Integral Lipat dua KAlkulus

1. INTEGRAL LIPAT DUA
Lia Yuliana, S.Si., MT.
2011/2012

2. Integral Lipat Dua pada Persegi Panjang
Telaah Ulang Integral Tentu
Misalkan f terdefinisi pada selang [a,b]. Bagi [a,b] menjadi
n selang bagian [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/n dan
pilih titik sampel *
1[ , ].i i ix x x Bentuk jumlah Riemann
*
1
( )
n
i
i
f x x



3. maka integral tentu f dari a ke b diberikan oleh
*
1
( ) lim ( ) .
nb
ia n
i
f x dx f x x


 
( ) 0,f x Jika jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai
jumlah luas persegi panjang dalam Gambar 1, dan ( )
b
a
f x dx
menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.

4. 0 a 1x 2x 1ix  ix 1nx  b
x
y
*
1x *
2x *
ix *
nx
*
( )if x
( )y f x
Gambar 1

5. Volume dan Integral Lipat Dua
Misalkan f fungsi dua peubah pada segiempat tertutup
 2
[ , ] [ , ] ( , ) ; ,R a b c d x y a x b c y d       ¡
Misal ( , ) 0,f x y  grafik f adalah permukaan z = f(x,y).
Misalkan S adalah benda padat yang terletak di atas R dan
di bawah grafik f, yaitu
 3
( , , ) ; 0 ( , ), ( , )S x y z z f x y x y R    ¡
Bagaimana mencari volume S ?
R
R

6. b
a c
d
x
y
o
z
z = f(x,y)
R
Gambar 2

7. Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi
beberapa segiempat bagian.Bagi interval [a,b] menjadi m
interval [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/m, dan bagi [c,d]
menjadi n interval [yj-1, yj] dengan lebar y = (d – c)/n.
Buat garis-garis sejajar sumbu koordinat melalui titik ujung
interval bagian ini, sehingga terbentuk segiempat bagian
1 1[ , ] [ , ]ij i i j jR x x y y  
masing-masing dengan luas A = x y.

8. a x1 x2 xi-1 xi b
x
0
c
y1
yj-1
yj
y
d
y
x
         
      
  
 
       
         
         
     
  




Rij
* *
( , )ij ijx y
( , )i jx y
Gambar 3

9. Jika dipilih titik sampel
* *
( , )ij ijx y dalam setiap Rij, maka
bagian S yang terletak di atas Rij dihampiri oleh kotak segi-
empat dengan alas Rij dan tinggi * *
( , )ij ijf x y . Volume kotak
ini adalah
* *
( , ) .ij ijf x y A
Jika prosedur ini dilakukan atas semua segiempat dan
menambahkan volume kotak yang berkaitan, diperoleh
hampiran terhadap volume total S ;
* *
1 1
( , )
m n
ij ij
i j
V f x y A
 
 1

10. b
a c
d
x y
o
z
Gambar 4

11. Hampiran dalam (1) akan menjadi lebih baik jika m dan n
besar, sehinga diharapkan
* *
,
1 1
lim ( , )
m n
ij ij
m n
i j
V f x y A

 
 2
Persamaan 2 didefinisikan sebagai volume benda padat
S yang terletak di bawah grafik f dan di atas segiempat R.

12. Definisi 3
Integral lipat-dua dari f pada segiempat R adalah
* *
,
1 1
( , ) lim ( , )
m n
ij ij
m n
i jR
f x y dA f x y A

 
 
jika limit ini ada.
Jika f kontinu, maka integral-lipat dua ada.

13. Jika
terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan
( , )
R
V f x y dA 
( , ) 0,f x y  maka volume V dari benda padat yang
z = f(x,y) adalah

14. CONTOH 1
Taksirlah volume benda padat yang terletak di atas bujur
dan di bawah paraboloida elipssangkar [0,2] [0,2]R  
2 2
16 2 .z x y   Bagilah R menjadi empat bujur sangkar
yang sama dan pilih titik sampel berupa pojok kanan atas
dari setiap bujur sangkar Rij.

15. PENYELESAIAN
Perhatikan bujur sangkar berikut
R11 R21
R12 R22
0 1 2
x
y
1
2
(2,1)
(1,1)
(2,2)(1,2)
Gambar 5

16. Paraboloida adalah grafik dari
2 2
( , ) 16 2f x y x y   dan
luas setiap bujur sangkar adalah 1. Dengan menghampiri
volume menggunakan jumlah Riemann untuk m = n = 2,
diperoleh
2 2
1 1
( , )i j
i j
V f x y A
 
 
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)f A f A f A f A       
13(1) 7(1) 4(1) 34.   

17. CONTOH 2
Jika [ 1,1] [ 2,2]R    hitunglah integral
2
1
R
x dA
PENYELESAIAN
Karena integral dapat ditafsirkan sebagai volume
2
1 0x 
Jika
2
1 ,z x  maka
2 2
1x z  dan 0,z  sehingga integral
lipat-dua yang diberikan menyatakan volume benda padat

18. S yang terletak di bawah silinder lingkaran 2 2
1x z  dan
di atas segiempat R. Volume S adalah luas setengah
lingkaran dengan jari-jari 1 kali panjang silinder. Jadi
2 21
21 (1) 4 2 .
R
x dA     

19. Aturan Titik-Tengah
   
1 1
, ,
m n
i j
i jR
f x y dA f x y A
 
 
Aturan Titik-Tengah untuk integral Lipat-Dua
dengan ix titik-tengah  1,i ix x dan jy titik-tengah
1, .j jy y
  

20. CONTOH 3
Gunakan Aturan Titik-Tengah dengan m = n = 2 untuk
menaksir nilai integral
2
( 3 )
R
x y dA
dengan  ( , ) ; 0 2, 1 2 .R x y x y    
PENYELESAIAN
Dengan Aturan Titik-tengah untuk m = n = 2, dihitung

21. 2
( , ) 3f x y x y  di pusat-pusat empat segiempat bagian.
0 1 2 x
y
1
2 (2,2)
3/2
11Rg 21Rg
12Rg 22Rg
Gambar 6
Sehingga 3 51
1 2 12 2 4, ,x x y   dan 7
2 4 .y  Luas setiap

22. segiempat bagian adalah A = ½. Jadi,
   
2 2
2
1 1
3 ,i j
i jR
x y dA f x y A
 
  
1 1 1 2 2 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y A f x y A f x y A f x y A       
5 7 3 5 3 71 1 1 1 1 1
2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )f f f f   
95
8 
Jadi,  2 95
8
3 11,875.
R
x y dA    

23. Contoh
Hitung integral lipat berikut
1.
dimana R={(x,y)0  x  6, 0  y  4}
2.
dimana R={(x,y)0  x  /2, 0  y  /2}
 dAyx
R
  22
2
 dAyx
R
 sin

24. Sifat Integral Lipat-Dua
       
R R R
(a) , , , ,f x y g x y dA f x y dA g x y dA      
   
R R
(b) , , , konstantacf x y dA c f x y dA c  
         
R R
(c) , , , , , , ,f x y g x y x y R f x y dA g x y dA    Jika maka
(d) Jika daerah R merupakan gabungan dari beberapa daerah
makanRRRRR ...321 
 
RnRRR
dAyxfdAyxfdAyxfdAyxf ),(...),(),(),(
21

25. Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang
Theorema
1. Jika R adalah daerah tipe I (gambar (i)) dimana
f(x,y) kontinu, maka
2. Jika R adalah daerah tipe II (gambar (i))dimana
f(x,y) kontinu, maka
  
b
a
xg
xg
dydxyxfdAyxf
)(
)(
2
1
),(),(
  
d
c
yh
yh
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
2
1
),(),(

26. c
d
y = g2(x)
y = g1(x)
a b
x
y
Gambar (i)
x = h1(y) x = h2(y)
y
x
Gambar (ii)
Daerah Tipe I dan Tipe II

27. Aturan Integrasi
• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua
tergantung dari bentuk daerah integrasi
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu
merubah urutan pengintegralan. Hal ini disebabkan
dengan perubahan urutan pengintegralan akan
memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat
menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita
dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada
sketsa daerah integrasi yang sama.

28. Contoh
1. Hitung , R dibatasi oleh x=y2 , y=1 dan
sumbu y
2.
 R
x
dAey2

4
0
2
2
2
dxdye
x
y