1. Escola Mare del Diví Pastor
AUTOR: José Luis Fernández Sánchez
2. 2.INTRODUCCIÓ
3.FRACCIONS EQUIVALENTS
4.PAS DE FRACCIÓ A DECIMAL
5.FRACCIÓ GENERATRIU
6.NOMBRE MIXT
7.ORDENACIÓ A LA RECTA
8.COMPARACIÓ DE FRACCIONS
9.OPERACIONS COMBINADES
10.POTÈNCIES
11.RESOLUCIÓ DE PROBLEMES
3. RECORDA:
• Una fracció està formada per un numerador (a dalt) i un
denominador (sota)
a a = numerador (quantes parts tenim)
b b = denominador (del total de parts que dividim)
Hem dividit en 4 parts per tant el denominador és 4
• Si agafem el segment blau la fracció resultant seria 1/4
• Si agafem el segment blau i el taronja la fracció resultant és 2/4
• Si agafem el blau, el taronja i el violeta en tindríem 3/4
• Si agafem els quatre segments en tindrem 4/4 . Fixa’t que 4/4 = 1.
Per tant 1 representa tot l’objecte
ÍNDEX
4. Si agafem un segment la Si agafem dos segments la
fracció seria 1/4 fracció seria 2/8
Fixa’t que les dues fraccions representen la mateixa quantitat, llavors
diem que són fraccions equivalents
Condició d’equivalència de fraccions:
a c
a· d b· d
b d
Exemple: 2/-3 és equivalent a -8/12?
2 8
2·12 3· ( 8) 24 24 Són fraccions equivalent s
3 12
ÍNDEX
5. • Per passar de fracció a decimal només cal dividir el numerador entre el
denominador. Fent això trobem tres tipus de fraccions:
1. Fraccions impròpies : Són fraccions que donen més gran que 1
Exemple: 8/3
8 3
20 2,666... 8/3 = 2,666... (decimal periòdic pur)
20
20
2...
Perquè una fracció sigui impròpia, el numerador ha de ser més gran que el
denominador
ÍNDEX
6. 2. Fraccions pròpies : Són fraccions que donen més petit que 1
Exemple: 4/5
4 5
40 0,8 4/5 = 0,8 (decimal exacte)
0
Perquè una fracció sigui impròpia, el numerador ha de ser més petit que el
denominador
3. Fraccions iguals que 1 : Són fraccions que donen 1
Exemple: 4/4
4 4
0 1 4/4 = 1
Perquè una fracció sigui igual que 1, el numerador ha de ser igual que el
denominador
ÍNDEX
7. • Per passar de decimal a fracció (és a dir trobar la fracció generatriu) cal
diferenciar tres situacions en funció del tipus de decimal que tenim:
1. Decimal exacte :
a. Numerador: escrivim el número sense la coma
b. Denominador: posem un 1 i tants 0 com xifres decimals tenim.
c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible
Exemple : troba la fracció generatriu de 2,24
a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 224
b. Denominador: posem un 1 i tants 0 com xifres decimals tenim: 100
c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:
Comprova-ho amb la calculadora 56/25 = 2,24
ÍNDEX
8. 2. Decimal periòdic pur
a. Numerador: escrivim el número sense la coma
li restem el que estigui fora del període
b. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període
c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible
Exemple : troba la fracció generatriu de 33,1212121212... = 33,12
a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 3312
li restem el que estigui fora del període 3312 – 33 = 3279
a. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període: 99
b. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:
3312 33 3279 1093
99 99 33
Comprova-ho amb la calculadora 1093/33 = 33,121212...
ÍNDEX
9. 3. Decimal periòdic mixt
a. Numerador: escrivim el número sense la coma
li restem el que estigui fora del període
b. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període
posem tants 0 com números hi ha entre el període i la coma.
c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible
Exemple : troba la fracció generatriu de 8,45222222.. = 8,452
a. Numerador: escrivim el número sense la coma : 8452
li restem el que estigui fora del període 8452 – 845 = 7607
b. Denominador: posem tants 9 com xifres tenim dins del període: 9
posem tants 0 com números hi ha entre el període i la coma: 00
c. Simplifiquem fins trobar la fracció irreductible:
8452 845 7607
900 900
Comprova-ho amb la calculadora 7607/990 = 8,45222...
ÍNDEX
10. • Un nombre mixt està format per una part entera i una fracció impròpia:
b Enter: a
a Numerador: b
c Denominador: c
1. Pas de fracció a mixt
16 1 Fem la divisió 16/3 dóna 5 i residu 1
5 Enter: és el quocient de la divisió: 5
3 3
Numerador: és el residu de la divisió. 1.
Denominador: Deixem el mateix de la fracció inicial: 3
2. Pas de mixt a fracció
3 35 Numerador: fem enter x denominador + numerador
8
4 4 8 x 4 + 3 = 35
Denominador: Deixem el mateix de la fracció inicial: 4
ÍNDEX
11. 1. Fraccions pròpies
Ordenarem a la recta una fracció positiva 1/3 i una negativa -3/5
1/3 Es troba entre 0 i 1. Cal fer tres divisions i agafar-ne una
-3/5 Es troba entre 0 i -1. Cal fer cinc divisions i agafar-ne 3
Dibuixem la recta numèrica:
–3 –2 –1 0 1 2 3
ÍNDEX
12. 1. Fraccions pròpies
1/3 Dibuixem una recta de 3 cm que parteixi del 0 cap a la dreta.
-3/5 Dibuixem una recta de 5 cm que parteixi del 0 cap a l’esquerra.
–3 –2 –1 0 1 2 3
ÍNDEX
13. 1. Fraccions pròpies
1/3 Unim l’extrem del segment dibuixat amb l’1
-3/5 Unim l’extrem del segment dibuixat amb el -1
Tracem paral·leles que passin per cada segment dibuixat
–3 –2 – 1 -3/5 0 1/3 1 2 3
ÍNDEX
14. 2. Fraccions impròpies
Anem a situar 5/2 i -7/4 sobre la recta.
Dibuixem la recta numèrica
Expressem les fraccions com nombres mixts
5 1 Dues unitats i entre el 7 3 Una unitat negativa i
2 dos i el tres dividim en 1 entre el -1 i el-2 dividim
2 2 4 4
dues parts i agafem en 4 parts i agafem 3
una
–3 –2 –1 0 1 2 3
-7/4 5/2
ÍNDEX
15. Per comparar fraccions cal que tinguin el mateix denominador. Anem a
fer un exemple:
Ordena les següents fraccions de més petita a més gran:
4/3 , - 5/8, 5/6, - 4/5, 6/5, -4/7
Comencem per ordenar els negatius
- 5/8, - 4/5, -4/7
mcm (8,5,7) = 8 · 5 · 7 = 280. Calculem els numeradors fent 280 dividit
entre el denominador i multiplicat pel numerador:
- 175/280, - 224/280, -160/280 → -224/280 <-175/280 < -160/280
Per tant quedaria:
-4/5 <-5/8 < -4/7
ÍNDEX
16. Continuem pels positius
4/3 , 5/6, 6/5
mcm (3,6,5) = 2 · 3 · 5 = 30. Calculem els numeradors fent 30 dividit entre
el denominador i multiplicat pel numerador:
40/30, 25/30, 36/30 → 25/30 <36/30 < 40/30
Per tant quedaria:
5/6 < 6/5 < 4/3
Havíem d’ordenar: 4/3 , - 5/8, 5/6, - 4/5, 6/5, -4/7
L’exercici resolt tindria com a solució:
-4/5 <-5/8 < -4/7 < 5/6 < 6/5 < 4/3
ÍNDEX
17. Recorda:
1. Suma i resta amb el mateix denominador:
Suma:
Per sumar nombres racionals amb el mateix denominador, es deixa
el mateix denominador i se sumen els numeradors:
–5 + 4 = –1 Suma de numeradors
3 3 3 Mateix denominador
Resta:
Per restar nombres racionals amb el mateix denominador, es deixa
el mateix denominador i es resten els numeradors:
–5 _ 4 = – 9 = – 3 Resta de numeradors
3 3 3 Mateix denominador
ÍNDEX
18. 2. Suma i resta amb diferent denominador:
–5 _ 4 _ – 1 =
24 8 12
1) Eliminar la presència de dos signes junts:
(menys i menys = més)
–5 _ 4 _ – 1 = –5 _ 4 + 1 = Recorda
24 8 12 24 8 12 24 2 8 2 12 2
12 2 4 2 6 2
2) Calcular el denominador comú i els numeradors: 6 2 2 2 3 3
mcm (24,8,12) = 24 3 3 1 1
–5 _ 4 + 1 = –5 _ 12 + 2 = 1
24 8 12 24 24 24 24 = 23 . 3
8 = 23
3) Calculem el resultat final i simplifiquem si es pot: 12 = 22 . 3
–5 _ 12 + 2 = –15 = –5 mcm = 23 . 3 = 24
24 24 24 24 8
ÍNDEX
19. Recorda:
3. Multiplicacions i divisions:
Multiplicacions:
Per multiplicar nombres racionals , multipliquem numerador per
numerador i denominador per denominador.
Abans però es millor simplificar si es pot
(es simplifiquen els numeradors amb els denominadors )
–2 . 5 = –1 . 5 = –5
3 6 3 3 9
Divisions
Per dividir nombres racionals multipliquem en creu.
Abans però es millor simplificar si es pot
(es simplifiquen els numeradors entre sí i denominadors entre sí)
–2 : 4 = –1 : 2 = –7
3 7 3 7 6
ÍNDEX
20. 4. Operacions combinades
1) Resolem les operacions que estiguin dins d’un parèntesi o claudàtor, de
dintre cap a fora
2) Ordre de les operacions:
a) Primer potències o arrels
b) Simplifiquem fraccions, multiplicacions i divisions abans d’efectuar-les
c) Resolem multiplicacions o divisions
d) Efectuem sumes i restes
e) Simplifiquem per obtenir la fracció irreductible
Exemple:
2
3 1 2 4 1 2 8
· 3· 2· · :
5 3 3 5 4 5 3
a) Resolem primer la potència :
2
3 1 2 4 1 2 8 3 1 2 4 1 2 8
· 3· 2· · : · 3· 2· · :
5 3 3 5 4 5 3 5 9 3 5 4 5 3
ÍNDEX
24. Transformem les ratlles de divisió en dos punts de divisió anant de sota cap a
dalt i efectuem les divisions simplificant prèviament:
2 2 2
2 3 2 3 2 3
3 5 3 3 5 3 3 10
: :
2 4 1 2 3
Tornem a expressar la ratlla de fracció en dos punts de divisió, simplifiquem i
calculem la divisió. Per últim calculem la resta traient denominador comú:
2
2 3 2 2 10 2 1 5 2 1 10 3 7
: :
3 10 3 3 3 3 1 1 3 5 15 15 15
3
ÍNDEX
25. 1. Cas general
–3 4 (–3) . (–3) . (–3) . (–3) 81
= =
2 2.2.2.2 16
–3 5 = (–3) . (–3) . (–3) . (–3)·(– 3) = – 243
2 2.2.2.2·2 32
Fixa’t: base es negativa i l’exponent senar, resultat negatiu
2. Potència d’exponent 0 i 1
Qualsevol potència elevada a 0 val 1:
–1 0 = 1
3
Qualsevol potència elevada a 1 val ella mateixa:
–6 1 –6
=
5 5
ÍNDEX
26. 3. Multiplicació de potències amb la mateixa base
Es deixa la mateixa base i se sumen els exponents:
–1 2 . –1 3 –1 5 –1
= =
3 3 3 243
4. Divisió de potències amb la mateixa base
Es deixa la mateixa base i es resten els exponents:
–7 3 : –7 2 –7 1 –7
= =
4 4 4 4
5. Potència d’una potència
Es deixa la base i es multipliquen els exponents:
–1 2
3
ÍNDEX
27. 6. Potència d’exponent negatiu
Es fa la inversa de la funció i es deixa l’exponent positiu:
–5 -2 2 2 4
= =
2 –5 25
7. Potència d’exponent fraccionari
Es transforma en arrel on el denominador de la potència és l’índex i el
numerador és l’exponent:
3
3
2 4
4
2
5 5
Potència d’una suma o resta
Es calcula la suma o resta i després s’aplica la potència:
2 2 2
2 1 4 1 3 9
5 10 10 10 10 100
ÍNDEX
28. 1. Comparació de fraccions:
L’Alba diu que ha corregut 4/7 de la cursa del Corte Inglés i la Mar 5/9.
Quina d’elles va per davant?
Dades
Resolució
Alba : 4/7 de la cursa
Mar : 5/9 de la cursa
Quina va al davant? 4 5 36 35 4 5
i
7 9 63 63 7 9
Estratègia
Comparar les fraccions Resposta
traient denominador comú
La fracció més gran ha L’Alba va lleugerament per davant.
recorregut més cursa i va per Però no et despistis!!!
davant
ÍNDEX
29. 3. Augments o descomptes
Quan comencen les rebaixes, ens fan un 10% de descompte sobre el preu
inicial. Quan ja han passat 15 dies, comencen les segones rebaixes i ens fan una
altra rebaixa d’un 15% sobre el preu ja rebaixat.
a) Quin percentatge de descompte ens fan respecte el preu inicial?
b) Si el cost de l’objecte eren 60€, quant haurem de pagar?
Dades Resolució 100 10 90
Descompte 1: 10% Descompte 1 10/100 per tant pago 100 100 100
Descompte 2 : 15% del
nou preu. Descompte 2 15 90 1350 13,5
de
% de descompte? 100 100 10000 100
Quant paguem en 60€? Descompte = 10 13,5 23,5
100 100 100
Estratègia
Calcular el segon descompte 23,5
respecte el total de 60 14,1€ de descompte 60 14,1 45,9€
100
Sumar els dos descomptes
Calcular el descompte en Resposta
60€. Restar-li al preu el El descompte total és 23,5% i pagarem 45,9 €
descompte ÍNDEX
30. 3. Fraccions del total (competències bàsiques 2012)
En l’organització d’una festa s’han format tres grups. El primer grup aporta
la meitat de les despeses, el segon grup hi contribueix amb les 2/5 parts de
les despeses i el tercer grup paga la resta.
a) Quina fracció de les despeses aporta el tercer grup?
b) Si el segon aporta 40€, quants aporta el primer grup?
Resolució
Dades 1 2 5 4 9
Grup 1: 1/2 de les despeses
Grup 2 : 2/5 (40€) 2 5 10 10 10
Grup 3 la resta 10 9 1
Fracció grup 3?
10 10 10
Diners del primer grup? 2 5
de despeses 40€ despeses de 40 100 €
Estratègia 5 2
Restar al total (1) la suma 1
del primer i segon grup. de 100 50 €
2/5 de les despeses són 40€ 2
Calcularé les despeses i Resposta
després faré 1/2 d’elles. El tercer grup aporta 1/10 de les
despeses i el primer aporta 50€
ÍNDEX
31. 4. Fraccions del que queda.
La Carla surt de casa i es gasta 5/8 del que porta en uns pantalons, i més
tard 1/3 del que li queda en una samarreta. Si arriba a casa amb 10
euros, amb quants diners va sortir de casa?
Dades
Resolució
Gasta 5/8 en pantalons
pantalons:
1/3 del que queda en una
Gasta 5/8
samarreta
Li queda 8/8 – 5/8 = 3/8
Arriba amb 10€
samarreta
Amb quants surt?
Gasta 1 3 3 1
de
3 8 24 8
Estratègia
Calcular el que gasta i el Li queda 3 1 2 1
que li queda al final de cada 8 8 8 4
compra. 1 4
dels diners 10 diners de 10 40€
Trobar la fracció equivalent 4 1
a 10 euros
Aïllar per trobar els diners Resposta
inicials La Carla surt amb 40 euros de casa. ÍNDEX
32. LAS AVENTURAS DE TRONCHO Y PONCHO
(SIN COMENTARIOS)
FRACCIONS, FRACCIONS EQUIVALENTS I
NOMBRES MIXTS
ÍNDEX
