara terísti asquese itana ontinua- Dom(f) = (−∞,−2]∪[2,+∞); Im(f) = (−∞, 2]; máximosrelativosenlospuntos(−3, 2) y(3, 2)b) . Dom(f) = R; Im(f) = (−3, 2); mínimorelativoenelpunto(−2,−1) enelpunto ymáximorelativo (0, 1)) . Dom(f) = (−∞, 0); Im(f) = (1,+∞) d) yestri tamente re ienteentodosudominio. Dom(f) = R − {0}; Im(f) = R; estri 7.Ca)al de re ienteen tamente re ienteenyestri tamente (−∞, 0) (0,+∞ ulaeldominiodelassi.guientesfun iones: f(x) = x3 + 3x b)f(x) = −5 )f(x) = 2x + 4 d)f(x) = − 3 j)2x + 3 x2 + 2x − 3 f(x) = e)f(x) = 3x − 1 x2 − 8x f)f(x) = x2 − 3x x2 + 5x + 7 g)f(x) = 3x x2 − 9 h)f(x) = 1 x3 − 2x2 i)f(x) = 2x − 1 2x + 5 x2 − 1 k)f(x) = 3x + 2 x3 + 3x2 − x − 3 l)f(x) = x2 − 5 x2 + 1 m)f(x) = √2x n)f(x) = √3x − 2 ñ)f(x) = √2 − 3x o)f(x) = √x2 + 2x − 3 p)f(x) = √x2 − 1 q)f(x) = √x2 − 2x 38
  34. 34. r)f(x) = √2x2 + 4x + 2 s)f(x) = √x2 + 2x − 8 t)f(x) = √x2 + 4 u)f(x) = x)s x + 4 x − 3 x − 2 3x + 9 f(x) = v)f(x) = 1 √x − 1 w)f(x) = s s 4x + 3 x − 1 y)f(x) = s x2 − 25 x + 2 e)d)y = 2x y = − z)f(x) = √x + 2 7.28..eaRj)eeFps:ruesnen tiaolnasessiguliiennteesarlee b)stas, al ulandodominio, )onjuntoimagenypuntoxs−de1 ortes onlos y = −3 y = 0 y = 3 dhgfe)))))a) b) 2 daeplaarsare atdaasudnelaeljaero ir dieonaandtaereinor.el 1 4 x f)y = −3x + 1 g)y = 2x − 4 h)y = − x + 1 PSfragrepla em1en90..tsLDoraiisg eugnár,állea saplsaenspdigeiunenidetineetneetsein ydoirl araeosspridosenondnaedn areae nifeunenlt eoisorniogeedsnel idnreee a ilaeendst.aeIsun:ndai 2 ) i) 1 1 11.aR)epresentagrá a1mentelassiguientesfun iones: f(x) =   2 six ≤ 3 x − 1 3 x ≤ 8 7 si8 x b)f(x) =   x 2 six ≤ 4 −x + 3 si4 x )f(x) =   x − 2 3 six ≤ 2 2x si2 x ≤ 3 0 x 3 d)f(x) = −2 six 3 2 12.Representaenlosmismosejeslasre tas x 6 y = 2x,y = 2x+2 ey = 2x−413.qdUuenerrede eptpaaesrntpiddaeorardleedlleanspú?mereiórdoi doesp eorbiórdai uonsare paanrttididaodsajaradzóianridaed0e,192eeuurrooss.mp¾oáCrsópumenroaiósd oain nolt.aidsapdenvdaireianbteles a)Es ribelafun iónquepermiteobtenerla antidada obrar(y) periódi osrepartidos enfun ióndelnúmerode (x)db )))¾SSPiiuu ienedrdetoía odrbíearpaharartue no1bd2rí5aadp1oe6r,1.i8ó96,d3ei2 uoresou,sr¾?o su,á¾n tuoán otobsrapeersieóddií ao?sharepartido? 39
  35. 35. 14.Porlaen uaderna ión e2u0ar0)o.sAEd.inRep neaudsrepotnoirtdnreddaleenlaalúamfsluae2snr0 sod0iiógednpueláiieqbgpnuirántoegeasisnsnn,opaospsrseoddg raeuo nbéeatrsldaatpaesn.:rpe7 áiegouinraoaspda eagdamraápusonsroelsaiin eerlne nmuúaemdneteraroneadl epiórpneá gdioienaausnntneloribiosruropedenreap0e,l0an2s- 15.Unba)dCCReauetpdoerrtaeamsheimonnraetandasadguereaám lodp neraeemxasibaeóonnnntoeo1s,e86ostfeerauuerr fouoessnl.. aióonfe.rtasiguientepor ab 7.316..laRa)eFmpruoensneont )))hLREaaneyp eaurmeeesnpsettrnaretabsaalleag otianoílaan,seesxisgtrue raifádurogn iemunotasesdypraa a laaiumónn eon1qnt6ueexe%eiónsdntoae.sfIiunVndA ráoáttbaio liaóasns iq.ióu¾neC.eólmporea fieo taapeasgtoaramlaenfusuna one tarnosaInternet: limónenatnet,esreiogrúnyalassuhogrraás qau?ese .al ulandodominio,imagen,vérti eypuntosde ortesyestudia y = −x2 b)y = x2 − 3 )y = x2 − 4x d)y = x2 + 4x + 1 e)y = −x2 + 4 f)y = x2 − 2x + 2 g)y = −x2 + 2x − 3 h)y = 2x2 − 10x + 8 17.Raep)resentalassiguientesfun iones: f(x) = x2 + 2x parax ∈ [−3, 2] b)f(x) = −2x + 1 parax ∈ (2,+∞) )f(x) = −3 parax ∈ [−2, 6) 18.Representagrá amentelafun iónf(x) = 2x2 a) yapartirdeelarepresenta: f(x) = 2x2 + 1 b)f(x) = 2x2 − 2 )f(x) = 2(x − 1)2 d)f(x) = 2(x + 4)2 e)f(x) = −2x2 f)f(x) = −2x2 + 4 19.Ra)epresentagrá amentelassiguientesfun iones: f(x) = 1 − x2 six 1 20.Halaa yb paraquelaparábolay = x2 + ax + b paseporlospuntosA(0, 4) yB(2, 2)21.lLaafuanlt uiróanenmetros,al anzadaporunobjetolanzadoverti almentedesdeelsuelovie.nedadapor f(t) = −10t2 + 20t,dondet ab))R¾Eenprqesueénitnastgarnáte aaml eanntzeallaafaulnt uiróane.mseálxtimiema?p¾oCeunásleegsuensdaoas.ltura?   2 si x −1 −2x −1 ≤ x 1 x2 six ≥ 1 b)f(x) = x2 six ≤ 0 −x2 x )f(x) = 2x2 − 2x six ≤ 2 2x 2 x ≤ 4 d)f(x) =   x2 − 1 si x −1 0 −1 ≤ x ≤ 1 40
  36. 36. TÁelmgeab8radefun iones.Estudiode nuevasfun iones. 8.11.. aRo)eFrptreue snoenn tialoosgnreájeess :amraendtei laassliegsuientesfun b)iones, al ulandodominio, onjuntoimagenypuntosde f(x) = √x f(x) = √−x )f(x) = √x + 3 d)f(x) = −√x e)f(x) = √x − 2 f)f(x) = √3 x g)f(x) = √3 x + 1 h)f(x) = 2 − √x − 2 i)8.22..Raas)eFípntruoestneans :tiaognráes amdeenteplraospsigourie ntieosnfuanl iiodnaesd, ailn uvlaenrdsoadominio,fi(mx)ag=en3,+pu√nxtosde ortesy f(x) = 1 x b)as y = log(x2 − 4) y = log(x2 − 6x + 8) b)f(x) = 2 x − 2 )f(x) = − 1 x + 3 d)f(x) = 2x + 1 x − 1 e)f(x) = x + 1 x + 3 f)f(x) = − x 8.33..aH)aFluanel dioomnineiosdeelxaspsoignuieennte sifaunle isoneys:logarítmi x + 2 )y = log 1 − x 1 + x d)y = log 1 − x2 x + 3 e)y = 3x + 1 e)2x + 3 )d)y = ln(9 − x2) y = log(x2 + x − 2) y = log f)y = x − 1 2x − 4 g)y = 3x − 1 log2 x h)y = log3(x − 1) 3x − 9 i)y = i)log2(2x − 4) 2x − 16 j)k)l)22x − 6 · 2x + 8 y = 31/x y = 3√x y = 4(x+1)/(x−1) y = 3 j)y = log2 x log2 x − 1 4.Ha)alaeldominiodelassiguientesfun b)iones: x 1 y = log(x − 3) y = ln − x + 2 x2 + x − 2 x2 + x − 6 f)y = 2x 2x − 2 g)y = 4x−2 16 − 4x h)y = 3 √4−x2 m)y = ln(x − 4) x − 5 n)y = 1 ln x ñ)y = x + 1 ln(x − 2) 41
  37. 37. 5.aD)adaslassiguientesfun iones,halasugrá a: y = 2x−1 b)y = 3x−2 − 4 )y = 1 + 2x d)y = 2−x e)= log2(x + 3) f)y = 1 + log3(x + 5) g)y = log2(x + 1) h)y = 3 + log2 x i)f(x) = 8.46..DaOdapselarsafu ni oionneess si 2x x 0 x − 1 x 0 onfun iones.Composi ión f(x) = y g(x) = x − 2a)Dom , al ula: f yDomg b)f + g; f · g; 7.Apartirdelasfun ionesrealesdevariablerealdenidasdelaforma: ysusdominios )ysudominio x + 3 x2 − 1 f 1 g f x −→ f(x) = 1 x − 1 y x −→ f(x) = 1 x + 1 aa)l Duolam:f yDomg b)f + g ysudominio )f − g d) ysudominio 3 · g ysudominio e)f · g f)f/g 8.Dadaslasfun ionesrealesdevariablereal f yg denidasdelaforma: x −→ f(x) = 1 x2 − 4 y x −→ f(x) = x + 2 x denelasfun ionesf + g,f · g yf/g 9.Dadaslasfun iones ysusdominios. f(x) = x2 yg(x) = √x,denelasfun 10.Dadaslasfun iones iones,yysusdominios. f/g1/f 1/g 1 f(x) = x2 − 1 yg(x) = √x + 2 es ribelos riteriosydominiosdelasfun iones f · g yf/g11.Dadaslasf.un ionesf yg, al ulag ◦ f a) enlossiguientes asos: f(x) = 13.Halala a) omposi 1 x − 2 ióndelafun ión y,halay. g(x) = √xf ◦ g g ◦ ff(x) = 2x yg(x) = x + 2 b)f(x) = 2 1 − x yg(x) = 2x + 1 )f(x) = onlassiguientesfun iones: g(x) = ln2 x b)g(x) = ln4 x 1 x 14.Dadaslasfun a)( ionesb)(,yd),hala: g(x) = ln1/2 x f(x) = log2(x2 − 3)g(x) = 1 + 2x h(x) = log3(2x − 3)g ◦ f)(x) g ◦ h)(x) yg(x) = √x + 1 d)f(x) = 3 x yg(x) = 1 x − 3 e)f(x) = √x + 1 yg(x) = 1 √x + 1 f)f(x) = 2 x − 1 yg(x) = 2 x + 2 12.Dadaslasfun ionesf(x) = x + 3 2x − 1 )g(x) = ln√2x )(f ◦ g)(x) d)(h ◦ g)(x) e)(h ◦ f)(x) f)(f ◦ h)(x) g)(f ◦ g−1)(x) h)(h ◦ g−1)(x) 42
  38. 38. 8.515..aD)aCdaosrlarsessigpuioenntedsefunn iioanesi,nhvalelarssua b)ooresfpuonnd ieinótnerer )eíp roí par(oo inaversa): f(x) = 4x + 5 f(x) = x2 + 2x − 3 f(x) = g)x + 2 x + 1 17.aH)alalasre h)y = 3 − 3x+2 y = log2 x d)f(x) = 2 − x x + 3 e)f(x) = √2x f)f(x) = x2 − 3x g)f(x) = √3 x − 1 h)f(x) = 2x + 5 x − 4 16.aD)adaslassiguientesfun iones,halasu orespondientere ípro a(oinversa): y = −1 + log2 3x b)y = 3x+2 )y = 2 + log3 x d)y = 1 − 2x+3 e)y = ípro asdelassiguientesfun iones: y = log(x − 3) b)y = log2(2x + 1) d)log4(x − 1) )2 e)y = log2/√3 x + 1 y = 2 + log3(4x2 + 1) y = f)y = 1 − log3 x 5 m)4 − 3 log(x2 + 4) 5 8 y = f)y = g)j)k)h)i)l)p ln(x − 1) y = 1 − 4 log(1 − x2) y = 2x+1 y = 23−x 23 51−x2 y = 2 + 10x+1 y = 3 − 2x−1 y = − 3 2x+1 − 2 n)y = 3 − 34x+1 ñ)y = ex+1 43
  39. 39. 44
  40. 40. ABpinénodmi ieoAdeNewton 1.aD)esarolalossiguientesbinomios: (a + 2b)4 b)(x + √2)5 )(a1/3 + b1/3)5 2.aD)esarolalossiguientesbinomios: )(2xy + y3)4 3.aD)esarolalossiguientesbinomios:

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