apoyo

1. BLOQUE 1 BACHILLERATO
Ejercicio nº 1.-
Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
125a) 5log
0001
1
b) log
2c) 2log
Solución:
35125a) 3
55  loglog
310
0001
1
b) 3
 
loglog
2
1
22c) 2
1
22  loglog
Ejercicio nº 2.-
Opera y simplifica al máximo las expresiones:
45
80
5a) 
182128b) 
25
5
c)

Solución:
3
54
5
3
4
53
525
45
805
45
80
5a) 2
4






21426283222182128b) 27

 
  
525
45
525
2525
255
25
5
c) 







Ejercicio nº 3.-
Sabiendo que log 3  0,48, calcula sin utilizar la calculadora el
logaritmo en base 10 de cada uno de estos números:
5 9c)9b)30a)
Solución:
  48,1148,010310330a)  loglogloglog
96,048,023239b) 2
 logloglog
192,048,0
5
2
3
5
2
39c) 525  logloglog
Ejercicio nº 4.-
Resuelve:
x
x
x
x 1
6
16
1
a)



3
1
3
3
b) 1
12


x
xx
Solución:
 
 
 
 
 
 
03148062816
062816
612616166
12616166
16
16
16
116
16
6
1
6
16
1
a)
22
2
222
222
22














xxxx
xx
xxxxx
xxxxx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x




















2
3
16
24
4
1
16
4
16
1014
16
10014
16
9619614
x
x
x

2. 2
3
;
4
1
:solucionesdosHay 21



 xx
  111
1
1
33
3
1
3
3
b)
2
2



 xxx
x
xx
012111 22
 xxxxx
1
2
2
2
442


x
Hay una única solución: x  1
Ejercicio nº 5.-
Resuelve el sistema:






13
213
yx
yx
Solución:
23113
31
213
13
213 









 xx
xy
yx
yx
yx
11
3
33
13313 

 xx
x
xxx
  xxxxxxx  222
012111
 







21
válidano0
01
yx
x
xx
Hay una única solución: x  1; y  2
Ejercicio nº 6.-
Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación:
042
x
Solución:






2
2
4404 22
x
x
xxx
La parábola y  x2
 4 corta al eje X en x  2 y en x  2.
En el intervalo [2, 2] toma valores negativos o nulos. Por tanto, las
soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [2, 2]:
Ejercicio nº 1.-
Teniendo en cuenta la definición de logaritmo, halla el valor de x en
cada caso:
5a) 2 xlog
327b) xlog
Solución:
3225a) 5
2  xxxlog
327327b) 3
 xxlogx
Ejercicio nº 2.-
Calcula y simplifica al máximo:
81
32
27a) 
48275b) 

3. 22
22
c)


Solución:
3
64
3
24
3
2
2
3
2
3
23
81
3227
81
32
27a) 2
5
4
53





31338353225348275b) 42

  
  
223
2
246
24
2424
2222
2222
22
22
c) 










Ejercicio nº 3.-
Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión, utilizando las
propiedades de los logaritmos:
4log
25
1
523  logloglog
Solución:
 4
25
1
524
25
1
523 3
loglogloglogloglogloglog
400
5
2
425
58
4
25
1
58 ,loglogloglogloglog 



Ejercicio nº 4.-
Halla las soluciones de las ecuaciones:
22
6
3
3
1
4
5
a)
xx

    1231b)  xlogxlog
Solución:
2
2
2
22
2
2
22
49
4615
6415
12
6
12
4
12
15
6
3
3
1
4
5
a)
x
x
x
xx
x
x
xx














2
3
2
3
4
9
4
92
x
x
xx
2
3
;
2
3
:solucionesdosHay 21 

 xx
    1231xb)  xloglog
 2310110
23
1
1
23
1






xx
x
x
x
x
log
29
21
292120301  xxxx
Ejercicio nº 5.-
Halla las soluciones del sistema:





1
9
ylogxlog
yx
Solución:
























yx
yx
y
x
yx
y
x
log
yx
ylogxlog
yx
10
9
10
9
1
9
1
9
10199109  xyyyy

4. 1;10:soluciónunaHay  yx
Ejercicio nº 6.-
Resuelve e interpreta gráficamente esta inecuación:
513  x
Solución:
 Resolvemos la inecuación:
26363513  xxxx
  22: ,x/xSoluciones 
 La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 2, la
recta y  3x  1, va por encima de la recta y  5; es decir, 3x 15:
Ejercicio nº 1.-
Calcula, utilizando la definición de logaritmo:







2
1
32343 2
127 logloglog
Solución:
2
9
1
2
5
3
2
1
27
2
1
32343
2
1
2
5
2
1 2
3
727 











 loglogloglogloglog
Ejercicio nº 2.-
Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
2
75
48
a) 
147108b) 
3
632
c)

Solución:
5
24
2
5
4
53
232
75
248
2
75
48
a) 2
4






337367332147108b) 232

  22
3
236
3
326
3
186
33
3632
3
632
)c
2











Ejercicio nº 3.-
Si ln k 0,7, calcula el valor de la siguiente expresión:
 2
3
10
10
kln
k
ln 
Solución:
   232
3
101010
10
klnlnlnklnkln
k
ln
 klnklnklnklnkln
3
7
2
3
1
231
63170
3
7
,, 
Ejercicio nº 4.-
Resuelve las siguientes ecuaciones:
xx 21113a) 
042322b) 11
  xxx
Solución:

5.    
 
1305340
12144499
12144419
11213
1121311213
21113a)
2
2
2
22






xx
xxx
xxx
xx
xxxx
xx













4
13
8
26
10
8
2753
8
72953
8
0802809253
x
x
x
Comprobación:
válidaEs10220119119310 x
válidaesNo
2
13
4
13
2
2
31
11
2
9
11
4
9
3
4
13
x
Hay una solución: x  10
042322b) 11
  xxx
042322
2
2
 xx
x
Hacemos el cambio: 2x
 y
0432
2
 yy
y
8080864  yyyyy
382  xx
Ejercicio nº 5.-
Resuelve:






622
02
yx
yx
Solución:
  622
622
2
622
02 2
2












 yy
yyyx
yxyx
Hacemos el cambio: 2y
 z













3
2
2
51
2
251
2
2411
062
z
z
zzz
21222  xyz y
válidano323  y
z
Hay una solución: x  2; y  1
Ejercicio nº 6.-
Resuelve el sistema de inecuaciones:
 
  




412
4723
x
x
Solución:
 
  3
1
62
33
422
4763
412
4723

















x
x
x
x
x
x
x
x
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos
inecuaciones, es decir:

6.      11/3y1 ,xxxx 
Ejercicio nº 1.-
Halla el valor de x en cada caso, utilizando la definición de logaritmo:
xlog 32a) 2
3b) 3 xlog
Solución:
532232a) 2  xxlog x
2733b) 3
3  xxxlog
Ejercicio nº 2.-
Efectúa y simplifica:
50
98
3a) 
45280b) 
13
3
c)

Solución:
5
37
3
5
7
52
723
50
983
50
98
3a) 2
2






5256543525245280b) 24

 
   2
33
13
33
1313
133
13
3
c)









Ejercicio nº 3.-
Sabiendo que log 7  0,85, calcula sin utilizar la calculadora:
3 7c)49b)700a) logloglog
Solución:
  852285010071007700a) ,,loglogloglog 
71850272749b) 2
,,logloglog 
280850
3
1
7
3
1
77c) 313 ,,logloglog 
Ejercicio nº 4.-
Obtén las soluciones de las ecuaciones siguientes:
1245a)  xx
0
9
8
33b) 12
 xx
Solución:
 
340
14445
1245
1245a)
2
2
2




xx
xxx
xx
xx
















4
3
8
6
1
8
71
8
491
8
4811
x
x
x
Comprobación:
válidaEs12391 x
válidaesNo
2
1
1
2
3
2
1
4
1
4
3






x
Hay una solución: x  1
0
9
8
33b) 12
 xx
  0
9
8
333
2
 xx
:3cambioelHacemos yx


7. 082790
9
8
3 22
 yyyy















3
1
18
6
3
8
18
48
18
2127
18
44127
18
28872927
y
y
y
89,01
3log
8log
18log
3
8
log
3
8
3
3
8
33  xy x
1
3
1
3
3
1
 xy x
Hay dos soluciones: x1  1; x2  0,89
Ejercicio nº 5.-
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:







12
6
111
yx
yx
Solución:
   126126
12
66
12
6
111













xxxx
yx
xyxy
yx
yx
672026612 22
 xxxxxx













2
2
3
4
6
32
4
17
4
17
4
48497
yx
yx
x
2;
2
3
3;2:solucionesdosHay
22
11


yx
yx
Ejercicio nº 6.-
Resuelve e interpreta gráficamente:
532 x
Solución:
 Resolvemos la inecuación:
482532  xxx
   44/:Soluciones ,xx 
 La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 4, la
recta y  2x  3 queda por debajo de la recta y  5; es decir, 2x  3  5:
Ejercicio nº 1.-
Halla el valor de la siguiente expresión, utilizando la definición de
logaritmo:
18116 5
34 lnloglog 
Solución:
5
14
0
5
4
213418116 5
4
3
2
4
5
34  lnlogloglnloglog
Ejercicio nº 2.-
Halla y simplifica:
4
180
5a) 
28263b) 
12
12
c)


Solución:

8. 153535
2
5325
4
1805
4
180
5a) 22
2
22





774737227328263b) 22

  
  
223
12
2212
1212
1212
12
12
c) 








Ejercicio nº 3.-
Si sabemos que log k  0,9, calcula:
 klog
k
log 100
100
3

Solución:
    klogloglogklogklog
k
log 100100100
100
3
3
 21
1001003 klogloglogklog
 1002
2
5
2
1
10023 logklogkloglogklog
75142522290
2
5
,,, 
Ejercicio nº 4.-
Resuelve las ecuaciones:
03637a) 24
 xx
    2212b) lnxlnxln 
Solución:
03637a) 24
 xx
03637
:Cambio
2
242


zz
zxzx












1
36
2
3537
2
122537
2
144136937
z
z
z
1111
6363636
2
2


xxxz
xxxz
Hay cuatro soluciones: x1  6, x2  1, x3  1, x4  6
    2212b) lnxlnxln 
    221
2
lnxlnxln 
    2
2
1
2
2
1
22




x
x
ln
x
x
ln
  01241241 222
 xxxxxxx
1
2
2
2
442


x
Hay una única solución: x  1
Ejercicio nº 5.-
Obtén las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:






2
322
xy
xy
Solución:
3
2
2
3
2
3 2
222
22





 











 x
x
x
y
xy
xy
xy
430343
4 24242
2
 xxxxx
x
043:Cambio 22
 zzzx

9. 













valeno1
2444
2
53
2
253
2
1693
2
z
xxz
z
12
12


yx
yx
1;2
1;2:solucionesdosHay
22
11


yx
yx
Ejercicio nº 6.-
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
 
  




0913
0121
x
x
Solución:
 
  2
1
63
22
0933
0121
0913
0121

















x
x
x
x
x
x
x
x
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos
inecuaciones, es decir:
     21212y1 ,x/xxx 
Ejercicio nº 1.-
Calcula, utilizando la definición de logaritmo:







2
1
32343 2
127 logloglog
Solución:
2
9
1
2
5
3
2
1
27
2
1
32343
2
1
2
5
2
1 2
3
727 











 loglogloglogloglog
Ejercicio nº 2.-
Efectúa y simplifica:
50
98
3a) 
45280b) 
13
3
c)

Solución:
5
37
3
5
7
52
723
50
983
50
98
3a) 2
2






5256543525245280b) 24

 
   2
33
13
33
1313
133
13
3
c)









Ejercicio nº 3.-
Sabiendo que log 3  0,48, calcula sin utilizar la calculadora el
logaritmo en base 10 de cada uno de estos números:
5 9c)9b)30a)
Solución:
  48,1148,010310330a)  loglogloglog
96,048,023239b) 2
 logloglog
192,048,0
5
2
3
5
2
39c) 525  logloglog
Ejercicio nº 4.-
Halla las soluciones de las ecuaciones:

10. 22
6
3
3
1
4
5
a)
xx

    1231b)  xlogxlog
Solución:
2
2
2
22
2
2
22
49
4615
6415
12
6
12
4
12
15
6
3
3
1
4
5
a)
x
x
x
xx
x
x
xx














2
3
2
3
4
9
4
92
x
x
xx
2
3
;
2
3
:solucionesdosHay 21 

 xx
    1231xb)  xloglog
 2310110
23
1
1
23
1






xx
x
x
x
x
log
29
21
292120301  xxxx
Ejercicio nº 5.-
Obtén las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:






2
322
xy
xy
Solución:
3
2
2
3
2
3 2
222
22





 












x
x
x
y
xy
xy
xy
430343
4 24242
2
 xxxxx
x
043:Cambio 22
 zzzx














valeno1
2444
2
53
2
253
2
1693
2
z
xxz
z
12
12


yx
yx
1;2
1;2:solucionesdosHay
22
11


yx
yx
Ejercicio nº 6.-
Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación:
042
x
Solución:






2
2
4404 22
x
x
xxx
La parábola y  x2
 4 corta al eje X en x  2 y en x  2.
En el intervalo [2, 2] toma valores negativos o nulos. Por tanto, las
soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [2, 2]: