SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 20
Downloaden Sie, um offline zu lesen
TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG OXY TRONG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
PHẦN THỨ NHẤT : NĂM 2013 - 2014
Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh
A(−1; 2) ; C(3; −2). Gọi E là trung điểm cạnh AD ; BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M
; N là trung điểm cạnh BM và P là giao điểm của AN và DM. Biết phương trình đường thẳng
BM : 2x − y − 4 = 0 .Tìm tọa độ đỉnh P.
Lời giải:
A B
C
D
E
M
N
P
I
- Phương trình EC đi qua C vuông góc với BM là: x + 2y + 1 = 0
- Tọa độ điểm M = EC ∩ BM là nghiệm của hệ
2x − y − 4 = 0
x + 2y + 1 = 0 ⇐⇒



x =
7
5
y = −
6
5
=⇒ M
7
5
; −
6
5
- Do N là trung điểm BM suy ra N
11
5
;
2
5
- Phương trình AN qua hai điểm A và N là x + 2y − 3 = 0
- Gọi I là tâm hình vuông suy ra I(1; 0). Phương trình BD qua I vuông góc với AC là x − y − 1 = 0
- Tọa độ B là nghiệm của hệ
2x − y − 4 = 0
x − y − 1 = 0 ⇐⇒
x = 3
y = 2 =⇒ B (3; 2)
- Do I là trung điểm BD suy ra tọa độ D (−1; −2)
- Phương trình DM qua D và M là x − 3y − 5 = 0
- Tọa độ P = DM ∩ AN là nghiệm của hệ
x − 3y − 5 = 0
x + 2y − 3 = 0 ⇐⇒



x =
19
5
y = −
2
5
=⇒ P
19
5
; −
2
5
Kết luận: Tọa độ điểm P
19
5
; −
2
5
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1http://megabook.vn
Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp
hình chữ nhật MNPQ. Biết các điểm M(−3; −1) và N(2; −1) thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AB và
P thuộc cạnh AC. Đường thẳng AB có phương trình x − y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
Lời giải:
A
CB M N
PQ
- Phương trình đường thẳng BC qua M và N là y + 1 = 0
- Tọa độ điểm B = AB ∩ BC là nghiệm của hệ
x − y + 5 = 0
y + 1 = 0 ⇐⇒
x = −6
y = −1 =⇒ B (−6; −1)
- Đường thẳng QM qua M vuông góc với BC có phương trình là x + 3 = 0
- Tọa độ Q = QM ∩ AB là nghiệm của hệ
x + 3 = 0
x − y + 5 = 0 ⇐⇒
x = −3
y = 2 =⇒ Q (−3; 2)
- Ta có
−−→
MN = (5; 0) ;
−−−→
QP = (xP + 3; yP − 2) =⇒
−−→
MN =
−−−→
QP ⇐⇒
xP = 2
yP = 2 =⇒ P (2; 2)
- Đường thẳng AC qua P vuông góc với AB là x + y − 4 = 0
- Tọa độ C = AC ∩ BC là nghiệm của hệ
x + y − 4 = 0
y + 1 = 0 ⇐⇒
x = 5
y = −1 =⇒ C (5; −1)
- Tọa độ A = AB ∩ AC là nghiệm của hệ
x + y − 4 = 0
x − y + 5 = 0 ⇐⇒



x = −
1
2
y =
9
2
=⇒ A −
1
2
;
9
2
Kết luận: Tọa độ các điểm A −
1
2
;
9
2
; B(−6; −1) ; C(5; −1) .
Bài toán 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x +
2y − 11 = 0 và đường thẳng (d) : 4x − 3y + 9 = 0. Gọi A; B lần lượt là hai điểm thuộc (d) và C là điểm
thuộc đường tròn (C). Biết điểm H
22
5
;
11
5
là một giao điểm của AC và (C) ( C = H) và điểm
K −
6
5
;
7
5
là trung điểm của AB. Tìm tọa độ các đỉnh A; B; C.
Lời giải:
2 http://megabook.vn
SAKIH = 24
A
d : 4x − 3y = −9
K
B
H
I
C
- Đường tròn (C) có tâm I(2; −1); bán kính R = 4.
- Tọa độ (d) ∩ (C) thỏa x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0
4x − 3y + 9 = 0
⇐⇒



x = −
6
5
y =
7
5
=⇒ (d) ∩ (C) = K −
6
5
;
7
5
- Ta có HK = 4
√
2 =⇒ HK2 = IH2 + IK2 = R2 + R2 =⇒ ∆IHK vuông tại I suy ra tứ giác AHIK là
hình thang vuông tại I và K.
=⇒ SAHIK =
(AH + IK) IH
2
= 24 ⇐⇒
(AH + R) R
2
= 24 =⇒ AH = 8
- Gọi A a;
3a + 9
3
∈ (d) =⇒ B −
12
5
− a;
14
5
−
3a + 9
3
.Ta có a +
6
5
2
+
4a
3
+ 3 −
7
5
2
= 8
⇐⇒ 5a2+12a−180 = 0 ⇐⇒ a =
18
5
a = −6
=⇒



A
18
5
;
39
5
→ B (−6; −5)
A (−6; −5) → B
18
5
;
39
5
(Loại do A; B khác phía với IK)
- Phương trình AC qua A và H là 7x + y − 33 = 0
- Tọa độ C = (C) ∩ AC thỏa x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0
7x + y − 33 = 0
⇐⇒



x =
26
5
y = −
17
5
=⇒ C
26
5
; −
17
5
Kết luận: Tọa độ các điểm A
18
5
;
39
5
; B (−6; −5) ; C
26
5
; −
17
5
.
Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho điểm A (1; 0) và các đường tròn
(C1) : x2 + y2 = 2; (C2) : x2 + y2 = 5 . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên (C1) và (C2)
để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
3http://megabook.vn
A
B
C
H
* Đầu tiên ta có nhận xét: để tam giác ABC có diện tích lớn nhất thì O phải là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh:
Giả sử CO không ⊥ AB thì ta luôn tìm được điểm C ∈ (C2) sao cho d(C , AB) lớn hơn d(C, AB), hay
S∆ABC lớn hơn S∆ABC → không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó CO ⊥ AB
-Tương tự ta cũng có BO ⊥ AC
Vậy O là trực tâm của tam giác ABC.Suy ra AO ⊥ BC ⇐⇒ xB = xC
Và ta giả sử B(t; b) ∈ (C1), C(t; c) ∈ (C2) (t, b, c ∈ R) thì ta có
t2 + b2 = 2
t2 + c2 = 5
⇐⇒
b2 = 2 − t2
c2 = 5 − t2
Mà CO ⊥ AB nên
−−−→
CO.
−−−→
AB = 0 hay t(t − 1) + bc = 0 suy ra b2c2 = t4 − 2t3 + t2
Do đó (2 − t2)(5 − t2) = t4 − 2t3 + t2 ⇐⇒ (t + 1)(2t2 − 10t + 10) ⇐⇒ t = −1; t =
5 +
√
5
2
; t =
5 −
√
5
2
Tới đây ta có: S∆ABC =
1
2
BC.d(A, BC) =
1
2
|xA − xB||yB − yC| =
1
2
|1 − t||b − c|
Suy ra S2
∆ABC =
1
4
(1 − t)2(b2 + c2 − 2bc) =
1
4
(1 − t)2((2 − t2) + (5 − t2) − 2(t − t2)) =
1
4
(1 − t)2(7 − 2t)
* Nếu t = −1 thì ta suy ra S2
∆ABC = 9 hay S∆ABC = 3
* Nếu t =
5 +
√
5
2
thì ta dễ thấy điều vô lí vì t2 + b2 = 2.
* Nếu t =
5 −
√
5
2
thì ta có S2
∆ABC =
√
5 − 1
8
< 9 → Loại.
Suy ra với t = −1 thì S∆ABC lớn nhất.
Và ta có



bc = −2
b2 = 1
c2 = 4
⇐⇒
b = 1
c = −2
∨
b = −1
c = 2
=⇒
B(−1; 1)
C(−1; −2)
∨
B(−1; −2)
C(−1; 2)
Kết luận: Với
B(−1; 1)
C(−1; −2)
∨
B(−1; −2)
C(−1; 2)
thì tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có A = 600.Trên
các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho MB + NB = AB.Biết P(
√
3; 1) thuộc đường thẳng DN
và đường phân giác trong của góc MDN có phương trình là d : x − y
√
3 + 6 = 0.Tìm toạ độ đỉnh D
của hình thoi ABCD.
Lời giải:
Từ giả thiết A = 600 =⇒ tam giác ABD, CBD là các tam giác đều.Theo đề bài ta có AM = BN, BM = CN.
Xét hai tam giác ADM và BDN ta có: DAM = DBN = 600,AD = BD, AM = BN ⇐⇒ hai tam giác
bằng nhau ⇐⇒ ADM = BDN (1).
Xét hai tam giác BMD và CND ta có: DBM = DCN = 600,CD = BD,CN = BM ⇐⇒ hai tam giác
bằng nhau ⇐⇒ NDC = MDB (2).
Từ (1) và (2) ⇐⇒ MDN = 600.
Gọi P là điểm đối xứng của P qua đường phân giác d =⇒ P thuộc đường thẳng DM
=⇒ tam giác PDP là tam giác đều. =⇒ DP = PP = 2d(P/d) = 6.
4 http://megabook.vn
Gọi D có tọa độ D a;
a + 6
√
3
. Ta có: PD2 = (a −
√
3)2 +
a + 6 −
√
3
√
3
2
= 36
⇐⇒ a = 3 +
√
3 ∨ a = −6 +
√
3 ⇐⇒ D(3 +
√
3; 1 + 3
√
3) ∨ D(−6 +
√
3; 1).
Kết luận: Tọa độ D(3 +
√
3; 1 + 3
√
3) ∨ D(−6 +
√
3; 1) thỏa mãn bài toán.
Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD , đỉnh B
thuộc đường thẳng d1 : 2x − y + 2 = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x − y − 5 = 0 .Gọi H là hình
chiếu của B xuống đường chéo AC . BiếtM
9
5
;
2
5
; K (9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD .
Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ đỉnh C lớn hơn 4.
Lời giải:
A
B C
D
H K
M
Gọi B(b; 2b + 2), C(c; c − 5), (c > 4) và E là điểm đối xứng với B qua C. Suy ra E(2c − b; 2c − 2b − 12).
Dễ dàng chứng minh được K là trung điểm của AE. Do đó,
−−−→
HE = 2
−−→
MK =
72
5
;
16
5
=⇒ H 2c − b −
72
5
; 2c − 2b −
76
5
.
Thiết lập tọa độ các vector
−−−→
CK = (9 − c; 7 + c),
−−−→
BC = (c − b; c − 2b − 7),
−−−→
BH = 2c − 2b −
72
5
; 2c − 4b −
86
5
,
−−→
MC = c −
9
5
; c −
27
5
.
Với giả thiết bài toán ta có hệ phương trình
−−−→
CK.
−−−→
BC = 0
−−−→
BH.
−−→
MC = 0
⇐⇒
−2c2 + 3bc + 23c − 23b − 49 = 0
4c2 − 6bc +
126
5
b − 46c +
594
5
= 0
⇐⇒
b = 1
c = 9 hoặc c = 4(loại)
Từ đó ta có B(1; 4), C(9; 4) . Vì K là trung điểm của CD nên suy ra D(9; 0) . Lại có C là trung điểm của
BE nên suy ra E(17; 4), và K là trung điểm của AE nên suy ra A(1; 0) .
Bài toán 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) :
x −
5
4
2
+ (y − 1)2
= 2 .Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B và C
thuộc đường tròn (C), các đỉnh A và D thuộc trục Ox.
5http://megabook.vn
A B
CD
(x − 1.25)2
+ (y − 1)2
= 2
Đường tròn (C) có tâm I
5
4
; 1 =⇒ ABCD nhận đường thẳng x =
5
4
là một trục đối xứng.
C ∈ Ox =⇒ C = (a; 0) =⇒ D = (
5
2
− a; 0) ; AD ⊥ Ox =⇒ A = (
5
2
− a; b) =⇒ B = (a; b)
=⇒ CD = |2a −
5
2
|; AD = |b| =⇒ |2a −
5
2
| = |b| ⇐⇒ b2 = 4(a −
5
4
)2 , (1)
Lại có A, B thuộc (C) =⇒ (a −
5
4
)2 + (b − 1)2 = 2 , (2)
Từ (1) và (2) =⇒ 5b2 − 8b − 4 = 0 ⇐⇒
b = 2
b = −
2
5
Với b = 2 =⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là:
1
4
; 2 ;
9
4
; 2 ;
9
4
; 0 ;
1
4
; 0 .
Với b = −
2
5
=⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là:
21
20
; −
2
5
;
29
20
; −
2
5
;
29
20
; 0 ;
21
20
; 0
.
Bài toán 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại
tiếp đường tròn (I) : (x − 5)2 + (y − 6)2 =
32
5
. Biết rằng các đường thẳng AC và AB lần lượt đi qua
các điểm M(7; 8) và N(6; 9). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD.
Lời giải:
A
B
C
D
I
M
N
Do là đường tròn nội tiếp hình thoi suy ra tâm trung với giao của hai đường chéo.
Dễ dàng suy raAC : 1 − y + 1 = 0. Gọi phương trình AB có hệ số góc k dạng y = k(x − 6) + 9.
Có d (I, AB) =
|3 − k|
√
k2 + 1
=
4
√
10
5
=⇒



k =
1
3
k = −
13
9
=⇒


AB : y =
x
3
+ 7
AB : y = −
13x
9
+
53
9
=⇒
A (9; 10) , C(1; 2)
A (2; 3) , C(8; 9)
6
Lời giải:
http://megabook.vn
Ta có BD : x + y − 11 = 0 =⇒


B (3; 8)
B −
23
2
;
45
2
=⇒


D (7; 4)
D
43
2
; −
21
2
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là


A (9; 10) ; B (3; 8) ; C (1; 2) ; D (7; 4)
A (2; 3) ; B −
23
2
;
45
2
; C (8; 9) ; D
43
2
; −
21
2
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán
kính bằng nhau và cắt nhau tại A(4; 2) và B. Một đường thẳng đi qua A và N(7; 3) cắt các đường tròn
(O1) và (O2) lần lượt tại D và C . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết rằng đường thẳng nối
tâm O1, O2 có phương trình x − y − 3 = 0 và diện tích tam giác BCD bằng
24
5
.
Lời giải:
Phương trình (AN) : x − 3y + 2 = 0.
Có O1O2 ⊥ AB =⇒ (AB) : x+y −6 = 0 =⇒ I
9
2
;
3
2
=⇒ B(5; 1) ( với I là giao điểm của AB va O1O2)
Do 2 đường tròn bán kính bằng nhau nên BDC = BCA( cùng chắn 1 cung AB)
Nên tam giác BDC cân.Kẻ BM vuông góc với DC suy ra (BM) : 3x + y − 16 = 0 hay M
23
5
;
11
5
Gọi D(3t − 2; t) =⇒ C
56
5
− 3t;
22
5
− t Có SBCD =
1
2
.d(B; (CD)).DC suy ra t = 1 ∨ t =
17
5
Với t = 1 thì D(1; 1); C
41
5
;
17
5
Với t =
17
5
thì C(1; 1); D
41
5
;
17
5
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là



B (5; 1) ; C
41
5
;
17
5
; D (1; 1)
B (5; 1) ; C (1; 1) ; D
41
5
;
17
5
Bài toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip có phương trình:
x2
8
+
y2
4
= 1 và điểm I(1; −1).
Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip tại hai điểm phân biệt A, B .Tìm tọa độ các điểm A, B sao cho độ
lớn của tích IA.IB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
c
I
A
B
a
b
Gọi I , A , B lần lượt là hình chiếu của I, A, B xuống trục hoành, khi đó theo tính chất của hình chiếu ta
suy ra IA.IB ≥ I A .I B , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB song song với trục hoành. Tương tự hạ hình
chiếu xuống trục tung, lập luận tương tự suy ra AB song song với trục tung.
Nhưng trong hai trường hợp này chỉ có một trường hợp thỏa mãn bài toán. Nhưng để ý I (1; −1) nằm trong
Lời giải: 7http://megabook.vn
Elip do
12
8
+
(−1)2
4
− 1 < 0 nên các hình chiếu trên đều nằm trong trục lớn hoặc trục bé của Elip, để ý
là trục lớn có độ dài lớn hơn nên đường thẳng AB cần tìm sẽ song song với trục bé, tức song song với trục tung.
Do AB song song với trục tung và qua I (1; −1) nên có phương trình là: x = 1 =⇒ A 1; −
7
2
, B 1;
7
2
.
Vậy hai điểm cần tìm là A 1; −
7
2
, B 1;
7
2
hoặc A 1;
7
2
, B 1; −
7
2
.
Bài toán 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (3; 5), B (1; 2),
C (6; 3). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A cắt BC sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm B, C đến ∆
là lớn nhất. Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm E (−1; 1) đồng thời cắt cả hai đường
thẳng ∆ và d1 : x − y + 14 = 0 lần lượt tại hai điểm H, K sao cho 3HK = IH
√
10 với I là giao điểm
của ∆ và d1 .
Lời giải:
−8. −6. −4. −2. 2. 4. 6.
−2.
2.
4.
6.
8.
0
A
B
C
E
d
f
Delta : 5x + y = 20
H
K
K
Hướng 1: Bằng phương pháp dựng hình cộng hưởng với việc tham số hóa đưa về giải tích. Ta có :
−−−→
BA = (2; 3),
−−−→
BC = (5; 1) =⇒
−−−→
BA ·
−−−→
BC = 2 · 5 + 1 · 3 = 13 > 0
Do đó : cos B > 0 =⇒ B nhọn.
Có :
−→
CA = (−3; 2),
−−−→
CB = (−5; −1) =⇒
−−−→
BA ·
−−−→
BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do đó : cos C > 0 =⇒ C nhọn. Kẻ
BP⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d(B,∆) = BP, d(C,∆) = CQ.
Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có : BP + CQ ≤ BD + DC = BC.
Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC.
Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có −→n ∆ =
−−−→
BC = (5; 1).
Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y − 20 = 0.
Vì I = ∆ ∩ d1 nên tọa độ điểm I thỏa :
5x + y − 20 = 0
x − y + 14 = 0
⇐⇒
x = 1
y = 15
Vậy I(1; 15). Xét điểm
M(4; 0) ∈ ∆, N(a, a + 14) ∈ d1 thỏa 3MN = IM
√
10.
Ta có :
−−→
MN = (4 − a, −a − 14),
−−−→
IM = (−3; 15). Nên từ :3MN = IM
√
10 ⇐⇒ 9 · 234 = 10 ·
(4 − a)2 + (a + 14)2 ⇐⇒ 18a2 + 180a − 432 = 0 ⇐⇒ a = 2 ∨ a = −12.
Mặt khác từ giả thiết ta có : 3HK = IH
√
10 nên ta có :
HK
IH
=
MN
IM
=⇒ HK MN.
Do đó đường thẳng d cần tìm đi qua E và song song với MN. Nên : −→a d =
−−→
MN = (4 − a; −a − 14).
Trường hợp 1 :a = 2 =⇒
−−→
MN = (2; −16). Lúc đó phương trình d :
x + 1
2
=
y − 1
−16
⇐⇒ 8x + y + 7 = 0.
Trường hợp 2 :a = −12 =⇒
−−→
MN = (16; −2).
Lúc đó phương trình d :
x + 1
16
=
y − 1
−2
⇐⇒ x + 8y − 7 = 0.
Hướng 2 : Sử dụng dựng hình và đại số hóa bài toán dưới dạng tọa độ các giao điểm.
Ta có :
−−−→
BA = (2; 3),
−−−→
BC = (5; 1) =⇒
−−−→
BA ·
−−−→
BC = 2 · 5 + 1 · 3 = 13 > 0
Do đó : cos B > 0 =⇒ B nhọn. Có :
−→
CA = (−3; 2),
−−−→
CB = (−5; −1) =⇒
−−−→
BA ·
−−−→
BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do
8 http://megabook.vn
đó : cos C > 0 =⇒ C nhọn.
Kẻ BP⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d(B,∆) = BP, d(C,∆) = CQ.
Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có :
BP + CQ ≤ BD + DC = BC
Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC.
Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có −→n ∆ =
−−−→
BC = (5; 1).
Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y − 20 = 0
Vì I = ∆ ∩ d1 nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình :
5x + y − 20 = 0
x − y + 14 = 0
⇐⇒
x = 1
y = 15
Vậy
I(1; 15).
Gọi d là đường thẳng đi qua E và có véc tơ pháp tuyến là −→n = (a, b). Khi đó phương trình đường thẳng
:d : a(x − 1) + b(y − 15) = 0 (a2 + b2 = 0).
Vì H = d ∩ ∆ nên tọa độ điểm H thỏa:
a(x − 1) + b(y − 15) = 0
5x + y − 20 = 0
⇐⇒



x =
19b + a
5b − a
y =
5(5a − b)
a − 5b
(a = 5b).
Lại có K = d∩d1 nên tọa độ điểm K thỏa :
a(x − 1) + b(y − 15) = 0
x − y + 14 = 0
⇐⇒



x =
−13b − a
b + a
y =
13b + a)
a + b
(a = −b)
Vậy K
−13b − a
b + a
;
13b + a)
a + b
. ;H
19b + a
5b − a
;
5(5a − b)
a − 5b
Từ điều kiện bài toán : 3HK = IH
√
10 ⇐⇒ 9HK2 = 10IH
⇐⇒
1296(a + 7b)2(a2 + b2)
(a − 5b)2(a + b)2
=
1040(a + 7b)2
(a − 5b)2
⇐⇒ (a + 7b)2(8a − b)(a − 8b) = 0 ⇐⇒
a = −7b
b = 8a
a = 8b
Trường hợp 1: a = −7b chọn a = 7, b = −1 =⇒ d : 7x − y − 8 = 0. Trường hợp này loại vì khi đó ba đường
thẳng d, d1, ∆ đều đồng quy tại điểm I.
Trường hợp 2 :a = 8b chọn a = 8, b = 1 =⇒ d : 8x + y + 7 = 0.
Trường hợp 3 : b = 8a chọn a = 1, b = 8 =⇒ d : x + 8y − 7 = 0.
Tóm lại ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8x + y + 7 = 0 ; x + 8y − 7 = 0
Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 6y − 6 = 0
và hai điểm B(5; 3), C(1; −1). Tìm tọa đọ đỉnh A; D của hình bình hành ABCD biết A thuộc đường
tròn (C) và trực tâm H của tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x + 2y + 1 = 0 và xH < 2.
Lời giải:
A BI
C
d
D
Đường tròn (C) có tâm I(1; 3). Nhận thấy ngay B; C đều cùng thuộc đường tròn (C).
Gọi E là giao điểm của AI và (C) suy ra tứ giác BHCE là hình bình hành.
Gọi M là trung điểm của BC suy ra tọa độ điểm M(3; 1).
Tham số hóa tọa độ điểm H(−1 − 2a; a) với a >
−3
2
. Do M là trung điểm của HE suy ra E(7 + 2a; 2 − a).
Lời giải: 9http://megabook.vn
Tọa độ điểm E lại thỏa mãn (C) nên ta có:
(7 + 2a)2
+ (2 − a)2
− 2 (7 + 2a) − 6 (2 − a) − 6 = 0
⇐⇒ 5a2 + 26a + 21 = 0 =⇒ a = −1 =⇒ E (5; 3)
Do điểm E và A đối xứng nhau qua tâm I nên suy ra A(−3; 3).
Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên
−−−→
AD =
−−−→
BC =⇒ D (−7; −1)
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là A(−3; 3), D(−7; −1) .
Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giacs ABC vuông tại A. gọi H là hình
chiếu của A lên BC. Tam giác ABH ngoại tiếp đường tròn (C) : x −
16
5
2
+ y −
33
5
2
=
36
25
. Tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ACH là I
26
5
;
23
5
. Tìm tọa độ trọng tâm G cua tam giác ABC.
Lời giải:
(C) có tâm K
16
5
;
33
5
và bán kính R =
6
5
. Trung điểm của IK là M
21
5
;
28
5
. Gọi D và L là hình chiếu
của K lên BC và AH.
Do AH⊥BC nên KDHL là hình vuông. Suy ra KH = R
√
2 =
6
√
2
5
.
Từ đó suy ra H thuộc đường tròn tâm K bán kính KH có phương trình: x −
16
5
2
+ y −
33
5
2
=
72
25
.
Mà AHK = AHI = 45o =⇒ IHK = 90o. Nên H thuộc đường tròn tâm M bán kính
KM =
21
5
−
16
5
2
+
28
5
−
33
5
2
=
√
2 có phương trình (C ) : x −
21
5
2
+ y −
28
5
2
= 2
.
Từ đó tìm được hai tọa độ điểm H thỏa mãn là H
74
25
;
123
25
và H
122
25
;
171
25
.
+) Trường hợp 1: H
74
25
;
123
25
. Phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm H là (d) : a x −
74
25
+
b y −
123
25
= 0 với (a2 + b2 = 1).
d (K, d) = R ⇐⇒ a
16
5
−
74
25
+ b
33
5
−
123
25
=
6
5
⇐⇒
6a
25
+
42b
25
=
6
5
⇐⇒
a
5
+
7b
5
= 1 ⇐⇒
a + 7b = 5
a + 7b = −5
Kết hợp a2 + b2 = 1 ta được



b =
4
5
=⇒ a = −
3
5
b =
3
5
=⇒ a =
4
5
Vậy có hai tiếp tuyến là



d1 : −
3
5
x −
74
25
+
4
5
y −
123
25
= 0 ⇐⇒ 15x − 20y + 54 = 0
d2 :
4
5
x −
74
25
+
3
5
y −
123
25
= 0 ⇐⇒ 20x + 15y + 133 = 0
Dễ thấy d1 cắt đoạn IK nên phương trình AH chính là phương trình của d1;
phương trình BC là phương trình của d2.
A thuộc d1 : 15x + 30 = 20y − 24 ⇐⇒
x + 2
4
=
y −
6
5
3
nên A −2 + 4t;
6
5
+ 3t .
−−−→
AK =
16
5
+ 2 − 4t;
33
5
−
6
5
− 3t =
26
5
− 4t;
27
5
− 3t ,
−→
AI =
26
5
+ 2 − 4t;
23
5
−
6
5
− 3t =
36
5
− 4t;
17
5
− 3t .
Dễ thấy IAK =
1
2
BAC = 45o nên
−−−→
AK.
−→
AI =
−−−→
AK .
−→
AI cos 45o ⇐⇒
26
5
− 4t
36
5
− 4t +
27
5
− 3t
17
5
− 3t =
26
5
− 4t
2
+
27
5
− 3t
2
.
36
5
− 4t
2
+
17
5
− 3t
2
.
√
2
2
10 http://megabook.vn
Suy ra tìm được tọa độ A (sao cho A, H nằm khác phía so với IK) Lại có ACH đồng dạng BAH nên
CH
AH
=
d (I, d)
R
= . . . suy ra tìm được CH.
Dùng hệ thức lượng để tính BH. Sau đó tìm các điểm B, C cuối cùng G.
+) Trường hợp 2: H
122
25
;
171
25
làm tương tự kết quả ra đẹp hơn. A(2; 3), B(2; 9), C(10; 3), G
14
3
; 5
Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn
(C) tâm I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại B; C; D cắt nhau tại M, N. Giả sử H(1; −1) là trực tâm tam
giác AMN. Tìm tọa độ các điểm A; M; N biết chu vi tam giác AMN bằng 18 + 4
√
10 và xM > 5.
Lời giải:
A
I
C
H
N M
D
B
Đường tròn (C) có tâm I là giao điểm của AC và BD suy ra AC vuông góc MN suy ra H thuộc AC.
Phương trình AC qua I và H là: x − 1 = 0, phương trình MN : y − c = 0.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì IN là phân giác góc DIC và IM là phân giác góc CIB.
Mặt khác DIC + CIB = 180o =⇒ IN ⊥ IM.
Gọi tọa độ các điểm M(m; c); N(n; c), A(1; a). Theo bài ra ta có hệ phương trình sau:
−−→
AM.
−−→
NH = 0
−→
IN.
−−−→
IM = 0
⇐⇒
(m − 1) (1 − n) + (c − a) (−1 − c) = 0
(m − 1) (n − 1) + (c − 2)2
= 0
=⇒ (c − 2)2
+ (c − a) (−1 − c) = 0
Tham số hóa C(1; c) ∈ MN suy ra A(1; 4 − c) =⇒ a + c = 4. Từ đó suy ra:
(c − 2)2
+ (c − 4 + c) (−1 − c) = 0 =⇒ c = −4, a = 8 =⇒ C (1; −4) ; A (1; 8) ; M (m; −4) ; N (n; −4)
Mà ta lai có chu vi tam giác AMN bằng 18 + 4
√
10 nên
(m − 1) (1 − n) = 36
(m − 1)2
+ 144 + [(m − 1) − (1 − n)]2
+ (1 − n)2
+ 144 = 28 + 4
√
10
⇐⇒
m − 1 = ±9; 1 − n = 4
m − 1 = 4; 1 − n = ±9
=⇒ M (10; −4) ; N (−3; −4)
Kết luận: Tọa độ các điểm cần tìm là A(1; 8); M(10; −4); N(−3; −4) .
Bài toán 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 4)2
+ y −
9
2
=
25
4
và
hai điểm A(2; 3), B(6; 6). Gọi M; N là hai điểm khác nhau nằm trên đường tròn (C) sao cho các đường
thẳng AM và BN cắt nhau tại H, AN và BM cắt nhau tại C. Tìm tọa độ điểm C biết H 4;
5
2
.
Lời giải:
11http://megabook.vn
H
C
A
B
M
N
I
Nhận thấy ngay A, B đề thuộc đường tròn (C) và AB = R =
5
2
nên AB là đường kính của đường tròn (C).
Từ đó ta suy ra được AH⊥BC, BH⊥AC suy ra H la trực tâm của tam giác ABC.
Đường thẳng AC qua A vuông góc với HB là 4x + 7y − 29 = 0.
Đường thẳng BC qua A vuông góc với AH là: −4x + y + 18 = 0.
Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình
4x + 7y − 29 = 0
−4x + y + 18 = 0 ⇐⇒



x =
155
32
y =
11
8
=⇒ C
155
32
;
11
8
Kết luận: Tọa độ điểm càn tìm là C
155
32
;
11
8
Bài toán 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M(3; 2) thuộc
BD. Từ M kẻ các đường thẳng ME; MF lần lượt vuông góc với AB tại E(3; 4) và AD tại F(−1; 2).Xác
định tọa độ điểm C của hình vuông.
Lời giải:
C
F
M
E
K
A B
D
Gọi K = FM ∩ BC. Ta có ME = 2; MF = 4 và FME = CKM suy ra CK = FM = 4; MK = ME = 2
Gọi K (xK; yK) ; C (xC; yC). ta có
−−→
MK =
MK
MF
−−→
FM =
1
2
−−→
FM =⇒ K (5; 2)
Lại có
−−−→
KC =
KC
ME
−−→
EM =
1
2
−−→
EM =⇒ C (5; −2).
Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là C(5; −2) .
12 http://megabook.vn
Bài toán 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C1) :
(x − 2)2
+ (y − 3)2
= 45 tâm I. Đường tròn (C2) có tâm K(−1; −3) cắt đường tròn (C1) theo một dây
cung song song với AC. Biết SAICK = 30
√
2 và chu vi tam giác ABC là 10
√
10. Tìm tọa độ A; B; C
biết điểm B có hoành độ âm.
Lời giải:
A
B
C
I
K
E
A
Đường tròn (C1) có tâm I(2; 3). Nhận thấy RC1 = IK = 3
√
5 và K ∈ (C1).
Gọi MN = (C1) ∩ (C2) suy ra MN⊥IK. Mà AC MN =⇒ AC⊥IK.
Do đó ta có: SAICK = 30
√
2 =⇒ AC = 4
√
10. Lại có AB + BC + CA = 10
√
10 =⇒ AC + BC = 6
√
10. (1)
Gọi AA là đường kính của (C1), E = IK ∩ AC suy ra IE =
1
2
A C =
1
2
√
AA 2 − AC2 =
√
5
Từ đó suy ra
−→
IK = 3
−→
IE =⇒ E (1; 1)
Phương trình AC qua E vuông góc IK là x + 2y − 3 = 0.
Tọa độ A và C là giao điểm của hệ gồm AC và (C1), suy ra A 1 − 4
√
2; 1 + 2
√
2 ; C 1 + 4
√
2; 1 − 2
√
2
Tọa độ B thỏa mãn hệ gồm (1) và (C1), suy ra B
7
2
− 3
√
3;
12 + 3
√
3
2
Kết luận: Tọa độ các đỉnh A 1 − 4
√
2; 1 + 2
√
2 ; C 1 + 4
√
2; 1 − 2
√
2 , B
7
2
− 3
√
3;
12 + 3
√
3
2
.
Bài toán 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh
AC : x + y − 3 = 0. Trên tia đổi của CA lấy điểm E. Phân giác trong góc BAC cắt BE tại D. Đường
thẳng d đi qua D song song với AB cắt BC tại F. Tìm tọa độ giao điểm M của AF và BE biết
AF : 2x + y − 5 = 0 và I(−1; −3) là trung điểm của DF
Lời giải:
Gọi P là trung điểm của BC, thực hiện dãy suy luận, ta có:
DF AB =⇒
AM
MF
=
PB
PF
=⇒
AM
MF
=
PC
PF
=⇒
AF
MF
=
FC
PF
=⇒ PM AC =⇒ PM EC =⇒ MB = ME
Kẻ đường thẳng MP ∩ AB = J, cắt (d) tại I . Ta có
I F
IB
=
I D
JA
=⇒ I trùng J
Từ đó, ta có PM qua trung điểm I của DF và M là giao điểm của PI và AF.
Kết luận: Tọa độ giao điểm cần tìm là M(9; −13).
Bài toán 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(2; 3), C(2; 7). Tìm điểm
A sao cho đường cao AH = 3r với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
13http://megabook.vn
Lời giải:
B
C
A
Do độ dài đường cao gấp ba lần bán kính đường tròn nội tiếp nên ta có:
2S
a
= 3
2S
a + b + c
=⇒ b + c = 2a
Gọi tọa độ điểm A(x; y). Như vậy thì
(x − 2)2
+ (y − 3)2
+ (x − 2)2
+ (y − 7)2
= 8
⇐⇒ 2 (x − 2)2
+ (y − 3)2
. (x − 2)2
+ (y − 7)2
= 64 − (x − 2)2
− (y − 7)2
− (x − 2)2
− (y − 3)2
⇐⇒ 4 (x − 2)2
+ (y − 3)2
. (x − 2)2
+ (y − 7)2
= (x − 2)2
+ y2 − 10y − 3
⇐⇒ 12x2 + 16y2 = 192 ⇐⇒
x2
16
+
y2
12
= 1
Kết luận: Vậy với mọi A ∈ (E) :
x2
16
+
y2
12
= 1 thì thỏa mãn yêu cầu
Bài toán 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4; 5), B(3; 0); C(2; 2). Gọi H; I lần
lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trung trực của AH cắt AB; AC tại
M; N. Phân giác trong góc IMN cắt AC tại P. Tính diện tích tam giác MNP biết yB > 0.
Lời giải:
A
B
C
H N
M
I
F
E
Viết phương trình đường cao kẻ từ 2 đỉnh bất kì và lấy giao, ta tìm được tọa độ trực tâm là H −
6
7
;
18
7
Phương trình trung trực của AH là 2x + y −
97
14
= 0
Viết phương trình AB, AC ta tìm được tọa độ M
307
98
;
65
98
, N
111
49
;
235
98
14 http://megabook.vn
Gọi F là trung điểm của BC là F
5
2
; 1 . Theo
−−−→
AH = 2
−−−→
IM =⇒ I
69
14
;
31
14
Nhận thấy phương trình phân giác góc IMN trùng với AB nên ta sẽ đi tính diện tích tam giác AMN.
Ta có: SAMN =
1
2
MN.d (A, MN) =
1
2
111
49
−
307
98
2
+
235
98
−
65
98
2
.
2.4 + 5 −
97
14
√
22 + 1
=
7225
2744
(đơn vị dt)
Kết luận: Diện tích tam giác MNP là SMNP =
7225
2744
Bài toán 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao
AH : 3x+2y −1 = 0, phân giác trong CK : 2x−y +5 = 0 và trung điểm M(2; −1) của cạnh AC. Gọi
CABC, SABC lần lượt là chu vi và diện tích tam giác ABC. Tính giá trị của 30CABC +
2013
3
√
SABC
Lời giải:
Diện tích của ABC = 101.43
A
C
B
22.68
18.03
11.37
Đặt C(c; 2c + 5); A a;
1 − 3a
2
. Ta có M(2; -1) là trung điểm của AC.
Dễ dàng tìm được a =
31
7
; c = −
3
7
=⇒ A
31
7
; −
43
7
; C
−3
7
;
29
7
.
Phương trình BC qua C và vuông góc với AH là 12x − 21y + 93 = 0.
Gọi B b;
2
3
b +
93
21
. Theo bài ta có dB;(CK) = dA;(CK) và A, B khác phía so với (CK). Ta tìm ra B
102
7
;
99
7
Bây giờ thì khá ổn rồi, bữa ăn cũng sắp xong rồi, có điều "món gà" "dai quá".
BC = 5
√
13; AB =
√
25205
3
; AC =
2
√
1585
3
; SABC =
710
7
.
Từ đó ta có biểu thức cần tính có giá trị là
476410
7
+ 710
√
5 + 150
√
13 + 20
√
1585
Bài toán 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 +y2 +4y +6y −3 = 0 và
điểm M(2; 1). Gọi A; B lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Tìm trực tâm
H của tam giác MAB.
Lời giải:
Gọi I là tâm của đường tròn (C). Từ đó ta có I(−2; −3), R = 4.
Ta có MI = 4
√
2. Từ đó suy ra MA = MB = 4 suy ra IAMB là hình vuông.
Khi đó ta có trực tâm H trùng với điểm M.
15http://megabook.vn
Kết luận: Trực tâm tam giác ABC là H(2; 1).
Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + 2 = 0 và hai đường
tròn có phương trình lần lượt là (C1) : (x − 1)2
+ (y − 1)2
= 1; (C2) : (x + 3)2
+ (y − 4)2
= 4. Hãy tìm
điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được lần lượt hai tiếp tuyến MA; MB (với A; B là tiếp
điểm) đến đường tròn (C1)và đường tròn (C2) đồng thời đường thẳng d là phân giác trong góc AMB.
Lời giải:
d
M
I1
I2
B
A
B
A
Tâm các đường tròn lần lượt là I1(1; 1), I2(−3; 4). Lấy đối xứng của đường thẳng MA qua OI1 thì dễ thấy
nó tiếp xúc với (C1) tại C.
Do tính chất đối xứng thì CM, d = BM, d , do đó MB tiếp xúc với (C1) tại C và (C2) tại B.
Chứng minh tương tự với MA, ta suy ra được M là tâm phép vị tự biến (C1) thành (C2) suy ra M ∈ I1I2.
Phương trình I1I2 là :3x + 4y − 7 = 0.
Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình
3x + 4y − 7 = 0
x − y + 2 = 0 ⇐⇒



x = −
1
7
y =
13
7
=⇒ M −
1
7
;
13
7
Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M −
1
7
;
13
7
.
Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có
A(1; 7), B(6; 2), C(2; −4), D(1; 1). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua C và chia tứ giác
thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Lời giải:
SAHCD = 14
SHBC = 14
A
B
C
D
H
16 http://megabook.vn
Từ giả thiết bài toán ta tính được SABCD = 28; SACD = 3; BC = 2
√
13 và phương trình AB : x + y − 8 = 0,
phương trình BC : 3x − 2y − 14 = 0.
*Trường hợp 1: Đường thẳng qua C cắt AD tại K suy ra SDCK ≤ SADC = 3 < 14 =
SABCD
2
Do đó trường hợp này không thỏa mãn.
*Trường hợp 2: Đường thẳng qua C cắt AB tại H, ta có SBCH =
1
2
BC.d (H; BC) = 14 =⇒ d (H; BC) =
14
√
13
Tham số hóa H(t; 8 − t), suy ra
|5t − 30|
√
13
=
14
√
13
=⇒



t =
44
5
t =
16
5
=⇒ t =
16
5
=⇒ H
16
5
;
24
5
(Do H thuộc đoạn AB)
Kết luận: Phương trình cần tìm đi qua C và H là 22x − 3y − 56 = 0.
Bài toán 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) : (x − 2)2
+ (y − 1)2
=
9; (C2) : (x + 1)2
+ (y − 5)2
= 4 tiếp xúc ngoài tại A. Tìm điểm B ∈ (C1) và C ∈ (C2) sao cho tam
giác ABC vuông tại A và có diện tích lớn nhất.
Lời giải:
SACB = 6
SAB C = 6
A
B
C
B
C
D
E
45o
45o
Gọi D, E lần lượt là tâm của (C1), (C2). Khi đó R1 = 3; R2 = 2. Có SABC =
1
2
AB.AC.
Xét
AB = 2AD cos BAD = 2AD cos α
AC = 2AE cos EAC = 2AE cos
π
2
− α = 2AE sin α
=⇒ SABC = 6 sin 2α ≤ 6 =⇒ SABCMax
= 6 ⇐⇒ α =
π
4
Phương trình AD : 4x + 3y − 11 = 0 suy ra AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra B −
2
5
; −
4
5
∨ B
22
5
;
14
5
Với B −
2
5
; −
4
5
ta được AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra AC : x + 7y − 24 = 0 suy ra C
−13
5
;
19
5
Với B
22
5
;
14
5
ta được AB : x + 7y − 24 = 0 suy ra AD : 7x − y + 2 = 0 suy ra C
3
5
;
31
5
.
Kết luận Vậy tọa độ các đỉnh cần tìm là B −
2
5
; −
4
5
, C −
13
5
;
19
5
∨ B
22
5
;
14
5
, C
3
5
;
31
5
.
Bài toán 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 25 và
B −
5
2
;
5
√
3
2
. Điểm C có hoành độ dương thuộc (C) sao cho BOC = 120o. Tìm M thuộc cung
nhỏ BC sao cho
1
MB
+
1
MC
đạt giá trị nhỏ nhất (M = B, C).
17http://megabook.vn
Lời giải:
c
O
B
C
120o
A
M
Theo đề bài ta có ngay C(5; 0) và B ∈ (C). gọi A đối xứng với B qua trục Ox thì A −
5
2
; −
−5
√
3
2
.
Không khó để ta nhận thấy tam giác ABC đều. Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có:
1
MB
+
1
MC
≥
4
MB + MC
Mà theo định lí Ptoleme cho tứ giác nội tiếp, ta được: MA.BC = MB.CA + AB + MC
Vì AB = BC = CA và M thuộc cung nhỏ BC nên: MB + MC = MA.
Do đó biểu thức đã cho nhỏ nhất khi MA lớn nhất, khi đó thì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC thỏa mãn
MB = MC.
Từ đó suy ra M đối xứng với A qua O nên suy ra M
5
2
;
5
√
3
2
Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M
5
2
;
5
√
3
2
Bài toán 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có I
3
2
;
1
16
và E(1; 0) lần
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (T) tiếp xúc với BC và các
cạnh AB; AC kéo sài có tâm là F(2; −8). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết yA < 0.
Lời giải:
A
B
C
IE
F
J
18 http://megabook.vn
Gọi J là giao của EF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Khi đó có BJ=EJ và ∆BEF vuông tại B suy
ra J là trung điểm EF.
Pt đường tròn ngoại tiếp ABC và EBC là





(I) : x −
3
2
2
+ y −
1
16
2
=
652
162
(J) : x −
3
2
2
+ (y + 4)2
=
65
4
Suy ra phương trình BC : y = −2 do đó B (5, −2) , C (−2, −2) và ngược lại.
Phương trình EF : 8x + y − 8 = 0 suy ra A
1
2
, 4
Kết luận: Tọa độ các đỉnh của tam giác là A
1
2
, 4 ; B (5, −2) , C (−2, −2) hoặc A
1
2
, 4 ; C (5, −2) , B (−2, −2)
Bài toán 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) thỏa mãn khoảng cách giữa hai đường
chuẩn của (E) bằng
8
√
3
3
, điểm M có tọa độ dương thuộc (E) sao cho độ lớn hai bán kính qua tiêu là
5
2
VÀ
3
2
. Tìm điểm N ∈ (E) sao cho MN =
√
37
6
và xN > 0.
Lời giải:
Giả sử (E) :
x2
a2
+
y2
b2
= 1, a > b > 0. Khoảng cách hai đường chuẩn là :
2a2
c
=
8
√
3
3
=⇒
a2
c
=
4
√
3
3
.
mathbf Ta có. MF1 = a +
c
a
xM > a −
c
a
xM = MF2 (xM > 0)
Suy ra



a +
c
a
xM =
5
2
a −
c
a
xM =
3
2
=⇒ a = 2 =⇒ c =
√
3, b = 1. Phương trình (E) : x2 + 4y2 = 4, M(
1
√
3
;
11
12
)
Gọi N(a; b) ∈ E. Khi đó ta có :



a2 + 4b2 = 4
a −
1
√
3
2
+ b +
11
12
2
=
37
36
=⇒



a =
8
3
√
3
b = −
√
33
9
=⇒ N
8
3
√
3
; −
√
33
9
Kết luận: Vậy tọa độ điểm cần tìm là N
8
3
√
3
; −
√
33
9
Bài toán 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng ∆1 : x − y + 2 = 0; ∆2 :
2x − y − 2 = 0; ∆3 : 2x + y − 2 = 0 và điểm E(4; 3). Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc ∆1,
cắt ∆2 tại A; B và ∆3 tại C; D sao cho AB + CD =
16
√
5
và tâm I thỏa mãn IO = 2IE, xI ∈ Z.
Lời giải:
Delta1
Delta2
Delta3
I
E
O
A
B
C
D
19http://megabook.vn
Tham số hóa I(a; a + 2) ∈ ∆1. Ta có:
IO = 2IE =⇒ a2
+(a + 2)2
= 4 (a − 4)2
+ (a − 1)2
⇐⇒ 6a2
−44a+54 = 0 ⇐⇒
a = 2
a =
16
3
=⇒ I (2; 4)
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB; CD suy ra IH = d (I; ∆2) =
2
√
5
; IK = (I; ∆3) =
6
√
5
Ta có: AB + CD =
16
√
5
⇐⇒ BH + CK =
8
√
5
⇐⇒ R2 −
36
5
+ R2 −
4
6
=
8
√
5
⇐⇒ R2 = 8
Kết luận: Phương trình đường tròn cần lập là (x − 2)2
+ (y − 4)2
= 8.
Bài toán 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy AB. Biết hai đỉnh
B(3; 3), C(5; −3). Giao điểm I của hai đường chéo thuộc 2x + y − 3 = 0. Gọi K là trung điểm của CD.
Tìm tọa độ các đỉnh A, D biết rằng IC = 2BI, tam giác IDK có diện tích rằng
8
5
và các điểm I, A
có hoành độ dương.
Lời giải:
SIKD = 1.6
B
C
D
I
A
K
2x + y = 3
Gọi I (a; 3 − 2a) ∈ ∆. Theo bài ra ta có:
IC = 2IB ⇐ (a − 5)2
+(6 − 2a)2
= 4(a − 3)2
+16a2
⇐⇒ 15a2
+10a−25 = 0 ⇐⇒
a = 1
a = −
5
3
=⇒ I (1; 1)
Phương trình đường thẳng BI : x − y = 0 và CI x + y − 2 = 0, IC = 4
√
2.
K là trung điểm của CD suy ra SICD = 2SIDK =
16
5
=
1
2
IC.d (D; IC) =⇒ d (D; IC) =
8
5
√
2
Tham số hóa D(d; d) ∈ BI. Suy ra
|2d − 2|
√
2
=
8
5
√
2
=⇒



d =
9
5
d =
1
5
=⇒



D
9
5
;
9
5
D
1
5
;
1
5
Với D
1
5
;
1
5
, phương trình AB : 16x + 24y − 120 = 0. Tọa độ A là giao của CI và AB suy ra A(−9, 11)
Với trường hợp còn lại, tương tự ta thấy không thỏa mãn.
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là D
9
5
;
9
5
; A(−9, 11)
Trong quá trình tổng hợp, chắc hẳn không tránh được sai xót, mong nhận được sự phản biện và góp ý thêm
của bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn tài liệu này.
20
Nguyễn Đình Huynh
http://megabook.vn

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương vào bài toán hình học phẳng
Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương vào bài toán hình học phẳng Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương vào bài toán hình học phẳng
Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương vào bài toán hình học phẳng Bui Loi
 
Phương Tích - Trục Đẳng Phương
Phương Tích - Trục Đẳng PhươngPhương Tích - Trục Đẳng Phương
Phương Tích - Trục Đẳng PhươngNhập Vân Long
 
Một số tính chất của vành giao hoán artin
Một số tính chất của vành giao hoán artinMột số tính chất của vành giao hoán artin
Một số tính chất của vành giao hoán artinNOT
 
Cac dinh-ly-hinhhocphang
Cac dinh-ly-hinhhocphangCac dinh-ly-hinhhocphang
Cac dinh-ly-hinhhocphanghonghoi
 
Cac dinh-ly-dong-quy copy
Cac dinh-ly-dong-quy copyCac dinh-ly-dong-quy copy
Cac dinh-ly-dong-quy copyThai An Nguyen
 
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGTHAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGDANAMATH
 
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhấtCác chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhấtBồi dưỡng Toán lớp 6
 
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnThế Giới Tinh Hoa
 
Hệ Hoán Vị Vòng Quanh
Hệ Hoán Vị Vòng QuanhHệ Hoán Vị Vòng Quanh
Hệ Hoán Vị Vòng QuanhNhập Vân Long
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyroggerbob
 
презентація аксіоми стереометрії.ppt
презентація аксіоми стереометрії.pptпрезентація аксіоми стереометрії.ppt
презентація аксіоми стереометрії.pptssuser908bb6
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelPTAnh SuperA
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa
 
Bai Tap Hinh Hoc Vi Phan (CoLoiGiai)
Bai Tap Hinh Hoc Vi Phan (CoLoiGiai)Bai Tap Hinh Hoc Vi Phan (CoLoiGiai)
Bai Tap Hinh Hoc Vi Phan (CoLoiGiai)Bui Loi
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ Jackson Linh
 
Bat dang thuc amgm
Bat dang thuc amgmBat dang thuc amgm
Bat dang thuc amgmHùng Sỹ
 

Was ist angesagt? (20)

Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương vào bài toán hình học phẳng
Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương vào bài toán hình học phẳng Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương vào bài toán hình học phẳng
Ứng dụng phương tích và trục đẳng phương vào bài toán hình học phẳng
 
Phương Tích - Trục Đẳng Phương
Phương Tích - Trục Đẳng PhươngPhương Tích - Trục Đẳng Phương
Phương Tích - Trục Đẳng Phương
 
Một số tính chất của vành giao hoán artin
Một số tính chất của vành giao hoán artinMột số tính chất của vành giao hoán artin
Một số tính chất của vành giao hoán artin
 
Luận văn: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, HOT, 9đ
Luận văn: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, HOT, 9đLuận văn: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, HOT, 9đ
Luận văn: Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, HOT, 9đ
 
Cac dinh-ly-hinhhocphang
Cac dinh-ly-hinhhocphangCac dinh-ly-hinhhocphang
Cac dinh-ly-hinhhocphang
 
Phương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thứcPhương trình hàm đa thức
Phương trình hàm đa thức
 
Cac dinh-ly-dong-quy copy
Cac dinh-ly-dong-quy copyCac dinh-ly-dong-quy copy
Cac dinh-ly-dong-quy copy
 
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGTHAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
 
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhấtCác chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất
 
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩnBộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
Bộ sưu tập bất đẳng thức của võ quốc bá cẩn
 
Bất đẳng thức hình học
Bất đẳng thức hình họcBất đẳng thức hình học
Bất đẳng thức hình học
 
Hệ Hoán Vị Vòng Quanh
Hệ Hoán Vị Vòng QuanhHệ Hoán Vị Vòng Quanh
Hệ Hoán Vị Vòng Quanh
 
Sử Dụng Hàng Điểm Điều Hòa Trong Giải Toán Hình Học Phẳng.doc
Sử Dụng Hàng Điểm Điều Hòa Trong Giải Toán Hình Học Phẳng.docSử Dụng Hàng Điểm Điều Hòa Trong Giải Toán Hình Học Phẳng.doc
Sử Dụng Hàng Điểm Điều Hòa Trong Giải Toán Hình Học Phẳng.doc
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
 
презентація аксіоми стереометрії.ppt
презентація аксіоми стереометрії.pptпрезентація аксіоми стереометрії.ppt
презентація аксіоми стереометрії.ppt
 
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engelBat dang thuc cauchy schawrz dang engel
Bat dang thuc cauchy schawrz dang engel
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
 
Bai Tap Hinh Hoc Vi Phan (CoLoiGiai)
Bai Tap Hinh Hoc Vi Phan (CoLoiGiai)Bai Tap Hinh Hoc Vi Phan (CoLoiGiai)
Bai Tap Hinh Hoc Vi Phan (CoLoiGiai)
 
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ
 
Bat dang thuc amgm
Bat dang thuc amgmBat dang thuc amgm
Bat dang thuc amgm
 

Andere mochten auch

200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)
200 bai tap hinh hoc toa do phang   tran si tung (2)200 bai tap hinh hoc toa do phang   tran si tung (2)
200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)Song Tử Mắt Nâu
 
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)Ty Luong
 
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGGIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGDANAMATH
 
Hình giải tích 12 1đ
Hình giải tích 12   1đHình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12 1đQuốc Nguyễn
 
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMPHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMDANAMATH
 
Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
 Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ... Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...Thùy Linh
 
bộ đề+ đáp án đề thi học sinh giỏi hình học 8
bộ đề+ đáp án đề thi học sinh giỏi hình học 8bộ đề+ đáp án đề thi học sinh giỏi hình học 8
bộ đề+ đáp án đề thi học sinh giỏi hình học 8Jackson Linh
 
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
200 Bài toán hình học tọa độ phẳngtuituhoc
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠDANAMATH
 
110 bài hình học về phương trình đường thẳng
110 bài hình học về phương trình đường thẳng 110 bài hình học về phương trình đường thẳng
110 bài hình học về phương trình đường thẳng Hades0510
 
Bài toán cực trị trong hình học giải tích
Bài toán cực trị trong hình học giải tíchBài toán cực trị trong hình học giải tích
Bài toán cực trị trong hình học giải tíchMinh Thắng Trần
 
200 Bài toán hình học tọa độ không gian
200 Bài toán hình học tọa độ không gian200 Bài toán hình học tọa độ không gian
200 Bài toán hình học tọa độ không giantuituhoc
 
[Www.toan capba.net] bài tập phuong phap toa do trong khong gian
[Www.toan capba.net] bài tập phuong phap toa do trong khong gian[Www.toan capba.net] bài tập phuong phap toa do trong khong gian
[Www.toan capba.net] bài tập phuong phap toa do trong khong giankasinlo
 
Chuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng
Chuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto và ứng dụngChuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng
Chuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto và ứng dụngphamchidac
 
14 đề thi thử kì thi Quốc gia 2015 có đáp án
14 đề thi thử kì thi Quốc gia 2015 có đáp án14 đề thi thử kì thi Quốc gia 2015 có đáp án
14 đề thi thử kì thi Quốc gia 2015 có đáp ánTôi Học Tốt
 
100 Bài tập Hình học phẳng Oxy từ các trường danh tiếng - Megabook.vn
100 Bài tập Hình học phẳng Oxy từ các trường danh tiếng - Megabook.vn100 Bài tập Hình học phẳng Oxy từ các trường danh tiếng - Megabook.vn
100 Bài tập Hình học phẳng Oxy từ các trường danh tiếng - Megabook.vnMegabook
 
đề Và đáp án thi thử cvp truonghocso.com
đề Và đáp án thi thử cvp   truonghocso.comđề Và đáp án thi thử cvp   truonghocso.com
đề Và đáp án thi thử cvp truonghocso.comThế Giới Tinh Hoa
 
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10BOIDUONGTOAN.COM
 
Một số bt về đường thẳng, mp
Một số bt về đường thẳng, mpMột số bt về đường thẳng, mp
Một số bt về đường thẳng, mpntquangbs
 
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm số
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm sốCác bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm số
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm sốtuituhoc
 

Andere mochten auch (20)

200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)
200 bai tap hinh hoc toa do phang   tran si tung (2)200 bai tap hinh hoc toa do phang   tran si tung (2)
200 bai tap hinh hoc toa do phang tran si tung (2)
 
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
Cac dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-bt-phuong-trinh-duong-thang (2)
 
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNGGIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GIẢI TAM GIÁC TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
 
Hình giải tích 12 1đ
Hình giải tích 12   1đHình giải tích 12   1đ
Hình giải tích 12 1đ
 
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂMPHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
 
Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
 Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ... Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
Tổng hợp các dạng toán về phương trình đường thẳng trong các đề thi (có lời ...
 
bộ đề+ đáp án đề thi học sinh giỏi hình học 8
bộ đề+ đáp án đề thi học sinh giỏi hình học 8bộ đề+ đáp án đề thi học sinh giỏi hình học 8
bộ đề+ đáp án đề thi học sinh giỏi hình học 8
 
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
200 Bài toán hình học tọa độ phẳng
 
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠCHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
CHUYÊN ĐỀ :TỌA ĐỘ PHẲNG - PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
 
110 bài hình học về phương trình đường thẳng
110 bài hình học về phương trình đường thẳng 110 bài hình học về phương trình đường thẳng
110 bài hình học về phương trình đường thẳng
 
Bài toán cực trị trong hình học giải tích
Bài toán cực trị trong hình học giải tíchBài toán cực trị trong hình học giải tích
Bài toán cực trị trong hình học giải tích
 
200 Bài toán hình học tọa độ không gian
200 Bài toán hình học tọa độ không gian200 Bài toán hình học tọa độ không gian
200 Bài toán hình học tọa độ không gian
 
[Www.toan capba.net] bài tập phuong phap toa do trong khong gian
[Www.toan capba.net] bài tập phuong phap toa do trong khong gian[Www.toan capba.net] bài tập phuong phap toa do trong khong gian
[Www.toan capba.net] bài tập phuong phap toa do trong khong gian
 
Chuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng
Chuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto và ứng dụngChuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng
Chuyên đề 2 tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng
 
14 đề thi thử kì thi Quốc gia 2015 có đáp án
14 đề thi thử kì thi Quốc gia 2015 có đáp án14 đề thi thử kì thi Quốc gia 2015 có đáp án
14 đề thi thử kì thi Quốc gia 2015 có đáp án
 
100 Bài tập Hình học phẳng Oxy từ các trường danh tiếng - Megabook.vn
100 Bài tập Hình học phẳng Oxy từ các trường danh tiếng - Megabook.vn100 Bài tập Hình học phẳng Oxy từ các trường danh tiếng - Megabook.vn
100 Bài tập Hình học phẳng Oxy từ các trường danh tiếng - Megabook.vn
 
đề Và đáp án thi thử cvp truonghocso.com
đề Và đáp án thi thử cvp   truonghocso.comđề Và đáp án thi thử cvp   truonghocso.com
đề Và đáp án thi thử cvp truonghocso.com
 
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
Tuyển tập các bài Toán Hình học lớp 9 ôn thi vào 10
 
Một số bt về đường thẳng, mp
Một số bt về đường thẳng, mpMột số bt về đường thẳng, mp
Một số bt về đường thẳng, mp
 
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm số
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm sốCác bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm số
Các bài toán liên quan đến tam giác trong khảo sát hàm số
 

Ähnlich wie [Phần 1] Tuyển tập các bài hình giải tích phẳng Oxy trong đề thi thử ĐH (2013-2014) - Megabook.vn

[Nguoithay.org ] tong hop bai giang ve duong thang trong oxy
[Nguoithay.org ] tong hop bai giang ve duong thang trong oxy[Nguoithay.org ] tong hop bai giang ve duong thang trong oxy
[Nguoithay.org ] tong hop bai giang ve duong thang trong oxyDuc Tam
 
Ôn Thi Đại Học 2015 (Tọa độ mặt phẳng)
Ôn Thi Đại Học 2015 (Tọa độ mặt phẳng)Ôn Thi Đại Học 2015 (Tọa độ mặt phẳng)
Ôn Thi Đại Học 2015 (Tọa độ mặt phẳng)Phạm Lộc
 
15 bai toan_boi_duong_hsg_toan_l8_8383
15 bai toan_boi_duong_hsg_toan_l8_838315 bai toan_boi_duong_hsg_toan_l8_8383
15 bai toan_boi_duong_hsg_toan_l8_8383Manh Tranduongquoc
 
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳngChuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳngphamchidac
 
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳngChuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳngphamchidac
 
Oxy va bat pt tang hs thay hung dz.
Oxy va bat pt tang hs thay hung dz.Oxy va bat pt tang hs thay hung dz.
Oxy va bat pt tang hs thay hung dz.nam nam
 
03 bai toan giai tam giac p2..
03 bai toan giai tam giac p2..03 bai toan giai tam giac p2..
03 bai toan giai tam giac p2..nam nam
 
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/Vui Lên Bạn Nhé
 
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/Vui Lên Bạn Nhé
 
24hchiase.com toadophang
24hchiase.com toadophang24hchiase.com toadophang
24hchiase.com toadophanggadaubac2003
 
Toan pt.de069.2012
Toan pt.de069.2012Toan pt.de069.2012
Toan pt.de069.2012BẢO Hí
 
Toan pt.de094.2011
Toan pt.de094.2011Toan pt.de094.2011
Toan pt.de094.2011BẢO Hí
 
De cuong on tap toan 9
De cuong on tap toan 9De cuong on tap toan 9
De cuong on tap toan 9Hung Anh
 
39 đề luyện thi học sinh giỏi toán 9
39 đề luyện thi học sinh giỏi toán 939 đề luyện thi học sinh giỏi toán 9
39 đề luyện thi học sinh giỏi toán 9Jackson Linh
 
đE thi thu lan 1 2014-toan thay tam
đE thi thu lan 1 2014-toan thay tamđE thi thu lan 1 2014-toan thay tam
đE thi thu lan 1 2014-toan thay tamHồng Nguyễn
 
00 de thi dac biet 2015 free
00 de thi dac biet 2015 free00 de thi dac biet 2015 free
00 de thi dac biet 2015 freeVân Lisa
 
Toan pt.de009.2010
Toan pt.de009.2010Toan pt.de009.2010
Toan pt.de009.2010BẢO Hí
 

Ähnlich wie [Phần 1] Tuyển tập các bài hình giải tích phẳng Oxy trong đề thi thử ĐH (2013-2014) - Megabook.vn (20)

[Nguoithay.org ] tong hop bai giang ve duong thang trong oxy
[Nguoithay.org ] tong hop bai giang ve duong thang trong oxy[Nguoithay.org ] tong hop bai giang ve duong thang trong oxy
[Nguoithay.org ] tong hop bai giang ve duong thang trong oxy
 
Ôn Thi Đại Học 2015 (Tọa độ mặt phẳng)
Ôn Thi Đại Học 2015 (Tọa độ mặt phẳng)Ôn Thi Đại Học 2015 (Tọa độ mặt phẳng)
Ôn Thi Đại Học 2015 (Tọa độ mặt phẳng)
 
15 bai toan_boi_duong_hsg_toan_l8_8383
15 bai toan_boi_duong_hsg_toan_l8_838315 bai toan_boi_duong_hsg_toan_l8_8383
15 bai toan_boi_duong_hsg_toan_l8_8383
 
288ehq h9
288ehq h9288ehq h9
288ehq h9
 
Hinh chuong3
Hinh chuong3Hinh chuong3
Hinh chuong3
 
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳngChuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
 
Hinh chuong3
Hinh chuong3Hinh chuong3
Hinh chuong3
 
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳngChuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chuyên đề 3 phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
 
Oxy va bat pt tang hs thay hung dz.
Oxy va bat pt tang hs thay hung dz.Oxy va bat pt tang hs thay hung dz.
Oxy va bat pt tang hs thay hung dz.
 
03 bai toan giai tam giac p2..
03 bai toan giai tam giac p2..03 bai toan giai tam giac p2..
03 bai toan giai tam giac p2..
 
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
 
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
 
24hchiase.com toadophang
24hchiase.com toadophang24hchiase.com toadophang
24hchiase.com toadophang
 
Toan pt.de069.2012
Toan pt.de069.2012Toan pt.de069.2012
Toan pt.de069.2012
 
Toan pt.de094.2011
Toan pt.de094.2011Toan pt.de094.2011
Toan pt.de094.2011
 
De cuong on tap toan 9
De cuong on tap toan 9De cuong on tap toan 9
De cuong on tap toan 9
 
39 đề luyện thi học sinh giỏi toán 9
39 đề luyện thi học sinh giỏi toán 939 đề luyện thi học sinh giỏi toán 9
39 đề luyện thi học sinh giỏi toán 9
 
đE thi thu lan 1 2014-toan thay tam
đE thi thu lan 1 2014-toan thay tamđE thi thu lan 1 2014-toan thay tam
đE thi thu lan 1 2014-toan thay tam
 
00 de thi dac biet 2015 free
00 de thi dac biet 2015 free00 de thi dac biet 2015 free
00 de thi dac biet 2015 free
 
Toan pt.de009.2010
Toan pt.de009.2010Toan pt.de009.2010
Toan pt.de009.2010
 

Mehr von Megabook

Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Toán Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Toán Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Toán Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Toán Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnMegabook
 
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Sinh Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Sinh Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Sinh Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Sinh Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnMegabook
 
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Vật Lí THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Vật Lí THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Vật Lí THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Vật Lí THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnMegabook
 
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Hóa Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Hóa Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Hóa Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Hóa Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnMegabook
 
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Tiếng Anh THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Tiếng Anh THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Tiếng Anh THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Tiếng Anh THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnMegabook
 
[Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
 [Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn [Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
[Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vnMegabook
 
Tổng hợp lý thuyết Hóa học siêu dễ nhớ - Megabook.vn
Tổng hợp lý thuyết Hóa học siêu dễ nhớ - Megabook.vnTổng hợp lý thuyết Hóa học siêu dễ nhớ - Megabook.vn
Tổng hợp lý thuyết Hóa học siêu dễ nhớ - Megabook.vnMegabook
 
Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phư...
Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phư...Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phư...
Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phư...Megabook
 
10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vnMegabook
 
7 Dạng toán chinh phục bài tập di truyền môn Sinh học - Megabook.vn
7 Dạng toán chinh phục bài tập di truyền môn Sinh học - Megabook.vn7 Dạng toán chinh phục bài tập di truyền môn Sinh học - Megabook.vn
7 Dạng toán chinh phục bài tập di truyền môn Sinh học - Megabook.vnMegabook
 
[Phần 3] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 3] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...[Phần 3] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 3] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...Megabook
 
[Phần 1] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 1] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...[Phần 1] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 1] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...Megabook
 
[Phần 2] Tuyển tập 35 công thức giải nhanh bài tập Hóa học vô cơ - Megabook.vn
[Phần 2] Tuyển tập 35 công thức giải nhanh bài tập Hóa học vô cơ - Megabook.vn[Phần 2] Tuyển tập 35 công thức giải nhanh bài tập Hóa học vô cơ - Megabook.vn
[Phần 2] Tuyển tập 35 công thức giải nhanh bài tập Hóa học vô cơ - Megabook.vnMegabook
 
[Phần 2] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 2] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...[Phần 2] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 2] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...Megabook
 
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT Chu Văn An Hà Nội lần 3 năm 2015 - Megabook.vn
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT Chu Văn An Hà Nội lần 3 năm 2015 - Megabook.vn Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT Chu Văn An Hà Nội lần 3 năm 2015 - Megabook.vn
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT Chu Văn An Hà Nội lần 3 năm 2015 - Megabook.vn Megabook
 
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội lần 1 năm 2014 - M...
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội lần 1 năm 2014  - M...Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội lần 1 năm 2014  - M...
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội lần 1 năm 2014 - M...Megabook
 
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 3 - Megabook.vn
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 3  - Megabook.vnChuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 3  - Megabook.vn
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 3 - Megabook.vnMegabook
 
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 2 - Megabook.vn
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 2 - Megabook.vn Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 2 - Megabook.vn
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 2 - Megabook.vn Megabook
 
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vnTuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vnMegabook
 
Tập 7 chuyên đề Toán học: Số phức - Megabook.vn
Tập 7 chuyên đề Toán học: Số phức - Megabook.vnTập 7 chuyên đề Toán học: Số phức - Megabook.vn
Tập 7 chuyên đề Toán học: Số phức - Megabook.vnMegabook
 

Mehr von Megabook (20)

Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Toán Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Toán Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Toán Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Toán Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
 
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Sinh Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Sinh Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Sinh Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Sinh Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
 
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Vật Lí THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Vật Lí THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Vật Lí THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Vật Lí THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
 
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Hóa Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Hóa Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Hóa Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Hóa Học THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
 
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Tiếng Anh THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Tiếng Anh THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vnĐáp Án Siêu Chi Tiết Môn Tiếng Anh THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
Đáp Án Siêu Chi Tiết Môn Tiếng Anh THPT Quốc Gia 2016 - Megabook.vn
 
[Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
 [Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn [Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
[Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
 
Tổng hợp lý thuyết Hóa học siêu dễ nhớ - Megabook.vn
Tổng hợp lý thuyết Hóa học siêu dễ nhớ - Megabook.vnTổng hợp lý thuyết Hóa học siêu dễ nhớ - Megabook.vn
Tổng hợp lý thuyết Hóa học siêu dễ nhớ - Megabook.vn
 
Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phư...
Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phư...Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phư...
Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phư...
 
10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn
 
7 Dạng toán chinh phục bài tập di truyền môn Sinh học - Megabook.vn
7 Dạng toán chinh phục bài tập di truyền môn Sinh học - Megabook.vn7 Dạng toán chinh phục bài tập di truyền môn Sinh học - Megabook.vn
7 Dạng toán chinh phục bài tập di truyền môn Sinh học - Megabook.vn
 
[Phần 3] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 3] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...[Phần 3] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 3] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
 
[Phần 1] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 1] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...[Phần 1] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 1] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
 
[Phần 2] Tuyển tập 35 công thức giải nhanh bài tập Hóa học vô cơ - Megabook.vn
[Phần 2] Tuyển tập 35 công thức giải nhanh bài tập Hóa học vô cơ - Megabook.vn[Phần 2] Tuyển tập 35 công thức giải nhanh bài tập Hóa học vô cơ - Megabook.vn
[Phần 2] Tuyển tập 35 công thức giải nhanh bài tập Hóa học vô cơ - Megabook.vn
 
[Phần 2] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 2] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...[Phần 2] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
[Phần 2] 10 Bí quyết chinh phục phương pháp giải toán chủ chốt môn Hóa học - ...
 
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT Chu Văn An Hà Nội lần 3 năm 2015 - Megabook.vn
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT Chu Văn An Hà Nội lần 3 năm 2015 - Megabook.vn Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT Chu Văn An Hà Nội lần 3 năm 2015 - Megabook.vn
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT Chu Văn An Hà Nội lần 3 năm 2015 - Megabook.vn
 
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội lần 1 năm 2014 - M...
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội lần 1 năm 2014  - M...Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội lần 1 năm 2014  - M...
Đề thi thử Tiếng Anh trường THPT chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội lần 1 năm 2014 - M...
 
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 3 - Megabook.vn
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 3  - Megabook.vnChuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 3  - Megabook.vn
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 3 - Megabook.vn
 
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 2 - Megabook.vn
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 2 - Megabook.vn Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 2 - Megabook.vn
Chuyên đề Ngữ pháp Tiếng Anh 50 câu lần 2 - Megabook.vn
 
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vnTuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
 
Tập 7 chuyên đề Toán học: Số phức - Megabook.vn
Tập 7 chuyên đề Toán học: Số phức - Megabook.vnTập 7 chuyên đề Toán học: Số phức - Megabook.vn
Tập 7 chuyên đề Toán học: Số phức - Megabook.vn
 

Kürzlich hochgeladen

GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Đề ôn thi VIOEDU lớp 1 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 1 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Đề ôn thi VIOEDU lớp 1 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 1 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC + TÁCH ĐỀ + ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM...
BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC + TÁCH ĐỀ + ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM...BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC + TÁCH ĐỀ + ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM...
BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC + TÁCH ĐỀ + ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách KhoaTài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách KhoaKhiNguynCngtyTNHH
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...Nguyen Thanh Tu Collection
 
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdfKế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdfhotmail305
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...Nguyen Thanh Tu Collection
 
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minhtrò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minhNguynHuTh6
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN MÔN TIẾNG A...
GIÁO TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN MÔN TIẾNG A...GIÁO TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN MÔN TIẾNG A...
GIÁO TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN MÔN TIẾNG A...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...Nguyen Thanh Tu Collection
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...Nguyen Thanh Tu Collection
 

Kürzlich hochgeladen (17)

GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
 
Đề ôn thi VIOEDU lớp 1 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 1 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Đề ôn thi VIOEDU lớp 1 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 1 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
 
BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC + TÁCH ĐỀ + ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM...
BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC + TÁCH ĐỀ + ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM...BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC + TÁCH ĐỀ + ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM...
BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC + TÁCH ĐỀ + ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM...
 
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách KhoaTài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
 
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
 
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
 
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdfKế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
 
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minhtrò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
 
GIÁO TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN MÔN TIẾNG A...
GIÁO TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN MÔN TIẾNG A...GIÁO TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN MÔN TIẾNG A...
GIÁO TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS VÀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN MÔN TIẾNG A...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
 
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
 
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
30 ĐỀ PHÁT TRIỂN THEO CẤU TRÚC ĐỀ MINH HỌA BGD NGÀY 22-3-2024 KỲ THI TỐT NGHI...
 

[Phần 1] Tuyển tập các bài hình giải tích phẳng Oxy trong đề thi thử ĐH (2013-2014) - Megabook.vn

  • 1. TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG OXY TRONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC PHẦN THỨ NHẤT : NĂM 2013 - 2014 Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh A(−1; 2) ; C(3; −2). Gọi E là trung điểm cạnh AD ; BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M ; N là trung điểm cạnh BM và P là giao điểm của AN và DM. Biết phương trình đường thẳng BM : 2x − y − 4 = 0 .Tìm tọa độ đỉnh P. Lời giải: A B C D E M N P I - Phương trình EC đi qua C vuông góc với BM là: x + 2y + 1 = 0 - Tọa độ điểm M = EC ∩ BM là nghiệm của hệ 2x − y − 4 = 0 x + 2y + 1 = 0 ⇐⇒    x = 7 5 y = − 6 5 =⇒ M 7 5 ; − 6 5 - Do N là trung điểm BM suy ra N 11 5 ; 2 5 - Phương trình AN qua hai điểm A và N là x + 2y − 3 = 0 - Gọi I là tâm hình vuông suy ra I(1; 0). Phương trình BD qua I vuông góc với AC là x − y − 1 = 0 - Tọa độ B là nghiệm của hệ 2x − y − 4 = 0 x − y − 1 = 0 ⇐⇒ x = 3 y = 2 =⇒ B (3; 2) - Do I là trung điểm BD suy ra tọa độ D (−1; −2) - Phương trình DM qua D và M là x − 3y − 5 = 0 - Tọa độ P = DM ∩ AN là nghiệm của hệ x − 3y − 5 = 0 x + 2y − 3 = 0 ⇐⇒    x = 19 5 y = − 2 5 =⇒ P 19 5 ; − 2 5 Kết luận: Tọa độ điểm P 19 5 ; − 2 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1http://megabook.vn
  • 2. Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ. Biết các điểm M(−3; −1) và N(2; −1) thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AB và P thuộc cạnh AC. Đường thẳng AB có phương trình x − y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Lời giải: A CB M N PQ - Phương trình đường thẳng BC qua M và N là y + 1 = 0 - Tọa độ điểm B = AB ∩ BC là nghiệm của hệ x − y + 5 = 0 y + 1 = 0 ⇐⇒ x = −6 y = −1 =⇒ B (−6; −1) - Đường thẳng QM qua M vuông góc với BC có phương trình là x + 3 = 0 - Tọa độ Q = QM ∩ AB là nghiệm của hệ x + 3 = 0 x − y + 5 = 0 ⇐⇒ x = −3 y = 2 =⇒ Q (−3; 2) - Ta có −−→ MN = (5; 0) ; −−−→ QP = (xP + 3; yP − 2) =⇒ −−→ MN = −−−→ QP ⇐⇒ xP = 2 yP = 2 =⇒ P (2; 2) - Đường thẳng AC qua P vuông góc với AB là x + y − 4 = 0 - Tọa độ C = AC ∩ BC là nghiệm của hệ x + y − 4 = 0 y + 1 = 0 ⇐⇒ x = 5 y = −1 =⇒ C (5; −1) - Tọa độ A = AB ∩ AC là nghiệm của hệ x + y − 4 = 0 x − y + 5 = 0 ⇐⇒    x = − 1 2 y = 9 2 =⇒ A − 1 2 ; 9 2 Kết luận: Tọa độ các điểm A − 1 2 ; 9 2 ; B(−6; −1) ; C(5; −1) . Bài toán 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0 và đường thẳng (d) : 4x − 3y + 9 = 0. Gọi A; B lần lượt là hai điểm thuộc (d) và C là điểm thuộc đường tròn (C). Biết điểm H 22 5 ; 11 5 là một giao điểm của AC và (C) ( C = H) và điểm K − 6 5 ; 7 5 là trung điểm của AB. Tìm tọa độ các đỉnh A; B; C. Lời giải: 2 http://megabook.vn
  • 3. SAKIH = 24 A d : 4x − 3y = −9 K B H I C - Đường tròn (C) có tâm I(2; −1); bán kính R = 4. - Tọa độ (d) ∩ (C) thỏa x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0 4x − 3y + 9 = 0 ⇐⇒    x = − 6 5 y = 7 5 =⇒ (d) ∩ (C) = K − 6 5 ; 7 5 - Ta có HK = 4 √ 2 =⇒ HK2 = IH2 + IK2 = R2 + R2 =⇒ ∆IHK vuông tại I suy ra tứ giác AHIK là hình thang vuông tại I và K. =⇒ SAHIK = (AH + IK) IH 2 = 24 ⇐⇒ (AH + R) R 2 = 24 =⇒ AH = 8 - Gọi A a; 3a + 9 3 ∈ (d) =⇒ B − 12 5 − a; 14 5 − 3a + 9 3 .Ta có a + 6 5 2 + 4a 3 + 3 − 7 5 2 = 8 ⇐⇒ 5a2+12a−180 = 0 ⇐⇒ a = 18 5 a = −6 =⇒    A 18 5 ; 39 5 → B (−6; −5) A (−6; −5) → B 18 5 ; 39 5 (Loại do A; B khác phía với IK) - Phương trình AC qua A và H là 7x + y − 33 = 0 - Tọa độ C = (C) ∩ AC thỏa x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0 7x + y − 33 = 0 ⇐⇒    x = 26 5 y = − 17 5 =⇒ C 26 5 ; − 17 5 Kết luận: Tọa độ các điểm A 18 5 ; 39 5 ; B (−6; −5) ; C 26 5 ; − 17 5 . Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho điểm A (1; 0) và các đường tròn (C1) : x2 + y2 = 2; (C2) : x2 + y2 = 5 . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên (C1) và (C2) để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Lời giải: 3http://megabook.vn
  • 4. A B C H * Đầu tiên ta có nhận xét: để tam giác ABC có diện tích lớn nhất thì O phải là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: Giả sử CO không ⊥ AB thì ta luôn tìm được điểm C ∈ (C2) sao cho d(C , AB) lớn hơn d(C, AB), hay S∆ABC lớn hơn S∆ABC → không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó CO ⊥ AB -Tương tự ta cũng có BO ⊥ AC Vậy O là trực tâm của tam giác ABC.Suy ra AO ⊥ BC ⇐⇒ xB = xC Và ta giả sử B(t; b) ∈ (C1), C(t; c) ∈ (C2) (t, b, c ∈ R) thì ta có t2 + b2 = 2 t2 + c2 = 5 ⇐⇒ b2 = 2 − t2 c2 = 5 − t2 Mà CO ⊥ AB nên −−−→ CO. −−−→ AB = 0 hay t(t − 1) + bc = 0 suy ra b2c2 = t4 − 2t3 + t2 Do đó (2 − t2)(5 − t2) = t4 − 2t3 + t2 ⇐⇒ (t + 1)(2t2 − 10t + 10) ⇐⇒ t = −1; t = 5 + √ 5 2 ; t = 5 − √ 5 2 Tới đây ta có: S∆ABC = 1 2 BC.d(A, BC) = 1 2 |xA − xB||yB − yC| = 1 2 |1 − t||b − c| Suy ra S2 ∆ABC = 1 4 (1 − t)2(b2 + c2 − 2bc) = 1 4 (1 − t)2((2 − t2) + (5 − t2) − 2(t − t2)) = 1 4 (1 − t)2(7 − 2t) * Nếu t = −1 thì ta suy ra S2 ∆ABC = 9 hay S∆ABC = 3 * Nếu t = 5 + √ 5 2 thì ta dễ thấy điều vô lí vì t2 + b2 = 2. * Nếu t = 5 − √ 5 2 thì ta có S2 ∆ABC = √ 5 − 1 8 < 9 → Loại. Suy ra với t = −1 thì S∆ABC lớn nhất. Và ta có    bc = −2 b2 = 1 c2 = 4 ⇐⇒ b = 1 c = −2 ∨ b = −1 c = 2 =⇒ B(−1; 1) C(−1; −2) ∨ B(−1; −2) C(−1; 2) Kết luận: Với B(−1; 1) C(−1; −2) ∨ B(−1; −2) C(−1; 2) thì tam giác ABC có diện tích lớn nhất Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có A = 600.Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho MB + NB = AB.Biết P( √ 3; 1) thuộc đường thẳng DN và đường phân giác trong của góc MDN có phương trình là d : x − y √ 3 + 6 = 0.Tìm toạ độ đỉnh D của hình thoi ABCD. Lời giải: Từ giả thiết A = 600 =⇒ tam giác ABD, CBD là các tam giác đều.Theo đề bài ta có AM = BN, BM = CN. Xét hai tam giác ADM và BDN ta có: DAM = DBN = 600,AD = BD, AM = BN ⇐⇒ hai tam giác bằng nhau ⇐⇒ ADM = BDN (1). Xét hai tam giác BMD và CND ta có: DBM = DCN = 600,CD = BD,CN = BM ⇐⇒ hai tam giác bằng nhau ⇐⇒ NDC = MDB (2). Từ (1) và (2) ⇐⇒ MDN = 600. Gọi P là điểm đối xứng của P qua đường phân giác d =⇒ P thuộc đường thẳng DM =⇒ tam giác PDP là tam giác đều. =⇒ DP = PP = 2d(P/d) = 6. 4 http://megabook.vn
  • 5. Gọi D có tọa độ D a; a + 6 √ 3 . Ta có: PD2 = (a − √ 3)2 + a + 6 − √ 3 √ 3 2 = 36 ⇐⇒ a = 3 + √ 3 ∨ a = −6 + √ 3 ⇐⇒ D(3 + √ 3; 1 + 3 √ 3) ∨ D(−6 + √ 3; 1). Kết luận: Tọa độ D(3 + √ 3; 1 + 3 √ 3) ∨ D(−6 + √ 3; 1) thỏa mãn bài toán. Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD , đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x − y + 2 = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x − y − 5 = 0 .Gọi H là hình chiếu của B xuống đường chéo AC . BiếtM 9 5 ; 2 5 ; K (9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ đỉnh C lớn hơn 4. Lời giải: A B C D H K M Gọi B(b; 2b + 2), C(c; c − 5), (c > 4) và E là điểm đối xứng với B qua C. Suy ra E(2c − b; 2c − 2b − 12). Dễ dàng chứng minh được K là trung điểm của AE. Do đó, −−−→ HE = 2 −−→ MK = 72 5 ; 16 5 =⇒ H 2c − b − 72 5 ; 2c − 2b − 76 5 . Thiết lập tọa độ các vector −−−→ CK = (9 − c; 7 + c), −−−→ BC = (c − b; c − 2b − 7), −−−→ BH = 2c − 2b − 72 5 ; 2c − 4b − 86 5 , −−→ MC = c − 9 5 ; c − 27 5 . Với giả thiết bài toán ta có hệ phương trình −−−→ CK. −−−→ BC = 0 −−−→ BH. −−→ MC = 0 ⇐⇒ −2c2 + 3bc + 23c − 23b − 49 = 0 4c2 − 6bc + 126 5 b − 46c + 594 5 = 0 ⇐⇒ b = 1 c = 9 hoặc c = 4(loại) Từ đó ta có B(1; 4), C(9; 4) . Vì K là trung điểm của CD nên suy ra D(9; 0) . Lại có C là trung điểm của BE nên suy ra E(17; 4), và K là trung điểm của AE nên suy ra A(1; 0) . Bài toán 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) : x − 5 4 2 + (y − 1)2 = 2 .Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B và C thuộc đường tròn (C), các đỉnh A và D thuộc trục Ox. 5http://megabook.vn
  • 6. A B CD (x − 1.25)2 + (y − 1)2 = 2 Đường tròn (C) có tâm I 5 4 ; 1 =⇒ ABCD nhận đường thẳng x = 5 4 là một trục đối xứng. C ∈ Ox =⇒ C = (a; 0) =⇒ D = ( 5 2 − a; 0) ; AD ⊥ Ox =⇒ A = ( 5 2 − a; b) =⇒ B = (a; b) =⇒ CD = |2a − 5 2 |; AD = |b| =⇒ |2a − 5 2 | = |b| ⇐⇒ b2 = 4(a − 5 4 )2 , (1) Lại có A, B thuộc (C) =⇒ (a − 5 4 )2 + (b − 1)2 = 2 , (2) Từ (1) và (2) =⇒ 5b2 − 8b − 4 = 0 ⇐⇒ b = 2 b = − 2 5 Với b = 2 =⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là: 1 4 ; 2 ; 9 4 ; 2 ; 9 4 ; 0 ; 1 4 ; 0 . Với b = − 2 5 =⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là: 21 20 ; − 2 5 ; 29 20 ; − 2 5 ; 29 20 ; 0 ; 21 20 ; 0 . Bài toán 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) : (x − 5)2 + (y − 6)2 = 32 5 . Biết rằng các đường thẳng AC và AB lần lượt đi qua các điểm M(7; 8) và N(6; 9). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD. Lời giải: A B C D I M N Do là đường tròn nội tiếp hình thoi suy ra tâm trung với giao của hai đường chéo. Dễ dàng suy raAC : 1 − y + 1 = 0. Gọi phương trình AB có hệ số góc k dạng y = k(x − 6) + 9. Có d (I, AB) = |3 − k| √ k2 + 1 = 4 √ 10 5 =⇒    k = 1 3 k = − 13 9 =⇒   AB : y = x 3 + 7 AB : y = − 13x 9 + 53 9 =⇒ A (9; 10) , C(1; 2) A (2; 3) , C(8; 9) 6 Lời giải: http://megabook.vn
  • 7. Ta có BD : x + y − 11 = 0 =⇒   B (3; 8) B − 23 2 ; 45 2 =⇒   D (7; 4) D 43 2 ; − 21 2 Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là   A (9; 10) ; B (3; 8) ; C (1; 2) ; D (7; 4) A (2; 3) ; B − 23 2 ; 45 2 ; C (8; 9) ; D 43 2 ; − 21 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại A(4; 2) và B. Một đường thẳng đi qua A và N(7; 3) cắt các đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại D và C . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết rằng đường thẳng nối tâm O1, O2 có phương trình x − y − 3 = 0 và diện tích tam giác BCD bằng 24 5 . Lời giải: Phương trình (AN) : x − 3y + 2 = 0. Có O1O2 ⊥ AB =⇒ (AB) : x+y −6 = 0 =⇒ I 9 2 ; 3 2 =⇒ B(5; 1) ( với I là giao điểm của AB va O1O2) Do 2 đường tròn bán kính bằng nhau nên BDC = BCA( cùng chắn 1 cung AB) Nên tam giác BDC cân.Kẻ BM vuông góc với DC suy ra (BM) : 3x + y − 16 = 0 hay M 23 5 ; 11 5 Gọi D(3t − 2; t) =⇒ C 56 5 − 3t; 22 5 − t Có SBCD = 1 2 .d(B; (CD)).DC suy ra t = 1 ∨ t = 17 5 Với t = 1 thì D(1; 1); C 41 5 ; 17 5 Với t = 17 5 thì C(1; 1); D 41 5 ; 17 5 Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là    B (5; 1) ; C 41 5 ; 17 5 ; D (1; 1) B (5; 1) ; C (1; 1) ; D 41 5 ; 17 5 Bài toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip có phương trình: x2 8 + y2 4 = 1 và điểm I(1; −1). Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip tại hai điểm phân biệt A, B .Tìm tọa độ các điểm A, B sao cho độ lớn của tích IA.IB đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải: c I A B a b Gọi I , A , B lần lượt là hình chiếu của I, A, B xuống trục hoành, khi đó theo tính chất của hình chiếu ta suy ra IA.IB ≥ I A .I B , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB song song với trục hoành. Tương tự hạ hình chiếu xuống trục tung, lập luận tương tự suy ra AB song song với trục tung. Nhưng trong hai trường hợp này chỉ có một trường hợp thỏa mãn bài toán. Nhưng để ý I (1; −1) nằm trong Lời giải: 7http://megabook.vn
  • 8. Elip do 12 8 + (−1)2 4 − 1 < 0 nên các hình chiếu trên đều nằm trong trục lớn hoặc trục bé của Elip, để ý là trục lớn có độ dài lớn hơn nên đường thẳng AB cần tìm sẽ song song với trục bé, tức song song với trục tung. Do AB song song với trục tung và qua I (1; −1) nên có phương trình là: x = 1 =⇒ A 1; − 7 2 , B 1; 7 2 . Vậy hai điểm cần tìm là A 1; − 7 2 , B 1; 7 2 hoặc A 1; 7 2 , B 1; − 7 2 . Bài toán 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (3; 5), B (1; 2), C (6; 3). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A cắt BC sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm B, C đến ∆ là lớn nhất. Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm E (−1; 1) đồng thời cắt cả hai đường thẳng ∆ và d1 : x − y + 14 = 0 lần lượt tại hai điểm H, K sao cho 3HK = IH √ 10 với I là giao điểm của ∆ và d1 . Lời giải: −8. −6. −4. −2. 2. 4. 6. −2. 2. 4. 6. 8. 0 A B C E d f Delta : 5x + y = 20 H K K Hướng 1: Bằng phương pháp dựng hình cộng hưởng với việc tham số hóa đưa về giải tích. Ta có : −−−→ BA = (2; 3), −−−→ BC = (5; 1) =⇒ −−−→ BA · −−−→ BC = 2 · 5 + 1 · 3 = 13 > 0 Do đó : cos B > 0 =⇒ B nhọn. Có : −→ CA = (−3; 2), −−−→ CB = (−5; −1) =⇒ −−−→ BA · −−−→ BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do đó : cos C > 0 =⇒ C nhọn. Kẻ BP⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d(B,∆) = BP, d(C,∆) = CQ. Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có : BP + CQ ≤ BD + DC = BC. Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC. Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có −→n ∆ = −−−→ BC = (5; 1). Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y − 20 = 0. Vì I = ∆ ∩ d1 nên tọa độ điểm I thỏa : 5x + y − 20 = 0 x − y + 14 = 0 ⇐⇒ x = 1 y = 15 Vậy I(1; 15). Xét điểm M(4; 0) ∈ ∆, N(a, a + 14) ∈ d1 thỏa 3MN = IM √ 10. Ta có : −−→ MN = (4 − a, −a − 14), −−−→ IM = (−3; 15). Nên từ :3MN = IM √ 10 ⇐⇒ 9 · 234 = 10 · (4 − a)2 + (a + 14)2 ⇐⇒ 18a2 + 180a − 432 = 0 ⇐⇒ a = 2 ∨ a = −12. Mặt khác từ giả thiết ta có : 3HK = IH √ 10 nên ta có : HK IH = MN IM =⇒ HK MN. Do đó đường thẳng d cần tìm đi qua E và song song với MN. Nên : −→a d = −−→ MN = (4 − a; −a − 14). Trường hợp 1 :a = 2 =⇒ −−→ MN = (2; −16). Lúc đó phương trình d : x + 1 2 = y − 1 −16 ⇐⇒ 8x + y + 7 = 0. Trường hợp 2 :a = −12 =⇒ −−→ MN = (16; −2). Lúc đó phương trình d : x + 1 16 = y − 1 −2 ⇐⇒ x + 8y − 7 = 0. Hướng 2 : Sử dụng dựng hình và đại số hóa bài toán dưới dạng tọa độ các giao điểm. Ta có : −−−→ BA = (2; 3), −−−→ BC = (5; 1) =⇒ −−−→ BA · −−−→ BC = 2 · 5 + 1 · 3 = 13 > 0 Do đó : cos B > 0 =⇒ B nhọn. Có : −→ CA = (−3; 2), −−−→ CB = (−5; −1) =⇒ −−−→ BA · −−−→ BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do 8 http://megabook.vn
  • 9. đó : cos C > 0 =⇒ C nhọn. Kẻ BP⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d(B,∆) = BP, d(C,∆) = CQ. Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có : BP + CQ ≤ BD + DC = BC Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC. Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có −→n ∆ = −−−→ BC = (5; 1). Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y − 20 = 0 Vì I = ∆ ∩ d1 nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình : 5x + y − 20 = 0 x − y + 14 = 0 ⇐⇒ x = 1 y = 15 Vậy I(1; 15). Gọi d là đường thẳng đi qua E và có véc tơ pháp tuyến là −→n = (a, b). Khi đó phương trình đường thẳng :d : a(x − 1) + b(y − 15) = 0 (a2 + b2 = 0). Vì H = d ∩ ∆ nên tọa độ điểm H thỏa: a(x − 1) + b(y − 15) = 0 5x + y − 20 = 0 ⇐⇒    x = 19b + a 5b − a y = 5(5a − b) a − 5b (a = 5b). Lại có K = d∩d1 nên tọa độ điểm K thỏa : a(x − 1) + b(y − 15) = 0 x − y + 14 = 0 ⇐⇒    x = −13b − a b + a y = 13b + a) a + b (a = −b) Vậy K −13b − a b + a ; 13b + a) a + b . ;H 19b + a 5b − a ; 5(5a − b) a − 5b Từ điều kiện bài toán : 3HK = IH √ 10 ⇐⇒ 9HK2 = 10IH ⇐⇒ 1296(a + 7b)2(a2 + b2) (a − 5b)2(a + b)2 = 1040(a + 7b)2 (a − 5b)2 ⇐⇒ (a + 7b)2(8a − b)(a − 8b) = 0 ⇐⇒ a = −7b b = 8a a = 8b Trường hợp 1: a = −7b chọn a = 7, b = −1 =⇒ d : 7x − y − 8 = 0. Trường hợp này loại vì khi đó ba đường thẳng d, d1, ∆ đều đồng quy tại điểm I. Trường hợp 2 :a = 8b chọn a = 8, b = 1 =⇒ d : 8x + y + 7 = 0. Trường hợp 3 : b = 8a chọn a = 1, b = 8 =⇒ d : x + 8y − 7 = 0. Tóm lại ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8x + y + 7 = 0 ; x + 8y − 7 = 0 Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 6y − 6 = 0 và hai điểm B(5; 3), C(1; −1). Tìm tọa đọ đỉnh A; D của hình bình hành ABCD biết A thuộc đường tròn (C) và trực tâm H của tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x + 2y + 1 = 0 và xH < 2. Lời giải: A BI C d D Đường tròn (C) có tâm I(1; 3). Nhận thấy ngay B; C đều cùng thuộc đường tròn (C). Gọi E là giao điểm của AI và (C) suy ra tứ giác BHCE là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của BC suy ra tọa độ điểm M(3; 1). Tham số hóa tọa độ điểm H(−1 − 2a; a) với a > −3 2 . Do M là trung điểm của HE suy ra E(7 + 2a; 2 − a). Lời giải: 9http://megabook.vn
  • 10. Tọa độ điểm E lại thỏa mãn (C) nên ta có: (7 + 2a)2 + (2 − a)2 − 2 (7 + 2a) − 6 (2 − a) − 6 = 0 ⇐⇒ 5a2 + 26a + 21 = 0 =⇒ a = −1 =⇒ E (5; 3) Do điểm E và A đối xứng nhau qua tâm I nên suy ra A(−3; 3). Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên −−−→ AD = −−−→ BC =⇒ D (−7; −1) Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là A(−3; 3), D(−7; −1) . Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giacs ABC vuông tại A. gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tam giác ABH ngoại tiếp đường tròn (C) : x − 16 5 2 + y − 33 5 2 = 36 25 . Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACH là I 26 5 ; 23 5 . Tìm tọa độ trọng tâm G cua tam giác ABC. Lời giải: (C) có tâm K 16 5 ; 33 5 và bán kính R = 6 5 . Trung điểm của IK là M 21 5 ; 28 5 . Gọi D và L là hình chiếu của K lên BC và AH. Do AH⊥BC nên KDHL là hình vuông. Suy ra KH = R √ 2 = 6 √ 2 5 . Từ đó suy ra H thuộc đường tròn tâm K bán kính KH có phương trình: x − 16 5 2 + y − 33 5 2 = 72 25 . Mà AHK = AHI = 45o =⇒ IHK = 90o. Nên H thuộc đường tròn tâm M bán kính KM = 21 5 − 16 5 2 + 28 5 − 33 5 2 = √ 2 có phương trình (C ) : x − 21 5 2 + y − 28 5 2 = 2 . Từ đó tìm được hai tọa độ điểm H thỏa mãn là H 74 25 ; 123 25 và H 122 25 ; 171 25 . +) Trường hợp 1: H 74 25 ; 123 25 . Phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm H là (d) : a x − 74 25 + b y − 123 25 = 0 với (a2 + b2 = 1). d (K, d) = R ⇐⇒ a 16 5 − 74 25 + b 33 5 − 123 25 = 6 5 ⇐⇒ 6a 25 + 42b 25 = 6 5 ⇐⇒ a 5 + 7b 5 = 1 ⇐⇒ a + 7b = 5 a + 7b = −5 Kết hợp a2 + b2 = 1 ta được    b = 4 5 =⇒ a = − 3 5 b = 3 5 =⇒ a = 4 5 Vậy có hai tiếp tuyến là    d1 : − 3 5 x − 74 25 + 4 5 y − 123 25 = 0 ⇐⇒ 15x − 20y + 54 = 0 d2 : 4 5 x − 74 25 + 3 5 y − 123 25 = 0 ⇐⇒ 20x + 15y + 133 = 0 Dễ thấy d1 cắt đoạn IK nên phương trình AH chính là phương trình của d1; phương trình BC là phương trình của d2. A thuộc d1 : 15x + 30 = 20y − 24 ⇐⇒ x + 2 4 = y − 6 5 3 nên A −2 + 4t; 6 5 + 3t . −−−→ AK = 16 5 + 2 − 4t; 33 5 − 6 5 − 3t = 26 5 − 4t; 27 5 − 3t , −→ AI = 26 5 + 2 − 4t; 23 5 − 6 5 − 3t = 36 5 − 4t; 17 5 − 3t . Dễ thấy IAK = 1 2 BAC = 45o nên −−−→ AK. −→ AI = −−−→ AK . −→ AI cos 45o ⇐⇒ 26 5 − 4t 36 5 − 4t + 27 5 − 3t 17 5 − 3t = 26 5 − 4t 2 + 27 5 − 3t 2 . 36 5 − 4t 2 + 17 5 − 3t 2 . √ 2 2 10 http://megabook.vn
  • 11. Suy ra tìm được tọa độ A (sao cho A, H nằm khác phía so với IK) Lại có ACH đồng dạng BAH nên CH AH = d (I, d) R = . . . suy ra tìm được CH. Dùng hệ thức lượng để tính BH. Sau đó tìm các điểm B, C cuối cùng G. +) Trường hợp 2: H 122 25 ; 171 25 làm tương tự kết quả ra đẹp hơn. A(2; 3), B(2; 9), C(10; 3), G 14 3 ; 5 Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) tâm I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại B; C; D cắt nhau tại M, N. Giả sử H(1; −1) là trực tâm tam giác AMN. Tìm tọa độ các điểm A; M; N biết chu vi tam giác AMN bằng 18 + 4 √ 10 và xM > 5. Lời giải: A I C H N M D B Đường tròn (C) có tâm I là giao điểm của AC và BD suy ra AC vuông góc MN suy ra H thuộc AC. Phương trình AC qua I và H là: x − 1 = 0, phương trình MN : y − c = 0. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì IN là phân giác góc DIC và IM là phân giác góc CIB. Mặt khác DIC + CIB = 180o =⇒ IN ⊥ IM. Gọi tọa độ các điểm M(m; c); N(n; c), A(1; a). Theo bài ra ta có hệ phương trình sau: −−→ AM. −−→ NH = 0 −→ IN. −−−→ IM = 0 ⇐⇒ (m − 1) (1 − n) + (c − a) (−1 − c) = 0 (m − 1) (n − 1) + (c − 2)2 = 0 =⇒ (c − 2)2 + (c − a) (−1 − c) = 0 Tham số hóa C(1; c) ∈ MN suy ra A(1; 4 − c) =⇒ a + c = 4. Từ đó suy ra: (c − 2)2 + (c − 4 + c) (−1 − c) = 0 =⇒ c = −4, a = 8 =⇒ C (1; −4) ; A (1; 8) ; M (m; −4) ; N (n; −4) Mà ta lai có chu vi tam giác AMN bằng 18 + 4 √ 10 nên (m − 1) (1 − n) = 36 (m − 1)2 + 144 + [(m − 1) − (1 − n)]2 + (1 − n)2 + 144 = 28 + 4 √ 10 ⇐⇒ m − 1 = ±9; 1 − n = 4 m − 1 = 4; 1 − n = ±9 =⇒ M (10; −4) ; N (−3; −4) Kết luận: Tọa độ các điểm cần tìm là A(1; 8); M(10; −4); N(−3; −4) . Bài toán 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 4)2 + y − 9 2 = 25 4 và hai điểm A(2; 3), B(6; 6). Gọi M; N là hai điểm khác nhau nằm trên đường tròn (C) sao cho các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại H, AN và BM cắt nhau tại C. Tìm tọa độ điểm C biết H 4; 5 2 . Lời giải: 11http://megabook.vn
  • 12. H C A B M N I Nhận thấy ngay A, B đề thuộc đường tròn (C) và AB = R = 5 2 nên AB là đường kính của đường tròn (C). Từ đó ta suy ra được AH⊥BC, BH⊥AC suy ra H la trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng AC qua A vuông góc với HB là 4x + 7y − 29 = 0. Đường thẳng BC qua A vuông góc với AH là: −4x + y + 18 = 0. Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình 4x + 7y − 29 = 0 −4x + y + 18 = 0 ⇐⇒    x = 155 32 y = 11 8 =⇒ C 155 32 ; 11 8 Kết luận: Tọa độ điểm càn tìm là C 155 32 ; 11 8 Bài toán 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M(3; 2) thuộc BD. Từ M kẻ các đường thẳng ME; MF lần lượt vuông góc với AB tại E(3; 4) và AD tại F(−1; 2).Xác định tọa độ điểm C của hình vuông. Lời giải: C F M E K A B D Gọi K = FM ∩ BC. Ta có ME = 2; MF = 4 và FME = CKM suy ra CK = FM = 4; MK = ME = 2 Gọi K (xK; yK) ; C (xC; yC). ta có −−→ MK = MK MF −−→ FM = 1 2 −−→ FM =⇒ K (5; 2) Lại có −−−→ KC = KC ME −−→ EM = 1 2 −−→ EM =⇒ C (5; −2). Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là C(5; −2) . 12 http://megabook.vn
  • 13. Bài toán 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C1) : (x − 2)2 + (y − 3)2 = 45 tâm I. Đường tròn (C2) có tâm K(−1; −3) cắt đường tròn (C1) theo một dây cung song song với AC. Biết SAICK = 30 √ 2 và chu vi tam giác ABC là 10 √ 10. Tìm tọa độ A; B; C biết điểm B có hoành độ âm. Lời giải: A B C I K E A Đường tròn (C1) có tâm I(2; 3). Nhận thấy RC1 = IK = 3 √ 5 và K ∈ (C1). Gọi MN = (C1) ∩ (C2) suy ra MN⊥IK. Mà AC MN =⇒ AC⊥IK. Do đó ta có: SAICK = 30 √ 2 =⇒ AC = 4 √ 10. Lại có AB + BC + CA = 10 √ 10 =⇒ AC + BC = 6 √ 10. (1) Gọi AA là đường kính của (C1), E = IK ∩ AC suy ra IE = 1 2 A C = 1 2 √ AA 2 − AC2 = √ 5 Từ đó suy ra −→ IK = 3 −→ IE =⇒ E (1; 1) Phương trình AC qua E vuông góc IK là x + 2y − 3 = 0. Tọa độ A và C là giao điểm của hệ gồm AC và (C1), suy ra A 1 − 4 √ 2; 1 + 2 √ 2 ; C 1 + 4 √ 2; 1 − 2 √ 2 Tọa độ B thỏa mãn hệ gồm (1) và (C1), suy ra B 7 2 − 3 √ 3; 12 + 3 √ 3 2 Kết luận: Tọa độ các đỉnh A 1 − 4 √ 2; 1 + 2 √ 2 ; C 1 + 4 √ 2; 1 − 2 √ 2 , B 7 2 − 3 √ 3; 12 + 3 √ 3 2 . Bài toán 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh AC : x + y − 3 = 0. Trên tia đổi của CA lấy điểm E. Phân giác trong góc BAC cắt BE tại D. Đường thẳng d đi qua D song song với AB cắt BC tại F. Tìm tọa độ giao điểm M của AF và BE biết AF : 2x + y − 5 = 0 và I(−1; −3) là trung điểm của DF Lời giải: Gọi P là trung điểm của BC, thực hiện dãy suy luận, ta có: DF AB =⇒ AM MF = PB PF =⇒ AM MF = PC PF =⇒ AF MF = FC PF =⇒ PM AC =⇒ PM EC =⇒ MB = ME Kẻ đường thẳng MP ∩ AB = J, cắt (d) tại I . Ta có I F IB = I D JA =⇒ I trùng J Từ đó, ta có PM qua trung điểm I của DF và M là giao điểm của PI và AF. Kết luận: Tọa độ giao điểm cần tìm là M(9; −13). Bài toán 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(2; 3), C(2; 7). Tìm điểm A sao cho đường cao AH = 3r với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 13http://megabook.vn
  • 14. Lời giải: B C A Do độ dài đường cao gấp ba lần bán kính đường tròn nội tiếp nên ta có: 2S a = 3 2S a + b + c =⇒ b + c = 2a Gọi tọa độ điểm A(x; y). Như vậy thì (x − 2)2 + (y − 3)2 + (x − 2)2 + (y − 7)2 = 8 ⇐⇒ 2 (x − 2)2 + (y − 3)2 . (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64 − (x − 2)2 − (y − 7)2 − (x − 2)2 − (y − 3)2 ⇐⇒ 4 (x − 2)2 + (y − 3)2 . (x − 2)2 + (y − 7)2 = (x − 2)2 + y2 − 10y − 3 ⇐⇒ 12x2 + 16y2 = 192 ⇐⇒ x2 16 + y2 12 = 1 Kết luận: Vậy với mọi A ∈ (E) : x2 16 + y2 12 = 1 thì thỏa mãn yêu cầu Bài toán 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4; 5), B(3; 0); C(2; 2). Gọi H; I lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trung trực của AH cắt AB; AC tại M; N. Phân giác trong góc IMN cắt AC tại P. Tính diện tích tam giác MNP biết yB > 0. Lời giải: A B C H N M I F E Viết phương trình đường cao kẻ từ 2 đỉnh bất kì và lấy giao, ta tìm được tọa độ trực tâm là H − 6 7 ; 18 7 Phương trình trung trực của AH là 2x + y − 97 14 = 0 Viết phương trình AB, AC ta tìm được tọa độ M 307 98 ; 65 98 , N 111 49 ; 235 98 14 http://megabook.vn
  • 15. Gọi F là trung điểm của BC là F 5 2 ; 1 . Theo −−−→ AH = 2 −−−→ IM =⇒ I 69 14 ; 31 14 Nhận thấy phương trình phân giác góc IMN trùng với AB nên ta sẽ đi tính diện tích tam giác AMN. Ta có: SAMN = 1 2 MN.d (A, MN) = 1 2 111 49 − 307 98 2 + 235 98 − 65 98 2 . 2.4 + 5 − 97 14 √ 22 + 1 = 7225 2744 (đơn vị dt) Kết luận: Diện tích tam giác MNP là SMNP = 7225 2744 Bài toán 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH : 3x+2y −1 = 0, phân giác trong CK : 2x−y +5 = 0 và trung điểm M(2; −1) của cạnh AC. Gọi CABC, SABC lần lượt là chu vi và diện tích tam giác ABC. Tính giá trị của 30CABC + 2013 3 √ SABC Lời giải: Diện tích của ABC = 101.43 A C B 22.68 18.03 11.37 Đặt C(c; 2c + 5); A a; 1 − 3a 2 . Ta có M(2; -1) là trung điểm của AC. Dễ dàng tìm được a = 31 7 ; c = − 3 7 =⇒ A 31 7 ; − 43 7 ; C −3 7 ; 29 7 . Phương trình BC qua C và vuông góc với AH là 12x − 21y + 93 = 0. Gọi B b; 2 3 b + 93 21 . Theo bài ta có dB;(CK) = dA;(CK) và A, B khác phía so với (CK). Ta tìm ra B 102 7 ; 99 7 Bây giờ thì khá ổn rồi, bữa ăn cũng sắp xong rồi, có điều "món gà" "dai quá". BC = 5 √ 13; AB = √ 25205 3 ; AC = 2 √ 1585 3 ; SABC = 710 7 . Từ đó ta có biểu thức cần tính có giá trị là 476410 7 + 710 √ 5 + 150 √ 13 + 20 √ 1585 Bài toán 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 +y2 +4y +6y −3 = 0 và điểm M(2; 1). Gọi A; B lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Tìm trực tâm H của tam giác MAB. Lời giải: Gọi I là tâm của đường tròn (C). Từ đó ta có I(−2; −3), R = 4. Ta có MI = 4 √ 2. Từ đó suy ra MA = MB = 4 suy ra IAMB là hình vuông. Khi đó ta có trực tâm H trùng với điểm M. 15http://megabook.vn
  • 16. Kết luận: Trực tâm tam giác ABC là H(2; 1). Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + 2 = 0 và hai đường tròn có phương trình lần lượt là (C1) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1; (C2) : (x + 3)2 + (y − 4)2 = 4. Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được lần lượt hai tiếp tuyến MA; MB (với A; B là tiếp điểm) đến đường tròn (C1)và đường tròn (C2) đồng thời đường thẳng d là phân giác trong góc AMB. Lời giải: d M I1 I2 B A B A Tâm các đường tròn lần lượt là I1(1; 1), I2(−3; 4). Lấy đối xứng của đường thẳng MA qua OI1 thì dễ thấy nó tiếp xúc với (C1) tại C. Do tính chất đối xứng thì CM, d = BM, d , do đó MB tiếp xúc với (C1) tại C và (C2) tại B. Chứng minh tương tự với MA, ta suy ra được M là tâm phép vị tự biến (C1) thành (C2) suy ra M ∈ I1I2. Phương trình I1I2 là :3x + 4y − 7 = 0. Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình 3x + 4y − 7 = 0 x − y + 2 = 0 ⇐⇒    x = − 1 7 y = 13 7 =⇒ M − 1 7 ; 13 7 Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M − 1 7 ; 13 7 . Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có A(1; 7), B(6; 2), C(2; −4), D(1; 1). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua C và chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Lời giải: SAHCD = 14 SHBC = 14 A B C D H 16 http://megabook.vn
  • 17. Từ giả thiết bài toán ta tính được SABCD = 28; SACD = 3; BC = 2 √ 13 và phương trình AB : x + y − 8 = 0, phương trình BC : 3x − 2y − 14 = 0. *Trường hợp 1: Đường thẳng qua C cắt AD tại K suy ra SDCK ≤ SADC = 3 < 14 = SABCD 2 Do đó trường hợp này không thỏa mãn. *Trường hợp 2: Đường thẳng qua C cắt AB tại H, ta có SBCH = 1 2 BC.d (H; BC) = 14 =⇒ d (H; BC) = 14 √ 13 Tham số hóa H(t; 8 − t), suy ra |5t − 30| √ 13 = 14 √ 13 =⇒    t = 44 5 t = 16 5 =⇒ t = 16 5 =⇒ H 16 5 ; 24 5 (Do H thuộc đoạn AB) Kết luận: Phương trình cần tìm đi qua C và H là 22x − 3y − 56 = 0. Bài toán 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 9; (C2) : (x + 1)2 + (y − 5)2 = 4 tiếp xúc ngoài tại A. Tìm điểm B ∈ (C1) và C ∈ (C2) sao cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích lớn nhất. Lời giải: SACB = 6 SAB C = 6 A B C B C D E 45o 45o Gọi D, E lần lượt là tâm của (C1), (C2). Khi đó R1 = 3; R2 = 2. Có SABC = 1 2 AB.AC. Xét AB = 2AD cos BAD = 2AD cos α AC = 2AE cos EAC = 2AE cos π 2 − α = 2AE sin α =⇒ SABC = 6 sin 2α ≤ 6 =⇒ SABCMax = 6 ⇐⇒ α = π 4 Phương trình AD : 4x + 3y − 11 = 0 suy ra AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra B − 2 5 ; − 4 5 ∨ B 22 5 ; 14 5 Với B − 2 5 ; − 4 5 ta được AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra AC : x + 7y − 24 = 0 suy ra C −13 5 ; 19 5 Với B 22 5 ; 14 5 ta được AB : x + 7y − 24 = 0 suy ra AD : 7x − y + 2 = 0 suy ra C 3 5 ; 31 5 . Kết luận Vậy tọa độ các đỉnh cần tìm là B − 2 5 ; − 4 5 , C − 13 5 ; 19 5 ∨ B 22 5 ; 14 5 , C 3 5 ; 31 5 . Bài toán 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 25 và B − 5 2 ; 5 √ 3 2 . Điểm C có hoành độ dương thuộc (C) sao cho BOC = 120o. Tìm M thuộc cung nhỏ BC sao cho 1 MB + 1 MC đạt giá trị nhỏ nhất (M = B, C). 17http://megabook.vn
  • 18. Lời giải: c O B C 120o A M Theo đề bài ta có ngay C(5; 0) và B ∈ (C). gọi A đối xứng với B qua trục Ox thì A − 5 2 ; − −5 √ 3 2 . Không khó để ta nhận thấy tam giác ABC đều. Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có: 1 MB + 1 MC ≥ 4 MB + MC Mà theo định lí Ptoleme cho tứ giác nội tiếp, ta được: MA.BC = MB.CA + AB + MC Vì AB = BC = CA và M thuộc cung nhỏ BC nên: MB + MC = MA. Do đó biểu thức đã cho nhỏ nhất khi MA lớn nhất, khi đó thì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC thỏa mãn MB = MC. Từ đó suy ra M đối xứng với A qua O nên suy ra M 5 2 ; 5 √ 3 2 Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M 5 2 ; 5 √ 3 2 Bài toán 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có I 3 2 ; 1 16 và E(1; 0) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (T) tiếp xúc với BC và các cạnh AB; AC kéo sài có tâm là F(2; −8). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết yA < 0. Lời giải: A B C IE F J 18 http://megabook.vn
  • 19. Gọi J là giao của EF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Khi đó có BJ=EJ và ∆BEF vuông tại B suy ra J là trung điểm EF. Pt đường tròn ngoại tiếp ABC và EBC là      (I) : x − 3 2 2 + y − 1 16 2 = 652 162 (J) : x − 3 2 2 + (y + 4)2 = 65 4 Suy ra phương trình BC : y = −2 do đó B (5, −2) , C (−2, −2) và ngược lại. Phương trình EF : 8x + y − 8 = 0 suy ra A 1 2 , 4 Kết luận: Tọa độ các đỉnh của tam giác là A 1 2 , 4 ; B (5, −2) , C (−2, −2) hoặc A 1 2 , 4 ; C (5, −2) , B (−2, −2) Bài toán 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) thỏa mãn khoảng cách giữa hai đường chuẩn của (E) bằng 8 √ 3 3 , điểm M có tọa độ dương thuộc (E) sao cho độ lớn hai bán kính qua tiêu là 5 2 VÀ 3 2 . Tìm điểm N ∈ (E) sao cho MN = √ 37 6 và xN > 0. Lời giải: Giả sử (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1, a > b > 0. Khoảng cách hai đường chuẩn là : 2a2 c = 8 √ 3 3 =⇒ a2 c = 4 √ 3 3 . mathbf Ta có. MF1 = a + c a xM > a − c a xM = MF2 (xM > 0) Suy ra    a + c a xM = 5 2 a − c a xM = 3 2 =⇒ a = 2 =⇒ c = √ 3, b = 1. Phương trình (E) : x2 + 4y2 = 4, M( 1 √ 3 ; 11 12 ) Gọi N(a; b) ∈ E. Khi đó ta có :    a2 + 4b2 = 4 a − 1 √ 3 2 + b + 11 12 2 = 37 36 =⇒    a = 8 3 √ 3 b = − √ 33 9 =⇒ N 8 3 √ 3 ; − √ 33 9 Kết luận: Vậy tọa độ điểm cần tìm là N 8 3 √ 3 ; − √ 33 9 Bài toán 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng ∆1 : x − y + 2 = 0; ∆2 : 2x − y − 2 = 0; ∆3 : 2x + y − 2 = 0 và điểm E(4; 3). Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc ∆1, cắt ∆2 tại A; B và ∆3 tại C; D sao cho AB + CD = 16 √ 5 và tâm I thỏa mãn IO = 2IE, xI ∈ Z. Lời giải: Delta1 Delta2 Delta3 I E O A B C D 19http://megabook.vn
  • 20. Tham số hóa I(a; a + 2) ∈ ∆1. Ta có: IO = 2IE =⇒ a2 +(a + 2)2 = 4 (a − 4)2 + (a − 1)2 ⇐⇒ 6a2 −44a+54 = 0 ⇐⇒ a = 2 a = 16 3 =⇒ I (2; 4) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB; CD suy ra IH = d (I; ∆2) = 2 √ 5 ; IK = (I; ∆3) = 6 √ 5 Ta có: AB + CD = 16 √ 5 ⇐⇒ BH + CK = 8 √ 5 ⇐⇒ R2 − 36 5 + R2 − 4 6 = 8 √ 5 ⇐⇒ R2 = 8 Kết luận: Phương trình đường tròn cần lập là (x − 2)2 + (y − 4)2 = 8. Bài toán 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy AB. Biết hai đỉnh B(3; 3), C(5; −3). Giao điểm I của hai đường chéo thuộc 2x + y − 3 = 0. Gọi K là trung điểm của CD. Tìm tọa độ các đỉnh A, D biết rằng IC = 2BI, tam giác IDK có diện tích rằng 8 5 và các điểm I, A có hoành độ dương. Lời giải: SIKD = 1.6 B C D I A K 2x + y = 3 Gọi I (a; 3 − 2a) ∈ ∆. Theo bài ra ta có: IC = 2IB ⇐ (a − 5)2 +(6 − 2a)2 = 4(a − 3)2 +16a2 ⇐⇒ 15a2 +10a−25 = 0 ⇐⇒ a = 1 a = − 5 3 =⇒ I (1; 1) Phương trình đường thẳng BI : x − y = 0 và CI x + y − 2 = 0, IC = 4 √ 2. K là trung điểm của CD suy ra SICD = 2SIDK = 16 5 = 1 2 IC.d (D; IC) =⇒ d (D; IC) = 8 5 √ 2 Tham số hóa D(d; d) ∈ BI. Suy ra |2d − 2| √ 2 = 8 5 √ 2 =⇒    d = 9 5 d = 1 5 =⇒    D 9 5 ; 9 5 D 1 5 ; 1 5 Với D 1 5 ; 1 5 , phương trình AB : 16x + 24y − 120 = 0. Tọa độ A là giao của CI và AB suy ra A(−9, 11) Với trường hợp còn lại, tương tự ta thấy không thỏa mãn. Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là D 9 5 ; 9 5 ; A(−9, 11) Trong quá trình tổng hợp, chắc hẳn không tránh được sai xót, mong nhận được sự phản biện và góp ý thêm của bạn đọc để có thể hoàn thiện hơn tài liệu này. 20 Nguyễn Đình Huynh http://megabook.vn