1. RESUM MATEMATIQUES PARCIAL I
TEMA 1
L’ESPAI EUCLIDEA
1. Operacions amb vectors
- Suma: se sumen els components.
- Producte per un escalar: es multiplica l’escalar per cadascun dels
components del vector.
- Producte escalar: es multiplica component per component i com a resultat
dóna un escalar.
- Calcular la norma:
( ) || || √
- Calcular la distància:
( ) ( ) ( ) ( )
- Vector ortogonal: a i b són ortogonals si el producte escalar és igual a 0
(ortogonal vol dir perpendicular).
2. Conjunts oberts i tancats
OBERTS
Un conjunt és obert si tots els punts són interiors i els punts frontera no s’inclouen. És
a dir, quan la restricció no estigui igualada com per exemple o bé
TANCATS
Un conjunt és tancat si tots els seus punts són frontera. És a dir, quan la restricció
estigui igualada sí serà tancat. Com per exemple: o bé
3. Conjunts fitats i compactes
Serà fitat si pot estar contingut en un cercle. Serà compacte si és tancat i fitat.

2. 4. Conjunts convexes
Serà convex si el segment de la recta que uneix dos punts qualsevols del conjunt està
contingut en aquest.
TEMA 2 MATRIUS
Les matrius són d’ordre (i x j) on i són les files i j les columnes.
Les operacions que podem realitzar amb matrius són:
- Suma: ( ) matriu del mateix ordre.
- Producte de matrius: sigui A i B es podran multiplicar sempre i quan A tingui
el mateix número de columnes que de files B. Per exemple:
No és commutatiu:
- Transposició: canviar les files per columnes.
1. Tipus de matrius
Distingim entre:
i. Matrius quadrades: mateix número de files que de columnes.
i. Simètriques.
ii. Triangular: per davant o sota la diagonal són tot zeros.
iii. Diagonal: per davant i sota de la diagonal són tot zeros.
iv. Identitat: la diagonal és tot 1 i la resta 0.
PROPIETATS DE LA TRANSPOSICIÓ
i. ( )
ii. ( )
iii. ( )
iv.
2. Determinants d’una matriu quadrada
- Si A té alguna fila o columna proporcional a auna altra, el determinant és 0.
- | | | |

3. - | | | | | |
CÀLCUL
Per a matrius d’ordre menor o igual a tres aplicarem la regla de Sarrus (anar
multiplicant les diagonals).
En canvi, per a matrius d’ordre superior a 3 aplicarem el càlcul d’adjunts. Vegem un
exemple:
| | | | | | | |
Atenció: en matriu triangular, el determinant és igual a multiplicar el nombres de la
diagonal.
- Si una matriu és molt gran, calcular els adjunts es pot fer molt pesat, per això
podem anar aplicant Gauss i buscar una fila de zeros.
3. Rang d’una matriu
Es pot calcular amb menors i operacions elementals entre files.
Menors: submatriu formada per elements comuns a K files i K columnes.
Operacions elementals: es poden intercanviar files, multiplicar per un escalar o bé
substituir una fila per ella mateixa.
EXEMPLE
Buscar el rang de:
( )
i. Buscarem la diagonal (en vermell).
ii. A posteriori buscarem una fila de zeros.
Vectors linealment dependents i independents: el nombre de vectors L.I. és igaul al
rang de la matriu formada per ells.
EXEMPLE II
Matriu amb una incògnita; estudiar el rang:
( )

4. | |
Si  Rang A =2
Ara bé, si a=1:
( )
Si a=-1:
( ) | |
Per tant tenim:
{
4. Sistemes d’equacions lineals
Els podem expressar en forma matricial com:
( ) ( ) ( )
La matriu ampliada definida com (A/b) vol dir que és la matriu A més els termes
independents (b).
4.1. Classificació
Les matrius les podem classificar com:
- Compatible  Existeix solució
o Determinat: existeix una solució per a cada incògnita.
o Indeterminat: infinites solucions. És quan usem paràmetres.
- Incompatible: no té solucions.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
Un sistema és compatible si i només si:
|

5. REGLA DE CRAMER
El determinant d’A és diferent a 0 aleshores el sistema té una única solució. Aplicarem:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
També ho podem resoldre mitjançant Gauss.
TEMA 3 FUNCIONS DE DIFERENTS
VARIABLES
Matriu associada a una funció lineal
Per exemple: ( ) ( ) ( )
CORBES DE NIVELL
Donada una funció, la igualarem a K per trobar les corbes de nivell, sent: ( )
Recorda les següents formes:
( )
( )
( ) ( ) ( ) √