3. Raó i proporcionalitat
S’anomena raó de nombres a i b (b≠0) , el quocient
d’aquests dos nombres
a
b
100 200 250
=
=
4
8
10
Exemple: Per cada 100 grams de farina hi van 4 ous
En efectuar el quocient de les raons anteriors,
obtenim sempre el mateix resultat = 25
La igualtat anterior s’anomena proporció
Es llegeix 100 és a 4 com 200 és a 8
4. Proporció numèrica
Una proporció numèrica és una igualtat entre dues raons
numèriques
a c
= → a·d = b·c
b d
Exemple _ 1 :
4 12
7·12
=
→ 4 x = 7·12 → x =
= 21
7
x
4
Exemple _ 2 :
x
5
25
=
→10 x = 5·5 → x =
= 2 .5
5 10
10
Exemple _ 3 : no _ coneixem _ 2 _ termes
2
3
x
x → x = 144 = 12
=
→ 48·3 =
x 48
8. Proporcionalitat directa
La Sandra fa feina per hores donant classes particulars
Per cada hora que treballa li paguen 20 €. Quant li
pagaran si treballa 2h? I si treballa 3h? I 4h?
•
Com que les magnituds (temps-diners) són directament
proporcionals, es compleix que:
•
El nombre 20 s’anomena constant o raó de proporcionalitat
9. Representació gràfica
Podem representar gràficament els
valors.
Eix de les abscisses (x) temps
Eix ordenades (y) metres
Temps (s) Metres (m)
2
10
4
20
6
30
8
40
10
50
En representar en un sistema de
coordenades els valors dues magnituds
directament proporcionals, sempre obtenim
una recta que passa per l’origen de
coordenades (0,0)
11. Regla de tres directa
Quan tenim tres nombres coneguts i ens falta trobar el
quart nombre, sabent que són proporcionals utilitzarem
la REGLA DE TRES DIRECTA
Exemple:
Si 4 entrades del cine ens han costat 8€, quant ens
costaran 10 entrades?
12. Regla de tres directa
He comprat 30 llapis per 7,50€. Quant em costaran si
en compro 46?
14. Magnituds inversament
proporcionals
Dues magnituds són inversament proporcionals, si en
multiplicar un valor d’una de les magnituds per una
constant, el valor de l’altra queda dividit per la mateixa
constant
Exemple:
Les magnituds velocitat – temps
són magnituds inversament
proporcionals. Quan multipliquem
(o en dividim) una per un nombre
l’altra queda multiplicada (o
dividida ) pel mateix nombre.
16. Regla de tres inversa
(inversament proporcional)
Un grup de 23 alumnes han participat en un concurs i han guanyat un
premi de 1400€, si haguessin participat 14 alumnes, quants euros
s’haguessin repartit?
17. Exemples de magnituds
inversament proporcionals
10 nàufrags tenen menjar per 30 dies. Si només
hi ha un nàufrag, per quants dies tindrà menjar?
10·30=1· x
X=300 dies
Si un cotxe va a 60km/h i triga 5 hores a fer una
distància. Quant trigaria si anés a 20km/h?
60·5=20·x
x= 15 hores
Treballant 3 hores cada dia s'acaba un treball en
6 dies . Si treballem 2 hora cada dia, quants dies
trigarem?
3·6=2·x
x=9 dies
19. Repartiment directament
proporcionals
Es vol repartir una quantitat de forma directament
proporcional
Si el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat
més gran
Procediment:
1.Sumar els valors inicials de cada una de les parts
2.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda
3.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de cada
una de les parts
20. Exemple de repartiment
directament proporcional
Exemple:
Tenim 3 amics que han comprat respectivament: 2DVDs,
3DVDs i 5DVDs. Han pagat la factura de 120€. Quant ha
de pagar cadascú
1.2+3+5=10
2.120/20=12€
3.1. AMIC 1: 12€x2=24€
3.2. AMIC2: 12€x3=36€
3.3. AMIC3: 12€x5=60€
•L’amic que ha comprat 2DVDs ha de pagar 24€, el que
ha comprat 3DVDs 36€ i el que ha comprat 5DVDs ha de
pagar 60€
21.
22. Repartiment inversament
proporcionals
Es vol repartir una quantitat de forma inversament
proporcional
Si el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat
menor en el repartiment.
1.Es calcula els inversos dels valors inicials
2.Sumar els inversos dels valors inicials
3.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda
4.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de
cada una de les parts
26. Percentatges
Un percentatge o tant per cent (%) és una
proporció expressada com una quantitat de cada
100 unitats
El 15% dels tirs llançats han entrat. Significa que 15 tirs de
cada 100 han entrat. I el 15% de 600?
27. També podem expressar el tant per u
7% =
7
= 0,07
100
Tota fracció la podem convertir en percentatge
3
100
= 0,375 ·→ 37,5%
8
Per fer % amb calculadora
29. Augments percentuals
Un augment és una quantitat que s'afegeix a un valor
determinat
Hi ha dos mètodes per fer càlculs d’augment percentual
1.Pas a pas
2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)
Exemple: El preu d’una bicicleta era de 240 euros. A aquest
preu se li ha d’afegir el 16% d’ IVA. Quin és el preu final?
30. Augments percentuals
Exemple 1:
Quina quantitat resulta en augmentar el 21% a 45?
21·45
21%de45 =
= 9,45
100
45 + 9,45 = 54,45
O multiplicar 1,21 a 45:
1,21·45 = 54,45
31. Disminucions percentuals
Una disminució és una quantitat que restem a un valor
determinat
Hi ha dos mètodes per fer càlculs de disminució
percentual
1.Pas a pas
2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)
Exemple: El preu d’un ordinador era de 1200 euros, però
m’han fet un 15% de descompte. Quin és el preu final?
33. Exemples 1 de percentatges
En comprar un regal per un amic , la Irene ha rebut un 5%
de descompte. Si el descompte va ascendir a 2,08€. Quin
és el preu del regal?
x = preu _ del _ regal
5
x·
= 2,08
100
5 x = 2,08·100
5 x = 208
208
x=
= 41,6€ preu _ regal
5
5
2,08
2,08·100
=
→x=
= 41,6
100
x
5
34. Exemple 2 de percentatges
El preu d’un article sense IVA és de 21,25€ i amb IVA
24,65€. Determina el % d’IVA.
x = IVA
x
21,25 + 21,25·
= 24,65
100
2125 + 21,25 x = 2465
21,25 x = 2465 − 2125
340
x=
= 16 → 16%
21,25
x = IVA
1
21,25·(1 + x·
) = 24,65
100
21,25 x
21,25 +
= 24,65
100
2125 + 21,25 x = 2465
21,25 x = 2465 − 2125
340
x=
= 16 → 16%
21,25
35. Exemple 3 de percentatges
El preu d’un llibre és de 23€. En el transcurs d’un any
augmenta un 25%, i després a les rebaixes, disminueix
un 20%. Quin és el preu del llibre a les rebaixes?
23 + 25% =
25
23 + 23·
= 23 + 5,75 = 28,75
100
20
28,75 − 20% = 28,75 − 28,75·
= 28,75 − 5,75 = 23
100
36. Interès simple
Quan ingressem una quantitat a un banc, al cap d’un temps ens
tornen la quantitat ingressada incrementada en un interès abonat pel
banc.
Els interessos produïts són directament proporcionals al capital
ingressat i al temps.
I= c · i · n
Conceptes:
Capital inicial (c): És la quantitat inicial que s’ingressa o
es presta.
Interès (I). Són els interessos produïts.
Interès unitari (i): És l’interès que proporciona el banc
Anys (n): Anys que ha durat l’operació bancària
37. Exemple 1 - interès simple
Una entitat financera ofereix un 4,5% anual pel dipòsit
d’un capital. Si disposem de 13500€, quin interès ens
produirà al cap de 3 anys?
Pas a pas:
Calculem l’interès en una any:
4,5% de 13500 = 0,045 · 13500 = 607,5€
En tres anys:
607,7 · 3 = 1822,5€
Fórmula:
I = c · i ·n
I = 13500 · 0.045 · 3 =1822,5€
38. Exemple 2 - interès simple
Dipositem un capital de 3000€ en una entitat financera al
4% anual. Quants anys han de passar perquè es
converteixi en 3360€?
Interessos: 3360 – 3000=360€ interessos obtinguts
I = c·i·n
I
360
n=
=
=3
c·i 3000·0,04
Han de passar 3 anys
39. Exemple 3 - interès simple
Ens queden per pagar 1500€ d’un préstec que venç al cap
de 90 dies. Si el tipus d’interès és del 10% anual, quant
ens descomptaran si el paguem avui mateix? Quant hem
de pagar?
90 dies= 90:365= 0,247 anys
Calculem els interessos que hauríem de pagar per 90
dies (0,247 anys)
I= c · i ·n
I = 1500 · 0,1 · 0,247 = 37€
La quantitat que hauríem de pagar= 1500 – 37 = 1463€
